Методыинтегрирования

Методы интегрирования.

Интегралы, содержащие квадратный трехчлен взнаменателе.

Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема о разложении правильной рациональной функции

в сумму простейших дробей. Примеры интегрирования дробно-рациональной функции.

Интегралы содержащиеквадратный трехчлен в

знаменателе

I.

II.

Интегрирование выражений I – го типа: выделение полногоквадрата в квадратном трехчлене и применения формултабличных интегралов 8 -11.

Выделение полного квадрата:

или

cbxaxdx

2 cbxax

dx2

cbxax

dxnmx2

cbxaxdxnmx

2

acx

abxacbxax 22 qppxqpxx

42

222

2254 xxdx

22

25425254 xxxx

2

252

625425 x

22

252

252

252

51

x

xdCxarcsin

xarcsin

2225

51

252252

51

Пример 1.

Пример 2.

332 xx

dx

3

23

2333

222 xxx

43

23

233

23 222

xx

43

23 2

x

dxC

xarctg

23

23

32

22

43

23

23

x

xd

Caxarctg

aaxdx 1

22

Caxarcsin

xadx

22

Выражения II-го типа: разбиваем на сумму двух интегралов выделяяв числителе производную от трехчлена, стоящего в знаменателе.

Так как , то и

Аналогично

baxcbxax

22 cbxaxddxbax2 2

cbxax

dx)nmx(2

cbxaxdxB

cbxaxdx)bax(A 22

2

cbxax

dxBcbxax

)cbxax(dA 22

2

BcbxaxlnA 2 I т.инт.

cbxaxdxB

cbxax)cbxax(dA

cbxaxdx)nmx(

22

2

2

BcbxaxA 22 I т.инт.

Пример 3.

Пример 4.

4x213x4x13x4x

dx2x3 22

dx

xx

)x(

1343

23 2

dx

xx

x

1343

42

23

2

928

13442

23

22 xdxdx

xxx Cxarctgxxln

32

318134

23 2

dx

xx

x

1343

4442

23

2

4x28x4x

8x4xdx1x5 2

2

dx

xx

)x(

845

15

2

dx

xx

x

845

2442

25

2

dx

8x4x5

2x2

25

2

4211

8442

25

22 x

dxdxxx

x

C8x4x2xln118x4x5 22

Замена переменных в интегралесодержащем квадратный трехчлен

dx

41x2xdx

41x2x2x

5x2xdx2x

222

dtdxtxxt

11

dtttdt

tt

41

421

22

44 22 t

dtt

tdt

4421

22

2

tdt

tdt

Cxarctgxxlntarctgtln

2

12152

21

2214

21 22

Понятия о рациональныхфункциях и их свойсвах

Определение. Рациональной функцией R(x) называется дробь

вида: (1); где и - целые

рациональные многочлены соответственно m-ой и n-ойстепеней.

Если m < n , то R(x) - правильная дробь, если m > n, R(x) - неправильная дробь.

Примеры:

- правильная, - неправильная.

)x(P)x(Q)x(R

n

m )x(Qm )x(Pn

mmm

m bxbxb)x(Q 110

nnn

n axaxa)x(P 110

1135

4

2

xxx

5283

24

35

xxxxx

Всякую неправильную дробь делением числителя на знаменательможно представить в виде суммы некоторого многочлена иправильной дроби.

Пример 1.

Т.о., интегрирование рациональных функций сводится кинтегрированию правильных дробей.

Некоторые свойства многочленов с действительнымикоэффициентами.

- многочлен n-ой степени.

Степень многочлена – максимальную степень при x. - многочлен степени 4.

Корень многочлена - такое число, подстановка которого обращаетмногочлен в 0.

131433103

134

22

2

4

xx

xxxxx

x

nnn

n axaxa)x(P 110

253 43 xx

Простейшие многочлены:I. Линейный: x - a. Корень многочлена x = a, его нельзя

разложить на множители.

II. Квадратный трехчлен: . При наличии действительных корней и можноразложить на множители.

Многочлены степени .Теорема. Всякий многочлен с действительными коэффициентами

степени выше второй может быть представлен в видепроизведения линейных и квадратных сомножителей в виде

(2)где a, b – корни многочлена кратностей соответственно и .

(Если =1, то a – простой корень, при >1 – a – кратныйкорень). У квадратных трехчленов действительных корней нет.

qpxx 2

1x 2x

212 xxxxqpxx

3n

srxxqpxxbxax)x(Pn 22

Пример 2.x =3 и x = - 4 – простые корни.Пример 3. Корень x = 2, у нет действительных корней.Пример 4.

x = -2- простой корень; x = 1- корень кратности 2; x = 5 - коренькратности 3.

и - нет действительных корней.Интегрирование рациональных функций - разложение в сумму

простейших дробей.Простейшие дроби:

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

43122 xxxx

42842 223 xxxxx42 x

4223216 1258512 xxxxxx)x(P

2582 xx 12 x

axA

qpxxNMx

2

kaxA

kqpxxNMx

2

Интегрирование простейшихдробей

1.

2.

3. - интеграл, содержащий квадратный трехчлен, подробно рассмотрен ранее.

4. Выделением производной от трехчлена и приведением кполному квадрату сводится к виду

Интегрируем используя рекуррентную формулу понижениястепени знаменателя:

CaxlnAdxax

A

C

axkAdx

axA

kk 11

qpxxNMx

2

1122222

3212

1nnnn In

axx

anaxdxI

nax

dx22

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь (1) сознаменателем представленном в виде (2) , можно разложить всумму простейших рациональных дробей типа 1.-4.

В данном разложении каждому корню a кратности множителясоответствует сумма дробей вида

а каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности множителя соответствует сумма дробей вида

Где A, M, N – некоторые действительные коэффициенты.

)ax(

axA

axA

axA

2

21

qpxx 2

qpxxNxM

qpxxNxM

qpxxNxM

22222

211

Вычисление коэффициентовразложения

Метод неопределенных коэффициентов:1. Дробь R(х) запишем как сумму простейших рациональных

дробей с неопределенными коэффициентами А, М, N.2. Приводим дроби к общему знаменателю .3. В числителе получим многочлен степени n—1,

тождественно равный многочлену , стоящему вчислителе выражения (1).

4. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в этихмногочленах, получим систему n уравнений для определения nнеизвестных коэффициентов А, М, N.

5. Многочлены и тождественно равны при любыхчисловых значениях х. Присваивая х конкретные числовыезначения получим систему уравнений для определениякоэффициентов. Это метод частных значений.

)x(Pn

)x(Qn1

)x(Qm

)x(Qm )x(Qn1

Примеры разложения напростые дроби

1.

2.

3.

4.

5.

6116

5923 xxx

x

321

59xxx

x321

x

Cx

Bx

A

22

2

11212

xC

xB

xA

xxx

14143

22

2

xx

CBxx

Axxx

xx

22222

23

3323242

xFDx

xCBx

xA

xxxxx

2222

211

33

221

223

2

22111212

xNxM

xNxM

xA

xA

xA

xxxx

Пример 1.

1. Разложим на элементарные дроби2. Приведем к общему знаменателю.

3.

4.Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х

Решение: А =-3/2, В =1, С =1/2.

dx

)x)(x(xx

2132

2121

32x

CxB

xA

)x)(x(xx

)x)(x(xx)x(C)x(Bx)x)(x(A

211221

x)x(C)x(Bx)x)(x(Ax 122132 AxCBAxCBAx 22332 2

CBA

xxx 0

0

1

2

CBA 232A23

5. Метод частных значений (альтернатива составлениюсистемы):

Подставим вместо х частные значения, которые равны корнямзнаменателя x=0, x=1, x=2.

x=0 –3=2A A=-3/2x=1 -1=-B B=1x=2 1=2C C=1/2

x)x(C)x(Bx)x)(x(Ax 122132

dx

xxxdx

)x)(x(xx

221

1123

2132

Cxlnxlnxln 2211

23

212132

xC

xB

xA

)x)(x(xx

Пример 2.

x=1 4A=1 A=1/4x=-1 1=-2B B=-1/2

Для нахождения С приравняем коэффициенты при x²

211 )x)(x(xdx

dxxC

)x(B

xA

111 2

222

2 11111

11

xx

xCxBxAxx

x

)x(C)x(B)x(Ax 111 22

CA 0 41C

dx

xdx

)x(dx

x)x)(x(xdx

141

121

141

11 22

Cxlnx

xln

141

11

211

41

Пример 3. )x)(x(xdx

11 2

dxx

NMxx

A)x)(x(

xdx1111 22 dx

)x)(x()x)(NMx()x(A

1111

2

2

)x)(NMx()x(Ax 112

1x A21 21/A

NAMA

xx

00

0

2 21M

21N

dxx

xx)x)(x(

xdx1

21211

2111 22

121

121

121

22 xdx

xxdx

xdx

12

114

112

122

2

xdx

xdx

xdx Carctgxxlnxln

211

41

21 2