Kalman-féle rendszer definíció
-
Upload
eric-perry -
Category
Documents
-
view
38 -
download
0
description
Transcript of Kalman-féle rendszer definíció
Kalman-féle rendszer definíció
Rendszerdefiníció: = (T, X, U, Y, , , , )
aholT – az időhalmazX – a lehetséges belső állapotok halmazaU – a lehetséges bemeneti értékek halmazaY – a lehetséges kimeneti értékek halmaza - a lehetséges bemenet időfüggvények halmaza - a lehetséges kimenet időfüggvények halmaza - az állapotátmeneti függvény - a kiolvasó függvény
Lineáris, időinvariáns, folytonos idejű állapottér modell:
ahol x – a belső állapotok vektora u – a bemeneti vektor
y – a kimeneti vektor A – az állapotátmeneti mátrix
B – a bemeneti mátrix C – a kimeneti mátrix D – a segédmátrix
Állapottér modell
tuDtxCty
tuBtxAtx
Állapottér modell (folyt.)
SISO MIMOdim(x) n ndim(u) 1 pdim(y) 1 rdim(A) nn nndim(B) n1 npdim(C) 1n rndim(D) 11 rp
uDxCy
uBxAx
Állapottér modell (folyt.)
az állapottér modell blokkdiagramja
B
A
C
D
integral(x)
x(t0)+
+
+
+x yu
Állapottér modell - példa
Példa
ahol A1, A2 – az 1. ill. 2. tartály alapterülete
h1, h2 – az 1. ill. 2. tartálybeli szintmagasság
Kv1, Kv2– a szelep ellenállási tényezők
Fi, F1, Fo – belépő, átfolyó, kilépő vízáram
Fi
h1 h2
Kv1 Kv2
A1 A2
F1 Fo
Állapottér modell - példa
a leíró egyenletek: tartálybeli belépő kilépő mennyiség = áram - áram megváltozása
1. tartály
2. tartály
211
11
1hh
KFhA
vi
22
211
22
11h
Khh
KhA
vv
Állapottér modell - példa
legyen a két állapotváltozó h1 és h2 x vektor elemei
a bemenő változó Fi u (egy bemenet)
a kimenő változó F1 y (egy kimenet)
az egyenletek átalakítása után:
211
1
22212
111
2
121
111
1
111
11
hhK
F
hKAKA
hKA
h
FA
hhKA
h
v
vvv
iv
Állapottér modell - példa
ebből az állapottér modell:
x = A x + B u
x = C x + D u
iA
KKAKK
KA
KAKAF
h
h
h
h
vv
vv
v
vv
01
211
21
12
2111
1
2
1
1
11
2
1
2
1
11
11
h
h
KKF
vv
Állapottér modell - megoldhatóság
induljunk ki a rendszeregyenletből:
Laplace-transzformálva x0 kezdeti feltételek mellett:
átrendezve
00 xtx
BuAxx
sBUsAXxssX 0
sBUxsAXssX 0
sBUxAsIsX 0
sBUAsIxAsIsX 10
1
Állapottér modell - megoldhatóság
az (sI-A)-1 értelmezése:
inverz Laplace-transzformálva:
ahol eAt a mátrixexponenciális és t 0.
...
s
A
s
AI
ss
AI
sAsI
2
211 11
Ate...tAAtIAsIL 2211
!2
1
Állapottér modell - megoldhatóság
inverz Laplace-transzformálva
egyenletet:
a kimeneti egyenlet:
sBUAsIxAsIsX 10
1
d0
00 Buexetx
t
t
tAttA
tDutCxty
Állapottér modell - megoldhatóság
a megoldás értelmezése:
pillanatnyi kiindulási bemeneti állapot = állapottól + változótól függő tag függő tag
ha a bemeneti változó 0, akkor az első tag írja le a kezdő állapottól való függést
eA(t-t0) = (t – t0) állapotátmeneti mátrix (nn-es mátrix)
ha a kezdőállapot nulla, akkor a második tag írja le a bemenettől való függést:
kényszerfüggvény
d0
Buet
t
tA
Állapottér modell – I/O modell kapcsolata
induljunk ki az állapottér modellből:
Laplace-tarnszformáljuk mindkét egyenletet zérus kezdeti feltétel mellett és fejezzük ki az első egyenletből X(s)-t:
helyettesítsünk be a második egyenletben X(s) helyére:
DuCxy
BuAxx
sDUsCXsY
sBUAsIsX
1
sUDBAsICsY 1
Állapottér modell – I/O modell kapcsolata
innen
ez pedig nem más, mint az átviteli függvény:
azaz egy rendszer I/O modellje és állapottér modellje között az átviteli függvény teremti meg a kapcsolatot
DBAsICsU
sY 1
DBAsICtuL
tyLsG 1
Állapottér modell – megfigyelhetőség
Működés közben mérhető paraméterek a bemenetek u(t) és a kimenetek y(t). A modellhez viszont kellenek az állapotváltozók:
Az így megadott rendszert akkor nevezzük teljesen megfigyelhetőnek, ha tetszőleges t0 időponthoz tartozó x(t0) kezdőállapothoz és u(t) = 0 bementhez létezik olyan t1> t0 időpont, hogy y(t) | t (t0, t1] kimenet ismerete elegendő x(t0) kezdőállapot megadásához.
Cxy
BuAxx
Állapottér modell – megfigyelhetőség
A megfigyelhetőség teljesüléséhez az kell, hogy a
egyenletből x(t0) kiszámítható legyen.
Ehhez viszont CeA(t1-t0) mátrix sorainak kell a vizsgált időközben lineárisan függetlennek lenniük.
d1
0
10101 Buetxetx
t
t
tAttA
01101 txCetCxty ttA
Állapottér modell – megfigyelhetőség
Kalman-féle rangfeltétel: A szokásos módon megadott állapottér modellel
leírt rendszer akkor és csak akkor megfigyelhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett megfigyelhetőségi mátrix teljes rangú:
és r(On-1) = n
1
1
n
n
CA
CA
C
O
Állapottér modell – irányíthatóság
A szabályozási feladatok célja, hogy a rendszer előírt állapotba kerüljön. Ez az állapottér modelleknél azt jelenti, hogy az állapotváltozó vektor elemei vegyenek fel egy meghatározott értéket egy adott időpontban. Azaz az irányíthatóság esetében azt vizsgáljuk, hogy az
modell állapotváltozóit adott induló állapotból kiindulva a bemenet megfelelő megválasztásával át lehet-e vinni egy előre megadott végállapotba.
Cxy
BuAxx
Állapottér modell – irányíthatóság
Def.: ÁllapotirányíthatóságA
modellel leírt rendszert egy adott (t0,t1] teljesen állapotirányíthatónak nevezzük, ha tetszőleges x(t0) kezdőállapothoz és tetszőleges x(t1) végállapothoz létezik olyan u(t) bemenő jel, ami a rendszert a kezdőállapotból a végállapotba átviszi.
Cxy
BuAxx
Állapottér modell – irányíthatóság
Az állapotirányíthatóság teljesüléséhez az kell, hogy az
összefüggés alapján u(t) meghatározható legyen, ehhez viszont az eA(t1-t0) B mátrixsorainak lineáris függetlenségét kellene vizsgálni.
Ez nyilvánvalóan nehézkes feladat, ezért helyette Kalman-féle rangfeltételt alkalmazzuk.
d1
0
10101 Buetxetx
t
t
tAttA
Állapottér modell – irányíthatóság
Tétel: Kalman-féle rangfeltétel A szokásos módon megadott állapottér modellel
leírt rendszer akkor és csak akkor állapotirányítható, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett irányíthatósági mátrix teljes rangú:
és r(Cn-1) = n
BABAABBC nn
121
Állapottér modell – irányíthatóság
Megj.: Létezik ún. kimenet-irányíthatóság is, amikor y(t1) vagyis a kimenet értékeire írunk elő követelményeket.
egy kimenetű rendszereknél triviálisan teljesül
szóhasználat: irányíthatóság állapotirányíthatóság
megfigyelhetőség és az irányíthatóság együttes teljesülése nagyon fontos, illetve kapcsolatba hozható más állapottér tulajdonságokkal.
Állapottér modell – tulajdonságok
állapottér modell megfigyelhető és irányítható
az átviteli függvény tovább nem egyszerűsíthető
az állapotváltozók száma minimális
Állapottér modell – tulajdonságok
Az átviteli függvény tovább nem egyszerűsíthető:
nincs olyan pólus, ami megegyezne egy zérushellyel.
Állapotváltozók száma minimális: ha kevesebb állapotváltozóval írjuk le a rendszert, akkor nem ugyanazt a rendszert kapjuk (nem egyeznek meg az átviteli függvények).
n
m
pspsps
zszszsKDBAsIC
tuL
tyLsG
21
211
Állapottér modell – tulajdonságok
Megj.: Az állapottér modell nem egyértelmű, definiálhatók ún. hasonlósági transzformációk, melyekkel a rendszer áttranszformálható másik alakra, de az átviteli függvény nem változik!
Állapottér modell – stabilitás
Stabilitás fogalmak
Tekintsük a
állapottér modellt.
BIBO stabilitásKorlátos bemenetre korlátos kimenet – külső stabilitás
Belső stabilitása modell – adott együttható mátrixokkal leírt rendszer stabilitása
Cxy
BuAxx
Állapottér modell – stabilitás
Def.: Belső stabilitás Legyen adott az alábbi modell
azaz legyen a bemenet zérus, a kezdőfeltételek pedig nullától különbözőek. Akkor nevezzük ezt a modellt belső stabilitásúnak, ha az x(t) megoldás kielégíti az alábbi feltételt:
000 0 ttxtx
tAxtx
0
txlimt
Állapottér modell – stabilitás
Def.: Stabilitási mátrix Egy ARnn mátrixot stabilitási mátrixnak
nevezünk, ha valamennyi saját értéke negatív valós vagy negatív valós részű komplex szám: Re{i(A)}<0, i esetén
Megj.: A sajátérték fogalmaEgy ARnn mátrix sajátértékei a | I - A | = 0egyenlet i gyökei. Az nn-es mátrixnak n db sajátértéke van.
Állapottér modell – stabilitás
Tétel:Egy adott állapottér modell akkor és csak akkor belső stabilitású, ha az A mátrix stabilitási mátrix.
Tétel:A belső stabilitás magában foglalja a BIBO stabilitást.(Ha egy modell belső stabilitású, akkor BIBO stabil is, de fordítva nem igaz.)
Állapottér modell – stabilitás
Stabilitásvizsgálati módszerek: Stabilitási mátrix definíciója alapján: A mátrix
sajátértékeinek meghatározásával (csak max. három állapotváltozós rendszerek esetében).
Ljapunov kritérium
Diszkrét állapottér modell
Diszkrét idejű állapottér modell az időtartományban kitüntetett időpontok adottak a változók értékei csak ezekben a mintavételi
időpontokban ismertek az állapottér modell első egyenlete
differenciálegyenlet helyett differenciaegyenlet lesz
a diszkrét idejű modell a folytonos idejű modellből származtatható
a származtatásnál feltételezzük, hogy a bemenő jel(ek) egy nulladrendű tartón keresztül jut(nak) a rendszerbe
Diszkrét állapottér modell
A lineáris, időinvariáns, diszkrét idejű állapottér modell:
ahol
A, B a folytonos idejű modell együttható mátrixai,T a mintavételi idő
kTCxkTy
kTukTxTkx
1
BIeA
eAT
AT
1
Diszkrét állapottér modell - megoldás
Legyen x(0) a kezdőállapot és nulladrendű tartó a bemenő jelen, ekkor
001 uxx
100112 2 uuxuxx
2100223 23 uuuxuxx
1
0
1011k
j
jkk juxkukxkx
d1
0
10101 Buetxetx
t
t
tAttA
Diszkrét állapottér modell – diszkét átviteli fv.
Diszkrét idejű pulzus válasz függvény h(k) :Induljunk ki a diszkrét állapottér modell
előbb levezett megoldásából
és helyettesítsük be a kimeneti egyenletbe:
ebből látható, hogy
kCxky
kukxkx
1
1
0
10k
j
jkk juxkx
1
0
10k
j
jkk juCxCky
1
101 kC
kkh k
Diszkrét állapottér modell – diszkét átviteli fv.
A diszkrét idejű átviteli függvény a diszkrét idejű pulzus válasz függvény z-transzformáltja lesz:
illetve
khZzH
zHZkh 1
Diszkrét állapottér modell - megfigyelhetőség
Def.: MegfigyelhetőségEgy szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellt megfigyelhetőnek nevezzük, ha véges k számú mintavételezési időponthoz tartozó bemenet-kimenet párok ismerete elégséges a kezdőállapot megadásához:
01010 xky,,y,ku,,u
Diszkrét állapottér modell - megfigyelhetőség
Kalman-féle rangfeltétel: A szokásos módon megadott diszkrét idejű
állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor megfigyelhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett megfigyelhetőségi mátrix teljes rangú:
és r(WO) = n
1n
O
C
C
C
W
Diszkrét állapottér modell - irányíthatóság
Diszkrét idejű rendszereknél megkülönböztetjük a irányíthatóságot elérhetőséget
Az elérhetőség az erősebb fogalom: az a modell, amely elérhető az irányítható is, de az irányítható modell nem biztos, hogy elérhető is.
Diszkrét állapottér modell - irányíthatóság
Def.: IrányíthatóságEgy szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellt irányíthatónak nevezünk, ha tetszőleges x(0) kezdőállapothoz létezik olyan u(j) bemenőjel sorozat, hogy a rendszer a zérus állapotba x(k)=0 átvihető.
Diszkrét állapottér modell - elérhetőség
Def.: ElérhetőségEgy szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellt elérhetőnek nevezünk, ha tetszőleges x(0) kezdőállapothoz létezik olyan u(j) bemenőjel sorozat, hogy a rendszer a tetszőleges végállapotba x(k) átvihető.
Diszkrét állapottér modell - elérhetőség
Kalman-féle rangfeltétel az elérhetőségre: A szokásos módon megadott diszkrét idejű
állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor elérhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett elérhetőségi mátrix teljes rangú:
és r(WC) = n
12 nCW
Diszkrét állapottér modell - stabilitás
Stabilitás folytonos esethez hasonlóan értelmezhetjük itt is
a a külső (BIBO) és a belső (nulla bementi) stabilitást
kiindulási modell itt is a
diszkrét idejű, lineáris, időinvariáns állapottér modell.
kCxky
xxkukxkx
00 1
Diszkrét állapottér modell - stabilitás
Def.: Belső stabilitás Tekintsük a
x(k +1) = x(k) x(0) 0 azaz legyen a bemenet zérus, a kezdőfeltételek pedig nullától különbözőek.
Akkor nevezzük ezt a modellt belső stabilitásúnak, ha az x(k) megoldás kielégíti az alábbi feltételt:
0
kTxlimk
Diszkrét állapottér modell - stabilitás
Tétel:Egy diszkrét idejű állapottér modell akkor és csak akkor belső stabilitású, ha a mátrix saját értékei az egység sugarú körön belül vannak:
i() < 1