DISPENSE DI FISICA - PROF. TEUGI PIROZZI

Condensatori elettrici

CON ELEMENTI DI ELETTROSTATICA

E L E M E N T I D I E L E T T R O S T A T I C A

I condensatori elettrici

La parte dell'elettrologia, che descrive i fenomeni prodotti dalle cariche elettriche in quiete, si chiama elettrostatica. Essa ricopre un'importanza notevole per i suoi contenuti ricchi di applicazioni pratiche. Di conseguenza, prima di procedere ad analizzare nello specifico le caratteristiche, le proprietà e l'utilizzo dei condensatori elettrici, è opportuno riassumerne i risultati fondamentali.

Sommario

C A P I T O L O 1 La carica elettrica 1

L'elettrizzazione dei corpi 2

La forza e il campo elettrostatici 3

Conduttori e isolanti 5

Il potenziale elettrostatico 6

Il flusso del campo elettrostatico 8

C A P I T O L O 2 La capacità elettrica 10

Il condensatore piano 11

La capacità equivalente di un sistema 12

di condensatori

Energia elettrostatica immagazzinata 14

In un condensatore

Varie tipologie di condensatori 16

Appendice:

I condensatori commercializzati 21

Bibliografia 26

1.1 La carica elettrica

Nell'elettrostatica riveste un ruolo fondamentale il concetto di carica elettrica. La carica

viene considerata indistruttibile o indivisibile, proprietà note rispettivamente come

Principio di conservazione della carica elettrica e discontinuità o quantizzazione della carica elettrica, e

può presentarsi con un segno positivo o negativo. Essa può essere ceduta o acquistata da

un corpo per strofinio, per contatto e per induzione in quantità multiple di un valore

minimo, pari a 1.602*10-19 C , denominato carica elettrica elementare, di segno negativo, a

cui è stato assegnato il nome di elettrone. L'unità di misura della carica elettrica è il coulomb,

uguale alla carica che posta alla distanza di 1 metro da un'altra carica identica, immerse nel

vuoto, la respinge con una forza pari a 9*109 N.

L'utilizzo di un elettrometro consente di misurare la quantità di carica posseduta da un

corpo; allo stesso modo può essere utilizzato un elettroscopio per stabilire se un corpo è

elettrizzato oppure è in equilibrio elettrostatico.

Nello studio dei fenomeni elettrostatici è stato introdotto, con l'obiettivo di renderne più

agevole la comprensione, il concetto di carica puntiforme, ente geometrico astratto nel quale

si immagina concentrata tutta la carica elettrica posseduta da un corpo.

.

Capitolo

1

Elettrometro Elettroscopio

1

1.2 L'elettrizzazione dei corpi Come già accennato nel precedente paragrafo, un corpo può essere elettrizzato utilizzando

uno dei seguenti metodi: lo strofinio, il contatto e l'induzione. L'elettrizzazione per

strofinio (detto anche caricamento per contatto) avviene somministrando una certa quantità di

energia (di sfregamento) che permette di separare nei due corpi, inizialmente neutri,

cariche elettriche opposte. L'elettrizzazione per contatto si verifica quando un corpo

carico viene posto appunto a contatto con un corpo neutro: le cariche del corpo carico si

distribuiscono uniformemente su entrambi i corpi fino a quando non acquistano la stessa

quantità di carica elettrica (figura b). L'elettrizzazione per induzione consiste

nell'avvicinare, senza toccare, un corpo carico isolato ad uno neutro: le cariche presenti su

quest'ultimo in egual numero cambiano la loro distribuzione. Cariche di segno opposto,

per attrazione, si addensano nella parte del corpo neutro più vicina a quello carico, mentre

quelle di segno opposto, per repulsione, si addensano nella zona più lontana. Il corpo è

ancora neutro globalmente, ma se viene diviso in presenza della carica inducente, genera

due corpi carichi di uguale intensità e di segno opposto (figura a).

a) elettrizzazione per induzione b) elettrizzazione per contatto

2

1.3 La forza e il campo elettrostatici Consideriamo due cariche puntiformi, q e Q , in quiete, poste nel vuoto a distanza r. E'

stato verificato sperimentalmente che tra esse si manifesta una forza, attrattiva o repulsiva,

la cui intensità si ricava dalla relazione:

F = k q · Q/ r2 (1)

L'espressione vettoriale di tale forza è la seguente:

F = k q · Q/ r2 · r/r

che sintetizza la legge di Coulomb: "la forza che si esercita tra due cariche puntiformi poste nel

vuoto è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche, è inversamente proporzionale al quadrato della

distanza, è diretta secondo la congiungente le due cariche ed è attrattiva o repulsiva a secondo che le cariche

siano di segno discorde o concorde". La costante k = 1/(4 π ε 0) vale, nel SI, 9 · 109; ε0 è la

costante dielettrica del vuoto pari a 8.854 · 10-12 C2/(Nm2). Il termine r/r è il versore che

individua la retta d'azione della forza (fig. 4).

Introduciamo ora il concetto di campo elettrostatico, E, definito come "la porzione di spazio

nella quale si manifesta la forza elettrostatica". Esso risulta strettamente legato alla forza stessa

dalla relazione:

F = q E (2)

che esprime una relazione di diretta proporzionalità tra le due grandezze.

L'unità di misura di E si ricava dall'equazione dimensionale:

[E] = [F] / [Q]

dalla quale si ottiene Newton/Coulomb o Volt/metro.

Dalla (2) si può ricavare il modulo del campo E generato da una carica Q in un punto A

distante r da Q. Infatti: E = F/q = (k · q Q)/ r2)/ r da cui si ricava:

E = k · Q/ r2 (3)

3

Per quanto concerne la direzione e il verso del campo elettrostatico è necessario ricorrere

al concetto di linea di campo (o di forza) che viene definita come un ente geometrico

astratto in ogni punto del quale il campo è diretto secondo la tangente (fig.4). Nel caso in

cui il campo E sia generato da più cariche, il valore totale del campo stesso potrà essere

ricavato, in ogni punto dello spazio, utilizzando il Principio di sovrapposizione:

E = E1 + E2 + E3 +…….+.En

Fig. 4: linee di campo generate da alcune distribuzioni di cariche

4

1.4 Conduttori e isolanti

ttriche dei corpi hanno dimostrato che si

assimilati a

ncetto di densità di carica

Gli esperimenti effettuati sulle proprietà ele

elettrizzano ma il loro comportamento, nei confronti delle cariche elettriche è diverso da

corpo a corpo. I corpi che "conducono bene" (permettono cioè alle cariche di spostarsi

velocemente) si chiamano conduttori tutti gli altri si dicono isolanti o dielettrici (in realtà

esiste anche una terza categoria, i semiconduttori). I conduttori si dividono a loro volta in

due specie:: alla prima appartengono i metalli, alla seconda gli elettroliti. Un conduttore

metallico, quando è lontano da ogni altro corpo elettrizzato e non collegato a terra, in

modo tale che né acquisisca e né perda cariche elettriche, si definisce isolato.

Nel precedente paragrafo abbiamo considerato l'elettrizzazione di corpi,

cariche puntiformi, trascurando gli effetti derivanti dalla forma e dalle dimensioni dei

corpi stessi: è necessario allora stabilire in quale modo la carica elettrica si distribuisce su

un conduttore. Consideriamo un particolare conduttore, la sfera cava di Coulomb, e dopo

averlo caricato, sia dall'interno che dall'esterno, si tocchi con una sonda la superficie

interna: utilizzando un elettroscopio si osserverà che la sonda non ha raccolto cariche (fig.

2). La sonda raccoglie cariche solo quando viene a contatto con la superficie esterna (fig.

1). Si può allora affermare che "la carica elettrica si distribuisce completamente sulla

superficie esterna di un conduttore". La conseguenza immediata di questa verifica

sperimentale è che il campo elettrostatico all'interno di un conduttore cavo risulta nullo in ogni punto.

Questa caratteristica dei conduttori elettrici ha generato diverse applicazioni industriali,

basate sulla gabbia di Faraday e noti come schermi elettrostatici, quali il parafulmine e la

schermatura dei cavi che trasportano dati e segnali audio/video.

E' opportuno inoltre introdurre nello studio dei conduttori il co

superficiale definita dalla relazione σ = Q/S come la quantità di carica elettrica contenuta

nell'unità di superficie. L'unità di misura di σ è il C/m2.

Figura 1 Figura 2

5

1.5 Il potenziale elettrostatico

ico è quella di essere un campo

conservativo, cioè esiste un potenziale scalare da cui il campo stesso può essere derivato. Il

Il lavoro è generalmente definito come il prodotto scalare tra la forza F e lo spostamento s, cioè

L = F · s e nel caso elettrostatico la forza è quella di Coulomb e lo spostamento è la distanza r

e semplificando

V = k ·Q / r (5)

La (5) è l'espressione del potenzia rica Q alla distanza r dalla quale si

ricava anche l'unità di misura: il volt = Joule/Coulomb. In modo analogo si definisce la

alla quale si deduce che la variazione del potenziale rispetto alla distanza r altro non è, a parte il

segno, che il valore del campo elettrostatico generato dalla carica. Generalizzando ad un

e elettrostatico

ico è quella di essere un campo

conservativo, cioè esiste un potenziale scalare da cui il campo stesso può essere derivato. Il

Il lavoro è generalmente definito come il prodotto scalare tra la forza F e lo spostamento s, cioè

L = F · s e nel caso elettrostatico la forza è quella di Coulomb e lo spostamento è la distanza r

e semplificando

V = k ·Q / r (5)

La (5) è l'espressione del potenzia rica Q alla distanza r dalla quale si

ricava anche l'unità di misura: il volt = Joule/Coulomb. In modo analogo si definisce la

alla quale si deduce che la variazione del potenziale rispetto alla distanza r altro non è, a parte il

segno, che il valore del campo elettrostatico generato dalla carica. Generalizzando ad un

La caratteristica fondamentale del campo elettrostatLa caratteristica fondamentale del campo elettrostat

potenziale elettrostatico V è definito come la quantità di lavoro L necessario per portare una

carica elettrica Q dall'interno all'esterno del campo, cioè:

V = L / Q (4)

potenziale elettrostatico V è definito come la quantità di lavoro L necessario per portare una

carica elettrica Q dall'interno all'esterno del campo, cioè:

V = L / Q (4)

tra le cariche. Sostituendo ora nell'espressione (4) si ottiene tra le cariche. Sostituendo ora nell'espressione (4) si ottiene

qQ 1∗q

rr

kV²

∗∗=

le elettrostatico della cale elettrostatico della ca

differenza di potenziale ∆V tra due punti del campo come il lavoro necessario che le forze del

campo devono compiere per spostare una carica da un punto A ad un punto B. La (5) è

l'espressione del potenziale elettrostatico della carica Q alla distanza r. Ricaviamo ora la

relazione esistente tra il campo e il potenziale elettrostatici ipotizzando che il potenziale e il

campo varino nella medesima direzione. Deriviamo quindi la (5) rispetto ad r, ottenendo

differenza di potenziale ∆V tra due punti del campo come il lavoro necessario che le forze del

campo devono compiere per spostare una carica da un punto A ad un punto B. La (5) è

l'espressione del potenziale elettrostatico della carica Q alla distanza r. Ricaviamo ora la

relazione esistente tra il campo e il potenziale elettrostatici ipotizzando che il potenziale e il

campo varino nella medesima direzione. Deriviamo quindi la (5) rispetto ad r, ottenendo

QdV²r

kdr

∗−=

dd

potenziale V(x, y, z) si ottiene la seguente espressione

E = - grad V

potenziale V(x, y, z) si ottiene la seguente espressione

E = - grad V

6

dove il simbolo grad rappresenta l'operatore vettoriale gratore vettoriale gradiente che applicato ad una funzione

scalare genera un vettore le cui componenti sono le derivate parziali della funzione V, cioè

con

l'intensità del campo elettrostatico

pplicando la (6) al sistema in figura, sapendo che d = 0.06 m, si ottiene per il campo

ta l'oper adiente che applicato ad una funzione

scalare genera un vettore le cui componenti sono le derivate parziali della funzione V, cioè

con

l'intensità del campo elettrostatico

pplicando la (6) al sistema in figura, sapendo che d = 0.06 m, si ottiene per il campo

)(· kz

jy

ix

Vgrad∂

+∂

+∂

=VVV ∂∂∂

i, j e k sono i versori di un sistema di riferimento ortogonale. Si può concludere che

E, quando si conosca la funzione potenziale V, può essere

i, j e k sono i versori di un sistema di riferimento ortogonale. Si può concludere che

E, quando si conosca la funzione potenziale V, può essere

ricavata semplicemente prendendo il negativo del grad V ed essendo il gradiente un vettore

normale alle superfici equipotenziali, diretto secondo una variazione positiva di V, si trova che il

campo E è diretto dai livelli di potenziale V più alti a quelli più bassi. Da ricordare infine che

nel caso di un campo elettrostatico uniforme, come quello generato da due piastre conduttrici

poste parallelamente a distanza d, la relazione tra il campo E e il potenziale V si riduce a:

∆V = d · E (6)

ricavata semplicemente prendendo il negativo del grad V ed essendo il gradiente un vettore

normale alle superfici equipotenziali, diretto secondo una variazione positiva di V, si trova che il

campo E è diretto dai livelli di potenziale V più alti a quelli più bassi. Da ricordare infine che

nel caso di un campo elettrostatico uniforme, come quello generato da due piastre conduttrici

poste parallelamente a distanza d, la relazione tra il campo E e il potenziale V si riduce a:

∆V = d · E (6)

AA

E = ∆V / d = 12/0.06 = 200 V/m E = ∆V / d = 12/0.06 = 200 V/m

7

1.6 Il flusso del campo elettrostatico

uo valore. Per conoscere

questo valore si può considerare l'insieme completo delle linee di forza tracciate: l'intensità del

0

La grandezza appena definit o, numero di linee di forza che attraversano

una data superficie. Il risultato più importante collegato al flusso, è il Teorema di Gauss per il

con ρ = ∆Q / ∆V densità di carica volumetrica. Il simbolo div indica l'operatore differenziale

divergenza che, applicato ad un vettore, genera uno scalare che risulta essere la somma delle

E = σ / ε 0 (8)

cioè: "il campo elettrostatico nelle di un conduttore è direttamente

proporzionale alla densità di carica superficiale ".

Le linee di forza definiscono le direzioni del vettore E, ma non il s

campo sarà tanto maggiore quanto più fitte esse risulteranno. Se indichiamo tale numero con N

e con S la superficie perpendicolare attraversata dalle linee possiamo scrivere:

N/ S0 = E da cui N = E ·S0

a, N, è il flusso elettric

flusso del campo E nel vuoto: "Il flusso complessivo che esce da una superficie chiusa è pari alla carica netta

racchiusa entro la superficie", la cui espressione in forma differenziale è la seguente:

div E = ρ / ε 0 (7)

derivate parziali delle componenti del vettore. Quando la divergenza di un campo vettoriale è

diversa da zero si dice che la regione di spazio contiene sorgenti (se div >0) o pozzi (se div

<0). Le sorgenti danno origine a linee di campo uscenti dalla regione mentre i pozzi

raccolgono linee di campo entranti. Da quest'ultima considerazione si può dedurre che la div E

altro non è che il numero totale di linee di campo che attraversano la superficie considerata.

Una delle conseguenze immediate del teorema di Gauss è il Teorema di Coulomb che

permette di calcolare l'intensità del campo elettrostatico nelle immediate vicinanze di un

conduttore:

immediate vicinanze

8

Esempio applicativo.

Calcolare l'intensità del campo generato da un conduttore sferico

caricato uniformemente con densità +σ.

a carica con densità

+σ. Contorniamo la sfera con un'altra di raggio r > R.. Applicando

il teorema di Coulomb, sapendo che a superficie laterale della sfera

he è l'intensità del campo elettrostatico generato da una carica puntiforme. Si può dedurre

allora che "l'intensità del campo creato all'esterno di una superficie sferica carica, è la stessa che si

avrebbe se tutta la carica si trovasse concentrata nel centro della sfera".

tivo.

Calcolare l'intensità del campo generato da un conduttore sferico

caricato uniformemente con densità +σ.

a carica con densità

+σ. Contorniamo la sfera con un'altra di raggio r > R.. Applicando

il teorema di Coulomb, sapendo che a superficie laterale della sfera

he è l'intensità del campo elettrostatico generato da una carica puntiforme. Si può dedurre

allora che "l'intensità del campo creato all'esterno di una superficie sferica carica, è la stessa che si

avrebbe se tutta la carica si trovasse concentrata nel centro della sfera".

Soluzione. Sia R il raggio della sferSoluzione. Sia R il raggio della sfer

è S = 4π r², si ottiene è S = 4π r², si ottiene

qσ²4

1²4 r

qr

E ⋅===πεεπε

cc

9

10

2.1 La capacità elettrica

Consideriamo un conduttore isolato (sufficientemente distante da altri) e carichiamolo con

cariche q1, q2,, ....., qn; il conduttore acquista di conseguenza i potenziali V1, V2, ....., Vn.

I rapporti: q1/V1, q2/V2,... qn/ Vn hanno tutti lo stesso valore costante a cui viene

assegnato il nome di capacità elettrica.

Il concetto di capacità elettrica può essere applicato ai soli conduttori, nei quali la

distribuzione uniforme di cariche superfici equipotenziali, al contrario di quanto

avviene negli isolanti. La capacità del conduttore isolato dipende dalla sua forma e dalle

sue dimensioni, ma quando viene posto nelle vicinanze di altri corpi subisce una

variazione anche in funzione della configurazione geometrica del sistema di corpi che è

venuto a crearsi.. Dall'equazione dimensionale che scaturisce dalla (9)

[ C ] = [ Q ] / [ V ]

si ricava l'unità di misura della capacità:

F = coulomb/volt = C/V

che viene chiamato, nel S.I., farad.

.

Capitolo

2

VQC = (9)

crea delle

2.2 Il condensatore piano Consideriamo ora due conduttori metallici identici di superficie totale

(sufficientemente piccola), interfacciati da un dielettrico di costante

conduttori le cariche +q e -q, essi assumono i potenziali V1 e V2, co

La capacità elettrica di tale sistema si calcola applicando la (9):

C = Q / ( V1-V2)

ma essendo: ∆V = V1 - V2= E d con E = q / (ε · S)

C = Q / ( E d ) = (ε· Q · S) / ( Q · d )

La capacità è quella relativa al dispositivo in questione, denominato

condensatore elettrico, che permette di accumulare nelle piastre conduttrici affacciate,

ature e dunque la

funzione dei condensatori è quel oi" di carica e quindi di energia

ci" quanta più carica riescono ad immagazzinare,

evitando che essa dia luogo a grandi differenze di potenziale e a campi elettrici troppo

S, posti a distanza d

ε. Fornendo ai due

n ∆V = V1 - V2.

sostituendo si ottiene:

da cui

S

d

C ⋅= ε

determinata

due

dette armature, una quantità di carica direttamente proporzionale al dielettrico e alla

superficie delle armature e inversamente proporzionale alla distanza tra le armature stesse.

Quindi C è una costante in quanto non dipende dalla carica che vi è depositata o dalla

differenza di potenziale tra le armature, ma dalle caratteristiche geometriche del

condensatore. La capacità è una misura di quanta carica debba possedere un certo tipo di

condensatore per avere una data differenza di potenziale tra le arm

la di essere "serbat

elettrostatica. Essi sono tanto più "capa

intensi.

11

2.3 Capacità equivalente di un sistema di condensatori

io

ivalente di un sistema di

lo

I valori standard commerciali dei condensatori non soddisfano determinate richieste di

capacità nelle applicazioni industriali; è quindi necessario ricorrere ad un sistema di

condensatori collegati in serie e/o in parallelo per ottenere i valori desiderati. E' necessar

quindi ricavare un metodo per calcolare la capacità equ

condensatori.

Capacità equivalente di condensatori collegati in paralle rappresentato un collegamento in

B, applicata ai nodi A e B risulta la stessa per

entrambi i condensatori. La carica totale Q immagazzinata

nei condensatori è la somma delle cariche acquistate da

iascuno di essi. Per ogni condensatore si può scrivere, applicando la relazione (9) del

Nella figura accanto è

parallelo di condensatori. La differenza di potenziale ∆V =

VA - V

c

paragrafo 2.1:

q1 = C1V q2 = C2V .

ed essendo Q = q1 + q2. si ottiene

Q = (C1 + C2)V.

Da cui si ricava la capacità equivalente

CParallelo = C1 + C2

Se si hanno n condensatori disposti in parallelo, la capacità complessiva della

combinazione equivale alla somma delle capacità di ognuno, cioè C = C1 + C2 + …. + Cn

Capacità equivalente di condensatori collegati in serie

Nella figura accanto è rappresentato un collegamento in serie

di condensatori. Le differenze di potenziale che si

stabiliscono ai capi di ciascun condensatore determinano una

essa carica Q uguale per tutti, cioè Q = q1 = q2 Per ogni

ndensatore si può scrivere, applicando la relazione (9) del

aragrafo 2.1:

V1 = Q/ C1 e ∆V2 = Q/C2

sapendo che ∆V = ∆V1 + ∆V2. si ottiene

V = Q/ C1 + Q/ C2 = Q( 1/ C1 + 1/C2 )

st

co

p

∆

e

∆

12

La capacità equivalente si ricava quindi da:

1/CSerie = 1/ C1 + 1/C2.

Serie 1 2 n

Esempio

Generalizzando ad un sistema di n condensatori in serie si ottiene

1/C = 1/ C + 1/C .+ …… + 1/C

i C12 = C1+C2; = 10 µF.

C12 + 1/C3 = (1/10 + 1/5) = 3/10

µF.

Determinare la capacità equivalente del

sistema di condensatori rappresentato

nella figura accanto, sapendo che ciascun

condensatore ha una capacità di 5 µF.

Soluzione I condensatori C1 e C2 sono collegati in parallelo e quind

Ora C12 e C3 sono collegati in serie per cui risulta:

1/CSerie = 1/

dalla quale si ricava Csistema = 3.3

13

2.4 Energia elettrica immagazzinata in un condensatore.

e sempre compiere un

lavoro. Infatti in tutte si he si trovano già sul

onduttore respingono le altre (dello stesso segno) che vengono aggiunte. Per vincere

lsione è necessario esercitare una forza nello stesso verso dello spostamento

delle cariche, cosicché si compie un lavoro positivo. Le stesse condizioni valgono nel caso

t'ultimo è un dispositivo che permette di

elettrica. Questa energia, però, non può

una forza esterna non avesse svolto un

di la quantità di energia immagazzinata in un

e è uguale, per il principio di conservazione dell'energia, al lavoro fatto per

del

e maggiore per trasferire sempre più

o s se del suo contenuto di energia

che so di carica, le armature del condensatore hanno

empre cariche uguali ed opposte si può calcolare l'energia immagazzinata, immaginando

he la carica venga spostata dall'armatura che si carica negativamente a quella che si carica

ositivamente. Inoltre dato che il campo elettrostatico è conservativo, il lavoro non

ipende dalla particolare modalità con cui il condensatore è caricato. Quando quest'ultimo

completamente carico, sulla sua armatura positiva vi è una carica +q e tra le due piastre

è creata una differenza di potenziale V, ma il lavoro svolto per trasportare la carica tra le

rmature non rimane costante perché nel corso del processo di carica la differenza di

otenziale tra le armature non si è mantenuta fissa al valore finale, ma è cambiata

ontinuamente, assumendo tutti i valori compresi tra zero e V (grafici a fondo pagina *).

un diagramma carica-differenza di potenziale, il lavoro

= q V che si avrebbe se V fosse costante, è

ppresentato dall'area di un rettangolo di base q e altezza

(vedi figura). Allora il lavoro fatto per trasportare una

arica q attraverso una differenza di potenziale variabile è

ato dall'area della parte di piano compresa tra l'asse delle

scisse e il grafico che fornisce la differenza di potenziale in funzione della carica che si

ova sulle armature. Questa parte di piano è limitata tra la carica iniziale (che è nulla) e

Per caricare un corpo conduttore, inizialmente scarico, occorr

le fa della sua elettrizzazione le cariche c

c

questa repu

in cui il conduttore sia un condensatore. Ques

immagazzinare carica elettrica e quindi energia

essere creata dal nulla: essa non esisterebbe se

lavoro per caricare il condensatore. Quin

condensator

caricare il condensatore stesso. Poiché la carica si accumula sulle armature

condensatore, si dovrà compiere un lavoro sempr

elettr ni; questo lavoro è volto da una batteria, a spe

chimica. Considerato nel proces

s

c

p

d

è

si

a

p

c

In

W

ra

V

c

d

a

tr

14

quella finale (pari a q). Ma la differenza di potenziale tra le piastre di un condensatore è

irettamente proporzionale alla carica che si trova su una delle piastre, per cui il grafico

1 2

W = q· V/2 = ·S·E·d/2

ma essendo ancora σ = εΕ, si ottiene in definitiva:

W = εΕ dS/2

Quest'ultima legge fornisce l'energia del condensatore in funzione del campo elettrostatico.

d

carica-differenza di potenziale è una retta. Di conseguenza il lavoro W di carica di un

condensatore è uguale all'area di un triangolo rettangolo di base q e altezza V:

U = W = qV / 2

W può essere espresso anche in altre due forme equivalenti:

U = W = CV²/2 e U = W = Q· (Q/C)/2 = Q²/2C

L'energia immagazzinata in un condensatore piano si può esprimere anche tramite le

grandezze che caratterizzano il campo elettrostatico creato fra le armature, cioè mediante

la densità di carica superficiale e il campo elettrostatico. Infatti, poiché q = σ· S e ∆V =

V - V = E·d l'espressione dell'energia può essere scritta:

∆ σ

2

(*)

I grafici che rappresentano l'andamento della carica e della sessi si vede come la tensione ai capi del condensatore varia n

carica in un condensatore; in el tempo

15

2.5 Varie tipologie di condensatori I condensatori si differenziano per la forma (piani,

cilindrici, sferici, ecc.) e per il dielettrico interposto tra le

armature. Uno dei primi condensatori è stato la bottiglia

di Leida, costruita nel 1746, costituita da due bicchieri

condensatori fis

ando una pellicola di ossido su

alluminio. Lo spessore molto piccolo di questa pellicola consente di ottenere grandi

capacità in sistemi di dimensioni ridotte. Questi condensatori vengono collegati con una

polarità fissa per evitare la distruzione del dielettrico. I condensatori variabili sono

no ad

n asse, penetrando più o meno fra analoghe lamine fisse, dalle quali sono isolate

amite l'aria. Variando così la superficie affacciata, varia la capacità.

olo del dielettrico

imi condensatori è stato la bottiglia

di Leida, costruita nel 1746, costituita da due bicchieri

condensatori fis

ando una pellicola di ossido su

alluminio. Lo spessore molto piccolo di questa pellicola consente di ottenere grandi

capacità in sistemi di dimensioni ridotte. Questi condensatori vengono collegati con una

polarità fissa per evitare la distruzione del dielettrico. I condensatori variabili sono

no ad

n asse, penetrando più o meno fra analoghe lamine fisse, dalle quali sono isolate

amite l'aria. Variando così la superficie affacciata, varia la capacità.

olo del dielettrico

metallici isolati da uno di vetro. Oggi si utilizzano metallici isolati da uno di vetro. Oggi si utilizzano

si o variabili. Quelli fissi possono avere si o variabili. Quelli fissi possono avere

diverse forme. Molto frequente è la forma cilindrica

ottenuta avvolgendo strisce di alluminio a carta

paraffinata. Nei condensatori elettrolitici il dielettrico si

forma mediante un processo elettrolitico, ad esempio form

diverse forme. Molto frequente è la forma cilindrica

ottenuta avvolgendo strisce di alluminio a carta

paraffinata. Nei condensatori elettrolitici il dielettrico si

forma mediante un processo elettrolitico, ad esempio form

generalmente costituiti da un insieme di lamine metalliche che ruotano attorgeneralmente costituiti da un insieme di lamine metalliche che ruotano attor

uu

trtr

Il ruIl ru Michael Faraday, al quale si deve il concetto di capacità e dal quale prende il nome l'unità

di misura S.I., indagò nel 1837 su come potesse variare la capacità se lo spazio compreso

tra i piatti di un condensatore venisse riempito con un dielettrico, materiale isolante, come

l'olio minerale o la plastica. Utilizzando semplici apparecchi elettrostatici, scoprì che la

capacità aumentava secondo un fattore numerico εr, detto costante dielettrica relativa del

materiale introdotto, ove con il termine "relativa" si intende rispetto al vuoto. La costante

dielettrica relativa del vuoto assume valore unitario; poiché l'aria è per lo più uno spazio

uoto, la sua costante dielettrica relativa è di poco superiore all'unità. Altra caratteristica

a

a le armature. Qualora si superi tale valore, detto potenziale disruptivo, il materiale

ielettrico cede e genera tra le armature una scarica elettrica. Ogni materiale dielettrico ha

una sua rigidità dielettrica, che è il valore massimo tollerato dal campo elettrico, prima che

siano raggiunte le condizioni disruptive. Abbiamo visto che la capacità di un condensatore

v

che dipende dal dielettrico è la differenza di potenziale massima che può essere applicat

tr

d

16

può essere espressa nella formula: C = ε · S / d; quando un dielettrico riempie

mpletamente lo spazio tra le armature, la formula diventa:

0 0

dove C0 è il valore della capacità quando tra le armature vi è il vuoto. Quindi in una

regione riempita completamente da un dielettrico, tutte le equazioni elettrostatiche

contenenti la costante dielettrica del vuoto devono essere modificate sostituendo quella

costante con εr · ε0 (tale prodotto è definito costante dielettrica del materiale considerato).

Dunque quando si inserisce un dielettrico tra le armature di un condensatore, la carica q

aumenta di un fattore εr e la batteria, che assicura che la differenza di potenziale V tra le

armature rimanga costante, provvede a fornire alle armature stesse la carica aggiuntiva. Se

non c'è nessuna batteria e quindi la carica q deve rimanere costante quando si inserisce il

dielettrico, la differenza di potenziale V tra le armature diminuisce di un fattore εr.

Entrambe queste osservazioni dimostrano (secondo la relazione Q = CV) un aumento

della capacità causato dall'introduzione del dielettrico. Inoltre l'espressione del campo

elettrico generato da una carica puntiforme immersa in un dielettrico diventa: E = q / (4π

r²· r · 0) e quella del campo elettrico all'esterno di un conduttore isolato, immerso

0

olisce il campo

co

C = εr · ε S/d = εr · C

ε ε

anch'esso in un dielettrico, diventa: E = σ /εr · ε . Da entrambe le espressioni si evince

che per una distribuzione fissa di cariche, la presenza di un dielettrico indeb

elettrico.

Condensatori a film Si ottengono avvolgendo insieme due sottili lamine metalliche separate da un film plastico

altrettanto sottile. Il condensatore risulterà di piccole dimensioni ma di elevata capacità.

Poichè le lamine metalliche e quelle in plastica possono essere prodotte in qualsiasi

lunghezza, con questo sistema si ottengono capacità che arrivano anche al µF. Gli

avvolgimenti si collegano sue due lati e quindi le lamine metalliche devono sporgere dal

dielettrico per essere compresse e saldate ai terminali. Poichè tutti gli avvolgimenti sono

collegati tra di loro su di un lato, la resistenza è piccolissima mentre l'induttanza risulta

praticamente nulla. Come dielettrico viene normalmente utilizzata una pellicola in plastica.

L'avvolgimento viene poi annegato in una bagno di materiale plastico o sigillato in un

tubetto di ceramica. l terminali di collegamento fuoriescono in direzione assiale o

tangenziale.

17

Condensatori in carta

Il dielettrico di questi conden ale carta impregnata con una

Condensatori in carta metalli ata

satori è formato da una speci

sostanza fluida o viscosa. Per aumentare l'isolamento, nei condensatori in carta si

accoppiano spesso due o più strati. L'avvolgimento finito viene poi nuovamente

impregnato sottovuoto in olio isolante o annegato in resina. l condensatori in carta

vengono di solito prodotti con una tolleranza del +/- 20%, e sono utilizzati in genere

come condensatori di filtro.

zz

Il condensatore in carta metallizzata non è altro che una particolare versione del

condensatore in carta: invece di usare la lamina di alluminio per la formazione delle

armature, il metallo viene vaporizzato sotto vuoto sulla superficie stessa della carta, ed

ha lo spessore solo di un µm. Questi condensatori presentano il vantaggio che una

perforazione del dielettrico non porta necessariamente al cortocircuito tra le armature,

poichè il calore prodotto dalla perforazione stessa fonde lo strato metallico della zona

corrispondente evitando il possibile cortocircuito. I condensatori in carta metallizzata

vengono prodotti con valori di capacità che arrivano fino a 32 µF, e con tensioni di

lavoro di parecchie migliaia di volt..

Condensatori a film plastico Le pellicole in film plastico possono essere prodotte con spessori inferiori a quello della

carta impregnata, e presentano una minore probabilità di punti difettosi. Si possono

quindi fabbricare condensatori che utilizzano queste pellicole come dielettrico, dello

spessore di pochi µm soltanto, in grado di resistere ad una tensione abbastanza elevata. I

condensatori a film plastico vengono prevalentemente utilizzati nei circuiti a transistori.

Nei condensatori in poliestere come strato elettroconduttore si può utilizzare una lamina

metallica, oppure il metallo può essere depositato direttamente sul film per vaporizzazione

sotto vuoto, con uno strato dello spessore di 0,02 - 0,05 µm. Questi condensatori

vengono prodotti con capacità fino ad alcuni µF e con tensioni di lavoro fino a 1000 V.

Sono da preferire nei circuiti a bassa frequenza. Nei condensatori con dielettrico in

policarbonato la capacità è molto costante, e di conseguenza sono utilizzati

prevalentemente nei circuiti oscillanti. Vengono prodotti con capacità fino a 10 µF e

tensioni di lavoro fino a 400 V. Per applicazioni speciali nei circuiti oscillanti, sono stati

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sviluppati i condensatori in polistirolo. Una lamina metallica stirata viene avvolta a spirale

assieme al dielettrico. Sotto l'azione del calore l'avvolgimento si restringe formando un

blocco molto stabile e compatto che non assorbe praticamente umidità dall'aria. Si ottiene

così una buona costanza della capacità. I condensatori in polistirolo vengono prodotti con

capacità fino ad 1 µF.

Condensatori ceramici Il dielettrico dei condensatori ceramici è costituito generalmente da una massa ceramica la

cui costante dielettrica può essere variata tra 10 e 10.000 mediante opportune

composizioni. I condensatori ceramici a bassa costante dielettrica si distinguono per la

stabilità del valore capacitivo e per le perdite molto basse, e quindi sono i preferiti per

l'utilizzo nei circuiti oscillanti e ad alta precisione. I condensatori ad elevata costante

dielettrica permettono di ottenere capacità elevate con scarso ingombro. I condensatori

ceramici hanno in generale piccole dimensioni, e vengono utilizzati di preferenza nella

e. Esistono anche i condensatori a strato, il cui

ceramici. Gli strati più interni risultano parzialmente

tecnica delle alte frequenze. A seconda delle necessità sono disponibili in molte forme

costruttive. La forma di condensatore ceramico più diffusamente utilizzata è quella a

disco, formata cioè da un dischetto di ceramica metallizzato sulle due facce, sulle quali

vengono saldati i terminali. Un'altra forma costruttiva molto diffusa in passato è quella a

tubetto. Si tratta di un tubetto ceramico con strati di argento all'interno ed all'esterno che

formano le armature del condensator

dielettrico è costituito da strati

conduttivi, mentre quelli più esterni, ad alta resistività, vengono rivestiti con una pellicola

di argento. Dato che le prestazioni dei condensatori ceramici a strato dipendono dalla

tensione. questi componenti sono adatti per tensioni di lavoro fino a circa 20 V.

Condensatori elettrolitici

Quando sono necessarie capacità estremamente elevate si devono utilizzare condensatori

elettrolitici, perchè i tipi finora descritti assumerebbero dimensioni proibitive. I

condensatori elettrolitici sono composti da un elettrodo (anodo), sul quale viene formato

uno strato di ossido con elevata costante dielettrica che funge da isolante. L'altro elettrodo

(catodo) è costituito da un elettrolita, un fluido elettricamente conduttore di solito

formato da una soluzione salina od acida, e da un secondo elettrodo metallico che, nella

maggior parte dei casi, coincide con il contenitore stesso. In quest'ultimo caso, l'involucro

metallico esterno stabilisce il collegamento tra l'elettrolita ed il terminale negativo del

condensatore. Lo spessore dello strato di ossido varia in funzione della tensione di lavoro,

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e normalmente assume valori dell'ordine degli 0,001 µm. Il piccolo spessore dello strato, e

la sua costante dielettrica relativamente elevata, permettono di ottenere valori capacitivi

molto elevati. I condensatori elettrolitici possono essere a base di alluminio o di tantalio.

Calcolo della capacità di alcuni tipi di condensatore Per un condensatore cilindrico di lunghezza L e costituito da due cilindri coassiali di raggi

a capacità è data da:

a e b (interno ed esterno) l

C = 2πε 0 L / ln (b/a).

La capacità di un condensatore sferico, costituito da due gusci sferici di raggi a e b. si

ricava dalla formula

C = (4πε 0 · a·b) / (b-a).

Si può attribuire una capacità a un singolo conduttore sferico isolato di raggio R

assumendo che l'armatura "mancante" sia una sfera conduttrice di raggio infinito. Tale

capacità si ottiene da:

C = (4πε 0 · a) / (1 - a/b)

e facendo tendere b a infinito e sostituendo R ad a si ottiene:

C = 4πε 0 R.

20

Appendice

A

I Condensatori commercializzati

I PARAMETRI - la capacità, espressa in sottomultipli del Farad (ad esempio 47µF)

tensione di lavoro espressa in Volt (ad esempio 25V) - la

I VALORI DELLA SERIE E6 Questi sono i valori standard dei più diffusi condensatori che si trovano in commercio. É detta "serie E6" perchè parte da 6 valori base (da 1 a 6,8). Per motivi grafici, sottintendiamo la lettera "F" (unità di misura Farad), quindi 22p significa 22pF, 68µ significa 68µF, ecc... 1p 10p 100p 1n 10n 100n 1µ 10µ 100µ 1m 10m

1,5p 15p 150p 1,5n 15n 150n 1,5µ 15µ 150µ 1,5m 15m

2,2p 22p 220p 2,2n 22n 220n 2,2µ 22µ 220µ 2,2m 22m

3,3p 33p 330p 3,3n 33n 330n 3,3µ 33µ 330µ 3,3m 33m

4,7p 47p 470p 4,7n 47n 470n 4,7µ 47µ 470µ 4,7m 47m

6,8p 68p 680p 6,8n 68n 680n 6,8µ 68µ 680µ 6,8m 68m

Attenzione: 1 pF (PicoFarad) è generalmente la capacità più piccola che si trova in commercio. 1 nF (NanoFarad) = 1.000 pF - Al posto di "nF" si può usare anche "KpF" (ChiloPicoFarad)

Esistono anche valori diversi, meno diffusi, fino a 220mF

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1µF (MicroFarad) = 1.000 nF = 1.000.000 pF 1mF (MilliFarad) = 1.000 µF = 1.000.000 nF = 1.000.000.000 pF 1F (Farad) = 1.000 mF Per motivi tipografici, è possibile anche trovare "uF" al posto di "µF". CONDENSATORI NON POLARIZZATI

ndensatori ceramici Co

Esistono principalmente due tipi: - a disco (a sinistra nella foto) - multistrato (a destra nella foto) Hanno generalmente capacità tra 1pF e 100nF. Ideali in alta frequenza.

ondensatori poliestere C

Esistono principalmente due tipi: - metallizzato (a sinistra nella foto) - mylar (a destra nella foto) Hanno g lm pa ra 1 µ li in sa f z

Esistono diversi codici di identificazione:

enera ente ca cità t nF e 1 F. Idea bas requen a.

Codice u :

Si utilizza la lettera dell'unità di misura, al posto della virgola, quindi: ni ,7pni ,47 470

n significa 47nF (indicato anche µ047 cioè 0,047µF)

p significa 47pF, ma si può indicare anche soltanto "47", in quanto si sottintende "pF" o.

alfan merico

4p7 sig fica 4 F n4n7 significa 4,7nF (indicato anche µ0047 cioè 0,0047µF)

47 sig fica 0 nF = pF

47470n significa 470nF (indicato anche µ47 cioè 0,47µF) 47se non indicat

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Codice numerico a tre cifre: Sul corpo sono stampate 3 cifre, di cui le prime due corrispondono alle prime due cifre

a terza al numero di zeri da aggiungere. Il valore è espresso in pF, indi:

ssia: Prima cifra = 4 - Seconda cifra = 7 - Numero di zeri da aggiungere = 2)

0 significa 47pF (indicato anche come "47", sottintendendo lo zero) ino si utilizza solo per capacità inferiori ai 10pF)

473 significa 47.000pF = 47nF 474 significa 470.000pF = 470nF 104 significa 100.000pF = 100nF 105 significa 1.000.000pF = 1µF

del valore di capacità, e lqu472 significa 4.700pF = 4,7nF (O471 significa 470pF 474.7 significa 4,7pF (il punt

Codice con puntino iniziale (solo per capacità dell'ordine del nF) Se sul corpo del condensatore c'è un numero preceduto da un puntino, significa che il

o corrisponde alla virgola preceduta dallo zero. Quindi: F

valore è espresso in µF, e il puntin.0047 significa 0,0047µF = 4,7n.047 significa 0,047µF = 47nF .47 significa 0,47µF = 470nF

L'equivoco dell' "1" Eccezionalmente per le capacità da 1pF e quelle da 1µF, può capitare di trovare sul loro corpo lo stesso numero: "1". E allora, se su un condensatore c'è scritto "1", come fare a stabilire se è da 1pF o da 1µF? Generalmente quello da 1pF è ceramico, mentre quello da 1µF è al poliestere, e di solito, quello da 1µF è fisicamente più grande.

Codice dei colori CODICE DEI COLORI A 5 FASCE Questo è il codice per i condensatori che hanno 5 fasce colorate stampate sul corpo. Si legge dall'alto al basso - Il valore rilevato è espresso in pF

COLORE Fascia1 cifra 1 cifra 2

Fascia2 Fascia3 fattore

Fascia4 tolleranza

Fascia5 tensione di lavoro

NERO - 0 - 20% -

MARRONE 1 1 x 10 1% 100V

ROSSO 2 2 x 100 2% 250V

ARANCIO 3 3 x 1.000 - -

GIALLO 4 4 x 10.000 - 400V

VERDE 5 5 x 100.000 5% -

BLU 6 6 - - 630V VIOLA 7 7 - - -

GRIGIO 8 8 - - -

BIANCO 9 9 - 10% -

23

Interpretare il codice dei colori è molto semplice! Prendiamo, ad esempio, un condensatore con i seguenti colori (dall'alto al basso): giallo - viola - arancio - bianco - rosso

prima cifra: il 4

cio, indica che è necessario moltiplicare per 1.000, ossia aggiungere

orrispondente a 47nF). a tolleranza del 10% tensione di lavoro di 250V

ONDENSATORI POLARIZZATI

La prima fascia, gialla, indica la La seconda fascia, viola, indica la seconda cifra: il 7 La terza fascia, l'arantre zeri: 000 Ricapitolando: Prima fascia = 4, seconda fascia = 7, terza fascia = 000 Il condensatore è da 47.000pF (cLa quarta fascia (bianco) indica unLa quinta fascia (rosso) indica una C I ica che, dei due

no una capacità compresa solitamente tra 0,1µF e 10mF. valori di capacità e di tensione sono stampati chiaramente sul loro corpo, su cui è

contrassegnata anche la polarità (si preferisce evidenziare il terminale negativo (-).

ensione indicati chiaramente nel corpo, dove è dicata anche la polarità.

Altri modelli utilizzano il codice a colori riportato di seguito.

condensatori polarizzati hanno una polarità da rispettare. Questo signifterminali, uno è positivo e l'altro è negativo, e non possono essere invertiti quando si monta il condensatore nel circuito. Condensatori elettrolitici I condensatori elettrolitici hanI

Condensatori al tantalio I condensatori al tantalio hanno capacità comprese solitamente tra 0,1µF e 100µF. Sono più costosi degli elettrolitici, e si utilizzano generalmente in applicazioni particolari. Alcuni modelli hanno i valori di capacità e tin

CODICE CONDENSATORI AL TANTALIO Questo è il codice colori per i condensatori al tantalio. Si legge dall'alto al basso - Il valore rilevato è espresso in µF

COLORE Fascia1 cifra 1

Fascia2 tensione

di lavoro

NERO 0

MARRONE 1

ROSSO 2

ARANCIO 3

BLU 6

VIOLA 7

GRIGIO 8

BIANCO 9

cifra 2 Puntofattore

Fascia3

- - 10V

1 x 10 1,6V

2 x 100 30V

3 - 35V

GIALLO 4 4 - 6,3V

VERDE 5 5 - 16V

6 - 20V

7 :1.000 -

8 :100 25V

9 :10 3V

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Il terminale positivo si riconosce perchè è quello a destra, guardando il condensatore sulla ice colori. facciata in cui c'è il puntino che indica il fattore nel cod

CONDENSATORI DI BACK-UP

Sono condensatori polarizzati ad altissima capacità (da 0,1F a 10F). Utilizzati come batteria tampone per mantenere l'alimentazione di memorie in caso di

di

grande anto una moneta da 10 centesimi.

black-out. Dato il loro impiego, sono prodotti per basse tensioni di lavoro (solitamente non più 6V). Il modello che vediamo in alto a destra nella foto, è da 1F 5,5V, ed è qu

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Bibliografia

B Bibliografia

1. W. Gettys, F. Keller, M. Skove: FISICA CLASSICA E MODERNA - Mac Graw Hill

2. R. Resnick, D. Halliday, K.S. Krane: FISICA - Editrice Ambrosiana

3. J.A.Edminister ELETTROMAGNETISMO - Collana Shaum - Etas

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