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Introduzione ai Segnali Aleatori

Ernesto Conte

9 marzo 2007

ii

Indice

1 Segnali aleatori 11.1 Segnali aleatori: definizione e classificazione . . . . . . . . . . . . . 11.2 Caratterizzazione statistica di segnali aleatori . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Caratterizzazione di i-esimo ordine . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Caratterizzazione sintetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Segnali aleatori stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Caratterizzazione congiunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Processi complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Processi gaussiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Ergodicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Caratterizzazione energetica dei segnali . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8.1 Segnali di energia e di potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8.2 Densita spettrali di energia e di potenza . . . . . . . . . . . . 221.8.3 Segnali PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.9 Legami Ingresso Uscita per sistemi LTI . . . . . . . . . . . . . . . . 341.9.1 Analisi dei sistemi LTI nel dominio del tempo . . . . . . . . . 351.9.2 Legami ingresso uscita per le PSD . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

iii

iv

Capitolo 1

Segnali aleatori1.1 Segnali aleatori: definizione e classificazione

Un segnale aleatorio (s.a.) X(t) e una famiglia di v.a.

{X(t), t T}

con insieme di indici T, tutte definite sullo stesso spazio campione {,E, P}.Linsieme degli indici T e usualmente denominato insieme dei tempi, essendo que-

sto il caso piu comune; conseguentemente, se T e discreto, tipicamente in tal caso

T = N o T = Z, il s.a. si dice a tempo discreto; analogamente, si dice a tempo conti-

nuo se T e continuo e, in tal caso, di norma, T = R o T = R+ = [0,+). I segnalia tempo discreto sono pertanto le successioni di v.a. e, nel caso particolare di insieme

dei tempi finito, cioe:

T = Nn , {1, 2, . . . n}il s.a. si riduce ad ve.a.. Inoltre, se linsieme dei tempi e non negativo (N o R+) il

segnale e detto monolatero, altrimenti esso e bilatero.

I s.a., oltre che con riferimento allinsieme dei tempi, si classificano anche sulla

scorta del tipo di v.a. che lo costituiscono: precisamente {X(t), t T} si dice adampiezza discreta se i suoi campioni sono v.a. discrete, mentre si dice ad ampiezza

continua, o analogico, se i suoi campioni sono v.a. continue.

Se, fissato , si considerano tulle le determinazioni delle v.a. {X(t), t T} si ha una funzione reale del tempo, diciamola x(t): tale funzione e denominatarealizzazione, o determinazione o funzione membro, del s.a. X(t). In altri termini il

s.a. puo anche essere definito come la corrispondenza

X : x(t) RT

ove RT denota linsieme di tutte le funzioni reali definite in T 1. Infine, fissato e1Piu in generale, considerati due insiemi A e B con BA si denota linsieme di tutte le funzioni definite

in A ed a valori in B

1

-t

1

2

t1t2

x(t, )6

Figura 1.1: Rappresentazione grafica di un segnale aleatorio.

t T, si ha un numero reale: in altri termini il s.a. e una funzione di due variabili una e laltra t T, cioe:

X : (, t) T x(t) R

In conclusione un s.a. puo essere riguardato come un insieme di funzioni del tempo

o come una famiglia di v.a.; in ogni caso va tenuto presente che la notazione X(t) puo

avere quattro diversi significati e cioe (fig. 1.1):

una famiglia di funzioni del tempo ovvero una famiglia di v.a. (t e variabili),cioe il segnale aleatorio;

una singola funzione del tempo (t variabile e fissato); cioe una funzionemembro del segnale aleatorio;

una variabile aleatoria (t fissato e variabile);

un semplice numero (t e fissati);

leffettiva interpretazione di X(t) va dedotta di volta in volta dal contesto.

Esempio 1 Generatore di forme donda.

Si consideri lo spazio campione

= Nn , {1, 2, . . . n}

con la legge di probabilita definita dallequiprobabilita degli eventi elementari; allora

X : k xk(t) RR (1.1)

ove xk(t), k = 1, 2, . . . n, sono n funzioni del tempo e un segnale X(t) aleatorio

tempo continuo, bilatero, ed ad ampiezza discreta. J

2

Esempio 2 Sinusoide a fase uniforme

Sia = [0, 2) con legge di probabilita uniforme (la probabilita di un sotto-intervallo

di [0, 2) e proporzionale alla lunghezza dellintervallo); allora

X : A cos[2f0t + ] RR (1.2)

e un segnale aleatorio X(t) tempo continuo, bilatero, ed ad ampiezza continua. J

Esempio 3 nsima cifra frazionaria della rappresentazione binaria di x [0, 1)

Sia = [0, 1) con legge di probabilita uniforme (la probabilita di un

sotto-intervallo di [0, 1) e proporzionale alla lunghezza dellintervallo); allora

X : (x, n) N {

n sima cifra frazionaria dellarappresentazione binaria di x [0, 1) (1.3)

e un segnale aleatorio tempo discreto, monolatero, ed ad ampiezza continua, ovvero e

una successione di v.a. binarie. J

1.2 Caratterizzazione statistica di segnali aleatori

1.2.1 Caratterizzazione di i-esimo ordine

Linterpretazione di un s.a. come famiglia di v.a. e particolarmente utile nel definirne la

caratterizzazione probabilistica. Infatti questa consiste nellassegnare la distribuzione

di probabilita (in alternativa CDF, pdf o pmf ) di ordine i PX(t1)X(t2)X(ti)(), delve.a.

Xti Xt X

X(t1)X(t2)

...X(ti)

, (1.4)

ottenuto campionando il s.a. X(t), comunque si scelgano gli i istanti di campionamen-

to

ti t ,

t1t2...ti

T (1.5)

e per ogni valore di i N. Si noti che la notazione Xti evidenzia la dipendenzadel ve.a. dagli i istanti di tempo e da i stesso. Tuttavia, nel seguito, quando non e

necessario sottolineare tali dipendenze si utilizzeranno le notazioni semplificate Xt o

X. Considerazioni analoghe valgono per ti e t

3

In altri termini, un s.a. si caratterizza se si assegna la caratterizzazione dei vettori

di dimensione finita, ma arbitraria, comunque estratti dal s.a.. Ad esempio, supposto,

per fissare le idee, il segnale ad ampiezza continua occorre assegnare la successione di

pdf congiunte:

{fXti (x; t) fX(t1),X(t2)...X(ti)(x1, x2, . . . , xi; t1, t2, . . . ti)

}iN

(1.6)

ove

x =

x1x2...xi

R

i (1.7)

e il vettore dei valori che il ve.a. dei campioni considerati (1.4) puo assumere. Notiamo

esplicitamente che la notazione utilizzata evidenzia che la pdf congiunta di ordine i del

s.a. X(t) dipende anche dagli i istanti di tempo considerati, come del resto e ovvio in

quanto al variare di tali istanti si ottiene un diverso ve.a..

Se e assegnato lo spazio di probabilita {,E, P ()} ed il s.a. X(t) allora, almenoin linea di principio, si possono calcolare le distribuzioni di probabilita del vettore dei

campioni (1.4) comunque lo si scelga.

Esempio 4 nsima cifra frazionaria della rappresentazione binaria di x [0, 1)

Si riprenda in esame il processo X(n) dellesempio 3: iniziamo col determinare

la pmf del primo ordine, di X(1) cioe della prima cifra frazionaria. Dalla definizio-

ne di tale s.a. segue immediatamente che X(1), e piu in generale X(n), e una v.a.

bernoulliana; inoltre si ha:

P ({X(1) = j}) ={

P ({x [0, 1) : x [0, 0.5)}) = 12 se j = 0P ({x [0, 1) : x [0.5, 1)}) = 12 se j = 1

per cui in definitiva risulta:

X(1) B(

1,1

2

)

Analogamente si calcola la distribuzione di X(n); precisamente si ha:

P ({X(n) = j}) ={

P ({x [0, 1) : x A0}) = 12 se j = 0P ({x [0, 1) : x A1}) = 12 se j = 1

ove:

A0 = [0,12n ) [ 22n , 32n ) [ 2

n2

2n ,2n1

2n )

A1 = [12n ,

22n ) [ 32n , 42n ) [ 2

n1

2n , 1)

4

In altri termini levento {X(n) = j} e la probabilita che X(n) assuma valori nel plu-rintervallo Aj che, indipendentemente da j e da n, ha lunghezza 12 e quindi probabilita12 . Pertanto la pmf del primordine e:

pX(n)(x) =1

2x {0, 1}

ovvero sinteticamente:

X(n) B(

1,1

2

)n N

Si noti che per il s.a. in esame la pmf del 1o ordine non dipende dallistante di

tempo considerato: in altri termini i campioni del segnale sono v.a. identicamente

distribuite.

Per la caratterizzazione di ordine superiore occorre valutare probabilita congiunte

del tipo:

P ({X(n1) = j1} {X(n2) = j2} {X(ni) = ji})

A tal fine, per fissare le idee, valutiamo la

P ({X(1) = 1} {X(2) = 0} {X(3) = 1})

Come e immediato verificare risulta:

P ({X(1) = 1} {X(2) = 0}) = 14P ({X(1) = 1} {X(2) = 0} {X(3) = 1}) = 18

Poiche inoltre

P ({X(1) = 1}) = 12

P ({X(2) = 0}) = 12

P ({X(3) = 1}) = 12

gli eventi considerati sono statisticamente indipendenti. Con considerazioni analoghe

e possibile dimostrare che comunque si estraggano v.a. dal processo in esame que-

ste risultano statisticamente indipendenti. Conseguentemente la pmf congiunta di i

campioni e data semplicemente dal prodotto delle i pmf marginali; in altri termini si

ha:pX(n1),X