FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS · 2008. 12. 9. · Függvény deriváltja...

Függvény deriváltja

FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS

1. Definíció Definíció Az ( )f x függvény pontban értelmezett deriváltja a

0x( ) ( )0 0

0x

f x x f xlim

x∆ →+ ∆ −

∆

határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).

A deriváltat ( )0f x′ vagy ( )

0

df xx xdx =

.jelöli, ez utóbbit gyakran

nevezik differenciálhányadosnak, ez az elnevezés a definícióra utal.

у f(x) f(x0 +∆x) P ∆f f(x0) M α β ∆x 0 x0 x0 + ∆x x

Figure 16

Deriválási szabályok

1. (Összeg), ( ) ( )( ) ( ) ( )u x v x u x v x′ ′ ′+ = +2. (Különbség), ( ) ( )( ) ( ) ( )u x v x u x v x′ ′ ′− = −3. , ahol a egy konstans (Linearitás), ( )( ) ( )а u x а u x′ ′⋅ = ⋅4. (Szorzat), ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x v x u x′ ′ ′⋅ = +

1


5. ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )2

u x u x v x v x u xv x v x

′⎛ ⎞ ′ ′−

=⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( ) 0v x ≠ (Hányados),

6. ( )( ) ( ) ( )f g x f g x g x′⎡ ⎤ ′= ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ′ (Láncszabály),

7. ( ) ( ) ( )1

1

1

y f x

f xf y

−

−=

′⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ′

, ahol ( )1f x− az ( )f x függvény

inverze. Elemi függvények deriváltja 1. , aholc - konstans, ( ) 0c ' =

2. , ahol - konstans, ( ) 1ax ax −′ = a′= 0 1a , a> ≠

а

3. , ( )x xa a lna4. ( )x xe e′ = , 5. ( ) 1alog x xlna

′ = ,

6. ( ) 1ln xx

′ = ,

7. ( )sin x cos x′ = , 8. , ( )cos x sin x′ = −

9. ( ) 21tg x

cos x′ = ,

10. ( ) 21ctg x

sin x′ = − ,

11. ( )2

1

1arcsin x

x

′ =−

,

12. ( )2

1

1arccos x

x

′ = −−

,

2


13. ( ) 21

1arctg x

x′ =

+,

14. ( ) 21

1arcctg x

x′ = −

+.

Derválás a Maple-ben > diff(f,x);

> Diff(f,x); ahol f egy- vagy többváltozós függvény, x a változó, ami szerint deriválunk.

Példa. Deriválja a következő függvényt: ( )468

xf x = .

Megoldás a Maple-ben. >f’:=Diff(8^(6^(4^x)),x)= diff(8^(6^(4^x)),x);

4 46 6 48 8 6 4 4 6

x x x xd 8f ' : ln .ln .lndx

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Példa. Deriválja a következő függvényt: ( ) 3 5f x x x= + . Megoldás a Maple-ben. >f:=sqrt(x^3+5*x);>f’:=Diff(f,x)=diff(f,x);

( ) ( )2

33

3 55

2 5

xdf ' : x xdx x x

+= + =

+

Gyakorló feladatok.Deriválja a következő függvényeket:

( ) 100 42 3 4f x x x x= + + , a) b) ( ) ( )( )4 2x 5f x sin arctg e x−= + , c) ( ) 4

17 7

f xx x

=+

,

3


d) ( ) 21arccos xf x

x=

−,

e) ( )3

33x

xf x e e= − ,

f) ( ) ( ) ( )22 2 2f x tg x sin x ln arctgx= + + . 2.Deriválási módszerek

1) Logaritmikus deriválás: ( ) ( )h xg x (1) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

g' xln g x g' x g x ln g x

g x′ ′

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Példa. Deriválja a következő függvényt:

( ) ( )( )21 / xf x ln x= . Matematikai megoldás.

( )21ln f ln ln xx

=

és

( )ln f ′ = 31 1 2lnln x

ln xx⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

az (1) alapján következik, hogy

(2) ( ) ( )12

31 2x

ln xf ' l

ln xx⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

n ln x .

Megoldás a Maple-ben. >diff((ln(x))^(1/x^2),x);

( ) ( )( )( )

12

3 312x

ln ln xln x

x x ln

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠x

,

Ami ekvivalens a (2)-vel.

4



( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 5 72

23

1 3 2

1 2

x x xf x

x x

− + +=

+ −.

Matematikai megoldás.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 5 3 7 2 1 22 3 3

ln f ln x ln x ln x ln x ln x= − + + + + − + − − ,

( ) ( ) ( ) ( )1 5 7 2 1

2 1 3 2 3 1 3 2ln f

x x x x x′ = + + − −

− + + + −⇒

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 5 72

23

1 3 2 1 5 7 2 12 1 3 2 3 1 3 21 2

x x xf ' .

x x x x xx x

⎡ ⎤− + += + + − −⎢ ⎥− + + + −⎣ ⎦+ −

.

Megoldás a Maple-ben. >restart: >f:=((x-1)^(1/2)*(x+3)^5*(x+2)^7)/((x+1)^2* (x-2))^(1/3); >f’:=simplify(diff(f,x));

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

4 64 3 2

12 3

23 12 143 16 100 3 212

1 2 2 1 1

x x x x x xf ' :

x x x x x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ − − + + +=

+ − − + −

.

2) Paraméteres függvények deriválása

Az ( )y x : ( )( )x ty t=⎧

⎨ =⎩

ϕψ


( ) ( )( )t

y' xt

ψϕ′

=′

.


(3) . {x acosty b sint==Matematikai megoldás.

5


( )( )b sint ' bcost by ctg tacost ' a sint a

′ = = − = − .

Megoldás a Maple-ben. (4) >y’:=diff(b*sin(t),t)/diff(a*cos(t),t);

( )( )

bcos ty' :

a sin t= − .

3) Implicit függvény deriváltja If , where ( )F x,y = 0 ( )y = y x , then

( )0'

' 'xx y'

y

Fy FF

= − ≠ .


(5) 2 2

2 2 1x ya b

+ = .

Matematikai megoldás. Az (5) egyenlet ekvivalens az ellipszis (3)-ban megadott

paraméteres alakjával, és ez az egyenlet a következő alakban is írható:

( )2 2

2 2 1 0x yF x,ya b

= + − = .

Ki kell számítani az F(x,y) parciális deriváltjait, majd ezek segítségével a kívánt deriváltat:

2 22 2' '

x yx yF , F

a b= = ⇒

2

2'x

b xya y

= −

A továbbiakban a (3)-ból és az

221 1 tg t

cos t= +

Összefüggés alapján:

2 2

22 21

a a xtg tx x

2−= − + = .

Következésképpen:

6


2 2

'x

dy bxydx a a x

= = ±−

.

Megoldás a Maple-ben. >f:=x^2/a^2+y^2/b^2-1;>y’:=diff(f,y)/diff(f,x);

2

2b xy' :a y

= −

Második megoldás a Maple-ben. >Z:=diff(x^2/a^2+y(x)^2/b^2,x);

( ) ( )

2 2

22

dy x y xx dtZ :

a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= +

(6) >Q:=solve(Z=0,diff(y(x),x));

( )

2

2xbQ : y'

y x a= = −

Gyakorló feladatok.. Deriválja a következő függvényeket:

( ) ( )( )

3

2 3

2 1 3 2

5 4 1

x xf x

x x

− +=

+ −a) ,

b) ( ) ( )4 32 7f x ln x x= + ,

c) ( ) ( )( )( ) ( )

3

31 3

2 4

x xf x ln

x x

− −=

− −,

d) , ( )t

t

x e sinty x :

y e co s

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩ te) ( ) xy x x= , f) , 0y xx y− =g) , 0x.sin y y.sin x+ =

h) ( ) ( )2 25 2

14 9

x y− −− = ,

7


i) ( )22 3

125 16

yx −+ = ,

k) 2 23 3x

23y a+ = ,

l) , ( ) (22 2 2 2 2x y a x y+ = − )m) ( ) ( )( )71 xf x ln x += + ,

n) ( ) ( ) ( )71 tg xf x cos x += + . 3. Magasabb rendű deiváltak

Definíció. Az ( )f x függvény x szerinti kétszeres, háromszoros

stb deriváltja a függvény magasabb rendű deriváltjai, a következő jelölések szerint:

( ) dff ' xdx

= ,

( ) ( ) ( )2

2

d df '' x f ' x f ' xdx dx

′= = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦f ,

( ) ( ) ( )3

3

d df ''' x f '' x f '' xdx dx

′= = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦f ,

……………………………………………

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1n

n n nn

d df x f x f xdx dx

− −′⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦f

=

..

,

ahol . 2 3 4n , , ,.= Maple utasítások: >diff(f,x$n); >Diff(f,x$n);

ahol f, x a változó, ami szerint deriválunk, és – n- a deriválás rendje.

Példa. Deriválja n-szer a következő függvényt: (7) 2f sin x=

8


Matematikai megoldás A deriválás eredménye rendre

2 2 2 22

f ' cos x sin x π⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠

,

24 2 2 2 22

f '' sin x sin x π⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

,

38 2 2 2 32

f ''' cos x sin x π⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

,

( )4 416 2 2 2 42

f sin x sin x π⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Ezekből következtethetünk az általános esetre:

(8) ( ) ( )1 12 2 12

n ny sin x n π− − ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

,

ahol . 2 3 4n , , ,.= ..Tehát a (8) pontban szereplő függvény n-id deriváltja::

(9) ( ) ( )( )1n ny y − ′= = 2 2 2 2n cos x n⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

π π 2 22

n sin x n⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

π ,

mivel 2

cos sin⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

πα α , 2 3 4n , , ,...= .

Következésképpen,

( )( )2 2 22

n nsin x sin x nπ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Megoldás a Maple-ben. Rendre felírható: >diff(sin(2*x),x); >diff(sin(2*x),x$2); >diff(sin(2*x),x$3); >diff(sin(2*x),x$4);

Példa. Számítsa ki a következő függvény ( )f '' x második

deriváltját

( ) ( )( )21 / xf x ln x= .

9


Megoldás a Maple-ben. >factor(diff(ln(x)^(1/x^2),x$2));

( )( )214

/ xln xx 2 2 2

1 2 1 1 23 2lnln x lnln xln x ln xx ln x x ln x

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ − − − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦.


deriváltját

. ( ) {x acosy x : y b sint== tMegoldás a Maple-ben. Előbb a (4) alapján kiszámítható:y’ >y’:=diff(b*sin(t),t)/diff(a*cos(t),t);

És felírjuk továbbá: >y’’:=diff(f’,t)/diff(a*cos(t),t);

( )( )

( )

2

2bcos tb

a a sin ty'' :

a sin t

+

= − .

Matematikai megoldás A (4) összefüggés alapján:

by cta

′ = − g t

és

( )d y' x

dty" dxdt

=

azaz

2 31by"

a sin t= − .


deriváltját

10


2 2

2 2 1x ya b

+ = .

Megoldás Maple-ben Használja a subs(M,N,P) utasítást, amivel a P

kifejezésben az M értéket N-re cseréljük: >subs(diff(y(x),x)=Q,diff(Q,x));

( ) ( )

2 2

2 3 4

b x byy x a y x a

′′ = − −4

.

A megoldás ekvivalens a matematikai megoldással.

2 2

2 2b x bya y a

′⎛ ⎞

′′ = − = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

2 2 2 2y y x b b xy

y a y a⎛ ⎞′−

= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

2

y.

Gyakorló feladatok. 1) Számítsa ki a következő függvények második deriváltját: :

a) ( ) 2712

f xx

= −+

,

b) , ( )( )( )1

x a t sinty x :

y a cost

= −⎧⎪⎨

= −⎪⎩

c) ( ) 2 2 21 31 13 2

f x x x x x arcsin x= − + − + ,

d) ( )25y x x ln x arcsin y, y y= + + = x . 2) Igazolja, hogy az ( ) ( ) ( )y x sin ln x cos ln x= + függvény

megoldása a következő differenciálegyenletnek: 2 0x y" xy' y+ + = .

3) Számítsa ki a következő függvények n-ik deriváltját: a) ( ) 6xf x e= , b) ( ) 3f x sin x= .

11


4. Függvény differenciálja

Definíció. Legyen az ( )f x függvény az pontban deriválható.

Az 0x

( )f x -nek a differenciálja, ( )0df x a következő szorzat: ( )0f x dx′ , ahol az differenciálja. dx x

Definíció. Legyen az ( )f x függvény az pontban n-szer deriválható. Az

0x

( )f x n-ed rendű differenciálját ( )2n ≥ ( )nd f x jelöli, és rekurzíven értelmezhető, azaz az ( )f x függvény ( )-ed rendű differenciáljának a differenciálja:

1n −

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )1110 0 0 0n nn nn nd f x d d f x d f x dx f x dx−−−= = =.

Maple utasítással. Az f differenciálja: >D(f);

Példa. Számítsa ki az ( ) 23 1 9f x arcsin x. x= − függvény ( ) ( ) ( ) ( )22df x , d f x f '' x . dx= differenciáljait: .

Matematikai megoldás .

( ) ( )2

9 331 9

x.arcsin xdf x f ' x .dx dxx

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

,

( ) ( )222

9 331 9

x.arcsin xd f x dxx

′⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠=

( )( )

22

32 2

3 3 1 99

1 9

arcsin x x x. d

x

⎛ ⎞⎜ ⎟+ −

= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

x .

Megoldás a Maple-ben.

12


>DY1:=D(arcsin(3*>DY2:=D(DY1);

x)*sqrt(1-9*x^2));

simplify(DY2); > Gyakorló feladatok. Számítsa ki a következő függv

x , d f x f '' x . dx= differenciáljait: ények

) ( ) ( ) ( )22(df( ) ( )3 24 6 2f x x x .arctg= − x , a) ( ) 2tf t e= , b) ( ) ( )1f x arctgx.ln x= +c) , ( ) 10 5 16 4f x sin x cos x=d) − ,

e) ( ) 3 3f x x sin= x ,

( )2

2 4xf x

x=

+, f)

g) ( ) 2 3xf x e .cos x−= . 5. A deriváltak alkalmazása - a L’Hospital szabály

A szabály nevét Guillaume de l'Hôpital 17. században élt francia

matematikusról kapta, aki ezt a szabályt az Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696) című könyvében írta en).

zható a következő függvények a kiszámítására

le (magyarul: A kis végtelenek elemzése a görbék megértésébA L’Hospital szabály alkalma

határértékeinek ( )( )

f x, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x f x .g x , f x , f x g x−

g x

a következő határozatlansági esetekben:

[ ] 00 0 10

, , , , ∞ ,∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∞ ⋅ ∞ [ ]∞ −∞ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦Tétel. Adottak az ( ) ( )f x , g x függvények;

Amelyek egy- olyan intervallumon értelmezettek, amelynek

- Deriválhatók az pontban,

0x határpontja,

0x x≠

13


- Folytonosak pontban vagy határértékük egyidejűleg végtelen.!

0x x=

- ( ) ( )0 0 0f x = g x = ( ) ( )0 0f x = g x⎡ ⎤= ∞⎣ ⎦ ha ( ) 0g' x ≠ , . 0x x≠Ekkor a következő két határérték egyenlő, feltéve, hogy a

második létezik

( )( )

( )( )0 0x x x x

f x f xlim lim

g x g x→ →′

=′

.

Példa. Számítsa ki a következő határértéket:

( )( )0

36x

ln cos xlim

ln cos x→.

Matematikai megoldás

( )( )0

0

333 366 66

xx

sin x.ln cos x cos xlim lim sin xln cos x .cos x

→

→

−= =

− 01 3 62 6 3x

sin xcos xlimsin xcos x→

=

0 0

1 3 62 6 3x x

sin x cos xlim limsin x cos x→ →

= ⋅ =0

1 3 3 1 112 6 6 2 2x

cos xlimcos x→

14

⋅ = ⋅ = .

Megoldás a Maple-ben. >Limit(ln(cos(3*x))/ln(cos(6*x)),x=0)= limit(ln(cos(3*x))/ln(cos(6*x)),x=0);

( )( )0

3 16 4x

ln cos xlim

ln cos x→=


( ) 42

3xtg

xlim x

π

→− .

Matematikai megoldás .

( ) 42

3xtg

xA lim x

π

→= −Legyen . Ekkor

( ) ( )42 2

3 1 34

xtg

x x

xln A lim ln x lim tg .ln xπ

∞

→ →

π⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦ =

14


( ) ( )2 2

33 00

4 4

L' Hospital' s Rule

x x

ln xln xlim limx xct g ct g→ →

′−⎡ ⎤− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥ ′π ⎣ ⎦ π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) 2 4

2 2

2

1 1 4 43 41 3

44

x x

x. sinxlim lim A e

x.xsin

π→ →

π−− = = ⇒ =

π π − π−π

.

Megoldás a Maple-ben. >Limit((3-x)^(tan(Pi*x/4)),x=2)= limit((3-x)^(tan(Pi*x/4)),x=2);

( )4

42

3xtg

xlim x e

ππ

→− = .


( )1

12xxlim x .tg π

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.


( ) [ ]1

1 02xxlim x .tg .π

→

⎛ ⎞− ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

( )1 1

11 00

2 2

L' Hospital' s Rule

x x

xxlim limx xct g ct g→ →

′−− ⎡ ⎤= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥ ′π ⎣ ⎦ π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

21 1

2

1 21 2

22

x x

xlim lim sin

xsin

→ →

2π= − = −

π π π−π

.

Megoldás a Maple-ben. >Limit((x-1)*tan(Pi*x/2),x=1)= limit((x-1)*tan(Pi*x/2),x=1);

15


( )1

212xxlim x .tg π

π→⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

−

Gyakorló feladatok. Számítsa ki a következő határértékeket a l’Hospital szabállyal: :

a) 1 44

1x

x

arctgx 0L lim 0

e→∞

π − ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦−

Megoldás a Maple-ben. >L[1]:=Limit((Pi-4*arctan(x))/(exp(4/x)-1), x=infinity)=limit((Pi-4*arctan(x))/ (exp(4/x)-1),x=infinity);

1 44

1x

x

arctgxL : lim =1

e→∞

π−=

−


, ( )4

24xg x e

x−′ = ⋅ , 1 1L = . ( ) 2

41

f xx

′ = −+

b) 2 02 0

0

x x

x

e e xL limx sin x

−

→

− − ⎡ ⎤= ⎢ ⎥− ⎣ ⎦

Megoldás a Maple-ben. >L[2]:=Limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)/(x-sin(x)),x=0) =limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)/(x-sin(x)),x=0);

2 02 2

x x

x

e e xL : limx sin x

−

→

− −= =

−

Matematikai megoldás Felírható, hogy

( ) ( )2 2x x x xf x e e x e e− −′′ = − − = + − ,

16


( ) ( ) 1g x x sin x cos x′′ = − = − tehát

21 1 2 0

1 1 0L + − ⎡ ⎤= ⎢ ⎥− ⎣ ⎦

.

A szabály ismételt alkalmazásával: ( ) x xf x e e−′′ = − ,

( )g x sin x′′ = ⇒ 21 1 0

0 0L − ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

És még egyszer ( ) x xf x e e−′′′ = + , ( )g x cos x′′′ = ⇒ 2 2L = .

c) 2

3 2xx

xL lime→∞

∞⎡ ⎤= ⎢ ⎥∞⎣ ⎦

Megoldás a Maple-ben. >L[3]:=Limit(x^2/exp(2*x),x=infinity)= limit(x^2/exp(2*x),x=infinity);

2

3 2 0xxxL : lime→∞

= =

Matematikai megoldás ( ) 2f x x′ = , ( ) 22 xg x e′ = ⇒

3 2xxxL lim

e→∞∞⎡ ⎤= ⎢ ⎥∞⎣ ⎦

L' Hospital' s Rule⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

, ( ) 2f x′′ = ( ) 24 xg x е′′ = ⇒

3 21 1 0

2 xxL lim

e→∞= =

∞= .

d) 04 0 0

0xx

L lim x→ +

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

Megoldás a Maple-ben. >L[4]:=Limit(x^x,x=0,right)=limit(x^x,x=0, right);

17


4 0 01x

xL : lim x

→ += =


0 0 0 0

x

x xE lim ln x lim xln x

→ + → += = =

0 0 1x

ln xlim

x→ +

∞⎡ ⎤= ⎢ ⎥∞⎣ ⎦L' Hospital' s Rule⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 20 0

1 01x

/ xlim/ x→ +

= ⇒−

. 04 1EL e e= = =

e) [ ]5 01 1

1xxL lim

x e→⎛ ⎞= − ∞ −⎜ ⎟−⎝ ⎠

∞ ,

Megoldás a Maple-ben. >L[5]:=Limit(1/x-1/(exp(x)-1),x=0)= Limit(1/x-1/(exp(x)-1),x=0);

5 01 1

21xxL : lim

x e→⎛ ⎞= −⎜ ⎟−⎝ ⎠

1=


( )5 01 0

01

x

xx

e xL limx e→− − ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦−

L' Hospital' s Rule⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

0

1 001

x

x xx

elime xe→

− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥− + ⎣ ⎦L' Hospital' s Rule⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

( ) 50

1 12 22

x

xx

elim Le x→

= = ⇒+

= .

6. A deriváltak további alkalmazásai

1. Az ( )y f x= függvény érintőjének egyenlete az ( )( )0 0x , f x pontban a következőképpen írható fel:

18


. ( )(0 0y y f x x x′= + − )0Ha , akkor az érintő ( )0f x′ = ∞ 0x x= . 2. Az ( )y f x= függvény normálisának egyenlete az ( )( 0 0x , )f x pontban a következőképpen írható fel:

( ) ( )0 001y y x x

f x= − −

′.

Ha , a normális ( )0 0f x′ = 0x x= . Példa. Írja fel az görbe érintőjének és normálisának

egyenletét az

2 2 1x y+ =1 12 2

M ,⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ pontban.

Megoldás a Maple-ben. >V:=diff(x^2+y(x)^2,x); >W:=solve(V=0,diff(y(x),x)); >subs(x=1/sqrt(2),y(1/sqrt(2))=1/sqrt(2),W);

Válasz. ( ) ( )2 2 дV x y x y xдx

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( )xW

y x= − , . 1−

Matematikai megoldás Az kiszámítása után: ( )y x′

( )2 2 0 xx yy y , y My

′ ′ ′+ = ⇒ = − = 1− .

A keresett egyeneletek:

( )1 11 22 2t

y x x⎛ ⎞= + − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(érintő),

( )1 112 2n

y x⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

x (normális).

Példa. Határozza milyen szögben metszik egymást a következő görbék , . 1y x=

32y x=

Megoldás a Maple-ben.

>solve(x=x^3,x); Válasz. 0 1 1, ,−>y1:=diff(x,x); Válasz. 1 1y :=

19


>y2:=diff(x^3,x); Válasz. 22 3y : x=>arctan(subs(x=0,(y1-y2)/(1+y1*y2))); >arctan(subs(x=1,(y2-y1)/(1+y1*y2))); >arctan(subs(x=-1,(y2-y1)/(1+y1*y2))); Válasz. 4/π , ( )1 2arct g / , ( )1 2arct g / . Matematikai megoldás A görbék metszéspontját a következő egyenlet megoldásával

határozhatjuk meg: 3x x= ⇒ ( )( )1 1 0x x x− + = ⇒ , 1 0x ,= 2 31 1x ,x= − =

21 21 3y , y x′ ′= = .

Két esetet különböztetünk meg (lásd Fig. 17): 1) 1 1 20 1x , y , y 0

′ ′= = = . A

( )1tg tgtg

tg tgα βα βα β−

− =+

képlet alapján

1 21 11 2

1 0 11 0 41

y ytgy y

′ ′− −= = = ⇒ =′ ′ ++

πα α .

2) 2 3 1 2 2 23 1 1 11 1 31 3 2 2,

x , y , y tg arctg−′ ′= = = ⇒ = = ⇒ =+

m α α .

A görbék szimmetriájából következik, hogy

3 212

arctg= =α α .

20


Figure 17 Gyakorló feladatok.

1) Számítsa ki az abszcisszatengely és az 5 32 13 9

y x x= −

függvény pontbeli érintőjének szögét. Írja fel az adott pontban az érintő és a normális egyenletét.

1x =

2) Írja fel az adott pontban az érintő és a normális egyenletét: a) az 2 2 42 3 4x xy y+ + = 6 ( )1 1M ,− , b) 2 xy x −= az abszcisszájú pontban, 1x = −c) 3 1y x x= − az 9x = abszcisszájú pontban,

d) ( )2 22 2

x cost cos ty x :

y sint sin t= −⎧

⎨ = −⎩ a

2t π= paraméterértékre.

3) Számítsa ki a két görbe metszéspontjában az érintőik által

bezárt szöget: 2 28y x , y x= − = .

7. Gyakorló feladatok

21


1) Írja fel a következő függvények deriváltját:

a) ( ) 22f x sin x= + , b) ( ) ( ) ( )32 ln xf x x += + ,

c) ( ) 11

co s xf x lnco s x

−=

+,

d) ( ) 5 2f x arcsin sin x= ,

e) ( ) 2 3x xcos sin

f x e−

= ,

f) ( ) ( ) ( )2 3 8f x ln x x ln arctgx= − + + , g) , 2 2 5 3 12x .sin x y .cos x x y+ − − − 0=

h) ( ) ( )3 44 3 3f x ln x x x= + + , i) ( ) ( )

6 225

tg x xf x

+= ,

j) ( )2

233

ln cos xf x lnln co s x

+=

−,

k) , ( )3

5 3

3 1

3 5

x t ty x :

y t t

⎧ = + +⎪⎨

= + +⎪⎩ 1

l) ( )

2 2

2323

1 121

x x

x

x

e .arcsin ef x ln e

e

− −

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠−− ,

m) ( )2

2 2

2 1 1 22 1 2

arcsin x xf x lnx x

⎛ ⎞− +⎜ ⎟= −⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

.

2) Írja fel a következő függvények második deriváltját:

a) ( ) ( )21 3121

f x x ln x= − x ,

22


b) ( )2

x arccos ty x :

y t t

⎧ =⎪⎨

= −⎪⎩,

c) ( ) ( )2 2 2 2f x xln x a x a x= + + − + , d) ( )

( )

2

22xf x

x=

+.

3) Igazolja, hogy megoldása az

differenciálegyenletnek. 2y x sin= + x 4 4y" y x+ =

4) Számítsa ki a ( ) ( )2df x , d f x differenciálokat: a) ( )

3 3 1 25 5t t tf t e e− + −= − ,

b) ( ) ( )3 2 1f x ln x x= + + , c) ( ) 2f x arctg x x= − . 5) Számítsa ki a következő határértékeket:

Feladat Eredmény

a) 2

1

1 00xx

x ln xlime e→− − ⎡ ⎤

⎢ ⎥− ⎣ ⎦ 3

e

b) ( )( )[ ]0

1 0xlim co s x .ctgx .→

− ∞ 0

c) [ ]2201

xlim ctg x

x→⎛ ⎞− ∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∞ 23

d) [ ]1

1 11x

limx ln x→

⎛ ⎞− ∞ −⎜ ⎟−⎝ ⎠∞ 1

2−

e) ( ) 0

2

2 1cos xxlim x

π→

⎡ ⎤π − ⎣ ⎦ 1

f) ( )1

02x xxlim x→∞

⎡ ⎤+ ∞⎣ ⎦ 2

g) 12

01x

x

tgxlimx

∞

→

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

13e

23


h) 2

30

3 3 3 00

6

x

x

sin x xe xlimxarctgx sin x

→

− + ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦− −

18

i) 2000x

x sin xlimx→− ⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

16

j) ( )[ ]0

0xlim arcsin x.ctgx .→

∞ 1

k) 2x /

xx

xelimx e→∞

∞⎡ ⎤⎢ ⎥∞+ ⎣ ⎦

0

l) ( )( )x bx b

ln x blim

ln e e→− ∞⎡ ⎤

⎢ ⎥∞⎣ ⎦− 1

m) ( )( )1

1x

ln xlim

ctg x→− ∞⎡ ⎤

⎢ ⎥∞⎣ ⎦π 0

n) ( )32

02 1x

xlim cos x ∞→

⎡ ⎤⎣ ⎦

6e−

o) 3 2

3 21

3 2 004 3x

x xlimx x→− + ⎡ ⎤

⎢ ⎥− + ⎣ ⎦ 3

5

p)

2 12

21 1

x

x

xlimx

+∞

→∞

⎛ ⎞+ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

e

6) Számítsa ki az abszcisszatengely és az

függvény

2 3 5y x x= − +( )2 3M , pontbeli érintőjének szögét. Írja fel az adott

pontban az érintő és a normális egyenletét.

8. Önellenőrző kérdések 1) Deriválja a következő függvényeket a) ( )5 5 4 2y x xln arctg y, y y x= + + = ,

24


b) ( ) ( ) ( )3 25 5y log x +2 ctg x y , y y x= − =t

,

c) . ( ) 5x sin

y x :y t=⎧

⎨=⎩

2) Írja fel a következő függvény második deriváltját: -ben 4x =

( ) 13

f x arcctg ln x

=−

3) Írja fel a következő függvények esetén ( ) (2d )f x , d f x -et: a) ( ) ( ) 315 tg xf x x= − ,

b) ( )23

2

xef xarccos x

−

= ,

c) ( ) 33 33xf x cos ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

4) Írja fel az érintő és a normális egyenletét az

, ( ) 354

x costy x :

y sin=⎧

⎨=⎩

,t

Paraméteres görbe adott t paraméterhez tartozó pontjában: 23

t .π=

5) Számítsa ki a következő határértékeket:

a) 33x

xlim

x→+∞ ,

b) 20

sin x

xlim x→

.

25


9. Önellenőrző kérdések

1) Adja meg a derivált és a differenciál definícióját egy adott pontban.

2) Adja meg a magasabb rendű derivált és a differenciál definícióját egy adott pontban.

3) Milyen deriválási módszereket ismer? 4) Ismertetsse a L’Hospital szabályt? Adjon rá példát. 5) Magyarázza meg a következő Maple utasításokat:

diff(F,x), Diff(F,x), D(F), subs(M,N,P).

26

FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS · 2008. 12. 9. · Függvény deriváltja...

Documents

Transcript of FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS · 2008. 12. 9. · Függvény deriváltja...