IAC5_Analiza_statica
-
Upload
daniel-dumitru -
Category
Documents
-
view
218 -
download
0
Transcript of IAC5_Analiza_statica
-
1
Analiza static
(Reluare teorie de la prezentarea MEF)
Sistemul de ecuaii difereniale care se rezolv n cazul analizei statice este:
}]{[}{ uKF (1)
unde {F} este vectorul forelor exterioare care acioneaz n toate nodurile structurii i pe toate
direciile, [K] - matricea de rigiditate a ntregii structuri, iar {u} este vectorul deplasrilor n toate
nodurile structurii. Matricea [K] se numete matrice de rigiditate global i se formeaz prin
asamblarea matricelor de rigiditate elementare - se adun elementele care se refer la acelai nod i
la acelai grad de libertate pe nod.
Matricea de rigiditate [K] este entitatea fundamental a calculelor prin elemente finite. Ea
este o matrice: simetric - se poate lucra numai cu jumtatea superioar, band - elementele nenule
se pot grupa n apropierea diagonalei principale, rar - conine un numr relativ mic de elemente
nenule, singular.
Metoda de rezolvare a sistemului de ecuaii (1) este determinant pentru performanele
programului de analiz structural prin elemente finite. Din sistemul de ecuaii (1) se calculeaz
deplasrile nodale {u}, pe baza crora se stabilesc deformaiile specifice {} (2) i tensiunile {}
(3). La fel ca i n cazul deplasrilor, ultimele dou sisteme de ecuaii se obin prin generalizarea
sistemului de ecuaii care se refer la un element finit
}{][}{ uB (2)
}{][}{ D (3)
Metoda frontului de und
n ANSYS rezolvarea sistemului de ecuaii (1) se face prin Metoda frontului de und [2].
Prin front de und se nelege numrul de ecuaii care sunt active la un moment dat
j
L
j
jk ukF
1
(4)
unde k - este numrul ecuaiei, j - coloana, iar L - numrul total de ecuaii.
Timpul de rezolvare este proporional cu ptratul valorii medii a frontului de und. Fiecare
nod care se rezolv este eliminat din matrice prin metoda de eliminare Gauss. Matricea de rigiditate
se expandeaz sau se contract dup prima, respectiv ultima apariie a unui nod pe un element.
-
2
Starea spaial de tensiuni
Pentru starea plan de tensiuni, relaia dintre tensiuni i deformaii este
}{][}{ D (1)
unde matricea [D] se numete matricea de elasticitate i depinde de caracteristicile de material.
Pentru starea plan aceasta are forma
2
100
01
01
1][
2
ED (2)
E este modulul de elasticitate longitudinal (modulul lui Young), iar - coeficientul lui
Poisson.
Generaliznd conceptele din Teoria elasticitii pentru starea plan de tensiuni, putem defini
starea spaial de tensiuni (fig. 1) [2]. Termenii din relaia (1) semnific: }{ - vectorul tensiunilor =
x y z xy yz xz T, [D] - matricea de elasticitate,{ } - vectorul deformaiilor= x y z
xy yz xz T.
Matricea 1][ D este pozitiv, simetric i se exprim astfel
xz
yz
xy
zyzyxzx
zyzyxyx
zxzyxyx
G
G
G
EEE
EEE
EEE
D
/10000
0/10000
00/1000
000/1//
000//1/
000///1
][ 1
(3)
Elementele din matricei (3) sunt: Ex - modulul lui Young n direcia x, xy - coeficientul lui
Poisson care leag x de raportul yy E/ , iar xyG - modulul de elasticitate transversal n planul x-y.
Pentru materialele izotrope (zyx EEE i xzyzxy ). Cu aceste consideraii se pot scrie
explicit expresiile deformaiilor elastice
z
zxz
y
yxy
x
xx
EEE
(4)
z
zyz
y
xxy
y
y
yEEE
(5)
z
yyz
z
xxz
z
zz
EEE
(6)
-
xy
xy
xyG
(7)
yz
yz
yzG
(8)
xz
xzxz
G
(9)
unde x - reprezint deformaia pe direcia x, xy - deformaia de rsucire n planul x-y, x -
tensiunea pe direcia x, iar xy - tensiunea de rsucire n planul x-y.
Expresiile explicite ale tensiunilor de ncovoiere i rsucire, precum i formulele de calcul
ale modulelor de elasticitate transversale sunt:
z
z
y
xyyzxzx
y
z
y
yzxzxyx
x
z
xyz
xx
E
E
h
E
E
E
h
E
E
E
h
E
2)(1 (10)
z
y
xxxyxzyz
y
y
z
xxz
y
x
z
y
yzxzxyx
yE
E
h
E
E
E
h
E
E
E
h
E
2)(1 (11)
z
z
y
xyz
y
y
xxyzxzxyz
xx
z
y
xyzyzxzx
zE
E
h
E
E
E
h
E
E
E
h
E
2)(1 (12)
xyxyxy G (13)
yzyzyz G (14)
xzxzzxz G (15)
unde cu h s-a notat expresia: z
xxzyzxy
z
xxz
z
y
yz
y
xxy
E
E
E
E
E
E
E
E 2)()()(1 222 . Modulele de
elasticitate transversale se exprim astfel
xxyyx
yx
xyEEE
EEG
2 , (16)
xyyz GG , (17)
xyxz GG . (18)
Deformaii rezultante
Deformaiile principale ( 3,21, ) se calculeaz pe baza componentelor deformaiilor, cu
ajutorul ecuaiei:
-
4
0
2
1
2
12
1
2
12
1
zyzzx
yzyxy
xzxyx
(19)
Intensitatea deformaiei I este cea mai mare valoare absolut a diferenelor: 21 , 32
, 13 . Adic:
),,( 133221 MAXI (20)
Deformaia echivalent von Mises se calculeaz cu relaia:
213232221 )()()(2
1 e (21)
Tensiunile rezultante
Tensiunile principale ( 321 ,, ) se calculeaz pe baza componentelor tensiunilor, cu
ajutorul ecuaiei [2]:
0
zyzxz
yzyxy
xzxyx
(22)
Intensitatea tensiunii I reprezint valoarea absolut maxim a diferenelor 21 ,
32 , 13 , adic:
133221 ,, MAXI (23)
Tensiunea echivalent von Mises e se determin pe baza relaiei:
213232221 )()()(2
1 e (24)
Tensiunea echivalent i deformaia von Mises se gsesc n relaia:
ee G 2 (25)
unde G reprezint modulul de elasticitate transversal.
Tensiuni principale
Un volum de material infinitezimal ntr-un punct
material sau n interiorul solidului poate fi rotit astfel nct s
rmn numai tensiunile normale, iar cele tangeniale s fie 0.
Tensiunile normale n acest caz se numesc tensiuni principale.
Ele se gsesc n relaia:
Fig. 2. Tensiuni principale [2]
-
321 (26)
Criterii de rezisten
1. Criteriul von Mises. Este mai general
- ofer estimri bune la oboseal, n cazul n care ncrcarea este traciune i traciune
combinat cu forfecare
- este mai uor de pus ntr-o form algoritmic datorit continuitii reprezentrii
- ofer rezultate apropiate de valorile msurate experimental
Tensiunea echivalent
(27
Tensiunea de curgere c - Yield stress
(28)
factorul de siguran: / (29)
2. Criteriul Tresca. Este mai conservativ
Tensiunea de forfecare maxim
(30)
(31)
factorul de siguran: / (32)
Vizualizarea relaiei dintre tensiunile normale i cele tangeniale se face pe baza
cercului lui Mohr.
Fig. A1.1 Fig. A1.2 Proiecia criteriului von Mises n planul 1, 2
Diferene mai mari ntre factorii de siguran calculai pe baza celor dou criterii apar atunci
cnd solicitarea este de forfecare pur.
Unele calcule standard, cum sunt ASME, British Standards conin indicaii precise despre
folosirea unuia sau altuia dintre criterii. Un exemplu n acest sens este proiectarea vaselor sub
presiune.