Chương 1. TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ · 5 1 0 1 arctan ln2 42 xdx S ³ (b) Ta có 1 1 1...

1

Chương 1. TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

Trong chương này, chúng ta xét các tích phân có dạng ( , )b

a

f x dx ,

( )

( )

( , )b

a

f x dx

và ( , )a

f x dx+

. Các tích phân này được gọi là các tích phân phụ thuộc tham số. Vì các

tích phân này là các hàm theo biến nên chúng ta sẽ khảo sát các tính chất như tính

liên tục, tính khả vi, tính khả tích của chúng.

1.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận không đổi

Cho hàm : ,f a b A → trong đó A . Giả sử với mỗi A cố định, hàm

( , )f x khả tích trên ,a b . Khi đó, tích phân xác định ( , )

b

a

f x dx là một hàm số theo

. Ta viết

( ) ( , )b

a

I f x dx = (1.1.1)

Tích phân trong vế phải của (1.1.1) được gọi là tích phân phụ thuộc tham số của hàm

( , )f x trên đoạn ,a b không đổi.

Định lí 1.1.1.(Tính liên tục của tích phân phụ thuộc tham số với cận không đổi)

Nếu ( , )f x là hàm số liên tục trên , ,a b c d thì hàm ( )I liên tục trên ,c d và

với mọi 0

,c d ta có

0 00

lim ( , ) lim ( , ) ( , )b b b

a a a

f x dx f x dx f x dx

→ →

= =

Chứng minh. Vì hàm số ( , )f x liên tục trên , ,a b c d nên với mỗi ,c d

hàm ( , )f x liên tục theo biến x trên ,a b . Do đó hàm ( ) ( , )

b

a

I f x dx = tồn tại.

Lấy tùy ý ,c d , cho một số gia h sao cho ,h c d + , ta có

( ) ( ) ( , ) ( , )b

a

I h I f x h f x dx + − + − (1.1.2)

2

Với 0 , do ( , )f x liên tục đều trên , ,a b c d nên tồn tại ( ) sao cho với

0 h ta có

( , ) ( , )f x h f xb a

+ −

− với mọi ,x a b (1.1.3)

Khi đó, với 0 h , từ (1.1.2) và (1.1.3) ta được

( ) ( )I h I + − (1.1.4)

Điều này chứng tỏ ( )I liên tục trên ,c d .

Định lí 1.1.2.(Tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số với cận không đổi)

Giả sử với mỗi ,c d hàm ( , )f x liên tục theo biến x trên ,a b và đạo hàm riêng

( , )f x

tồn tại, liên tục trên , ,a b c d . Khi đó, hàm số ( )I khả vi trên ,c d và

( ) ( , )b

a

I f x dx

= (1.1.5)

Chứng minh. Với giả thiết đã cho dễ dàng suy ra hàm ( )I tồn tại.

Lấy tùy ý ,c d , cho một số gia h sao cho ,h c d + , ta chứng minh với

mọi 0 , tồn tại sao cho với 0 h ta có

( ) ( )( , )

b

a

I h If x dx

h

+ −−

Với mỗi ,x a b , do ( , )f x khả vi, liên tục theo , áp dụng công thức số gia giới

nội ta có

( ) ( ) [ ( , ) ( , )]b

a

I h I f x h f x dx + − = + −

( , )b

a

f x h hdx

= + với 0 1 (1.1.6)

Do đó

( ) ( )( , ) ( , ) ( , )

b b

a a

I h If x dx f x h f x dx

h

+ − − + − (1.1.7)

3

Do ( , )f x

liên tục đều trên , ,a b c d nên tồn tại sao cho với 0 h ta có

( , ) ( , )f x h f xb a

+ −

− với mọi ,x a b (1.1.8)

Với 0 h , từ (1.1.7) và (1.1.8) ta có

( ) ( )( , )

b

a

I h If x dx

h

+ −−

Điều này có nghĩa là ( )I khả vi trên ,c d và ( ) ( , )

b

a

I f x dx

= .

Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm

1

0

( ) arctanx

I dx

= với 0

Kí hiệu ,c d là đoạn chứa 0 . Khi đó, các hàm ( , ) arctan

xf x

= ,

2 2( , )

xf x

x

= −

+ thỏa các điều kiện của định lí 1.1.2. Do đó, từ (1.1.5) ta có

1 2

2 2 20

1( ) ln

2 1

xI dx

x

= − =

+ +

Định lí 1.1.3.(Tính khả tích của tích phân phụ thuộc tham số với cận không đổi)

Giả sử ( , )f x là hàm số liên tục trên , ,a b c d thì hàm ( )I khả tích trên

,c d và ta có

( ) ( , ) ( , )d d b b d

c c a a c

I d f x dx d f x d dx

= =

(1.1.9)

Chứng minh. Theo định lí 1.1.1, ta có hàm ( )I liên tục trên ,c d nên nó khả tích

trên ,c d . Ta chỉ còn chứng minh công thức (1.1.9).

Đặt ( ) ( , )t b

c a

g t f x dx d

= , ( ) ( , )

b t

a c

h t f x d dx

= với c t d .

Ta chứng minh ( ) ( )g t h t= với mọi c t d .

4

Theo giả thiết ta có ( ) ( , )b

a

I f x dx = liên tục trên ,c d . Do đó

( ) ( ) ( , )b

a

g t I t f x t dx = = (1.1.10)

Với mỗi ,t c d , theo định lí 1.1.1 ta có hàm

( , ) ( , )t

c

J x t f x d = liên tục theo biến x .

Ta cũng có ( , ) ( , )tJ x t f x t = liên tục trên , ,a b c d . Theo định lí 1.1.2, ta có

( ) ( , ) ( , ) ( , )b b b

ta a a

dh t J x t dx J x t dx f x t dx

dt

= = =

(1.1.11)

Từ (1.1.10) và (1.1.11) ta có

( ) ( )g t h t C= + (1.1.12)

Cho t c= , từ (1.1.12) ta được

( , ) ( , )t b b t

c a a c

f x dx d f x d dx

= (1.1.13)

Cho t d= , từ (1.1.13) ta được công thức (1.1.9).

Chú ý. Công thức (1.1.9) có thể viết dưới dạng

( , ) ( , )d b b d

c a a c

d f x dx dx f x d = (1.1.14)

Ví dụ. Tính các tích phân sau

(a)

1 1

2 20 0 1

xI d dx

x

=

+ (b)

1

0 ln

b ax xI dx

x

−=

(a) Ta có hàm 2 2

( , )1

xf x

x

=

+ liên tục trên 0,1 0,1 nên theo công thức (1.1.14)

ta được

1 1 1 1 11

2 2 2 2 00 0 0 0 0

arctan1 1

x xI d dx dx d x dx

x x

= = =

+ +

5

1

0

1arctan ln2

4 2xdx

= = −

(b) Ta có

1 1 1

0 0 0

1ln

ln 1

b bb a

a a

x x bI dx x d dx d x dx

x a

− += = = =

+

1.2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm của tham số

Trong phần này, chúng ta khảo sát tính liên tục, khả vi của hàm

( )( )

( )

( , )b

a

H f x dx

= (1.2.1)

trong đó, ( , )f x xác định trên , ,a b c d và ( ), ( )a b là các hàm của thỏa mãn

( ) , ( )a a b a b b với c d .

Định lí 1.2.1.(Tính liên tục của ( )H )

Giả sử ( , )f x là hàm số liên tục trên , ,a b c d và ( ), ( )a b liên tục ,c d . Khi

đó, hàm ( )H liên tục trên ,c d .

Chứng minh. Vì ( , )f x là hàm số liên tục trên , ,a b c d nên ( )H xác định trên

đoạn ,c d .

Lấy tùy ý 0

,c d . Với 0 , cần chứng minh tồn tại 0 sao cho

00 − ta có

0( ) ( )H H − .

Ta có

0

0

( )( )

0 0( ) ( )

( ) ( ) ( , ) ( , )bb

a a

H H f x dx f x dx

− = −

0 0

0 0

( ) ( )( )

0( ) ( ) ( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )a bb

a b a

f x dx f x dx f x f x dx

= + + − (1.2.2)

Do f liên tục trên , ,a b c d nên f bị chặn và liên tục đều trên , ,a b c d .

Khi đó, tồn tại 0M để

( , )f x M với mọi ( , ) , ,x a b c d (1.2.3)

Và tồn tại 1

0 để

6

( , ) ( , )3( )

f x f xb a

−

− (1.2.4)

với ( , ),( , ) , ,x x a b c d thỏa 1 1

0 , 0x x − −

Do ( ), ( )a b liên tục ,c d nên liên tục tại

0 . Khi đó, tồn tại

20 sao cho với

,c d thỏa 0 2

0 − ta có

0

( ) ( )3

a aM

− (1.2.5)

0( ) ( )

3b b

M

− (1.2.6)

Chọn 1 2min , = , với ,c d thỏa

0 20 − , từ (1.2.2) - (1.2.6), ta

được

0 0

0 0

( ) ( )( )

0 0( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )a bb

a b a

H H f x dx f x dx f x f x dx

− + + −

0 0. . ( ) ( ) .3 3 3( )

M M b aM M b a

+ + −

−

Vậy ( )H liên tục tại 0

,c d nên liên tục trên ,c d .

Định lí 1.2.2.(Tính khả vi của ( )H )

Giả sử ( , )f x là hàm số liên tục trên , ,a b c d sao cho f tồn tại và liên tục

trên , ,a b c d , các hàm ( ), ( )a b khả vi trên ,c d . Khi đó, hàm ( )H khả vi

trên ,c d và ta có

( )( )

( )

( , ) [ ( ), ] ( ) [ ( ), ] ( )b

a

H f x dx f b b f a a

= + − (1.2.7)

Chứng minh. Vì ( , )f x là hàm số liên tục trên , ,a b c d nên ( )H xác định trên

đoạn ,c d .

Lấy ( )0,c d và h là số gia của

0 sao cho ( )0

,h c d + . Ta có

7

( ) ( ) 0 0

0 0

( ) ( )0 0

0 0( ) ( )

1( , ) ( , )

b h b

a h a

H h Hf x h dx f x dx

h h

+

+

+ −= + −

0 0

0 0

( ) ( )

0 00

( ) ( )

( , ) ( , ) 1( , )

b b h

a b

f x h f xdx f x h dx

h h

++ −

= + +

0

0

( )

0( )

1( , )

a h

a

f x h dxh

+

− + (1.2.8)

Sử dụng công thức số gia giới nội và tính liên tục của f ta được

0 0

0 0

( ) ( )

0 000 0

( ) ( )

( , ) ( , )lim lim ( , )

b b

h ha a

f x h f xdx f x h dx

h

→ →

+ −= +

0

0

( )

0( )

( , )b

a

f x dx

= với 0 1 (1.2.9)

Sử dụng định lí giá trị trung bình của tích phân xác định ta được

0

0

( )

0 0 0 0( )

1 1( , ) ( , )[ ( ) ( )]

b h

b

f x h dx f h b h bh h

+

+ = + + − (1.2.10)

với 0 0

( ) ( )b h b +

Vì hàm ( )b khả vi trên ( , )c d và ( , )f x là hàm số liên tục trên , ,a b c d nên từ

(1.2.10) ta được

0

0

( )

0 0 0 00( )

1lim ( , ) [ ( ), ]. ( )

b h

hb

f x h dx f b bh

+

→+ = (1.2.11)

Lập luận tương tự như (1.2.10), (1.2.11) ta được

0

0

( )

0 0 0 00( )

1lim ( , ) [ ( ), ]. ( )

a h

ha

f x h dx f a ah

+

→+ = (1.2.12)

Từ (1.2.8), (1.2.9), (1.2.12) ta có định lí 1.2.2

Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm

(a)

2

( ) xH e dx

= (b) ( )3 ln 1

( )x

H dxx

+=

Định lí 1.2.3.(Tính khả tích của ( )H )

8

Giả sử ( , )f x là hàm số liên tục trên , ,a b c d và ( ), ( )a b liên tục ,c d . Khi

đó, hàm ( )H liên tục trên ,c d .

Chứng minh. Suy ra từ định lí 1.2.1

1.3.Tích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận

Định nghĩa 1.3.1. Cho hàm số ): ,f a A + → với A . Giả sử rằng với mỗi

A , tích phân ( , )a

f x dx+

tồn tại nghĩa là tồn tại giới hạn lim ( , )b

ba

f x dx→+ . Khi đó,

tích phân ( , )a

f x dx+

là một hàm của xác định trên A .

Đặt

( ) ( , )a

K f x dx +

= (1.3.1)

Tích phân ở vế phải của (1.3.1) được gọi là tích phân phụ thuộc tham số với cận + .

Tương tự ta có thể định nghĩa cho trường hợp cận dưới bằng − và trường hợp cận

trên bằng+ cận dưới bằng − , tích phân ( , )b

a

f x dx trong đó f → khi x a→

hoặc x b→ .

Trong các phần sau, chúng ta chỉ khảo sát tích phân dạng (1.3.1) với a hữu hạn. Các

kết quả đối với các dạng còn lại là tương tự.

Định nghĩa 1.3.2. Tích phân ( , )a

f x dx+

được gọi là hội tụ tại 0A nếu tích phân

0( , )

a

f x dx+

hội tụ. Ngược lại, ta gọi tích phân ( , )a

f x dx+

là phân kì. Tích phân

( , )a

f x dx+

được gọi là hội tụ trên A nếu tích phân ( , )a

f x dx+

hội tụ tại mọi A .

Ví dụ. Tìm miền hội tụ của các tích phân

(a) 1

( ) sinK xdx +

= hội tụ khi 0 = và phân kì tại 0

(b) 2

0

( ) xK e dx+

−= hội tụ khi 0 và phân kì tại 0

9

Nhận xét. Đặt ( ) ( , )b

ba

K f x dx = ,b a

Tích phân ( , )a

f x dx+

hội tụ trên A nếu với A , tích phân ( , )a

f x dx+

hội tụ hay

lim ( ) ( )bbK K

→+= hữu hạn, tức là với mọi 0 , tồn tại số

0( , ) 0b sao cho

0( , )b b ta có ( ) ( )

bK K − hay ( , )

b

f x dx +

.

Khi số 0b nói trên chỉ phụ thuộc vào , ta nói ( , )

a

f x dx+

hội tụ đều trên A .

Định nghĩa 1.3.3. Giả sử ( , )a

f x dx+

hội tụ trên A . Tích phân này được gọi là

hội tụ đều trên A nếu với mọi 0 , tồn tại số 0( ) 0b sao cho

( , )b

f x dx +

với mọi 0

b b và mọi A

Ví dụ. Xét sự hội tụ đều của 2 2

2 2 21

( )( )

xK dx

x

+−

=+

Với mọi , ( )K hội tụ.

Với 1b , ta có

2 2

2 2 2 2 2 2 2

1

( )b b

x x bdx

bx x b

++−

= = + + +

với mọi

Với mọi 0 , chọn 0

1b

= , với mọi

0b b theo bất đẳng thức trên ta có

2 2

2 2 2( )b

xdx

x

+−

+

Định lí 1.3.4. (Tiêu chuẩn Cauchy)

Tích phân ( )K hội tụ đều trên A khi và chỉ khi với mọi 0 , tồn tại 0b để

10

2

1

( , )b

b

f x dx với mọi 1 2 0,b b b , A (1.3.2)

Chứng minh. Điều kiện cần. Với 0 , do ( )K hội tụ đều trên A nên tồn tại 0b a

để

( , )2b

f x dx

+

với mọi 0

b b và mọi A

Do

2

1 2 1

( , ) ( , ) ( , )b

b b b

f x dx f x dx f x dx + +

+ =

Nên với mọi 1 2 0,b b b , A , ta có

2

1 2 1

( , ) ( , ) ( , )2 2

b

b b b

f x dx f x dx f x dx

+ +

+ + =

Điều kiện đủ. Với cố định, điều kiện (1.3.2) suy ra ( )K hội tụ. Mặt khác, trong

(1.3.2), cho 2b → ta có

1

( , )b

f x dx +

với mọi 1 0b b , A

Điều này chứng tỏ ( )K hội tụ đều trên A .

Định lí 1.3.5. (Tiêu chuẩn Weierstrass)

Giả sử tồn tại hàm ( ) 0x khả tích, tồn tại số b a sao cho ( , ) ( )f x x với mọi

A , x b và tích phân ( )a

x dx+

hội tụ. Khi đó, ( , )a

f x dx+


Chứng minh. Với mọi 0 , do tích phân ( )a

x dx+

hội tụ nên tồn tại 0b để với mọi

1 2 0,b b b ta có

2

1

( )b

b

x dx

11

Chọn 0 0

max{ , }b b b ta có

2 2 2

1 1 1

( , ) ( , ) ( )b b b

b b b

f x dx f x dx x dx với mọi A

Theo tiêu chuẩn Cauchy, tích phân ( )K hội tụ đều trên A .

Ví dụ. Chứng minh rằng 2

0

xe dx

+

−

hội tụ đều trên )0, + với

00 bất kì

Ta có 22

0xxe e −− với mọi )0, + , 0x .Mặt khác, tích phân

20

0

xe dx+

−

hội

tụ. Theo định lí Weierstrass, suy ra 2

0

xe dx

+

−

hội tụ đều trên )0, + .

Ví dụ. Xét sự hội tụ đều của

(a) 0

sinxe xdx

+

−

trên )0, + với

00 bất kì.

(b) 2 2

1

cos

1

xdx

x

+

+ + trên .

Trong phần kế tiếp, trình bày một số tiêu chuẩn hội tụ đều đối với tích phân của một

tích.

Bổ đề 1.3.6. (Định lí Bonnet)

Nếu ( )x là hàm đơn điệu và ( )g x là hàm khả tích trên [ , ]a b thì tồn tại điểm [ , ]c a b

sao cho

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b c b

a a c

g x x dx a g x dx b g x dx = +

Chứng minh. Xem [2]

Định lí 1.3.7. (Tiêu chuẩn Dirichlet)

Giả sử

(i) Tích phân ( , )b

a

f x dx bị chặn đều theo b và nghĩa là tồn tại 0c để với mọi

b a , mọi A ta có ( , )b

a

f x dx c .

12

(ii) ( , )x hội tụ đều theo A về 0 khi x →+ và ( , )x đơn điệu theo x với

mỗi A cố định.

Khi đó tích phân ( , ) ( , )a

f x x dx +


Chứng minh. Với 0 , theo (ii) tồn tại 0b để với

0b b , mọi A ta có

( , )4

bc

Do đó, với mọi 2 1 0b b b , sử dụng bổ đề 1.3.7 ta có

2 2

1 1

1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b b

b b

f x x dx b f x dx b f x dx

= + với [ , ]a b

2

1

1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b

b

b f x dx b f x dx

+

1

1( , ) ( , ) ( , )

b

a a

b f x dx f x dx

+

2

2( , ) ( , ) ( , )

b

a a

b f x dx f x dx

+ + (2 2 )

4c c

c

+ =

Theo định lí Cauchy, tích phân ( , ) ( , )a

f x x dx +

hội tụ đều trên A

Ví dụ. Xét sự hội tụ đều của tích phân 0

sin( )xdx

x

+

trên )0, + với

00 bất kì

Xét ( , ) sinf x x = và 1

( , )xx

= thỏa các điều kiện của tiêu chuẩn Dirichlet nên

tích phân 0

sin( )xdx

x

+

trên )0, + .

Định lí 1.3.8. (Tiêu chuẩn Abel)

Giả sử

13

(i) Tích phân ( , )a

f x dx+


(ii) ( , )x bị chặn đều tức là tồn tại 0c để ( , )x c với mọi x a , mọi A

và ( , )x đơn điệu theo x với mỗi A cố định.

Khi đó tích phân ( , ) ( , )a

f x x dx +


Chứng minh. Tương tự định lí 1.3.7

Định lí 1.3.9. (Tính liên tục của ( )K )

Nếu ( , )f x liên tục trên [ , ) [ , ]a c d+ và tích phân ( , )a

f x dx+

hội tụ đều trên [ , ]c d thì

hàm ( )K liên tục trên [ , ]c d .

Chứng minh. Lấy 0

[ , ]c d . Với 0 , ta cần chứng minh tồn tại 0 để với

[ , ]c d thỏa 0

0 − ta có 0

( ) ( )K K − .

Vì ( , )a

f x dx+

hội tụ đều trên [ , ]c d nên tồn tại 0

0b sao cho với mọi 0

b b ta có

( , )3b

f x dx

+

với mọi [ , ]c d

Cố định 0

b b , theo định lí 1.1.1 ta có ( , )b

a

f x dx liên tục tại 0

nên với [ , ]c d

thỏa 0

0 − ta có

0( , ) ( , )

3

b b

a a

f x dx f x dx

−

Do đó, với [ , ]c d thỏa 0

0 − ta có

0 0( ) ( ) ( , ) ( , )

a a

K K f x dx f x dx + +

− = −

0 0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )b b

a a b b

f x dx f x dx f x dx f x dx + +

= − + −

0 0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )b b

a a b b

f x dx f x dx f x dx f x dx + +

− + +

14

3 3 3

+ + =

Điều này có nghĩa là ( )K liên tục tại 0

và do đó ( )K liên tục trên [ , ]c d .

Định lí 1.3.10. (Tính khả tích của ( )K )

Nếu ( , )f x liên tục trên [ , ) [ , ]a c d+ và tích phân ( , )a

f x dx+

hội tụ đều trên [ , ]c d thì

hàm ( )K khả tích trên [ , ]c d và ta có

( ) [ ( , ) ] [ ( , ) ]d d d

c c a a c

K d f x dx d f x d dx + +

= =

Chứng minh. Với các giả thiết đã cho, theo định lí 1.3.9 hàm ( )K liên tục trên [ , ]c d .

Do đó, ( )K khả tích trên [ , ]c d . Ta chỉ còn chứng minh đẳng thức trên.

Vì ( , )a

f x dx+

hội tụ đều trên [ , ]c d nên với 0 , tồn tại 0

0b sao cho với mọi

0b b ta có

( , )b

f x dxd c

+

− với mọi [ , ]c d

Khi đó

( ) [ ( , ) ] [ ( , ) ] [ ( , ) ]d d d b d

c c a c a c b

K d f x dx d f x dx d f x dx d + +

= = +

Theo định lí 1.1.3 ta có

[ ( , ) ] [ ( , ) ]d b b d

c a a c

f x dx d f x d dx =

Suy ra

( ) [ ( , ) ] [ ( , ) ]d b d d

c a c c b

K d f x d dx f x dx d +

− =

( , ) ( )d

c b

f x dx d d cd c

+

− =−

Vậy với 0 , tồn tại 0

0b sao cho với mọi 0

b b ta có

( ) [ ( , ) ]d b d

c a c

K d f x d dx −

Hay

( ) lim [ ( , ) ] [ ( , ) ]d b d d

bc a c a c

K d f x d dx f x d dx +

→+= =

15

Định lí 1.3.11. (Tính khả vi)

Giả sử ( , )f x liên tục trên [ , ) [ , ]a c d+ và ( , )f x

tồn tại, liên tục trên [ , ) [ , ]a c d+ .

Nếu tích phân ( , )a

f x dx+

hội tụ trên [ , ]c d và tích phân ( , )a

f x dx

+

hội tụ đều trên

[ , ]c d thì hàm ( )K khả vi trên [ , ]c d và ta có

( ) ( , )a

K f x dx

+

=

Chứng minh. Với mỗi số tự nhiên n a , xét dãy hàm

( ) ( , )n

na

K f x dx =

Với mỗi [ , ]c d , do ( , )a

f x dx+

hội tụ trên [ , ]c d nên dãy hàm ( )nK hội tụ về

( )K .

Theo định lí 1.1.2 ta có ( )nK khả vi trên [ , ]c d và

( ) ( , )n

na

K f x dx

= với mỗi [ , ]c d

Do ( , )a

f x dx

+

hội tụ đều trên [ , ]c d nên dãy hàm ( )nK hội tụ đều trên [ , ]c d về

hàm ( , )a

f x dx

+

. Do đó, ( )K khả vi trên [ , ]c d và

( )( ) lim ( ) lim ( ) ( , )n nn n

a

K K K f x dx

+

→ →

= = =

Ví dụ. Xét tính liên tục, khả vi của 2

1

( )1

xeK dx

x

+ −

=+

với 0

Đặt 2

( , )1

xef x

x

−

=+

. Ta có ( , )f x liên tục trên ) )0, 0, + + .

Ta cũng có 2

1( , )

1f x

x =

+ với 0 và

21

1

1dx

x

+

+ hội tụ. Theo tiêu chuẩn

Cauchy, ( )K hội tụ đều trên [0, ]d với mọi 0d . Vì vậy, theo định lí 1.3.9, ta có

( )K liên tục trên )0, + .

Ta có

2( , )

1

xef x x

x

−

= −+

16

Với 0x , 0a , ta có 1

( , )2

axf x e

− = mà 0

axe dx+

−

hội tụ nên ( , )a

f x dx

+

hội tụ đều với 0 . Theo định lí 1.3.11 ta có ( )K khả vi trên [0, )+ và ta có

20

( )1

xxeK dx

x

+ −

= −+

Ví dụ. Tính tích phân 0

cos( ) kxx xK e dx

x

+

−−= với , 0k

Đặt cos

( , ) kxx xf x e

x

−−

= , ta có ( , )f x , ( , ) sinkxf x e x

− = liên tục trên

[0, ) [0, )+ + .

Chứng minh được 0

( , )f x dx+

hội tụ trên[0, )+ và0

( , )f x dx

+

hội tụ đều trên

[0, )+ với 0k .

Theo định lí 1.3.11 ta có

20

( ) sinkxK e xdxk

+

− = =+

Do đó

2 21( ) ln( )

2K k C = + +

Vì (0) 0K = nên 21

ln2

C k= − . Do đó, 2

2

1( ) ln(1 )

2K

k

= +

17

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1.1 Tìm miền xác định của hàm số 1

2 20

( )dx

Ix

=+

1.2 Chứng minh rằng tích phân 1

0

( ) ( , )I f x dx =

với ( , ) sgn( )f x x y = − là hàm số liên tục trên .

1.3 Tính các giới hạn sau

(a)

22

00

lim cosx xdx

→ (b)

12 2

01

lim x dx

→

−

+

(c)

1

2 20lim

1

dx

x

+

→ + +

1.4 Giả sử ( )f x là hàm số liên tục và dương trên 0,1 . Xét tính liên tục của hàm

1

2 20

( )( )

f xI dx

x

=

+

1.5 Giả sử ( )f x là hàm số liên tục trên [ , ]A B . Chứng minh rằng

0

1lim [ ( ) ( )] ( ) ( )

x

ha

f t h f t dt f x f ah→

+ − = − với A x a B

1.6 Tính ( )H nếu

(a)

2

2

( ) xH e dx

−= (b) 2

cos1

sin

( ) xH e dx

−=

(c) sin

( )b

a

xH dx

x

+

+

= (d) 0

ln(1 )( )

xH dx

x

+

=

(e) 0

( ) ( , )H f x x dx

= + −

1.7 Tìm ( )H nếu

(a) 0

( ) ( ) ( )H x f x dx

= + với ( )f x là hàm khả vi

(b) ( ) ( )b

a

I x f x dx = − trong đó a b và ( )f x là hàm liên tục trên [ , ]a b

1.8 Sử dụng phương pháp lấy đạo hàm theo tham số, tính các tích phân sau

18

(a) 2

2 2 2 2

0

ln( sin cos )a x b x dx

+ (b) 2

0

arctan( . tan )

tan

a xdx

x

1.9 Sử dụng đẳng thức

1

2 20

arctan

1

x dy

x x y=

+ , tính tích phân

1

20

arctan

1

x dxI

x x=

−

1.10 Tìm miền hội tụ của các tích phân

(a) 2

0 1

xedx

x

+ −

+ (b)

cosp q

x xdx

x x

+

+

(c) 0

sin ( 0)

q

p

xdx q

x

+

(d)

2

0

ln

p

dx

x

1.11 Chứng minh rằng tích phân

0

( ) xK e dx +

−=

(a) Hội tụ đều trên mọi đoạn [ , ]a b với 0a

(b) Không hội tụ đều trên đoạn [0, ]b

1.12 Chứng minh rằng tích phân

0

sin( )

xK dx

x

+

=

(a) Hội tụ đều trên mọi đoạn [ , ]a b không chứa 0 =

(b) Không hội tụ đều trên đoạn [ , ]a b chứa 0 =

1.13 Khảo sát sự hội tụ đều của tích phân 1

( )dx

Kx

+

= trên các khoảng sau

(a) 0

[ , ) + với 0

1

(b) (1, )+

1.14 Xét sự hội tụ đều của các tích phân sau

(a) 0

sinxe xdx

+

−

trên 0

[ , ) + với 0

0 (b) 1

xx e dx

+

−

trên [ , ]a b

(c) 2

cos

1

xdx

x

+

− + trên (d)

21 ( )

dx

x

+

− + − trên [0, )+

(e) 0

sin xxe dx

x

+

−

trên [0, )+ (f) 1

lnp xdx

x x

+

trên 0 10p

(g) 1

cosx

p

xe dx

x

+

−

trên [0, )+ , p cố định (h) 2

0

xe dx+

−

trên [0, )+

19

1.15 Cho ( )f x là hàm khả tích trên (0, )+ . Chứng minh rằng

0

0 0

lim ( ) ( )xe f x dx f x dx

+

+ +

−

→

=

1.16 Cho ( )f x là liên tục và bị chặn trên [0, )+ . Chứng minh rằng

2 20

0

2 ( )lim (0)

f xdx f

x

+

+

→

=+

1.17 Chứng minh rằng hàm 2( )

0

( ) xK e dx+

− −= liên tục theo

1.18 Chứng minh rằng hàm

1

0

sin( ) xK dx

x

= liên tục trên khoảng (0,1) theo

1.19 Xét tính liên tục trên các khoảng được chỉ ra của các hàm số sau

(a) 0

( )2

xdxK

x

+

=+

trên (2, )+ (b) 0

cos( )

xdxK

x

+

= trên (0, )+

(c) 2

0

( ) xK e dx +

−= trên ( , )− +

1.20 Chứng minh rằng hàm 2

0

cos( )

1 ( )

xK dx

x

+

=+ +

khả vi và liên tục trên ( , )− +

1.21 Dùng phương pháp lấy đạo hàm theo tham số, tính các tích phân sau

(a) 0

1( )

ax

x

eK dx

xe

+ −−= với 1a − (b)

20

arctan( )

(1 )

axK dx

x x

+

=+

(c) 0

( )ax bxe e

K dxx

+ − −−

= với 0; 0a b

1.22 Tính tích phân 2

0

( ) xK e dx+

−=

20

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

2.1. Tích phân trên hình hộp

2.1.1. Các định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1. Hình hộp hay hình hộp đóng trong n

là tập có dạng

1 21

[ , ] { ( ,..., ) : [ , ], 1, } [ , ]n

n

i i i i ii

a b x x x x a b i n a b=

= = = = ,

trong đó 1

( ,..., )n

a a a= và 1

( ,..., )n

b b b= , i ia b với 1,2,...,i n= .

Đoạn [ , ]i ia b được gọi là cạnh thứ i của hình hộp [ , ]a b .

Trường hợp 2n = ta có

2

1 2 1 1 2 2[ , ] { ( , ) : [ , ], 1,2} [ , ] [ , ]

i i ia b x x x x a b i a b a b = = = = là hình chữ

nhật trong 2.

Trường hợp 3n = ta có

3

1 2 3 1 1 2 2 3 3[ , ] { ( , , ) : [ , ], 1, 3} [ , ] [ , ] [ , ]

i i ia b x x x x x a b i a b a b a b = = = = là

hình hộp chữ nhật trong 3.

Thông thường, nếu không muốn chỉ cụ thể ta dùng kí hiệu thay cho [ , ]a b .

Trong phần tiếp theo, ta có định nghĩa tích phân bội cho trường hợp 2n = .

Định nghĩa 2.1.2. Phân hoạch P của đoạn [ , ]a b là một dãy điểm 0 1, ,...,

kt t t trong đó

0 1...

ka t t t b .

Như vậy, phân hoạch P sẽ chia đoạn [ , ]a b thành k đoạn 1

[ , ]i it t−

với 1,2,...,i k= .

Phân hoạch của hình hộp [ , ] [ , ]a b c d là tập 1 2

( , )P P P= , trong đó 1P là phân hoạch của

[ , ]a b , 2P là phân hoạch của [ , ]c d , nghĩa là nếu

1 0 1{ , ,..., }

kP t t t= ,

2 0 1{ , ,..., }

lP s s s= thì

phân hoạch 1 2

( , )P P P= của hình hộp [ , ] [ , ]a b c d chia hình hộp đó thành kl hình hộp

nhỏ 1 1

[ , ] [ , ]ij i i j jt t s s− −

= , 1,2,...,i k= , 1,2,...,j l= .

Đặt 1 1

( ) max{| | : 1, }i i

d P t t i k−

= − = ,

2 1( ) max{| | : 1, }

j jd P s s j l

−= − = ,

và 1 2

( ) max{ ( ), ( )}d P d P d P= .

Số ( )d P được gọi là đường kính của phân hoạch P .

21

Định nghĩa 2.1.3. Giả sử [ , ] [ , ]a b c d là hình hộp trong 2, : [ , ] [ , ]f a b c d → và P

là phân hoạch của hình hộp [ , ] [ , ]a b c d thành các hình hộp nhỏ ij

. Trên mỗi hình hộp

nhỏ ij

, ta chọn tùy ý một điểm

( , )ij ij ijx

= , 1,i k= , 1,j l= , 1

[ , ]ij i ix x

− ,

1[ , ]

ij i iy y

− .

Lập tổng

11

( ) ( ) ( ) ( , ) ( )ij ij

ij

P ij ij ij ijP i k

j l

x f x V f V

= = ,

trong đó ( )ij

V là thể tích hình hộp ij

và được tính bằng

1 1

( ) ( )( )ij i i j j

V x x y y− −

= − − với 1,i k= , 1,j l= .

Tổng ( )ijPx

được gọi là tổng tích phân của hàm f trên hình hộp [ , ] [ , ]a b c d .

Ta nói họ ( )ijPx

có giới hạn là I nếu với mỗi 0 bé tùy ý cho trước, tồn tại

0 sao cho với mọi phân hoạch P của hình hộp [ , ] [ , ]a b c d mà ( )d P và với

mọi cách chọn điểm ij ijx P ta có

| ( ) |<ijPx I

− .

Lúc đó, ta viết ( ) 0lim ( )

ijPd PI x

→= .

Giới hạn (nếu tồn tại hữu hạn)

( ) 0 ( ) 0 ( ) 011

lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( , ) ( )ij ij

ij

P ij ij ij ijd P d P d PP i k

j l

I x f x V f V → → →

= = =

dược gọi là tích phân hai lớp (hay tích phân bội, tích phân kép) của hàm f trên hình

hộp [ , ] [ , ]a b c d và kí hiệu là

[ , ] [ , ]

( , )a b c d

f x y dxdy

.

Khi đó, ta cũng nói rằng hàm f khả tích trên [ , ] [ , ]a b c d .

Để định nghĩa tích phân bội trên hình hộp trong trường hợp n bất kì ta chỉ cần lặp

lại các bước làm đối với 2n = .

22

Thay vì kí hiệu

1 1

1 2 1[ , ] ...[ , ]

............ ( ,..., ) ...n n

na b a b

f x x dx dx

ta dùng kí hiệu đơn giản ( )f x dx

hay

fdx

.

Định lí sau đây cho ta điều kiện cần của tính khả tích mà cách chứng minh nó hoàn toàn

tương tự cách chứng minh đối với hàm khả tích trên một đoạn

Định lí 2.1.4. Nếu hàm :f → khả tích trên hình hộp thì nó bị chặn trên hình

hộp đó.

2.1.2. Điều kiện cần và đủ của tính khả tích

Định nghĩa 2.1.5. Cho hàm :f → bị chặn và P là một phân hoạch của thành

các hình hộp nhỏ k

, 1,2,...,k n= . Với mỗi kP , ta đặt

inf ( )k

kxm f x

= , sup ( )

kkx

M f x

= , k k kM m

= − ,

( ) ( )k

k

ijP

s P m V

= và ( ) ( )k

k

ijP

S P M V

=

Số 0k

được gọi là dao động của hàm f trên

k .

Giá trị ( ), ( )s P S P lần lượt được gọi là tổng Darboux dưới và tổng Darboux trên của

hàm f ứng với phân hoạch P .

Tổng Darboux của hàm bi chặn f trên hình hộp có các tính chất sau

(i) ( ), ( )s P S P chỉ phụ thuộc vào phân hoạch P .

(ii) Với mọi phân hoạch P của hình hộp và cách chọn k kx P ta có

( ) ( ) ( )kP

s P x S P

.

(iii) ( ) inf{ ( ) : }k kP k

s P x x

= , ( ) sup{ ( ) : }k kP k

S P x x

= .

(iv) Nếu phân hoạch P nhận được từ phân hoạch P bằng cách thêm vào P một số

hữu hạn điểm chia trên các cạnh của hình hộp thì

( ) s( )s P P và ( ) S( )S P P .

(v) Với hai phân hoạch bất kì P và P của hình hộp ta có ( ) S( )s P P .

Định nghĩa 2.1.6. Cho hàm :f → . Các số sup ( )P

I s P−= và inf ( )

PI S P+ = lần

lượt được gọi là tích phân dưới và tích phân trên của hàm f trên hình hộp và viết

( )I f x dx−

−

= và ( )I f x dx+

+

= .

23

Định lí 2.1.7. Hàm bị chặn :f → khả tích khi và chỉ khi I I +−= .

Chú ý 2.1.8. Ta cũng có thể diễn đạt Định lí 2.1.7 dưới dạng: Hàm bị chặn :f →

khả tích khi và chỉ khi ( ) 0 ( ) 0lim | ( ) ( )| lim ( ) 0

k

k

kd P d PP

S P s P V→ →

− = = .

2.1.3. Các tính chất của tích phân

Tương tự như đối với tích phân xác định, tích phân bội có các tính chất đơn giản sau

Định lí 2.1.9. Nếu f và g là hai hàm khả tích trên hình hộp và , thì

f g + cũng khả tích trên và ta có

( )f g dx fdx gdx

+ = + .

Định lí 2.1.10. Nếu f và g là hai hàm khả tích trên hình hộp thì .f g cũng khả tích

trên .

Định lí 2.1.11. Nếu f là hàm khả tích trên hình hộp thì | |f cũng khả tích trên và

| | | |fdx f dx

= .

Định lí 2.1.12. Cho f là hàm khả tích trên hình hộp . Khi đó

(i) Nếu ( ) 0f x với mọi x thì 0fdx

.

(ii) Nếu ( ) 0f x với mọi x thì 0fdx

.

Định lí 2.1.13. Giả sử 1 2

= với 1 2

int int = , trong đó 1 2, cũng là

hai hình hộp trong n

. Khi đó hàm f khả tích trên hình hộp khi và chỉ khi hàm f

khả tích trên 1 2, và ta có

1 2

fdx fdx fdx

= + .

Định lí 2.1.14. Tính khả tích và giá trị tích phân của hàm f trên hình hộp 2

(3 ) không thay đổi nếu ta thay đổi giá trị của f trên một số hữu hạn các đường

(tương ứng, các mặt phẳng) song song với các trục tọa độ (tương ứng, song song với

các mặt phẳng tọa độ).

2.1.4. Các lớp hàm khả tích

Tương tự như tích phân xác định, từ Định lí 2.1.7 ta có

Định lí 2.1.15. Nếu hàm f liên tục trên hình hộp thì f khả tích trên .

24

Định lí 2.1.16. Nếu f là hàm bị chặn, liên tục trên hình hộp 2 (

3 ) có thể

trừ một số hữu hạn các đường (tương ứng, các mặt phẳng) song song với các trục tọa độ

(tương ứng, song song với các mặt phẳng tọa độ) thì f khả tích trên .

2.1.5. Một số định lí về giá trị trung bình

Tương tự như tích phân xác định ta có

Định lí 2.1.17. Nếu :f → khả tích trên hình hộp , inf ( )m f x

= , sup ( )M f x

=

thì tồn tại số [ , ]m M sao cho . ( )fdx V

= .

Hơn nữa, nếu f liên tục trên hình hộp thì tồn tại c sao cho ( ). ( )fdx f c V

= .

Định lí 2.1.18. Giả sử các hàm ,f g khả tích trên hình hộp sao cho g không đổi dấu

trên . Đặt inf ( )m f x

= , sup ( )M f x

= . Khi đó tồn tại số [ , ]m M sao cho

.f gdx gdx

= .

Hơn nữa, nếu f liên tục trên thì tồn tại c sao cho . ( )f gdx f c gdx

=

2.2. Tích phân trên miền bị chặn

Trong mục này, ta sẽ mở rộng định nghĩa tích phân bội trên hình hộp tới tích

phân trên miền bị chặn bất kì.

2.2.1. Hàm khả tích và tập đo được Jordan

Định nghĩa 2.2.1. Giả sử B là tập con của n

. Hàm : n

B → cho bởi

=

1 ( )

0 B

neáu x Bx

neáu x B

được gọi là là hàm đặc trưng của tập B .

Định nghĩa 2.2.2. Giả sử :f B → là hàm xác định trên tập bị chặn nB . Ta nói

hàm f khả tích trên B nếu tồn tại hình hộp B sao cho hàm :Bf → xác

định bởi

=

( ) ( )

0 \B

f x neáu x Bf x

neáu x B khả tích trên .

Khi đó ta gọi Bfdx

là tích phân của hàm f trên tập bị chặn B và kí hiệu là B

fdx ,

nghĩa là B

B

fdx fdx

= .

25

Nhận xét 2.2.3. (i) Nếu f khả tích trên B thì hàm Bf khả tích trên mọi hình

hộp B .

(ii) Tính khả tích của hàm f trên tập bị chặn B và giá trịBfdx

không phụ thuộc vào

việc chọn hình hộp B .

Thật vậy, giả sử B là hình hộp mà trên đó Bf khả tích và

BB

fdx fdx

= . Giả

sử là hình hộp tùy ý chứa B . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử .

Gọi P là phân hoạch của thành các hình hộp nhỏ , 1,2,...,kk m = và giả sử

k kx P . Nếu thấy cần thiết thì bằng cách thêm vào các điểm chia trên các cạnh

của hình hộp , ta có thể coi phân hoạch P chỉ gồm 3 loại hình hộp sau

Loại 1: Gồm các k

,

Loại 2: Gồm các hình hộp chỉ giao với theo các mặt,

Loại 3: Gồm các hình hộp hoàn toàn rời .

Khi đó

=loaïi 3

( ) ( ) 0k

k

B kf x V .

Các hình hộp loại 1 lập thành một phân hoạch 1

P của với 1

( ) ( )d P d P . Ta có

− loaïi 1

( ) ( ) ( ) ( )k k

k k

B k B kP

f x V f x V

loaïi 2 loaïi 2

( ) ( ) sup ( ) ( )k

k k

B k kx B

f x V f x V .

Vì

→loaïi 2

( ) 0k

kV khi ( ) 0d P → nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra

Bf khả tích

trên và B Bfdx fdx

= .

Định nghĩa 2.2.4. Nếu hàm f khả tích trên B thì f bị chặn trên đó.

Chứng minh. Suy ra Định nghĩa 2.2.2 và Định lí 2.1.4.

Định nghĩa 2.2.5. Tập nB được gọi là đo được theo Jordan nếu hàm

B khả tích

trên một hình hộp nào đó chứa B . Số ( )B

V dx

= được gọi là thể tích của B .

26

Ví dụ 2.2.6. (i) Tập [0,1]B = đo được theo Jordan vì

=

1 [0,1]( )

0 [0,1]B

neáu xx

neáu x khả

tích trên hình hộp [0,1] B .

(ii) Tập [0,1]B = không đo được theo Jordan vì

=

1 [0,1]( )

0 [0,1]B

neáu xx

neáu x

không khả tích trên bất kì hình hộp nào chúa B .

Định nghĩa 2.2.7. Tập con nE được gọi là có độ đo Lebsegue bằng 0 nếu với mọi

0 tồn tại một dãy các hình hộp 1

( )i i

= sao cho

1i

i

E

=

và 1

( )i

i

V

=

.

Khi đó, ta viết ( ) 0E = .

Định lí 2.2.8. Giả sử nB là tập bị chặn. Khi đó B đo được Jordan khi và chỉ

khi ( ) 0B = .

Chứng minh. Giả sử B đo được Jordan, nghĩa là B

khả tích trên một hình hộp nào

đó chứa B . Do đó với mọi 0 tồn tại 0 sao cho với mọi phân hoạch P của

với ( )d P thì

( ) ( )S P s P − ,

với ( ), ( )s P S P tương ứng là tổng Darboux dưới, tổng Darboux trên của hàm B

trên

hình hộp .

Lấy P là phân hoạch của sao cho ( )d P và thỏa điều kiện nếu lấy kP ,

kB .

Do 0, ,

( ) ( )1, int .k k

k

B Bk

BM m

B

= − =

nên có thể phủ B bởi không quá

đếm được các hình hộp kP với

kB và

int

( ) ( ) ( )k

kB

V S P s P

= − .

Vậy ( ) 0B = .

Ngược lại, nếu ( ) 0B = thì với mọi 0 tồn tại một dãy các hình hộp 1

( )i i

= sao

cho 1

ii

B

=

và 1

( )i

i

V

=

. Vì B là tập đóng và bị chặn nên suy ra có hữu hạn

27

hình hộp , 1,2,...,ii m = sao cho

1

m

ii

B=

và 1

( )m

ii

V =

. Bằng cách kéo dài các

cạnh của hình hộp , 1,2,...,ii m = ta thu được một hình hộp chứa B và một phân

hoạch P của mà 1

( ) ( ) ( )m

ii

S P s P V =

− = .

Dễ thấy rằng với mọi phân hoạch P của mà ( ) ( )d P d P ta có

1

( ) ( ) ( )m

ii

S P s P V =

− = .

Do đó B

khả tích trên nghĩa là B đo được Jordan.

2.2.2. Các tính chất của tích phân trên miền bị chặn

Từ định nghĩa của tích phân trên miền bị chặn ta có

Định lí 2.2.9. Nếu ,f g khả tích trên miền bị chặn B còn , thì f g + cũng

khả tích trên B và

( )B B B

f g dx fdx gdx + = + .

Định lí 2.2.10. Giả sử B là miền đóng, bị chặn và đo được Jordan trong n

và

:f B → là hàm liên tục trên B . Khi đó f khả tích trên B .

Chứng minh. Để đơn giản trong cách trình bày, ta xét 2n = .

Giả sử là hình hộp trong 2 chứa B . Từ giả thiết B là miền đóng, bị chặn ta có

sup{| ( )| : }M f x x B= + và f liên tục đều trên B . Do đó với 0 bé tùy ý cho

trước, tồn tại 0 sao cho với mọi ,x x B mà 0<|| ||<x x − ta có

| ( ) ( )|f x f x − .

Mặt khác, do B đo được Jordan nên hữu hạn hình chữ nhật , 1,2,...,ii m = thỏa mãn

1

m

ii

B=

và 1

( )2

m

ii

V

=

.

Thực hiện phân hoạch P của hình hộp B thành các hình chữ nhật k

mà

( )k

d và nếu kB thì

k i với i nào đó, 1,2,...,i m= . Khi đó ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k

k k k

B k B k B kP B B

f V f V f V

= +

( ) 2. . [ ( ) ]2

V B M V B M

+ = + .

28

Do đó Bf khả tích trên và vì vậy f khả tích trên B .

Định lí 2.2.11. Nếu ,f g khả tích trên miền bị chặn B và ( ) ( )f x g x với mọi x B

thì B B

fdx gdx .

Chứng minh. Suy ra từ Định lí 2.2.9.và Định lí 2.1.12.

Định lí 2.2.12. Giả sử f khả tích trên B và D với D B . Nếu ( ) 0f x với mọi

x B thì D B

fdx fdx .

Định lí 2.2.13. Nếu f khả tích trên miền mở và bị chặn nB và ( ) 0f x với mọi

x B thì 0B

fdx .

Chứng minh. Suy ra từ Định lí 2.2.10, Định lí 2.2.11 và Định lí 2.1.12.

Định lí 2.2.14. Giả sử :f B → với 1 2

B B B= và 1 2

( )V B B = . Nếu f khả

tích trên 1 2,B B thì f khả tích trên B và

1 2B B B

fdx fdx fdx= + .

Chứng minh. (i) Trước hết ta chứng minh rằng nếu f bị chặn trên B và ( ) 0V B =

thì f khả tích trên B và 0B

fdx = . Thật vậy, từ ( ) 0V B = suy ra 0Bdx

= với là

hình hộp nào đó chứa . Do đó, với 0 bé tùy ý cho trước, tồn tại 0 sao cho

với mọi phân hoạch P của với ( )d P ta có

( ) ( )k

k

B kP

x VM

,

với sup{| ( )| : }M f x x B= + .

Do đó với ( )d P và mọi cách chọn k kx P , ta có

( ) ( ) sup|f| ( ) ( )k k

k k

B k B kP P

f x V x V

.

Do đó 0Bfdx

= nghĩa là f khả tích trên B và 0B

fdx = .

(ii) Từ đẳng thức 1 2 1 2 1 2B B B B B B

= + − và từ (i) ta có

1 2 1 2 1 2

1 2

B B B B B BB B

fdx fdx fdx fdx fdx fdx

= + − = + .

29

Định lí 2.2.15. Nếu f khả tích trên B thì | |f khả tích trên B và | |B B

fdx f dx .

Chứng minh. Suy ra từ Định nghĩa 2.2.2.và Định lí 2.1.11.

Định lí 2.2.16. (i) Nếu ,f g khả tích trên B thì fg cũng khả tích trên B .

(ii) Nếu inf | ( )| 0x Bf x

và ,f g khả tích trên B thì

f

g cũng khả tích trên B .

Chứng minh. Suy ra từ Định nghĩa 2.2.2.và Định lí 2.1.10.

2.3. Cách tính tích phân bội

Mục này trình bày Định lí Fubini, nhờ nó mà việc tính tích phân bội được đưa về

tính các tính phân lặp một lớp thông thường.

Giả sử

1 1 1 1

[ , ] ... [ , ] [ , ] [ , ]n n n n n n

a b a b a b a b− −

= = ,

trong đó 1 1 1 1

[ , ] ... [ , ]n n

a b a b− −

= là hình hộp trong 1n− và được gọi là đáy của hình

hộp .

Giả sử :f → . Với mỗi x ta viết ( , )n

x x x= với x , [ , ]n n nx a b nên

thay cho cách viết ( ),f x x ta viết ( , )n

f x x với x , [ , ]n n nx a b .

Định lí 2.3.1. (Định lí Fubini trên hình hộp)

Giả sử f khả tích trên hình hộp sao cho với mọi x tồn tại

( ) ( , )n

n

b

n na

I x f x x dx = .

Khi đó ( )I x khả tích trên và ( ) ( , )n

n

b

n na

fdx I x dx dx f x x dx

= = .

Trường hợp 2n = ta có [ , ] [ , ]a b c d = . Định lí 2.3.1 được phát biểu như sau

Giả sử f khả tích trên[ , ] [ , ]a b c d sao cho với mọi [ , ]x a b tồn tại ( ) ( , )d

c

I x f x y dy= .

Khi đó ( )I x khả tích trên [ , ]a b và [ , ] [ , ]

( , ) ( , )b d

a b c d a c

f x y dxdy dx f x y dy

= .

Chứng minh. Để đơn giản trong trình bày, ta chứng minh Định lí 2.3.1 trong trường

hợp 2n = . Thực hiện phân hoạch P chia thành các hình chữ nhật nhỏ ij

, bởi các

điểm chia trên các cạnh

30

0 1 1... ...

i i ka x x x x x b

+= = ,

0 1 1... ...

j j mc y y y y y d

+= = .

Khi đó 1 1

[ , ] [ , ]ij i i j jx x y y

+ + = , 0, 1i k= − , 0, 1j m= − .

Kí hiệu inf{ ( , ) : ( , ) }ij ijm f x y x y= , sup{ ( , ) : ( , ) }

ij ijM f x y x y= .

Khi đó ( , )ij ijm f x y M với mọi ( , )

ijx y .

Với 1

[ , ]i i ix x

+= tùy ý, từ giả thiết ta có

1

1 1( ) ( , ) ( )

j

j

y

ij j j i ij j jy

m y y f y M y y+

+ +− − .

Do đó 1 1

1 10 0

( ) ( ) ( , ) ( )dm m

ij j j i i ij j jj jc

m y y I f y M y y − −

+ += =

− = − .

Vì vậy ta có

1

0 1 0 0 10 1 0 1

( )k

ij i j i i ij i ji k i i kj m j m

m x y I x M x y−

− = − − −

,

với 1

, 0, 1i i ix x x i k

+ = − = − ,

1, 0, 1

j j jy y y j m

+ = − = − .

Mà 0 10 1

( )ij i j

i kj m

m x y s P − −

= , 0 10 1

( )ij i j

i kj m

M x y S P − −

= lần lượt là tổng Darboux dưới

và tổng Darboux trên của hàm f trên .

Cho ( ) 0d P → , từ giả thiết ta có

( ) 0 ( ) 0lim ( ) lim ( ) ( , )d P d P

s P S P f x y dxdy→ →

= = .

Vì max| | 0ix → khi ( ) 0d P → , từ bất đẳng thức cuối cùng ở trên ta suy ra

1

max | | 00

lim ( ) ( , )i

k

i ixi

I x f x y dxdy−

→=

= .

Vậy hàm ( ) ( , )d

c

I x f x y dy= khả tích trên [ , ]a b và ( , ) ( , )b d

a c

dx f x y dy f x y dxdy

= .

Một cách tổng quát ta có định lí sau

Định lí 2.3.2. (Định lí Fubini trên tích hai hình hộp)

31

Giả sử f khả tích trên với = trong đó , lần lượt là hai hình hộp trong m

và n m−

,với 0 m n sao cho với mọi x (tương ứng với mọi x ) tồn

tại ( ) ( , )I x f x x dx

= (tương ứng tồn tại ( ) ( , )I x f x x dx

= ).

Khi đó, ( )I x (tương ứng ( )I x khả tích trên (tương ứng trên ) và ta có

( ) ( )fdx I x dx I x dx

= = .

Chú ý 2.3.3. (i) Với các giả thiết thích hợp, áp dụng Định lí 2.3.1 nhiều lần ta được

1 2

1 2

1 1 1 2 1( ,..., ) ... ... ( ,..., )

n

n

b b b

n n n na a a

f x x dx dx dx dx f x x dx

= .

Tích phân ở trên được gọi là tích phân lặp n lần.

(ii) Với các giả thiết thích hợp, tích phân lặp không phụ thuộc vào thứ tự lấy tích phân ,

nghĩa là nếu 1

( ,..., )n

i i là một hoán vị của (1,..., )n thì ta có

1 2

1 2

1 2

1... ( ,..., )

i i in

n

i i in

b b b

i i n ia a a

dx dx f x x dx fdx

= .

(iii) Nếu 1 2

( , ) ( ) ( )f x y f x f y= trên [ , ] [ , ]a b c d thì

1 2

[ , ] [ , ]

( , ) ( ) ( )b b

a b c d a a

f x y dxdy f x dx f y dy

= .

Ví dụ 2.3.4. (i) Tính 2( )

dxdyI

x y

=+

với [3, 4] [1,2] = .

Lời giải. Sử dụng Định lí Fubini ta được

42 4 2 2

21 3 1 13

1 1 1 25ln

3 4 24( )

x

x

dxI dy dy dy

x y y yx y

=

=

= = − = − =

+ + ++ .

(ii) Tính 2

21

x dxdyI

y

=+

với [0,1] [0,1] = .

Lời giải. Sử dụng Định lí Fubini ta được

1 1 1 122

2 20 0 0 0 121 1

x dx dyI dx x dx

y y

= = =

+ + .

32

Bây giờ xét miền bị chặn nB với là hình hộp nào đó. Với mỗi x ta

viết ( , )n

x x x= với x là đáy của hình hộp trong 1n−, [ , ]

n n nx a b . Thay cho

cách viết ( ),f x x ta viết ( , )n

f x x với x , [ , ]n n nx a b .

Kí hiệu

{ : ( , ) }nx nB x x x B = ,

{ [ , ] : ( , ) }x n n n nB x a b x x B

= ,

{ : }x

B x B

= .

Khi đó B là hình chiếu của B trên mặt phẳng tọa độ 0nx = .

Đặt

( , ) , ,( )

0, .

n

xn

n

n xB

n

x

f x x dx BI x

B

= =

,

( , ) , ,( )

0, .x

n n xB

x

f x x dx BI x

B

= =

nếu các tích phân ở vế phải tồn tại.

Xét trường hợp 2n = , ta có

2[ , ] [ , ]a b c d = ,

2{( , ) : , ( ) ( )}B x y a x b x y x = ,

{ [ , ] : ( , ) }yB x a b x y B= ,

{ [ ( ), ( )] : ( , ) } [ ( ), ( )]xB y x x x y B x x = = ,

{ [ , ] : } [ , ]x

B x a b B a b = = ,

( )

( )

( ) ( , )x

x

I x f x y dy

= .

Xét trường hợp 3n = , ta có

3[ , ] [ , ] [ , ]a b c d e f = ,

3{( , , ) : , ( ) ( ), ( , ) ( , )}B x y z a x b x y x x y z x y = ,

33

{ [ , ] [ , ] : ( , , ) }zB x a b c d x y z B= ,

( , ){ : ( , ) ( , ),( , , ) }

x yB z x y z x y x y z B = ,

2{( , ) : , ( ) ( )}B x y a x b x y x = ,

( , )

( , )

( , )

( , ) ( , , ) ( , , )x y

x y

B x y

I x y f x y z dz f x y z dz

= = .

Định lí 2.3.5. (Định lí Fubini tổng quát)

Giả sử nB là miền bị chặn, f là hàm khả tích trên B sao cho với mọi [ , ]x a b

tồn tại ( ) ( , )x

n nB

I x f x x dx

= . Khi đó ( )I x khả tích trên B và

( , )x

n nB B B

fdx dx f x x dx

= .

Hơn nữa, nếu tồn tại ( ) ( , )xn

n nB

I x f x x dx = với mọi [ , ]n n nx a b thì

( , ) ( , )n

x n x

b

n n n nB B a B

dx f x x dx dx f x x dx

= .

Trường hợp 2n = , Định lí Fubini tổng quát phát biểu như sau

Giả sử 2 2{( , ) : , ( ) ( )}B x y a x b x y x = là miền bị chặn, f là hàm

khả tích trên B sao cho với mọi [ , ]x a b tồn tại

( )

( )

( ) ( , )x

x

I x f x y dy

= . Khi đó ( )I x khả

tích trên [ , ]a b và

( )

( )

( , ) ( , )xb

B a x


= .

Hơn nữa nếu tồn tại ( ) ( , )yB

I y f x y dx= thì

( )

( )

( , ) ( , )y

xb d

a x c B

dx f x y dy dy f x y dx

= .

Chứng minh. Để đơn giản trong trình bày, ta chứng minh Định lí 2.3.5 trong trường

hợp 2n = .

Đặt inf{ ( ) : }c x a x b= , sup{ ( ) : }d x a x b= và xét [ , ] [ , ]a b c d B = .

34

Do f khả tích trên B nên ( , ) ( , )B

B

f x y dxdy f x y dxdy

= .

Mặt khác, theo giả thiết, với mỗi [ , ]x a b tồn tại

( )

( )

( ) ( , ) ( , )x d

Bx c

I x f x y dy f x y dy

= = .

Áp dụng Định lí Fubini cho hàm Bf trên hình hộp , ta suy ra ( )I x khả tích trên

[ , ]a b và ta có

( )

( )

( , ) ( ) ( , )xb b

Ba a x

f x y dxdy I x dx dx f x y dy

= = .

Vậy

( )

( )

( , ) ( , )xb

B a x


= .

Ví dụ 2.3.6. Tính các tích phân sau

(i) 2( )

B

I x y dxdy= + với B là miền giới hạn bởi 2y x= ,

2x y= .

(ii) 3(1 )B

dxdydzJ

x y z=

+ + + với B là miền giới hạn bởi 0x , 0y , 0z ,

1x y z+ + = .

Lời giải. (i) Cách 1: Ta có 2 2{( , ) : , 0 1}B x y y x y y= . Áp dụng định lí

Fubini trên hình hộp bất kì ta có 2

12

0

33( )

140

y

y

I dy x y dx= + = .

Cách 2: Ta có 2 2{( , ) : 0 1, }B x y x x y x= . Áp dụng định lí Fubini trên

hình hộp bất kì ta có 2

12

0

33( )

140

x

x

I dx x y dy= + = .

(ii) Ta có 2

( , ){( , ) : 0, 0, 1}

x yB x y x y x y= + . Do đó

3{( , , ) : 0 1,0 1 ,0 1 }B x y z x y x z x y= − − − .

Áp dụng định lí Fubini trên hình hộp bất kì ta có

11 1

30 0 0

1 5(ln 2 )

2 8(1 )

x yx dzJ dx dy

x y z

− −−

= = −+ + +

.

2.4. Công thức đổi biến trong tích phân

2.4.1. Công thức đổi biến tổng quát

35

Giả sử D là miền đo được Jordan trong n

và : nD → là ánh xạ với ( )D đo

được, 1

( ,..., )n

= , :iD → , 1,...,i n= là các hàm liên tục và có đạo hàm

riêng liên tục trên D , hơn nữa

1 1

1

1

( ) ( ), ... ,

det ( ) ... ... ... 0

( ) ( )...

n

n n

n

x x

x xJ x

x x

x x

=

với mọi intx D .

Khi đó ta có công thức đổi biến sau

Định lí 2.4.1. Nếu f khả tích trên ( )D thì .f khả tích trên D và

( )

( ) . ( )|det ( )|D D

f y dy f x J x dx

= .

Bây giờ ta xét tích phân bội 2 sau ( , )B

f x y dxdy . Ta sẽ thiết lập công thức đổi biến

của tích phân này.

Giả sử công thức ( , )

( , )

x x u v

y y u v

=

=

xác định một song ánh từ B lên B , trong đó

( , ), ( , )x u v y u v liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó và

( , ) 0u v

u v

x xJ u v

y y

=

.

Khi đó ( , ) ( ( , ), ( , ))B B

f x y dxdy f x u v y u v dudv

= .


(a) ( )B

x y dxdy+ với B là miền giới hạn bởi

, 1, 2 1, 2 1y x y x y x y x= − = − + = − + = − − ;

(b) B

xydxdy với B là miền giới hạn bởi 2 2, 3 , , 2y x y x y x y x= = = = .

2.4.2. Đổi biến trong tọa độ cực

Xét tích phân bội hai ( , )B

f x y dxdy .

Mối liên hệ giữa tọa độ Oxy và tọa độ cực Or xác định bởi cos , sinx r y r = =

36

Xét phép đổi biến 2: [0, ) [0,2 ] + → xác định bởi cos

sin

x r

y r

=

=

.

Ta có ( , ) 0r

r

x xJ r r

y y

= =

. Khi đó

( , ) ( cos , sin )B B

f x y dxdy f r r rdrd

=

với B là tạo ảnh của B qua phép đổi biến .


(a) 2 2

B

x y dxdy+ với 2 2 2{( , ) : 1 4}B x y x y= + ;

(b) B

xdxdy với 2 2 2{( , ) : ( 1) 1, 0}B x y x y y= − + .

2.4.3. Đổi biến trong tọa độ trụ

Xét tích phân bội ba ( , , )B

f x y z dxdydz .

Mối liên hệ giữa tọa độ Oxy và tọa độ trụ Or z là

cos

sin

x r

y r

z z

=

= =

Xét phép đổi biến 3: [0, ) [0,2 ] ( , ) + − + → xác định bởi

cos

sin

x r

y r

z z

=

= =

.

Ta có ( , , )r z

r z

r z

x x x

J r z y y y r

z z z

= =

. Khi đó

( , , ) ( cos , sin , )B B

f x y z dxdydz f r r z rdrd dz

=



37

(a) 2 2( )

B

x y dxdydz+ với 2 2

3{( , , ) : 2}2

x yB x y z z

+= ;

(b) 2 2( )

B

x y dxdydz+ với B là miền giới hạn bởi các mặt 2 2 1, 0, 2x y z z+ = = = .

2.4.4. Đổi biến trong tọa độ cầu

Xét tích phân bội ba ( , , )B

f x y z dxdydz .

Mối liên hệ giữa tọa độ Oxy và tọa độ cầu Or là

cos sin

sin sin

cos

x r

y r

z r

=

= =

Xét phép đổi biến 3: [0, ) [0,2 ] [0, ] + → xác định bởi

cos sin

sin sin

cos

x r

y r

z r

=

= =

.

Ta có 2( , , ) sinr

r

r

x x x

J r z y y y r

z z z

= =

. Khi đó

2( , , ) ( cos sin , sin sin , cos ) sinB B

f x y z dxdydz f r r r r drd d

=



(a) 2 2 2

B

x y z dxdydz+ + với 3 2 2 2{( , , ) : }B x y z x y z z= + + ;

(b) 2 2( )

B

x y dxdydz+ với B là miền giới hạn bởi nửa trên của mặt cầu

2 2 2 1x y z+ + = và mặt nón 2 2 2 0x y z+ − = .

2.5. Ứng dụng của tích phân bội

2.5.1. Tính diện tích hình phẳng

Giả sử D là miền phẳng, đo được trong mặt phẳng Oxy . Từ định nghĩa của tích phân

kép, ta có công thức tính diện tích của miền D là

38

( )D

S D dxdy= .

Ví dụ 2.5.1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 4y x= − và

22 8y x= + .

2.5.2. Tính thể tích của vật thể

Giả sử V là vật thể bị chặn, đo được trong 3. Từ định nghĩa của tích phân bội, thể

tích của vật thể V được cho bởi công thức

V

V dxdydz= .

Xét V là thể trụ được xác định bởi

{( , , ) : ( , ) , 0 ( , )}V x y z x y D z f x y=

trong đó, D là miền bị chặn, đo được trong mặt phẳng Oxy còn ( , )z f x y= là hàm liên

tục và không âm, xác định trên D , thì thể tích của vật thể V là

( , )D

V f x y dxdy=

Ví dụ 2.5.2. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt

(a) 2 2 2 2, 2 2 ,z x y z x y y x= + = + = và

2y x= .

(b) 3z = và 2 2 1z x y= + −

2.5.3. Tính diện tích mặt cong

Cho mặt cong S xác định bởi phương trình ( , )z f x y= trong đó ( , )f x y là hàm số liên

tục và có các đạo hàm riêng ( , )xf x y , ( , )

yf x y liên tục trên miền D bị chặn, đo được

trong mặt phẳng Oxy . Khi đó, diện tích của mặt cong được tính theo công thức

2 21 ( , ) ( , )x y

D

S f x y f x y dxdy = + + .

Ví dụ 2.5.3. Tính diện tích của phần mặt có phương trình là 2 2z x y= + bị cắt bởi mặt

trụ 2 2 1x y+ = .

2.5.4. Tính khối lượng vật thể

Giả sử V là vật thể trong 3 với tỉ khối ( , , )x y z = trong đó ( , , )x y z là hàm liên

tục trên V và V là miền bị chặn đo được. Khi đó, khối lượng của V được tính theo

công thức

( , , )V

M x y z dxdydz=

Ví dụ 2.5.4. Tính khối lượng của hình lập phương V cho bởi

39

{( , , ) : 0 1,0 1,0 1}V x y z x y z=

nếu tỉ khối tại điểm ( , , )P x y z cho bởi công thức ( , , )x y z x y z = + + .

2.5.5. Xác định tọa độ trọng tâm của vật thể

Giả sử V là vật thể không đồng chất trong 3 với tỉ khối ( , , )x y z = trong đó

( , , )x y z là hàm liên tục trên V và V là miền bị chặn đo được trong3 . Khi đó, tọa

độ trọng tâm 0 0 0 0( , , )M x y z của vật thể V được tính theo công thức

0

1( , , )

V

x x x y z dxdydzM

= ;

0

1( , , )

V

y y x y z dxdydzM

= ;

0

1( , , )

V

z z x y z dxdydzM

= ;

trong đó M là khối lượng của vật thể V .

Ví dụ 2.5.5. Tìm tọa độ trọng tâm của hình lập phương cho trong Ví dụ 2.5.4.

40

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

2.1. Đưa tích phân hai lớp ( , )B

f x y dxdy về tích phân lặp bằng ha phương pháp nếu

(a) B là miền giới hạn bởi các đường 1x = , 2y x= , 2y x= với 0 1x ,

(b) B là tam giác với các đỉnh (1,1)A , (4,1)B , (4, 4)C ,

(c) B là miền giới hạn bởi các đường 23y x= , 3 6y x= − ,

(d) B là miền giới hạn bởi các đường 0x = , 0y = , 2x y+ = ,

(e) B là miền giới hạn bởi các đường y x= , 2y x= , 6x y+ = ,

(f) B là miền giới hạn bởi các đường 2y x= ,

24y x= − .

2.2. Thay đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân lặp sau

(a)

2

2 2

0 2

( , )x

x x

dx f x y dy−

, (b)

31

0

( , )y

y

dy f x y dx , (c)

2 2ln

ln

( , )e x

e x

dx f x y dy ,

(d)

2 2

0

( , )x

x

dx f x y dy , (e)

2

2

1 1

1 1

( , )x

x

dx f x y dy−

− − −

.

2.3. Tìm cận tích phân của ( , )B

f x y dxdy với miền B được xác định như sau

(a) 0x , 0y , 4x y+ , (b) 1x y+ , 1x y− , 0x ,

(c) 0x , 2 2 1x y+ , (d)

2 2 4x y+ , y x .

2.4. Tính các tích phân sau

(a)

1 1

0 0

( )dx x y dy+ (b) 2

12

0

x

x

dx xy dy (c)

22 2

0 0

sina

d r dr

.

2.5. Chứng minh ( ) ( ) ( ) ( )A B

B a b

X x Y y dxdy X x dx Y y dy= với

2{( , ) : , }B x y a x A b x B= và ( ), ( )X x Y y tương ứng là các hàm khả tích

trên [ , ]a A , [ , ]b B .

2.6. Tính ( , )A B

xya b

I dx F x y dy= trong đó ( , )xyF x y là hàm liên tục trên [ , ] [ , ]a A b B .

2.7. Giả sử ( )f x là hàm liên tục trên [ , ]a b . Chứng minh rằng

2

2( ) ( ) ( )b b

a a

f x dx b a f x dx

− .


(a) x y

B

e dxdy+

với 2{( , ) : 0 1,0 1}B x y x y= ,

41

(b) 2

21B

xdxdy

y+ với 2{( , ) : 0 1,0 1}B x y x y= ,

(c) sin( )B

x x y dxdy+ với 2{( , ) : 0 , 0 }2

B x y x y

= ,

(d) B

xydxdy với B giới hạn bởi các đường 1xy = ,5

2x y+ = ,

(e) 2

yB

xdxdy

y với B giới hạn bởi các đường 2x = ,y x= , 1xy = ,

(f) cos( )B

x y dxdy+ với B giới hạn bởi các đường 0x = ,y = ,y x= .

2.9. Tìm cận lấy tích phân trong tọa độ cực của ( , )B

f x y dxdy với miền B được xác

định như sau

(a) 2 2 2 2{( , ) : }B x y x y R= + với 0R ,

(b) 2 2 2{( , ) : }B x y x y ax= + với 0a ,

(c) 2 2 2 2 2{( , ) : }B x y r x y R= + với 0R r ,

(d) B giới hạn bởi các đường 0x = , 0y = , 1x y+ = ,

(e) 2 2 2 2 2{( , ) : 4 , 8 , , 2 }B x y x y x x y x y x y x= + + .


(a) 2 21

B

x y dxdy− − với 2 2 2{( , ) : 0, 0, 1}B x y x y x y= + ,

(b) 2 2

2 21

B

x ydxdy

a b− − với

2 22

2 2{( , ) : 1}

x yB x y

a b= + ,

(c) B

xdxdy với 2{( , ) : 3, 2 1 2 5}B x y x y x x y x= + − + − + .

2.11. Dùng phép đổi biến số trong tọa độ cực, tính các tích phân sau

(a)

2 2

0 0

ln(1 )R R x

dx x y dy−

+ + (b)

2 2

2 2

2 2 2

0

R R x

R x

dx R x y dy−

− −

− − .


(a) 2 2( )

B

x y dxdy+ với B giới hạn bởi các đường 0y = , 2y x= , 0x = , 1x = ,

(b) (1 )B

x y dxdy+ + với B giới hạn bởi các đường x y= − , x y= , 2y = ,

(c) 2 2( )

B

x y dxdy+ với B giới hạn bởi các đường y x= , 2y x= ,

42

(d) 2 2( )

B

x y dxdy+ với B giới hạn bởi 2 2 2x y x+ = ,

(e) ( )B

x y dxdy− với B là tam giác có các đỉnh là (1,1)A , (4,1)B , (4, 4)C ,

(f) ) B

xdxdy với B giới hạn bởi các đường 23y x= , 6 3y x= − ,

(g) V

xydxdydz với V được giới hạn bởi các mặt z xy= , 1x y+ = , 0z =

( 0,0 1)z x .

(h) 2 3

V

xy z dxdydz với V được giới hạn bởi các mặt z xy= , y x= , 1x = , 0z = ,

(k) cos( )V

y z x dxdydz+ với V được giới hạn bởi các mặt y x= , 0y = , 0z = ,

2x z

+ = ,

(l) 2 2

V

x y dxdydz+ với V được giới hạn bởi các mặt 2 2 2x y z+ = , 1z = ,

43

Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT

3.1. Tích phân đường loại 1

3.1.1. Định nghĩa tích phân đường loại 1

a. Bài toán tính khối lượng đường cong vật chất

45

3.2. Tích phân đường loại 2

3.2.1. Định nghĩa tích phân đường loại 2

a. Bài toán tính công của lực biến đổi

56

3.3. Tích phân mặt loại 1

3.3.1. Định nghĩa tích phân mặt loại 1

58

3.4. Tích phân mặt loại 2

3.4.1. Mặt định hướng

60

3.4.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2

Chương 1. TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ · 5 1 0 1 arctan ln2 42 xdx S ³ (b) Ta có 1 1 1...

Documents

Transcript of Chương 1. TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ · 5 1 0 1 arctan ln2 42 xdx S ³ (b) Ta có 1 1 1...