Energia del campo elettrostatico

  Carica di un condensatore   stato iniziale: carica=(0,0), V=0   stato finale: carica=(Q,-Q), V=Q/C

  La separazione di cariche richiede un lavoro

dW = dqV (q) = dq qC

Lavoro per spostare la carica dq da una armatura all’altra quando sulle armature e` presente la carica q e –q.

Energia del campo elettrostatico

W = dW (q) = dq qC0

Q

!0

Q

! =Q2

2C

= energia potenziale elettrostatica immagazzinata nel sistema attraverso l’operazione di carica.

UE =Q2

2C=CV 2

2=QV2

Densita` di energia nel campo elettrostatico   Condensatore piano a facce parallele (ideale:

no effetti ai bordi)   Area armature: A, distanza: h, volume: Ah

UE =12CV 2 =

12!0Ah(Eh)2 = 1

2!0E

2(Ah)

  Dividendo per il volume:

uE =12!0E

2Densita` di energia elettrostatica. Valida in generale.

Densita` di energia nel campo elettrostatico   Se in un volume V dello spazio e` presente

un campo elettrostatico E, l’energia elettrostatica contenuta nel volume e`:

UE = uE (!r )dV =

12V!

V! !0 |

!E(!r ) |2 dV

Lavoro per costruire la distribuzione di cariche che origina il campo

Risultato molto importante nei fenomeni dinamici

Esempio Q

r Sfera di raggio r Carica Q sulla superficie

Energia elettrostatica

nel campo ??

!E(r) =

0 r ! R14!"0

Qr2!er r > R

"

#$

%$

UE =!0E

2

2! dV =!02Q2

16"!02

1r4R

!

" (4" r2 )dr = Q2

8!"0

drr2R

!

" =18!"0

Q2

R

Osservazione: coincide con UE =Q2

2C(lavoro per caricare)

Esempio

r R1

R2

R3

Q

-Q

Carica +Q e -Q sulle superficie di un condensatore sferico ai raggi R1 e R2

!E(r) =

14!"0

Qr2!er R1 < r < R2

0 altrove

!

"#

$#

UE =!0E

2

2! dV =Q2

8!"0

drr2R1

R2

! =Q2

8!"0

1R1!1R2

"

#$

%

&'

Esercizio: verificare che UE =Q2

2C

Esempio Condensatore cilindrico di raggi R1e R2 e altezza h

!E(r) =

14!"0

Qh1r!er R1 < r < R2

0 altrove

!

"#

$#

dV = 2! rhdr

UE =!0E

2

2! dV =14!"0R1

R2

! Q2

hrdr =

Q2

4!"0

1hlogR2R1

Esercizio: verificare che UE =Q2

2C

Esempio

C1

V1

Q1 C2

V2

Q2

UEin =

12C1V1

2 +12C2V2

2 =12Q1V1 +

12Q2V2V

Q’1 Q’2

UEfin =

12CV 2 =

12(C1 +C2 )

(C1V1 +C2V2 )2

(C1 +C2 )2 =

(C1V1 +C2V2 )2

2(C1 +C2 )

!UE =UEfin "UE

in = "12C1C2C1 +C2

(V1 "V2 )2 < 0

Lo spostamento delle cariche ha richiesto un lavoro

Q =Q1 +Q2 =Q '1+Q '2Q =CV =C1V1 +C2V2(C1 +C2 )V =C1V1 +C2V2

V =C1V1 +C2V2C1 +C2

Energia di sistemi di cariche

  Sistema di cariche puntiformi

UE =12

qiq j4!"0rijij

! =12

qiVijij!

  Distribuzioni continue

UE =12V (!x! )!(

!x)d 3x + 1

2V (!x! )! (

!x)dA+ 1

2V (!x! )!(

!x)dl

Sempre vero: UE =!02

|!E(!x! ) |2 d 3x

Energia di sistemi di cariche (distribuzione continua)

UE =12

!Vd 3x! !! "!E = !

"0# ! = "0

!! "!E

UE =12

!0!! "!EVd 3x#

V!! "!E =!! " (V

!E)!

!E !!!V =

!! " (V

!E)+ E 2

UE =!02

d 3x!! V!E( )

SR

" + d 3x |!E |2

SR

"#

$%%

&

'((

=!02

V!E( ) ! !ndA+ E 2" d 3x

#(SR )"

$

%&&

'

())1

r 2

1r

2r !02

E 2d 3x!

Integriamo su una sfera SR e mandiamo il suo raggio all’infinito

Energia di sistemi di conduttori   Conduttori

  carica superficiale (σι)   superficie equipotenziali (Vi)

Esempio. Condensatore: UE =12Q1V1 +Q2V2( ) = 12Q V1 !V2( )

UE =12

!V dA = 12

Vi ! i!!i"! dAi =

12

ViQii"

Esempio

  Energia elettrostatica di 2 sfere conduttrici (cariche Q1 e Q2, raggi R1 e R2, distanza d>>Ri)

UE =12Q1V1 +Q2V2( )

V1 !Q1

4!"0R1+Q24!"0d

V2 !Q2

4!"0R2+Q14!"0d

UE =Q12

2C1+Q22

2C2+Q1Q24!"0d

Energia di mutua interazione.

L’unica presente per cariche puntiformi.

Esempio

  Energia elettrostatica di una sfera di raggio R uniformemente carica

E(r) =

q4!"0r

2 r > R !UE =!02

E 24! r2 dr = q2

8!"0RR

!

"

!r3!0

r ! R !UE =!02

E 24! r2 dr = 15

q2

8!"0R0

R

!

"

#

$$

%

$$

UE =q2

8!"0R+15

q2

8!"0R=35

q2

4!"0R

Pressione elettrostatica   Forza attrattiva tra le armature di un condensatore

piano nel vuoto. UE =

Q2

21C=Q2

2x!0Afissa

mobile

F

Fext   Forza esterna bilancia F   L’energia cinetica non cambia

dUE = dWext = Fextdx

dUE =Q2

2dx!0A

F =Q2

2!0A= !

"UE

"x

#

$%

&

'(Q=cost

p = FA=Q2

2!0A2 =

" 2

2!0=12|" | E

Pressione elettrostatica   Nell’esempio precedente Q=costante. Supponiamo ora

V=costante.   Il generatore esterno dovra` compiere un lavoro per fornire la

carica necessaria a mantenere V=costante.

dUE = dWext + dW gen

fissa

mobile

F

Fext

C =!0Ax

UE =12CV 2 =

12V 2 !0A

x

dC = !!0Ax2dx dUE = (F

ext !V 2 !0Ax2)dx

dUE = !V2 !0A2x2

dx

F = !Fext =!0AV

2

2x2=

"UE

"x

#

$%

&

'(V=cost

= Fextdx +VdQ = Fextdx +V 2dC

Condensatori