Identidades trigonometricas
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Objetivos:
Identificar las identidades trigonométricas fundamentales.
Aplicar las identidades fundamentales, en la demostración y simplificación de expresiones trigonométricas.
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES A PARTIR DEL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO UNITARIO
Fichas con las que se demostraran las identidades trigonométricas.
x
r=1
𝜃y 𝑠𝑒𝑛𝜃=
𝑦1
=𝑦 𝑐𝑠𝑐 𝜃=1𝑦
𝑐𝑠𝑐 𝜃=1
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃=1𝑥
𝑠𝑒𝑐𝜃=1
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑥1=𝑥
Utilizando el teorema de pitágoras
=1 = 1
𝑡𝑎𝑛𝜃=𝑦𝑥 𝑡𝑎𝑛𝜃=
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑡 𝜃=𝑥𝑦 𝑡𝑎𝑛𝜃=
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑡𝑎𝑛𝜃=1
𝑐𝑜𝑡 𝜃
𝑐𝑜𝑡 𝜃=1
𝑡𝑎𝑛𝜃
Las relaciones deducidas anteriormente reciben el nombre de identidades trigonométricas fundamentales, y son las fichas con las cuales vamos a jugar para simplificar expresiones trigonométricas y demostrar identidades trigonométricas.
DEFINICIÓN: Una identidad trigonométrica es una igualdad que se cumple para cualquier valor del ángulo.
DEMOSTRAR una identidad es un proceso de comprobar si una identidad es realmente una identidad, para lo cual se hacen transformaciones, se usan las identidades fundamentales.
SIMPLIFICAR una expresión trigonométricas consiste en convertir la expresión original en otra más simple y elemental.
CONSEJOS AL DEMOSTRAR:
1. Algunas veces, conviene expresar las funciones en términos de seno y coseno.
2. También, realizar operaciones aritméticas y algebraicas(factorización y/o simplificación).
3. Ó utilizar algún artificio si es necesario.
4. Trabajar con el miembro más complejo para convertirlo en el otro.
DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜1 :𝐷𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 9𝑠𝑒𝑐2𝜃−5 𝑡𝑎𝑛2𝜃=5+4 𝑠𝑒𝑐2𝜃Demostración , ya que
, destruyendo paréntesis
Reduciendo términos semejantes
Ordenando
Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica
ejemplo 2: demuestre la siguiente identidad trigonométrica
DEMOSTRACIÓN
sustituyendo
, cancelando seno nos queda
Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica
xSecxCscxSenxTan 22
𝑡𝑎𝑛2 𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙𝑐𝑠𝑐𝑥=𝑡𝑎𝑛2 𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙1
𝑠𝑒𝑛𝑥
Ejemplo 3.- Demostrar la siguiente identidad:
Demostración
Factorizando la suma de cubo
Simplificando el factor común
Agrupamos
como , se tiene
Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.
𝑡𝑎𝑛2𝜃+1𝑡𝑎𝑛𝜃+1
=𝑠𝑒𝑐2𝜃−𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑡𝑎𝑛3𝜃+1𝑡𝑎𝑛𝜃+1
=(𝑡𝑎𝑛𝜃+1) (𝑡𝑎𝑛2𝜃−𝑡𝑎𝑛𝜃 ∙1+12)
𝑡𝑎𝑛𝜃+1
¿𝑡𝑎𝑛2𝜃− 𝑡𝑎𝑛𝜃+1
¿ (𝑡𝑎𝑛¿¿2 𝜃+1)− 𝑡𝑎𝑛𝜃 ¿¿ 𝑠𝑒𝑐2𝜃−𝑡𝑎𝑛𝜃
Ejemplo 4.- Demostrar la siguiente identidad:
Demostración:
Multiplicando numerador y denominador por
Resolviendo el producto de la suma por la diferencia de
dos cantidades
sustituyendo
Cancelando
Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica