Trigonometría identidades trigonometricas
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TRIGONOMETRÍAIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
PROF. WALTER FAILOC
RECORDANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Propiedades Sen . csc = 1Cos . sec = 1Tg . ctg = 1
* Si + = 90ºSen = cos Sec = csc tg = ctg
Identidades por división:𝑡𝑔𝛼=
𝑠𝑒𝑛𝛼cos𝛼
𝑐𝑡𝑔𝛼=𝑐𝑜𝑠𝛼sen𝛼
Identidades Pitagóricas :𝑠𝑒𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼=1𝑠𝑒𝑐2𝛼−𝑡𝑔2𝛼=1𝑐𝑠𝑐2𝛼−𝑐𝑡𝑔2𝛼=1
sen2x + 3sen2x + 3cos2x + 5(1 + tg2x) + 7 tg2x
sen2x + 3 + 5 + 5tg2x + 7 tg2x
sen2x + 12tg2x + 8 = a sen2x + btg2x + c
Entonces : a = 1, b = 12 y c = 8
Luego: a + b + c = 21
Por distribución
𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥
+𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑠𝑒𝑛4 𝑥+𝑐𝑜𝑠4 𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙𝑠𝑒𝑛2𝑥
¿1−2𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝑥
¿1
𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙𝑠𝑒𝑛2𝑥− 2𝑐𝑜𝑠
2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝑥
= sec2x . csc2x – 2 = sec2x . csc2x – a
Entonces: a = 2
Pero: 𝑠𝑒𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥=1Elevando al cuadrado:𝑠𝑒𝑛4𝑥+𝑐𝑜𝑠4𝑥+2 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2 𝑥=1𝑠𝑒𝑛4𝑥+𝑐𝑜𝑠 4𝑥=1−2𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑏( 1𝑐𝑜𝑠2𝑥
−1)( 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 −1)( 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 +1)𝑏( 1−𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 )(𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 )(𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 )𝑏( 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2 𝑥 )(𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 )𝑏( 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2 𝑥 )( 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 )𝑏( 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2 𝑥 )( 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥−
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 )
𝑏( 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 )𝑠𝑒𝑛𝑥 (𝑐𝑡𝑔𝑥−𝑡𝑔𝑥 )
= 1
𝑏=𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥 .𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑏=𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 .𝑐𝑜𝑠𝑥
b = ctg x . Cos x
1 – cos2x + 4cosx = 4
Cos2x – 4cosx + 3 = 0acomodando
Sea: cos x = a
a2 – 4a + 3 = 0Entonces:
(por aspa simple)a - 3a - 1
(a – 3)(a – 1) = 0Entonces: a = 3 y a = 1
Como: a = cos x
cos x = 3
cos x = 1
No es posible
Respuesta
Sea tg x + ctg x = aElevando al cuadrado
(𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔𝑥 )2=𝑎2
Tg2x + ctg2x + 2tgx.ctgx = a2 Por dato igual a 7
7 + 2 = a2
Igual a 1 por propiedad
Entonces a = 3
Entonces: tg x + ctg x = 3
Elevando al cubo:(𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔𝑥 )3=33
tg3x + ctg3x + 3tgx.ctgx(tg x + ctg x) = 27
tg3x + ctg3x + 3. 1(3) = 27
1 3
tg3x + ctg3x = 18