PERSAMAAN KEKAKUAN ELEMENT BATANG

FINITE ELEMENT UNTUK ELEMEN SEGITIGANUROJI

Secara umum geometri segitiga dapat ditentukan dari koordinat ketiga titiknya pada bidang XY yaitu : (xi ,yi) untuk i=1,2,3 seperti terlihat pada gambar berikut.

Jika masing-masing koordinat titik nodal 1,2 dan 3 dinyatakan dalam xi dan yi , maka luas segitiga tersebut dapat diturunkan sebagai berikut.xy

3 (x3 , y3)2 (x2 , y2)1 (x1 , y1)

Koordinat kartesian (cartesian coordinate) dan koordinat segitiga (triangular coordinate)xy

PA1A2A3123Sisi 3Sisi 1Sisi 22=13=11=11=1/22=1/23=1/22=01=03=0

Jika kita tinjau posisi titik P sebagai titik sembarang, maka dalam koordinat segitiga dapat ditentukan

Dalam bentuk koordinat kartesian fungsi f dapat ditentukan

Jika f di titik-titik nodal dinyatakan sebagaiMaka dalam koordinat segitiga dapat ditulis

TRANSFORMASI KOORDINATDari persamaan-persamaan sebelumnya, bisa ditentukan bahwa

Padahal hubungan antara koordinat kartesian dan alami dapat ditulis

Dari ketiga persaman di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks

Pada titik pusat :

Dimana A

atau

atau

Jika matriks ini dinyatakan sebagai matriks [A], maka

Dimana :

Ajk adalah luas yang berhadapan dengan titik j, k dan titik origin sistem sumbu x-y

Turunan parsial

Turunan parsial dari fungsi f(1, 2, 3) terhadap x dan y dapat ditulis

Atau dalam bentuk matriks

Untuk masalah plane stress kita tentukan f(1, 2, 3)

Maka hubungan

Persamaan regangan -deformasi

D adalah matriks operator deferensial regangan terhadap displacement

STRESS-STRAINHubungan antara tegangan dan regangan untuk kondisi elastik secara umum dapat ditulis sebagai berikut

Adalah modulus elastisitas kondisi tegangan bidang, untuk modulus yang konstan maka tegangannya pun juga konstan.

MATRIKS KEKAKUANSecara umum matriks kekakuan dapat ditulis : adalah triangle domainh: ketebalan elemen

Karena E dan B konstan maka dapat keluar dari integral