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Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13

502 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan

Esempio di Processo Aleatorio – La passeggiata casuale Per ogni kT si genera una v.a. Y Bernoulliana con ( ) ( )AAP P 0.5= = Se { } ( ){ }Y X kT X k 1TA 1= ⇒ = − + k 1,2,...= { }X 0 0= { } ( ){ }Y X kT X k 1TA 1= ⇒ = − − k 1,2,...= { }X 0 0=

A A AAAAAAA A AAA AAAAA

1



Esempio di Processo Aleatorio – La passeggiata casuale Simulazione

0 100 200 300 400 500 600-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

tempo

X(t

)

Passeggiata casuale




0 100 200 300 400 500 600-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

tempo

X(t

)

Passeggiata casuale



Spettro della “passeggiata casuale”

Pendenza di 20 dB per decade

10-2

10-1

100

-30

-20

-10

0

10

20

30

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Pow

er/fr

eque

ncy

(dB

/rad

/sam

ple)

Power Spectral Density Estimate via Burg



Rumore Bianco: forma d’onda (nel tempo)



Rumore Bianco: Spettro (in frequenza)



Rumore Rosa o In acustica si definisce rumore rosa o rumore 1/f un particolare

tipo di rumore in cui le componenti a bassa frequenza hanno potenza maggiore, a differenza del rumore bianco in cui la potenza è uguale per qualsiasi frequenza.

o Questo tipo di rumore è strutturato in modo tale da compensare la

sensibilità dell'orecchio umano alle varie frequenze, e viene utilizzato per l'equalizzazione del suono in ambito professionale.



Rumore Rosa: Forma d’onda (nel tempo)



Rumore Rosa: Spettro (in frequenza)



Esempio di Processo Aleatorio – Il rumore nel clock GGeenneerraazziioonnee ddii uunn rriiffeerriimmeennttoo tteemmppoorraallee ssttaabbiillee

⇓ OOsscciillllaattoorrii ee CClloocckk

⇓ Fluttuazioni dell’oscillatore:

o Fluttuazioni sistematiche: principali cause di divergenza dal “vero” tempo e dalla “vera” frequenza nel lungo periodo (giorni od anni)

o Fluttuazioni random: osservate sul breve periodo (frazioni di secondo o minuti)

⇓ o La tensione d’uscita di un oscillatore di precisione reale

non è una sinusoide perfetta a frequenza nominale ν0 a causa del rumore.



GGeenneerraazziioonnee ddii uunn rriiffeerriimmeennttoo tteemmppoorraallee ssttaabbiillee

o L’instabilità in frequenza è “il cambiamento di frequenza spontaneo e/o causato dall’ambiente, all’interno di un determinato intervallo di tempo”.

o Le fluttuazioni in frequenza corrispondono a fluttuazioni nel tempo. Per caratterizzare le fluttuazioni si definisce la deviazione di frequenza frazionaria rispetto al valore nominale ν0:

( ) ( ) 0

0

ty t

ν νν−

= (numero puro)

integrando si ottiene la deviazione del tempo ( )x t , in secondi:

( ) ( ) [ ]t

0x t y t' dt', s= ∫

( ) ( )( ) ( )[ ]0 0 0V t V sin 2 t x t V sin tπ ν= ⋅ + = Φ⎡ ⎤⎣ ⎦



Deviazione del tempo

E’ dovuta alla somma di un contributo sistematico e di uno random: ( ) ( ) ( )sist .x t x t tε= +

o Fluttuazioni sistematiche:

( ) ( ) ( ) 2sist

1x t x 0 y 0 t Dt termini di ordine superiore (trascurati )2

= + + +

con: ( )x 0 offset nel tempo

( )y 0 offset in frequenza

D drift in frequenza (dovuto a fattori come l’invecchiamento, i cambiamenti nell’ambiente e altri fattori esterni all’oscillatore)



Fluttuazioni frazionarie dell’oscillatore nel tempo

o Fluttuazioni random: Sono dovute essenzialmente a:

Rumore di Johnson (fluttuazioni di carica indotte

dall’agitazione termica);

Difetti del cristallo, il rumore dovuto ai circuiti dell’oscillatore

(elementi passivi e attivi);

Vibrazioni casuali.



Stabilità di un oscillatore: accuratezza e precisione

Preciso manon accurato

Non accuratoe non preciso

Accurato manon preciso

Accurato epreciso

Tempo TempoTempoTempo

Stabile manon accurato

Non stabile enon accurato

Accurato(in media)

ma non stabileStabile eaccurato

0

f fff

Preciso manon accurato

Non accuratoe non preciso

Accurato manon preciso

Accurato epreciso

Tempo TempoTempoTempo

Stabile manon accurato

Non stabile enon accurato

Accurato(in media)

ma non stabileStabile eaccurato

0

f fff



Processi Aleatori

Definizione:

Un processo aleatorio è una corrispondenza ( )X t,ζ tra le funzioni (reali) di

una variabile indipendente t (normalmente t è il tempo) e gli elementi ζ

dello spazio campione S , cioè i risultati di un definito esperimento.

Notazione:

Un processo aleatorio è anche indicato con ( )X t .

Realizzazione di un Processo:

( )X t,ζ pensata come funzione di t è una realizzazione del processo.



Processi Aleatori Complessi

Definizione:

Un processo aleatorio complesso ( )Z t è definito come:

( ) ( ) ( )Z t X t jY t= +

in cui ( )X t e ( )Y t sono due processi reali.



Esempio di Processo Aleatorio Reale

( ) ( )X t Acos 2 ft Y= π +

dove: f ed A sono due numeri reali positivi (costanti);

Y è una variabile aleatoria compresa tra 0,2π.

Il processo ( )X t descrive la famiglia di funzioni cosinusoidali con ampiezza

A e frequenza f fissate e fase iniziale variabile Y . Per A 1= :

( )cos 2 ft Yπ +

0

1

-1

Y=0Y=Y1

Y=Y2

t

cos 2 ft Yπ +



Uguaglianza tra Processi

• Due processi ( )X t e ( )Y t sono eguali in senso quadratico se:

( ) ( ) 2E X t Y t 0 t⎡ ⎤− = ∀⎣ ⎦

• Due processi ( )X t e ( )Y t sono eguali in senso stretto (ovunque) se:

( ) ( )X t, Y t , t , ζ = ζ ∀ ∀ζ



Classificazione dei Processi

Si definiscono quattro tipi di processi in base a:

• l’insieme dei valori assunti dal processo;

• il dominio della variabile indipendente t .

1. Processi Aleatori tempo-continui a valori continui;

2. Processi Aleatori tempo-continui a valori discreti;

3. Processi Aleatori tempo-discreti a valori continui;

4. Processi Aleatori tempo-discreti a valori discreti.



Processo aleatorio tempo-continuo a valori continui, caso (1)

0 t

1

2

3

4

x t, ( )i



Processo aleatorio tempo-continuo a valori discreti, caso (2)

t

t

t

0

0

0

x t ( )

x t ( )

x t ( )

n+2

n+1

n

ζ1

ζ2

ζ3



Processo aleatorio tempo-discreto a valori continui, caso (3)

k

k

k

0 1 2

1 2

n 2x k+

n 1x k+

nx k

ζ1

ζ2

ζ3

,t k t t passo di campionamento= Δ Δ = .



Processo aleatorio tempo-discreto a valori discreti, caso (4)

k

k

k

0 1 2

1 2

n 2x k+

n 1x k+

nx k

ζ1

ζ2

ζ3

,t k t t passo di campionamento= Δ Δ = .



Riduzione di un Processo Aleatorio

Un Processo aleatorio si riduce ad uno dei casi seguenti:

o Se si fissa 0ζ = ζ , si ha un campione (o realizzazione o funzione

membro) di ( )X t , indicato con ( )0x t ,ζ o ( )0x t o semplicemente ( )x t ,

cioè una funzione (reale se il processo è a valori reali) del tempo.

o Se si fissa 0t t= , si ha la variabile aleatoria ( )0X t ,ζ o ( )X ζ o

semplicemente X .

o Se si fissano 0t t= e 0ζ = ζ , si ha il numero ( )0 0x t ,ζ .



Processi Regolari e Processi Predicibili • Un processo regolare ha realizzazioni non predicibili, cioè noti i valori

passati del processo non è possibile predirne i valori futuri.

• Un processo regolare non è esprimibile in forma analitica, ma le sue

realizzazioni possono essere rappresentate in forma grafica.

0 t

, 1x t ς

, 2x t ς

, 3x t ς

Esempio di un processo regolare (moto Browniano).



Processi Regolari e Processi Predicibili (segue)

• In un processo predicibile ( )X t (detto anche quasi deterministico) i

valori di una realizzazione ( )iX t ,ζ per *t t> , sono noti se si conoscono

i valori di quella realizzazione per *t t< .

• La conoscenza di una realizzazione ( )iX t ,ζ non permette in generale

di ricavare le statistiche ( )0X t ,ζ del processo con 0t assegnato.



Processi Regolari e Processi Predicibili (segue) Un esempio di processo predicibile è:

( ) ( )X t Asin 2 ft= π +Φ

in cui A e Φ sono due variabili aleatorie.

Le sue realizzazioni sono completamente note per *t t> se si conosce il

loro andamento per *t t< .

0 t

x t( , )



Gerarchie di un Processo Aleatorio

Da ogni processo si può “estrarre” un insieme di variabili aleatorie in alcuni

istanti di tempo:

( )1 2 3 nt ,t ,t ,...,t ,...

( )1 1X X t ,= ζ , ( )2 2X X t ,= ζ , ( )3 3X X t ,= ζ , … , ( )n nX t ,ζ , …

Gerarchia del 1° ordine:

Assegnato t , ogni v.a. ( )X X t,= ζ o semplicemente ( )X t è caratterizzata

dalla propria distribuzione di probabilità:

( ) ( ){ },XF x t P X t x= ≤

che è detta distribuzione (o gerarchia) del 1° ordine del processo.



Gerarchie di un Processo Aleatorio (segue)

La derivata:

( ) ( )X

F x,tf x,t

x∂

=∂

è la funzione di densità del primo ordine del processo.

Gerarchia del 2° ordine:

La funzione di distribuzione congiunta

( )1 2X X 1 2 1 2F x ,x ;t ,t

ottenuta campionando il processo in due istanti di tempo 1 2t ,t è detta

distribuzione (o gerarchia) del 2° ordine.



Gerarchie di un Processo Aleatorio (segue) La densità del 2° ordine è:

( ) ( )1 2

1 2

2X X 1 2 1 2

X X 1 2 1 21 2

F x ,x ;t ,tf x ,x ;t ,t

x x∂

=∂ ∂

Gerarchia di ordine n:

Si possono definire analogamente la distribuzione e la densità di ordine n

considerando le v.a. estratte in n istanti temporali:

( )1 2 nX X X 1 2 n 1 2 nF x ,x ,...,x ;t ,t ,...,t⋅⋅⋅

( )1 2 nX X X 1 2 n 1 2 nf x ,x ,...,x ;t ,t ,...,t⋅⋅⋅

Dalla gerarchia di ordine n si possono ricavare le distribuzioni di ordine

inferiore per integrazione.



Descrizione Statistica di un Processo Aleatorio

• La conoscenza della distribuzione di ordine n comunque elevato

equivale alla conoscenza completa del modello probabilistico del

processo.

• In molti casi ci si limita a valori attesi relativi alla distribuzione del 1° e

del 2° ordine.

• Dalle distribuzioni del primo e del secondo ordine è possibile ricavare

alcuni momenti di particolare interesse: la media, l’autocorrelazione e

l’autocovarianza del processo.



Descrizione Statistica di un Processo Reale • Media

( ) ( ) ( )Xt E X t x f x;t dx+∞

−∞⎡ ⎤η = = ⋅⎣ ⎦ ∫

In generale la media risulta funzione di t .

• Autocorrelazione

( ) ( ) ( ) ( ), , ; ,1 2X 1 2 1 2 1 2 X X 1 2 1 2 1 2R t t E X t X t x x f x x t t dx dx

+∞ +∞

−∞ −∞⎡ ⎤= ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ∫ ∫

• Potenza Media

( ) ( ),2XE X t R t t⎡ ⎤ =⎣ ⎦



Descrizione Statistica di un Processo Reale (segue)

• Autocovarianza (o brevemente Covarianza)

( ) ( ) ( ) ( )X 1 2 X 1 2 1 2C t ,t R t ,t t t= −η η

• Coefficiente di Correlazione

( )( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1 1 2 2

1 2 2 21 1 2 2

E X t t X t tr t ,t

E X t t E X t t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−η −η⎣ ⎦ ⎣ ⎦=⎡ ⎤ ⎡ ⎤−η ⋅ −η⎣ ⎦ ⎣ ⎦

che si può scrivere come

( ) ( ) ( )X 1 2 X 1 2 1 21 2

1 2 1 2

C t ,t R t ,tr t ,t

−η η= =

σ σ σ σ



Descrizione Statistica di due Processi Reali

• Mutua Correlazione tra due processi reali

( ) ( ) ( )XY 1 2 1 2R t ,t E X t Y t⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦

• Mutua Covarianza tra due processi reali

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }XY 1 2 1 X 1 2 Y 2C t ,t E X t t Y t t⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −η ⋅ −η =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )1 2 X 1 Y 2E X t Y t t t⎡ ⎤= −η η⎣ ⎦



Processi Ortogonali e Processi Incorrelati

Definizione:

Due processi ( )X t e ( )Y t sono detti (mutuamente) ortogonali se:

( )XY 1 2 1 2R t ,t 0 t ,t= ∀

Definizione:

Due processi ( )X t e ( )Y t sono detti incorrelati se:

( )XY 1 2 1 2C t ,t 0 t ,t= ∀



Indipendenza Statistica di Processi

Due processi ( )X t e ( )Y t si dicono statisticamente indipendenti se le

variabili aleatorie

( ) ( ) ( )1 2 NX t , X t ,..., X t

sono indipendenti dalle variabili aleatorie

( ) ( ) ( )1 2 MY t ,Y t ,...,Y t′ ′ ′

per qualunque insieme dei tempi

1 2 N 1 2 Mt ,t ,...,t ; t ,t ,...,t′ ′ ′



Il Concetto di Stazionarietà

Stazionarietà in Senso Stretto

Un processo aleatorio ( )X t è detto “stazionario in senso stretto” se la sua

densità di probabilità di qualsiasi ordine è invariante rispetto ad una

traslazione dell’origine:

( ) ( )X 1 2 N 1 2 N X 1 2 N 1 2 Nf x ,x ,..,x ;t ,t ,..,t f x ,x ,...x ;t c,t c,..,t c= + + +

per ogni N e per ogni c .

Stazionarietà di ordine M Un processo è stazionario di ordine M se l’invarianza rispetto ad una

traslazione dell’origine si verifica solamente fino all’ordine M .



Il Concetto di Stazionarietà (segue)

Se un processo ( )X t è stazionario di “ordine uno”, il suo valore atteso non

dipende dal tempo:

( )E X t t⎡ ⎤ = η ∀⎣ ⎦

Infatti se

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

X 1 X 1

1 X 1

1 X 1

X 1 1

f x;t f x;t c c

E X t x f x;t dx

E X t c x f x;t c dx

x f x;t dx E X t

+∞

−∞+∞

−∞+∞

−∞

= + ∀

⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦

⎡ ⎤+ = ⋅ + =⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⋅ = ⎣ ⎦

∫∫

∫




Per un processo ( )X t stazionario di “ordine due” si ha:

( ) ( )X 1 2 1 2 X 1 2 1 2f x ,x ;t ,t f x ,x ;t c;t c c= + + ∀

Di conseguenza oltre all’invarianza del valore atteso si ha

( ) ( ) ( )

( )

( )( )

X 1 2 1 2

1 2 X 1 2 1 2 1 2

1 2 X 1 2 1 2 1 2

X 1 2

R t c,t c E X t c X t c

x x f x ,x ;t c,t c dx dx

x x f x ,x ;t ,t dx dx

R t ,t

+∞ +∞

−∞ −∞+∞ +∞

−∞ −∞

⎡ ⎤+ + = + ⋅ + =⎣ ⎦

= ⋅ + + =

= ⋅ =

=

∫ ∫∫ ∫

cioè la autocorrelazione non dipende dal valore di 1t e 2t ma solamente

dalla loro differenza.




Stazionarietà in Senso Lato

Un processo aleatorio ( )X t è stazionario in “senso lato” se:

( )E X t t⎡ ⎤ = η ∀⎣ ⎦

( ) ( )X XR t ,t R t+ τ = τ ∀

cioè se il valore atteso del processo è costante e l’autocorrelazione dipende

solo dalla differenza dei tempi 2 1t tτ = − .



Rumore Bianco

Si dice Rumore Bianco un processo ( )X t tale che:

• ( )E X t 0⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ;

• presi due istanti 1t e 1t + τ, le variabili aleatorie ( )1X t e ( )1X t + τ sono

incorrelate per 0τ ≠ , cioè:

( ) ( ) ( )X 1 1 1R t ,t q t+ τ = δ τ

dove ( )1q t è una funzione non negativa e ( )tδ è l’impulso di Dirac.

In termini intuitivi, la funzione impulsiva di Dirac vale 0 per 0τ ≠ e vale ∞

per 0τ = ed ha area unitaria.



Rumore Bianco (segue)

Se ( )X t è stazionario, la proprietà delle funzioni di autocorrelazione del

rumore bianco si riduce a:

( ) ( )XR Kτ = ⋅δ τ

dove K è una costante.

In pratica un tale processo (avente potenza infinita) non esiste nella realtà

fisica, tuttavia questo modello costituisce una utile schematizzazione di

numerosi processi aleatori.




( ) ( )0N

NR2

τ δ τ= ( ) 0N

NS 2

ω ω= ∀

0 0

S ( )R ( )NNNN

N /2 N /20

0

(a) (b)




Possibili Autocorrelazioni di processi che approssimano il rumore bianco.

XR τ

XR τ

1 0

0

1

11



Rumore Bianco a banda limitata

( )N

P WWS0 W

π ωω

ω

⎧ ≤⎪= ⎨⎪ >⎩

( ) ( )N

sin WR P

Wτ

ττ

=



Realizzazione di un rumore bianco

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

tempo (sec)

Am

piez

zaRumore Bianco



Spettro del rumore bianco

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-60

-40

-20

0

20

40

Frequenza (kHz)

Spr

etto

di D

ensi

tà d

i Pot

enza

Rumore Bianco



Il Concetto di Stazionarietà Congiunta

Definizione:

Data una coppia di processi:

( )X t e ( )Y t

essi si dicono congiuntamente stazionari (in senso stretto o di ordine n) se

le loro densità di probabilità congiunte sono invarianti rispetto alla

traslazione (rispettivamente per qualunque ordine e fino all’ordine n).

Un processo complesso:

( ) ( ) ( )Z t X t jY t= +

è stazionario se lo sono congiuntamente i processi ( )X t e ( )Y t .



Il Concetto di Ciclostazionarietà

A volte l’invarianza rispetto alla traslazione si può avere, non per qualunque

spostamento, ma quando ci si sposta di multipli di un intervallo T , cioè:

( ) ( )X 1 2 N 1 2 N X 1 2 N 1 2 Nf x ,x ,..,x ;t ,t ,..,t f x ,x ,...x ;t T ,t T ,..,t T= + + +

In questo caso si parla di Processo Ciclostazionario.

Se da un processo ciclostazionario di periodo T si deriva per

campionamento con passo T un processo tempo-discreto, questo risulta

stazionario.



Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione

Simmetria Hermitiana:

Considerando per generalità il caso di un processo complesso stazionario,

la sua funzione di autocorrelazione gode della proprietà di simmetria

coniugata (detta anche hermitiana), cioè:

( ) ( ) ( )*XR E X t X t⎡ ⎤τ = + τ⎣ ⎦ ( ) ( )*

X XR R−τ = τ

Infatti

( ) ( ) ( )*XR E X t X t⎡ ⎤−τ = − τ⎣ ⎦

con il cambio di variabile z t= − τ diviene

( ) ( ) ( ) ( )* *X XR E X z X z R⎡ ⎤−τ = + τ = τ⎣ ⎦



Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue)

Analogamente per la correlazione mutua vale la proprietà di simmetria

hermitiana:

( ) ( ) ( )*XYR E X t Y t⎡ ⎤τ = + τ⎣ ⎦ ( ) ( )*

XY YXR R−τ = τ

Infatti con il cambio di variabile z t= − τ, si ha

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

*XY

*

*YX

R E X t Y t

E Y z X z

R

⎡ ⎤−τ = − τ =⎣ ⎦⎡ ⎤= + τ =⎣ ⎦

= τ




Proprietà dell’Autocorrelazione nell’Origine:

La funzione di autocorrelazione nell’origine è:

( ) ( ) ( ) ( ) 2*XR 0 E X t X t E X t 0⎡ ⎤⎡ ⎤= = >⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )X XR R 0τ ≤

per dimostrare quest’ultima relazione si fa uso della disuguaglianza (valida

per la coppia di v.a. complesse Z ,W ):

[ ] 2 2 2E ZW E Z E W⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦




Proprietà dell’Autocorrelazione nell’Origine:

Ponendo ( )*Z X t= e ( )W X t= + τ

si ottiene

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2*E X t X t E X t E X t⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ τ ≤ ⋅ + τ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ovvero

( ) ( ) ( )2X X XR R 0 R 0τ ≤ ⋅

e quindi

( ) ( )X XR R 0τ ≤




Periodicità della Funzione di Autocorrelazione:

Per un processo reale ( )X t , se ( ) ( )X 1 XR R 0τ = allora la funzione di

autocorrelazione è periodica di periodo 1τ .

Verifica:

Applicando ancora la diseguaglianza

[ ] 2 2 2E ZW E Z E W⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

in cui

( ) ( )1Z X t X t= + τ+ τ − + τ

( )W X t=





si ottiene:

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ){ }

21

2 21

E X t X t X t

E X t X t E X t

⎡ ⎤+ τ+ τ − + τ ≤⎣ ⎦

⎡ ⎤≤ + τ+ τ − + τ ⋅⎣ ⎦

ovvero

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2X 1 X X X 1 XR R 2R 0 2R R 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤τ + τ − τ ≤ − τ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Se ( ) ( )X 1 XR R 0τ = il secondo membro della diseguaglianza è nullo e

quindi deve risultare ( ) ( )X 1 XR Rτ + τ = τ .





Si può ripetere la dimostrazione con 1mτ invece di τ (m intero):

( ) ( )X 1 XR m Rτ + τ = τ

la funzione di autocorrelazione è periodica con periodo 1τ .

• Se risulta ( ) ( ) ( )1 2R R R 0τ = τ = e 1τ , 2τ sono incommensurabili (cioè il

loro rapporto è un numero irrazionale) allora la funzione di

autocorrelazione è costante.




Se il processo ( )Z t è complesso e si verifica

( ) ( )Z 1 ZR R 0τ =

allora la funzione di autocorrelazione di ( )Z t ha la forma:

( ) ( ) ( )Z Z 0R R 0 exp jτ = ⋅ ω τ

cioè è un esponenziale complesso di ampiezza ( )ZR 0 .



Esempio: Somma di esponenziali complessi Se il processo X(t) è la somma di n esponenziali complessi, pesati

medianti n coefficienti aleatori Ai, tra loro scorrelati, con media

nulla e varianza 2iσ :

( ) i

nj t

ii 1

X t A e ω

=

= ⋅∑



La funzione di autocorrelazione è:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

ki

i k k

i i i

n nj tj t* *

i ki 1 k 1

n nj t j

i ki 1 k 1n n n

2 j j j2 f2 2i i i

i 1 i 1 i 1

R E X t X t E A e A e

E A A e e

E A e e e

ω τω

ω ω ω τ

ωτ ωτ π τ

τ τ

σ σ

+−

= =

− −∗

= =

= = =

⎡ ⎤⎡ ⎤= + = =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= =⎣ ⎦

⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

∑ ∑

∑∑

∑ ∑ ∑

Lo spettro è quindi: ( ) ( )2i i

i

S f f fσ δ= ⋅ −∑ , cioè costituito da n

righe nei punti fi.



Ergodicità Il concetto di Ergodicità è connesso alla situazione, che spesso si presenta,

nella quale si desiderano stimare delle statistiche di un processo, avendo a

disposizione una sola realizzazione ( )X t,ζ del processo stesso.

Un esempio è fornito dalla stima del valore atteso ( )E X t⎡ ⎤⎣ ⎦ per la quale ci

si chiede se si può utilizzare la media temporale:

( ) ( ) ( )T2

T2

TT T

1X lim X t, dt lim XT

+

→∞ →∞−ζ = ζ ζ∫



Ergodicità (segue)

L’uso della media temporale estesa ad un intervallo al limite infinito

presenta diversi problemi:

a) Sotto quali condizioni esiste il limite di X per t →∞ ?

b) Se questo limite esiste, esso dipende in generale dalla particolare

realizzazione: ( )X X= ζ . Sotto quali condizioni esso è invece

costante ?



Ergodicità (segue) Teorema di Birkhoff

Se il processo ( )X t è stazionario e ( ){ }E X t < ∞ , allora X esiste per

“quasi tutte” le sue realizzazioni.

(Questo significa che X può non esistere per realizzazioni con probabilità

nulla).

Definizione di Ergodicità:

Un processo stazionario ( )X t è ergodico se le sue medie di insieme (medie

statistiche) sono uguali ad opportune medie temporali.

• Ogni statistica di un processo ergodico può essere calcolata da una

singola realizzazione.



Ergodicità (segue) Calcolo della media statistica

( )E X t⎡ ⎤⎣ ⎦

Dato un processo ( )X t con valor medio ( )E X t⎡ ⎤ = η⎣ ⎦ costante, si forma la

media temporale TX calcolata su un intervallo di ampiezza T :

( )T2

T2

T1X X t dtT

+

−= ∫

[ ] ( )T2

T2

T1E X E X t dtT

+

−⎡ ⎤= = η⎣ ⎦∫



Ergodicità (segue)

Ergodicità rispetto alla media:

Il processo ( )X t è ergodico rispetto alla media se, con “probabilità 1” si ha:

( )T2

T2

TT T

1lim X lim X t dtT

+

→∞ →∞ −= ∫

cioè se la media temporale coincide con il valore atteso del processo.

Ciò e vero se e solo se la varianza della media temporale

[ ]2T TVar Xσ =

tende a zero per T che tende a infinito: 2TT

lim 0→∞

σ =



Ergodicità (segue) Ergodicità rispetto alla correlazione:

Un processo stazionario in senso lato ( )X t è ergodico rispetto alla

correlazione se la sua autocorrelazione:

( ) ( ) ( )XR E X t X t⎡ ⎤τ = + τ⎣ ⎦

può essere ricavata da una singola realizzazione.

Se si considera il processo ( ) ( ) ( )Z t X t X tτ = ⋅ + τ il processo ( )X t risulta

ergodico rispetto alla correlazione se ( )Z tτ è ergodico rispetto alla media.

Infatti in questo caso si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+T / 2

XT T / 2

1lim X t X t dt E X t X t RT→∞ −

⎡ ⎤⋅ + τ = + τ = τ⎣ ⎦∫

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