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Contenuto della lezione ed esercizi (22/09/2014)

Durante la lezione e` stato descritto il contenuto del corso e sono stateintrodotte alcune notazioni che saranno ripetutamente utilizzate.

Notazioni: Il simbolo N denota linsieme dei numeri naturali{1, 2, 3, . . . }.

Dato n N si ha che n+ 1 N.Il simbolo Z denota linsieme dei numeri interi

{. . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . . }.Linsieme Q e` linsieme dei numeri razionali

p

q

con p, q Z e q 6= 0.Linsieme R e` linsieme dei numeri reali. Linsieme R si identifica

con una retta orientata.

Sono stati richiamati alcuni fatti di base: equazioni e disequazionidi primo e secondo grado, la definizione del numero i (i2 = 1) e ledisequazioni razionali.

1

ESERCIZI:Esercizio 1) Risolvere le seguenti equazioni:

(1) x2 + 2x+ 3 = 0,(2) x2 + 2x+ 3 = 0,(3) x2 + 2x 3 = 0,(4) 2x2 + 6x = 0,(5) 2x2 + 8 = 0,(6) 3x2 + 2x 1 = 0,(7) 3x2 + 2x+ 1 = 0.

Esercizio 2) Risolvere le seguenti disequazioni:

(1) x2 + 2x+ 3 0,(2) x2 + 2x+ 3 < 0,(3) x2 + 2x 3 0,(4) 2x2 + 6x 0,(5) 2x2 + 8 < 0,(6) 3x2 + 2x 1 0,(7) 3x2 + 2x+ 1 < 0.

Esercizio 3) Risolvere le seguenti disequazioni:

(1) (x2 + 2x+ 3)/(x2 + 2x+ 3) > 0,(2) (x2 + 2x 3)/(2x2 + 6x) 0,(3) (3x2 + 2x 1)/(2x2 + 6x) 0,(4) (3x2 + 2x+ 1)/(2x2 8) > 0.

Soluzioni:Esercizio 1)

(1) Lequazione non ha soluzioni in ambito reale, le soluzioni sonocomplesse: x = 1 i2.

(2) x = 1 e x = 3.(3) x = 3 e x = 1.(4) x = 3 e x = 0.(5) Lequazione non ha soluzioni in ambito reale, le soluzioni sono

complesse x = 2i.(6) x = 1 e x = 1

3.

(7) x = 13

e x = 1.

Esercizio 2)

(1) R.(2) x < 1 oppure x > 3.(3) x 3 oppure x 1.(4) [3, 0].(5) .(6) x 1 oppure x 1/3.(7) x < 1/3 oppure x > 1.

Esercizio 3)

(1) ] 1, 3[.(2) ]0, 1].(3) x < 3 oppure x [1, 0[ oppure x 1/3.(4) ] 2,1/3[]1, 2[.


Lezione sui numeri complessi.Una delle motivazioni per lintroduzione dei numeri complessi e` la

seguente: non tutte le equazioni algebriche ammettono soluzione inambito reale. Per questa ragione, si introduce lunita` immaginaria idefinita dalla proprieta` i2 = 1.

Un numero complesso e` un numero della forma a + ib con a, b R.Il numero a e` detto la parte reale di z mentre b e` la parte immaginaria.

I numeri complessi si possono sommare e moltiplicare tra loro dandoluogo a numeri complessi: sia z = a+ ib e z = a + ib allora

z + z = (a+ a) + i(b+ b) e zz = (aa bb) + i(ab + ba).Dato un numero complesso z = a+ib il coniugato di z e`, per definizioneil numero complesso

z = a ib.Identificando il numero complesso z = a + ib con il punto del piano(a, b) le operazioni sui numeri complessi possono essere interpretate daun punto di vista geometrico come segue: la somma e` la somma tra duevettori del piano secondo la regola del parallelogramma, il prodottozz puo` essere interpretato come una rotazione ed una dilatazione delvettore z e per finire, dato z, z e` limmagine speculare di z (rispettoallasse orizzontale). Dato z = a+ ib si definisce il modulo di z come

|z| =a2 + b2

(rappresentando il punto z nel piano cartesiano il modulo di z e` ladistanza di z dal punto (0, 0), lorigine degli assi).

Dato un numero complesso z diverso da 0 esiste linverso z (ossiaun numero tale che zz = 1). Tale numero e` dato da

z =z

|z|2 .

Sono state introdotte le coordinate polari nel piano e quindi la rap-presentazione polare di un numero complesso: dato z = a+ ib si pone

a+ ib = r(cos + i sin)

e si deduce r = |z| mentre e` determinato dal sistemacos =

a

|z| ,

sin =b

|z| .

Sono state ricordate le formula di addizione per il seno e coseno equindi, dati z = cos + i sin e z = cos + i sin si e` dedotta laformula

zz = cos( + ) + i sin( + ).Il principio di induzione: supponiamo di voler verificare una certaidentita` (o disequazione) per tutti gli n naturali. Ad esempio supponi-amo di voler mostrare che, per ogni numero naturale n,

1 + 2 + . . .+ n =n(n+ 1)

2.

La verifica puo` essere fatta in due passi. Basta verificare lidentita` pern = 1 (nellesempio si ha 1 = 1). Quindi supponendo che laffermazionevalga per n verificare che vale per n+ 1 (nellesempio

1 + 2 + . . .+ n+ (n+ 1) =n(n+ 1)

2+ (n+ 1) =

(n+ 1)(n+ 2)

2.

Il principio dinduzione puo` essere usato per verificare che dato unnumero complesso z = cos + i sin allora

zn = cos(n) + i sin(n).

ESERCIZI:Scrivere i seguenti numeri complessi in forma cartesiana e polare:

(1) (1 + i)2 (1 i)2,(2) (1 + i

3)3,

(3) 11i3 ,

(4) (1 + 2i)4 (1 2i)4,(5)

(1+3i1+2i

)3,

(6)(2+2i31+i3

)2.

Soluzioni:

(1) 4i, r = 4, = pi2.

(2) 8, r = 8 e = pi.(3) (1 + i

3)/4, r = 1/2 e = pi/3.

(4) 48i, r = 48 e = 3pi/2.(5) 2 + 2i, r = 22 e = 3pi/4.(6) 2 + 23i, r = 4 e = 2pi/3.


Il teorema fondamentale dellalgebra Si considera lequazione

anxn + an1xn1 + . . .+ a1x+ a0 = 0 (1)

con a0, . . . , an coefficienti complessi.Si ha il

Teorema: Se an 6= 0, lequazione (1) ammette n radici complesse (nonnecessariamente distinte).

Consideriamo il caso particolare an1 = . . . = a1 = 0, lequazione siriduce quindi a

anxn + a0 = 0,

ossiaxn = a0

an. (2)

Le soluzioni di (2) sono le radici n-esime del numero (complesso)a0/an.Quindi, il problema (2) puo` essere riformulato nel modo seguente: datoun numero complesso w trovare tutti i numeri complessi z tali che

zn = w. (3)

Per risolvere (3) si rappresenta w in coordinate polari:

w = (cos + i sin ).

Quindi il problema si riduce a trovare r ed tali che, posto

z = r(cos + i sin)

si abbia

zn = rn(cos(n) + i sin(n)) = (cos + i sin )

ossia si ha

r = 1n e

{cos(n) = cos ,sin(n) = sin .

Il sistema ammette n soluzioni k, k = 0, 1, . . . , n1, date dalla formulak =

+ 2kpi

n.

ELEMENTI DI ANALISI COMBINATORIAPermutazioni: in quanti modi si possono mettere n oggetti (dis-

tinti) in n cassetti numerati? (in modo che ogni cassetto contengaalmeno un oggetto).

Per il primo cassetto si hanno n possibili scelte. Fatta una scelta siha a disposizione un oggetto (ed un cassetto) in meno. Quindi si hannoa disposizione n 1 oggetti da mettere nel secondo cassetto. In altreparole per ciascuna delle n scelte possibili al primo passo vi sono n 1scelte possibili al secondo. Ripetendo il ragionamento, si conclude chevi sono

pn = n!

possibili permutazioni di n oggetti. Il simbolo n! (si legge enne fatto-riale) e`, per definizione, il prodotto dei primi n numeri naturali minorio uguali di n, n(n 1) . . . 3 2 1. Si pone

0! = 1.

Disposizioni: supponendo di avere sempre n oggetti ma k cassetti,

con k N e k n, un ragionamento analogo al precedente mostra chevi sono

Dn,k =n!

(n k)!modi di disporre gli oggetti.

Combinazioni: stessa situazione descritta nel caso delle disposizionitranne che per il fatto che i cassetti non sono numerati. Associando adogni combinazione le k! disposizioni corrispondenti si ha

Dn,k = Cn,kk!

ossia il numero di combinazioni possibili e`

Cn.k =Dn,kk!

=n!

(n k)!k! .Tale numero e` detto coefficiente binomiale e si denota con il simbolo(

n

k

)(si legge enne su kappa).

ESERCIZI:Risolvere lequazione zn = w con :

(1) n = 3 e w = 1 + i.(2) n = 4 e 1+i

i.

(3) n = 2 e w = 2 + i23.(4) n = 5 e w = i.(5) n = 3 e w = 3 i.(6) n = 4 e w = 2.

Soluzioni:

(1) r = 21/6, 0 =pi12

, 1 =3pi4

, 2 =17pi12

.

(2) r = 21/8, 0 =7pi16

, 1 =15pi16

, 2 =23pi16

e 3 =31pi16

.

(3) r = 2, 0 =pi3

e 1 =4pi3

.

(4) r = 1, 0 =3pi10

, 1 =7pi10

, 2 =11pi10

, 3 =3pi2

e 4 =19pi10

.

(5) r = 21/3, 0 =7pi18

, 1 =19pi18

e 2 =31pi18

.

(6) r = 21/4, 0 =pi4, 1 =

3pi4

, 2 =5pi4

e 3 =7pi4

.


Successioni: La successione an tende ad ` R, in simbolilimn

an = `,

se per ogni > 0 esiste N R (N dipende da ) tale che` < an < `+

per ogni n maggiore di N . ` si dice il limite della successione e lasuccessione si dice convergente.

La definizione si estende ai casi ` = + oppure ` = nel modoseguente:

limn

an = +se per ogni M > 0 esiste N R (N dipende da M) tale che

M < an

per ogni n maggiore di N . Analogamente si ha

limn

an = se per ogni M > 0 esiste N N (N dipende da M) tale che

an < Mper ogni n maggiore di N . Nel caso ` = si dice che la successione e`divergente. Se una successione non converge e non diverge si dice che illimite non esiste. Dalla definizione segue che se il limite esiste e` unico.

Algebra dei limiti: Supponiamo che

limn

an = ` e limn

bn = m,

con `,m [,+].Allora, qualora le espressioni a destra delluguale abbiano senso1, si

ha

limn

(an bn) = `m, limn

anbn = `m e limn

anbn

=`

m.

Teorema della permanenza del segno: Supponiamo che limn an =` ]0,+]. Allora esiste N tale che, per ogni n > N , an > 0.Osservazione: Nel caso ` [, 0[ vale lanaloga conclusione conan > 0 sostituito da an < 0.

1Non sono definiti simboli come +, 0, 0/0 oppure /.

Teorema del confronto: Siano date tre successioni tali che

an bn cn (1)per ogni n N (tranne al piu` un numero finito). Supponiamo cheesista l [,+] tale che

limn

an = limn

cn = `.

Alloralimn

bn = `.

Osservazione: Nel caso ` = si ha che selimn

cn = e bn cnallora

limn

bn = .Nel caso ` = +, se limn an = + e an bn allora limn bn =+.

ESERCIZIO:Usando la definizione ed il teorema del confronto verificare che, per

ogni k N,

limn

n!

nk= +, lim

n2n

nk= +, lim

nn!

2n= +.


La definizione del numero e: Per definire il numero e occorre unaproprieta` dei numeri reali: la completezza.

L insieme A R si dice superiormente (rispettivamente inferior-mente) limitato se esiste un numero M (rispettivamente m) tale chea M (rispettivamente m a) per tutti gli elementi a A.

Il numero R e` lestremo superiore di A (in simboli si indica consupA se valgono le due proprieta` per ogni a A

a e per ogni < esiste a A tale che

< a.

Osserviamo che non e` richiesto che sia un elemento di A, se cos` fossesi direbbe che e` il massimo di A. Il massimo di A (qualora esista) sidenota con il simbolo maxA.

Analogamente, il numero R e` lestremo inferiore di A (in simbolisi indica con inf A se valgono le due proprieta` per ogni a A

a e per ogni > esiste a A tale che

> a.

Osserviamo che non e` richiesto che sia un elemento di A, se cos` fossesi direbbe che e` il minimo di A. Il minimo di A (qualora esista) sidenota con il simbolo minA.

La proprieta` che distingue i numeri reali dai numeri razionali e` lacompletezza. Si tratta di un assioma che pue` essere formulato in diversimodi (equivalenti).Assioma di completezza: Ogni sottoinsieme di R superiormentelimitato ammette estremo superiore.

In modo analogo lassioma puo` essere formulato nel modo seguente:ogni sottoinsieme di R inferiormente limitato ammette estremo inferio-re.

Un successione, {an}, si dice crescente se, per ogni n, an+1 an.Una successione, {an}, si dice limitata se esiste M > 0 tale che, per

ogni n,M an M.

Vale il seguenteTeorema: Sia {an} una successione crescente e limitata. Allora

limn

an = sup{an |n N}.Il numero di Nepero e` definito come

e = limn

(1 +

1

n

)n. (1)

Il fatto che il limite in (1) sia ben definito segue dal teorema precedenteuna volta che si sia verificato, ad esempio, che

an+1/an 1 e an [0, 3],per ogni n N.

ESERCIZI:Usando la definizione di estremo superiore ed inferiore calcolare supA

ed inf A (e specificare quando si tratta di massimi o di minimi) con

(1) A =]0, 1[.(2) A =]0, 1[]2, 3].(3) A = {1 + 1/n | n N}.(4) A = [0, 1[{3}.

Soluzioni:

(1) inf A = 0 (non e` un punto di minimo) e supA = 1 (non e` unpunto di massimo).

(2) inf A = 0 (non e` un punto di minimo) supA = maxA = 3.(3) inf A = 1 (non e` un punto di minimo) supA = maxA = 2.(4) inf A = minA = 0 e supA = maxA = 3.


Esercizi sui limiti di successioni.

Funzioni reali di una variabile reale: Una funzione e` una regolache associa ad un numero (reale) x un altro numero reale f(x). Datauna funzione f il dominio di f e`, per definizione, linsieme

D(f) = {x R | f e` definita in x}.Ad esempio se f(x) =

x allora

D = [0,+[.Si dice immagine di f , la denoteremo con in simbolo f(D), `nsieme

f(D) = {y R | x D : f(x) = y}.Una funzione si dice limitata se linsieme f(D) R e` limitato.Il grafico della funzione f e` il seguente sottoinsieme del piano R2

G = {(x, f(x)) R2 | x D}.Nello studio di una funzione puo` essere utile riconoscere se la funzionepresenti delle simmetrie. Diremo che la funzione f : R R e` pari se

f(x) = f(x) x R.Un esempio di funzione pari e` f(x) = x2 (o, piu` in generale, f(x) = xn

con n pari).

La funzione f : R R e` dispari sef(x) = f(x) x R.

Un esempio di funzione dispari e` f(x) = x (o, piu` in generale, f(x) = xn

con n dispari).

La funzione f : R R e` periodica di periodo T sef(x+ T ) = f(x), x R.

Un esempio di funzione periodica, con periodo 2pi, e` la funzione

f(x) = sin x.

ESERCIZI:

(1) Verificare che, per q ]0, 1[, si halimn

qn = 0.

(2) Mostrare che, per ogni n naturale,(1 +

1

n

)n 2.

(3) Usando (2), il teorema del confronto e (1) mostrare che

limn

n!

nn= 0.


Composizione di funzioni: Consideriamo due funzioni f , con do-minio Df , e g, con dominio Dg. Supponiamo che limmagine di f siainclusa nel dominio di g, in simboli:

f(Df ) Dg.Allora e` definita la funzione composta g f : Df R che associa adogni x Df il punto g(f(x)).

Inversione di funzioni: Talvolta e` necessario restringere linsiemedi definizione di una funzione (ossia non considerarla su tutto il suodominio di definizione). Data f : Df R e dato un insieme A Dfla restrizione della funzione f allinsieme A, si denota con f |A e` lafunzione che associa ad ogni x A il punto f(x).

Una funzione f : D R si dice invertibile se esiste una funzioneg : f(D) R tale che g(f(x)) = x per ogni x D. La funzione g sichiama linversa (sinistra) di f e si denota con il simbolo f1.

Una funzione f : D R si dice iniettiva se dati x1, x2 Dfse f(x1) = f(x2) allora x1 = x2 (ossia ad ogni elemento di f(Df )corrisponde un unico elemento del dominio).

Si ha il seguente

Teorema: Se f : D R e` iniettiva allora e` invertibile (a sinistra).

Funzioni elementari: Definizioni e proprieta` di

(1) an con a R e n N,(2) an con a R \ {0} e n Z.

Esistenza della radice n-esima, a1n , con a [1,+[.

ESERCIZIO: Dimostrare che, dati a ]0, 1[ ed n N, esiste la radicen-esima di a, a

1n .


Funzioni elementari: Potenze, radici n-esime, esponenziali, loga-ritmi, seno, coseno, tangente, arcoseno, arcocoseno, arcotangente:definizioni, grafici e proprieta`.

ESERCIZI: Trovare i domini delle seguenti funzioni

(1) f(x) =

xx2 ,

(2) f(x) = log(x2 5x+ 6),(3) f(x) = sin

(1x

),

(4) f(x) = log(|x 1|).

Soluzioni:

(1) Df =], 0]]2,+[.(2) Df =], 2[]3,+[.(3) Df =], 0[]0,+[.(4) Df =], 1[]1,+[.


Limiti di Funzioni: Siano x0, ` [,+] e sia la funzione fdefinita in un intorno del punto x0 (eventualmente privato del puntox0). Allora si dice che ` e` il limite di f per x che tende ad x0, in simboli

limxx0

f(x) = `,

se per ogni successione (reale), {an}, tale chelimn

an = x0

si ha chelimn

f(an) = `.

Dalle proprieta` algebriche dei limiti di successioni si deducono le analogheproprieta` algebriche per i limiti di funzioni.

Funzioni continue: Data una funzione f : Df R ed un puntox0 Df si dice che f e` continua nel punto x0 se

limxx0

f(x) = f(x0).

Si dice semplicemente che f e` continua se e` continua in tutti i puntidel suo dominio di definizione. Se f e g sono continue lo sono anche

f g, fg e, qualora sia definita f/g. Elevamento a potenza, radice,seno, coseno e tangente sono funzioni continue.Alcuni teoremi sulle funzioni continue:

Linsieme [a, b] si dice anche intervallo chiuso mentre nel caso dellinsieme]a, b[ si parla di intervallo aperto.

(1) Teorema della permanenza del segno: Sia f una funzionecontinua definita su un intervallo I e supponiamo che esistaun punto x0 tale che f(x0) > 0 (rispettivamente f(x0) < 0).Allora esiste un intervallo J I tale che x0 J e f(x) > 0(rispettivamente f(x) < 0) per ogni x J .

(2) Teorema degli zeri: Sia f : [a, b] R una funzione continuae supponiamo f(a)f(b) < 0. Allora esiste c ]a, b[ tale chef(c) = 0.

Esercizio: Usando il teorema degli zeri, calcolare

2 con un erroresulla seconda cifra decimale.

Soluzione: 2

[1 +

4

10+

1

100, 1 +

4

10+

2

100

].

Contenuto della lezione ed esercizi (13/10/2014)Un insieme K R si dice compatto se soddisfa le due proprieta`

seguenti

(1) K e` limitato (ossia esiste M R tale che |k| < M per ognik K);

(2) sia {an} unarbitraria successione convergente di elementi di Kallora limn an K (ossia K e` chiuso).

Esempi di insiemi compatti sono i seguenti:

(1) dati a, b R con a < b,K = [a, b];

(2) dati a, b, c, d R con a < b < c < d,K = [a, b] [c, d].

Linsieme [a, b] si dice anche intervallo chiuso. Linsieme ]a, b[ si diceanche intervallo aperto.

Un punto x0 Df si chiama punto di massimo (assoluto) per f sef(x) f(x0) x Df (1).

Analogamente, x0 Df si chiama punto di minimo (assoluto) per f sef(x) f(x0) x Df (2).

Si dice invece che x0 e` un massimo (o minimo) relativo se esiste unintorno di x0, I, tale che (1) (rispettivamente (2)) sia soddisfatta in I.

Teorema di Weierstrass: Una funzione continua definita su uncompatto ammette massimo e minimo.

Continuita` di f(x) = ex, f(x) = tan x, f(x) = log x, f(x) = arcsin x,f(x) = arccos x e f(x) = arctan x.

Esercizio: Quali dei seguenti insiemi sono compatti?

(1) A1 = [0, 3[.(2) A2 = [0, 3[{4}.(3) A3 = {1, 2, 3, 4}.(4) A4 =

{1n| n N

} {0}.

Soluzioni: A1 ed A2 non sono compatti, A3 ed A4 sono compatti.


Derivazione: Sia f una funzione definita nellintorno di un puntox0, il rapporto incrementale della funzione f nel punto x0 e` dato dallaformula

f

x(x;x0) =

f(x) f(x0)x x0

(e` il coefficiente angolare della retta passante per i punti (x0, f(x0)) e(x, f(x))).

La funzione f si dice derivabile nel punto x0 se esiste finito il limite,per x che tende ad x0, del rapporto incrementale di f in x0, in tal casosi pone

f (x0) = limxx0

f

x(x;x0) = lim

xx0f(x) f(x0)

x x0 .f (x0) e` la derivata di f in x0.

Da un punto di vista geometrico la derivata rappresenta il coef-ficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione f nelpunto (x0, f(x0)).

LA derivata si denota anche con i simbolidf

dx(x), Df(x), f (1)(x).

Una funzione si dice derivabile se e` derivabile in tutti i punti del suodominio di definizione.

Se una funzione e` derivabile e` continua.Si ha

(1) D sinx = cosx,(2) D cosx = sinx,(3) Dex = ex.

Regole di derivazione:

(1) D(f g) = Df Dg,(2) D(fg) = (Df)g + fDg,(3) D f

g= gDffDg

g2,

(4) Df(g(x)) = Df(g(x))Dg(x),(5) Df1(y) = 1

(Df)(f1(y)) .

Esercizio:

(1) Calcolare, iterando la formula (2) della pagina precedente, D(xn),per n N.

(2) Calcolare, usando la formula (3) della pagina precedente, D tanx.(3) Calcolare, usando la formula (5) della pagina precedente, D log x.(4) Calcolare, usando la formula (5) della pagina precedente, D arctanx.

Soluzioni:

(1) D(xn) = nxn1, per n N.(2) D tanx = 1 + (tanx)2.(3) D log x = 1

x.

(4) D arctanx = 11+x2

.


Teoremi sulla derivazione:

(1) Teorema di Rolle: Siano a, b R con a < b e sia f :[a, b] R una funzione continua sullintervallo chiuso e deriv-abile (nellintervallo aperto). Se f(a) = f(b) allora esiste unpunto c ]a, b[ tale che f (c) = 0.

(2) Teorema di Lagrange: Siano a, b R con a < b e sia f :[a, b] R una funzione continua sullintervallo chiuso e deriv-abile (nellintervallo aperto). Allora esiste un punto c ]a, b[tale che

f(b) f(a)b a = f

(c).

Un punto x0 tale che f(x0) = 0 si dice punto critico. Un punto di

massimo (o minimo) relativo e` un punto critico ma non tutti i punticritici sono punti di massimo o di minimo (si pensi al punto 0 per lafunzione f(x) = x3). Dal teorema di Lagrange seguono i seguenti fatti:sia f :]a, b[ R (a, b [,+] e a < b) derivabile allora

(1) se f (x) = 0 per ogni x ]a, b[ allora f e` costante su ]a, b[;(2) se f (x) > 0 per ogni x ]a, b[ allora f e` crescente su ]a, b[;(3) se f (x) < 0 per ogni x ]a, b[ allora f e` decrescente su ]a, b[.

Uso delle derivata per il calcolo dei limiti: teorema di De LHopital.

Esercizio 1: Calcolare f (x) con(1) f(x) = sin(x2),(2) f(x) = e2x,(3) f(x) = e

3x

2x+1,

(4) f(x) = tan(xn), con n N,(5) f(x) = arcsin(

x).

Esercizio 2: Calcolare

(1) limx0 cos2 x1x2

,(2) limx0 tanxx ,(3) limx+ e

x1x

,

(4) limx exxx2

,

(5) limx+x

log x.

Soluzioni: Esercizio 1:

(1) f (x) = 2x cos(x2),(2) f (x) = 2e2x,(3) f (x) = (6x+1)e

3x

(2x+1)2,

(4) f (x) = nxn1(1 + tan2(xn)),(5) f (x) = 1

2xx2 .

Esercizio 2:

(1) limx0 cos2 x1x2

= 1,(2) limx0 tanxx = 1,(3) limx+ e

x1x

= +,(4) limx e

xxx2

= 0,

(5) limx+x

log x= +.


Derivata seconda di una funzione: definizione ed interpretazionegeometrica.

Definizione di asintoto.Studio di funzione:

(1) dominio della funzione;(2) limiti agli estremi del dominio (ed eventuali asintoti);(3) calcolo della derivate prima e studio del segno;(4) calcolo della derivate seconda e studio del segno.

Esercizio: Studiare le seguenti funzioni e disegnarne il grafico

(1) f(x) = x.(2) f(x) = xn, (n N pari).(3) f(x) = xn, (n N dispari e n 3).(4) f(x) =

x.

(5) f(x) = ex.(6) f(x) = log x.(7) f(x) = sinx.(8) f(x) = cos x.(9) f(x) = tan x.

(10) f(x) = arcsin x.(11) f(x) = arccos x.(12) f(x) = arctan x.


Studi di funzione.Formula di Taylor: sia f Ck(]a, b[), k N, e sia x0 ]a, b[.

Allora

f(x) = f(x0) + f(1)(x0)(x x0) + f

(2)(x0)

2!+ . . .+

f (k)(x0)

k!(x x0)k + o((x x0)k), per x x0.

Esercizio 1: Scrivere la formula di Taylor al terzo ordine (k = 3) nelpunto x0 = 0 delle seguenti funzioni

(1) f(x) = xn, (n N pari).(2) f(x) =

1 + x.

(3) f(x) = ex.(4) f(x) = log(1 + x).(5) f(x) = sinx.(6) f(x) = cos x.(7) f(x) = tan x.(8) f(x) = arcsin x.(9) f(x) = arccos x.

(10) f(x) = arctan x.

Esercizio 2: Usando la formula di Taylor calcolare i seguenti limiti

(1) limx02 cosx+sin(x2)2

log(1+x4).

(2) limx01+log(1+x)sinxcosx

tan(x3).

Soluzioni esercizio 1:

(1) Se n = 2: f(x) = x2, se n 4 (n N pari) f(x) = xn = o(x3)per x 0.

(2)

1 + x = 1 + x2 x2

8+ x

3

16+ o(x3), per x 0.

(3) ex = 1 + x+ x2

2+ x

3

6+ o(x3), per x 0.

(4) log(1 + x) = x x22

+ x3

3+ o(x3), per x 0.

(5) sinx = x x36

+ o(x3), per x 0.(6) cosx = 1 x2

2+ o(x3), per x 0.

(7) tanx = x+ x3

3+ o(x3), per x 0.

(8) arcsinx = x+ x3

6+ o(x3), per x 0.

(9) arccos x = pi2 x x3

6+ o(x3), per x 0.

(10) arctan x = x x33

+ o(x3), per x 0.


(1) limx02 cosx+sin(x2)2

log(1+x4)= 1

12.

(2) limx01+log(1+x)sinxcosx

tan(x3)= 1

2.


Esercizi sul calcolo dei limiti usando il teorema di De LHopital o laformula di Taylor.

Studi di funzione.

Esercizio 1: calcolare

(1) limx1(

1log x 1

x1

);

(2) limx1(1 x) tan(pix2

);

(3) limx0+ xx;(4) limx1 x

11x .

Esercizio 2: Studiare i grafici delle seguenti funzioni

(1) f(x) = xx21 .

(2) f(x) = x2 5x+ 4x 5.(3) f(x) = 3x+ 4

1 x2.

(4) f(x) =

x31x

.

(5) f(x) = x1x2 .


(1) limx1(

1log x 1

x1

)= 1

2.

(2) limx1(1 x) tan(pix2

)= 2

pi.

(3) limx0+ xx = 1.(4) limx1 x

11x = 1.


Esercizi sul calcolo dei limiti usando il teorema di De LHopital o laformula di Taylor.Integrazione indefinita: Data f : ]a, b[ R is consideri lequazione(differenziale)

F (x) = f(x) x ]a, b[. (1)

Una soluzione dellequazione si dice una primitiva della funzione f e sidenota con il simbolo

F (x) =

f dx.

Data una soluzione dellequazione (1), F1, tutte le altre soluzioni di (1)differiscono da F1 per una costante, ossia sono della forma

F1(x) + c

con c R.La risolubilita` dellequazione (1) richiede qualche ipotesi su f , as-

sumeremo f C(]a, b[).Proprieta`: siano f, g C(]a, b[) e sia c R allora(1)

(f + g) dx =

f dx+

g dx,

(2)cf dx = c

f dx.

Esercizio: Risolvere lequazione F = f con

(1) f(x) = xn;(2) f(x) = 1

1+x2;

(3) f(x) = 11x2 ;

(4) f(x) = 1x, x > 0;

(5) f(x) = 1x.

Soluzioni esercizio:

(1) F (x) = xn+1

n+1+ c, con c R.

(2) F (x) = arctan x+ c, con c R.(3) F (x) = arcsin x+ c, con c R.(4) F (x) = log x+ c, con c R.(5) F (x) = 2

x+ c, con c R.


Integrazione definita: Si vuole definire lintegrale di una funzionelimitata f : [a, b] R.

Una funzione h : [a, b] R si dice semplice se(1) e` costante a tratti;(2) ha un numero finito di punti di discontinuita`.

In altre parole lintervallo [a, b] e` lunione disgiunta di un numero finitodi intervalli, I1, . . . , In, n N,

[a, b] = I1 I2 . . . Ined h(x) su ogni intervallo Ik, k = 1, . . . , n, e` costante (uguale ad uncerto valore hk R). Per le funzioni semplici lintegrale si definisce nelmodo seguente b

a

h(x) dx = mis(I1)h1 +mis(I2)h2 + . . .+mis(In)hn,

il simbolo mis(Ik) denota la misura (ossia la lunghezza) dellintervalloIk (se Ik =]ak, bk[ allora mis(Ik) = bk ak).

Data f : [a, b] R limitata si definisce lintegrale superiore di f su[a, b] come

ba

f(x) dx =

inf

{ ba

h(x) dx | con h : [a, b] R semplice e f h in [a, b]}.

Analogamente, lintegrale inferiore di f su [a, b] e` dato dalla formula ba

f(x) dx =

sup

{ ba

h(x) dx | con h : [a, b] R semplice e f h in [a, b]}.

La funzione f e` integrabile (secondo Riemann) se ba

f(x) dx =

ba

f(x) dx

e in tal caso si pone ba

f(x) dx =

ba

f(x) dx(

=

ba

f(x) dx).

Non tutte le funzioni sono integrabili, le funzioni continue su [a, b] sonointegrabili. Le verifica di questo fatto si poggia sulla nozione di conti-nuita` uniforme.

Continuita` uniforme: una funzione f : [a, b] R e` uniforme-mente continua se

> 0 > 0 : |f(x) f(y)| se x, y [a, b] e |x y| < .Teorema: Sia f C([a, b]) allora f e` uniformemente continua.

Esercizi: studi di funzione.

Esercizio: Calcolare i seguenti limiti

(1) limx1log(1+(x1)2)sin(x1)2 ;

(2) limx+ x2 sinx

3x2+x1 ;

(3) limx0+ cosxx4+1+x2

x2.

Soluzioni:

(1) limx1log(1+(x1)2)sin(x1)2 = limx0+

log(1+x)sinx

= 1.

(2) limx+ x2 sinx

3x2+x1 = limx+sinx3

non esiste.

(3) limx0+ cosxx4+1+x2

x2= 1

2.


Esercizi di riepilogo: radice nesima di un numeri complesso, calcolodi limiti, studio di funzione.

Esercizio 1: calcolare i seguenti limiti

(1) limx0(

1(sinx)2

1x2

);

(2) limx0(cos(2x))3x2 ;

(3) limx1(

1x1 1log x

);

(4) limx0+(1x

)tanx.

Esercizio 2: studiare le funzioni

(1) f(x) = log xx

;(2) f(x) = log(1 + ex);(3) f(x) = log(sinx).


(1) limx0(

1(sinx)2

1x2

)= 1

3.

(2) limx0(cos(2x))3x2 = e6.

(3) limx1(

1x1 1log x

)= 1

2.

(4) limx0+(1x

)tanx= 1.


Teorema Sia f C([a, b]). Allora f e` integrabile secondo Riemann.

Teorema (della media) Sia f C([a, b]). Allora esiste c [a, b]tale che b

af(x) dx

b a = f(c).

Teorema Sia f C([a, b]) e siaF (x) =

x0

f(t) dt, x [a, b].Allora F e` derivabile in ]a, b[ e

F (x) = f(x) x ]a, b[.

Dal precedente teorema segue il seguente fatto: sia G una primitivadi f (ossia una soluzione dellequazione G(x) = f(x) in ]a, b[) allora b

a

f(x) dx = G(b)G(a) (1).Esercizio: usando la formula (1) calcolare i seguenti integrali

(1) 20x dx;

(2) 31x2 dx;

(3) 22 x

3 dx;

(4) pi0

sinx dx;

(5) 2pi0

cosx dx.

Soluzioni esercizio:

(1) 20x dx = 2.

(2) 31x2 dx = 26

3;

(3) 22 x

3 dx = 0;

(4) pi0

sinx dx = 2;

(5) 2pi0

cosx dx = 0.


Metodi di integrazione:Decomposizione: siano f, g C([a, b]) allora

(f + g) dx =

f dx+

g dx.

Integrazione per parti: siano f, g C([a, b]) ed F,G tali che F = fe G = g in ]a, b[. Allora

Fg dx = FGfGdx.

Integrazione per sostituzione:f(g(x))g(x) dx = F (g(x)) + C

con C R e F = f .Nel caso di integrali definiti le precedenti formule si riscrivono nel

modo seguente

(1) ba[f(x) + g(x)] dx =

baf(x) dx+

bag(x) dx,

(2) baF (x)g(x) dx = F (b)G(b) F (a)G(a) b

af(x)G(x) dx,

(3) baf(g(x))g(x) dx =

g(b)g(a)

f(t) dt = F (g(b)) F (g(a)).

Esercizio: calcolare i seguenti integrali (definiti)

(1) 10

3x2+2x+11+x2

dx;

(2) 2pi0

(cosx)2 dx;

(3) 10xex

2dx;

(4) 21

log x dx.

Soluzioni

(1) 10

3x2+2x+11+x2

dx = 3 pi2

+ log 2.

(2) 2pi0

(cosx)2 dx = 2pi0

(sinx)2 dx = pi.

(3) 10xex

2dx = 1e

12

.

(4) 21

log x dx = log 4 1.


Esercizi su numeri complessi, studio di funzione, integrazione.

Esercizio: calcolare i seguenti integrali indefiniti

(1)

ex+1e2x+1 dx;

(2)

1x(1+x2)

dx;

(3)x3ex

2dx.

Soluzioni:

(1)

ex+1e2x+1 dx = arctan(e

x) + 12

log(1 + e2x) + C.

(2)

1x(1+x2)

dx = log(

|x|1+x2

)+ C.

(3)x3ex

2dx = x2+1

2ex

2+ C.


Applicazione degli integrali alla geometria:

Calcolo della lunghezza di una curva: sia f : [a, b] R unafunzione derivabile con derivata prima continua in un intervallo conte-nente [a, b]. Allora la lunghezza del grafico di f e` data dalla formula

L =

ba

1 + [f (x)]2 dx.

Motivazione: lespressione precedente si deduce definendo la lunghezzadi una curva come il limite delle lunghezze di una successione di curvepoligonali approssimanti la curva data.

Calcolo dellarea di una figura piana: siano f, g : [a, b] Rdue funzioni continue e si consideri la figura piana compresa tra le rette(verticali) x = a, x = b ed i grafici di f e di g. Allora larea di talefigura e` data dalla formula

ba

|f(x) g(x)| dx.

Motivazione: linterpretazione geometrica dellintegrale di una funzionepositiva.

Volume di un solido di rotazione: sia f : [a, b] R unafunzione continua e positiva e si consideri il solido ottenuto ruotandodi 2pi il grafico di f intorno allasse orizzontale. Allora il volume di talesolido e` dato dalla formula

pi

ba

[f(x)]2 dx.

Per oggi nessun esercizio.

Contenuto della lezione ed esercizi 11/11/2014)

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine:

Equazioni differenziali a variabili separabili: siano f, g C(]a, b[)e si consideri lequazione

y(x) = f(x)g(y(x)).

La soluzione generale e` data (in forma implicita) dalla formulady

g(y)=

f(x) dx

(dalla quale, talvolta, si puo` ricavare y in funzione di x).

Si consideri ora il problema di Cauchy

y(x) = f(x)g(y(x)), y(x0) = y0. (1)

I numeri x0, y0 R sono dati. Supponendo che g(y0) 6= 0, la soluzionedi (1) e` data (in forma implicita) dalla formula y

y0

ds

g(s)=

xx0

f(s) ds.

Equazioni differenziali lineari: siano a, b C(]a, b[) e si considerilequazione

y(x) = a(x)y(x) + b(x).

Supponiamo prima che sia b 0. In tal caso lequazione e` a variabiliseparabili e

y(x) = ea(x) dxC (2)

C e` una costante arbitraria. Per trovare la soluzione generale (b 6 0)si usa il metodo di variazioni delle costanti: si cerca una soluzione della

formay(x) = e

a(x) dxC(x)

essendo C(x) una funzione da determinare. Allora si ha

y(x) = a(x)y(x) + ea(x) dxC (x)

ed imponendo che y risolva (2) si deduce

C (x) = ea(x) dxb(x)

ossia, integrando,

C(x) = C0 +

e

a(x) dxb(x) dx,

C0 e` una costante arbitraria. In definitiva, la soluzione generale e` datadalla formula

y(x) = ea(x) dx

(C0 +

e

a(x) dxb(x) dx

)C0 e` una costante arbitraria.

Si consideri ora il problema di Cauchy

y(x) = a(x)y(x) + b(x), y(x0) = y0. (3)

I numeri x0, y0 R sono dati. La soluzione di (3) e` data allora dallaformula

y(x) = e xx0a(s) ds

(y0 +

xx0

e sx0 a(t) dtb(s) ds).

Esercizio: risolvere i seguenti problemi di Cauchy

(1) y = yx

+ x sinx e y(pi) = 0.(2) y = 2xy + x3 e y(0) = 0.(3) y + xy

1x2 = x e y(0) = 1

Soluzioni:

(1) y(x) = x(1 + cos x).(2) y(x) = e

x21x22

.

(3) y(x) = e1x21 + 1 +

1 x2.

Esercizi (13/11/2014)


(1) y = y(2 y) e y(0) = 1.(2) y =

|y| e y(0) = 1.(3) y = y sinx e y(0) = pi

2.

(4) trovare due soluzioni dellequazione y =|y| con y(0) = 0.

Soluzioni:

(1) y(x) = 2e2x

1+e2x.

(2) y(x) =(x+22

)2.

(3) y(x) = pi2e1cosx.

(4) Lequazione in esame e` un celebre esempio che presenta undifetto di unicita` (dovuto alla bassa regolarita` della funzione|y|, tale funzione non e` neanche lipschitziana nel punto 0).y(x) 0 e` una soluzione dellequazione. Unaltra soluzione e`,ad esempio, la funzione definita a tratti y(x) = x2

4per x 0

e y(x) = x2

4per x > 0 (esistono altre possibili soluzioni).

Lezione ed esercizi (17/11/2014)

Equazioni differenziali lineari del II ordine a coefficienticostanti:Equazioni omogenee: dati a, b R si consideri lequazione (in y())

y(t) + ay(t) + by(t) = 0. (1)

Si osservi che se y0() ed y1() risolvono lequazione (1) anche la com-binazione lineare

C0y0 + C1y1(con C0, C1 R scelti ad arbitrio) e` soluzione dellequazione (1).

Si associ allequazione (1) il polinomio (caratteristico)

p() = 2 + a+ b.

Si possono verificare tre possibilita`:

(1) il polinomio caratteristico ammette due radici reali distinte,0, 1;

(2) il polinomio caratteristico ammette due radici complesse, i;(3) il polinomio caratteristico ha uno zero (reale) doppio, .

Nel primo caso (due radici reali semplici) la soluzione generale di (1) e`data dalla formula

y(t) = C0e0t + C1e

1t,

(con C0, C1 costanti scelte in modo arbitrario).Nel secondo caso (due radici complesse coniugate) la soluzione generaledi (1) e` data dalla formula

y(t) = et(C0 cos(t) + C1 sin(t)

),

(con C0, C1 costanti scelte in modo arbitrario).Nel terzo caso (uno zero reale doppio) si ha

y(t) = et(C0 + C1t),

(con C0, C1 costanti scelte in modo arbitrario).

Esercizio: trovare le soluzioni (generali) delle seguenti equazioni

(1) y 3y + 2y = 0;(2) y + y + y = 0;(3) y 6y + 9 = 0.

Soluzioni:

(1) y(t) = C0et + C1e

2t, con C0, C1 arbitrarie.

(2) y(t) = et2

(C0 cos

(t3

2

)+C1 sin

(t3

2

)), con C0, C1 arbitrarie.

(3) y(t) = e3t(C0 + C1t), con C0, C1 arbitrarie.

Lezione ed esercizi (18/11/2014)

Equazioni differenziali lineari del II ordine a coefficienticostanti:Equazioni non omogenee: dati a, b R ed una funzione f(t) si considerilequazione (in y())

y(t) + ay(t) + by(t) = f(t). (1)

Supponiamo, per semplicita`, che il polinomio caratteristico ammettadue radici reali distinte. Vogliamo trovare la soluzione generale delle-quazione (1). La soluzione generale dellequazione (1) e` la somma dellasoluzione generale dellequazione omogenea (f 0), ygo(), con unasoluzione particolare dellequazione (1), yp(), ossia

y(t) = ygo(t) + yp(t).

Una soluzione particolare dellequazione (1) e` data dalla formula

yp(t) =1

(D 0)(D 1)f(t) = e1t

e(01)t

(e0tf(t) dt

)dt.

Quindi, la soluzione generale dellequazione (1) e` data dalla formula

y(t) = C0e0t + C1e

1t + e1te(01)t

(e0tf(t) dt

)dt,

(con C0, C1 costanti scelte in modo arbitrario).


(1) y + 3y 4y = 4t2 + 6t+ 2, y(0) = 2, y(0) = 3.(2) y + 4y + 5y = 0, y(pi) = 1, y(pi) = 0.(3) y 14y + 49y = 0, y(0) = 1, y(0) = 10.

Soluzioni:

(1) y(t) = et + e4t + t2.(2) y(t) = e2(pit)(cos t+ 2 sin t).(3) y(t) = e7t(3t+ 1).

Sintesi della lezione (24/11/2014)

Funzioni di piu` variabili:

Limiti: sia f : Rn R, con n = 2 oppure n = 3, sia P0 Rn(ossia P0 = (x0, y0) se n = 2 oppure P0 = (x0, y0, z0) se n = 3) e sia `un numero reale. Con il simbolo

limPP0

f(P ) = `

si intende che per ogni > 0 esiste > 0 tale che per ogni P B(P0) \ {P0} si abbia

` < f(P ) < `+ .Il simbolo B(P0) \ {P0} denota la palla con centro in P0 e raggio privata del punto P0.

Continuita`: una funzione f : Rn R si dice continua nel puntoP0 se

limPP0

f(P ) = f(P0).

Derivate parziali: sia f : R3 R allora la derivata parziale di frispetto alla variabile x e` data dalla formula

Dxf(x, y, z) = xf(x, y, z) = limh0

f(x+ h, y, z) f(x, y, z)h

.

Si definiscono in modo analogo le derivate parziali rispetto alla variabiley e alla variabile z.

Mentre nel caso di funzioni di una variabile reale la derivabilita` inun dato punto implica lesistenza della retta tangente al grafico dellafunzione nel punto corrispondente al punto dato nel caso di funzioni, adesempio, di due variabili lesistenza delle derivate parziali non implicalesistenza del piano tangente al grafico della funzione nel punto dato.Si pensi, ad esempio, al comportamento della funzione

f(x, y) =

{1, xy = 00, xy 6= 0,

vicino al punto (0, 0). La nozione analoga alla derivabilita` e`, nel casodi funzioni di piu` variabili la differenziabilita`.

Differenziabilita`: sia f : R3 R e sia (x0, y0, z0) R3. f e`differenziabile in (x0, y0, z0) se esistono a, b, c R tali chef(x, y, z) = f(x0, y0, z0) + a(x x0) + b(y y0) + c(z z0)+

o((x x0, y y0, z z0))per (x x0, y y0, z z0) 0. Il simbolo(x x0, y y0, z z0) =

(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2

denota la distanza di (x, y, z) da (x0, y0, z0). Se f e` differenziabile in(x0, y0, z0) allora

xf(x0, y0, z0) = a, yf(x0, y0, z0) = b, zf(x0, y0, z0) = c.

Il gradiente della funzione f e` il vettore

f(x, y, z) = (xf(x, y, z), yf(x, y, z), zf(x, y, z)).

Nessun esercizio assegnato su questa parte di programma.

Nelle lezioni dei giorni 27/11, 1/12, 2/12, 4/12, 9/12, 11/12, 15/12e 16/12 sono stati svolti esercizi in preparazione allesame.

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