Fizikai Szemle 2015/5

fizikai szemle

2015/5

POSZTEREINKET KERESD A FIZIKAISZEMLE.HU

MELLÉKLETEK MENÜPONTJÁBAN!

POSZTEREINKET KERESD A FIZIKAISZEMLE.HU

MELLÉKLETEK MENÜPONTJÁBAN!

A poszterek szabadon letölthetõk, kinyomtathatók és oktatási célra, nonprofit felhasználhatók.Kereskedelmi forgalomba nem hozhatók, változtatás csak a Fizikai Szemle engedélyével lehetséges.A kirakott poszterekrõl fényképet kérünk a [email protected] címre.

A poszterek szabadon letölthetõk, kinyomtathatók és oktatási célra, nonprofit felhasználhatók.Kereskedelmi forgalomba nem hozhatók, változtatás csak a Fizikai Szemle engedélyével lehetséges.A kirakott poszterekrõl fényképet kérünk a [email protected] címre.

Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat havontamegjelenô folyóirata.

Támogatók: a Magyar TudományosAkadémia Fizikai Tudományok Osztálya,az Emberi Erôforrások Minisztériuma,

a Magyar Biofizikai Társaság,a Magyar Nukleáris Társaság

és a Magyar Fizikushallgatók Egyesülete

Fôszerkesztô:Szatmáry Zoltán

Szerkesztôbizottság:Bencze Gyula, Czitrovszky Aladár,

Faigel Gyula, Gyulai József, Horváth Gábor,Horváth Dezsô, Iglói Ferenc, Kiss Ádám,Lendvai János, Németh Judit, Ormos Pál,Papp Katalin, Simon Péter, Sükösd Csaba,

Szabados László, Szabó Gábor,Trócsányi Zoltán, Ujvári Sándor

Szerkesztô:Füstöss László

Mûszaki szerkesztô:Kármán Tamás

A folyóirat e-mail címe:[email protected]

A lapba szánt írásokat erre a címre kérjük.

A beküldött tudományos, ismeretterjesztô ésfizikatanítási cikkek a Szerkesztôbizottság,illetve az általa felkért, a témában elismert

szakértô jóváhagyó véleménye utánjelenhetnek meg.

A folyóirat honlapja:http://www.fizikaiszemle.hu

A címlapon:A praxinoszkóp majd 150 évvel feltalálása

után (Charles-Émile Reynaud, 1877),napjainkban is lenyûgözi a gyerekeket

(fotó: lewebpedagogique.com).Lásd Csatári László cikkét.

TARTALOM

Vibók Ágnes, Halász Gábor: Fénnyel indukált elfajulások molekuláris

rendszerekben 146

Horváth Dezsô, Oláh Éva, Sükösd Csaba, Varga Dezsô (Patkós András

lábjegyzeteivel): Beszélgetés az elektron méretérôl 151

Kovács László: Wigner Jenô levelei Györgyi Gézához 156

A FIZIKA TANÍTÁSA

Gnädig Péter: Alkalmazható-e a Biot–Savart-törvény nem záródó

„áramkörökre”? – II. rész 162

Morvay Bálint, Pálfalvi László: Az Ampère-féle gerjesztési törvény

alkalmazhatóságának feltétele 169

Lendvai Dorottya, Czövek Márton, Forrás Bence: Pendulumhullám,

avagy szerelem elsô látásra 171

Csatári László: Szem – fény – vesztés 178

Tasi Zoltánné: XXIV. Öveges József Kárpát-medencei Fizikaverseny 179

Á. Vibók, G. Halász: Light-induced degeneracies in molecular systems

D. Horváth, É. Oláh, Cs. Sükösd, D. Varga: A discussion concerning the size of the electron

(with footnotes by A. Patkós)

L. Kovács: Eugene Wigner’s letters sent to Géza Györgyi

TEACHING PHYSICSP. Gnädig: May Biot & Savart’s law be applied only for closed circuits? – Part II

B. Morvay, L. Pálfalvi: The conditions of applying Ampère’s law of excitation

D. Lendvai, M. Czövek, B. Forrás: Pendulum wave, a case of love at first sight

L. Csatári: How the looking eye may be taken in

Z. Tasi: The XXIV. Öveges József Contest in physics

Á. Vibók, G. Halász: Vom Licht induzierte Entartungen in molekularen Systemen

D. Horváth, É. Oláh, Cs. Sükösd, D. Varga: Ein Gespräch über die Maße des Elektrons

(mit Fußnoten von A. Patkós)

L. Kovács: Eugene Wigners Briefe an Géza Györgyi

PHYSIKUNTERRICHTP. Gnädig: Gilt das Biot–Savartsche Gesetz nur für geschlossene Stromkreise? – Teil II.

B. Morvay, L. Pálfalvi: Die Vorbedingungen der Anwendung des Ampère-schen

Gesetzes der Anregung

D. Lendvai, M. Czövek, B. Forrás: Pendel-Welle – ein Beispiel für Liebe auf den

ersten Blick

L. Csatári: Wie das Auge beim Sehen getäuscht werden kann

Z. Tasi: Der XXIV. Öveges-József-Wettbewerb in Physik

A Mathematikai és Természettudományi Értesítõt az Akadémia 1882-ben indította

A Mathematikai és Physikai Lapokat Eötvös Loránd 1891-ben alapította

Fizikai SzemleMAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT

Fizikai SzemleMAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT

megjelenését támogatják: A FIZIKA BARÁTAI

•M

AG

YA

R•

TU

D

OMÁNY

OS

•A

KA

DÉ

MIA

•

1825

A. Vibok, G. Halaá:

D. Horvat, Õ. Ola, Ö. Súkõsd, D. Varga:

A. Patkosa

L. Kovaö:

P. Gnõdig:

B. Morvai, L. Palfalvi:

D. Lendvai, M. Cõvek, B. Forras:

L. Öatari:

Z. Tasi:

Vxroódeniü molekulürnxh áiátem privedennxe ávetxm

Razgovor o razmerah õlektrona (ánoáka

)

Piáyma Õ. Vignera únomu G. Dyérdi

Primenim-li zakon BioûÁavara na otkrxtie cepi toka? û öaáty vtoraü

Uáloviü primeneniü zakona Ampera o vozduódenii

Maütnih-volna: primer ákorejwej reakcii

Vzablúódenie ámotrüwego oka

Konkurá im. J. Õvegesa fizikov Karpatákogo Baááejna

OBUÖENIE FIZIKE

XXIV.

LXV. ÉVFOLYAM, 5. SZÁM 2015. MÁJUS

FÉNNYEL INDUKÁLT ELFAJULÁSOK MOLEKULÁRIS

1. ábra. Kónikus keresztezôdés az S0 alap- és S1 gerjesztett elektron-állapotok között ([2] alapján).

S1

S0

abs

RENDSZEREKBENVibók Ágnes – Debreceni Egyetem, Elméleti Fizikai Tanszék

Halász Gábor – Debreceni Egyetem, Információ Technológia Tanszék

A molekuladinamikai folyamatok kvantummechanikaileírására a fizika és kémia egyik leggyakrabban hasz-nált közelítô módszere az 1927-ben kidolgozott Born–Oppenheimer- vagy adiabatikus közelítés. Bár ez aközelítés gyakran elegendô pontosságú a molekulárissajátságok és folyamatok kívánt szintû megértéséhez, ajelenségek egy lényeges csoportja azonban mégsemírható így le. Ez akkor fordul elô, amikor két vagy többelektronállapot azonos energiával rendelkezik, vagyiselfajult elektronállapotokkal van dolgunk. Ilyenkorátmenetek jönnek létre az egyes adiabatikus elektronál-lapotok között, a mag és elektronmozgás csatolódik.Nagyon sok olyan kémiai, fizikai folyamat játszódik le atermészetben – például disszociáció, protontranszfer,ion-molekula ütközések, többatomos molekulák izo-merizációs folyamatai vagy gerjesztett állapotok ultra-gyors femtoszekundumos idôskálán történô sugárzás-mentes lebomlásai stb. – amikor egy molekuláris rend-szerben degenerált állapotok (úgynevezett „kónikuskeresztezôdések”) lépnek fel, és ezáltal indokolttá válika nemadiabatikus közelítésben történô leírás. Ide tar-toznak még a molekuláris kapcsolók is, amelyek szin-tén nemadiabatikus elven mûködnek.

A nagyon gyors (femtoszekundumos, 10−15 s) mole-kuladinamikai folyamatok mindig kónikus kereszte-zôdéseken keresztül játszódnak le. Ez utóbbiak

ugyanis hatékony csatornául szolgálnak a rendszertalapállapotba visszajuttató ultragyors – a felszabadulóenergiát hôvé formáló – sugárzásmentes relaxációsfolyamatok számára. Ily módon ezen keresztezôdéseka legfontosabb mechanikus elemei a fotostabilitásnak.A molekula által felvett UV foton(ok) energiája hô-energiává alakul, miközben a molekula – a sugárzá-sos (foszforeszcencia, fluoreszcencia) lebomlásokhozviszonyítva akár 3-4 nagyságrenddel gyorsabban –visszajut az alapállapotába. Legfontosabb biológiaiépítôköveink (aminósavak, DNS-bázisok, cukrok stb.)[1], csakúgy, mint a kémiai fotostabilizátor molekulák,ezen az elven mûködnek.

A kónikus keresztezôdés elnevezés az energiafelü-letek alakjára utal, amelyek a magkoordináták egyalkalmas kétdimenziós alterében egy dupla kúphozhasonlítanak (1. ábra ), és amelynek következménye-ként az elektronok és magok közötti energiacserélô-dés igen jelentôssé válhat.1 Az ilyen különbözô elekt-

A kutatás a TÁMOP 4.2.4.A/2-11-1-2012-0001 Nemzeti KiválóságProgram címû kiemelt projekt keretében zajlott. A projekt az Euró-pai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozá-sával valósul meg.1 Definiálható egy kétdimenziós, úgynevezett „elágazási tér” (bran-ching space), amelynek bázisvektorai párhuzamosak a gradienskü-lönbség- és a lineáris csatolódási vektorokkal. Ebben a térben adegenerancia kialakulásához két kifejezésnek kell egyidejûlegnullának lennie, amelynek általános esetben történô teljesüléséhezaz elágazási tér két különbözô koordinátájára (szabadsági fokra)van szükség. Ebben a kétdimenziós térben mindössze egyetlenbizonyos koordinátapár (X1, X2) értékre teljesül a degeneranciamegjelenésének feltétele, más pontokban azonban nem. Az ezenkétdimenziós térre merôleges, (N − 8)-dimenziós altér minden pont-ja pedig elfajulási pont lesz, ahol N a rendszer szabadsági fokainakszámát jelenti, amelybôl a 3 transzlációs és a 3 rotációs szabadságifok leválasztása után visszamaradó N − 6 szabadsági fok a rendszergeometriáját egyértelmûen leírja.

ronállapotok közötti keresztezôdések elôfordulásaikétatomos molekuláknál szimmetriatiltottak (nemke-resztezôdés elve [3]), de három- vagy több atomosmolekuláknál már megjelenhetnek. Biológiai óriás-molekulákban pedig szinte mindenütt jelen vannak.

A kónikus keresztezôdéseken, vagy másképpennevezve degeneranciákon keresztül lejátszódó dina-mikai folyamatok – a számos elektronállapot és mag-rezgések erôs csatolódása miatt – eredendôen nem-adiabatikusak és pontosan csak a kvantummechanikaeszközeivel írhatók le. A keresztezôdések helyén anemadiabatikus csatolás szingulárissá válik, ami szá-mos statikai és dinamikai hatás megjelenését váltja ki.Ilyen például a topológiai Longuet–Higgins- vagy másnéven a Berry-fázis [4] megjelenése. Ez utóbbit egyér-telmûen a kónikus keresztezôdés(ek) ujjlenyomata-ként tekinthetjük.

146 FIZIKAI SZEMLE 2015 / 5

Kónikus keresztezôdés lézerrel

Kónikus keresztezôdést lézerfény segítségével is lét-rehozhatunk. Akár álló, akár pedig haladó lézerhullá-mokkal [5]. Az elsô esetben a lézerfény a tömegközép-pont haladó mozgásához tartozó szabadsági fokotcsatolja a belsô forgási-rezgési szabadsági fokokkal,míg a második esetben a forgás biztosítja a hiányzószabadsági fokot, amely a kónikus keresztezôdés ki-alakulásához szükséges. A fénnyel indukált kónikuskeresztezôdések megjelenése egy új, fizikailag érdekeslézer-anyag kölcsönhatás kialakulásához vezet, amely-nek hatására jelentôsen megváltoznak a molekulákeredeti, elektromos tér nélküli dinamikai tulajdonsá-gai. Ez a hatás már kétatomos molekulák esetén isjelentôs – ahol egyébként, amint arról már szó esett –szimmetriaokokból „természetes kónikus keresztezô-dések” nem fordulhatnak elô. Más szavakkal, akár álló,akár pedig haladó lézerhullámokkal történô kölcsön-hatás során lehetôség nyílik jelentôs mértékû, változ-tatható nagyságú nemadiabatikus hatások mesterségesbevitelére egy molekuláris rendszerbe, mintegy újirányt kialakítván a molekuláris kvantumkontroll-el-méletek területén. A fénnyel indukált erôs nemadiaba-tikus hatás szabályozható módon csatolja a molekulákkülönbözô elektronállapotait, amely hatására a nem-adiabatikus csatolás szinguláris lesz a kónikus keresz-tezôdések helyén. Van azonban egy lényeges különb-ség a természetes kónikus keresztezôdések és a lézer-fénnyel indukált megfelelôik között. Míg a természeteskónikus keresztezôdések nem szabályozhatók, addig afénnyel indukált megfelelôik igen. Ez utóbbiak helyze-tét a lézer frekvenciája, míg a nemadiabatikus csatolá-suk erôsségét a lézer intenzitása határozza meg. Vál-toztatva a frekvenciát és intenzitást, eltérô hatású kóni-kus keresztezôdéseket alakíthatunk ki. Ilyen módonszabályozni lehet a molekuláris rendszerbe mestersé-gesen bevitt nemadiabatikus hatások erôsségét.

Számos eddigi, elsôsorban elméleti vizsgálat meg-mutatta, hogy a fénnyel indukált kónikus keresztezô-dések erôs hatást gyakorolnak a rendszer dinamikaiviselkedésére (térbeli irányítottság, spektrum stb.) [6]még viszonylag kis intenzitású elektromos térben is. Akapott eredmények nagyon hasonlóak ahhoz, ami aszabad többatomos molekulák dinamikai viselkedésé-nél tapasztalható, ahol is a természetes kónikus ke-resztezôdések fejtik ki erôs nemadiabatikus hatásukata magok és az elektronok mozgásának erôs csatoló-dása következtében.

Térjünk most vissza a kétatomos molekulákhoz.Mivel ezekben térmentes esetben kónikus keresztezô-dés nem fordulhat elô, ezért itt a legkézenfekvôbbmegmutatni a lézerrel indukált elektronállapotok kö-zötti degeneranciák megjelenését. Egy ilyen próbál-kozás lehet a Berry-fázis kiszámítása, amelyrôl azon-ban tudjuk, hogy közvetlenül nem megfigyelhetô ésnem is mérhetô mennyiség. Sôt, kiszámítása sem tri-viális, mivel a lézerrel indukált kónikus keresztezôdé-sek (LICI, laser induced conical intersections) élettar-tama – ellentétben a természetes degeneranciákkal –

véges, amelyet a lézerimpulzus hossza határoz meg. Afeladat megoldásához a Floquet-reprezentáció nyújtsegítséget. Ezt a leírást az elméleti szilárdtestfizikábanelterjedten használják, és a jelenlegi problémánk idô-függését is sikerül áthidalni vele. Floquet-képben amolekula idôtôl függô dinamikai Hamilton-operátorafelírható egy n×n -es idôtôl független mátrixként,amely egyfoton-közelítést alkalmazva 2× 2-es alakúraredukálható. Ez utóbbi kis és közepes intenzitásúlézerterekre elfogadható közelítés. Felhasználva akapott 2 ×2-es redukált mátrixot, vonalintegrál-eljárás-sal kiszámítható a topológiai vagy Berry-fázis, amely-nek értéke pontosan annyinak adódik, mint természe-tes degeneranciák esetén. Ez egy fontos, de ne feled-jük, hogy közelítés felhasználásával kapott eredmény.Ezen felül a Berry-fázis kísérletileg nem is mérhetômennyiség.

Az eddigiekben a LICI számos, dinamikai tulajdon-ságokat módosító hatását már kiszámítottuk [6]. Nemelégedhetünk meg azonban ennyivel. Ezek ugyanisegytôl egyig közvetett hatások, vagy kísérletileg nemmérhetô mennyiségek voltak. Azt kaptuk ugyanis,hogy a matematikai szimuláció során alkalmazottegy-, illetve kétdimenziós modellek2 lényegesen elté-

2 Az egydimenziós számításokban csak egy változó szerepel, és eztipikusan a rezgési módus (a két atom közötti távolság), míg a má-sodik változó (forgás) értékét lerögzítve, csak paraméterkéntvesszük figyelembe. A kétdimenziós számításokban mind a rezgési,mind pedig a forgási koordináta változóként szerepel.

rô eredményhez vezetnek.Célunk a LICI egy közvetlen, valamely dinamikai

tulajdonságot befolyásoló és kísérletileg is mérhetôhatásának kimutatása. Ezzel, túl minden közelítésen,létezésének egyértelmû bizonyítékát kapnánk.

A D2+-molekula fotodisszociációja

Vizsgáljuk a D2+-molekula lézerfény hatására lejátszó-

dó fotodisszociációs folyamatát. Ez egy meglehetôsenegyszerû rendszer, amelynek tanulmányozása soránsok más „zavaró” jelenségtôl (elektronkorreláció,Auger-effektus stb.) eltekinthetünk, ugyanakkor lé-nyeges tulajdonsága, hogy csak két atommagot tartal-maz, és így elektronállapotai között a Neumann–Wig-ner-szabály szerint [3] kónikus keresztezôdés nemfordulhat elô.

A disszociációs folyamat kvantumdinamikai leírás-hoz az MCTDH (multi configuration time-dependentHartree) módszert használjuk. Ez egy hatékony eljá-rás, és a jelenleg rendelkezésre álló módszerek közül– 25-30 módusig – a legpontosabban írja le a magdi-namikát. A dinamikai Schrödinger-egyenlet megoldá-saként kaphatjuk meg a mag hullámcsomagot, amelyaz egyes elektronállapotok közötti fázist is tartalmaz-za. A hullámfüggvénybôl azután számos fizikai meny-nyiség számítható. Számunkra a fragmentálódó ré-szecskék kinetikus energiájának spektruma és szög-eloszlása lesz majd fontos.

VIBÓK ÁGNES, HALÁSZ GÁBOR: FÉNNYEL INDUKÁLT ELFAJULÁSOK MOLEKULÁRIS RENDSZEREKBEN 147

A 2. ábrán a D2+-molekula poten-

2. ábra. D2+-molekula potenciálisenergia-görbéi. Az 1s σg alap- és 2p σu elsô gerjesztett dia-

batikus állapotokat szürke pontozott és szürke folytonos vonal jelöl. A 2p σu − h– ω (szürkeszaggatott vonal) gerjesztett „dressed” és az alapállapotok között LICI jelenik meg. Az adia-batikus potenciálisenergia-felületek egy metszetét θ = 0 (párhuzamosan a térrel) folytonosfekete vonal jelöli. Körökkel az alsó, háromszögekkel pedig a felsô adiabatikus metszetekláthatók. A LICI helyzetét kereszt jelöli (RLICI = 1,53 Å = 2,891 a. u. és ELICI = −2,166 eV).

1

0

–1

–2

–3

–4

–5

–6

ener

gia

(eV

)

energia

(a.u.)

0,0

–0,1

–0,2

l

w

L

L

= 200 nm

= 6,19921 eV-

= 3×10 W/cm

h

I13 2

2p – h-s wu L

2p su

1s sg

h- wL

1 2 3atomok távolsága (Å)

1 2 3 4 5atomok távolsága (a. u.)

3. ábra. Fénnyel indukált kónikus keresztezôdés a D2+-molekulá-

ban. A „dressed” adiabatikus felületek, mint az atomok közötti tá-volság és a θ szög (a molekulatengely és a lézer polarizációs irányaáltal bezárt szög) függvénye LICI-t mutat 3×1013 W/cm2 intenzitásér-téknél.

0

–1

–2

–3

–4

p

p/2

00,5 1 1,5 2

4. ábra. A D2+-molekula disszociációs fragmentumainak szögeloszlá-

sa. A kezdeti maghullámfüggvény a ν = 5 rezgési és J = 0 forgásisajátállapotokból indul. Egydimenziós (1d) és kétdimenziós (2d)modellekbôl kapott eredmények láthatók. Az alkalmazott intenzitásértéke: I = 1014 W/cm2.

dis

szo

ciác

iós

arán

y

1,5

1,0

0,5

0,00 p/12 p/6 p/4 p/3 5 /12p p/2

n = 5

2d

1d

orientáció, (rad)q

ciálisenergia-görbéit ábrázoltuk. Egy-szerûség kedvéért mint kétállapotúrendszert tekintjük. Ezek a

alap, illetve

VX (R ) = 1 s σg

elsô gerjesztett Floquet-állapotok. A

VA (R ) − hω = 2p σu − hω

potenciál az elektromos2p σu − hωtér hatására Floquet-reprezentáció-ban megjelenô „dressed state” po-tenciál, amely a térmentes elsô ger-jesztett állapotból egy fotonnyihωenergiaeltolással kapható meg. Egy-fotonos folyamattal van dolgunk,amely kis vagy mérsékelt intenzitásútérben korrekt leírásnak tekinthetô.A fekete görbék az adiabatikus, aszürkék pedig a diabatikus poten-ciálokat jelölik. Amennyiben figye-lembe vesszük a lézer forgató hatá-sát, akkor rendszerünk két szabad-sági fokú lesz. Az egyik szabadságifokot a rezgés (a két atommag közötti távolság), amásikat pedig az elektromos tér polarizációs iránya ésa molekula tengelye által bezárt szög adja. A térmen-tes esethez képest megjelenik egy új, második sza-badsági fok (forgás), amely lehetôséget biztosít azelágazási tér (branching space) kialakulására. Ha két-állapot-dipóluscsatolást és Floquet-reprezentációt fel-tételezve elektromos térben írjuk fel a rendszer dina-

mikai Hamilton-operátorát, megkaphatjuk azt a kétszükséges és elégséges feltételt, amelyek egyidejûteljesülése kónikus keresztezôdés kialakulásához ve-zet. Ez a két feltétel pedig:

Eszerint, ha kialakul kónikus keresztezôdés, akkor az

cosθ = 0, (θ = π/2) és

VX (R ) = VA (R ) − hω L .

csak θ = 90° értéknél jelenhet meg (3. ábra ).Térjünk most vissza a fotodisszociációs folyamat

vizsgálatához [7]I)! Az elôbbiekben felvázolt közelíté-


seket és módszereket alkalmazva oldjuk meg a dina-

5. ábra. Pillanatképek a D2+-molekula magsûrûségértékének valós idejû fejlôdésérôl. A kezdeti maghullámfüggvény a ν = 5 rezgési és J = 0

forgási sajátállapotokból indul. Az alkalmazott Gauss-lézer impulzushossza 30 fs és maximális intenzitása 1014 W/cm2. A magsûrûség számos,különbözô interferencia-hatást mutat és nagyobb távolságnál szétválik (szimmetriakövetelmények miatt) θ = π/2 értéknél. Az aktuális inten-zitások az egyes pillanatképeken láthatók. A LICI helyzetét kereszt jelöli. A számítások kétdimenziós modellben készültek, kivéve az utolsó,(i) ábrát, amely egydimenziós. Ez utóbbin nem látható interferenciahatás.

ori

entá

ció

,(r

ad)

qp

p/2

0

a) = –30 fs, ( )= 6,2×10 W/cmt I t12 2 b) = –10 fs, ( )= 7,3×10 W/cmt I t

13 2 c) = 0 fs, ( )= 1,0×10 W/cmt I t14 2

p

p/2

0

d) = 5 fs, ( ) = 9,3×10 W/cmt I t13 2

ori

entá

ció

,(r

ad)

q

e) = 15 fs, ( )= 5,0×10 W/cmt I t13 2 f) = 20 fs, ( )= 2,9×10 W/cmt I t

13 2

p

p/2

0

g) = 30 fs, ( ) = 6,2×10 W/cmt I t12 2

1 2 3 4 5 10 20 30 40 50atomok távolsága, (a. u.)R

ori

entá

ció

,(r

ad)

q

h) = 52 fs, ( )= 2,4×10 W/cmt I t10 2


i) = 52 fs, ( )= 2,4×10 W/cmt I t10 2


3

2

1

0,5

0,2

0,1

0,05

0,02

0,01

0,005

0,002

0,001

mikai Schrödinger-egyenletet, majd pedig vizsgáljuk adisszociáló fragmentumok szögeloszlását. Egy ilyeneredményt mutat be a 4. ábra. A kezdô állapoti maghullámfüggvény a ν = 5 rezgési sajátállapotból indul.Jól látható, hogy az egy- és kétdimenziós modellbenvégzett számítások lényegesen eltérnek egymástól.Ismét utalunk arra, hogy az egydimenziós leírás aforgást csak paraméterként veszi figyelembe, míg kétdimenzióban a forgásszög is változó. A valóságbanpedig ez utóbbi a helyzet, mert a lézer – függetlenülaz aktuális leírástól – forgatja a molekulát.

A görbéket analizálva sok érdekesség, számoskülönbözô effektus együttes eredménye látható.Ilyen például az elektromos tér hatására bekövetkezôúgynevezett kötéserôsödés és kötésgyengülés (bondhardening, bond softening) hatás, ami befolyásolja azalsó és felsô adiabatikus potenciálfelületek alakját ésezzel egyidejûleg a kialakuló kötött és rezonancia-állapotok energiaszintjeit. Számunkra azonban csakaz az érdekes, hogy mi történik 90° környékén. Ittpedig, ami az ábrán is szembetûnô, lényeges és mér-hetô a különbség az egy- és kétdimenziós modellekközött. Látható, hogy 90°-hoz közeledve a kétdimen-ziós görbén a disszociáció mértéke hirtelen megnö-vekszik. Ez meglepô, hiszen azt várnánk, hogy akkor

lesz nagy a disszociáció, ha a θ szög értéke kicsi,vagyis a molekula tengelye közel párhuzamos azelektromos tér irányával. A lézertér effektív intenzitá-sa (I0 cos2θ) ugyanis itt maximális. Amennyiben θértéke 90°-hoz közelít, nem várnánk, hogy számotte-vô mértékû legyen a disszociáció [7]II). Mégis ez tör-ténik. Értéke hirtelen és mérhetôen megnövekszik.Erre a jelenségre a következô magyarázat adható: alézer forgató hatása miatt a θ = 90° értéknél kónikuskeresztezôdés alakul ki az alsó és felsô adiabatikuselektronállapotok között (3. ábra ), aminek követ-keztében a két állapot csatolódik. A csatolódás miatta felsô energiafelületrôl – amely kötött és így nemtörténhet róla közvetlen disszociáció – a molekula aLICI-n keresztül nagyon gyorsan lejut az alsó felület-re, ahol már képes fragmentálódni. A lézer elektro-mos tere létrehozott egy erôs, nemadiabatikus hatást,amelynek következtében a dinamika jelentôsen mó-dosult. Amennyiben változtatjuk az intenzitást és/vagy a két állapotot csatoló foton energiáját, ez ahatás is változik. Ilyen módon a dinamikai folyama-tok szabályozhatóvá válnak.

Ez az elsô közvetlen és kísérletileg is mérhetô ha-tás, amely egyértelmûen bizonyítja a lézerrel induká-lódó kónikus keresztezôdések megjelenését. A kísér-leti kimutatással jelenleg is több helyen próbálkoz-

VIBÓK ÁGNES, HALÁSZ GÁBOR: FÉNNYEL INDUKÁLT ELFAJULÁSOK MOLEKULÁRIS RENDSZEREKBEN 149

nak, de ez sem egyszerû dolog, tekintve, hogy a kez-

Támogasd adód 1%-ával az Eötvös Társulatot!

Adószámunk: 19815644-2-41

deti állapotbeli maghullámfüggvényt rezgési sajátálla-potban kell felépíteni. Ez utóbbi viszont nehézségek-be ütközik. Van azonban már kísérleti eredmény aközvetett hatás kimutatására. Feltételezve, hogy a LICIkialakulását követôen az elektronikus, rezgési és for-gási mozgásformák csatolódnak, akkor interferenciá-nak kell fellépnie. Számításaink során már kaptunkilyen képeket, például a maghullámfüggvény sûrûsé-gének idôbeli fejlôdésében (5. ábra ), de kísérletilegis hasonló eredményt kapott Philip H. Bucksbaum éscsoportja (Stanford University, SLAC National Accele-rator Laboratory) [8]. Az 5. ábra pillanatképein jóllátható, hogy a maghullámfüggvény ugyan keresztül-jut a disszociációs tartományon, de a LICI erôs nem-adiabatikus topológiai hatásának következtében nemképes akadálytalanul továbbhaladni. A LICI környeze-tében két részre válik, majd két oldalról megkerülvénazt, a két komponens újra találkozik. A topológiailagnem triviális helyzet következtében kvantuminterfe-rencia-hatás jelenik meg. A magsûrûség értékébenmaximumok és minimumok váltakoznak. A zavaróhatások a hullámcsomag hátsó, késôbb disszociálókomponenseitôl erednek. A maghullámfüggvény nemcsak vízszintesen irányban halad balról jobbra (ami atiszta disszociációs folyamatnak felelne meg), hanemθ = π/2 értékhez képest felfelé és lefelé is szétfolyik alézer hatására bekövetkezô egyre gyorsabb forgásmiatt. Megjegyezzük, hogy ilyen interferenciahatástermészetesen nem jelenik meg az egydimenziós mo-dellben, hiszen itt a leírás során nem vesszük figye-lembe a forgást (5.i ábra ).

Kitekintés

Az eddigiekben bemutatott eredmények kétségkívülalátámasztják, hogy kétatomos molekulákban –amennyiben külsô elektromos tér van jelen – a nemkeresztezés elve nem tartható többé [7]II). Ez fontoseredmény, de ennél is fontosabb, hogy új lehetôségetsikerült találni molekuladinamikai folyamatok lézer-fénnyel történô szabályozására.

Eddig csak kétatomos példát mutattunk. Számosmás, érdekes jelenség is található még ezen egyszerûmolekuláknál, amelyek magyarázatra várnak. Ilyenpéldául, hogy mi történik, ha az elfajulást idôben vál-tozó frekvenciájú lézerimpulzussal (csörpölt impul-zus) hozzuk létre. Ekkor ugyanis a LICI helyzete –annak rövid élettartama során – folyamatosan válto-zik, tovább módosítva a dinamikát.

Mindazonáltal azt gondoljuk, hogy ez az új kont-rolleljárás a legfontosabb szerepet többatomos mole-kulák kémiai dinamikai folyamatainak szabályozásá-nál fogja játszani. A lézerrel indukált elfajulások hatá-sa itt még összetettebb. Ezekben a molekulákban –különös tekintettel az óriás biomolekulákra – a termé-szetes kónikus keresztezôdések már eredendôen isjelen vannak. Összjátékuk azután a lézer által keltettmegfelelôjükkel gyökeresen megváltoztathatja a dina-mikai viselkedést. Az elsô kísérleti munka, amelybenegy többatomos molekula, a CH3I fotodisszociációjátvizsgálták lézerrel indukált kónikus keresztezôdéshatására, már a közelmúltban megjelent [9].

Irodalom1. W. Domcke, A. L. Sobolewski, Nature Chem. 5 (2013) 257.2. A. L. Sobolewski, W. Domcke, Europhysics News 37 (2006) 20.3. J. von Neumann, E. P. Wigner, Z. Physik 30 (1929) 467.4. M. V. Berry, Proc. R. Soc. London A 392 (1984) 45.5. M. Sindelka, N. Moiseyev, L. S. Cederbaum, J. Phys B: At. Mol.

Opt. Phys. 44 (2011) 45603.6. G. J. Halász, Á. Vibók, M. Sindelka, N. Moiseyev, L. S. Ceder-

baum, J. Phys B: At. Mol. Opt. Phys. 44 (2011) 175102; G. J. Ha-lász, M. Sindelka, N. Moiseyev, L. S. Cederbaum, Á. Vibók, J.Phys. Chem. A 116 (2012) 2636; G. J. Halász, Á. Vibók, M. Sin-delka, L. S. Cederbaum, N. Moiseyev, Chem. Phys. 399 (2012)146; G. J. Halász, Á. Vibók, N. Moiseyev, L. S. Cederbaum, J.Phys B: At. Mol. Opt. Phys. 45 (2012) 135101.

7. I) G. J. Halász, Á. Vibók, H. D. Meyer, L. S. Cederbaum, J. Phys.Chem. A 117 (2013) 8528; G. J. Halász, Á. Vibók, N. Moiseyev,L. S. Cederbaum, Phys. Rev. A 88 (2013) 043413; G. J. Halász, A.Csehi, Á. Vibók, L. S. Cederbaum, J. Phys. Chem. A 118 (2014)11908. II) G. J. Halász, Á. Vibók, L. S. Cederbaum, J. Phys.Chem. Lett. 6 (2015) 348.

8. A. Natan, M. R. Ware, P. H. Bucksbaum: Experimental Observa-tion of Light Induced Conical Intersections in a Diatomic Mole-cule. CLEO, 2014 Optical Society of AmeOCIS codes: 020.2649,320.2250.

9. M. E. Corrales, J. González-Vázquez, G. Balerdi, I. R. Solá, R.Nalda, L. Bañares, Nature Chem. 6 (2014) 785.


BESZÉLGETÉS AZ ELEKTRON MÉRETÉRÔL

1. ábra. Az atommag körül golyószerû elektronok keringenek?

kvark ~ 10 m–18

proton (neutron) ~10 m–15

elektron ~ 10 m–18

atommag ~ 10 m–14

atom ~ 10 m–10

Horváth Dezso – MTA Wigner FK Részecske- és Magfizikai Intézet

Oláh Éva – Mechatronikai Szakközépiskola, Budapest

Sükösd Csaba – BME Nukleáris Technikai Intézet

Varga Dezso – MTA Wigner FK Részecske- és Magfizikai Intézet

Patkós András – ELTE Atomfizikai Tanszék – lábjegyzeteivel

A kvantumfizika szó hallatára az emberek általábanvalami nagyon nehéz, számukra érthetetlen dologragondolnak, pedig már az általános iskola hetedik osz-tályában találkoznak az elektron fizikájával. Abban azéletkorban a diákoknak nem tûnik fel még az sem,hogy az elektront egyszer golyócskának képzelik ésennek segítségével magyarázzák az atomok elektron-szerkezetét, máskor pedig az atommagot körülvevôelektronfelhôrôl hallanak. Tulajdonképpen anélkül,hogy tudatosulna bennük, elsô pillanattól kezdve„barátkoznak” az elektron eme furcsa kettôsségével,amely a kvantumfizika legfôbb gondolata. A kis mére-tek tartományában megtanulják az atom, illetve azatommag méretét, de esetleg fel sem merül bennük,hogy mekkora is valójában az elektron, vagy hogy ekérdésnek egyáltalán van-e értelme. A modern fizikatémakörei azért nehezebbek a klasszikus fizikábantanultaknál, mert nehéz szemléltetni a mikrovilágbanlezajló jelenségeket. Felmerül a kérdés, hogy ezt ilyenformában taníthatjuk-e diákjainknak, illetve hogy mi-lyen mélységben kell részletezni ezen elképzelhetet-lenül kicsi (vagyis végül is mekkora?) elemi részecs-kék tulajdonságait. Középfokú oktatásban mind adiák, mind a tanár számára elegendônek bizonyul, haezt a párhuzamot „finomítjuk” annak megfelelôen,amit az elektron kettôs természete kapcsán tanítunk.De mi történik, ha a magfizikus vagy részecskefizikusszembesül azzal az ábrával, amelyen az atommagkörül golyószerû elektronok keringenek (1. ábra )?„Természetesen” vitatkozik: érvel, cáfol, egyetért,kiegészít, pontosít, míg ki nem alakul a vitapartnerekközött egy konszenzus.

Így történt ez 2014 júliusában, amikor Oláh Évafizikatanár, az ELTE Fizikatanári Doktori Iskola dokto-randája (témavezetôi Varga Dezsô és Horváth Dezsô )részecskefizikáról szóló elôadásra készült középisko-

lásoknak és a CERN-es HTP-2014 fizikatanári tovább-képzés résztvevôinek. Sükösd Csabát is megkértékarra, hogy nézze át az elôadás fóliáit és véleményezzeazokat. Az ábrák között szerepelt egy, amely a Li-atom szerkezetét a Rutherford-féle atommodell szoká-sos elektronpályáival mutatta be. Sükösd Csaba kifo-gásolta a fólián feltüntetett azon tételt, miszerint azelektron pontszerû részecske, sugara 10−18 m-nél ki-sebb. A két Dezsô ezt védelmezte, és a kérdésrôl egyjó néhány napig tartó levelezés alakult ki közöttünk.Úgy gondoltuk, tanulságos az érveket és ellenérveketösszefoglalni egy Fizikai Szemle cikkben. Valamennyilevelet mind a négyen megkaptuk, bár azokat kifeje-zetten egyikünk valamelyikünknek címezte. A levele-ket lényegi változtatás nélkül közöljük, bizonyos he-lyeken kihagyva zsákutcákat vagy témához nem tar-tozó egyéb tartalmakat.

S.Cs. → O.É.Nem értek egyet az elektron és a kvark „méreté-

nek” feltüntetésével. Ehelyett azt kellene írni, hogyezek elemi részek és jelenlegi tudásunk szerint to-vább nem bonthatók. Az a (Rutherfordtól származó)modell is túlhaladott, hogy az atomban az atommag„körül” pontszerûnek tekinthetô elektronok szalad-gálnak. Jelenlegi (kvantummechanikai) modellünkszerint az atomban az elektronok egy körülbelül10−8 cm sugarú térrészbe vannak „bezárva”, és lénye-gében KITÖLTIK azt a térrészt. Tehát ott az elektron„mérete” ilyen nagy. Hasonlóan, a kvarkok is nukleonméretû „zsákokba” vannak bezárva (bár nagyon sûrûelhelyezkedés esetén, például neutroncsillagok köz-ponti tartományában a „zsákok” falai átjárhatókkálesznek) és lényegében kitöltik azt a térrészt, tehát a„méretük” az atommagban ekkora. Az re < 10−18 mpontosabban fogalmazva azt jelenti, hogy a kísérletek

során sikerült már – elegendôennagy energiakoncentrációval – ilyenkis térrészre „beszorítani” ezeket arészecskéket anélkül, hogy továbbialkotóelemekre bomlottak volnaszét. Ha ezt nem magyarázod el, csakodaírod, hogy „méretük” <10−18 m,azt a teljesen hibás képet sugallod ahallgatóknak, hogy ezek MINDIGilyen kicsikék.

H.D. → S.Cs.Minden Évának írt megjegyzésed-

del, tanácsoddal egyet értek, a ré-szecskék méretét kivéve. Az elemi

HORVÁTH DEZSO, OLÁH ÉVA, SÜKÖSD CSABA, VARGA DEZSO: BESZÉLGETÉS AZ ELEKTRON MÉRETÉROL 151

részecskék a mérések szerint tényleg pontszerûek,legalábbis 10−18 m alattiak. Ami az elektronok atomi ésa kvarkok hadronbeli kiterjedését illeti, az valószínû-ségeloszlás: a pontszerû részecske különbözô valószí-nûséggel található a pálya vagy térrész különbözôpontjain. Ezért repül át a pontszerû és oszthatatlanelektron a fésû összes fokán egyszerre, saját magávalinterferálva. A távoli csillagból jövô foton is egyszerretalálható a sok fényévnyi átmérôjû gömbfelület vala-mennyi pontján, amíg el nem nyelik, de közben pont-szerû marad.

S.Cs. → H.D.Vitatkoznom kell Veled a részecskék „méretét”

illetôen. Én úgy tanultam, hogy a kvantummechaniká-ban a részecskék mérete nem értelmes fogalom, mintahogy a részecskék pályája sem.

De persze nem az a lényeg, hogy én hogy tanul-tam, mert a tudomány fejlôdött azóta is. Viszont: aHeisenberg-féle határozatlansági összefüggés alapján,ha Te egy elektront Δx = 10−18 m térrészbe szorítaszbe, akkor a Δpx impulzusbizonytalansága óriásira nô(és persze a másik két dimenzióban ugyanúgy) – másszóval az állapotfüggvényében igen nagy impulzusú(és energiájú) komponensek is megjelennek. Azelektront bizonyos nagyenergiájú kísérletekkel perszebe lehet „szorítani” ilyen kis térrészbe – ezt írtam ko-rábban is – de ez éppen azt mutatja, hogy „elemi”részecske, tovább nem bontható – még akkor sem, haaz állapotfüggvényében ilyen igen nagy energiájúkomponensek is jelen vannak. De hogy az atombanlévô elektronoknak nem lehet ilyen nagy energiájúkomponense, az teljesen világos (különben a magnem tudná ôket kötött állapotban tartani). Ergo, nemlehetnek ilyen kis térrészre „beszorítva” sem, azaz azatombeli „méretük” nem lehet ilyen kicsi.

Számomra valaminek a mérete egyenlô annak atérrésznek a méretével, ahol az illetô valamit meglehet találni. A szekrény mérete, az asztal mérete stb.így van definiálva. A mikrorészecskék térbeli „elhe-lyezkedését” az állapotfüggvény mondja meg: meg-mutatja, hogy a részecskét a tér mely részében lehetmegtalálni (ahol a megtalálási valószínûség különbö-zik nullától). Számomra ez a részecske „mérete” azadott állapotban. Nem hallottam olyanról, hogy a„méret” saját (intrinsic) tulajdonság, paraméter vagykvantumszám lenne. Ezért nem hasonlítható sem atömeghez (amely lényegében a gravitációs töltés,illetve energia), sem pedig az elektromos töltéshezvagy a spinhez. Szerintem ez az oka annak, hogy ahivatalos adatgyûjteményekben a „méret” sehol nincsfeltüntetve.

Szóval, kérlek, hogy definiáld, mit kell érteni egy ré-szecske „saját” méretén, és hogyan kell azt megmérni.

H.D. → S.Cs.Kísérleti fizikus lévén nem fogom a fejem elméleti

méretdefiníción törni, elég, ha megmondjuk, hogyankell mérni. Minden részecskéhez tudsz kísérleti suga-rat rendelni, csak különbözô energián szóratni (üt-

köztetni) kell ôket egymáson és megmérni a rugalmasütközés valószínûségét. Ez a rugalmas ütközés akvantummechanikai számolások szerint közvetlenkapcsolatban van a részecske méretével, alakjával. Arugalmas ütközés alatt azt értjük, hogy a kezdeti álla-potban ugyanolyan típusú részecskék vannak, mintaz ütközés után.

Kezdjük a protonnal. Mivel hibahatáron belülugyanazt a sugarat kapod a protonra elektron- ésmüonszórással, proton-proton ütközésekben, vala-mint az elektron- és müonhidrogén átmeneteinek aproton véges méretével történô korrekcióival, akkorazt a proton méretének kell tekintened.

Ha a proton mérete megvan, akkor jöhet a müonés az elektron sugara. Szóratod ôket más részecské-ken (például protonon vagy egymáson, tele a világelektron-pozitron ütköztetôkkel) és illesztesz azeredményhez müon- és elektronméretet. Így találtukmeg a kvarkokat (partonokat) a protonban: a nagy-energiás elektronok pontszerû szórócentrumokatészleltek benne. A szórási szögeloszlásból egybôllátszik a pontszerûség, illetve annak hiánya (analó-gia: Rutherford-szórás). A kapott részecskeméretet amérés pontossága fogja meghatározni, ez az a sok-szor leírt re < 10−18 m.

A részecske megtalálási térrészének tehát nincsköze a sugarához. Példaként: a lassú neutron állapot-hulláma akkora, hogy visszaverôdik a grafitfelületen,jóllehet a neutron közel akkora, mint egy proton.

V.D. → S.Cs. és O.É.Csatlakozva Dezsô legutóbbi magyarázatához, pár

analógia, amellyel látható, hogy mit lehet „méret”-enérteni. A kvantummechanikai szórási (kölcsönhatási)valószínûség leírható egy alakfaktorral vagy szerkeze-ti függvénnyel, amely pontszerû esetben dimenziótlan(és egyszerû, például fordítottan arányos az ütközésienergia négyzetével). Bonyolultabb esetben tartal-mazhat „dimenziós” mennyiségeket – azokat akárnevezhetjük „méret”-nek.

A probléma az így definiált részecskemérettel:– Függ a folyamat részleteitôl, különbözô folyama-

tok között kiszámítható, de nem egyszerû a kapcsola-tuk (egy amorf krumpli méretét nem egyszerû defi-niálni).

– Függ az energiától. Egy proton az LHC-nél há-romszor „nagyobb”, mint az atommagban. De ez sokmindennel így van, például az elektromos töltés semállandó, hanem növekvô energiával növekszik.

Az tehát, hogy egy részecskének messzire terjedôhullámfüggvénye van, nem mondja meg a „méretét”.A részecske mérete (és tömege, töltése, dipólmo-mentuma stb.) egy-egy paraméter valamilyen szórásihatáskeresztmetszetben (ez utóbbiak a mérhetômennyiségek). Horváth Dezsô által említett példaesetében az elektron-elektron rugalmas ütközés va-lószínûsége éppen olyan, mint amit pontszerû eset-ben várnánk, a proton-proton ütközés pedig nemenged meg nagy impulzuscserét, sôt, érdekes struk-túrát mutat.


S.Cs. → H.D.Örülök, hogy konvergálunk! Ha jól értem, az álta-

lad írt mérési mód a nagyenergiás limit: egyre na-gyobb energiájú részecskenyalábokkal (egyre kisebbhullámhosszakkal, egyre jobb felbontással) mérünk.Az „egyszerû”, tovább már nem bontható objektu-moknál (elektron, kvark) a felbontás (rendelkezésreálló energia) határozza meg a „saját méret” felsô hatá-rát. Az összetett objektumoknál pedig (atom, protonstb.) a belsô szerkezet megváltoztatásához szükségesenergia (hullámhossz).

Szerintem ez elfogadható, mint definíció, illetvemérési utasítás, hiszen egyértelmû, és talán egyértel-mû eredményt is ad. Ugyanakkor nem szabad elfelej-teni, hogy egy ilyen mérés komolyan „beleszól” amérendô objektum állapotába: azaz nem azt az álla-potot mérjük, amely korábban volt (például amely azatomhéjban lévô elektronállapotban van). Persze az isigaz, hogy minden mérés megváltoztatja a rendszerállapotát (kvantummechanikailag „beugrasztja” a le-hetséges állapotok közül valamelyikbe). Konkrét eset-ben a megtalálási valószínûség által leírt sok lehetsé-ges állapot egyikébe.

Ugyanakkor továbbra is fenntartom, hogy ez a mo-dell – ha nem tudjuk pontosan, hogy mi van mögötte– nagyon komoly ellentmondásokat tartalmazó képkialakulásához vezethet (a diákokban és tanárokban):„felélesztheti” például a Rutherford-féle Naprendszer-modellt, ahol pontszerû elektronok szaladgálnak vala-hogyan az atommag körül. Ezt – szerintem – minden-féleképpen el kellene kerülni. Ezért változatlanul elfo-gadhatóbb, szemléletes képnek (modellnek) érzemazt, amiben a H-atom elektronjának „méretét” azelektron megtalálási valószínûségének kiterjedéseadja meg; természetesen úgy, hogy tudjuk, ha egynagyon rövid hullámhosszú (nagy térbeli felbontású)részecskével meg akarjuk találni az elektront, akkorezen a gömbön belül „valahol” lényegében pontsze-rûen találjuk meg.

S.Cs. → V.D.Köszönöm, ezeket értem. Az, amit írsz, hogy az ilyen

alapokon definiált részecskeméret nem egyértelmû,hanem több mindentôl is függ, kicsit magyarázza azt is,hogy miért olyan nehéz a méretet a részecske saját int-rinsic belsô tulajdonságaként definiálni. A különbözôfolyamatokban persze elôfordulnak hosszúságdimen-ziójú mennyiségek (ilyen például az ismert klasszikuselektronsugár, vagy különbözô szórási hosszak, hatótá-volságok stb.), de szerintem ezek egyikét sem célszerûa részecske „saját méretének” tekinteni.

Számomra egyébként azért fogadható el H. Dezsômérési utasítása, mert az egy limesz: a végtelen ener-giás limesz. Ez – remélhetôleg – egyértelmû. Végtele-nül rövid hullámhosszúságú nyalábbal dolgozó, vég-telenül jó felbontású „mikroszkóppal” való helymeg-határozás.

A részecske hullámfüggvénye (illetve abszolútérté-kének négyzete) a részecske megtalálási valószínû-ségsûrûségét adja meg. Ha a részecske „méretét” a

végtelen energiás limesszel definiáljuk, akkor perszesemmi köze sincs a kettônek egymáshoz. De, ha aztkérdezzük, hogy az a részecske mégis a tér mely tar-tományában található meg egyáltalán, akkor azt –tetszik, nem tetszik – az állapotfüggvény abszolútér-ték-négyzete, illetve annak kiterjedése mutatja meg.

Én ezért szeretem inkább a „pontszerû” elektronhelyett azt mondani, hogy az elektron „szerkezet nél-küli” (legalábbis jelen tudásunk szerint), és a geomet-riai méret fogalmát, mint állapottól független, „saját”tulajdonságot – a Rutherford-féle klasszikus pályafo-galomhoz hasonlóan – elkerülni.

V.D. → S.Cs.Alapvetôen egyetértek azzal, amit írsz, egyetlen

„érzésem” az, ha klasszikus fogalmakat igyekszünk akvantum-mezôelméleti mérések mögé rakni, akkornem biztos, hogy az helyes következtetésre vezet. A„végtelen energiás határérték” majdnem jó vezérlôelv, annyi teendô hozzá, hogy van egy (jól kiszámít-ható) függvény, amely szerint még nagyon nagy ener-giákon is változnak bizonyos mennyiségek (lásd pél-dául a DGLAP-egyenleteket az erôs kölcsönhatásnál,ahol minden betû egy-egy nagy nevet takar…).

Valóban, a legfontosabb kérdés az, amit megfogal-maztál: hogyan csapódjon le mindez a középiskolástanárokban, milyen üzenetet közvetítsenek a (szakér-tônek aztán tényleg nem mondható) kisdiákok felé?Ilyen értelemben fontos ez a vita, és nagyon támoga-tom, hogy a klasszikus kvantummechanikai kép fôgondolata számukra érthetô legyen.

S.Cs. → H.D.A mi „vitánk” – vagy nevezzük inkább beszélgetés-

nek – tipikusan a fizika két különbözô területén dol-gozó fizikus beszélgetése. Rutherford számára azatommag is pontszerû volt, mivel „mikroszkópja” (anéhány MeV-es alfa-részecskéknek) hullámhosszanem volt még elég rövid ahhoz, hogy méretet is tud-jon mondani: csak felsô korlátot tudott megadni amag méretére. Késôbb, az atomi spektrumok – pont-szerû vonzócentrumot feltételezô, elméletileg kiszá-mítotthoz viszonyított – apró eltéréseibôl közvetve,majd nagyenergiájú elektronszórásból már közvetle-nül is lehetett „látni”, hogy az atommag nem pontsze-rû, hanem van valamekkora kiterjedése. Hasonlóan,amíg nem álltak rendelkezésre GeV-es nyalábok, ad-dig a proton és a neutron is „pontszerû” volt, és csakjóval késôbb sikerült közvetlenül is megfigyelni akvarkok három szórócentrumát, és a proton, illetveneutron kiterjedt voltát.

Értem én, hogy a részecskefizikus számára abszo-lút lényegtelen, hogy milyen elképzelése van azelektronokról az elektronvoltos és tized-elektronvol-tos energiatartományokban dolgozó atomfizikusnakvagy kvantumkémikusnak. A részecskefizikust „A RÉ-SZECSKE” érdekli. Önmagában, meztelenül. Ahogykeletkezik, ha megfelelô energiakoncentráció létre-jön, és ahogy elbomlik. Másik oldalról viszont az ato-mokat és molekulákat vizsgáló fizikusnak teljesen


mindegy, hogy milyennek látja a részecskefizikus azelektront, ha sok GeV vagy TeV energiával birizgálja.A szilárdtestfizikusokat meg a neutron esetében semérdekli, hogy abban hány szórócentrum van 100GeV-es energián, amikor a KFKI hideg neutronosnyalábjával neutron-holográfiát csinálnak, vagy neut-ronszórást vizsgálnak kondenzált anyagokon (kristá-lyokon, amorf anyagokon, folyadékokon). Számukraaz a fontos, hogy a neutronok haladásuk és az anyag(kristály)szerkezetével való kölcsönhatásuk soráneléggé kiterjedt, akár sok atomréteg „méretû” hullá-mokként viselkednek. No persze tudják, hogy ami-kor a neutront detektálják, akkor ott mindig egyetlenneutront észlelnek, amely egyetlen atommaggal lépkölcsönhatásba; tehát detektáláskor a „mérete” sok-kal kisebb, mint amit a terjedése során figyelembekell venni.

Az alacsony energiás fizikában – és az atomok fizi-kájában, amit a középiskolások számára kell(ene)valahogyan érzékeltetni – nem a nagyenergiás elekt-ronkép a legmegfelelôbb (legalábbis szerintem), ha-nem sokkal inkább a „kiterjedt” elektron „állóhullám”.De ez a szép a fizikában, hogy nincsenek egyedülüdvözítô elméletek és modellek. A különbözô jelen-ségcsoportokra mindig is az arra leginkább alkalmasmodellt használtuk – jóllehet tudtuk, hogy az csak ateljes igazságnak (amit nem is ismerünk) csak egytöredéke.

Abban teljesen igazatok van, hogy a makroszkopi-kus fogalmak nem alkalmasak a mikrorészecskék tö-kéletes leírására. Ezért használunk modelleket, ame-lyek a teljes valóságnak csak egy-egy kis részletétírják le. Megboldogult Károlyházy Frigyes mondtaegyszer: „az elektron részecskének hullám, hullámnakrészecske, de legjobban önmagára hasonlít”. Középis-kolás gyerekekkel (és az ôket tanító tanárokkal) vi-szont nem indulhatunk ki a jelenlegi absztrakt mate-matikai modellekbôl. Nekik olyan dolgokhoz kellhasonlítanunk, ami a makroszkopikus világból ismerta számukra (például golyó és hullám). Az sem baj, hakülönbözô szempontok szerint különbözô modelle-ket kell használjunk. Még az sem baj, ha ezek a mo-dellek ellentmondani látszanak egymásnak! Sôt, talánez benne az igazán szép és izgalmas! Bohr után el-mondhatjuk, hogy „Contraria non contradictionaria,sed complementaria sunt” – azaz, ezek nem ellenté-tek, hanem egymást kiegészítik, mivel NINCS egyet-len olyan makroszkopikus dolog, amelyhez a mikro-részecskék minden szempontból hasonlíthatók. Ilyenmódon kapnak legalább valami kis fogalmat a világ –és a részecskék – sokszínûségérôl, és makroszkopi-kus fogalmainkhoz szokott szemléletünket messzemeghaladó végtelenségérôl.

O.É. → S.Cs.Én csak ámulok és bámulok, milyen fantasztikus

beszélgetés alakult ki, Galilei: Dialogo címû mûvétjuttatta eszembe. Megfontolandó lenne, hogy ez apárbeszéd ne jelenjen-e meg valamilyen formában,tudósnak, tanárnak épülésére szolgálna a fizika szép-

ségének, sokrétûségének ilyenfajta bemutatása. Szá-momra, mint mezei fizikatanárnak a konklúzió min-denképpen az, amit eszerint tanítok is, hogy az elekt-ron egy furcsa „jószág”, a modellekben golyóknaktekinthetjük, kémiaórán már 7. osztályban elektronfel-hôrôl beszélünk, majd a kétréses kísérlet kapcsánhullámok interferenciáját figyelhetjük meg. (Perszeazt is csak addig, amíg egy „szem” meg nem figyeli,mi is történik tulajdonképpen.) Elôadásomban min-denféleképpen utalnék erre a kettôs természetre. Kö-szönöm ezt az élvezetes továbbképzést.

H.D. → S.Cs.Végül is értjük egymást. Két dologban azonban

nem értünk egyet.1. Az elektron (és persze a standard modell összes

többi elemi részecskéje) pontszerû, amelynek állapo-tát (és persze mozgását is) valószínûség eloszlás írjale és nem anyaghullám. Ezt kell és el is lehet magya-rázni, ez az egész probléma kulcsa. Mihelyt ezt el-mondjuk, azonnal elhullik a körpályán rohangálóvagy véges kiterjedésû részecske hibás fogalma.

2. Nem igaz, hogy nagy energián az elektron egyrepontszerûbbnek látszik, sôt! A LEP-nél a 200 GeV-esütközésekben az elektron-pozitron kölcsönhatásbanmár a részecskék által hurcolt fotonterek felbomlottfotonjaiban megjelenô virtuális töltött részecskék özö-ne jelent meg. Jó pár magyar diplomamunka és PhD-dolgozat született az elektron-pozitron ütközésben,azaz foton-foton kölcsönhatásban keletkezô hadron-záporok elemzésérôl. A pontos kijelentés az, hogy akísérleti adatok elemzésénél feltételezünk egy ré-szecskeméretet, és megnézzük, azok mekkorát en-gednek meg. Ez persze már túlmegy a középiskolásszinten, csak nekünk fontos tudnunk, amikor beszé-lünk róla.

V.D. → H.D.Dezsô, hogy definiálod azt a fogalmat, hogy „pont-

szerû”? Ugye kvantummechanikai objektumról vanszó… �

H.D. → S.Cs.A pontszerûséget pontosan abban az értelemben

lehet csak használni, amilyen értelemben leírtam amérését: véges méretet tulajdonítasz neki és megpró-bálod értelmezni a méréseket. A pontszerûség viszontnem okoz olyan paradoxonokat, hogy miért nincsvégtelen nagy energiája az elektronnak, ha éppen azatommag helyén találjuk: a valószínûségi leírás térbenis, nemcsak idôben igaz.

S.Cs. → H.D.Úgy érzem, konvergálunk. Te írod: „valószínûségi

leírás térben, nemcsak idôben igaz”. Azaz, az elektron„elhelyezkedésének” leírására (tudatosan nem „kiter-jedést” írtam) a térben kiterjedt (valószínûségi) hullá-mok modellje jobb, mint a pontszerû golyó. Addig,amíg nem „figyeljük meg” az elektront, nem kérdez-zük le méréssel azt, hogy „hol vagy most éppen?”,


addig a hullámmodellt jobb alkalmazni. Abban nemtalálunk ellentmondásokat sem a végtelen potenciálisenergia miatt, és az interferencia-képességet is jól letudjuk írni. Amikor viszont az elektront „detektáljuk”,mérést hajtunk rajta végre, lekérdezzük, hogy „holvagy most éppen?”, akkor viszont a pontszerû golyó amegfelelô modell. De szerintem éppen ezt tanítjuk, ezvan a középiskolai anyagban is.

S.Cs. → H.D.1

1 A beszélgetés ezen része már nem e-mailben zajlott, hanem2014. augusztus 17-én este, 40 magyar fizikatanár jelenlétében, aCERN-ben kiállított BEBC (Big European Bubble Chamber, Nagyeurópai buborékkamra) mellett.2 Ez a gondolatkísérlet nem fér be az egyetlen elektront leíróklasszikus vagy kvantummechanikai szemléltetésbe. Egy fenti r0

méretû elektron (saját)energiájába jelentôs járulékot adnak a na-gyon rövid (ezzel a mérettel nagyjából azonos) hullámhosszúságúkvantumfluktuációk: a tömegéhez ezek energiája is járulékot ad,amelynek nagysága éppen ezért a fenti egyszerû modellel értelmez-hetetlen. Itt menthetetlenül átszaladunk a kvantum-elektrodinamikaterületére. (P.A.)

Engedj meg még egy érvet – vagy inkább parado-xont – a „pontszerû” elektronnal kapcsolatban. Azelektromosságtan szerint egy Q töltéssel homogénenfeltöltött, r0 sugarú gömb elektrosztatikus energiája:

Ha ide behelyettesítjük az elektron Q = 1,6 10−19 C

35

14 π ε0

Q 2

r0

.

elemi töltését, és az általad említett r0 = 10−18 m sugarat,akkor az elektrosztatikus energiára 1,38 10−10 J jön ki,ami átszámítva 864 MeV! Ez több nagyságrenddel na-gyobb, mint az elektron ~0,511 MeV nyugalmi tömegé-nek megfelelô energia! Ha tehát az elektron teljes egé-szében ténylegesen ilyen kis térrészre lenne beszorítva,akkor – elektrosztatikus energiája miatt – tömege isilyen óriásra nône! Ezért az elektron nem lehet ilyen kistérfogatra lokalizálva, hacsak nem adunk neki ennyirenagy energiát. Ez ugyancsak azt támasztja alá, hogycsak nagy energiájú folyamatokban tud az elektron„pontszerûvé” válni. Kis energiájú folyamatokban azelektron „kiterjedése” sokkal nagyobb kell legyen –azaz a töltése sokkal nagyobb térrészen (delokalizálva)kell, hogy megtalálható legyen.2

Én ezért szeretem inkább a „pontszerû” elektronhelyett azt mondani, hogy az elektron „szerkezet nél-küli” (legalábbis jelen tudásunk szerint), és a geomet-riai méret fogalmát, mint állapottól független, „saját”tulajdonságot – a Rutherford-féle klasszikus pályafo-galomhoz hasonlóan – elkerülni.

H.D. → S.Cs.Azt hiszem, erre a paradoxonra is az a válasz, hogy a

valószínûségi eloszlás nemcsak idôben, de térben isteljesül. A kísérletileg pontszerûnek talált elektron a térkülönbözô pontjain különbözô valószínûséggel tartóz-kodik, tehát töltésének is így kell megoszlania. Egyéb-ként be kell, hogy ismerjem, ilyenkor mindig a RichardFeynmannak tulajdonított szöveg jut eszembe: amikor

megkérdezték tôle, mi a véleménye a kvantummecha-nikai valószínûség (koppenhágainak nevezett) értelme-zésérôl, azt válaszolta: Hallgass és számolj! Ezt azon-ban a középiskolában nem mondhatjuk.

Epilógus

Reméljük, a tisztelt olvasó is (közel) annyira élvezteezt a levelezési vitát, mint mi, a résztvevôi. Rávilágít,hogyan gondolkodik az elemi részecskékrôl az atom-fizikus, a magfizikus és a részecskefizikus. Be kellismerjük, hogy újraolvasva négyünknek egyre jobbantetszett, ezért is döntöttünk úgy, hogy megfelelôgyomlálás után közreadjuk. Érzékelteti azt az (eny-hén?) kötözködô vitastílust, amelyet a fizikusok szertea világban, ha nem is az anyatejjel, de az egyetemilevegôvel szívnak magukba, és amely általában na-gyon tetszik az esetleges hallgatóságnak. A magyarfizikatanárok CERN-i továbbképzése immár 9 évefolyik a szerzôk részvételével, és a tanárok visszajel-zése szerint az ilyen viták mindig rendkívül népsze-rûek voltak. A 2014 augusztusában lezajlott vitát ahallgatóság így értékelte egy csasztuskában (https://indico.cern.ch/event/268114/): Elektronnak a mérete/ Nagy vitának kezdete. / Nehogy azt higgye a Dezsô,/ Szópárbajban ô a nyerô! / DÖNTETLEN!

A szórakoztatás mellett talán cikkünk közvetlenpedagógiai haszna sem lesz elhanyagolható. Éppenezért az alábbiakban összefoglaljuk a vita tanulságaita fiatalságnak – remélhetôleg – továbbadható formá-ban:

• A fizika jelenlegi állása szerint a körülöttünklátható világot elemi részecskék alkotják: leptonok,kvarkok, a kölcsönhatásokat közvetítô bozonok és aHiggs-bozon. Közöttük a leginkább ismert az elekt-ron, mint az egyetlen szabadon létezô és tanulmá-nyozható elemi részecske.

• Az elemi részecskéknek nincs belsô szerkezetük,nincsenek alkatrészeik. A nagyenergiás szóráskísérle-tekbôl (ütközéses kölcsönhatásokból) az is látszik,hogy képzôdéskor és átalakuláskor vagy elnyelôdéskornincs kiterjedésük (mérési hibán belül zérus), tehátebben az értelemben pontszerûnek tekinthetôk.

• Ugyanakkor kvantummechanikai objektumok,hullámtermészetük térben és idôben egyaránt meg-mutatkozik: terjedése során egy elektron egyidejûlegtöbb résen is áthalad és felhôként tölti meg az atomiállapotokat. Ez azonban nem anyag-, hanem valószí-nûségi hullám: a tér különbözô pontjain különbözôvalószínûséggel tartózkodik.

• Mindenki másképpen képzeli el az elektront –más modellt alkalmaz rá – aszerint, hogy mekkoraenergián tanulmányozza: atomi állapotot betöltô fel-hôként (2. ábra ), téridôben táncoló pontszerû golyó-ként, vagy végtelen kiterjedésû, elektromágneses terethurcoló erôtércsomagként.

• Sok olyan részecskét ismerünk, amelynek „mére-te” véges, ilyen például a proton. Ezekrôl a részecs-kékrôl kivétel nélkül kiderült, hogy véges geometriai


méretük belsô szerkezetüknek köszönhetô. Így kap-

2. ábra. A hidrogénmolekula formálódása.

+

juk az atomok méretét is: a (szerkezet nélküli) elekt-ronok és az (icipici kiterjedésû) atommagok kölcsön-hatása különleges objektumot hoz létre.

• Geometriaiméret-fogalom azonban nem alkal-mazható az elektronra (sem semmilyen más, szerke-zet nélküli, elemi részecskére például kvarkokra).

• Az hogy az elektron „pontszerû”, fizikus virág-nyelven megfogalmazott állítás, és azt jelenti, hogySEMMILYEN szerkezete nincs, akár végtelen nagyenergián is nézzük (végtelen nagy felbontással – báreddig csak r0 ~ 10−18 m-ig jutottunk el).3

3 1954-ben Abrikoszov, Landau és Halatnyikov megvizsgálták,hogyan árnyékolják le a vákuumpolarizációban felbukkanó-eltûnôelektron-pozitron párok egy r0 sugarú gömbön valahogy lokalizálte0 nagyságú elektromos töltés terét. Azt találták, hogy nagyjából

függvényt követ az r távolságon mért leárnyékolt töltés (K egy

e 2 (r ) =e 2

0

1 K e 20 log ⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

rr0

.

konstans). Landau fordítva is kérdezett: tudjuk, hogy a Thomson-szórásban mért elektrontöltés mekkora (ez van a középiskolai táb-lázatokban). Mi van, ha jóval nagyobb felbontással, egyre kisebbtartományon szeretnénk megmérni az álló elektron töltését? Másszóval e2 (r )-t rögzítve hogyan változik , ha r0-t csökkentjük. Ae 2

0

fenti egyenlet átrendezésével bárki meggyôzôdhet, hogy egy végesr0 értéknél végtelenné válik. Azaz a kvantumelektrodinamikáte 2

0

nem lehet tetszôleges kis méretek tartományára kiterjeszteni! A Lan-dau-szingularitásnak nevezett jelenség miatt biztosan tudható, hogyaz elméletet valami más váltja fel. Szerencsére ez a veszély a stan-dard modell jóval kisebb skálán történt felfedezésével elhárult. Astandard modellnek is van Landau-szingularitása, de ez elég közelvan a Planck-hosszhoz, ahol a kvantumtérelmélet és a gravitációegységes elmélete nélkül nem értelmezhetô a fizika. Így az elektrontöltéssugara nem lehet nulla. E megjegyzés tanulsága az, hogy akvantumtérelméletben elvész a kis- és nagyenergiás jelenségekszétválasztásának lehetôsége. (P.A.)

WIGNER JENÔ LEVELEI GYÖRGYI GÉZÁHOZKovács László

NyME SEK Szombathely

Györgyi Géza (1930–1973) elméleti fizikus a KözpontiFizikai Kutató Intézet tudományos fômunkatársa, azEötvös Loránd Tudományegyetem címzetes egyetemitanára volt. A csoportelméletrôl, annak felhasználásilehetôségeirôl egymás után tartotta a szemináriumo-kat és sorozatban írta a tanuláshoz nélkülözhetetlenjegyzeteket. Csoportelméleti módszerekkel tárgyaltajegyzeteiben a relativitás- és kvantumelméleti problé-mákat, az impulzusmomentum kvantumelméletét, amag héjmodelljét.

Az Eötvös Egyetem Elméleti Fizikai Intézetének ve-zetôje, az iskolateremtô, nagy tudású és nagy hatásúelméleti fizikus Novobátzky Károly Pauli útmutatásai-nak megfelelôen 1949-ben, variációs elv segítségévellevezette az energia-impulzus tenzor Abraham-félealakját. Ez a matematikai kifejezés nemcsak vákuum-ban, hanem dielektrikumokban is helyesen adja meg azelektromágneses sugárzás energiaáramának impulzu-sát. Novobátzky professzor úr három fiatal munkatár-sát, Marx Györgyöt, Nagy Károlyt és Györgyi Gézátbízta meg a kérdéskör részletes vizsgálatával. Mindhár-man jelentôs elméleti eredményekre jutottak. GyörgyiGéza és Marx György az Abraham-tenzor érvényessé-

gének bizonyítására olyan erôkifejezést javasolt, ame-lyet kísérletileg ellenôrizni lehet.1 1975-ben egy kanadai

1 Marx Gy., Györgyi G.: Der Energie-Impuls-Tensor des elektro-magnetischen Feldes und die ponderomotorischen Kräfte in Di-elektrika. Acta Phys. Hung. 3 (1954) 213–242.

csoport – a javaslatuk alapján elvégzett kísérletben – atöltésekre ható Abraham-erô jelenlétét sikeresen kimu-tatta. A közegekbeli energia-impulzus tenzor különbö-zô alakjainak fizikai jelentését és a látszólagos ellent-mondásokat csupán a közelmúltban tisztázták.

Györgyi Géza nevéhez is fûzôdik a hiperonok szer-kezetére vonatkozó Györgyi–Goldhaber-sejtés. A mo-dellt az elemi részekre vonatkozó kísérletek késôbbnem igazolták, azonban a belôle nyert tömegformulajó közelítésnek bizonyult négy barionra, a nukleonra,és a Ξ, Λ és a Σ részecskékre. Ezt a tömegképletet tôlefüggetlenül Gell-Mann is felírta, ami az irodalombanGell-Mann–Okubo-formula néven ismeretes. Ez ki-mondja, hogy a nukleon és a Ξ együttes tömegének afele ugyanakkora, mint három Λ és a Σ. A megfelelô,ismert tömegértékeket behelyettesítve 1128,5 MeV/c 2,illetve 1135,25 MeV/c 2 értékeket kapunk.


A „fotoncsomósodást”, a Hanbury-Brown–Twiss-effektusnak nevezett jelenséget, ezt a kísérleti ered-ményt a fény részecskeképe, tehát az elektromágnesestér kvantumelmélete alapján magyarázta meg.

Munkásságának gerincét a „Kepler-probléma”, a−1/r potenciáltérben mozgó tömegek, illetve töltésekközépiskolai és tudományos szintû feldolgozása képez-te. A középiskolai tárgyalást aprólékosan kidolgozotthatárátmenetekre, a tudományos kifejtést pedig a szim-metriatulajdonságokra, csoportelméleti magyarázatokraépítette. Felvetôdött az a kérdés, hogy ez a Györgyi-féle tárgyalás az erôtér alkalmazása helyett esetleg al-kalmas lehet az atommag kötési és energiaviszonyai-nak tárgyalására, illetve útmutatást nyújthat más had-ronfizikai problémák megoldásához. Még 2010-ben isközel ötven hivatkozás történt az errôl a témáról írtcikkeire, amelyek a Nuovo Cimento, az Annalen derPhysik, a Zsurnal Exp. Teor. Fiz, az Acta Physica Hun-garica és más neves folyóiratokban, valamint külföldiintézeti és konferencia-kiadványokban jelentek meg.

Györgyi Géza vérbeli tudománytörténész és mûfor-dító is volt. Tudta, hogy a klasszikus mesterek eredetimûveivel is meg kell ismertetni az egyetemi hallgató-kat, a tanárokat, a tudományos kutatókat. Ezért renge-teg eredeti, klasszikus fizikai mûvet lefordított és közzétett. Voltak, akik idejétmúltnak tekintették ezeket azírásokat, Géza azonban tudta, hogy a gyökerek megis-merése nélkül nem ismerhetjük meg igazán magát a fát.Ô még tovább ment, a fa ültetôjét, a tudományos kuta-tót is szerette volna bemutatni, megismertetni, megsze-rettetni környezetével. Ennek legjobb módja, ha a ne-ves fizikus levélváltásait megkeressük, lefordítjuk ésközreadjuk. Györgyi Géza ennek is nagymestere volt. Alevelekbôl nemcsak a kutató ember élete tárul elénk,hanem nagyon sok szakmai kérdés is elôkerül.

Idézzük most ôt magát, idemásolva egyik írásánakbevezetô gondolatait.2

2 Györgyi G.: Wigner Jenô levelei Ortvay Rudolfhoz. FizikaiSzemle 22/2 (1972) 45–58.

„A Fizikai Szemle több ízben közölt visszaemléke-zést Ortvay Rudolfra. Ezeknek szerzôi egyöntetûenmint a hazai elméleti fizikai nagystílû reformátorára,szervezôjére emlékeznek rá, aki az elméleti fizikát Ma-gyarországon magas színvonalra emelte. Az elméletifizika száz esztendeje a pesti egyetemen címû tanul-mányból idézzük: »Ha ma az oktatók, kutatók, diplo-mamunkások és hallgatók benne élhetnek a lüktetô,sodró természettudomány atmoszférájában, azt azok-nak köszönhetjük, akik ezt megteremtették: elsôsorbanOrtvay Rudolfnak és Novobátzky Károlynak.« Ortvay aMatematikai és Fizikai Lapok fizika részének – melyeta Fizikai Szemle elôdjének vall – szerkesztôje, az Eöt-vös Társulatnak titkára volt. Ortvay Rudolf halálánakhuszadik évfordulóján megjelent megemlékezésébenBalázs Júlia írja: »Ortvay vehemensen, szenvedélyesenlevelezett a fizika és az azzal kapcsolatos tudományokmajdnem valamennyi problémájáról. Milyen nagy kár,hogy óriási levelezésébôl, melyet a világ legnagyobbtudósaival folytatott, olyan sok elpusztult! Mennyi érté-

kes levél, amelyeket ô olyan gondosan sok éven átelrakott, valóságos kincsesbánya lehetett, és megsem-misült!« Szerencsére kiderült: több világhírû tudós(Werner Heisenberg, Hevesy György, Max Planck, Wig-ner Jenô Nobel-díjasok) Ortvayhoz írott levelei meg-vannak; a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtáraôrzi ôket kéziratgyûjteményében. Ezek véleményünkszerint figyelemreméltó magyar és egyetemes tudo-mánytörténeti, valamint emberi dokumentumok. Feltét-lenül kívánatos, hogy Ortvay levelezésének még fellel-hetô része ugyancsak kerüljön közgyûjteménybe. Azalábbiakban Wigner Jenônek az 1929–39. években Ort-vay Rudolfhoz írt leveleibôl közlünk, a levélíró szívesengedélyével.

Wigner Jenô, a 20. század legkiemelkedôbb ma-gyar születésû fizikusa úttörô volt a csoportelméletimódszerek kvantummechanikai és magfizikai alkal-mazásában. A paritás, az idôtükrözés, a fermionterekantikommutátorai, a szuperkiválasztás felismerése azidôközben eltelt évtizedek tanúsága szerint a kvan-tumelmélet legmélyebb és leglényegesebb vonásairamutattak rá. Nem kevésbé jelentôsek és idôtállóak azatomenergia és magreakciók kutatása terén elért ered-ményei. Mindezek elismerését jelenti nem csak a No-bel-díj, hanem az az osztatlan tisztelet, amellyel a vi-lág fizikusai Wigner Jenôt mesterüknek vallják.

Wigner Jenô egyetemi tanulmányokat már külföl-dön folytatott, de az Ortvay Rudolffal való levelezéséveiben figyelemmel kíséri a hazai modern elméletifizikai kutatások kibontakozását. Többször részt veszés elôad az Ortvay-kollokviumokon. Tagja az EötvösLoránd Matematikai és Fizikai Társulatnak, egyes dol-gozatai itthon jelentek meg. Ma is több magyar fizi-kussal vált leveleket. Lapunk is több írását közölte.

Wigner Jenô 1902. november 17-én született Buda-pesten. Az egész tudományos világ gratulációihozcsatlakozva 70. születésnapján a Fizikai Szemle istisztelettel köszönti a nagy tudóst, a lap mindnyájunkáltal becsült íróját és olvasóját.”

A levelek közzétételének sorát a Max Planck Ma-gyarországon 3 címû írás követte. Az itt publikált leve-

3 Fizikai Szemle 22/10 (1972) 307–312.4 Fizikai Szemle 23/12 (1973) 357–370.5 Fizikai Szemle 25/5 (1975) 166–179.

leket Planck az 1936–43. években magyarországi láto-gatásaival és a MTA külsô tagjává való megválasztásá-val kapcsolatban írta Ortvay Rudolfnak, a budapestiTudományegyetem elméleti fizika professzorának.

A sort a Neumann János levelei Ortvay Rudolfhoz 4

publikáció követi. Ezért az írásáért Györgyi Géza posz-tumusz megkapta a Fizikai Szemle 1973. évi nívódíját.A nívódíjjal a Szemle szerkesztôbizottságában végzettmunkáját is elismerték: 16 éven át, haláláig tag és kétévig, 1964–65-ben fôszerkesztô-helyettes volt.

A levelek publikálásának sorát az Ortvay Rudolflevelei Neumann Jánoshoz 5 címû írás zárja, amelyGyörgyi Géza halála után két évvel jelent meg.

A levelezések megjelentetésének legméltóbb folyta-tása, ha válogatunk abból a 37 levélbôl, amit Wigner

KOVÁCS LÁSZLÓ: WIGNER JENO LEVELEI GYÖRGYI GÉZÁHOZ 157

Györgyi Gézának küldött. E leveleket az MTA Könyv-tára Kézirattára ôrzi.6 Lefordítottuk azt az egy levelet,

6 Jelzetük: MS 4160/1-35, Ms 5562/92-937 Ms 5562/378 www.omikk.bme.hu/archivum/wigner/htm/wignerindex.htm9 MBE OMIKK 2004.

amit szintén az MTA-n ôriznek: Györgyi Géza leveleWigner Jenônek.7 Györgyi Géza többi, Wignerhez írtlevele Amerikában lehet, megszerzésükre kísérletet tet-tünk, eddig nem jártunk sikerrel. Ezen levelek, néhánykivétellel megtalálhatóak a BME OMIKK Tudomány éstechnikatörténeti archívumában,8 illetve a teljes levele-zés rajta van A magyar tudomány és technika nagyjaisorozat Wigner Jenô (1902–1995) CD-jén.9

A legtöbb levél angol nyelvû, gépírásos, mert Wig-ner magyarul nem tudó titkárnôjének diktálta azokat.A titkárnô távollétében Wigner maga gépelte a levele-ket magyarul, illetve nyaralásakor, karácsonyi üdvöz-letként kézzel írta a magyar szöveget. Igyekeztünkvisszaadni a levelek eredeti formátumát, ez különösenaz elsô levélre igaz, ahol a fejléces papírt, a címzést is– és nem csak a tartalmi részt – rekonstruáltuk.

NATIONAL ACADEMY OF SCIENCES2101 CONSTITUION AVENUE

WASHINGTON 25. D. C.

Address Reply toP.O. BOX 131

WOODS HOLE. MASS.

1963. augusztus 9.

Dr. Györgyi GézaA Magyar Tudományos AkadémiaKözponti Fizikai Kutató IntézetePf.: 49.Budapest, 114, Magyarország

Kedves Dr. Györgyi!Nagyon szépen köszönöm július 22-i levelét,

amelyben engedélyt kér három cikkem újraközlésére,amelyekben én szerzô vagy szerzôtárs voltam. Na-gyon megtisztelônek éreztem, hogy ezt tette.

Ön természetesen tudja, hogy ebben az országbannem csak a szerzô, hanem a kiadó engedélyét is kérnikell, azonban nem gondolom, hogy önnek nehézsé-gei lennének.

Levelét egy csehszlovákiai kórházból írta, de remé-lem, ez nem azt jelenti, hogy beteg.

A legjobbakat kívánva,igaz tisztelettel,

[aláírás]Eugene P. Wigner

– ✧ –1964. január 8.

Kedves Dr. Györgyi!Nagyon szépen köszönöm november 8-i levelét,

amely néhány nappal ezelôtt érkezett meg. Ez két

cikkem fordítását tartalmazza: egy nagyon régit a Z. f.Physik folyóiratból és egy újat, amely, remélem, mostfog megjelenni a közeli jövôben az 1962. évi SolvayReportban. Természetesen nagyon büszke vagyokarra, hogy ezek a cikkek megjelennek magyarul. Afordítást egészen kiválónak találom, és azzal nagyonmeg vagyok elégedve. Csak néhány hely van, ahol –érzésem szerint – a szöveget nem reprodukálták pon-tosan, és természetesen van néhány gépelési hiba.Számos javítást tettem ceruzával, itt küldöm a kérdé-ses oldalakat. A kézirat többi részét normál levélkéntküldöm. Feltételezem, hogy a kézirat másolatát meg-kapta, nagyon csodálom azt a pontosságot, amellyel aképleteket tintával beírták.

Csupán néhány általános észrevételt szeretnék ten-ni. A legfontosabb ezek közül a „angular momentum”fogalmának fordítása „impulzusmomentum”-ként.Amikor én rendszeresen olvastam magyar fizikai mû-veket, akkor az „angular momentum”-ra a „forgatásimomentum” volt a helyes kifejezés. Természetesen anyelv változik, de errôl nem vagyok tájékozott.

Azt is szeretném javasolni, hogy aZ. f. Phys. 45, 601 (1927)

helyreigazítást (Berichtigung), amely közvetlenül acikk után következik, fordítsák le és közöljék a cikkelegyütt.

Ez a hiba, természetesen, meglehetôsen komoly,ezenkívül a cikkben csak egy másik tévedést talál-tam. Ez az ön fordításában a 26. oldalon van és arrólszól, hogy a He és a H csak normál energianívókonlétezik. Ez igaz a H-ra, de nem a He-ra. Ez utóbbiesetben csak az L = 0 energianívó (term) létezikegyedül, mint normál term – a magasabb L mind nor-mál, mind pedig abnormál esetben létezik. Nem tu-dom, hogy követhettem el ezt a hibát, mivel azt hi-szem, hogy már akkor világos volt ez elôttem. Azon-ban ismét kérem, hogy a fordító egy javítási jegyzetettegyen hozzá.

Végül engedje meg, hogy megköszönjem az önkedves gratulációját. Nagyra értékelem elismerését.

Igaz tisztelettel,[aláírás]

Eugene P. Wigner– ✧ –

1964. február 21.Kedves Dr. Györgyi!

Most kaptam meg két másik cikkem fordítását: Azelemi részek sajátparitása [Intrinsic Parity of Elemen-tary Particles] és A matematika meghökkentô haté-konysága… [The Unreasonable Effectiveness of Ma-thematics…]. Mindkét fordítást élveztem és néhányhelyen azokat nagyon meglepônek találtam és jobb-nak, mint az eredeti. Valóban nagyra becsülöm a for-dítót, bárcsak ismerném ôt!

Azonban úgy tûnik, hogy néhány helyen a fordítástúlságosan tapad az eredetihez és ezeket a helyeketnehéz olvasni. Az angol nyelvben van egy írásmód, abeillesztett mellékmondat, amelynek nincs magyarmegfelelôje. Rettenetesen nehéz fordítani, de azt gon-dolom, ha a fordító még egyszer átnézi a szöveget,


akkor azt simábbá és könnyebben olvashatóvá tudjatenni. Ez kevésbé vonatkozik a „paritásról” szólócikkre inkább a „meghökkentô hatékonyság…” cikk-re. Teljesen tisztában vagyok azzal, hogy magyar tu-dásomnak sokat ártott az, hogy huzamosan távol élekMagyarországtól. Azt gondolom, hogy néhány javasla-tomat a fordító vagy figyelembe veszi vagy nem.Azonban azt hiszem, ha most ennyi idô után újraol-vassa, megtalálja a lehetôséget a néhány nehézkesrész elhagyására és a fordítás könnyedebbé tételére.

Függetlenül attól, hogy ki a fordító, remélem nemveszi szívére ezeket a megjegyzéseket. Amint mond-tam, a fordítás bizonyos helyeken felette áll az erede-tinek, de szeretném, ha mindenütt kiváló lenne.

Ismét köszönöm ebben a témában az érdeklôdését,maradok,

igaz tisztelettel,[aláírás]

Eugene P. WignerP.S. Kaptam egy karácsonyi üdvözlô kártyát, amelyetnagyon szívesen megválaszolnék, ha nem ebben azévben akkor jövôre. Sajnos nem tudom elolvasni azaláírást. Tudna segíteni nekem? Mellékelem a lapot.[Györgyi Géza kézírásával] (Szigeti György)

– ✧ –1964. május 7.

Kedves Dr. Györgyi!Engedje meg, hogy legôszintébben megköszönjem

az ön szép elméleti magfizikai könyvét, amely mostérkezett. Régóta nem olvastam modern magfizikaikönyvet és várom, hogy végigolvassam az önét. El-küldhetem önnek, valóban csak egy kis ellentétele-zésként, néhány jelenlegi cikkem reprintjét? Tudom,hogy azok közül a legtöbb kevésbé érdekli önt, delehet egy-kettô amelyet ön el akar olvasni.

Tisztelettel,[aláírás]

Eugene P. WignerMagyarul is küldöm üdvözletemet. Érdekelné egynémet fordítása az Eisenbud–Wigner könyvnek? [kéz-írással, magyarul]

– ✧ –1964. május 12.

Kedves Dr. Györgyi!Nagyon szépen köszönöm az ön kedves levelét,

valamint Dr. Szigeti nevét és címét. A közeljövôbenírok neki.

Örülök, hogy észrevételeim segítettek az ön általküldött fordításokban. Remélem nem volt túl nehézfigyelembe venni azokat. Nagyon megtisztelne, ha aNobel-elôadásomat is közreadná a Fizikai Szemlében.Azt már publikálták, vagy folyamatban van Németor-szágban, Svédországban és itt az Egyesült Államok-ban. Nem tudom, vajon szívesen venné, hogy néhányhelyen változtassak rajta. Ha igen, kérem, tudassa, éshamarosan küldök egy módosított kéziratot.

Ezzel egy idôben írok a kiadónak, Akadémiai Ki-adó [kézírással magyarul], kérve ôket, hogy tiszteletdí-jamat egy volt tanáromnak, Dr. I. Oppelnek küldjék.Remélem, hogy ez lehetséges.

Végül engedje meg, hogy megdicsérjem az angol-tudását. Én kemény munkával („by the sweat of mybrow”) tanultam a nyelvet, nagyon érzékeny vagyok apontatlanságokra és a nyelvtani hibákra. Az ön leveletökéletes.

Ôszinte üdvözlettel –[aláírás]

Eugene P. Wigner– ✧ –

1964. szeptember 15.Kedves Dr. Györgyi!

Nagyon köszönöm, hogy megküldte az Események,természettörvények és invarianciaelvek (Events, Lawsof Nature and Invariance Principles) [1963. évi Nobel-elôadás] fordítását. Angolul válaszolok, mert azt sze-retném, hogy ezt minél elôbb megkapja. Úgy látom,amint azt vártam is, a fordítása egészen kiváló, ésbüszkeséggel tölt el, hogy idôt szánt arra, hogy sajátmaga fordítsa le a tanulmányomat. Éppen most kap-tam meg azt a Fizikai Szemlét, amely A matematikameghökkentô hatékonysága a fizikában cikkem for-dítását tartalmazza (The Unreasonable Effectivenessof Mathematics in the Physical Sciences). A fordításnemcsak kiváló, de egyenesen tökéletes.

A fordításban nagyszámú változtatást javasoltam.Ezek nem szörnyen fontosak, de az én ódivatú nyelv-tudásom szerint a szöveget gördülékenyebbé teszik.Ha úgy érzi, hogy ezekkel nem ért egyet, részemrôlrendben van; de miután a fordítását gondosan átol-vastam, úgy gondoltam, hogy helyes megtenni azo-kat. Azokban az esetekben, ahol kétségeim voltak,kérdôjelet tettem a margóra a szokásos vonal helyett.Teljessé tettem a 7 és 8 jelû lábjegyzeteket.

Legjobbakat kívánva, üdvözlettel,tisztelettel,


– ✧ –1967. március 26.

Kedves Györgyi Kolléga!A hét elejére jött meg levele Princetonba és emlé-

keztetett az Eisenbud–Wigner könyvre. Már épen egymérges levelet akartam írni a kiadónak, tiltakozva,hogy még mindig nem jött meg a korrektúra, amikormásnap megjött. Itt van most velem, egy konferen-cián, és ahogy visszajutok Princetonba, lemásoltatomés elküldöm a másolatát.

A konferencia itten a nukleonok között ható erôk-kel foglalkozik. Ezek szerepe a magfizikában még egyév elôtt – csodálatosképen – nagyon csekély volt. Azutolsó évben Talmi, Brown és Bethe megmutatták,hogyan lehet ezen erôk ismeretét felhasználni a ma-gok struktúrájának és spektrumának megmagyarázá-sára. Ez a téma rendkívül mostohán van kezelve azEisenbud–Wigner könyvben.

Remélem, hogy jól érzi Magát Triesztben és hogyérdekes az ott-tartozkodás.

Igaz tisztelettelWigner Jenô

[a kézírásos levél facsimiléje a következô oldalon]


– ✧ –1969. április 24.

Kedves Dr. Györgyi!Legôszintébben szeretném megköszöni az Az

atommag szerkezete hasáblevonatát. Nagyon örülök,hogy megkaptam, és csodálom az ön fordítási készsé-gét. Tudom, hogy az milyen nehéz.

Ôszinte tisztelettel,[aláírás]

Wigner Jenô– ✧ –

1969. december 31.Kedves Dr. Györgyi!

Nagyra becsüljük az önök karácsonyi üdvözletét ésaz Eisenbud–Garvey–Wigner könyv egy példányát azön fordításában, amely most érkezett. Ez tulajdonkép-pen a könyv naprakészebb változata, mint bármi más,amit ismerek, és várom, hogy a következô félévi elô-adásaimon felhasználhassam.

Szintén köszönöm az információt a Szimmetriákés reflexiók (Symmetries and Reflections) fordításá-ról. Szükségtelen mondanom, büszkeséggel tölt el,hogy érdekli ez a mû, amely végül is technikailagnem bonyolult. Dr. Nagytól megkaptam fordításánakegy példányát, éppen mielôtt a karácsonyi rohanásmegkezdôdött, de eddig nem volt idôm, hogy kellôgondossággal átnézzem. Nagyon várom, hogy meg-tehessem.

Minden jót kívánva az új évre,tisztelettel,


– ✧ –

1970. július 30.Kedves Dr. Györgyi!

Nagyon köszönöm június 30-i levelét, amelyet egynagy kirándulásból visszatérve találtam. Közbevetem,hogy e kiránduláson az ön kollégájával, Dr. Frenkelleltalálkoztam, és mély benyomást tett rám a tudása éskedvessége is. Megpróbálunk közös cikket írni, demég nem vagyok biztos abban, hogy gondolatainkmár teljesen kikristályosodtak.

Megtisztelô érzés lesz, ha publikálni fogja az önáltal említett, Neumann-nal közös cikkemet, valamintaz American Journal of Mathematicsban közölt sajátírásomat.

Ôszinte tisztelettel,[aláírás]

Wigner Jenô– ✧ –

1972. február 25.Kedves Györgyi Kolléga!

Ez bizony nagyon késôi válasz január 11-i levelére.A hét elején írtam az Ortvay levelekrôl, azóta valamibuta betegségem volt, ezek a kifogásaim.

Mindenekelôtt nagyon köszönöm a Kvantumme-chanika könyvet. Még alig olvastam benne, de amitolvastam, sok mindenre emlékeztetett, és sok örömetokozott. Ami legjobban meglepett, az az, hogy Neu-mann Jancsi dolgozataira emlékeztem legkevésbé.

Kissé nehezemre esik a „klasszikus irodalom” szá-mára választott dolgozatokról véleményt mondani. Azén dolgozataim nagyon elôtérben vannak, de perszeezeket ismerem legjobban. Megengedné, hogy Barg-mannak és Wighamannak írjak tanácsért; ôk objektí-vebben tudják megítélni a helyzetet?


Ami a fizika történetének jelentôségét illeti, mellé-kelem egy levél másolatát, amit az American Instituteof Physics felhívására írtam. Talán tudja valami hasz-nát venni a vitáiban.

Ami a h → 0 határesetét illeti a kvantummechani-kának, ebben attól tartok, a nézetem különbözik sokmás nézettôl. Én úgy látom, hogy ebben a határeset-ben csak a mozgási egyenletek veszik fel a klasszikusalakot, az állapotok sokasága ebben a határesetben issokkal kiterjedtebb, mint a klasszikus fizikában. Ami-kor a h → 0 határesetet azonosítjuk a klasszikus me-chanikával olyan állapotok szemléltetésére szorítko-zunk, melyeknek van klasszikus leírása. Csak ebbenaz értelemben igaz az, hogy a klasszikus mechanikahelyettesítheti a kvantummechanikát. Ha van kételektronsugár, egyikben a spin felfelé, a másikbanlefelé mutat, de ha interferenciát alkotunk közöttük, aspin jobbra mutat – ez olyan állapot, aminek nincsenklasszikus leírása és lehet ilyen állapotokat, ha akvantummechanika helyes, makroszkopikus testekreis létrehozni. De tudom, ez Önnek nem újság.

Remélem jól vannak mindnyájan. Mi is jól vagyunk,csak nekem túl sok a dolgom.

Sokszor üdvözli és melegen[aláírás]

Wigner Jenô[Wigner által gépelve, az ékezetek kézírással.]

Györgyi Géza levele Wigner Jenôhöz

Kedves Wigner Professzor!A Szimmetriák és reflexiók (Symmetries and Reflec-

tions) magyar kiadásának hasáblevonatait az iméntkaptam meg. Úgy gondoltam, hogy meg kell írjam ön-nek ezt a jó hírt.

A Magyar Fizikai Folyóirat szerkesztôje Turchányiprofesszor arról az elhatározásáról értesített, hogy Aklasszikus irodalomból sorozatot folytatja. Az ön for-gásokról és az impulzusmomentumról szóló korábbisorozatai után teljesen természetes, hogy a Lorentz- ésa Galilei-csoportokról szóló új sorozattal folytassuk.Csatolok egy tervet errôl a javasolt sorozatról, amelyetszeretném, ha jóváhagyna. Ezen cikkekbôl ön hármatsaját maga írt, a publikáláshoz a jogi hátteret az Aka-démiai Kiadó adja. Az én feladatom az, hogy e válo-gatás tudományos oldaláról kérdezzem véleményét.Szükségtelen mondanom, nagyon hálásak lennénk azön szíves engedélyéért, hogy publikálhassuk a Lo-rentz- és a Galilei-csoportokról szóló sorozatot a Ma-gyar Fizikai Folyóiratban.

Épp most érkezett meg december 27-i levele. Sze-retnék köszönetet mondani a kedves szavaiértugyanúgy, mint a gépelési és az egyéb hibákra tettmegjegyzéseiért. Elnézést kérek, hogy nem válaszol-tam az augusztus 21-i és szeptember 17-i levelére, deúgy gondoltam, jobb, ha nem keresztezem az ön ésMarx professzor levelezését a levelek kiadásánaktárgyában. Postáztam egy kötetet, amelyet az Akadé-miai Kiadó most publikált, ez a kvantummechanikára

vonatkozó klasszikus írásokat tartalmazza (kettôtközülük J. v. Neumann írt).

Az Akadémia levéltárának vezetôje, Dr. Csapodinagyon örül, hogy Ortvay önhöz írt levelei valószínû-leg megvannak az ön irattárában. Ez az anyag valószí-nûleg iránymutatást ad sokunknak; mindenesetreteljessé tenné azt az anyagot, amelyet jelenleg a Le-véltárban ôriznek.

Dr. Csapodi a J. v. Neumann által Ortvaynak írtleveleket is szeretné betenni az Akadémia gyûjtemé-nyébe. Ortvay unokatestvérének özvegyénél vannakezek a levelek. Dr. Csapodi, aki történész, meggyôzteaz Akadémia számos nem természettudós tagját ezendokumentumok fontosságáról.

Amikor beszéltem neki az ön kedves érdeklôdésé-rôl és önnek a Clark által az Einsteinrôl írott könyvrevonatkozó hivatkozásáról, Dr. Csapodi azt gondolta,hogy nagyon hasznos lenne, ha megengedné, hogyvéleményét errôl a kötetrôl és az ilyen dokumentu-mok fontosságáról – különösen a Neumann-levelekvonatkozásában – idézhesse. (Esetleg a Wigner- és avon Neumann-leveleket együttesen publikálhatjuk.)

Talán mi túl sokat kérünk öntôl. Remélem, megbo-csátja lelkesedésemet. Dr. Ortvay több mint 25 évvelezelôtt halt meg, és ama hosszan tartó kapcsolat –amelyet ô korunk egyik legnagyobb matematikusávalfenntartott – dokumentumai még hozzáférhetetleneka tudományos közösség számára. Ahogy én tudom,ezek a levelek nagyon érdekesek, és utalásokat tartal-maznak a kvantummechanikára, az oksági, teleologi-kus leírásra, az agy szerkezetére stb. stb.

Egy kis részleges eredményt már elértünk: Dr. Ort-vay unokatestvérének özvegye már letétbe helyezettnéhány más levelet a levéltárban. Ezek közül egyet önírt 1936-ban Madisonból, csatolom annak egy fénymá-solatát. Néhány levél MAX PLANCK-tól származik! Önmegérti azt a mély érzést, amikor ezeket a kézírásokatkezembe vehettem. Talán megengedi, hogy néhánysort idézzek, amelyet a 86 éves Planck írt Ortvaynak.

„Ebbôl az alkalomból még engedje meg, hogy egytudományos kérdésben a véleményét kérjem. Az elô-adásaiban gyakran beszél a hullámok és a részecskékközötti dualizmusról. A dualizmus ezen elve szerintaz ember választhat, hogy egy elektront vagy hullám-nak, vagy részecskének tekintsen és mindkét szemlé-letmód egyenjogú és olyan jelenségekre vezet, ame-lyek egyeznek a helyes eredményekkel. Csak azt kér-dezem: a dualitás ezen törvénye, hogyan egyezik az-zal a körülménnyel, hogy a részecskeelmélet a hul-lámelmélet egy speciális esete (h = 0). Egy speciáliseset azonban nem lehet egyenjogú az általános eset-tel. Inkább azt kellene gondolnunk, hogy a hullámel-mélet elônyt élvez a részecskeelmélettel szemben ésakkor már nincs többé szó valódi dualitásról. Nos, énnagyon hálás lennék, ha – akár röviden is – errôl apontról megírná véleményét, amelynél bizonyos ne-hézségeket érzek.” [az idézett rész németül]

Ma is nagyon ritkán talál az ember e pontra vonat-kozó teljes tárgyalást. Számomra A mérés problémája(The Problem of Measurement) (Symmetries and Ref-


lections, Bloomington, p. 162.) címû tanulmányhoz írt10-es lábjegyzet a legvilágosabb. Sok mai szerzô iskifejezi azt a vágyát, hogy a klasszikus határt h → 0,amelyet itt a h felfedezôje említ, részleteiben vizsgál-ják és nagyobb pontossággal fogalmazzák meg. Pél-dául Van Hove:

„A klasszikus elméletnek úgy kell elôállnia, mint akvantumelmélet aszimptotikus határesete, amikor a htart a nullához. A jól ismert megfontolások is csak eztfejezik ki formálisan. Ugyanakkor el kell ismerni,hogy ez a pontos matematikai átmenet egyáltalánnem jól ismert eljárás, és hogy ezzel kapcsolatbanvannak olyan kérdések, amelyek megérdemelnék aközelebbi vizsgálatot. Ezeket azonban itt most nemkezdjük el. (Memoires, Ac. Roy. De Belgique, Classedes Sciences, 26 (6) 1951. P 67.)” [az idézett rész fran-ciául]

G. W. Mackey könyve, The Mathematical Founda-tions of Quantum Mechanics (Benjamin, New York,1963) 2–6 fejezetének utolsó paragrafusát is idézhet-jük. „Emlékszünk – írja ô –, hogy ha a kvantumme-chanika a H (= Hilbert-tér) automorfizmus egy para-méteres csoportjaira vonatkozik, akkor a klasszikusmechanika egy másik tárgy automorfizmusának egyparaméteres csoportjára szorítkozik, amelyet lényegé-

ben az M -en definiálunk (= a lehetséges konfigurá-ciók absztrakt készlete lényegében a M kiegészítôhalmaza). A klasszikus és a kvantumleírás összeha-sonlítása után erre a következtetésre jut. Nagyon ér-dekes lenne a precízen megfogalmazott elmélet bizo-nyítása ezen gondolat mentén.

Remélem, megbocsát nekem; a kérdéseknek ezt azújbóli felbukkanását hasonlónak találom ahhoz,ahogy Planck 30 évvel ezelôtt meglepô módon levelé-ben felvetette. Planck levelei is meg fognak jelenni aFizikai Szemlében.

Az ön kérdése, vagy inkább javaslata – amelyetaugusztus 21-i levele tartalmazott – nagyon zavarbahozott. Soha nem voltam Amerikában, bár tudom,hogy milyen érdekes volt néhány barátom ottani tar-tózkodása – például Dr. Marx, Nagy és Németh Judit(akik egy-egy évet töltöttek rendre a stanfordi, prince-toni és cornelli egyetemen). De én nehezen vállalko-zom ilyen utazásra saját kezdeményezésként.

A feleségem meglátogatta Szemere kisasszonytkarácsony körül és nagyon örült, hogy ôt jobb egész-ségi állapotban találta. – Sok köszönettel, ôszinte tisz-telettel

Györgyi Géza[angol nyelvû, kézírással]

A FIZIKA TANÍTÁSA

ALKALMAZHATÓ-E A BIOT–SAVART-TÖRVÉNYNEM ZÁRÓDÓ »ÁRAMKÖRÖKRE« – II. RÉSZ

Gnädig PéterELTE Fizikai Intézet

Cikkünk I. részében megmutattuk, hogy a Biot–Savart-törvény nemcsak zárt áramkörben folyó egyenáramok-ra, hanem idôben (lassan) változó és töltésfelhalmozó-dással járó (nem divergenciamentes) árameloszlásokrais alkalmazható. Ez utóbbi esetekben az idôben változótöltéssûrûség változó elektromos erôteret hoz létre,amit – Maxwell megfontolásai szerint – a valódi ára-mokra emlékeztetô, úgynevezett eltolási áramok meg-jelenése kísér. Ezek az eltolási áramok azonban a Biot–Savart-törvényben nem jelennek meg, a mágneses térkiszámításánál figyelmen kívül hagyhatók. (Ha mégisbeírjuk az eltolási áramokat a Biot–Savart-integrálba,nem kapunk hibás eredményt, mert az eltolási áramokjáruléka tetszôleges esetben nulla.)

Az eltolási áramok szerepe a mágneses indukcióörvénylését leíró Maxwell-egyenletben jelentkezik:tetszôleges zárt görbére számított mágneses körfe-szültség (örvényerôsség) a görbére illeszkedô, tetszô-

leges felületen átfolyó áram erôsségével arányos (an-nak μ0-szorosa), és itt az „átfolyó áram” a valódi ára-mok mellett az eltolási áramot is tartalmazza.

Néhány példa

A továbbiakban néhány példán keresztül bemutatjuk,hogyan mûködnek az általános elvek bizonyos konkrétesetekben. Két esetben olyan példát választottunk,amelyek az áramelrendezés szimmetriája miatt (bizo-nyos közelítésben) ténylegesen végigszámolhatóak, ésígy a Biot–Savart-törvénybôl kapható eredmények ösz-szehasonlíthatóak az Ampère-féle gerjesztési törvény-bôl3 ismert képletekkel. A harmadik példa egy szabály-

3 André-Marie Ampère (1775–1836) 1826-ban ismerte fel az áramve-zetôt körülvevô mágneses tér és az áramerôsség közötti kapcsolatot.


talan alakú „csokimikulás” töltésének elvesztése köz-ben kialakuló mágneses mezôt vizsgálja; ennek ered-ménye pedig éppen azért meglepô, mert itt az áramel-oszlás semmilyen szimmetriával nem rendelkezik. Azutolsó példában egy mozgó ponttöltés mágneses terétvezetjük le a Biot–Savart-törvény segítségével.

1. példaEgy párhuzamosan, függôlegesen elhelyezett le-

mezpárból álló kondenzátor fel van töltve. A lemezekalsó széle alatt kis iránytû áll a 4. ábrán látható hely-zetben. Ezután a lemezek tetejére helyezett kis pálcá-val a kondenzátort kisütjük. Három fizikus, Aladár,Boldizsár és Csaba azon vitatkozik, vajon hogyanviselkedik kisütés közben az iránytû?

Aladár szerint a vezetô pálcában folyó áram által

4. ábra.

ÉD

+

–

keltett mágneses mezô az iránytû északi pólusát a 4.ábra síkjára merôlegesen, „befelé” téríti ki.

Ez azonban hibás érvelés! – mondja Boldizsár,hiszen nemcsak a pálcában folyó áram mágneses terehat az iránytûre a kisülés közben, hanem a kondenzá-tor belsejében fellépô Maxwell-féle eltolási áram is.Ez az „elkent”, a pálcában folyó valódi árammal azo-nos nagyságú, de azzal ellentétes irányú áram min-denhol közelebb van az iránytûhöz, mint a pálca,ezért mágneses hatása erôsebben érvényesül. Eszerintaz iránytû északi pólusa a kisülés alatt az ábra síkjából„kifelé” mutató irányban térül el.

Csaba szerint az eltolási áramokat nem, de a leme-zekben folyó „valódi” áramokat figyelembe kell ven-nünk a mágneses mezô kiszámításánál, és ezek (apálcában folyó árammal együtt) nulla mágneses tereteredményeznek a kondenzátor alsó széle alatt.

Vajon melyiküknek van igaza?Megoldás: A cikkben leírtak alapján beláthatjuk,

hogy Aladár téved, de Boldizsár érvelése is hibás! Azeltolási áram – legalábbis a Biot–Savart-törvény általsugallt módon, a kicsiny áramelemek járulékainakösszegét képezve – nem állít elô semmilyen mágne-ses teret, hatása tehát figyelmen kívül hagyható.(Sajnos a jelen cikk szerzôje is elkövette ezt a hibát:4

4 Gnädig P., Honyek Gy., Vigh Máté: 333 furfangos feladat fizi-kából. Typotex Kiadó, Budapest, 2014, 315. feladat.

a kérdéses feladatot is tartalmazó könyvben a Bol-dizsár-féle, logikusnak tûnô, de téves érvelést fo-gadta el.)

Mi történik akkor valójában? Csabának van igaza:az iránytû egyáltalán nem fog kitérni a kondenzátorkisülése közben! (Ez az állítás természetesen nemabszolút pontosan igaz, hanem csak kis lemeztávol-ságok esetén, amikor a széleffektusokat elhanyagol-hatjuk.)

Tekintsünk egy keskeny, lapos, feltöltött síkkon-denzátort, amelyet a tetején egy (nem túl jól vezetô)lemezzel rövidre zárunk (5. ábra ). A rövidrezárásezen módja nem különbözik lényegesen a feladatbaneredetileg szereplô pálcáétól, elônye viszont, hogymegôrzi a síkkondenzátor „eltolási szimmetriáját”. Akondenzátor tetejét összekötô vízszintes lemez sokpárhuzamos „pálcára” bontható, és az egyes pálcák-hoz tartozó áramok és mágneses terek szuperpozí-ciója kiadja a lemeznek megfelelô elrendezését.

Jelöljük a felsô lemezben folyó összes áram erôssé-

5. ábra.

I t( )

i r( , )t

b

a

d

x

y

z

i0i0

gét I (t )-vel, ennek nagyságát a kondenzátor pillanat-nyi feszültsége és a lemez ellenállása határozza meg.Feltesszük, hogy a kisülési folyamat idôállandója nemnagyon kicsi, emiatt alkalmazható a kvázistacionáriusközelítés. A vékony lemezekben folyó áramokat cél-szerû az úgynevezett vonalmenti áramsûrûséggel(egységnyi vonalszakaszon átfolyó áram erôsségével)jellemezni. (Az amper/méter dimenziójú vonalmentiáramsûrûséget a továbbiakban i-vel fogjuk jelölni és –ha ez nem okoz félreértést – egyszerûen áramsûrû-ségként emlegetjük.)

Mivel az elrendezés a szélek közvetlen közelét le-számítva x irányú eltolásra invariáns, a fizikai mennyi-ségek (az áramsûrûségek, töltéssûrûségek, elektro-mos és mágneses térerôsségek) nem függenek az xkoordinátától. A felsô (rövidrezáró) lemezen például

Feltehetjük, hogy a kondenzátor lemezei jó veze-

i(fent) = i0 =⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

0, I (t )b

, 0 .

tôk, ezért külön-külön ekvipotenciálisak, és emiattközöttük homogén (de idôben változó), y irányúelektromos térerôsség alakul ki. Emiatt a lemezek

A FIZIKA TANÍTÁSA 163

felületi töltéssûrûsége (ami az elektromos térerôs-séggel arányos) sem függhet a helytôl, így a leme-zekben folyó vonalmenti áramsûrûség divergenciája(z koordináta szerinti változási üteme) mindenholugyanakkora. A határfeltételeket is figyelembe vévemegadhatjuk a bal és jobb oldali lemezben folyóáramok eloszlását:

A függôleges lemezekben folyó áramok nagysága a

i(jobb) (z, t ) = − i(bal) (z, t ) =⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

0, 0, − I (t )a b

z .

lemez alja felé haladva fokozatosan nullára csökken(erre utalnak az egyre rövidebb nyilak és a lemezekaljára rajzolt fekete pontok, nullvektorok), és acsökkenés üteme (a felületi töltések egyenletes tér-beli eloszlása miatt) a z koordináta szerint egyen-letes.

Számítsuk most ki a mágneses indukciót a Biot–Savart-törvény alapján az r0 = (x0,y0,z0) vektorralmegadott helyen. Egyetlen (mondjuk a bal oldali)lemezben folyó áramok járuléka az 5. ábrán láthatókoordináta-rendszerben:

Ez az integrál (y0 << a, b miatt) az x ≈ x0 és z ≈ z0 tar-

B(bal lemez) (r0, t ) =μ0

4 π ⌡⌠0

−b

dx ⌡⌠a

0

dzi(bal) × (r0 − r)

r0 − r 3=

=μ0

4 πI (t )a b ⌡

⌠ dx ⌡⌠ dz

−z y0, z (x − x0), 0

(x − x0)2 y 2

0 (z − z0)2

3/2.

tományból „szedi össze” szinte a teljes járulékát, atávolabbi részek járuléka (az integrandus lecsengésemiatt) elhanyagolható. Emiatt az integrálások határaitakár a végtelenbe is „kitolhatjuk”, ez a közelítés tulaj-donképpen a széleffektusok elhanyagolásával egyen-értékû.

A mágneses indukció y komponense (mivel az in-tegrandus x−x0 páratlan függvénye) eltûnik, B tehát alemezzel párhuzamos, vízszintes irányú vektor. Egyet-len nullától különbözô összetevôje a

új változók bevezetésével így számolható:

ξ =x − x0

y0

és η =z − z0

y0

Az integrál elôjele y0 elôjelétôl függ: a bal oldali lemez

B (bal lemez)x =

= −μ0

4 πz0 I (t )

a b

y0

y0⌡⌠∞

−∞

dξ ⌡⌠∞

−∞

dη 1(ξ2 η2 1)3/2

=

= 12

μ0 I (t )

a bz0.

jobb oldalán (amikor y0 > 0) a mágneses indukció azx tengellyel ellentétes irányú, a lemez bal oldalánpedig x tengely irányú.

Hasonló módon számolható a jobb oldali lemezbenfolyó áramok járuléka:

A teljes mágneses tér a két járulék szuperpozíciója

B (jobb lemez)x = ± 1

2

μ0 I (t )

a bz0.

lesz. Ez a lemezeken kívül nulla, a lemezek közöttpedig

A felsô (a kondenzátor kisülését megvalósító) le-

B (középen)x (z, t ) = −

μ0 I (t )

a bz = B (max)

x (t ) za

.

mezben folyó áram járulékával eddig nem foglalkoz-tunk. A kondenzátor felsô szélének közvetlen kör-nyezetét leszámítva az nem is számottevô, ott vi-szont éppen . Másrészt viszont a konden-± B (max)

x /2zátor felsô szélénél a függôleges lemezekben folyóáramok hatása csak fele a korábban számított érték-nek. (Ez a „széleffektus” legegyszerûbben úgy látha-tó be, hogy gondolatban kiegészítjük a félvégtelenlemezt egy ugyanolyan árameloszlású másikkal.) Ahárom lemez áramának eredô mágneses tere tehát afelsô, vízszintes lemez felett nulla, közvetlenül alat-ta pedig nagyságú lesz. Ugyancsak eltûnik aB (max)

x

mágneses tér a kondenzátoron kívül és a kondenzá-tor alatt is, ahogy ezt a 6. ábra szemlélteti. (Az áb-rán a szürkítés erôssége a mágneses indukció nagy-ságával arányos.)

A kisütés során kialakuló mágneses mezô az irány-tû helyén mindvégig nulla lesz, tehát egyáltalán nemtéríti ki az iránytût.

Természetesen sokkal egyszerûbben is meghatá-

6. ábra

B z,t =z

B t_ax x( ) ( )(max)

B t( )max

x ( )

z = 0

z

z a=

Bx = 0

Bx = 0

Bx = 0

Bx = 0

rozhatjuk a kisülô síkkondenzátor mágneses terét.Elôször belátjuk, hogy a kondenzátoron kívül nincsszámottevô mágneses indukció. Ha ugyanis csak azegyik (mondjuk a jobb oldali) lemezben folyna (füg-gôlegesen lefelé) áram, akkor ez az áram a lemezközelében a lemezzel párhuzamos, vízszintes irányúmágneses indukciót hozna létre. Az indukcióvonalakegyike például a 7. ábrán látható G1 görbe menténzáródna. A mágneses indukció a görbe két egyenes


szakaszán (a közelítôleg érvényes eltolási invarianciamiatt) ugyanakkora nagyságú, de a lemez két oldalánellentétes irányú. Fontos megjegyeznünk, hogy azindukció nagysága (a lemez szélének közvetlen kör-nyezetét leszámítva) nem függ a lemeztôl mért távol-ságtól, hiszen a görbére illesztett vízszintes felületenátfolyó áram sem függ ettôl az adattól.

Vegyük most figyelembe a másik (bal oldali) lemez-

7. ábra

G1

G2

F1

F2

E·

E·

i r( )

I t( )

ben függôlegesen felfelé folyó áramokat is. Ezek (ugyan-abban a magasságban) éppen ugyanakkora nagyságú,de ellentétes irányú mágneses teret hoznak létre, mint ajobb oldali lemez áramai. A két mágneses mezô szuper-pozíciója a lemezeken kívüli térrészben – jó közelítés-sel – kioltja egymást (hiszen az egyes lemezek mágne-ses tere nem függ a lemeztôl mért távolságtól), a leme-zek között pedig a két térerôsség összeadódik.

A kondenzátor belsejében tehát a lemezekkel pár-huzamos, vízszintes irányú mágneses mezô alakul ki.A B indukcióvektor nagyságát a kondenzátor aljától ztávolságra lévô G1 görbére alkalmazott integrális Max-well-egyenletbôl (az eltolási árammal kiegészítettAmpère-féle gerjesztési törvénybôl) olvashatjuk le. Amágneses örvényerôsség (körfeszültség):

A G1 görbére többféle módon is illeszthetünk felüle-G1

B Δ r = Bx (z, t ) b.

tet. Ha a vízszintes síkban fekvô F1 felületet választ-juk, azon a teljes I (t ) áram z /a hányada halad keresz-tül, az eltolási áram pedig nem metszi a felületet. Agerjesztési törvény (a jobbkézszabály elôjelét is figye-lembe véve) most így alkalmazható:

összhangban a Biot–Savart-törvény alapján számított

Bx (z, t ) b = −μ0 I (t ) za

, vagyis

Bx (z, t ) = −μ0 I (t )

a bz,

értékkel. Ha viszont az F2 felületet (egy éppen hogycsak kinyitott uzsonnás zacskóra emlékeztetô, a le-mez zb területû részét körülvevô alakzatot) illesztjüka G1 görbére, azon egyáltalán nem folynak át valódi

áramok, viszont az eltolási áram ad (a z koordinátávalarányos nagyságú felületen) járulékot.

Ha csak arra vagyunk kíváncsiak, hogy mekkora amágneses indukció közvetlenül a kondenzátor alatt,érdemes a lemezek felezôsíkjában, a 7. ábrán láthatóG2 görbén átmenô függôleges síkfelületre alkalmaznia gerjesztési törvényt. A görbe alsó, vízszintes szaka-sza közvetlenül a kondenzátor aljánál, a felsô szaka-sza pedig a kondenzátortól „elegendôen messze” zá-ródik (bár ez utóbbi távolságot az ábrán nem méret-arányosan ábrázoltuk). Az összes (valódi + eltolási)áram ezen a felületen keresztül nulla, tehát a mágne-ses körfeszültség és a vele arányos Bx (z=0) is nulla.Még egyszerûbben beláthatjuk ezt az eredményt, ha aG2 görbére egy olyan felületet illesztünk, amelyik(jobbról vagy balról) teljesen elkerüli a kondenzátor-lemezeket. Egy ilyen felületen sem valódi áram, semeltolási áram nem halad keresztül, a határgörbéjementén tehát a mágneses körfeszültség nulla. A B(r)indukciómezô csak a görbe alsó szakaszán különböz-hetne nullától, de mágneses körfeszültség hiányábanmég itt is eltûnik, zérus értékû.

2. példaEgy hosszú, egyenes vezetôt valahol megszakítunk,

és a szakadási helyre két közeli körlapból álló síkkon-denzátort illesztünk (8. ábra ). Milyen mágneses mezôalakul ki a vezeték körül és a kondenzátor belsejé-ben, ha az egyenes vezetôben valamekkora (idôbennem túl gyorsan változó) áram folyik?

Megoldás: Feltételezzük, hogy d << R és a lemezek jó

8. ábra

I t( ) I t( )

R

d

elektromos vezetése miatt a kondenzátor belsejébenminden pillanatban homogén, a lemezek síkjára me-rôleges irányú, E0(t ) nagyságú elektromos tér alakul ki,és ezzel összhangban a lemezek felületi töltéssûrûségeη = ±ε0 E0(t ) = ±η0(t ) nem függ a helytôl. (A lemezek-ben áram folyik, ehhez a lemezek egyes pontjai közöttifeszültségre van szükség, tehát a lemezek közti elektro-mos tér és ezzel együtt a felületi töltéssûrûség szigo-rúan véve nem lehet homogén. Ez az inhomogenitásazonban a fémlemezek jó elektromos vezetése miattnagyon kicsi, emiatt figyelmen kívül hagyható.)

A lemezekben folyó áram sûrûsége nyilván csak aszimmetriatengelytôl mért r távolság és az idô függvé-nye, iránya pedig radiális:


A (térben) egyenletes töltésfelhalmozódás ténye

i = i (r, t ) rr

.

lehetôvé teszi, hogy kiszámíthassuk a vonalmentiáramsûrûséget. Egy r sugarú körön kicsiny Δt idô alatt

töltés halad át, egy kicsit nagyobb (r+ Δr ) sugarú kö-

Q1 = Δ t 2 π r i (r, t )

rön pedig

töltés távozik. Ezek szerint a 2rπ Δr területû körgyû-

Q2 = Δ t 2 π (r Δ r ) i (r Δ r, t )

rûn lévô töltés mennyiségének megváltozása:

ami az η(t ) felületi töltéssûrûség megváltozásával is

Δ Q = Q1 − Q2 = −2 π Δ t Δ (r i ),

kifejezhetô:

A kétféle kifejezés összevetésébôl

Δ Q = 2 π r Δ r Δ η(t ).

vagyis

Δ (r i )Δ r

= −r Δ η(t )Δ t

≈ −r η(t) = −r állandó,

adódik. Az r koordinátától nem, de t -tôl függô C1 és

i (r, t ) =C1

rC2 r

C2 kifejezéseket a korongba befolyó áram I (t ) erôssé-ge, illetve a korong szélén nullává váló vonalmentiáramsûrûség rögzíti:

A mágneses indukciót a két korong radiális áramel-

i (r, t ) = ± I (t )2 π

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1r

− r

R 2.

oszlása, valamint a két egyenes vezetô árama hozzalétre a Biot–Savart-törvénynek megfelelôen. A radiálisáramok csak a lemezek között hoznak létre teret,amely a szimmetriatengely körüli koncentrikus erôvo-nalakkal szemléltethetô, nagysága

(Ezt közvetlen integrálással is meg lehet kapni, de

B (lemezek)ϕ = μ0 i (r, t ) =

μ0 I (t )

2 π⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

R 2− 1

r.

elegendô hozzá annak megfontolása, hogy egy adotthelyen lévô mágneses teret a közvetlen közelébenfolyó áramok határozzák meg, ahogy azt az 1. példá-ban láttuk.) Az egyenes vezetô szakaszok járulékalényegében ugyanakkora, mint a folytonos, végtelenhosszú vezetô mágneses tere:

B (két vezeték)ϕ (r, t ) =

μ0 I (t )

2 π r,

a teljes mágneses indukció pedig

Ezt az eredményt is könnyen megkaphattuk volna a

B (teljes)ϕ (r, t ) =

μ0 I (t )

2 π

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1r

a lemezeken kívül,

r

R 2a lemezek között.

gerjesztési törvény integrális alakjából. A vezetéketkoncentrikusan körülvevô kör alakú görbére a mág-neses körfeszültség 2π rBϕ(r, t ), a körülölelt áram pediga kondenzátoron kívül I (t ), a lemezek között pedig(a „szétkent” eltolási áram miatt) csak I (t ) r 2/R 2.

Érdekes az az eset is, amikor a körlapok közöttgyengén vezetô közeg található, és az árameloszlásstacionárius. Az eltolási áramok ilyenkor nem jelen-nek meg, szerepüket a velük azonos nagyságú való-di áramok veszik át. A mágneses mezô ugyanolyanlesz, mint az idôben változó töltésû kondenzátornál,és ezt a mezôt most is kiszámíthatjuk a Biot–Savart-törvény segítségével. A lemezek közötti mágnesesindukciót most elvben valamennyi áram együttes ha-tása hozza létre, de lemezekre merôleges (valódi,vezetési) áramok ebben az esetben is nulla járulé-kot adnak. A lemezek közötti mágneses teret a kétegyenes vezetô és a körlapokban folyó radiális ára-mok határozzák meg.

3. példaSzigetelô szálra függesztett, alufóliával bevont

9. ábra

?

csokimikulást (9. ábra ) elektromosan feltöltöttünk.A mikulás a levegô csekély vezetôképessége miatt

lassan elveszíti töltését. Milyen mágneses teret kap-nánk a mikulás körül (és annak belsejében) a Biot–Savart-törvény felhasználásával, ha a kisülés közbenkialakuló áramok eloszlását konkrétan fel tudnánkírni és az integrálást el tudnánk végezni? (Felte-hetjük, hogy a levegô vezetôképessége független ahelytôl.)5

·

5 Ez a probléma szerepel a 333 furfangos feladat fizikából címûfeladatgyûjteményben.


Megoldás: A feltöltött csokimikulás körül elektro-sztatikus mezô alakul ki, amely megragadja a levegô-ben található töltéshordozókat, és így elektromosáram indul meg a „végtelen” felé (valójában a miku-lástól távoli, földelt vezetôk felé). A mikulást körülve-vô mágneses teret azonban nemcsak a levegôbenfolyó áramok keltik! Az elektrosztatikus tér – a miku-lás idôben fokozatosan csökkenô töltése miatt – idô-ben változik, ami az integrális Maxwell-egyenletbeneltolási áram formájában szintén megjelenik. (Ugyan-akkor – mint láttuk – az eltolási áram a Biot–Savart-törvényben nem ad járulékot.)

A csokimikulás körül kialakuló mágneses mezôindukcióvonalai zártak, mert a mágneses mezô forrás-mentes. Válasszunk ki egy tetszôleges indukcióvonal-hurkot és egy erre a hurokra illeszkedô zsákfelületet(ez a 10. ábrán látható szürke felület). Ha a zárt hu-rokra (a B -vonal irányítottságával megegyezô körüljá-rási irányban) kiszámítjuk a

mágneses körfeszültséget (más néven örvényerôssé-

B (r) Δ r

get), akkor csak nemnegatív értéket kaphatunk ered-ményül, hiszen az indukció iránya és a hurok érintôjeáltal bezárt szög a hurok mentén nulla. Pontosan zé-rus örvényerôsséget akkor és csak akkor kapunk, haa hurok mentén a mágneses indukció értéke azono-san nulla.

Az Ampère-féle gerjesztési törvény értelmében a

10. ábra

j r( )

B r( )

E = 0

zárt hurok örvényerôssége arányos a hurokra illeszke-dô zsákfelületen áthaladó eredô áramerôsséggel (amia töltések által keltett elektromos áram és a változóelektromos tér miatt keletkezô eltolási áram összege).Egy furfangos gondolattal ezt az eredô áramerôsségetkönnyen meghatározhatjuk! A szürke felület helyettválasszunk olyan zsákfelületet, amely benyúlik a cso-kimikulás belsejébe, a mikuláson kívül pedig a zárthurokra illeszkedô áramvonalak határolják. Mivel amikulás belsejében az elektromos térerôsség és azáramsûrûség is zérus, a zsákfelület mikuláson kívülirészét pedig nem döfi át sem a töltéshordozók veze-tési árama, sem pedig elektromos térerôsség (hiszen adifferenciális Ohm-törvény szerint az elektromos tér-erôsség arányos és azonos irányú az áramsûrûséggel),így a mágneses mezô örvényerôssége (mágneses kör-

feszültsége) a zsák száját alkotó hurokra zérus. Ez aztjelenti, hogy a hurok mentén a mágneses indukcióvégig nulla.

A mikulás körül tehát nem alakulnak ki indukció-vonalak, és ugyanez igaz a mikulás belsejére is; amágneses indukció értéke az egész térben azonosannulla. Ha ugyanezt a mágneses teret a Biot–Savart-törvény alapján akarjuk kiszámítani, mivel abban azeltolási áramokat nem kell figyelembe vegyük, a való-di (vezetési) áramok járuléka önmagában is nullalesz. Ezt közvetlen számolással – általános esetben,tetszôleges alakú mikulásra – nyilván nehéz lenneigazolni.

4. példaMilyen mágneses teret hoz létre egy q töltésû, v se-

bességgel mozgó részecske (például egy proton vagyegy elektron) az r vektorral megadott helyen? Feltehet-jük, hogy a részecske éppen az origóban tartózkodik,és hogy a mozgása nemrelativisztikus (v << c ).

Megoldás: A részecske elmozdulása valamely ki-

11. ábra

B r( )

r

v

qD Dl v= t

I =q__

tD

csiny Δt idô alatt Δ l = v Δt, és ezen a kis szakaszonI = q /Δt áramerôsséget képvisel. Így a keresett mág-neses mezô a Biot–Savart-törvény szerint

Ezt az eredményt az álló ponttöltés mellett elha-

B (r ) =μ0 I

4 πΔ l × r

r 3=

μ0 q

4 πv × r

r 3.

ladó megfigyelô „mozgó” koordinátarendszerébôl(a Lorentz-transzformáció képleteinek felhasználásá-val) is megkaphatjuk, vagy egy alkalmasan választottzárt görbére (például a 11. ábrán látható körre) vo-natkozó örvényerôsségbôl is kiszámíthatjuk. Ezekmindegyike sokkal bonyolultabb eljárás, mint a Biot–Savart-törvény alkalmazása, amely során az eltolásiáramok hatásával nem kellett törôdnünk.

A fenti képlet csak közelítôleg igaz; ha a részecskesebessége összemérhetô a fénysebességgel, a formularelativisztikus korrekcióit is figyelembe kell vennünk.Érdekes viszont, hogy ha egy zárt vezetékben folyóegyenáramot sok ponttöltés mozgásával írjuk le, azegyes töltések mozgásából adódó, de csak közelítôleghelyes mágneses terek összege – a részecskék számá-nak növelésével – a folytonos árameloszlás egzaktnaktekinthetô Biot–Savart-képletének eredményéhez tart.


Összefoglalás

A szerkesztôbizottság fizika

tanításáért felelôs tagjai kérik

mindazokat, akik a fizika

vonzóbbá tétele, a tanítás

eredményességének fokozása

érdekében új módszerekkel,

elképzelésekkel próbálkoznak,

hogy ezeket osszák meg a

Szemle hasábjain az olvasókkal!

A Biot–Savart-törvény (amely az elektrosztatikai Cou-lomb-törvény + szuperpozíció elv mágneses megfelelô-je) tetszôleges helyen megadja ismert térbeli eloszlásúáramok által keltett mágneses indukciót. A törvényeredeti formájában egyenáramokra és zárt áramkörök-re, tehát magnetosztatikai problémákra érvényes.

A Biot–Savart-törvény kiterjeszthetô idôben lassanváltozó és nem feltétlenül zárt árameloszlásokra is. Amágneses indukció pillanatnyi értékét ilyen esetek-ben is ugyanolyan alakú integrálból lehet kiszámí-tani, mint a magnetosztatikában. A törvény alkalma-zásánál csak a valódi (a töltéshordozók mozgásávalkapcsolatos) áramokat kell figyelembe vennünk, azúgynevezett eltolási áramok nem szerepelnek az in-tegrálban.

A Biot–Savart-törvény segítségével a valódi ára-mokból kiszámítható az A (r ) vektorpotenciál, majdabból rotációképzéssel kapható meg a B (r ) mágne-ses indukció mezô. Ez utóbbi nyilván forrásmentes(divB (r ) ≡ 0), örvényerôssége (rotációja) pedig egyolyan vektormezô, amely a valódi áramok mellettmég egy másik tagot, az eltolási áramot, pontosab-ban annak

Coulomb-részét is tartalmazza:

j (Coulomb)eltolási = ε0 E (Coulomb)

A Biot–Savart-törvényben tehát rejtve „benne van” az

jvalódi

↓ (Biot–Savart törvény)

A (r )

↓ (rotációképzés)

B (r )

↓ (rotációképzés)

jvalódi j (Coulomb)eltolási .

eltolási áram örvénymentes (Coulomb) része, jóllehetaz a törvényt megfogalmazó integrálban expliciten

nem jelenik meg. Az eltolási áram Faraday-féle (di-vergenciamentes) összetevôje a lassan változó terek-nél elhanyagolhatóan kicsi a valódi áramok és azeltolási áram Coulomb-féle (rotációmentes) kompo-nense mellett.

Ha a mágneses indukciót nem a Biot–Savart-tör-vénybôl, hanem az Ampère-féle gerjesztési törvény-bôl akarjuk meghatározni, abban a mágneses induk-ció tényleges teljes örvényerôsségével, tehát a valódiés az eltolási áramok összegével kell számolnunk.

Az elmondottak természetesen csak a „lassú válto-zásoknak” megfelelô közelítés pontosságával érvé-nyesek. A „pontos” képletek annyiban térnek el az itttárgyaltaktól, hogy egy adott r helyen és t idôpilla-natban kialakuló elektromos és mágneses térerôssé-gekhez járulékot adó r ′ pontbeli áramokat és a töl-téseket nem ugyanabban a t idôpontban, hanem egykorábbi

(úgynevezett retardált ) idôpontban kell „néznünk”. A

t ′ = t − r ′ − rc

t− t ′ idôkülönbség éppen az az idôtartam, amely alattvalamilyen (fénysebességgel terjedô) információ eljut-hat r ′-bôl r -be. Kvázistacionárius közelítésben ezt azidôkülönbséget elhanyagoljuk és az erôtereket azáram- és töltéseloszlások pillanatnyi értékeibôl szá-moljuk, továbbá nem vesszük számításba az eltolásiáram Faraday-összetevôjét. Az antennák elméleti le-írásában a kvázistacionárius közelítés érvényességiköre az úgynevezett statikus zónának (másnévenközelzónának) felel meg, vagyis azoknak a térbelitávolságoknak, amelyek az adott frekvenciájú elektro-mágneses sugárzás hullámhosszánál sokkal közelebbvannak a hullámforrásokhoz.

Köszönetnyilvánítás

A cikkben leírt problémakör vizsgálatát a Középiskolai Matematikaiés Fizikai Lapok fizikus szerkesztôbizottságának tagjaival folytatotteszmecsere, elsôsorban Radnai Gyula és Vigh Máté érdekes, inspi-ráló feladatainak átgondolása indította el. Köszönettel tartozomHraskó Péternek nagyon hasznos észrevételeiért és tanácsaiért,Tichy Gézának, aki felhívta figyelmemet a Lorentz-féle mértékvá-lasztás elônyeire, valamint Vankó Péternek és Honyek Gyulának akézirat átnézéséért.

·


AZ AMPÈRE-FÉLE GERJESZTÉSI TÖRVÉNY

1. ábra. Véges hosszúságú vezetô szakasz (A1A2), amelynek áramaáltal keltett mágneses tér a vizsgálódás tárgya.

A1

A2

I

r

�

�P

×

2. ábra. Az áramvezetô szakasz végpontjaihoz csatlakoztatott gömb-szimmetrikus küllôszerû elágaztatás (a), illetve a szakasz végpontjai-ban felhalmozódó töltések, amelyek eltolási áramot keltenek (b).

I

r

�

�P

×

E1

L1

E2

L2

I

rP

×

–Q

Q

�

a) b)

ALKALMAZHATÓSÁGÁNAK FELTÉTELEMorvay Bálint, Pálfalvi László

Pécsi Tudományegyetem, Természettudományi Kar, Fizikai Intézet

Az Ampère-féle gerjesztési törvény,ellentmondások

A magnetosztatika többek közt stacionárius, azaz idô-ben állandó áramok által keltett mágneses tér leírásávalfoglalkozik. A Biot–Savart-törvénnyel meghatározhat-juk tetszôleges alakú áramjárta vezetô általunk kivá-lasztott része által a tér tetszôleges pontjában keltettmágneses indukciót. Az Ampère-féle gerjesztési törvény(a továbbiakban gerjesztési törvény) – miszerint a mág-neses indukciónak egy tetszôleges zárt görbére egyszerikörüljárással vett integrálja egyenlô a görbe által hatá-rolt tetszôleges felületen áthaladó áramok áramerôssé-gei elôjeles összegének μ0-szorosával – nagy szimmet-riával rendelkezô esetekben használható, amelyekretipikus tankönyvpélda a végtelen hosszú egyenes veze-tô, illetve a sûrûn csévélt, hosszú, egyenes tekercs bel-seje. Természetesen a gerjesztési törvény a Biot–Savart-törvénnyel azonos eredményt ad, hiszen ez utóbbi tör-vénybôl az elôbbi levezethetô [1].

Aki tanulmányaiban a magnetosztatika fejezeteinéljár és a teljes elektrodinamikát nem ismeri, könnyenzsákutcába juthat a gerjesztési törvény alkalmazásá-val. A Biot–Savart-törvény alkalmazásánál ugyanismegtanulta, hogy egy áramjárta vezetô tetszôlegesenkiválasztott darabja által keltett mágneses indukciótmindig ki lehet számolni, ez pusztán technika kérdé-se. Például egy véges hosszúságú, vékony, egyenesvezetô esetén az integrálást csak az A1A2 szakaszra (1.ábra ) kell elvégezni, nem kell foglalkozni a végpon-tokon kívüli részekkel. Az I áramú egyenes vezetôda-rabtól r távolságra lévô P pontban a mágneses induk-ció nagysága

(1)B =μ0

4 π rI (sinα sinβ ),

iránya pedig a rajz síkjára (1. ábra ) merôleges. A sza-kasz által keltett mágneses tér hengerszimmetrikus, éscsak azimutális komponenssel rendelkezik. Ez felbá-torít arra, hogy a gerjesztési törvénnyel ellenôrizzükeredményünket. Meglepô módon az eredmény egye-zik a végtelen hosszú, egyenes vezetô terével, pedig atörvényt a „recept” szerint használtuk. Mi az ellent-mondás oka?

Az ellentmondás feloldása I.

A gerjesztési törvény alkalmazhatóságának rejtett kri-tériuma (ami a szakkönyvek ide vonatkozó fejezeténélnincs megemlítve), hogy vezetési áram(ok) esetén akiválasztott zárt görbe által kifeszített, a görbe általhatárolt bármely felületen az áram(ok)nak át kell foly-nia [2]. Tehát a vizsgált vezetéknek önmagába záródó-nak kell lennie, ezáltal a kontinuitásnak (töltésmegma-radásnak ) teljesülnie kell. Vezetôdarab vizsgálata ese-tében tehát gondoskodnunk kell az áram végpontok-hoz történô oda- és elvezetésérôl. Az utóbbi idôbentöbb különbözô változatban megjelent versenyfeladat[3–5] megoldása sugallta a kontinuitás biztosításához azalapötletet. Az önmagába záródó vezetô konstruálásahelyett a szakasz végeinél a be- és elvezetést gömb-szimmetrikusan szerteágazó, végtelenbe vezetô nagy-számú „küllôvel” oldjuk meg, amelyek mindegyikénazonos erôsségû áram folyik (2.a ábra ). Ezen megol-dás azért elônyös, mert a Biot–Savart-törvény ismereté-ben (de annak explicit alkalmazása nélkül) pusztánszimmetriamegfontolásokkal belátható, hogy a végpon-tokból sugárirányban kifelé, illetve befelé futó áramoknem adnak járulékot a vizsgált szakasz által keltett hen-gerszimmetrikus, csak azimutális komponenssel ren-delkezô mágneses térhez, amit most már a gerjesztési


törvénnyel meghatározhatunk. Természetesen figye-

3. ábra. A hosszú egyenes tekercs mágneses terének meghatározá-sához használt tipikus ábra (a), illetve annak módosított változata agerjesztési törvény alkalmazhatóságához (b).

a)

b)

lembe kell venni a küllôkben folyó áramok azon há-nyadát, amelyek a P ponton átmenô r sugarú, a vezetôszakaszra merôleges kör lapját átdöfik. Ezek pedigazok az (összesen I1, illetve I2 erôsségû) áramok, ame-lyek a végpontokból nézve 90−α, illetve 90−β félcsúcs-szögû kúp palástján belül folynak. Felhasználva a kúptérszögét az I1 és I2 áramerôsségekre

értékek adódnak. A gerjesztési törvény szerint:

(2)I1 = I2

(1 − sinα) és I2 = I2

(1 − sinβ )

adódik, amelybôl a mágneses indukcióra az (1) össze-

(3)B dr = B 2 r π = μ0 I = μ0 I − I1 − I2 =

=μ0 I

2(sinα sinβ )

függéssel azonos értéket kapunk.

Az ellentmondás feloldása II.

Az elôzô fejezetben bemutatott módszer lehetôségetadott arra, hogy a Biot–Savart-törvény explicit alkal-mazása nélkül a gerjesztési törvénnyel meghatároz-zuk az egyenes vezetô keltette mágneses teret. Azokfejtés során rámutattunk, hogy a peremfeltételekhelytelen kezelése ellentmondáshoz vezet, ami azilyen típusú problémák során vagy a töltések elveze-tésével (lásd elôzô fejezet), vagy a töltés felhalmozó-dás okozta eltolási áram figyelembevételével kerül-hetô el [6]. A szakadások helyén létrejövô idôbeli töl-tésváltozás következtében idôben változó elektromostér alakul ki, amihez rendelt eltolási áramot – a veze-tési áram mellett – az alábbiak szerint figyelembe kellvenni (Maxwell IV. törvénye):

ahol a felületi integrál a kontúr által határolt felületre

(4)B dr = μ0 I Ie = μ0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

I ε0

ddt ⌡

⌠A

E dA ,

vonatkozik.Vizsgált problémánk esetében a végpontokba kép-

zeljünk parányi vezetô gömböket, amelyek felületeinlévô töltések az adott pillanatban Q, illetve −Q. A vég-pontbeli töltések idôbeli változása idôben változó,gömbszimmetrikus elektromos teret kelt, amelyekszuperponálódnak. Adott „futó pontban” (2.b ábra ) avégpontbeli töltések által keltett térerôsségek normá-lis komponensei elôjelhelyesen:

(5)

E1n = − Q4 π ε0

L1

L 21 ρ2

3/2,

E2n = − Q4 π ε0

L2

L 22 ρ2

3/2.

A (4) összefüggésben felhasználva, hogy

illetve felhasználva az (5)-beli összefüggéseket, majd

⌡⌠A

E dA = ⌡⌠r

0

E1n E2n 2 π ρ dρ ,

az integrálást elvégezve és figyelembe véve, hogy

illetve, hogy

dQdt

= I,

a vezetôszakasz által keltett mágneses indukció értéké-

sinα =L1

L 21 r 2

1/2és sinβ =

L2

L 22 r 2

1/2

re az elôzô fejezetbeli megoldás eredményével, és az(1) összefüggésbelivel azonos eredményt kapunk.

Megjegyezzük, hogy a két bemutatott módszer nemkülönbözik sarkosan egymástól. Ha a végpontok kör-nyezetét nagy kiterjedésû gömbszimmetrikus vezetôközegnek tekintjük, akkor az eltolási áram helyettsugárirányú vezetési áramok jelennek meg (amelyekpersze szuperponálódnak), ami hasonlít a végtelenszámú küllô esetéhez.

Az egyenes tekercs mágneses tereA hosszú, egyenes, sûrûn csévélt tekercs belsejé-

ben kialakuló mágneses tér meghatározására a tan-könyvek a gerjesztési törvényt alkalmazzák, és illuszt-rációként a 3.a ábrához hasonlót használnak. A fen-tiek tanulsága tükrében a szakadás okozta problémákelkerülése és a törvény alkalmazhatósága érdekébena 3.b ábrának megfelelô átalakítást kell elvégezni. Eza módosítás a kiegészítô vezetékek által keltett, a rajzsíkjára merôleges indukciókomponens megjelenéséteredményezi. Viszont ez a gerjesztési törvényben (askalárszorzat miatt) nem kap szerepet, így a longitudi-nális komponensre a jól ismert eredményt kapjuk. Ateljesség kedvéért viszont a tényt, miszerint a gerjesz-tési törvény érvényességi körének biztosításához aszükséges körülményeket meg kell teremteni (azaz a3.b ábra szerinti elrendezést kell tekinteni), hangsú-lyozni kell, hogy az említett, a rajz síkjára merôlegesindukciókomponensrôl nem kapunk információt.

�

�


Rámutattunk, hogy („álöltözetben”) magnetoszta-

1. ábra. Pendulumhullám (elölnézet).

tikai problémák megoldása során körültekintônekkell lenni az Ampère-féle gerjesztési törvény alkal-mazása során. Az érvényességi kör az elektrodina-mika-tankönyvek késôbbi fejezetei ismeretében kris-tályosodik ki. Az okfejtést egy konkrét fizikai prob-lémán keresztül bontottuk ki. Az általános tanulságlevonása mellett bemutattuk a véges hosszú egyenesvezetô szakasz mágneses terének gerjesztési törvé-nyen alapuló, a Biot–Savart-törvény explicit alkal-mazását mellôzô levezetését. Az elemzett problémáksorán levont következtetések tükrében kijelenthet-jük, hogy az elektrodinamika-kurzusok során azAmpère-féle gerjesztési törvény elsô felbukkanása-kor már érdemes felhívni a hallgatóság figyelmét a

tankönyvekben (ezen a ponton még) nem hangsú-lyozott követelményre, ugyanis pusztán a „stacioná-rius áramok mágneses tere” fejezetcím nem biztos,hogy elegendô.

Irodalom1. J. D. Jackson: Klasszikus elektrodinamika. Typotex, Budapest,

2004.2. D. Barchiesi: Didactical formulation of the Ampère law. Eur. J.

Phys. 35 (2014) 038001.3. Gnädig P.: A 2014. évi Eötvös-verseny 3. feladata4. Gnädig P.: A 2014. évi Ortvay-verseny 17. feladata5. Gnädig P., Honyek Gy., Vígh M.: 333 furfangos feladat fiziká-

ból Typotex, Budapest, 2014.6. M. Landini: About the physical reality of „Maxwell’s displace-

ment current” in classical electrodynamics. Progress in Electro-magnetics Research 144 (2014) 329.

PENDULUMHULLÁM, AVAGY SZERELEM ELSÔ LÁTÁSRA

Lendvai Dorottya az ELTE Fizika Doktori Iskola hallgatója. CzövekMárton és Forrás Bence az informatikai hátteret írták és a jelen-séghez kapcsolódó szimulációt készítették, ôk a Berzsenyi DánielGimnázium 2014-ben végzett tanulói, jelenleg a BME VIK, illetve azELTE TTK hallgatói.1 http://fizika.berzsenyi.hu/fizika-tabor

Lendvai Dorottya, Czövek Márton, Forrás BenceBerzsenyi Dániel Gimnázium, Budapest

„Egy húron pendulum!”

Valamikor 2013 ôszén találkoztam elôször a pendu-lumhullám jelenségével, aminek egy pillanatát örökí-tettük meg a késôbb elkészült eszközön (1. ábra ).

Bevallom, elsô látásra beleszerettem. Azóta az esz-köz elkészítésén, fizikai-matematikai leírásán és abenne rejlô további lehetôségeken törtem a fejem. Abudapesti Berzsenyi Dániel Gimnázium nyolcadikos,valamint tizenkettedikes speciális matematika tanter-vû osztályainak tanulóival – fizikatábori projektmun-ka keretében – álltunk neki részletesebben foglalkoz-ni ezzel a jelenséggel.

A fizikatáborról1

A helyszín legtöbbször egy elôadótermekkel, tanter-mekkel felszerelt erdei iskola. A gimnázium 40-50diákja vesz részt a minden évben megrendezésre ke-rülô fizikatáborban. A 13-19 éves tanulók meghívásosalapon kerülnek be a négynapos programba, amelykomoly munkát, felkészülést és odafigyelést igényel.A tábort néhány hetes-hónapos elôzetes felkészüléselôzi meg, amelynek ideje alatt a tanulók egy közösenkiválasztott téma keretében csoportokban dolgoznaktanári irányítás segítségével. Egyéb programok mellettaz elkészült munkákat is a táborban mutatják be egy-másnak a diákcsoportok. A kidolgozandó projektnek

nincsen elôre kötött formája. Lehet ez egy vagy többkísérlet, mérés, kiértékelés bemutatása, kísérleti esz-köz építése, számítógépes szimuláció elkészítése stb.,esetenként történeti háttérrel vagy elméleti, számítási


leírások bemutatásával egybe-

2. ábra. Pendulumhullám felülnézetbôl (felül) és felül-oldalnézetbôl (alul).

kötve. A tábor végén közösenértékeljük a munkát. A tavalyiprojektmunkánk, a pendu-lumhullám vizsgálatának rész-leteit és eredményeit szeret-ném itt most megosztani azolvasókkal.

Többek között azért gon-doltam, hogy érdemes a pen-dulumhullámmal bôvebben isfoglalkozni, mert kiderült, aligtalálni magyar nyelvû leírástróla. Szebbnél szebb videóktalálhatók az interneten,azonban még az idegen nyel-vû leírások sem elég részlete-sek és szakszerûek. A kollé-gák elôtt sem ismert széleskörben a jelenség. Ezért sze-retném megosztani tapasz-talataimat egy olyan fizikaijelenségrôl, amely kicsiket ésnagyokat egyaránt ámulatbaejt.

Ugyan az internet sokszornem megbízható, mégis érde-mes a „pendulum wave” címszó alatt keresgélve vi-deofelvételen megnézni, mirôl is lesz szó.2 Hosszabb

2 Videók az interneten:– Egyszerû pendulumhullám: https://www.youtube.com/watch?

v=yVkdfJ9PkRQ– Hosszú pendulumhullám: https://www.youtube.com/watch?v=

O6Tys1unB8k– Pendulumhullám sötétben: https://www.youtube.com/watch?v=

7_AiV12XBbI– Extrém pendulumhullám tûzgolyókkal: https://www.youtube.

com/watch?v=u00OF3ilNUs– Pendulumhullám szimmetrikusan: https://www.youtube.com/

watch?v=vDtfWxL-AJg

keresés után hasonló témájú hiteles írásokat az Ame-rican Journal of Physics 2001. júliusi [1], illetve 1991.februári [2] számaiban találtam. Az általunk összegyûj-tött információk és projektmunkánk részletei elérhe-tôk a budapesti Berzsenyi Dániel Gimnázium honlap-ján keresztül [3].

A pendulumhullám fizikai háttereés matematikai leírásaMegmutatható, hogy egy matematikai inga lengéside-je kis szögkitérések esetén a

összefüggésbôl meghatározható, ahol T az inga perió-

(1)T = 2 π lg

dusideje, l a kötél hossza, g a nehézségi gyorsulás. Azinga lengési síkját megtartja, valamint kis kitérésekrelengésideje sem változik számottevôen.

Mi a pendulumhullám?

A pendulumhullám tetszôleges számú ingából álló in-gasor, amelyben az ingák hosszát megfelelô matemati-kai összefüggés szerint választva, az ingák a képekenlátható különleges alakzatokat veszik fel (2. ábra ).(Amint a meghatározásból látszik, a pendulumhullám afizikában elfogadott értelemben nem hullám, hiszenfüggetlen ingák együttes látványáról van szó, ami sem-milyen hullámegyenletnek sem felel meg.)

Fontos kérdés, hogy milyen legyen az elrendezésmódja, vagyis milyen hosszúak legyenek a fonalak,hogy az ingákat egyszerre kitérítve, majd elengedve,azok meghatározott idôközönként ilyen szabályosalakzatokat mutassanak? A „trükk” a következô: azingák úgy vannak beállítva, hogy a teljes pendulum-hullám egy bizonyos idôn belül visszatérjen a kiindu-lási állapotába, vagyis minden golyó újra egyszerrelegyen ugyanazon szélsô helyzetben, mint a legelején.Ez alatt az idô alatt minden inga különbözô frekven-ciával leng. Ha a leghosszabbik például 52-t leng apendulumhullám teljes periódusideje alatt, akkor arákövetkezô 53-at, utána 54-et és így tovább. Ha eztfelismerjük, akkor matematikailag már nincs olyannehéz dolgunk: alapvetô, hogy az egyes ingák perió-dusidejének hányadosa racionális szám legyen (ez biz-tosítja a rendszer periódusidejét), valamint célszerû,hogy a pendulumhullám periódusideje alatt az egyesingák lengésszáma között 1-1 legyen a különbség.

A pendulumhullámban lévô ingákat (azok golyóit)beszámozzuk: i = 0, 1, 2, 3, … n. A pendulum ígyösszesen (n+1) darab ingából áll. Legyen a nulladikinga a leghosszabb.


További jelöléseink:

1. táblázatAz egyes ingák periódusideje

i – az ingasorszáma

az inga τ idô alattilengéseinek száma

Ti – az inga periódusideje

0 N + 0 T0 = τ / N

1 N + 1 T1 = τ / (N + 1)

2 N + 2 T2 = τ / (N + 2)

i N + i Ti = τ / (N + i )

n N + n Tn = τ / (N + n )

2. táblázatA kötélhosszak egy lehetséges megadása

i li (cm) i li (cm)

0 74,4 8 55,9

1 71,7 9 54,1

2 69,0 10 52,4

3 66,5 11 50,7

4 64,2 12 49,1

5 62,0 13 47,6

6 59,8 14 46,2

7 57,8 15 44,8

τ a pendulumhullám teljes periódusideje (az a leg-kisebb idô, amely alatt a pendulumhullámban lévôösszes inga ismét egyszerre ér a kezdeti pozíciójába),

Ti – az i -edik inga periódusideje,li – az i -edik inga kötélhossza (a felfüggesztéstôl a

golyó vagy egyéb nehezék súlypontjáig),N – a leghosszabb (i = 0) inga τ idô alatti lengései-

nek száma.Ezek alapján az egyes ingák periódusideje az 1.

táblázatban leírtak szerint alakul.A fonalhosszak megadására vonatkozó összefüg-

gést két különbözô módon is bemutatjuk.1. Az 1. táblázatban megadott τ, N és Ti közötti ösz-

szefüggés és (1) felhasználásával az i -edik inga hossza:

Az adatok egy lehetséges és kivitelezhetô példája: τ =

(2)li = g

4 π 2T 2

i = g

4 π 2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

τN i

2

.

90 s, n = 15 és N = 52. A 2. táblázat összefoglalja (2)segítségével ezen értékekhez kapott kötélhosszakat.

2. A (2)-bôl következik, hogy a hosszak rekurzió-val is megadhatók:

li 1 = li

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

N iN i 1

2

.

Érdekes kérdés, hogy más elrendezôdés (példáulszámtani sorozatot követô kötélhosszak) esetén mi-lyen mintázatok jöhetnek ki. Látunk-e hasonlóan „szé-pet”? Ez megfelelô szimulációval, ahol a különbözôparaméterek könnyedén állíthatók, gyorsan ellenôriz-hetô. Természetesen akkor is lesznek „látványosegyüttállások”, azonban az idôzítések és az ebbôlkialakuló összhatás miatt szubjektív megítélésem sze-rint a jelenség messze nem ilyen szép.

Az eszköz elkészítésének nehézségei

Az eszközt többféleképpen is el lehet készíteni.Most egy olyan egyszerû módszert mutatok be,amely iskolai körülmények között is kivitelezhetô.Továbbá szeretném felhívni a figyelmet néhányolyan nehézségre, amelyek többségére csak a mun-ka során derül fény.

A tartószerkezetA tartószerkezet bármilyen egyszerû fa/fém állvány

lehet, ami elbírja a golyókat, és amelybe kellô számúlyukat lehet fúrni. Akár talapzatra sincs szükség, egyegyszerû, kellô hosszúságú deszkalap is megteszi,amit két oldalról alá lehet támasztani. Tapasztalat sze-rint a rendszer szállításra igen érzékeny, fôképp afonalak, amelyek könnyen elszakadhatnak, elmozdul-hatnak.

A golyók kiválasztásaSajnos a méretes fagolyók drágák. Több videó ta-

lálható, ahol óriási anyacsavarral oldották meg a fel-adatot. Nekem a biliárdgolyó vált be, amelyet olcsón(akár ingyen) is be lehet szerezni. (A leselejtezett go-lyók után biliárdszalonokban érdemes érdeklôdni.) Agolyókat kampós csavar tartja a fonál végén. Az elôfú-rás stabilan tartható fúróval könnyen kivitelezhetô.Amennyiben a fúró a kampós csavar meneténél kö-rülbelül fél mm-rel vékonyabb, akkor a becsavartkampó könnyen beleszorul a golyóba. Sok ki-be te-kergetés során meglazulhat a menet, ekkor egy kispillanatragasztó még segíthet.

Fonalválasztás, felfüggesztés és fonalhosszakAhogyan a legtöbb videón is látszik, a csavarodás

minimalizálása érdekében kettôs felfüggesztést érde-mes készíteni. A golyók oldalnézetbôl a 3. ábránakmegfelelô pozícióban egymás mellett helyezkednekel. Az ilyen típusú felfüggesztés stabilizálja ugyan agolyót, ellenben nehézkessé teszi a fonalhosszakamúgy sem könnyû beállítását. A fonal anyagánakkiválasztása nem egyszerû. Kezdetben damillal pró-bálkoztunk, de azzal a finomhangolásokat nem lehe-tett elvégezni. Olyan fonalat javasolok, amely vi-szonylag csavarodásmentes, a súrlódástól kevéssékopik és kellôképpen teherbíró. Erre a hímzôfonalakegészen alkalmasak. A fonalak számára 2-2 lyukatfúrtunk a tartószerkezetbe. Az egyikbe a ingát tartófonalat fixen rögzítettük, a másik oldalon egy tipliben


mozgó csavar köré tekertük a fonalat. A csavar ki-,

3. ábra. Az egyes ingák készítésének paraméterezése (oldalnézet).

a = 4,5 cm

d = 1 cm

li – 3 cm

R = 2 cm

xi

li

4. ábra. A pendulumhullám indítása.

illetve betekerésével lehet finomhangolni a fonal-hosszat. Az i -edik inga fonalának 2xi hosszát a Pitago-rasz-tétel segítségével számíthatjuk ki:

Egy lehetséges méretezés például: R = 2 cm a biliárd-

(3)xi = li − R − d 2 a 2 .

golyó sugara, d = 1 cm a golyóból kilógó kampóhossza, 2a = 9 cm a két felfüggesztési pont közöttitávolság (3. ábra ).

A többi golyó az ábrázolttól balra, illetve jobbra he-lyezkedik el.

A fonalhosszak precíz hangolásaA munka legidegôrlôbb része most következik. A

legfôbb gondot az okozza, hogy néhol csupán pármilliméter a különbség két szomszédos kötél hosszaközött, amelynek pontos beállítása szinte lehetetlen,ráadásul a hibafaktor olyan összetett (csavarodás,rossz indítás, közegellenállás, súrlódás stb.), hogybizonyos ponton túl értelme sincs a hosszak ponto-sabb mérésének. Mit tehetünk mégis? Az egyik, amisegíthet az, hogy nem a függôleges li értékeket pró-báljuk meg beállítani, hanem a golyó elhelyezke-dését a fonálon. A 3. ábráról leolvasható 2xi távolsá-got lényegesen könnyebben lehet állítani a (3) for-mula szerint! Lehet próbálkozni a golyók egyenkéntihangolásával, periódusidôt mérve – ehhez igénybevehetô számítógépes idômérô program. Ezt megelô-zôen ajánlom, hogy az egész rendszert többször elin-dítva figyeljük meg: a teljes pendulumhullámhozképest mely golyók sietnek avagy éppen késnek, ésennek függvényében óvatosan, csak 1-2 millimétertállítsunk a hosszakon a megfelelô irányokba, majd jónéhányszor ismételjük meg ezt a mûveletet. Ezzel amódszerrel néha gyorsabb és pontosabb a hangolás,mint szigorúan ragaszkodva az idô-, illetve hosszmé-résekhez.

IndításAz elkészített ingarendszert az elindításkor egy

hosszú deszkával térítjük ki. Azonban a fenti számítá-sok alapján a lengéseknek nem azonos amplitúdóval,hanem azonos maximális szögkitéréssel kellene tör-ténniük. Ez a kitérítés szempontjából a valóságbanalkalmazott paraméterértékek mellett nem jelent lé-nyeges különbséget: a szélsôhelyzetek burkológörbé-je jó közelítéssel egyenes (4. ábra ).

Egyéb ötletekSötétben is csodálatos a pendulumhullám, ha a

golyókat (és akár a fonalakat is) láthatóvá tesszük.Ehhez hobbyboltokban többféle színben foszforesz-káló festék kapható, vagy fehér alapanyaggal dolgoz-va, eszközünk UV-lámpával megvilágítható. Mindket-tô káprázatos látványt nyújt!

Továbbá az interneten megtalálható egy tûzgolyósverzió is, amelyen a golyók fémláncokon lógnak éséghetô anyagot tartalmaznak. A fémlánc hossza vi-szonylag könnyen hangolható, nem igényel kettôsfelfüggesztést. A golyó üregesnek tûnik, amely vala-milyen folyékony, éghetô anyaggal lehet megtöltve.Alkalmas lehet egy játszótéri hinta váza is, de némiötletességgel ennél jóval kisebb változatban is kivite-lezhetô. Ugyan nagy elôvigyázatosságot igényel, de alátványért talán megéri!

További élményt jelent, ha az ingák hangot is ad-nak például úgy, hogy a szélsô helyzetükben valamitmegkongatnak. Ez azonban hosszabb távon lényege-sen megváltoztatná az ingák mozgását. Ötletünketnem feladva, a „pendulumhullám zenéje” a szimulációelkészítésével valósult meg.


Pendulumhullám számítógépes szimuláción

5. ábra. Pendulumhullám szimuláción (elöl- és felülnézet).

A jelenség pontosabb vizsgálatát elôsegítendô aztdemonstráló programot készítettünk. (A program avalóságban is mûködô eszközünknek megfelelô 2.táblázat adataival indul, a késôbbiek során azonban akülönbözô paraméterek módosíthatók.)

ElôkészületekA program fô funkciója, hogy az ingarendszert mu-

tatja egyidejûleg elöl- és felülnézetbôl (lásd az 1., 2.valós, valamint az 5. szimulációs ábrákon ). Ezen ve-tületek megrajzolásakor ténylegesen egy síkra rajzo-lunk, tehát a program nem 3 dimenziós adattípusbantárolja az ingákat.

Az animáció létrehozásához egymáshoz közeli pil-lanatokban rajzoljuk ki az ingarendszert. Minden újra-rajzoláskor a monitorról letöröljük az elôzô képkoc-kát, majd kirajzoljuk az újat – másodpercenként 33-szor. Ehhez minden pillanatban valamennyi ingahelyzetét ismernünk kell, tehát minden ingáról tud-nunk kell az aktuális kitérési szögét és fonala hosszát:ezekbôl az adatokból meghatározhatók a golyók Des-cartes-koordinátái. A fonálhosszak adott ingarend-szernél ismertek. Szükség van az αi(t ) kitérési szög-idô függvényre minden egyes li hosszúságú inga ese-tén. Ezt az alábbi összefüggésbôl kaphatjuk meg:

ahol α0 a kezdeti kitérés, ami minden ingára azonos.

αi (t ) = α0 cos

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

gli

t ,

Így már minden adott, hogy az ingarendszer megfelelôvetületeit tetszôleges pillanatban ki tudjuk számítani.

Mi az úgynevezett objektumorientált programozásikoncepciót követtük: saját adattípusokat hoztunk lét-re. Elsôként elkészült az ingatípus, ami tárolja egyinga összes paraméterét. Erre épülve jött létre az inga-

rendszer típusa, ami az elôbbmegírt ingákat használja; azokbelsô mûködését nem befo-lyásolja, csupán összehangol-ja ôket: gondoskodik példáularról, hogy egyszerre indulja-nak el, illetve ez végzi el azingák paramétereinek beállí-tását is. A grafikus felületheza Java nyelv Swing3 csomagját

3 http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/javax/swing/package-summary.html

használtuk.

A programozás hozadékai

BurkológörbeA megépített ingarendszer-

ben – amint már említettük – aszélsô helyzetek burkológör-béje csak közelítôleg egyenes.Ez a videók alapján nem feltét-

lenül vehetô észre. Átgondolva, illetve az egzakt mate-matikai formulákra épült szimulációt megnézve azon-ban jól látható. A jelenség szépségén és a fizikai leíráslényegén ez nem változtat, mégis érdekes lehet a szi-mulációban a burkológörbe kirajzolása, fôleg ott, aholmás paraméterértékekkel jelentôssé válik az eltérés.

Nagy kitérítésekAz általunk írt program nem tanult fizikát: nincs tisz-

tában sem a Newton-törvényekkel, sem a gravitációval,csak az ingák mozgását leíró képleteket ismeri, ame-lyek azonban a közelítés miatt csak kis szögek eseténigazak. Ebbôl következôen az sem zavarja, ha olyankitérési szögértéket adunk meg, amire a közelítés márnem lenne igaz. Ez szórakoztató jelenségekhez vezet:120°-os kitérítés esetén például a golyók egy pillangó-mintát írnak le. Persze ennek nincs sok köze a valóság-hoz: ha a rendszert 120°-kal térítjük ki, a golyók nemkörpályán fognak elindulni, hanem elôször szabadeséstvégeznek (a merev fonál – rúd – is csak közelítôlegfelel meg a programbeli mozgásnak). Ez utóbbi példajól jellemzi a programozás során gyakran megfogalma-zott álláspontot: „megcsináljuk, mert megtehetjük”.

Lineáris fonálhosszakFelmerült a kérdés, hogy mi történik, ha az ingák kö-

télhosszai a megadott képlet helyett egy egyszerûbbösszefüggést, például egy számtani sorozatot követnek.A szimulációból kiderül, hogy ebben az esetben az indu-lás ugyan nagyon hasonló, de rövidesen az ingák moz-gásában már nem lesz látható olyan megkapó szabályos-ság, mint az általunk elkészített pendulumhullámnál. Az(1) képlet alapján az ingák periódusideje a számtani so-rozat egyes tagjainak négyzetgyökével lesz arányos, ígybiztosan lesz olyan aránypár, aminek értéke nem racio-nális szám, a „pendulumhullámnak” nem lesz periódus-ideje, sohasem tér vissza a kezdôállapotba.


Hangok

3. táblázatAz ingák helyzetének jellemzôi 1/3, illetve 2/3 periódusidônél

az ingasorszáma

τ (90 s) periódusidôalatti lengések száma

τ/3 (30 s) alattilengések száma

golyó helyzete τ/3(30 s) után

2τ/3 (60 s) alattilengések száma

golyó helyzete 2τ/3(60 s) után

0. 52 17 1/3 eh-bszh 34 2/3 bszh-eh

1. 53 17 2/3 bszh-eh 35 1/3 eh-bszh

2. 54 18 jszh 36 jszh

3. 55 18 1/3 eh-bszh 36 2/3 bszh-eh

4. 56 18 2/3 bszh-eh 37 1/3 eh-bszh

5. 57 19 jszh 38 jszh

6. 58 19 1/3 eh-bszh 38 2/3 bszh-eh

7. 59 19 2/3 bszh-eh 39 1/3 eh-bszh

8. 60 20 jszh 40 jszh

9. 61 20 1/3 eh-bszh 40 2/3 bszh-eh

10. 62 20 2/3 bszh-eh 41 1/3 eh-bszh

11. 63 21 jszh 42 jszh

12. 64 21 1/3 eh-bszh 42 2/3 bszh-eh

13. 65 21 2/3 bszh-eh 43 1/3 eh-bszh

14. 66 22 jszh 44 jszh

15. 67 22 1/3 eh-bszh 44 2/3 bszh-eh

Jelmagyarázat: eh – egyensúlyi helyzetjszh – jobb szélsô helyzetbszh – bal szélsô helyzeteh-bszh – az inga éppen az egyensúlyi helyzetbôl tart a bal szélsô helyzetébebszh-eh – a inga éppen a bal szélsô helyzetbôl tart az egyensúlyi helyzetébe

6. ábra. Fél periódusidô (45 s) utáni állapot elöl- és felülnézetben.

Tekintettel a pendulumhullám látványosságára,logikusnak tûnik, hogy ez az élmény esetleg más ér-zékszervvel is észlelhetôvé, például hallhatóvá tehe-tô. A pendulumhullám megépítésekor technikailagnem lenne megvalósítható, hogy az ingák a szélsôhelyzetekben hangot adjanak ki, ezért ezt a jelensé-get is szimuláltuk. A programban a leghosszabb inga„A” hangon szól, ettôl kezdve minden inga sorban félhanggal magasabb hangot ad. A programban a han-gok bekapcsolásával egyidejûleg érdemes a Szélsô-helyzet más színnel funkciót is engedélyezni, ígylátható, hogy éppen mely ingák adnak ki hangot. Akezdeti feltételezés igaznak bizonyult: valóban érde-kes „zenét” kapunk. (Ennek szemléletessé tételéremásféle inga-hang hozzárendelés is lehetséges. Egymásik megoldás lehet például a spirális ábrázolás,4

4 https://www.youtube.com/watch?v=JMzB7sLeSbs5 http://www.berzsenyi.hu/Lendvai6 http://java.com/en

amelynek lényege, hogy a felhangrendszer szerint,az alaphang egész számú többszörösei elvén vanskálázva.)

Letöltés és felhasználás

A program szabadon letölthetô,5 használatához leg-alább 7-es Java futtatókörnyezetre van szükség.6

Részletes elemzés

A szimuláció alapján a „szép alakzatok” még sokkalkönnyebben értelmezhetôk, akár a nyolcadikosokszámára is elemezhetôk. Ugyanis a szimuláció az el-készített eszközön megjelenô látványhoz képest na-gyon nagy pontosságú és komoly elônye, hogy tet-szôleges idôpontokban megállítható. Természetesenez nem helyettesítheti a valóságban mûködô ingasorélményét. Azonban használjuk ki a szimuláció elônyétés pendulumhullámunkat vizsgáljuk meg néhány spe-ciálisan kiválasztott pillanatban!

Amikor a pendulumhullám éppen félperiódusnáljár (6. ábra ), akkor azok a golyók, amelyek a teljesperiódusidô alatt páros számú teljes lengést végeztek,most a kiindulási helyzetben találhatók. Azonban


azok a golyók, amelyek a teljes periódusidô alatt pá-

7. ábra. 1/3 (30 s), illetve 2/3 (60 s) periódusidô utáni állapot elöl-és felülnézetben.

8. ábra. 1/4 periódusidô (22,5 s) utáni állapot elöl- és felülnézetbenszimuláción, valamint felülnézetben valós felvételen.

Hogyan

érkezett

a Curiosity

a Marsra?

V FAN ÚJ A ÖLD FELETT

Tölt

sed

le!

Nézzed

meg

!M

utasd

meg

másokn

ak!

Tan

ítsd

meg

diá

kja

idn

ak!

Keresd a fizikaiszemle.hu mellékletek menüpontjában!

ratlan számút lengtek, most féllengésnyi távolságban,az elôbbiekhez képest az átellenes oldalon lesznek.

Az 1/3, illetve 2/3 periódusidô (30., illetve 60. má-sodperc) esetén érdemes összefoglalni az egyes ingákaktuális helyét és mozgásirányát (3. táblázat ).

Leolvasható, hogy egy-egy inga helyzete a 30. és a60. másodperc pillanatfelvételén valóban semmibensem különbözik egymástól, hiszen a jelenség szim-metrikus. Azonban egyszerû gondolatmenettel és a 3.táblázat segítségével könnyen észrevehetô, ami akimerevített képeken (7. ábra ) nem látszik: amíg az1/3 periódusidônél némely inga balról jobbra leng,addig 2/3 periódusidônél éppen ellenkezôleg, ugyan-az az inga jobbról balra leng, miközben azonos pozí-ción halad keresztül (és természetesen fordítva).

Ehhez hasonlóan vizsgálható bármely pillanat, fô-képp a „szép” rajzolatú pillanatnyi állapotoknál. Pél-dául az 1/4 periódusidônél (22,5 s) történô elemzéstelvégezve válnak érthetôvé a 8. ábra szimulációs, il-letve valós felvételei.

Összefoglalás

Pedagógiailag fontosnak tartom megjegyezni, hogy adiákok a folyamatos konzultációk közben sok szem-pontból (például a programozás és annak hozadékaitekintetében) önálló munkát végeztek, az eredeti ter-vet jócskán meghaladva. Mindeközben anélkül, hogy

a már létezô egyéb megvalósításoknak mélyebbenutánanéztek volna, számtalan saját ötlettel is gazdagí-tották a projektmunkát.

Az elkészült anyagok (internetes videók listája, sa-ját videók, szimulációk, elôadásanyagok, projektmun-ka-tervezet, kapcsolódó cikkek stb.) megtalálhatók a[3] webcímen.

Reményem szerint sokak érdeklôdését felkeltetteaz írás. Jó szórakozást és hasonló sikereket kívánok aprojekten való munkához, valamint további érdekes-ségek felkutatásához!

Irodalom:1. J. A. Flaten, K. A. Parendo: Pendulum waves: A lesson in alia-

sing. Am. J. Phys. 69/7 (2001) 778–782.2. R. E. Berg: Pendulum waves: A demonstration of wave motion

using pendula. Am. J. Phys. 59/2 (1991) 186–187.3. http://www.berzsenyi.hu/Lendvai

További érdekességek:http://bouncemetronome.com/video-resources/harmonic-polyrhythms/

pendulum-waves-played-harmonicshttp://bouncemetronome.com/features/pro/theremins-rhythmiconhttp://whitneymusicbox.org/index.php?var=v2


SZEM – FÉNY – VESZTÉS Szent József Gimn., Szki. és Koll., DebrecenCsatári László

Az emberi szem a látás szerve. Alapvetô szerepet ját-szik a külvilághoz való alkalmazkodásban és a tájéko-zódásban. Segítségével látunk térben. 380 és 740 na-nométer közötti tartományban érzékeli az elektro-mágneses hullámokat – a fényt. Ez az optikai remek-mû mégsem elegendô a látás folyamatához. A csapokés a pálcikák szolgáltatta ingerület a látóközpontbakerül, ahol az emberi agy képpé formálja. Azonbanrengeteg információ elvész azzal, hogy a szem – afotoreceptorok tehetetlensége miatt – egy ideig meg-ôrzi a látott képet. A szem és az agy könnyen becsap-ható. Elegendô másodpercenként 20-25 állókép, ésmáris a mozgás illúzióját éljük át.

Bemutatok néhány olyan egyszerûen elkészíthetô,olcsó eszközt, amellyel ez az illúzió elérhetô.1

1 A Szemle internetes kiadásában, a www.fizikaiszemle.hu olda-lon, ezen cikk webes változata végén az itt szereplô, elkészíthetôeszközökhöz szükséges rajzok nagy méretben megtalálhatók.

Arra bíztatok mindenkit, hogy ne csak nézze, ha-nem készítse is el a szemfényvesztô eszközöket, hi-szen az egész nem mágia, csak fizika.

TaumatrópA legegyszerûbben elkészíthetô eszköz. Egy zsi-

negre ragasszunk két korong alakú kartonlapot úgy,hogy a zsineg a kör átmérôje mentén fusson. A kar-tonlap két oldalára más-más ábrát rajzolunk. Példáulhal és akvárium, madár és kalitka.

A zsinegnél megfogva és megpörgetve a kartonla-pot, egy sebesség fölött a két kép összemosódik (be-kerül a hal az akváriumba, a madár a kalitkába), hiszena retináról még körülbelül egytized másodpercig nemtûnik el az egyik kép, amikor már rávetül a másik.

Kineográf (zsebmozi)Az alapgondolat – amely a mai televízió-adásokban

is megjelenik – az, hogy ha a szem elé megfelelôgyorsasággal állóképeket vetítünk, azt folyamatosmozgásként érzékeljük. Egy több lapból álló füzetlapjaira kis eltéréssel mozgásfázisokat rajzolunk, majdúgy pörgetjük a lapokat, hogy a lapok egyenlô idôkö-

zönként peregjenek. (Annak idején a negyedikes gim-nazista fizikatankönyv is megörvendeztette a nebuló-kat ilyen látványossággal.)

FenakisztoszkópEgy kör alakú papírlemezt készítünk, amelyen a szé-

lénél sugár irányban keskeny 12 vagy 16 rést vágunk ki.A rések közé a mozgás fázisait tartalmazó ábrákat rajzo-

lunk. Az eszközt tükör felé tartva, megpörgetve és aréseken átnézve máris láthatóvá válik a mozgás. A kivi-telezésnél a papírlemezt középpontján átszúrt gombos-tûvel erôsíthetjük egy hosszabb ceruza végére.

ZoetrópKészítsünk egy felül nyitott, alul zárt papírhengert,

amely függôleges tengelye mentén forog. A hengerpalástjára egyenlô távolságban keskeny réseket vá-

gunk, belsô felületére pedig a rések számával meg-egyezô mozgásfázist ábrázoló képsorozatot helye-zünk el, például egy kereket, amelynek egymás utániküllôit kihúzzuk vastagon. Megpörgetve a hengert aréseken át benézve a mozgást folyamatosnak látjuk.Egyszerre többen is élvezhetjük a „mozit”.

Rendkívül jól mûködô „csapágyat” készíthetünk kétpopszegecs felhasználásával. Az egyik szegecsbôlüssük ki a szárat és a dugjuk rá a másik szegecsreúgy, hogy a fejük nézzen szembe. A száras szegecset


egy deszkába fúrt megfelelô lyukba helyezzük, a má-sik szegecsre a zoetrópot tesszük.

A készülék szabásmintája a webes változatbanmegtalálható, azt akár A3-as méretre nagyítva ki-nyomtatva készíthetjük el a zoetrópunkat. Célszerûvastagabb kartonra ragasztani, így a megfelelô tartásis biztosított.

PraxinoszkópHasonlít a zoetróphoz, de itt nyílások helyett sík-

tükrök vannak egy alacsonyabb henger vagy szabá-lyos sokszög alapú gúla külsô falához ragasztva.Ezekben láthatjuk a képeket felvillanni. A képfázisokés a tükrök száma megegyezô. Házilagos elkészítés-nél a tükrök formára szabása jelenthet nehézséget.Lehet próbálkozni fényes öntapadós fóliával, de itt afelület simaságát kell garantálni.

✧Felmerülhet a kérdés: a mai digitális világban van-ehelye ilyen „idejétmúlt” játékoknak. Egy lehetségesválasz: Strobotop™ LightPhase Animator. Mûködésé-rôl videót az interneten találhatunk [1]. Egy pörgettyû-re helyezhetô korongon lévô képeket stroboszkóppalvilágítunk meg. Helyes villogási frekvenciánál a képe-ket állni látjuk. Házilagos elkészítése nem ördöngôs-ség. Stroboszkópot készíthetünk nagy fényerejû fehérLED és NE555-ös IC felhasználásával [2] de akár and-roidos telefonra letölthetô alkalmazás segítségével is.

Irodalom1. https://www.youtube.com/watch?v=wHdpzDluyhs2. www.hobbielektronika.hu/segedprogramok/?prog=555_astabil

XXIV. ÖVEGES JÓZSEF KÁRPÁT-MEDENCEI FIZIKAVERSENYTasi Zoltánné

Fontos Sándor Általános Iskola, Üllés

Az Öveges József Kárpát-medencei Fizikaversenykiírója az Eötvös Loránd Fizikai Társulat ÁltalánosIskolai Oktatási Szakcsoportja. Az országos döntôtkomoly elôkészületek, szakmai-anyagi feltételek biz-tosítása elôzte meg. A Gyôri Kazinczy Ferenc Gimná-zium 12. alkalommal házigazdája az országos döntô-nek. A gimnázium falai között dôl el, hogy az ÖvegesJózsef Kárpát-medencei Fizikaverseny döntôjében kika legjobbak. Hagyományainkhoz híven az országosdöntôre meghívást kaptak a határainkon túl fizikátmagyar nyelven tanuló diákok legjobbjai is. A 72 ha-zai mellett 6 határon túli versenyzô érkezett.

A döntô krónikája

A XXIV. verseny 2014. május 23-án ünnepélyes meg-nyitóval vette kezdetét a Gyôr-Moson-Sopron megyeiKormányhivatal Dísztermében. Az ünnepséget köve-tôen mindenki elfoglalta szállását, majd az elmaradha-tatlan gyôri városnézés következett a versenyzô fiata-lok és a felkészítôk számára. Késô délután a rendez-

vény résztvevôi Fülöp Viktorné Rózsika vezetésévelaz Eszterházy-palotába sétáltak el, ahol tárlatvezetésés hangverseny várta ôket.

Május 24-én (szombaton) 8 órakor kezdôdött a ver-seny. A délelôtt folyamán gondolkodtató (teszt jellegû)és számítást igénylô feladatok megoldására került sor.

Amíg a versenyzôk a feladatokat oldották, a felké-szítô tanároknak Lévainé Kovács Róza, az Eötvös Lo-ránd Fizikai Társulat Általános Iskolai Oktatási Szak-csoportja elnöke tartott megbeszélést a verseny jövô-jérôl és az elkövetkezô évek terveirôl.

Ebéd után fizikatörténeti, kísérleti, és kísérletelemzôfeladatokkal folytatódott a megmérettetés. A feladat-megoldást követôen a kötetlen program alatt lehetôségvolt megtekinteni a feladatok javítókulcs szerinti meg-oldását. A zsûri több órás megfeszített munka alapjánelôkészítette a következô napi eredményhirdetést. Arésztvevôket a Mobilis interaktív kiállítási központbanestébe nyúló interaktív program varázsolta el.

A verseny zárása, az ünnepélyes eredményhirdetés2014. május 25-én a Gyôr-Moson-Sopron Megyei Kor-mányhivatal dísztermében volt.


A XXIV. Öveges József Kárpát-medencei OrszágosFizikaverseny szervezésében, lebonyolításában – azelôzetes fordulókkal együtt – körülbelül 400 pedagó-gus, 30 helyi szervezô mûködött közre. Köszönetmindannyiuk munkájáért!

Az elsô forduló feladatainak kitûzôi Juhász Nándorés Juhász Nándorné volt. A második forduló felada-tait Halász Tibor, Kopasz Kata, Pál Zoltán és VargaIstván állította össze. A példákat Hadházy Tibor, Ha-lász Tibor, Kovács László és Vida József lektorálta.

A gyôri szervezést Fülöp Viktornénak, WernernéPôheim Juditnak és Szabó Miklósnak, a verseny hon-lapjának mûködtetését Reszegi Miklós informatikus-nak köszönhetjük.

A döntô feladatai1

1 A teljes feladatsor a honlapon tekinthetô meg.

Számolásos feladatok

I. Egy utasokkal teli vasúti szerelvényt elektromosmozdony 72 km/h sebességgel húzott.

A következô vasútállomás 3 km távolságra volt,amikor a szerelvény áramszünet miatt, csak „lendület-bôl” haladhatott tovább.

a) Kellett-e fékeznie a vezetônek ahhoz, hogy avonat meg tudjon állni az állomáson, ha a fékezô erô-hatás nagysága a szerelvény súlyának 0,005-szeresevolt? (Egy test mozgási energiáját Em = 1/2 m v 2

képlettel számíthatjuk ki.)b) Mit állíthatunk a fékútról, ha a szerelvényben az

elôzôhöz képest sokkal kevesebben utaznak? Kellene-efékezni ezt a szerelvényt, hogy megálljon az állomáson.

II. Egy, az ábrának megfelelô rendszer egyensúlybanvan.

a) Milyen ρ sûrûségû folyadékba merül – az ábra

L/4 3 /4L

szerinti – jobb oldali test? A következôket tudjuk: amerev rúd elhanyagolható tömegûnek tekinthetô, acsigán függô tárgy tömege m1 = 6 kg, a folyadékbamerülô tömör tárgy tömege m2 = 1200 g és a sûrûségeρ2 = 7800 kg/m3.

b) Cseréljük le az edényben a folyadékot desztilláltvízre, és a vízbe merülô testet egy más anyagú, deugyanakkora (m3 = 1,2 kg) tömegû testre! Mekkora avízbe merült test V3 térfogata és ρ3 sûrûsége, ha azalátámasztási pont nem változott és a rendszer egyen-súlyban maradt.

(Számolhatsz a g kerekített értékével!)

III. Egy „fekete doboz” tartalmáról csak annyit tu-dunk, hogy a benne levô, három egyenlô (R ) ellenállá-sú elektromos fogyasztó sorba van kapcsolva egymás-sal, és a doboz kivezetéseihez van valahogy kötve.

Egy 4,5 V feszültségû áramforrás és egy feszültség-mérô mûszer segítségével vizsgálatot végeztünk, hogykiderítsük, a három fogyasztó hogyan van kötve adoboz kivezetéseihez.

Az alábbi 6 mérés alapján keress és írj le olyanmegállapításokat, amelyek logikus elemzésével vála-szolni tudsz a kérdésre!

Készíts el és indokolj egy – szerinted a feltételek-

mérés sorszáma 1 2 3 4 5 6

áramforrás csatla-kozási pontjai

1–2 1–3 1–4 2–3 2–4 3–4

voltmérô csatlako-zási pontjai

3–4 2–4 2–3 4–1 1–3 1–2

voltmérôn leolva-sott

érték1,5 V 0 V 2,25 V 2,25 V 0 V 4,5 V

nek megfelelô – kapcsolási rajzot a dobozban levôfogyasztók elhelyezésérôl.

(A voltmérôt tekintsük ideálisnak és tételezzük fel,

1

2

3

4?

hogy az ellenállások nem változtak a mérések alatt!Csak az indokolt megállapításokra adhatók pontok, atalálgatással adottakra nem!)

Tesztek

A következô feladatokban 3 vagy 4 állítást közlünk.Döntsd el, hogy ezek közül melyik az IGAZ és melyika HAMIS (téves) állítás! Néhány tesztkérdés a 16-ból:1. Ez a grafikon egy egyenes sínpályán mozgó moz-

dony pillanatnyi sebességét ábrázolja az idô függ-vényében. Helyesek-e a grafikon alapján megfo-galmazott megállapítások?

a) A mozdony megállás nélkül mozgott!

v(m

/s)

0 t (s)

b) Visszafelé egyszer ment!c) Sebességének iránya kétszer változott!d) A mozdony mindig gyorsuló mozgással haladt.


8. Lehet-e jéggel langyos vizet fagyasztani?

A verseny elsô helyezettjei és a kitüntetett tanárok (balról jobbra):Botlik Bence (általános iskola I. díj), Gärtner István (RónaszékiLászló-díj), Halász Nóra (abszolút elsô helyezett), Erdôsi Katalin(Csákány Antalné-díj), Négyessy Eszter és Marozsák Tóbiás (mind-ketten gimnázium I. díj).

Szerkesztõség: 1092 Budapest, Ráday utca 18. földszint III., Eötvös Loránd Fizikai Társulat. Telefon/fax: (1) 201-8682

A Társulat Internet honlapja http://www.elft.hu, e-postacíme: [email protected]

Kiadja az Eötvös Loránd Fizikai Társulat, felelõs: Szatmáry Zoltán fõszerkesztõ.

Kéziratokat nem õrzünk meg és nem küldünk vissza. A szerzõknek tiszteletpéldányt küldünk.

Nyomdai elõkészítés: Kármán Stúdió, nyomdai munkálatok: OOK-PRESS Kft., felelõs vezetõ: Szathmáry Attila ügyvezetõ igazgató.

Terjeszti az Eötvös Loránd Fizikai Társulat, elõfizethetõ a Társulatnál vagy postautalványon a 10200830-32310274-00000000 számú egyszámlán.

Megjelenik havonta, egyes szám ára: 800.- Ft + postaköltség.

HU ISSN 0015–3257 HU ISSN 1588–0540(nyomtatott) és (online)

a) Nem, mert a jég a melegebb vízzel érintkezveelolvad.

b) Nem, mert a jég fajhôje kisebb, mint a vízé.c) Igen, ha a jég nulla foknál hidegebb, és kellô

mennyiségû van belôle.16. Arisztotelész elképzelése a mozgásról több mint

1800 évig elfogadott volt. Cáfolatát Galileinek kö-szönhetjük, mert kimutatta, sok egyenértékû iner-ciarendszer létezik. Ebbôl következik, hogy:a) A hely és a mozgás viszonylagos, mert függ a

vonatkoztatási rendszer megválasztásától.b) A sebességváltozás is viszonylagos.c) A viszonylagos jelzô a pontatlanságra utal.

Fizikatörténeti feladat

„Az élet egyikünk számára sem könnyû, de hinnünkkell, hogy tehetségesek vagyunk valamiben, s hogyazt a valamit bármi áron is el kell érnünk!”

Kitôl származik ez az idézet? Lehetne ez az elsôkérdés, de túl könnyûnek bizonyulna, hiszen MarieCurie maga írta, belesûrítve egyetlen mondatba ön-magát! A verseny II. fordulójában Curie életrajzáróladtatok számot.

Kísérleti és kísérletelemzô feladatok

A száloptikával végrehajtott fénytörési és teljes vissza-verodési kísérletek lényege is ez volt: Figyeld a fény-sugarakat! Írd le minél részletesebben, mit láttál abemutatott kísérletben! Ismered-e a látott jelenségvalamilyen gyakorlati alkalmazását?

Értékelés

A tesztkérdésekre megoldása sikerült a legjobban,78%. A számolásos feladatok közül az elsôt átlagosan46%-ra, a másodikat 72%(!)-ra, míg a harmadikat csak25%-ra tudták megoldani. Ez utóbbi példa volt azegész verseny messze legnehezebb feladata, a kísér-leti feladat 39%-kal pedig a második. A történelmi(56%) és kísérletelemzô (62%) az összesített eredmé-nyesség (58%) közvetlen közelében volt.

Eredmények, díjazottak

Általános iskolások I. díjasa Botlik Bence (Üllôi ÁrpádFejedelem Általános iskola, Üllô, felkészítô tanára: Si-mon Gyula ). II. díjat kettô, III. díjat hat tanuló kapott.

A gimnazisták közül került ki az abszolút elsô he-lyezett Halász Nóra (Dunakeszi Radnóti Miklós Gim-názium, Dunakeszi), Tölgyesiné Imes Marianna tanít-ványa. Ôk az iskolai tanévzárón vehették át az Öve-ges Plakettet.

I. díjat kapott még Négyessy Eszter (BékásmegyeriVeres Péter Gimnázium, Budapest, Erdôsi Katalin ) ésMarozsák Tóbiás (Óbudai Árpád Gimnázium, Buda-pest, Gärtner István ). II. díjat négyen, III. díjat kilen-cen kaptak.

A verseny díjainak kiosztása után két, az EötvösLoránd Fizikai Társulat Általános Iskolai OktatásiSzakcsoportja kezdeményezésére alapított emlékdíjátadása következett.

Csákány Antalné-díjban az a fizikatanár részesül-het, aki 5 év távlatában a legeredményesebb felkészí-tô tanárnak bizonyul. Azonos érték esetén a kisebbtelepülésrôl érkezett kolléga élvez elônyt. A díjat 5évente egyszer kaphatja meg ugyanaz a személy.

Rónaszéki László-díjban az a fizikatanár részesül-het, aki a legtöbb versenyzôt indítja az Öveges JózsefKárpát-medencei Fizikaverseny elsô fordulójában, ésa legjobb arányban jutnak be közülük a döntôbe. (Azértékelésnél kigyûjtik az 1. fordulóban legtöbb ver-senyzôt indító tíz kolléga nevét, és megnézik, hogyversenyzôi milyen arányban jutottak a döntôbe.)

2014-ben a Csákány Antalné-díjat Erdôsi Katalintanárnô (budapesti Békásmegyeri Veres Péter Gimná-zium), a Rónaszéki László-díjat Gärtner István tanár úr(budapesti Óbudai Árpád Gimnázium) vehette át.

A verseny megrendezését Fazekas Sándor vidékfej-lesztési miniszter és az Innovációs Szövetség, mint averseny fôvédnökei, a Gyôr-Moson-Sopron MegyeiKormányhivatal, Gyôr megyei jogú város Polgármes-teri Hivatala, a Gyôr-Moson-Sopron Megyei Pedagó-giai Intézet, a gyôri Kazinczy Ferenc Gimnázium és aNemzeti Tehetség Program pályázata támogatta.

97

70

01

53

25

00

95

00

51

ISS

N0

01

53

25

-7

Fizikai Szemle 2015/5

Documents

Transcript of Fizikai Szemle 2015/5