Válasz függvény
-
Upload
flavia-pittman -
Category
Documents
-
view
39 -
download
0
description
Transcript of Válasz függvény
Válasz függvény
Romhányi Judit2006. 10. 26.
PhD. I. evf. Elméleti Fizika Tanszék
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
2
Bevezetés
2D és 3D szemcsés rendszereken alkalmazott lokális
perturbációra adott választ vizsgáljuk.
Kísérleti bizonyíték, arra, hogy • a struktúra,• a rendezetlenség,• az anizotrópia,• a súrlódás,
jelentősen befolyásolja a választ.
3
Az erők terjedése a szemcsés anyagokban még megoldatlan probléma. Egyik oka:
Rendezetlenség.
Geometriai eredetű
• bi-diszperz rendszer
• ötszög alakú szemcsék (2D)
Kontaktus erők rendezetlensége
•Kontaktusok redundanciája
•súrlódás Azonos makroszkopikus körülmények közt elvégzett kísérlet eltérő válasz a perturbációra. Motivált a statisztikus fizikai megközelítés.
• Számos, azonos körülmények között elvégzett kísérlet átlagát tekintjük.
4
Elméleti modellek az erő propagálásának jellemzésére, mind a rács, mind a kontínuum tartományban:
• Kontínuum jellegű leírásnál pl.:
• A klasszikus elasztikus modell
• Elliptikus parciális diff egyenletet (PDE) jósol a rugalmassági küszöb alatt
• és hiperbolikusa fölötte.
• A q modell parabolikus PDE megoldást javasol,
• OSL modell megoldása hiperbolikus PDE-t ad.
• Rácsmodellek esetén:
• Rendezett esetre hullámegyenlet jellegű megoldást,
• Gyenge rendezetlenség mellett diffúziós egyenleteket,
• Erős rendezetlenségre pedig elliptikus PDE-t jósolnak.
5
Kísérlet: lokálisan erő alkalmazása után a rendszer válaszának vizsgálata.
Először 2D-s rendszerekkel foglalkozunk:
1. Mono-diszperz korongok rendezett, háromszög rácsba rendezve
2. Bi-diszperz korongokból álló minta, a rendezetlenség különböző fokaival.
3. Derékszögű rácsba rendezett korongok különböző súrlódási eh.kal.
4. Ötszög alakú szemcsék (teljesen rendezetlen eset)
5. Tetszőleges irányú alkalmazott erő hatása
6. Nyírás utáni válasz vizsgálata.
6
A kísérlet bemutatásaFoto-elasztikus mérés: alapja: a szemcsék feszültség által
indukált kettős törése lehetővé teszi 2D-ban a belső szerkezet vizsgálatát.
Elrendezés:
1. Két függőleges plexilap közé pakolt szemcsék
2. A függőlegestől ~2°-kal eltérő lapra helyezett szemcsék.
polarizátorok közé tesszük, majd átvilágítjuk és egy 640480-as felbontású digitális kamerával lefotózzuk.
7
A nyomás alatt álló szemcsén mérve a transzmissziós intenzitást képet kaphatunk a bennük levő erők
(feszültségek) eloszlásáról.
Az erő mérése: Az intenzitás az (x,y) pozícióban:
ahol I0 a beeső intenzitás, t a minta vastagsága, C optikai együttható, a hullámhossz.
F növelésével a fekete-fehér sávok sűrűsödnek, ennek alapján F merhető.
8
Az erő kalibrálása:
Először G2 (i,j)-t határozzuk meg (i,j) pozícióra, majd az N pixellel lefedett egy (v. több) szemcsére négyzet átlagot számolunk:
9
A fekete-fehér sávok sűrűsödésével nő <G2> is, ennek kihasználásával kalibrálunk:
1. Ismert erőket alkalmazva mérjük <G2>-et.
2. Egységes súlyokat alkalmazva mérünk.
10
Az eljárás:
1. Felvétel: az alkalmazott terhelés és a polarizátorok nélkülfeltérképezzük a szemcsék helyét.
2. Kép: a polarizátorok alkalmazása mellett készül a terhelés nélkül foto-elasztikus háttér.
3. Kép: polarizátorok + terhelés
4. Foto: Ismét polarizátorok és terhelés nélküli felvételesetleges szemcse elmozdulás meghatározása.
A 3.Kép - 2.Kép = a lok. perturbáció okozta feszültség változás. ~G2
11
Statisztikus megközelítés:
megvalósítás különböző képet eredményez még rendezett szerkezetű minta esetén is. (súrlódások és kontaktusok a preparáció mikroszkopikus részleteiben rejlik).
Számos, azonos körülmények közt végzett kísérlet átlagos viselkedés
legyen az (x,y) pozícióban a feszültség, az n-dik megvalósítás esetén.
Átlagolás:
• átlagolása n-re.
• Durva-szemcsés átlagolás.
12
Az egyes megvalósítások közti fluktuációt
jellemzi. Var = rms2 (x,y).
(a) átlagos válasz
(b) rms(x,y)
Hasonló jelleg összefüggés keresése:
(i,j)-re.
13
Kísérleti eredmények:4-féle elrendezés, az erők terjedését befolyásoló tényezőknek megfelelően:
• Rendezetlen szerkezetű minta
• Derékszögű pakolás (rendezett) és a súrlódás szerepe
• Nem merőleges irányú erők hatása
• Nyírt rendszer válasza
14
Rendezetlenség szerepe: ~ bidiszprez rendszer válasza
Random kontaktus erők ()Geometriai rendezetlenség
A rendezetlenség (poli-diszperzitás) mértékének kontrolált változtatása:
w(a) : az a korong –átmérő eloszlása.
Bevezetjük az A mennyiséget :
,ahol az m-dik momentum:
A =1 től való eltérés ~ a rendezetlenség mértéke
A =1 felel meg a teljesen rendezett, monodiszperz rendszernek
15
Bidiszperz rendszert vizsgálunk: a1 és a2 átmérőjű szemcsékből rendre N1 és N2 db van. Ekkor
R=a1/a2
ni=Ni/N , (i=1,2)
N= N1 + N2
,ahol
Másik út a rendezetlenség jellemzéséhez:
A szemcse-szemcse auto-korrelációs fv. kiszámolása:A: a rsz. Területe
rij a távolság i és j rész között
,és i, j 1-től N1 ill. N2-ig fut
Különböző szemcsék közt:
16
(a) Hexagonálisan pakolt mono- diszperz korongok auto-korrelációs fv.-e.
(b), (c) és (d):
auto-korrelációs fv. A=0,993, A=0,988 és
A=0,965 esetén. Az auto korrelációs fv. itt gyorsan lecsökken a háttér 1 értékére.
17
rendezetlenség -re emlékeztető jelleg.
Bi-diszperz rendszerek lokális gerjesztésre adott válaszai. A 1 rendezett rendszer ~ két csúcs jellegű válasz, rendezetlenség növelésével a 2 csúcs összeolvad.
18
Derékszögben pakolt korongok vizsgálata különböző mellett.
meghatározása: 2 korongot összeragasztva ( gördülés) lecsúsztatunk egy az ugyanebből az anyagból készült lejtőn.
1=0,94 ; korongok bevonása teflon szalaggal 2=0,48.
Ez a pakolási módszer csökkenti a kontakt erők véletlen jellegét.
( kontaktus szerepet játszik a stabilitásban. A kontaktus háló jól definiált, a kontaktus erő sehol sem 0.)
19
Különböző súrlódás mellett adott válasz. Nagyobb súrlódásnál a válasz fv. viszonylag hamarabb kiszélesedik.
20
Tetszőleges irányú erők hatására adott válasz:Kétféle elrendezés: (50g terhelés)
• -ekből álló rendezetlen rendszer ( = 90°, 60°, 45° és 30°)
• Hexagonális rácsba rendezett korongok ( = 90°, 75°, 60°, 45°, 30° és 15°)
Normális irányú erő esetére belátható, hogy a teljesen rendetlen rsz. úgy viselkedik, mint az elasztikus anyagok. Elasztikus anyagra alkalmazva a irányú erőt, a feszültség-tenzor elemei:
Koordináta transzformáció z-tengely F irányába esik, ezzel pl.
21
22
23
24
A következő kísérletben mono-diszperz korongok háromszög rácsára alkalmazunk irányú erőt.
= 90°-ra az ismert válasz, hogy az erők a 2 rácsvektor irányában terjednek. (a)
= 70°-nál a jobb – bal szimmetria megtörik, de még mindig a rácsvektorok irányában terjednek az erők. (b)
= 60° , az erő az egyik rácsvektor irányába mutat. (c)
25
= 45°, 30° és 15° esetekben
•az egyik irány a kitűntetett rácsvektor iránya,
•a másik pedig ~ 62,5° pozitív irányban a függőleges tengelyhez képest
~ az a másod-szomszéd rácsvektor, amelynek iránya közelebb esik az alkalmazott erő irányához.
26
Nyírt rendszer vizsgálata:• -alakú szemcsék,
• (a függőlegessel bezárt) szögű nyírások.
• Felületre merőleges erő alkalmazása.
1. Felvétel: az alkalmazott terhelés és a polarizátorok nélkül feltérképezzük a szemcsék helyét.
2. Kép: a polarizátorok alkalmazása mellett készül a terhelés nélkül foto-elasztikus háttér.
3. Kép: polarizátorok + terhelés
4. Foto: Ismét polarizátorok és terhelés nélküli felvételesetleges szemcse elmozdulás.
: az a szög, amelynek irányában a rendszernek a legtöbb kontaktusa van. (): eo.
27
() összehasonlítása nyírás előtti és nyírás utáni esetben
Kvantitatív kép a nyírás köszönhető geometriai érintkezési struktúra megváltozásáról. (adatok szemcsére és 50 mérésre vannak átlagolva)
A szerkezetbeli változás nem olyan szembetűnő, mint az az erő-csatornákban.
Megfigyelés: erő-csatornák 45°-os szögben szeretnek állni.
28
Magyarázat:
~ 5°-os nyírás kifejezhető, mint egy /2 szögű forgatás és egy összenyomás 45°-os irány mentén, valamint széthúzás az erre merőleges irányban.
Az összenyomás irányában megnőnek a kontaktus erők, és ez erős aszimmetriához vezet a feszültség hálóban.
Az erő korreláció a kitűntetett irányban hosszú távúak, és a korrelációs függvények hatványfüggvény jellegűek, -0,81 –es exponenssel.
29
3D-s kísérlet:
Dobozba zárt szemcsés anyag esetén a lokális terhelés hatására a doboz alján kialakuló feszültség eloszlását vizsgálták.
Elrendezés:
A homok vékony (~ 100 m) fémes membránra kerül, ennek deformálódását mérték. A P dugattyú ált. kifejtett terhelés M=5g-nak felel meg, A=1cm2 területen.
Mérés 2 különböző méretű és alakú homok keverékén: d1~1mm, d2~300 m.
A lock-in erősítővel (x=0-ban) mért válasz amplitúdót ábrázoljuk ezután az alkalmazott erő-moduláció amplitúdójának (F) fv-ében. Mozgatva az erőt kifejtő dugattyút, zz(x) feltérképezhető a doboz alján.
30
A válasz erő irányú, centrális jelleget mutat. (mint bi-diszperz 2Dben.) A w fél érték szélesség
lineárisan nő a mélység függvényében, és a meredekség anyag függetlenÖsszevetve az egyetlen
rendelkezésre álló elméleti eredménnyel:
(3D fél-végtelen.)
31
Kísérlet összefoglalása:
Rendezett rendszer:
rács-szimmetria megjelenése a válaszban.
F
F
rács
rács
Rendezetlen rendszer:
kontínuum jelleg ~ elasztikus anyagokhoz hasonló viselkedés.
F F
-ek+
Kis skála ~ szemcse mérete.Hiperbolikus fv.ek
Nagy skála ~ kontínuum leírás
Súrlódás rendezetlen jelleg
?
32
Numerikus eredmények:
2D-s szimuláció különböző rácstípusokra (háromszög és derékszögű)
• Mono-diszperz és
• Poli-diszperz korongokkal.
A kísérlet menete:
1. Kontaktusok nélküli kiinduló konfiguráció létrehozása
2. Relaxáció gravitációs térben
3. Merőleges irányú terhelés alkalmazása
4. Újabb relaxáció
33
Mono-diszperz korongok háromszög rácsba rendezve:
A külső erő növelésével átmenet történik az 1 csúccsal jellemzett profilból a 2 csúcsosba. Az átmenethez tartozó erő növekszik növelésével.
Az alk. külső erő (Fext) alatt (x=0) mért válasz Fext fv-ében.
Kis Fext mellett lineáris válasz.
Lineáristól való eltérés oka a külső erő miatti csúszás, ill. a kontaktusok csökkenése.
34
Kis külső erő mellett a kontaktus háló változatlan, a válasz elasztikus jellegű. Növelve Fext-t horizontális kontaktusok szűnnek meg csepp alakban. A csepp mérete Fext –el arányosa nő, és -vel arányosan csökken.
= 0 esetben a csepp alakú tartomány erősen anizotrop.
Ha a csepp nem éri el az aljátnyomáseloszlás 1 csúcsú.
Ha eléri (Fext elég nagy) két csúcs látható a válaszban.
35
0 esetben effektív kapcsolat marad a csepp belsejében is.A rendszer sokkal izotropabbnak látszik, mint =0-nál.
Elég kis -re a rendszerben csúszások léphetnek fel két csúcsú válasz jelenik meg. Ha nagy, a nyomáseloszlást alsó lapon 1 csúcs fogja jellemezni.
36
Köszönöm a figyelmet!
Felhasznált irodalom:
G. Reydellet & E. Clément: Phys. Rev. Lett. Vol. 86 No. 15. (2001)
G. Reydellet, L. Vanel & E. Clément: Phys. Rev. Lett. Vol. 87 No. 3 (2001)
J. Geng, G. Reydellet, E. Clément & R.P. Behringer: Physica D, 182 274-303 (2003)
C. Goldenberg & I. Goldhirsch: Nature, Vol. 435 (2005)