SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU

[

Người thực hiện : Nguyễn Văn TràoChức vụ : Giáo viênĐơn vị công tác : Trường THPT Hoằng Hoá 4SKKN thuộc lĩnh vực: Môn Vật Lý

THANH HÓA NĂM 2013

I. ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong các đề thi tốt nghiệp, thi đại học, thi học sinh giỏi... thường có

các câu hỏi tìm giá trị cực trị của các đại lượng trong mạch điện xoay chiều

như: công suất, cường độ dòng điện, hiệu điện thế... khi có sự biến thiên của

các phần tử trong mạch như: R, L, C hoặc tần số góc . Gặp những bài

toán này học sinh thường lúng túng trong việc tìm cho mình một phương

pháp giải tốt nhất và hiệu quả nhất. Do đó mất thời gian và làm ảnh hưởng

đến thời gian làm các bài toán khác và kết quả không cao.

Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi thấy có một số phương

pháp cơ bản để giải các bài toán dạng này. Trong đề tài này tôi muốn giới

thiệu một số dạng bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều và phương

pháp giải để giúp các em học sinh có nhiều phương pháp để giải và lựa

chọn cho mình một phương pháp tối ưu nhất, nhanh, chính xác và đạt hiệu

quả cao nhất.

II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀQua tìm hiểu các đề thi, nghiên cứu các tài liệu tham khảo về mạch

điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, tôi thấy có một số dạng bài toán cực trị

thường gặp và có các phương pháp giải như sau:

1

DẠNG 1: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO R.Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện, công suất và hiệu điện thế trong mạch điện xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp khi R thay đổi, trong đó U, L, C, không đổi ( mạch điện như hình vẽ).

A R L C B

1.1. Tìm R để Imax =?

Lập biểu thức tính cường độ dòng điện: Theo định luật ôm

I =

do U = Const nên Imax khi Zmin khi đó R ->0 => Imax =

1.2. Tìm R để Pmax =?

Lập biểu thức công suất của mạch: P = I2R =

- Phương pháp đạo hàm: Đạo hàm P theo R ta được:

P' = U2

P' = 0 => R = /ZL - ZC/ khảo sát biến thiên của P theo R.

R 0 /ZL - ZC/ +

P' + 0 -

P 0Pmax

0

Ta thấy khi R = /ZL - ZC/ thì P = Pmax => Pmax =

- Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi:

Từ (1) => P = => Rmax khi R + min

Do Rvà là những số dương nên theo bất đẳng thức côsi ta có:

2

R + 2/ZL - ZC/. Dấu "=" xảy ra khi: R = /ZL - ZC/

Vậy với R = /ZL - ZC/ thì: Pmax = .

Nhận xét : Trong 2 phương pháp trên ta có thể thấy dùng phương pháp bất

đẳng thức côsi dễ hiểu hơn, nhanh hơn và không bị nhầm lẫn so với phương

pháp đạo hàm.

1.3. Tìm R để UR; UL; UC đạt giá trị cực đại?

a.Tìm R để URmax= ?

Lập biểu thức tính UR ta có: UR= I.R =

=> URmax khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R -> và URmax = U.

b.Tìm R để ULmax= ?

Lập biểu thức tính UL ta có: UL= I.ZL =

=> ULmax khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R = 0 và ULmax =

c. Tìm R để UCmax= ?

Lập biểu thức tính UC ta có: UC = I.ZC =

=> UCmax khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R = 0 và UCmax =

Nhận xét: Do URmax = U nên không xãy ra trường hợp UR > U, còn ULmax và

UCmax có thể lớn hơn U khi giải các bài toán trắc nghiệm chúng ta cần chú ý.

1.4. Tìm R để URL, URC , ULC đạt cực đại:

a. Tìm R để URL đạt cực đại:

Ta có: URL = I.ZRL = => URL =

Để URLmax thì mẫu số nhỏ nhất. Ta thấy để mẫu số nhỏ nhất khi R -> khi đó

URLmax = U.

b. Tìm R để URC đạt cực đại:

3

Ta có URC = I.ZRC = =

=> URCmax = U khi R ->

c. Tìm R để ULC đạt cực đại:

Ta có ULC = I.ZLC = ; ULcmax khi R -> 0 => ULCmax = U.

Ví dụ1: Cho mạch điện như hình vẽ:

A R L C B

Hiệu điện thế ở hai đầu mạch điện uAB = 100 cos 100 t (V). Cho cuộn

dây thuần cảm có độ tự cảm L = (H); tụ điện có điện dung C =

(F), R thay đổi được.Tìm R để công suất tiêu thụ trên mạch cực đại, tính

Pmax=?

*Phương pháp đạo hàm:

Ta có công suất P = I2R = ;

U = 100(v); ZL = 200(); ZC = 100()

=> P =

=> P' = 0 => 1002 (1002 - R2) = 0 => R = 100().

Ta thấy khi R = 100() thì P' = 0 và đổi dấu từ dương sang âm.

Do đó Pmax khi R = 100() và Pmax = = 50(W)

* Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi:

Ta có: P = . Theo Côsi ta có: R +

Dấu "=" khi R2 = 1002 => R = 100() (loại nghiệm R = -100 <0 )

=> Pmax = 1002/1.200 = 50 (W).

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ:

4

A R R0, L C B

UAB = 100 cos 100 t (v) cuộn dây có độ tự cảm L = (H) và điện

trở trong R0 = 30 (), tụ điện có điện dung C = (F)

a. Tìm R để công suất của mạch đạt cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ?

b. Tìm R để công suất trên R cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ?

Bài giải: *Phương pháp dùng BĐT Côsi:

a. Công suất tiêu thụ của mạch: P = I2 (R+R0) =

=> P = Do U = Const nên Pmax khi Amin theo bất

đẳng thức côsi ta có: A = (R + R0) + 2 / ZL - ZC /

=> Amin = 2 / ZL - ZC / = 2 (140 - 100) = 80().

Dấu "=" khi R + R0 = / ZL - ZC / = (140 - 100) = 40() => R = 40 - R0 =

10() khi đó Pmax = =

Chú ý: Khi cuộn dây có thêm điện trở thuần R0 thì ta có thể đặt Rtđ= R + R0

rồi áp dụng BĐT Cô si . Khi đó công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại khi

Rtđ= R + R0 = / ZL - ZC / => R= / ZL - ZC /- R0. Nếu R0 > / ZL - ZC /

thì do R không âm nên ta có kết quả là khi R= 0 thì công suất tiêu thụ trên

mạch đạt cực đại : Pmax = .

b. Công suất tiêu thụ trên R: PR = I2 R =

=> PR =

5

PR =

Do U, R0 không đổi nên PRmax khi Amin

Theo bất đẳng thức côsi ta có: A = R +

Dấu "=" khi R = = = 50 => Amin = 2R =

100

=> PRmax =

DẠNG 2: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO L.Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện và hiệu điện thế, công suất trong mạch xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp khi L thay đổi, các đại lượng U, R, C, không đổi. (mạch điện như hình vẽ)

A R L C B

2.1. Tìm L để Imax, Pmax = ?

a. Theo định luật ôm ta có: I = .

Do U không đổi nên Imax khi mẫu số min.

Ta thấy mẫu số cực tiểu khi ZL - ZC = 0 => ZL = ZC => L =

=> Imax = mạch xảy ra cộng hưởng điện.

b. Ta có: P = I2R. Do R không đổi nên Pmax khi Imax theo trên L =

=> Pmax = R=

2.2. Tìm L để ULmax;URmax; Ucmax =?a. Tìm L để URmax = ?

Lập biểu thức tính UR ta có: UR= I.R = ta thấy URmax khi

ZL = ZC => L = => URmax= U.

b. Tìm L để ULmax=?*Phương pháp dùng đạo hàm:

Ta có: UL = I.ZL = = = U. f (ZL) (1)

6

Với f (ZL) = đạo hàm theo ZL rút gọn ta được:

f' (ZL) =

ta có f' (ZL) = 0 => ZL = và đổi dấu từ dương sang âm.

=> fmax = ; ULmax = U.fmax =

* Phương pháp hình học: Giản đồ véc tơ như hình vẽ:

Theo định lý hàm số sin ta có:

Ta thấy Sin = do R, C không đổi nên sin không đổi. Mặt

khác do U không đổi nên UL cực đại khi sin = 1 = > = /2.=> và

vuông pha với nhau.

=> ULmax = Mặt khác ta có: . Trong đó Sin =

=> mà Sin = 1 => UL = => ZL = => ZL =

* Phương pháp dùng tam thức bậc 2:

Từ (1) ta có: UL = =

UL = Với f(ZL) =

Đặt X = = f(ZL) = f(x) = (R2 + Z ) X2 - 2ZC X + 1. Ta thấy: f(x) là tam thức

bậc 2 có a = (R2 + Z ) > 0 => f(x) min khi X = -

7

UC

0

U UL

UR

URC

I

=> ZL = => f(ZL) min = => ULmax =

c. Tìm L để UCmax = ?

Lập biểu thức tính UC ta có: UC= I.ZC = ta thấy UCmax khi

ZL = ZC => L = =>

2.3. Tìm L để URLmax; URcmax; ULcmax =?.

a. Tìm L để URLmax =? . Theo định luật ôm ta có: URL = I. ZRL = ZRL

=> URL = =

Trong đó: f(ZL) = (1) đạo hàm theo ZL.

Ta có: f'(ZL) =

f' (ZL) = 0 => Z - ZLZC - R2 = 0 ta có = Z + 4R2 > 0

=> ZL1 = (loại nghiệm âm) f' (ZL) triệt tiêu và đổi dấu từ âm

sang dương nên f (ZL1) min khi ZL1 =

khi đó URLmax = với f (ZL1) theo (1) hoặc có thể thay ZL1 vừa

tìm được ta có URLmax =

b. Tìm L để URCmax= ?

Ta có : URC = => URCmax khi ZL = ZC => L =

=> URCmax =

c. Tìm L để ULCmax= ?

8

Ta có: ULC =

ULCmax khi ZL -> => L - => ULCmax = U.Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ: Trong đó UAB = 200 sin 100 t

(V) A R C L B

Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi; RV = ; R = 50 (); C = (F)

a. Khi L = L1 thì P = Pmax. Tìm L1 và Pmax ?

b. Khi L = L2 thì Uvmax. Tìm L2 và Uvmax?

Bài giải:

a. Ta có: P = I2R = Do U, R = Const

=> Pmax khi ZL1 = ZC = 100() => ZL1 = 100() => L1 = (H)

=> Pmax = = 400(w)

b. Ta có UV = UL = I.ZL =

UL =

f(ZL) = f(x) = (R2 + R ) x2 - 2ZC.x + 1 .

Ta có : a = R2 + Z > 0 => f(x) min khi x =

=>

=> UVmax =

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó UAB = 200 sin 100 t (v)

A M N B

9

V

L R C

Cuộng dây thuần cảm có L thay đổi ; R = 24 (); C =

a. Tìm L = L1 để UANmax ?b. Tìm L = L2 để UMBmax ?

Bài giải:

a. Ta có UAN = URL =

UAN = => UANmax khi fmin. Theo mục (d)

=> f(ZL) min khi ZL1 =

loại nghiệm âm.=> fmin =

=> UANmax =

Hoặc UANmax = URLmax =

b. Ta có: UMB = I.ZMB = I =

UMBmax khi Zmin => ZL2 = ZC = 20() => L2 =

=> UMBmax = = 156,2(V)

DẠNG 3: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO C.Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện, công suất và hiệu điện thế trong mạch R, L, C mắc nối tiếp khi C thay đổi còn U, R, L, không đổi ( mạch điện như hình vẽ)

A R L C B

3.1. Tìm C để Imax; Pmax=?

10

a. Tìm C để Imax=?

Ta có: I = => Imax =

Khi ZL = ZC = > C = => trong mạch xảy ra cộng hưởng điện.

b. Tìm C để Pmax=?

Ta có công suất tiêu thụ P = I2.R => Pmax = I2max.R. = khi C =

3.2. Tìm C để URmax ;ULmax; UCmax =?a. Tìm C để URmax = ?

Lập biểu thức tính UR ta có: UR= I.R = ta thấy URmax khi

ZL = ZC => C = => URmax= U.

b. Tìm C để ULmax = ?

Lập biểu thức tính UL ta có: UL= I.ZL = ta thấy ULmax khi

ZL = ZC => C = =>

c. Tìm C để UCmax =?

*Phương pháp dùng đạo hàm.

Ta có UC = I.ZC = = U. f (c); Đặt f(Zc) =

f'(Zc) =

f’ (Zc) = 0 => ZC1 = => f’(Zc) triệt tiêu tại ZC và đổi dấu từ dương sang

âm nên đạt cực đại tại Z c => f(ZCmax) = => UCmax = U. f(ZCmax)

UCmax = U . khi Zc =

* Phương pháp hình học: Vẽ giản đồ véc tơ:

Theo định lý hàm số sin ta có:

11

0

URLUL

UR

U

I

UC

Mà Sin = = Const

=> UCmax khi Sin = 1 => B = /2 => UCmax =

Mặt khác ta có: ; sin = => UC =

mà Sin = 1 => UC = => ZC = => C =

* Phương pháp dùng tam thức bậc 2:

Ta có : UC = I.ZC = =

UC = => Ucmax khi f (Zc) min => f (Zc) =

Đặt X = => f(x) = (R2 + Z ) X2 - 2ZL X + 1 Ta có: a = R2 + Z > 0

=> f(x) min khi X = - => =>

ZC = => C =

=>fmin = => UCmax = => UCmax =

3.3. Tìm C để URCmax; URLmax; ULCmax=?

a. Tìm C để URLmax= ?

Ta có : URL = I.ZRL = => URLmax khi ZL = ZC => C =

=> URLmax =

b. Tìm C để URCmax=?

T acó: URC = I. ZRC = =

12

Đặt f(ZC) = (1) để URCmax thì f (ZC) min.

Ta có: f'(ZC) =

f'(ZC) =

f'(ZC) = 0 => Z - ZLZC - R2 = 0

ZC1 = (loại nghiệm ZC2 < 0) Ta thấy f' (x) triệt tiêu và đổi dấu

từ âm sang dương nên f (ZC) min tại ZC1.

=> URCmax = với f (ZC) theo (1)

Hoặc URCmax =

c. Tìm C để ULCmax:

Ta có ULC = I. ZLC = Ta thấy để ULCmax khi

-> 0 => ZC -> => C -> 0 .Vậy khi C -> 0 Khi đó ULCmax = U.

Ví dụ 1: Cho mạch điện R, L, C mắc nối tiếp như hình vẽ. C thay đổi A R L C B

Có : u=120 sin 100 t(V); R =240() cuộn dây thuần cảm có L=

(H)

a. Tìm C để I, P cực đại. Tính Imax, Pmax= ?

b. Tìm C để UCmax. Tính UCmax ?

Bài giải:

a. *Ta có: I = => Imax khi Zmin => ZL = ZC=> ZC = 320

13

=> C = => Imax =

* Công suất tiêu thụ: P = I2. R => Pmax = I2max .R = 0,52 . 240 = 60 (W)

Kết luận: Vậy C = thì Imax = 0,5(A); Pmax = 60(W)

b. Ta có : UC = I.ZC = theo lý thuyết ta có:

UCmax = khi ZC = = = 320 + 180 = 500()

=> C = (F) khi đó UCmax = 200(V).

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ

Trong đó UAB = 60 sin 100 t (V), Tụ điện có điện dung C thay đổi

A R C L B

Điện trở R = 10 ; cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L =

a. Tìm C để URCmax .Tìm URCmax = ?

b. Tìm C để ULCmax, URLmax = ?

Bài giải:

a.URC = I.ZRC = Theo bài toán tổng quát:

URCmax=

Khi ZC1 =

=> f(ZC) min = => f(ZC) min =

> URCmax =

hoặc URCmax = =

14

b.* ULC = ; ULCmax = U = 60(V) khi C-

>0

* Ta có: URLmax = ; URLmax =

Khi ZC = ZL = 20() => C = =

khi đó URLmax = = 2

DẠNG 4: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO Tìm các giá trị cực trị của cường độ dòng điện, công suất và hiệu điện thế trong mạch xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp khi tần số góc thay đổi , các đại lượng U, R, L, C không đổi .1. Tìm để Imax =? Imin = ? Pmax =?Pmin=?a. Tìm để Imax =? Imin = ?

* Ta có I = Imax khi L - ;

Imax = mạch có cộng hưởng điện

* Tìm để Imin: Imin khi (L - 0)1 2 C

hoặc ->

=> Imin = 0b.Tìm để Pmax =?Pmin=?

* Công suất tiêu thụ P = I2.R => Pmax = I2max.R =

* Pmin = 0 khi Imin = 0 => 2. Tìm để URmax, URmin

Ta có: UR = IR =

* URmin = 0 khi (ZL - ZC)2max

-> => /L -

* URmax => (ZL - ZC)2 = 0 => ZL - ZC => 0 = => URmax = U

3. Tìm để UCmax, UCmin:

15

* Ta có: UC = I.ZC = Ta có UCmin = 0 khi ZC = 0 => ->

* Mặt khác: UC = 222

C

2

Z.

CL ZCLZR

U

=

UC = = ; UCmax khi f () min:

f() = L2C24 - (2LC - R2C2) 2 + 1 (1) Có a = L2C2 > 0

=> f() min khi 2 = = 22

22

22

CLCRLC

=> 1 =

= với ĐK > R2

Khi đó: UCmax = với f() min xác định theo (1)

4. Tìm để ULmin ULmax = ?

Ta có: UL = I.ZL = =

* ULmin = 0 khi ZL = 0 => = 0

* UL = = = ;

ULmax khi f () min. Ta có f() = (1)

Ta có a = > 0 => f() min khi = =

=> = => 2 =

với điều kiện: => ULmax = với f() min xác định theo (1)

Nhận xét: Ta thấy khi thay đổi nếu URmax khi = 0 ;ULmax khi = 1

UCmax khi = 2 ta luôn có 1. 2 = 02

Ví dụ 1: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp.

U = 100 sin thay đổi. R = 100(); C = (F); L = (H).

16

a. Xác định để Imax , Pmax = ?

b. Xác định để URmax , ULmax, UCmax = ?

Bài giải:

a. I = = để Imax => ZL = ZC

=> 0 = (rad/s). Khi đó Pmax = I2max.R;

Imax = (A) => Pmax = 1,5 . 100 = 150 (W).

b. * URmax = U = (v) khi ZL = ZC => 0 = (rad/s)

* UC = theo bài toán tổng quát UCmax khi:

1 = . (rad/s)

Khi đó: ZC1 = ; ZL1 = 1L = 50.

=> UCmax = (v)

* ULmax khi: 2 =

(rad/s)

Ta có ZC2 = ZL2 = 2.L

Khi đó: ULmax = (V)

Nhận xét: 1. Phương pháp chung để giải bài tập khảo sát xét cực trị của dòng điện xoay

chiều là khảo sát hàm số: I(R); I(C); I(L); I(), dự vào biểu thức của định luật

ôm. Quá trình giải có thể tổng kết theo sơ đồ sau:

17

Định hướng lập mối

tương quan

Áp dụng định luật ôm lập biểu thức

Khảo sát sự phụ thuộc

Nhận xét và lựa chọn kết

quả

2. Phương pháp chung để giải bài tập khảo sát xét cực trị của hiệu điện thế

theo các đại lượng biến thiên có thể tổng kết theo sơ đồ sau:

Phân tích bài toán

xác định mối tương quan

Dùng định luật ôm để lập biểu thức

Lựa chọn phương pháp: đạo, hàm, hình học, côsin, tam

thức

Nhận xét và lựa chọn kết

quả đúng

3. Phương pháp chung để giải bài tập xét cực trị của công suất và hệ số công

suất theo các đại lượng biến thiên có thể tổng kết theo sơ đồ sau:

Xác định mối

tương quan

Lập hệ thức liên

hệ

Lựa chọn phương

pháp giải (đạo hàm, cô

sin...)

Xét cực trị theo

phương pháp đã lựa chọn

Nhận xét và lựa chọn kết

quả

III- KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

Trong đề tài này với khả năng có hạn và thời gian không cho phép, tôi

chỉ mạnh dạn trình bày một số phương pháp giải các bài toán cực trị và một

số ví dụ cụ thể áp dụng các phương pháp mà qua thực tế giảng dạy, tôi thấy

khi giới thiệu cho học sinh các em tự tin hơn, có định hướng và lựa chọn

chính xác phương pháp thích hợp để giải các bài toán cực trị trong mạch điện

xoay chiều, áp dụng tốt cả khi thi tự luận hoặc thi trắc nghiệm.

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế

nên tôi tin chắc rằng trong đề tài này sẽ còn có những thiếu sót. Tôi rất mong

được sự nhận xét và góp ý chân thành của các đồng chí đồng nghiệp và các

em học sinh để đề tài được hoàn chỉnh hơn.

18

Tôi xin chân thành cảm ơn !XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của

mình viết, không sao chép nội dung của

người khác.

Nguyễn Văn Trào

MỤC LỤC TrangI. Đặt vấn đề 1

II. Giải quyết vấn đề

- Dạng 1: Bài toán biện luận theo R 2

- Dạng 2: Bài toán biện luận theo L 6

- Dạng 3: Bài toán biện luận theo C 11

- Dạng 4: Bài toán biện luận theo 16

III.Kết luận và đề xuất 20

PHỤ LỤCTÀI LIỆU THAM KHẢO

1. 200 bài toán điện xoay chiều (Vũ Thanh Khiết).

2. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THPT tập 3 (Vũ Thanh Khiết).

3. Giải toán Vật lý 12 tập 2 (Bùi Quang Hân).

4. Một số phương pháp giải các bài toán vật lý sơ cấp (Vũ Thanh Khiết).

5. Phương pháp giải toán điện xoay chiều (Trịnh Quốc Thông).

6. Phân loại & Phương pháp giải nhanh Vật Lý 12 ( Lê Văn Thành).

7. Các đề thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi các năm gần đây.

19

20