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Esame di analisi matematica (Cds. 8615)9/1/2015 (tempo 2 ore)

Nome e Cognome: Numero di Matricola:

(1) Trovare tutte le soluzioni dellequazione

(z 2)3 = 1.(2) Studiare e disegnare il grafico della funzione

f(x) = (x2 4x+ 4) |x2 6x+ 8|.(3) Calcolare

limx0

log(2 + x2) + cosx+ log(

12e

)tan(x4)

.

(4) Risolvere lequazione

y(t) = t1 (y(t))2, y(0) =

2

2.


y(t) y(t) = t2et, y(0) = 18, y(0) = 7

8.

(6) Usando la definizione verificare che

limn+

en = 0.

Soluzioni:1) Si ha che | 1| = 1, quindi 1 = ei e

zk = 2 + ei

(1+2k

)/3, k = 0, 1, 2.

Ossia

z0 = 2 + cos(/3) + i sin(/3) = (5 + i3)/2,

z1 = 2 + cos() + i sin() = 1, z2 = 2 + cos(5/3) + i sin(5/3)) = (5 i

3)/2.

2) Il dominio delle funzione f e` linsieme R. Visto che x2 4x 4 =(x 2)2 0 ci si puo` ridurre a studiare

f1(x) = (x2 4x 4) (x2 6x+ 8) = (x 2)3(x 4).

Si ha

limx

f1(x) = limx

x4(1 4

x 4

x2

)(1 6

x+

8

x2

)= +.

Calcolo della derivata prima e studio del segno:

f 1(x) = 3(x 2)2(x 4) + (x 2)3 = (x 2)2(4x 14),(si e` usata la regola di derivazione del prodotto di due funzioni). Inoltre

f 1(x) > 0 (4x 14) > 0 x >7

2.

Calcolo del minimo:

f1(7/2) = 2716

.

Calcolo della derivata seconda e studio del segno:

f 1 (x) = 2(x 2)(4x 14) + 4(x 2)2 = 12(x 2)(x 3)e

f 1 (x) > 0 (x 2)(x 3) > 0 x < 2 oppure x > 3.Il grafico di f si ottiene ricordando che f(x) = |f1(x)|.

Figure 1. Grafico di f1

Figure 2. Grafico di f

3) Usando le proprieta` dei logaritmi si ha che

limx0

log(2 + x2) + cosx+ log(

12e

)tan(x4)

=

limx0

log 2 + log(1 + x

2

2

)+ cosx log 2 1

tan(x4)

Quindi usando le formule di Taylor:

cosx 1 = x2

2+

x4

4!+ o(x5), per x 0,

log(1 +

x2

2

)=

x2

2 x

4

8+ o(x4), per x 0,

etan(x4) = x4 + o(x4), per x 0,

ci si riduce a calcolare il limite

limx0

112x4 + o(x4)

x4 + o(x4)= 1

12.

4) Si ha y2/2

ds1 s2 =

t0

s ds

quindi

arcsin y =

4+

t2

2,

ossia

y(t) = sin(4+

t2

2

).

5) Il polinomio caratteristico e` 2 1 = 0. Si ha quindi = 1 e lasoluzione generale dellequazione omogenea e`

yom(t) = C0et + C1et.

Una soluzione particolare e` della forma

yp(t) = et

e2t(

ett2et dt)dt =

et

3

e2tt2 dt

Integrando per parti si conclude che

yp(t) = et(t36 t

2

4+

t

4 1

8

)

quindi la soluzione (generale) dellequazione e`

y(t) = C0et + C1et + et

(t36 t

2

4+

t

4 1

8

)

Ricordando che y(0) = 1/8 e y(0) = 7/8 si ottiene il sistema

C0 + C1 = 0,

C0 C1 = 1.Quindi C0 = C1 = 1/2 e

y(t) =et

2+ et

(t36 t

2

4+

t

4 5

8

).

6) Il simbolo limn+ en = 0 significa che per ogni > 0 esiste N Rtale che per ogni n > N si ha

< en < .

Si fissi > 0. Essendo lesponenziale positivo si ha che, per ogni n N, < en. Invece

en < n < log n > log(1).Quindi, la definizione e` verificata prendendo, ad esempio, N = log(1).




(z 1)3 = 8.(2) Studiare e disegnare il grafico della funzione

f(x) = (x2 2x+ 1) |x2 4x+ 3|.(3) Calcolare

limx0

log(6 + x3) + sin x log(6ex)log(1 + x5)

.


y(t) = t1 (y(t))2, y(0) = 1

2.


y(t) y(t) = t2et, y(0) = y(0) = 78.


limn+

en = +.

Soluzioni:1) Si ha che | 8| = 8, quindi 8 = 8ei e

zk = 1 + 2ei

(1+2k

)/3, k = 0, 1, 2.

Ossia

z0 = 1 + 2 cos(/3) + 2i sin(/3) = 2 + i3,

z1 = 1 + 2 cos() + 2i sin() = 1, z2 = 1 + 2 cos(5/3) + 2i sin(5/3)) = 2 i

3.

2) Il dominio delle funzione f e` linsieme R. Visto che x2 2x + 1 =(x 1)2 0 ci si puo` ridurre a studiare

f1(x) = (x2 2x+ 1) (x2 4x+ 3) = (x 1)3(x 3).

Si ha

limx

f1(x) = limx

x4(1 2

x+

1

x2

)(1 4

x+

3

x2

)= +.

Calcolo della derivata prima e studio del segno:

f 1(x) = 3(x 1)2(x 3) + (x 1)3 = 2(x 1)2(2x 5),(si e` usata la regola di derivazione del prodotto di due funzioni). Inoltre

f 1(x) > 0 (2x 5) > 0 x >5

2.

Calcolo del minimo:

f1(5/2) = 2716

.


f 1 (x) = 4(x 1)(2x 5) + 4(x 1)2 = 12(x 1)(x 2)e

f 1 (x) > 0 (x 1)(x 2) > 0 x < 1 oppure x > 2.Il grafico di f si ottiene ricordando che f(x) = |f1(x)|.

Figure 3. Grafico di f1


3) Usando le proprieta` dei logaritmi si ha che

limx0

log(6 + x3) + sin x log(6ex)

log(1 + x5)=

limx0

log 6 + log(1 + x

3

6

)+ sin x log 6 x

log(1 + x5)

Quindi usando le formule di Taylor:

sin x x = x3

6+

x5

5!+ o(x5), per x 0,

log(1 +

x3

6

)=

x3

6+ o(x5), per x 0,

elog(1 + x5) = x5 + o(x5), per x 0,

ci si riduce a calcolare il limite

limx0

15!x5 + o(x5)

x5 + o(x5)=

1

5!=

1

120.

4) Si ha

y1/2

ds1 s2 =

t0

s ds

quindi

arccos y =

3+

t2

2,

ossia

y(t) = cos(3+

t2

2

).

5) Il polinomio caratteristico e` 2 1 = 0. Si ha quindi = 1 e lasoluzione generale dellequazione omogenea e`

yom(t) = C0et + C1et.


yp(t) = et

e2t

(ett2et dt

)dt =

et

3

e2tt2 dt


yp(t) = et(t36+

t2

4+

t

4+

1

8

)


y(t) = C0et + C1et et

(t36+

t2

4+

t

4+

1

8

)

Ricordando che y(0) = y(0) = 7/8 si ottiene il sistema

C0 + C1 = 1,

C0 + C1 = 1.Quindi C0 = 0, C1 = 1 e

y(t) = et et(t36+

t2

4+

t

4+

1

8

).

6) Il simbolo limn+ en = + significa che per ogni M > 0 esisteN R tale che per ogni n > N si ha

M < en.

Si fissi M > 0. Allora

M < en logM < n.Quindi, la definizione e` verificata prendendo, ad esempio, N = logM .




z4 = 4.(2) Studiare e disegnare il grafico della funzione

f(x) = x5 e|x|.

(3) Calcolare

limx0

tan x arctan x2cosx arccosx x .


y(t) = t5y(t) + t5, y(0) = 0.


y(t) 6y(t) + 5y(t) = tet, y(0) = 164

, y(0) = 564

.


limn+

2n

1 + n2= 0.

Soluzioni:1) Si ha che | 4| = 4, quindi 4 = 4ei e

zk =2ei

1+2k4 , k = 0, 1, 2, 3.

Ossia

z0 = 1 + i, z1 = 1 + i, z2 = 1 i, z3 = 1 i.

2) Il dominio delle funzione f e` linsieme R. Visto che la funzione e`dispari (per ogni x R, f(x) = f(x)) ci si puo` ridurre a studiare

f1(x) = x5ex,

per x 0. Si halim

x+f1(x) = lim

x+x5

ex

Utilizzando, ad esempio, 5 volte il teorema di De lHopital si trova cheil limite precedente e` uguale a

limx+

5!

ex= 0.

Si ha inoltre f1(0) = 0. Calcolo della derivata prima e studio del segno:

f 1(x) = 5x4ex x5ex = x4ex(5 x),

(si e` usata la regola di derivazione del prodotto di due funzioni). Inoltre

f 1(x) > 0 0 < x < 5.Calcolo del massimo:

f1(5) = 55e5.


f 1 (x) = exx3(x2 10x+ 20)

ef 1 (x) > 0 0 < x < 5

5 oppure x > 5 +

5.

Il grafico di f si ottiene ricordando che la funzione f e` dispari.


3) Applicando il teorema di De lHopital una volta si ottiene

limx0

1 + (tan x)2 11+x2

2sin x+ 1

1x2 1(ancora una forma indeterminata del tipo 0/0). Applicando il teoremauna seconda volta ci si riduce a

limx0

2 tanx(1 + (tanx)2) + 2x(1+x2)2

2cosx+ x

(1x2)3/2= 0

4) Si ha y0

ds

1 + s=

t0

s5 ds

quindi

log(1 + y) =t6

6,

ossia

y(t) = et6

6 1.5) Il polinomio caratteristico e` 2 6 + 5 = 0. Si ha quindi 0 = 1,1 = 5 e la soluzione generale dellequazione omogenea e`

yom(t) = C0et + C1e

5t.


yp(t) = e5t

e4t

(ettet dt

)dt =

e5t

2

e4tt2 dt


yp(t) = et

64(8t2 + 4t+ 1)


y(t) = C0et + C1e

5t et

64(8t2 + 4t+ 1).

Ricordando che y(0) = 1/64 e y(0) = 5/64 si ottiene il sistema

C0 + C1 = 0,

C0 + 5C1 = 0.

Quindi C0 = C1 = 0 e

y(t) = et

64(8t2 + 4t+ 1).

6) Il simbolo limn+ 2n1+n2 = 0 significa che per ogni > 0 esisteN R tale che per ogni n > N si ha

< 2n1 + n2

< .

Si fissi > 0. Allora, per ogni n N, < 2n

1 + n2.

Resta da verificare la seconda disuguaglianza. Si ha

2n

1 + n2< 0 < n2 2n

+ 1.

La precedente disequazione e` soddisfatta se

n >1

+

1

2 1.

Quindi, la definizione e` verificata prendendo, ad esempio, N = 1+

12 1.




z4 = 8 + 83i.

(2) Studiare e disegnare il grafico della funzione

f(x) = x3 e|x|.

(3) Calcolare

limx0

sin x arcsin x2cosx arccosx x .


y(t) = t6y(t) + t6, y(0) = 0.


y(t) 6y(t) + 5y(t) = te5t, y(0) = 164

, y(0) =1

64.


limn+

1

1 + n2= 0.

Soluzioni:1) Si ha che | 8 + 83i| = 16, quindi 8 + 83i = 16ei2/3 e

zk = 2ei 2+6k

12 , k = 0, 1, 2, 3.

Ossia

z0 =3 + i,

z1 = 1 3i,

z2 = 3 i,

z3 = 13i.

2) Il dominio delle funzione f e` linsieme R. Visto che la funzione e`dispari (per ogni x R, f(x) = f(x)) ci si puo` ridurre a studiare

f1(x) = x3ex,

per x 0. Si halim

x+f1(x) = lim

x+x5

ex

Utilizzando, ad esempio, 3 volte il teorema di De lHopital si trova cheil limite precedente e` uguale a

limx+

3!

ex= 0.

Si ha inoltre f1(0) = 0. Calcolo della derivata prima e studio del segno:

f 1(x) = 3x2ex x3ex = x2ex(3 x),

(si e` usata la regola di derivazione del prodotto di due funzioni). Inoltre

f 1(x) > 0 0 < x < 3.Calcolo del massimo:

f1(3) = 27e3.


f 1 (x) = exx(x2 6x+ 6)

ef 1 (x) > 0 0 < x < 3

3 oppure x > 3 +

3.

Il grafico di f si ottiene ricordando che la funzione f e` dispari.


3) Applicando il teorema di De lHopital una volta si ottiene

limx0

cosx 11x2

2sin x+ 1

1x2 1(ancora una forma indeterminata del tipo 0/0). Applicando il teoremauna seconda volta ci si riduce a

limx0

sin x x(1 x2)3/2

2cosx+ x

(1x2)3/2= 0

4) Si ha y0

ds

1 + s=

t0

s6 ds

quindi

log(1 + y) =t7

7,

ossia

y(t) = et7

7 1.5) Il polinomio caratteristico e` 2 6 + 5 = 0. Si ha quindi 0 = 1,1 = 5 e la soluzione generale dellequazione omogenea e`

yom(t) = C0et + C1e

5t.


yp(t) = et

e4t(

e5tte5t dt)dt =

et

2

e4tt2 dt


yp(t) =e5t

64(8t2 4t+ 1)


y(t) = C0et + C1e

5t +e5t

64(8t2 4t+ 1).

Ricordando che y(0) = y(0) = 1/64 si ottiene il sistema

C0 + C1 = 0,

C0 + 5C1 = 0.

Quindi C0 = C1 = 0 e

y(t) =e5t

64(8t2 4t+ 1).

6) Il simbolo limn+ 11+n2 = 0 significa che per ogni > 0 esisteN R tale che per ogni n > N si ha

< 11 + n2

< .

Si fissi > 0. Allora, per ogni n N, < 1

1 + n2.

Resta da verificare la seconda disuguaglianza. Si ha

1

1 + n2< 0 < n2 1

+ 1.

La precedente disequazione e` soddisfatta se

n >

1

1.

Quindi, la definizione e` verificata prendendo, ad esempio, N =

1 1.

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