Функции несколькихпеременных

Функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных. Нахождение максимального и минимального

значения функции в замкнутой области Условный экстремум Комплексные числа и действия над ними

Экстремум функции несколькихпеременных

Определение. Точка (x0, y0) называется точкой максимумафункции z = f(x, y) если существует такая ε – окрестностьточки (x0, y0), что для каждой точки (x, y) отличной от (x0, y0), изэтой окрестности выполняется неравенство f(x, y) < f(x0, y0).

Аналогично определяется точка минимума функции: для всехточек (x, y) отличных от (x0, y0),из ε – окрестность точки (x0, y0) выполняется неравенствоf(x, y) > f(x0, y0).

Значение функции в точке максимума(минимума) функции называетсямаксимумом (минимумом)функции. Максимум и минимумфункции – экстремум функции.

Max

Min

Экстремум функции несколькихпеременных

Теорема (Необходимое условие экстремума). Если в точкеМ(x0, y0) дифференцируемая функция z = f(x, y) имеетэкстремум, то ее частные производные в этой точке равнынулю: , .

Определение. Точка в которой частные производные первогопорядка функции z = f(x, y) равны нулю, то есть , , называется стационарной точкой функции z.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частнаяпроизводная не существует, называются критическимиточками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может ине иметь. Равенство нулю частных производных являетсянеобходимым, но не достаточным условием существованияэкстремума.

0y,xf 00x 0y,xf 00y

0fx 0fy

Экстремум функции несколькихпеременных

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть встационарной точке (x0, y0) и некоторой ее окрестности функцияf(x, y) имеет непрерывные частные производные до второгопорядка включительно.

Вычислим в точке (x0, y0) значения , , .

Обозначим .Тогда: 1. Если Δ > 0, то функция f(x, y) в точке (x0, y0) имеет экстремум.

Максимум, если A < 0; минимум, если A > 0. 2. Если Δ < 0, то функция f(x, y) в точке (x0, y0) экстремума не

имеет.3. В случае Δ = 0 экстремум в точке (x0, y0) может быть или может не

быть. Необходимы дополнительные исследования.

00xx y,xfA 00xy y,xfB 00yy y,xfC

2BACCBBA

Примеры1. Найти экстремумы функции .

Найдем стационарные точки из системы уравнений:

Проведем исследование стационарных точек.

В точке (0, 0): A = 0, B = -9, C = 0, Δ = -81 < 0. То есть в точке нетэкстремума.

В точке (3, 3): A = 18, B = -9, C = 18, Δ = 324 - 81 = 243 > 0. То есть вточке экстремум. Так как A > 0, то в точке минимум.

xy9yxz 33 y9x3z 2

x x9y3z 2y

0x9y3

0y9x32

2

0y0x

3y3x

x6zxx 9zxy y6zyy

2. Исследовать на экстремум функцию .

Найдем стационарные точки из системы уравнений:

Проведем исследование стационарных точек.

В точке : , B = 0, C =-2, Δ < 0. То есть в точкенет экстремума.

В точке : , B = 0, C = -2, Δ > 0. То есть вточке экстремум. Так как A < 0, то в точке максимум.

23 yx4xz 4x3z 2

x y2zy

0y204x3 2

0y3

2x

0y3

2x

x6zxx 0zxy 2zyy

0,

32

312A

0,

32

312A

Примеры

MaxНетэкстремума

Примеры3. Исследовать на экстремум функцию .

Найдем стационарные точки из системы уравнений:

Проведем исследование стационарной точки.

В стационарной точке: A = 0, B = 0, C = 0, Δ = 0. Нельзя ничегосказать про экстремум в этой точке, необходимыдополнительные исследования.

44 yxz 3

x x4z 3y y4z

0y4

0x43

3

0y0x

2xx x12z 0zxy 2

yy y12z

Нахождение максимального и минимальногозначения функции в замкнутой области

Рассмотрим множество G точек плоскости (или пространства). ТочкаМ называется внутренней точкой множества G, если онапринадлежит этому множеству вместе с некоторой своейокрестностью. Точка N называетсяграничной для множества G еслив любой ее полной окрестностиимеются точки, как принадлежащиеG так и не принадлежащие G.

Совокупность всех граничных точекмножества G называется ее границей Г.

Определение 1. Множество G будем называтьобластью, если все его точки внутренние. Множество G вместе сосвоей границе называется замкнутой областью. ( )

Определение 2. Наименьшее или наибольшее значение функции вданной области называется абсолютным экстремумомфункции.

GN

M

Г

ГGG

Теорема (Вейерштрасса). Абсолютный экстремум функции вданной области достигается либо в стационарной точке, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.

Примеры: 1. Найти наибольшее значение функциив области G, ограниченной линиями x = 0, y = 0, x + y = 1.

Стационарных точек нет так как .Исследуем функцию на границах области.а.) x = 0 z = 1 + 2y Стационарных точек нет. z(0) = 1, z(1) = 3.b.) y = 0 Стационарная точка x = ½z(0) = 1, z(1) = 1, z(1/2) =3/4.

Нахождение максимального и минимальногозначения функции в замкнутой области

y2xx1z 2

x21zx 2zy 02zy

1y0

2xx1z 1x0 x21z x

y

0 1

1

c.) x + y = 1 Стационарная точка: Сравниваем все полученные значения функции z и получаем, что

максимальное значение в точке (0,1), .2. Найти наибольшее значение функции z = xy в треугольной

области G с вершинами О(0, 0), А(1, 0), В (0, 2).

Стационарная точка x = 0, y = 0, z = 0.Исследуем на границах области:

ОА: x = 0, z = 0.OB: y = 0, z = 0.AB: y = 2 – 2x

x = ½, y = 1, M(1/2,1).z (M) = 1, z(A) = 0, z(B) = 0.

Нахождение максимального и минимальногозначения функции в замкнутой области

2xx33z 1x0 x23z 1,02/3x

3zmax

yzx xzy

x

y

0 1

2

12y

1x

1x0

2x2x2z x42z A

M

B

11,21zmax

Условный экстремумПусть в задаче на нахождение минимума или максимума функции

переменные связаны некоторыми условиями.Задача: Дана функция z = f(x, y) (1). Найти максимум если

F(x, y) = C (2) (Линия L).Геометрически это означает, что мы сравниваем значения

функции z не во всех точках, а только лежащих на линии(уровня) L.

Решение: Уравнение (2) определяет функцию y = y(x), заданнуюнеявно.

Так как z = f(x, y(x)) , то

Необходимое условие экстремума: , т. е. (3).

Продифференцируем уравнение связи (2) по x:

dxdyff

dxdz

yx

0dxdz

0dxdyff yx

Условный экстремум, если то .

Подставляем в (3) и получаем условие:

Обозначим величину последнего отношения –λ. (знак «–» дляудобства).

Получаем, что в точке экстремума должны выполняться условия:

Величина λ – множитель Лагранжа.

0dxdyFF yx 0Fy

y

xFF

dxdy

y

y

x

xFf

Ff

y

y

x

xFf

Ff

0Ff0Ff

yy

xx

Условный экстремумВведем функцию Лагранжа, определяемую как:Ф(x, y, λ) = f(x, y) + λ F(x, y).Тогда исходная задача меняется на задачу нахождения

безусловного экстремума функции Лагранжа.Аналогичные рассуждения можно провести для функции большего

числа переменных.Пример: Найти экстремум функции

при условии .Составим функцию Лагранжа:

Экстремум будет в точке:

x2zyxz,y,xu 222 3zy2x

zy2x3x2zyx,z,y,x 222

02x2x

02y2

y

0z2z

0zy2x3

z = 1, y = 2, x = 0

u(x, y, z) = -3

Комплексные числаОпределение. Комплексным числом называется число вида

z = x +iy, где x и y – действительные числа.- мнимая единица, то есть число квадрат которого

равен -1 (корень уравнения ).x – действительная (вещественная) часть. x = Re zy – мнимая часть. y = Im zЕсли x = 0, то число z = iy чисто мнимое.Два комплексных числа и называются

равными ( ) тогда и только тогда, когда равны ихдействительные части и равны их мнимые части: , . Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел невводятся.

Два комплексных числа вида z = x +iy и называютсясопряженными.

1i 01z2

111 iyxz 222 iyxz 21 zz

21 xx 21 yy

iyxz

Решения уравненийУравнения вида , где a ≠ 0 неразрешимые в области

вещественных чисел, имеют решения в областикомплексных чисел.

Примеры: Найти корни уравнений:1.

2.

0az 22 aiz

09x2 9x2 i39x

013x4x2

i61636D

i323

i64x 2,1

365216D

Геометрическое изображениекомплексных чисел

Всякое комплексное число z = x +iy можно изобразить точкойМ(x,y) плоскости Оxy такой, что x = Re z , y = Im z. И, наоборот, каждую точку М(x,y) координатной плоскости можнорассматривать как образ комплексного числа z = x +iy.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Комплексное число z = x +iy можно также изобразить в видерадиус-вектора . При этом длинаэтого вектора называетсямодулем комплексного числа.

Угол φ, образованный вектором с положительнымнаправлением оси Ox называетсяаргументом комплексного числа: φ =Arg z.

- главное значение аргумента.

x

y

0

М(x,y)

φ

OMr

zzzOMr

k2zargzArg zarg

Формы записи комплексныхчисел

Запись z = x +iy – алгебраическая форма записи числа.Модуль r и аргумент φ комплексного числа можно рассматривать

как полярные координаты вектора . Так как x = r cos φ иy =r sin φ, то можно записать число в виде z = r cos φ +ir sin φили z = r (cos φ +i sin φ).

Это тригонометрическая форма записи числа.Используя формулу Эйлера

комплексное число z = r (cos φ +i sin φ) может быть записано впоказательной (или экспоненциальной) форме:

OMr

sinicosei

ierz

ПримерыПредставить числа в тригонометрической и показательной

формах.1. z = 1 +i

2. z = -1r = 1 cos φ = -1 sin φ = 0 φ = π

22 yxr rxcos

rysin

211r 2

1cos 2

1sin 4

4i

e24

sini4

cos2z

iesinicosz

Арифметические операции скомплексными числами

Если и то1. - сумма комплексных чисел и .2. - разность комплексных чисел

и .3.- произведение комплексных чисел и .Отметим, что

4.

- частное комплексных чисел и .

111 iyxz 222 iyxz

212121 yyixxzz 1z

2z

2z

2z

2z

1z

1z

1z

212121 yyixxzz

12212121221121 yxyxiyyxxiyxiyxzz

22 yxiyxiyxzz

22

22

211222

22

2121

22

21

2

1

yxyxyxi

yxyyxx

zzzz

zz

ПримерыДано и1.2. 3.

4.

При умножении и делении комплексных чисел удобноиспользовать их тригонометрическую и показательную формызаписи.

Пусть даны числаи

i32z1 i43z2 i543i32zz 21 i7143i32zz 21

i18i12i8i96i43i32zz 221

i

2517

256

25i176

43i12i8i96

i43i43i43i32

i43i32

zz

22

2

2

1

1i11111 ersinicosrz

2i22222 ersinicosrz

21i2121212121 errsinicosrrzz

21i21212121

2

1 errsinicosrrzz

Возведение в степень и извлечение корняиз комплексных чисел

Пусть число задано в тригонометрической формеz = r (cos φ +i sin φ), на основании формулы умножения можновозвести данное число в степень n по формуле

Это формула Муавра.Определение. Корнем n-ной степени ( ) из комплексного

числа z называют комплексное число w, удовлетворяющеесоотношению .

Теорема. Корень n-ной степени у комплексного числа z существует, причем если z = 0, то существует единственныйкорень w = 0, если z ≠ 0, то существует n корней (k = 0, 1, …, n-1), определяемых формулой

где z = r (cos φ +i sin φ).

nsinincosrz nn

Nn

zwn

n

k2sinin

k2cosrw nk

Примеры1. z = 1 +i

По формуле Муавра:

2. Найти корни уравнения

?z12

4sini

4cos2z

641643sini3cos24

12sini4

12cos2z 61212

01z6

1z6 6 1z sinicos1

6

k2sini6

k2cos1w 6k

0k i21

23

6sini

6cosw0

1k i2

sini2

cos62sini

62cosw1

2k i21

23

65sini

65cosw2

3k i21

23

67sini

67cosw3

4k

5k

i2

3sini2

3cosw4

i21

23

611sini

611cosw5