Semana08 identidades trigonometricas
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1
TRIGONOMETRÍA “Identidades Trigonométricas”
IDENTIDADES
TRIGONOMETRICAS
1.- IDENTIDADES RECIPROCAS Sen . Cosec = 1 R - n
Cos . Sec = 1 R–(2n+1) Tan . Cotan = 1 R – n /2
2. IDENTIDADES POR DIVISION Tan = Sen / Cos R–(2n+1) /2
Cotan = Cos / Sen R – n
3. IDENTIDADES PITAGORICAS Sen2 + Cos2 = 1 R
1 + Tan2 = Sec2 R–(2n+1) /2 1 + Ctg2 = Csc2 R – n
4. IDENTIDADES AUXILIARES
sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x
sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x
tg x + cotg x = sec x . cosec x
sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x
(1 senx cosx)2 =2 (1 senx)(1 cosx)
Si:
asenx +bcosx = C 22 bac
Entonces:
cb
xca
senx cos
Si:
ntgxxntgxx
1secsec
Si:
m
ctgxxmctgxx1
csccsc
x
senxsenx
xsenx
xx
senxcos
1
1
cos;
cos1
cos1
(senx cosx)2 = 1 2senx.cosx
RECORDAR
Verso de “x” : ver x = 1 – cosx
Converso de “x” : cov = 1 – senx
Ex secante de “x” : ex sec = secx – 1
PROPIEDAD: si multiplicamos a los ángulos de
una identidad trigonométrica por un factor
numérico cualquiera, la identidad sigue
cumpliéndose.
Sen 2 2x + cos 2 2x = 1
1+ tg 2 x/2 = sec 2 x/2
Sen 5x . csc 5x = 1
xxsen
xtg10cos
1010
5. TIPOS A continuación te proponemos algunas guías o sugerencias que te servirán para desarrollar ejercicios, estas son: Escoger el miembro más complicado de la
identidad. Colocar el miembro escogido en términos
de senos y cosenos. Hacer uso de identidades algebraicas,
según sea el caso. Cuando haya potencias puede ser útiles
hacer factorizaciones
gonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
De las identidades fundamentales se podrán deducir otras.
Los ejercicios sobre IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS, son de 4 tipos:
Demostraciones Simplificaciones Condicionales Eliminación del ángulo
PROBLEMA DE CLASE
1. Simplificar: Ctgx
Tgx
Secx
Cosx
Cscx
SenxE
a) 1 b) xSec 2 c) xCsc2
d) Secx e) Cscx
2. Simplificar: Cosx.Senx
1)CosxSenx(E
2
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0
3. Determinar "k" en: k
2
Senx1
Cosx
Senx1
Cosx
a) xCos 2 b) SenxCosx c) Senx
d) Cosx e) Sen 2x
4. Simplificar:
)ICx(Senx
SenxSenxCosx21E
a) Senx b) Cosx c) 1
d) Tgx e) Ctgx
5. Determinar a-1 en la siguiente identidad
axxctgxsen 222 cos
111
a) xctg 2 b) xtg 2 c) xSen 2
d) xCos 2 e) xSec 2
6. Calcular “k”, para que la siguiente igualdad
sea una identidad.
xxsensenx
xsensenx
xsen kk42 cos26
1
1
1
1
a) 2 b) 4 c) 6 d)8 e) 10
7. Si la siguiente expresión es una identidad:
kk
xsenx
xsenxx cos1
cos.
cos1
Calcular el valor de “k”
a) senx b) cosx c) tgx
d) senx.cosx e) Cscx.Tgx
8. Si: aTgxSecx ; bCtgxxcsc
Determinar la relación que elimina el arco “x”
de “x”
a) 11.4 22 baba b) 11.2 22 baba
c) 22. 22 baba d) 11.2 22 baba
e) 11.4 22 baba
9. Calcular el valor k para que la expresión F
sea independiente de x, si:
xxkxtgxtgF 2424 secsec3
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
10. Reducir:
xxxsen
xxsenF 2
22
88
coscos.21
cos
a) xSen 2 b) xCos 2 c) xSen 2
d) xCos 2 e) xSen 4
11. Simplificar: 1CosxSen
1xCosxSenE
66
44
a) 5/3 b) -1 c) 2/3 d) ¾ e) 1/3
12. Reducir:
)xCosxSen(2)xCosxSen(3E 6644
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
13. Si: Senx+Cosx = m
Calcular: E = (1+Senx)(1+Cosx)
a) 2
m1 2
b) 2
m1 2
c) 2
)m1( 2
d) 2
)m1( 2
e) 1+m
14. Si: xCosSenxxSen 23 ; calcular
xSenCscxF 3
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
15. Si: 132 xTgxTgTgx ; calcular
Prof: Jhon Villacorta Villacorta Tri
gonometría.
3
xTgCtgxF 3
a) 2 b) 1 c) 3 d) -1 e) -2
16. Si: nSecxTgx
SecxTgx
1
1 ; calcular
TgxSecxF
a) n-2 b) n-1 c) n d) n2 e) n
17. Determinar "x" para que la igualdad:
x
1
Cot
1
Tan
1
Cos
1222
Sea una identidad
a) 2Sen b)
2Cos c) 2Tan
d) Secx e) Cscx
18. Si la igualdad es una identidad
Calcular: M+N
xCtg4MCtgxCscx
CtgxCscx
CtgxCscx
CtgxCscx N
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
19. Si:
ba
bSenCosa11
1. 44 ,
445 , tal que 00 bya ,
Calcular Sec
a) a
ba b) b
ba c) ba
d) b
ba e) a
ba
20. Si: tgxt
x
q
senx
p
cos, determinar la relación
que elimina el arco “x”
a) 22222 qptpq b) 22222 tpqpt
c) 22222 tqqpp d) 22222 pqtpq
e) 22222 tqqpp
21. Si: tgxqx
pm .
cos ;
x
qtgxpn
cos.
Determinar la relación que elimina el arco
de “x”
a) m – n = p – q b) m + n = p + q
c) m2 + n2 = p2 + q2 d) m 2 – n2 = p2 – q 2
e) m 3 – n2 = p2 – q 3
PROBLEMA DE REPASO
1. Hallar A2 en la siguiente identidad:
1Cscx
A
Senx1
Senx1
a) xSen 2 b) xCos 2
c) xTg2
d) xCtg2 e) xSec 2
2. Eliminar "x" a partir de:
Tgx + Ctgx = a
Tgx - Ctgx = b
a) 3ba 22 b) 3ba 22
c) 4ba 22 d) 4ba 22
e) 8ba 22
3. Si: 6
7CosxSenx
Calcular: C = Senx Cosx
a) 7
1
b) 6
1
c) 14
1
d) 12
1
e) 9
1
4. Hallar mnn
m ,si se cumple la identidad
xxctgxxctg nm cos.cos22
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
5. La expresión (1 - sen2x )(1 + tg2x) es
idéntica a:
a) 1 b) sen x c) cos x d) csc x e)N.A
6. senxtgxxxsen sec1 2 es
idéntica a:
a) 1 b) sen x c) cos x d) csc x e)N.A
7. Si csecα – cos α= 1
Calcular T = cos1
3sen
a) 1 b) -1 c) senα d) –senα e) cosα
8. Reducir la expresión
Prof: Jhon Villacorta Villacorta Tri
gonometría.
4
k = 3
sec
seccos
csen
a) Senα b) cosα c) tagα d) ctagα e) 1
9. Si: tg + ctg = 25/12 Calcular el valor
de: sen + cos
a) 7/5 b) 5/7 c) 4/3 d) -3/4
10. El cociente de: [ (1 - sen A)½ + (1 + sen A)½ ]2
entre 2.( cos A + sec2A – tg2A)
a) 1 b) sen x c) cos x d) csc x
11. Si: x ( /4 ; /2 ) reducir:
xsenxxsenx cos.21cos.21
a) 1 b) 2sen x c) cos x d) sen x
12. Reducir: CosxSenx
xCosxSenC
44
a) 1 b) Senx c) Cosx
d) Senx + Cosx e) Senx - Cosx
13. Simplificar:
xSen)xCot1(xCos)xTan1(C 4242
a) 1 b) xxCosSen 22 c) xSen 2
d) xCos 2 e) 2
14. Si: 9
7xCosxSen 44
Calcular: xCosxSenC 66
a) 3
1
b) 3
2
c) 9
1
d) 9
2
e) 9
4
15. Simplificar: 22
1cos
csc
1
sec
x
xctgx
senx
xtgxF
a) xtg 2 b) xCtg 2 c) xCos 2
d) 2 e) 1
16. Simplificar:
1
1sec66
66
xCtgxCsc
xtgxF
a) xtg 5 b) xCtg 5 c) 1
d) xtg 6 e) xCtg 6
17. Simplificar:
xCtgxxCsc
xtgxsenxF
244
244
2cos1
21sec
a)0 b) tgx c) 1 d) Ctgx e) -1
18. Simplificar:
xCscxSecxCscxxCscxSecxCscx
F4422
2244
.sec
.sec
a) 0 b) -1 c) -2 d)-3 e) -4
19. Simplificar:
xCosxSenxSenxSen
xSenxCosxCosxCosF
3642
3642
1
1
2;0x
a) Cscx b) Secx c) tgx d) Ctgx e) Cosx
20. Si: ;2 CosxSenxxCos Calcular:
xCosCtgxF 22
a) Cosx b) Cosx1 c) Senx.Cosx
d) ½ e) 1
21. Si: 12 22 ytgxtg ; calcular
yCosxCosF 222
a) Cosx b) Cosy c) tgx
d) 0 e) 1
22. Si: bTgatgTgx
Tgb
Senx
Tga 22
2
,
determinar Cosx en función de tg a y tg b.
a)
tga
tgb b)
tgb
tga c) tga + tgb
d)
1
1
tgb
tga e)
tgb
tga2
23. Si: 23ctgtgm
21.CscSecn
Determinar la relación que elimina el arco
de “ ”
a) 1nm b) 2nm
c) 4mn d) 32 nm
e) 4mn
Prof: Jhon Villacorta Villacorta Tri
5