Equation Chapter 1 Section 1 Información de la...

PRÁCTICA DE LABORATORIO NÚM 6

P-SLM-06

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Rev. nº 1.0

Fecha 30/10/2010

GENERACIÓN DE HACES CON UN SLM

Equation Chapter 1 Section 1

Información de la práctica

Título: Generación de haces con un SLM

Asignatura: Óptica - Microóptica

Autores: Luis Miguel Sánchez Brea,

Horas: 3 horas

Conocimientos previos:

MATERIAL

Material necesario: Ordenador personal + piezas en el esquema + banco óptico

Esquema:

SOFTWARE Y DOCUMENTACIÓN

Software: Software de control del SLM

Software de generación de haces, y de generación de superficies rugosas

P-SLM-06 GENERACIÓN DE HACES CON UN SLM Pág. 2 de 18

Control de versión y tareas realizadas

VERS. FECHA COMENTARIO Realización

1.0 01/10/2010 Diseño de práctica Sánchez Brea

1.0 15/10/2010 Realización de las imágenes Sánchez Brea

1.0 20/10/2010 Realización de la práctica Sánchez Brea

1.0 20/10/2010 Realización del documento Sánchez Brea / Torcal Milla

Índice

INFORMACIÓN DE LA PRÁCTICA ................................................................................................................... 1

CONTROL DE VERSIÓN Y TAREAS REALIZADAS ........................................................................................ 2

ÍNDICE ................................................................................................................................................................ 2

1 OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA ............................................................................................................... 3

2 ANÁLISIS TEÓRICO ................................................................................................................................. 3

2.1 Haces de Gauss ................................................................................................................................... 3 2.1.1 Haces Hermite-Gauss ................................................................................................................. 5 2.1.2 Laguerre-Gauss .......................................................................................................................... 7 2.1.3 Axicones ..................................................................................................................................... 7 2.1.4 Vórtices ....................................................................................................................................... 9 2.1.5 Haces aberrados ....................................................................................................................... 10 2.1.6 Haces con coherencia parcial ................................................................................................... 12

3 ESQUEMA DE DISEÑO .......................................................................................................................... 13

4 DESARROLLO EXPERIMENTAL ........................................................................................................... 15

4.1 Generación de haces de Hermite-Gauss y Laguerre-Gauss .............................................................. 15 4.2 Generación de axicones ..................................................................................................................... 15 4.3 Generación de un vórtice ................................................................................................................... 16 4.4 Generación de aberraciones controladas ........................................................................................... 16 4.5 Generación de un haz con coherencia parcial ................................................................................... 17 4.6 Simulación de defectos ...................................................................................................................... 18


Advertencias:

En esta práctica se emplea como fuente de luz un haz láser; debe

evitarse mirar directamente la luz que emite o cualquier reflejo directo.

El modulador de luz es un sistema caro y delicado. Si tocamos el

modulador con los dedos, etc. lo romperemos. Está terminantemente

prohibido tocar el modulador.

1 Objetivos de la práctica

En esta práctica se pretende generar experimentalmente una serie de haces de gran interés en la óptica

mediante el uso de moduladores espaciales: haces de Hermite-Gauss, Laguerre-Gauss, haces de Bessel,

vórtices, haces aberrados definidos mediante polinomios de Zernike, haces parcialmente coherentes,

mediante una generación temporal de superficies rugosas, y generación de defectos superficiales para el

análisis de dispositivos ópticos en ámbitos industriales.

El mecanismo está basado en que los haces generados presentan una cierta amplitud compleja. Esto no se

puede generar con un único modulador, pero sí con dos, uno de ellos en modo amplitud y el otro en modo

fase. Para evitar la difracción entre ambos moduladores, se utiliza en sistema 4f que proyecta la amplitud del

primer modulador sobre el segundo. De esta forma obtenemos el campo deseado en un cierto plano, justo a

la salida del segundo modulador.

2 Análisis Teórico

2.1 Haces de Gauss

Una onda paraxial es una onda plana del tipo exp ( )i t k r donde la amplitud viene modulada por una

envolvente compleja lentamente variable de la posición

, exp ( )t i t E r A r k r (1)

donde 0 ( ) ( )exp( )i E r A r k r . Consideraremos la aproximación escalar donde las componentes del

campo eléctrico se pueden describir de forma separada. Sea entonces el campo descrito a través de una

magnitud vectorial

( ) ( )exp( )U A i r r k r (2)


Por envolvente compleja lentamente variable en el tiempo queremos decir que las derivadas primera y

segunda son mucho más pequeñas que la propia amplitud, variando poco en rangos del orden de la longitud

de onda

A

kAz

y

22

2

Ak A

z

(3)

Sin pérdida de generalidad supondremos que la onda viaja en la dirección z, ( ) ( )exp( )U A ikzr r , de

forma que haces en otras direcciones se pueden determinar mediante una sencilla rotación.

Introduciendo esta onda en la ecuación de Helmoltz, en este caso escalar, 2 2 0U k U r r

obtenemos una ecuación para ( )A r

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )2 0ikz ikzA A A A

e ik ex y z z

r r r r (4)

considerando que ( )A r es lentamente variable en z, podemos anular la componente 2 2/ z , obtenemos

2 ( )( ) 2 0T

AA ik

z

rr (5)

donde 2 2 2 2 2/ / ( )T x y A r es el gradiente transversal. Supongamos ahora una solución para

este tipo de ecuación del tipo

2

1( ) exp2

AA ik

z z

r (6)

donde 2 2 2x y es la coordenada radial. Este tipo de solución está motivada porque una onda esférica

se puede aproximar a un frente de onda parabólica cuando la amplitud varía poco con la distancia, es decir,

“lejos” del origen, pero antes de que esté muy lejos (onda plana).

La solución que vamos a suponer es similar a (6) donde modificamos z por una versión desplazada y

compleja

2

1( ) exp( ) 2 ( )

AA ik

q z q z

r (7)

donde 0( )q z z iz . Por su forma, ( )q z recibe el nombre de radio complejo de curvatura. Con el objeto de

separar la parte real de la imaginaria ( )q z se define de la siguiente forma

2

1 1

( ) ( ) ( )i

q z R z z

(8)


donde, por motivos que veremos después ( )R z recibe el nombre de radio de curvatura y ( )z es la

anchura del haz. Comparando con la otra definición que hemos adoptado para ( )q z

0

1 1

( )q z z jz

(9)

obtenemos que

2 2

0

0 0

( ) 1 , ( ) 1z z

z R z Zz z

(10)

que representan la anchura del haz y su radio de curvatura, donde hemos definido

2 00

z

(11)

Introduciendo todas estas definiciones en (7) y separando la parte real de la compleja obtenemos que el

campo a una distancia z resulta

2 2

00 2

( ) exp exp ( )( ) ( ) 2 ( )

U A ikz ik i zz z R z

r (12)

donde 0 1 0/A A iz , y 1

0( ) arctan /z z z es la denominada fase de Golay. Todo lo hemos escrito en

función de 0z , que se denomina rango de Rayleigh, y que según (11) es

2

00z

(13)

2.1.1 Haces Hermite-Gauss

Los haces gaussianos no son la única solución en forma de haz de la ecuación paraxial de Helmholtz. Existen

otras muchas soluciones, de las cuales, los haces con frentes de onda parabólicos son de particular

importancia. puesto que se ajustan a los espejos esféricos con gran radio y, por ello, pueden ser reflejados

por los dos espejos esféricos que forman un resonador sin ser alterados. Dicha ondas que se auto-

reproducen se denominan modos del resonador, y pueden ser los haces de salida de los láseres.

Supongamos un haz Gaussiano con envolvente compleja

( , , ) 2 2 exp ( ) ( , , )( ) ( )

G

x xA x y z X Y iZ z A x y z

z z

. (14)


donde 2 2

1( , , ) exp( ) 2 ( )

G

A x yA x y z ik

q z q z

es un haz gaussiano. Al introducir esta solución en la ecuación

de Helmholtz paraxial

2 2

2

2 2

1 12 2 ( ) 0

X X Y Y Zu v k z

X u u Y v v z

. (15)

que solamente puede cumplirse de forma general cuando todos los sumandos se anulan. Esto da lugar a

resolver tres ecuaciones diferenciales

2

12

2

22

2

0 0 1 2

1

2

1

2

1 /

X Xu X

u u

Y Yv Y

v v

Zz z z

z

. (16)

Estas ecuaciones representan un problema de autovalores. La solución de las dos primeras son los

autovalores 1 l con 0,1,2...l y

2 m con 0,1,2...m y cuyas autofunciones son los polinomios de

Hermite ( ) ( )lX u H u y ( ) ( )mY v H v que presentan la siguiente relación de recurrencia

1 1( ) 2 ( ) 2 ( )l l lH u uH u lH u . (17)

con 0 ( ) 1H u y 1( ) 2H u u . De igual forma la tercera solución resulta

( ) ( ) ( )Z z l m z . (18)

siendo 1

0( ) arctan ( / )z z z la fase de Golay. Por consiguiente, una solución válida de la ecuación de

Helmoltz resulta ser

2 2

0, ,

2 2( , , ) exp ( 1) ( )

( ) ( ) ( ) 2 ( )l m l m l m

x y x yU x y z A G G ikz ik i l m z

z z z R z

. (19)

donde 2( )exp / 2l lG u H u u , con 0,1,...l , se denomina función de Hermité-Gauss. Algunas de

ellas se representan en la Fig. 1. Finalmente, la intensidad de estos modos resulta ser

22 2 20

, ,

2 2( , , )

( ) ( ) ( )l m l m l m

x yI x y z A G G

z z z

. (20)


Fig. 1. Distribución de intensidad de varios haces Hermite-Gauss de bajo orden en el plano transverso.

Los haces Hermite-Gauss forman un conjunto completo de soluciones de la ecuación de Helmholtz paraxial.

Cualquier otra solución se puede escribir como una superposición de estos haces. Esta familia de soluciones

no es la única. Existen otros conjuntos completos de soluciones tal como los Haces Laguerre-Gauss que se

obtiene escribiendo la ecuación paraxial de Helmholtz en coordenadas cilíndricas.

2.1.2 Laguerre-Gauss

Cuando el problema a resolver presenta simetría cilíndrica, la solución paraxial natural de la ecuación de

Helmholtz son los modos de Laguerre-Gauss. Dichos modos se representan en coordenadas cilíndricas

haciendo uso de los polinomios de Laguerre.

2 2 2

2 2

2 2( , , ) exp exp

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )

exp exp 2 1 ,

lLG

lp l

p

C r r r ru r z L ik

z z z z R z

il i p l z

(21)

donde l

pL son los polinomios de Laguerre generalizados, el índice radial es 0p y el índice acimutal es l .

Por otro lado, LG

lpC son constantes de normalización y ( )R z y z son parámetros del haz definidos más

arriba.

2.1.3 Axicones

Un axicón es un tipo especial de elemento óptico que posee una superficie cónica. La imagen de un punto

producida por es una línea a lo largo del eje óptico. Por otro lado, transforma un haz láser en un anillo, Fig. 2 y

Fig. 3. Este tipo de lente puede ser usada para transformar un haz gaussiano en aproximadamente un haz de

Bessel, casi no difractivo.


2 2

02

2 sin( , ) sin ,

cosZ Z

kI r z E R R J kr

(22)

con 2R D y z L .

Fig. 2. Esquema de creación de un haz de Bessel utilizando un axicón y un haz láser.

Fig. 3. Ejemplo de haz de Bessel 2

0J .

Las funciones matemáticas que definen un haz de Bessel son las soluciones a la ecuación diferencial de

Bessel, aunque también se puede llegar a ellas a partir de soluciones separables de la ecuación de Laplace y

la de ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas.

Habitualmente, se consiguen aproximaciones a haces de Bessel focalizando un haz Gaussiano con la ayuda

de un axicón para generar un haz de Bessel-Gauss.


2.1.4 Vórtices

Una singularidad en un campo óptico es un cero en la intensidad. La fase del campo circula alrededor de

dichas singularidades (ceros puntuales de intensidad), dando a este fenómeno el nombre de vórtice óptico. El

número que resulta dividiendo la fase del campo alrededor del vórtice por 2π es conocido como carga

topológica del vórtice o “fuerza” del vórtice. Por ejemplo, un modo Hipergeométrico-Gaussiano (HyGG) posee

un vórtice en su centro.

Un haz de forma general, 2exp expim r es una solución paraxial de la ecuación de ondas

consistente en funciones de Bessel. Los fotones en un haz Hipergeométrico-Gaussiano tienen momento

angular m . El número m también nos da la “fuerza” del vórtice en el centro del haz.

Se pueden crear haces HyGG utilizando una espiral de fase, hologramas generados por ordenador, q-plates o

mediante moduladores espaciales de luz.

Las espirales de fase estáticas se realizan habitualmente de plástico o vidrio y son diseñadas para dotar al

haz de cierta carga topológica invariable. Son muy eficientes pero todavía caros. Por otro lado, también

existen placas de fase variables que pueden cambiar la carga topológica del vórtice.

Por otro lado, los hologramas generados por ordenador son calculados como el interferograma producido por

la interacción entre una onda plana y un haz de Laguerre-Gauss, que es transferido por el holograma. El

holograma genera una red de Ronchi común con una dislocación, Fig. 4.

Fig. 4.Red de Ronchi con una dislocación.

Si se incide con un haz láser, el holograma genera vórtices ópticos cuya carga topológica se incrementa con

el orden de difracción, Fig. 5. El orden cero es puramente gaussiano y los vórtices tienen elipticidad opuesta a

un lado u otro del orden cero. El número de dislocaciones está directamente relacionado con la carga

topológica del primer orden de difracción. Si en vez de usar una red de amplitud se usa una red de fase, se

incrementa su eficiencia.


Finalmente, un modulador espacial de luz es un dispositivo opto-electrónico controlable con el cual se pueden

crear vórtices dinámicos, conjuntos de vórtices u otro tipos de haces.

Fig. 5.Conjunto de vórtices experimentales generados por una red con dislocación como la mostrada en la Fig. 4.

2.1.5 Haces aberrados

Los haces aberrados pueden ser descritos a partir de los polinomios de Zernike. Dichos polinomios se usan

en diseño óptico y procedimientos de análisis de haces para obtener e identificar los tipos y monto de

aberraciones presentes en el haz.

Los polinomios de Zernike no son los únicos polinomios que ajustan las funciones de fase de los haces

aberrados pero presentan propiedades que los hace muy útiles para ello, como son el hecho de que sean una

base completa ortogonal sobre el circulo unidad y que tengan la forma de las aberraciones reales presentes

en sistemas ópticos convencionales. Los polinomios de Zernike sobre el circulo unidad puedes ser escritos de

la siguiente forma

,

,

0

, 2 1 cos , 0,

, 2 1 sin , 0,

1 , 0,

m

even j n

m

odd j n

j n

Z n R m m

Z n R m m

Z n R m

(23)

donde , son coordenadas polares de un punto en el plano de una pupila circular de radio unidad con

0 1 , el índice n representa el orden del polinomio, m es la frecuencia acimutal y j es un orden que

depende de los índices n y m . En la Fig. 6 se muestran los primeros polinomios de Zernike sobre el círculo

unidad.


Fig. 6.Primeros polinomios de Zernike sobre el circulo unidad.

Los polinomios se ordenan de tal forma que aquel con menor índice n va primero, y dentro de un mismo

valor de n , aquel con índice m menor va primero. Además, ( )m

nR son polinomios radiales dados por

are the radial polynomials given by

( )/2

2

0

( 1) ( )!( ) ,

![( ) / 2 ]![( ) / 2 ]!

sn mm n s

n

s

n sR

s n m s n m s

(24)

con n y m enteros positives (incluyendo el cero) y cumpliendo 0n m . Tambien se cumple que

(1) 1nnR , ( )n n

nR , 0(0)mn mR para / 2n par y 0(0)m

n mR para / 2n impar, siendo la

delta de Kronecker. La ortogonalidad de los polinomios radiales y la ortonormalidad de los polinomios

circulares es representada como


1

' '

0

1 2

'

0 0

'1 2

0 0

1( ) ( ) ;

2 1

, ,

.

m m

n n nn

j j

jj

R R dn

Z Z d d

d d

(25)

El principal interés de los polinomios de Zernike es la posibilidad de realizar una expansión polinómica basada

en ellos para cualquier frente de onda sobre una pupila circular. La aberración de la onda es expresada como

una suma ponderada de diferentes polinomios como

, , ,k

j j

j

W w Z (26)

donde jw es el coeficiente del j-ésimo polinomio, jZ .

Como es compresible, para sistemas con pupilas no circulares, los polinomios de Zernike estándar dejan de

ser ortogonales y por lo tanto pierden su interés directo. Sin embargo, debido a que son una base completa,

puede construirse a partir de ellos una nueva base ortogonal para una pupila de forma arbitraria, simplemente

a partir de combinaciones lineales de estos. Para ello se utiliza el método de Gram-Schmidt. En muchos

casos es interesante tener una base sobre una pupila rectangular, como por ejemplo, cuando existen redes

de difracción en el sistema, ya que normalmente poseen simetría con respecto a un eje ortogonal al eje óptico

del sistema.

Como ejemplo, un haz arbitrariamente aberrado puede ser representado como

0 0( , ) exp , exp , .k

ab j j

j

U A ikW A ik w Z

(27)

2.1.6 Haces con coherencia parcial

Un haz parcialmente coherente es aquel cuya fase varía en el tiempo de forma aleatoria. Un ejemplo de este

son los haces de tipo Gauss-Schell.

2 2 2

2

1 0 2 2

´ ´( ) exp exp

4 2I

x x x xI x A

, (28)

donde I es la anchura del haz y denota la longitud de coherencia. Este tipo de haces pueden ser

generados usando un modulador espacial de luz que proyecte una secuencia de mapas de fase aleatorios en

el tiempo. Véase por ejemplo [Xifeng Xiao and David Voelz “Wave optics simulation approach for partial


spatially coherent beams“ Optics Express 14(16) 6986-6992 2006] para un análisis de este tipo de técnica de

generación de haces parcialmente coherentes.

3 Esquema de diseño

En la Fig. 7 se muestra un esquema del montaje experimental a utilizar para el desarrollo de la práctica. En

este caso se utiliza una fuente láser, un expansor-colimador, un espejo, elementos polarizadores, dos

sistemas 4f, dos moduladores espaciales de luz y una cámara CCD.

Fig. 7.Esquema del montaje experimental.

Si dado el caso, no se desea o es más conveniente no usar un espejo, puede usarse una configuración en

línea, como la mostrada en la Fig. 8. Por otro lado, en la Fig. 9 se muestra el despiece del sistema 4f, con las

dos lentes y el pin-hole. Este sistema produce una imagen exacta del objeto y su vez filtra los órdenes de

difracción altos que produce la trama de pixeles propia del modulador espacial de luz.


Fig. 8. Representación del montaje experimental donde no se utiliza espejo

Fig. 9. Detalle de los componentes que forma el proyector 4-f, que además filtra los órdenes indeseados

generados por el modulador.


4 Desarrollo experimental

En algunas de las prácticas no es necesario utilizar los dos moduladores (solo amplitud o solo fase), por lo

que se dejará uno de ellos constante al máximo nivel.

4.1 Generación de haces de Hermite-Gauss y Laguerre-Gauss

En la primera parte de la práctica se llevará a cabo la generación de haces de Laguerre. Éstos están definidos

mediante su amplitud y su fase de la siguiente forma (Fig. 10).

Fig. 10. Generación de un haz de Laguerre a través de su amplitud y su fase

Se utilizarán los dos moduladores espaciales de luz para definir la amplitud y fase del haz por separado. El

desarrollo de esta parte consistirá en cambiar los órdenes de los haces y observar cómo cambian a la salida.

4.2 Generación de axicones

Para la generación de axicones solamente es necesario el uso de uno de los moduladores espaciales de luz.

Se debe enviar al modulador una imagen del tipo de la Fig. 11.

Fig. 11. Generación de un axicón.


Se podrá observar cómo cambia la forma del haz a lo largo del eje óptico, viendo que entre ciertas distancias,

este no cambia, comportándose como un haz parcialmente no difractivo (haz de Bessel).

4.3 Generación de un vórtice

Los vórtices son de gran interés en la actualidad pues permite la generación de haces con momento angular

que pueden ser usados en diversas aplicaciones tales como pinzas ópticas, por ejemplo. Para generar dichos

vórtices es necesario enviar al modulador, por ejemplo, el patrón de fase mostrado en la Fig. 11.

Fig. 12. Fase para la generación de un vórtice óptico

4.4 Generación de aberraciones controladas

Otro tipo de haz de gran interés son los haces aberrados, con una aberración controlada. Para ello

normalmente se pueden generar a través de los polinomios de Zernike, que son una base de funciones sobre

el círculo unidad.

En esta parte de la práctica se propone generar un haz y ver su comportamiento cuando el haz es

posteriormente focalizado con una lente. Se analizará como cámbia el perfil del foco, así como la profundidad

del foco para distintos tipos de aberraciones, como son las aberraciones esférica, coma, astigmatismo, etc. El

profesor propondrá algunas aberraciones con diversos parámetros que se deberán analizar. Posteriomente se

ubicará la cámara en el foco y se captarán las imágenes a distintas posiciones.

Para realizar esta parte hay que modificar ligeramente el esquema anteriormente mostrado y se incluirá una

lente de focalización tras el segundo sistema 4f.

Otra tarea que se podrá realizar es cambiar el tamaño del haz con el primer modulador (simulando una

abertura de tamaño variable) y ver cómo cambia el efecto de las aberraciones en la generación del foco. En la

Fig. 12 se muestra un ejemplo de frente de onda aberrado.


Fig. 13. Ejemplo de Frente de ondas aberrado.

4.5 Generación de un haz con coherencia parcial

En esta parte de la práctica se generara un haz parcialmente coherente. Para ello se generaran patrones de

fase aleatoria que serán enviados al modulador consecutivamente, Fig. 14. La longitud de coherencia del haz

está directamente relacionada con la fase. Para comprobar como cambia la coherencia del haz, se dispondrá

de una doble rendija de amplitud que se proyectara en el segundo modulador. La longitud hasta la cual se

observará el patrón de interferencia dependerá de la longitud de coherencia del haz. Deberá comprobarse

como cambia esta longitud de coherencia. Para ello, el tiempo de exposicion de la cámara deberá ser

relativamente mas alto que el tiempo entre diferentes mapas de fase proyectados.

Fig. 14. Ejemplo de mapa de fases para la generación de un haz parcialmente coherente.


4.6 Simulación de defectos

En esta parte de la práctica se investigará el efecto de defectos, como por ejemplo motas de polvo sobre el

campo difractado por una red de difracción. Para ello se utilizarán los dos moduladores espaciales de luz. En

el primero de ellos se proyectará una red de difracción y en el segundo de ellos un patrón de defectos

aleatorios como el mostrado en la Fig. 15. Se analizará cual es el efecto al ir cambiando la densidad de

defectos. A su vez, también puede analizarse el efecto de sustituir los defectos de amplitud por defectos de

fase. Dicho efecto puede analizarse tanto en campo cercano (régimen de Fresnel) como en campo lejano

(régimen de Fraunhofer).

Fig. 15. Ejemplo de patrón de defectos de amplitud.

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