PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11

PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.1

PROCESSI ALEATORI

: VARIABILE ALEATORIA ASSOCIATA ALL’ ESPERIMENTO DOVE S=SPAZIO

DEGLI EVENTI E P =PROBABILITA’.

: E’ UNA FUNZIONE NUMERICA ASSOCIATA ALLE USCITE ELEMENTARI

DELL’ ESPERIMENTO .

UN PROCESSO ALEATORIO E’ UNA FAMIGLIA DI FUNZIONI DEL TEMPO, CIASCUNA

ASSOCIATA AD UNA REALIZZAZIONE

x

x

E S P,

zi

X zi

z X t zi i ,

t0

AD UN ISTANTE FISSATO ,IL PROCESSO ALEATORIO COINCIDE CON UNA VARIABILE ALEATORIA

t0 ,

,

,

2

1

nztx

ztx

ztx

t

t

t


ESEMPIO : VARIABILE ALEATORIA, COSTANTE E’ UN PROCESSO

ALEATORIO SE .

LE COSINUSOIDI SONO TUTTE IN FASE, MA CON AMPIEZZE CHE DIPENDONO DALLE

USCITE ELEMENTARI DELL’ ESPERIMENTO.

x x tcos , 0 0

x R

t

t

t


ESEMPIO :

SEQUENZA DI 0 E 1 EQUIPROBABILI E INDIPENDENTI (EQUIVALENTI A USCITA

CONVERTITORE A/D).

PROCESSO BINARIO SORGENTE DI BIT A T sec SENZA MEMORIA

ESPERIMENTO ESEGUITO INFINITE VOLTE

X t zi,

ziINTERA SEQUENZA DI 0 E 1.

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1

T


ALTERNANZA DI 0 E 1 DIPENDENTE DA UNA DISTRIBUZIONE POISSONIANA.

SE SI MANTIENE COSTANTE LA DENSITA’ DEI PUNTI E SI RIPETE L’ ESPERIMENTO

OTTENGO FUNZIONI NEL TEMPO SIMILI CHE COSTITUISCONO UN PROCESSO

ALEATORIO.

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1

T


STATISTICHE DEL I ORDINE

SE SI CONSIDERA UN ISTANTE DI TEMPO “GENERICO” , ALLORA SI PUO’ DEFINIRE

LA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE DI PROBABLITA’ ;

DA CUI SI PUO’ RICAVARE LA RELATIVA DENSITA’ (OPERAZIONE DI DERIVATA).

IN PRATICA SI CONOSCETUTTA LA STATISTICA DEL I ORDINE (FUNZIONE DI

DISTRIBUZIONE E DENSITA’)

F X x t X tx t Pr

STATISTICHE DEL II ORDINE

SE SI CONSIDERANO DUE ISTANTI GENERICI , , ALLORA SI PUO’ DEFINIRE :

CHE E’ LA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CONGIUNTA TRA 2 V.A.

IN MODO ANALOGO SI POSSONO CALCOLARE LE STATISTICHE DI ORDINE

SUPERIORE A N=2 IN MODO DA CARATTERIZZARE COMPLETAMENTE IL

PROCESSO ALEATORIO. IN PRATICA, CI SI FERMA ALLA STATISTICA DI II ORDINE,

OSSIA AL CALCOLO DEI PARAMETRI CHE LA DEFINISCONO.

t1

Pr , ,x t X x t X t t1 1 2 2 1 2

F X Xx t x t1 1 2 2

1 2,

t2


,

,

,ˆ

2121

212*

1

21*

2211

2

ttRtxtxE

ttRtxtxE

ttCtxtxtxtxE

ttxtxE

tx

x

x

x

VALORE MEDIO

VARIANZA

FUNZIONE DI COVARIANZA

FUNZIONE DI CORRELAZIONE

(PROC. COMPLESSI)

FUNZIONE DI CORRELAZIONE

(PROC. REALI)


x t x t*2 2 SE I PROCESSI SONO COMPLESSI ALTRIMENTI x t*

2

STAZIONRIETA’ DI UN PROCESSO ALETORIO

DEF : LE PROPRIETA’ STATISTICHE DEL PROCESSO SONO INVARIANTI ALLE

TRASLAZIONI TEMPORALI.

ALLORA, SE IL PROCESSO E’ STAZIONARIO :

STAZIONARIETA’ IN SENSO STRETTO (S.S.S.) : OGNI STATISTICA E’ INVARIANTE

ALLE TRASLAZIONI NEL TEMPO (DIPENDE SOLO DA ).

Pr , Pr ,x t X x t X x t t X x t t X1 1 2 2 1 1 2 2

t


STAZIONARIETA’ IN SENSO LATO (S.S.L.) : SE LA STATISTICA DEL I E DEL II

ORDINE NON DIPENDONO DAL TEMPO t .

SI CONSIDERANO SOLO PROCESSI ALEATORI DEL TIPO S.S.L

SSL

x t x

R t t E x t x t R t t R t tx x x

1 2 1 2 2 1 2 1, con


SI VERIFICHI SE IL PROCESSO , CON , V.A E’ S.S.L.

V.A. GENERICA.

V.A. CON DENSITA’ UNIFORME TRA E

E INDIPENDENTI TRA LORO

E’ IMPORTANTE L’ ORDINE DI (IN PARTICOLARE NEL CASO DI PROCESSI

COMPLESSI) :

a t cos 0 a a 0 2

t t1 2,

R t t E x t x t

R t t E x t y t

x

xy

1 2 2 1

2 1 1 2

,

,

*

*

AUTOCORRELAZIONE

CROSS-CORRELAZIONE (1)

ESEMPIO 1



NEL CASO DI PROCESSI REALI, SCAMBIANDO LE VARIABILI SI HA :

CHE IN GENERE E’ DIVERSA DA (OSSIA NON E’ INVARIANTE RISPETTO ALLO

SCAMBIO DI V.A.).

NEL CASO DI PROCESSI COMPLESSI SI HA :

SE SI SCAMBIANO GLI ISTANTI TEMPORALI, SI OTTIENE :

R t t E y t x tyx 1 2 1 2,

Rxy

R t t E y t x tyx 1 2 1 2, *

R t t E y t x tyx 2 1 2 1, *


MA POICHE’ QUESTA E’ COMPLESSA CONIUGATA DELLA (1) , ALLORA :

SE SI TIENE CONTO DEL SIGNIFICATO FISICO DI TALI FUNZIONI, ALLORA :

R t t R t txy yx1 2 2 1, ,*

R t t E x t

C t t E x t x t

x

x

,

,

2

2

POTENZA DEL PROCESSO

POTENZA MENO IL VALOR MEDIO AL QUADRATO2


INOLTRE SI NOTI CHE :

• SEMPRE

• SE SONO 2 V.A. , ALLORA PER CARATTERIZZARLE E’ NECESSARIO

CONOSCERE :

• VALOR MEDIO

• VARIANZA

• COVARIANZA

R t tx , 0

x t x t1 2,

x t

var ,x t E x t x t R t t x tx

22 2

C t t E x t x t x t x t R t t x t x tx x1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, ,


SI DEFINISCE QUINDI IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE :

DOVE :

SI NOTI CHE, PER PROCESSI SSL, LA POTENZA DEL PROCESSO E’ COSTANTEMENTE

PERI AL VALORE , QUINDI :

x t x t

x

x x

R t t x t x t

R t t x t R t t x t1 2 2 2

1 2 1 2

1 1 1 2 2 2

,

, ,

R t t x tx 1 1 1

2

,

E ANALOGAMENTE PER x t2

Rx 0

x t x t

x

x

R x

R x1 2

2

20

x t1

1


ESEMPIO 2 : PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE

E’ LEGATO ALLA DISTRIBUZIONE POISSONIANA DEI PUNTI :

RICORDO CHE E’ IL NUMERO MEDIO DI PUNTI SULL’ INTERVALLO UNITARIO t

E’ UNA DENSITA’.

IN GENERALE :

Pr

!n t k e

t

kt

k

!

.Pr 121221 k

ttekttn

ktt

t


E INDIPENDENTI SE GLI INTERVALLI NON SONO SOVRAPPOSTI.

SI DEFINISCE PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE (PTC)

DOVE E’ IL NUMERO DI PUNTI NELL’ INTERVALLO (0,t).

n t t n t t1 2 3 4, ,

x tn t

n t

1

1

se e' pari

se e' dispari

n t


PARTENDO DA t=0 OVE x(t)=1, POICHE’ n(t)=0 E’ PARI, SI HANNO COMMUTAZIONI

DA +1 A -1 E VICEVERSA OGNIQUALVOLTA E’ PRESENTE UN PUNTO.

SE MANTANGO LA STESSA DENSITA’ E RIPETO L’ ESPERIMENTO OTTENGO UNA

DIVERSA SEQUENZA.

IL LORO INSIEME FORMA IL PROCESSO ALEATORIO.

SI CALCOLI IL VALOR MEDIO :

E x t x t x t 1 1 1 1Pr Pr

-1

+1

t


DOVE, ESSENDO EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI :

ANALOGAMENTE :

Pr Pr Pr Pr .....

! !.....

x t n t n t n t

e et

et

ee e

t t t

tt t

1 0 2 4

2 4

2

2 4

Pr Pr Pr ....

!....

x t n t n t

e tt

ee et t

t t

1 1 3

3 2

3


QUINDI :

LA MEDIA E’ DIPENDENTE DAL TEMPO PROCESSO NON STAZIONARIO.

SI CALCOLI LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE.

E x t e t 2

1,1Pr1,1Pr1-

1,1Pr1,1Pr1

,

2121

2121

2121

txtxtxtx

txtxtxtx

txtxEttRx


QUINDI (LEGGE DI BAYES) :

DOVE

MENTRE LA PROBABILITA’ CONDIZIONATA IMPLICA UN NUMERO PARI DI

COMMUTAZIONI NELL’ INTERVALLO .

Pr x t ee et

t t

1 12

1

1 1

Pr , Pr Pr /x t x t x t x t x t1 2 1 2 11 1 1 1 1

t t2 1


ANALOGAMENTE SI OTTIENE (RICORDANDO CHE : E ).

Pr ,x t x t

ee e

ee et

t tt t

t t t t

1 21 1

2 21

1 1

2 1

2 1 2 1

cosh xe ex x

2

2senh

xx eex

R t t e t t e t t

e t t e t t

xt t t

t t t

1 2 1 1 2 1

1 1 2 1

1 2 1

1 2 1

, cosh senh cosh

cosh senh senh


ESSENDO FUNZIONE PARI SI HA

SE SI VUOLE RENDERE IL PROCESSO STAZIONARIO, ALLORA SI CONSIDERI :

e t t t t e

e

t t t t

2 1 2 1

2 1 2 12

2

cosh senh

R t tx 1 2,

R t t ex 1 22,

y t a x t


DOVE CON UGUAL PROBABILITA’ ED INDIPENDENTEMANTE DA x(t) ALLORA :

POICHE’

IL VALOR MEDIO E’ ORA COSTANTE, MENTRE

DATO CHE

ORA IL PROCESSO E’ S.S.L.

OSS : SI NOTI CHE ORA NON ESISTE PIU’ IL VALORE PREVILEGIATO +1 NELL’ ORIGINE DEI TEMPI.

a 1

R t tx 1 2,

E y t E a E x t E a 0 0

E y t y t E ax t ax t E a R t t R t tx x1 2 1 22

1 2 1 2 , ,

E a 2 1


ESEMPIO 3 : DISTRIBUZIONE POISSONIANA

(PROCESSO TELEGRAFICO)

SI CONSIDERI LA DISTRIBUZIONE DI POISSON :

DOVE E’ LA DENSITA’, CIOE’ IL NUMERO MEDIO DI ATTRAVERSAMENTI PER LO

ZERO NELL’ UNITA’ DI TEMPO. LA PROBABILITA’ DI AVERE PUNTI IN E IN , CON E NON SONO SOVRAPPOSTI E INDIPENDENTI.

IL PROCESSO ALEATORIO SI OTTIENE FACENDO VARIARE UN SEGNALE TEMPORALE

IN RELAZIONE A TALE DISTRIBUZIONE.

R

Pr

!k punti in t e

t

kt

k

k1 t1 k2

t2 t1 t2

n t n t 1 2

V0


LA DISTRIBUZIONE DI POISSON E’ LEGATA A PROBLEMI FISICI COME I CONTEGGI

DELLE CHIAMATE TELEFONICHE, LE EMISSIONI RADIOATTIVE,CODE.

LA STATISTICA DI TALE PROCESSO x(t) E’ DATA DA :

DATO CHE PER PROCESSI REALI :

E x t

E x t x t R V ex

0

02 2

VALORE MEDIO

R R E x t x t V ex x 02 2

Rx

12

V02


OSS : VA A ZERO TANTO PIU’ RAPIDAMENTE QUANTO E’ MAGGIORE, OSSIA

POCA “MAMORIA” SE GRANDE.

OSS : SE IL PROCESSO E’ REALE E SSL LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE E’

PARI

SE IL PROCESSO E’ SSL ALLORA NON VARIA SE INCREMENTO

L’ ISTANTE t DI UNA QUANTITA’ ARBITRARIA c .

Rx

R E x t x t R E x t x tx x

Rx

R E x t c x t c

R E x t c x t R R

x

x x x

MA SE ALLORA :c


PROPRIETA’ DEI PROCESSI S.S.L. REALI

•

•

DIM :

R R funzione pari

R R con

x x

x x

0 0

E x t x t sempre

E x t E x t R

E x t E x t R

R R

x

x

x x

2

2 2

2 2

0

2 0

0

0

c.v.d

MA

ALLORA


• POTENZA DEL PROCESSO (attenzione alle unita’ di misurax(t) si può

vedere come tensione su una resistenza di 1ohm : potenza [watt]=[volt]2 /[ohm]).

LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE ESPRIME IL LEGAME CHE C’E’ TRA 2

CAMPIONI (LEGAME DI COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE) . INFATTI, SE

ALLORA :

Rx 0

E x t x 0

x t x tx

x

R

Rx

00,


QUESTA E’ LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE NORMALIZZATA

INFATTI, DATE 2 V.A. x E y , IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE VALE:

ALLORA SE E SI HA CHE :

x t x t 1

xy

xy

x y

E x x y y

E x x E y y

2 2

x x t y x t

x t x t

E x t x x t x

E x t x

2


OSSIA :

CHE SINTETIZZA LA RELAZIONE ESISTENTE TRA 2 CAMPIONI DEL SEGNALE NEL

CASO CHE , RAPPRESENTA LA MEMORIA DEL SEGNALE

NELL’ ULTIMO ESEMPIO, SI NOTI CHE LA MEMORIA SI PERDE DOPO CIRCA

QUINDI MAGGIORI LE COMMUTAZIONI NELL’ UNITA’ DI TEMPO ( ALTO) MINORE E’

LA MEMORIA DEL PROCESSO.

x t x tx

x

R x

R x

2

20

x 0 Rx 3 4

1

2


ESEMPIO :PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE

SI CONSIDERI UN PTC SIFFATTO :

TALE PROCESSO y(t) E’ IN RELAZIONE COL PRECEDENTE x(t) MEDIANTE:

ALLORA :

y t

x t

1

2

E y t

E x t

1

2

1

2

t

y(t)1

x t+1

-1


INOLTRE :

IN GENERALE, SE SI HANNO 2 PROCESSI CON E

ALLORA E

R E y t y t E x t x t Ry x 1

41 1

1

4

1

4

x t x 0 y t x t c y c R t R t cy x 2

12

Ry

12

14


ESEMPIO : PROCESSO ALETORIO COSINUSOIDALE

SI CONSIDERI :

IL PROCESSO E’ PERIODICO, INFATTI CON

QUINDI :

E x t R E ax 01

22

0 cos

x t x t t t 0 00

2

E

a

tatx cos 0V.A. QUALUNQUE

V.A. CON DENSITA’ UNIFORMA TRA 0 E 2

t

t


CIOE’ LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE DI PROCESSI PERIODICI E’

PERIODICA DI PERIODO UGUALE A QUELLO DEL PROCESSO.

QUINDI :MEMORIA PERIODICA COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE PERIODICO ”MEMORIA STRUTTURALE”

t0

Rx 1

22E a


RUMORE BIANCO

E’ UN PARTICOLARE PROCESSO ALEATORIO DOVE :

CHE NEL CASO STAZIONARIO DIVENTA :

• LA CORRELAZIONE TRA 2 CAMPIONI IN E E’ SEMPRE 0 (CAMPIONI SCORRELATI SE )

R t t q t t t q tx 1 2 1 2 1 1 0, ,

R c cx , 0

t1 t2t t1 2


• NON E’ POSSIBILE STABILIRE CON CERTEZZA LA POTENZA DEL PROCESSO ( )

• SE ALLORA TALE PROCESSO SI CHIAMA RUMORE BIANCO

• UN PROCESSO SI DICE NORMALE O GAUSSIANO SE I SUOI CAMPIONI

PRESI AD ISTANTI ARBITRARI, SONO V.A. CONGIUNTAMENTE GAUSSIANE.

Rx 0

E x t 0

x t x t x tn1 2, , ....,


PROCESSO BINARIO SEMICASUALE

SI CONSIDERI UN PROCESSO BINARIO SIFFATTO :• LE COMMUTAZIONI AVVENGONO A INTERVALLI FISSI DI LUNGHEZZA T.• I DUE VALORI SONO ASSUNTI CON UGUAL PROBABILITA’.• L’ ORIGINE DEI TEMPI COINCIDE CON UNA COMMUTAZIONE (PER TUTTE LE

REALIZZAZIONI).• IL PROCESSO E’ SENZA MEMORIA (OSSIA COMMUTAZIONI INDIPENDENTI TRA

LORO).

V0


ESEMPIO : LANCIO RIPETUTO DELLA MONETA (+V0=TESTA, -V0=CROCE).

V0

V0

V0

V0

T

t

t


SE SI CONSIDERA UN PROCESSO x(t) SIFFATTO, ALLORA :

E LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE

SI CONSIDERI E DIVIDIAMO IN DUE CASI :

1) INTERVALLI DI COMMUTAZIONE DIVERSI INDIPENDENTI

E x t 0

R t t E x t x tx 1 2 1 2,

t t2 1

t t T2 1

R t t E x t x t E x t E x tx 1 2 1 2 1 2 0,


2)

SI SCELGA E

(NEL CASO COMPLETAMENTE ARBITRARIO, SARA’ SEMPRE POSSIBILE

SCRIVERE )

QUINDI DISTA DA E DI CONSEGUENZA PUO’ TROVARSI NELLO

STESSO INTERVALLO DI COMMUTAZIONE OPPURE IN QUELLO SUCCESSIVO.

t t T2 1

t T t t1 2 10 ,

t KT t1 1*

t1*

t2 t1 t2

0 T 2T 3T t

t1 t1

t2 t2


• SE E SONO NELLO STESSO INTERVALLO, ALLORA :

• SE E SONO IN INTERVALLI ADIACENTI, ALLORA :

ALLORA LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE NON DIPENDE DA , MA

ANCHE DALLA POSIZIONE DI PROCESSO NON STAZIONARIO.

t1 t2

t1 t2

E x t x t V1 2 02

E x t x t1 2 0

t t2 1t1


ESEMPIO : PROCESSO BINARIO CASUALEPROCESSO BINARIO SIMILE A QUELLO PSEUDOCASUALE :• CADENZA FISSA T.• 2 VALORI EQUIPROBABILI• FASE CASUALE, CIOE’ LA DISTANZA DEL PIU’ VICINO ISTANTE DI

COMMUTAZIONE DALL’ ORIGINE DEI TEMPI E’ ALEATORIA (CON DENSITA’

UNIFORME). • ASSENZA DI MEMORIA TRA INTERVALLI SUCCESSIVI

V0

V0

V0

V0

T

t

tt


DATA L’ IPOTESI DI PROCESSO S.S.L., SI CALCOLI IL VALOR MEDIO E LA FUNZIONE

DI AUTOCORRELAZIONE.

•

OSSIA SI DEVONO MEDIARE I VALORI CHE IL PROCESSO ASSUME IN TUTTE LE

REALIZZAZIONI PER UN ISTANTE GENERICO.

• FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE

x E x t MEDIA DI INSIEME

x E x p xi ii 1

2

0 DATA L’ EQUIPROBABILITA’ DI V0

R E x t x tx


IL PRODOTTO PUO’ VALERE OPPURE , ALLORA

MA SE E APPARTENGONO ALLO STESSO INTERVALLO, ALLORA IL

PRODOTTO VALE

SE E NON APPARTENGONO ALLO STESSO INTERVALLO, ALLORA SI

DEVONO CONSIDERARE LE POSSIBILITA’ CONDIZIONALI (NOTARE CHE GLI

IMPULSI SONO TRA LORO INDIPENDENTI).

x t x t V02 V0

2

R V V V Vx Pr Pr02

02

02

02

t t V0

2

t t


SI RICORDA CHE :

DOVE :

E

QUINDI :

P A P B P A Bi ii /

B Sii

B Bi j 0

R t t t stesso ervallo E x t x t stesso ervallo

t t t diversi ervalli E x t x t diversi ervalli

x

Pr , int / int

Pr , int / int

S

B

B

B

B

A

i

1

2

3

S

Bi

B1

B2

B3A

….. …..

…..


SI SUPPONGA :

ALLORA E INTERVALLI DIVERSI

IN QUANTO

T t t Rx 0

Pr , int

Pr , int

t t stesso ervallo

t t diversi ervallo

E x t x t

0

1

0

E

PERCHE’ LA PROBABILITA’ DI AVERE O E’ PARI A 1/2 .V0

2 V02


EQUIVALE A TENER FISSA L’ ORIGINE E SCEGLIERE A CASO t NELL’ INTERVALLO

T (CASUALITA’ DELL’ ORIGINE).

ALLORA E STESSO INTERVALLO SE t E’ NEL SOTTOINTERVALLO

T-t t

T

Pr Pr int

Pr int

t in T t t stesso ervalloT

T

t t diversi ervalloT

,

,

////////////T

T


MA :

E x t x t stesso ervallo V

E x t x t diversi ervalli

RT

Tx

/ int

/ int

02

0

( CON UGUAL PROBABILITA’)V02

Rx V0

2

T T

T


QUINDI :

SI RICORDI CHE, PER UN PROCESSO A VALOR MEDIO NULLO, IL COEFFICIENTE DI

CORRELAZIONE TRA DUE CAMPIONI VALE :

OSSIA SI PUO’ FARE PREVISIONE SUL CAMPIONE CORRENTE A PARTIRE DA UNO

NOTO SE IL CORRENTE DISTA MENO DI T DAL CAMPIONE NOTO.

RT

TV se T

altrovex

02

0

x t x tx

x

R

R 0


AD ESEMPIO, LA STIMA LINEARE:

QUINDI SE x E y SONO DUE CAMPIONI DELLO STESSO SEGNALE ( ).

CHE E’ LA STIMA A MINIMO ERRORE QUADRATICO MEDIO (EQM).

y yy

xxy

x y

x t x t xx t x t


ESEMPIO : PROCESSO BINARIO CASUALE CONDIZIONATO

SI CONSIDERI UN PROCESSO SIFFATTO :• PROCESSO BINARI CASUALE CON CONDIZIONAMENTO DEL VALORE CORRENTE SU

QUELLO SUCCESSIVO.

CONSEGUENZA : LA MEMORIA DEL PROCESSO CAMBIA DIVERSA FUNZIONE DI

AUTOCORRELAZIONE.

SI SUPPONGA :

IN QUESTO CASO CONVIENE SCINDERE IL PROBLEMA, OSSIA CONSIDERANDO

VALORI DI VIA VIA CRESCENTI.

Pr / . Pr / . V V V V0 0 0 00 8 0 8

ISTANTE CORRENTE ISTANTE PRECEDENTE


10CASO :

ANALOGAMENTE AL CASO PRECEDENTE

INFATTI :

0 T

Pr , int ; / int

Pr , int ; / int

t t stesso ervalloT

TE x t x t stesso ervallo V

t t diversi ervalliT

E x t x t diversi ervalli

02

0

x(t) x(t+) x(t) x(t+) PROBABILITA’

0.5x0,8=0.4

0.5x0.2=0.1

0.5x0.2=0.1

0.5x0,8=0.4

V0

V0

V0

V0

V0

V0

V0

V0

V02

V02

V02

V02


ALLORA :

QUINDI :

ORA PER =T , IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE NON E’ NULLO, QUINDI E’

POSSIBILE FARE PREVISIONE

E x t x t ervalli adiacenti

V V V V V

/ int

. . . . .

0 4 01 01 0 4 0 602

02

02

02

02

RT

TV

TV Tx

0

2020 6 0.

Rx

V02

0 6 02. V

T


20CASO :

ORA t E t+ POSSONO APPARTENERE A INTERVALLI ADIACENTI OPPURE NON

ADIACENTI.

INTERVALLI ADIACENTI t IN 2T- (\\\\\\\\)

INTERVALLI NON ADIACENTI t IN -T (||||||)

T T 2

\\\\\\\\\\\\ ||||||||||

2T

T2T


ALLORA :

DOVE :

E

R t t ervalli adiacenti E x t x t ervalli adiacenti

t t ervalli non adiacenti E x t x t ervalli non adiacenti

x

Pr , int / int

Pr , int / int

Pr , int

/ int .

t t ervalli adiacentiT

T

E x t x t ervalli adiacenti V

2

0 6 02

Pr , intt t ervalli non adiacenti

T T

T

T

T

2


SI RICAVA

CON UN GRAFO :

AD ESEMPIO, SE ALLORA LA PROBABILITA’ CHE E’

0.8x0,8+0.2x0.2=0.68 E CHE

E ANALOGAMENTE PER .

E x t x t ervalli non adiacenti int

x t VV

V

V

VV

V

0

0

0

0

0

0

0

0.8

0.2

0.8

0.8

0.2

0.2

x t V 0 x t V 0

x t V 0

V0


COSI’ ALL’ AUMENTARE DI ,LA MEMORIA DIMINUISCE.

QUINDI :

E x t x t

V V V V V

/

. . . . .

intervalli non adiacenti

1

20 68 0 32 0 32 0 68 0 360

202

02

02

02

Rx

V02

-2T -T T 2T

60%36%


OSS. : SI NOTI CHE LA CONDIZIONE

OSSIA UNA MEMORIA CHE IMPONE PIU’ PROBABILI CAMBI DI SEGNI,

SI OTTERRA’

P V V P V V 0 0 0 0 0 2/ / .

T

2T

3T

Rx

V02


ESEMPIO : PROCESSO MULTILIVELLO CASUALE

SI CONSIDERI UN PROCESSO SIFFATTO :

OSSIA :• UNA SERIE DI IMPULSI RETTANGOLARI DI DURATA T.• AMPIEZZA MULTIPLA DI V E SIMMETRICA RISPETTO ALLO ZERO MEDIA

NULLA.• LIVELLI EQUIPROBABILI E INDIPENDENTI TRA INTERVALLI SUCCESSIVI• N=2M LIVELLI.

x t K V K M , ,2,...., 1

V


FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE :

MA (COME NEL CASO DI PROCESSI CASUALI SENZA MEMORIA)

R E x t x t

P t t E x t x t

P t t E x t x t

x

, /

, /

stesso intervallo stesso intervallo

intervalli diversi intervalli diversi

E x t x t

P t tT

T

E x t x tM

K VK

M

/

,

/

intervalli diversi

stesso intervallo

stesso intervallo

0

1 2 2

1

POICHE’ INTERVALLI EQUIPROBABILI


POICHE’ :

CON PROBABILITA’ 1/M.

SI NOTI CHE LA MEDIA RAPPRESENTA ANCHE LA POTENZA DEL SEGNALE,

QUINDI :

x t x t K V 2 2 SEMPRE

E x t2

RT

T MK V Tx

K

M

1 2 2

1

Rx

-T +T

1 2 2

1MK V

K

M

NEL CASO DI DUE PROCESSI E SI PUO’ CALCOLARE LA FUNZIONE DI

CROSS-CORRELAZIONE CHE ESPRIME LA DIPENDENZA TRA I DUE PROCESSI.

x t y t


ESEMPIO : PROCESSO ALEATORIO COMPLESSO

QUESTO PROCESSO E’ UNA ASTRAZIONE CHE SERVE PER RAPPRESENTARE

PROCESSI REALI .

• V.A. AVENTI MEDIA NULLA

• MEDIA DEL PROCESSO

x t a eii

j ti

ai

E a i

E a a E a

i

i j i i

0

0 2 2

,

E SCORRELATE E VARIANZA

x t E x t 0


• FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE :

E’ SSL.

R t t E x t x t

E a e a e

E a a e

R t t e R t t

x

ij t

kj t

ii

i kki

x ij t t

xi

i k

j it j k t

i

1 2 1 2

1 22

2 1

1 2

1 2

1 2

,

, ,

*

*


PROCESSI ALEATORI E STAZIONARI

• LA CONOSCENZA DI E E’ SUFFICIENTE PER TROVARE• IL PROBLEMA E’ ANALOGO AL CASO DELLA DEFINIZIONE DI UNA V.A. y DATA

LA V.A. x E LA RELAZIONE • SI TRATTERANNO SOLO SISTEMI LTI . CARATTERIZZATI DALLA RISPOSTA

ALL’ IMPULSO O ANALOGAMENTE

x t

y t

h t

H

y t

h t

y g x

H

h t

x t


ESEMPIO DI SISTEMI NON LTI :

y

x

a

a

x

y

QUADRATORE

g x ax a 2 0 ,

HARD LIMITER

g xa x

a x

per

per

0

0


SE E’ NOTO E STAZIONARIO, ALLORA SI CONOSCE IL VALORE MEDIO

E LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE ,

QUINDI IL VALOR MEDIO DI E’:

x t x Rx

y t

E y t E x h t d x h t d

x h t dt xH y

=

0


LA FUNZIONE DI CROSS-CORRELAZIONE :

LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE :

R E x t y t E x t h x t d

E x t x t h d R h d R h R

xy

x x xy

R E x h t d y t h t E x y t d

h t R t d

y

xy


SE SI EFFETTUA IL CAMBIO DI VARIABILE ALLORA :t d d

2* fHfSfHfHfSfSRhhR

hRdRhR

dRhR

XXYyx

xyxyy

xyy

CON UN ULTERIORE CAMBIO d d


ESEMPIO (FUNZIONE DI CROSS-CORRELAZIONE)SE SI HA UN SISTEMA LTI CON SCONOSCIUTA, ALLORA PONENDO IN INGRESSO

UN RUMORE BIANCO CON

h t R cx

h t

H

x t CORRELATORE

y t

x t

Rxy

E CON LO SCHEMA DI FIGURA OTTENGO :

OSSIA LA RISPOSTA ALL’ IMPULSO DEL SISTEMA (A MENO DI UNA COSTANTE)

R R h c h c hxy x


ESEMPIO (FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE)SI CONSIDERI UN INTEGRATORE IDEALE (PASSA-BASSO), CON IN INGRESSO UN

RUMORE BIANCO :

h t

H

y t x t

RUMORE BIANCO

1 t Rx


h t

t

h t

t

T0

T0

Ry

T0 T0

a T20

a

a

DOVE : R h hy

SI OSSERVI CHE :

R a T a d h d

E y t y t R

y

T

y

0

0

20

2 2

0

0

E’ L’ ENERGIA DELLA RISPOSTA ALL’ IMPULSO DEL FILTRO

PROCESSI ALEATORI

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