PEMBUATAN PROGRAM SOLVER ANALISIS DISTRIBUSI …digilib.batan.go.id/e-prosiding/File...
Transcript of PEMBUATAN PROGRAM SOLVER ANALISIS DISTRIBUSI …digilib.batan.go.id/e-prosiding/File...
Prosiding Pertemuan I1miah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
PEMBUATAN PROGRAM SOLVER ANALISIS DISTRIBUSI TEGANGAN
BERBASIS METODA ELEMEN HINGGA (MEH)PADA KOMPONEN STRUKTUR.
Elfrida Saragi I", Utaja 2IpPIN - BAT AN2pRPN - BAT AN
*E-mail: [email protected]
ABSTRAK
PEMBUATAN PROGRAM SOLVER ANALISIS DISTRIBUSI TEGANGAN
BERBASIS METODA ELEMEN HINGGA (MEH) PAD A KOMPONEN
STRUKTUR. Salah satu faktor keselamatan yang ban yak dipertimbangkan saat ini adalah
umur pakai suatu komponen. Setiap komponen struktur yang mendapatkan beban statik
atau berulang (siklik) akan mengalami proses Fatigue (letih). Bila siklus beban ini
dikenakan pad a komponen struktur dalam waktu yang lama akan mengalami creep (proses
melar). Pad a fatigue dan creep, tingkat pembebanan selalu merupakan faktor utama
penyebab kerusakan , patah, dan / atau pecahnya komponen. Sifat elastis sempurna
komponen struktur hanya ada dalam teori. Komponen struktur adalah sebuah objek yang
mendapatkan beban siklik atau beban yang berulang dalam waktu yang lama. Proses
kemelaran atau keletihan suatu komponen struktur salah satunya disebabkan oleh stress.
Untuk menjawab hipotesa ini, Metode Elemen Hingga adalah salah satu metode yang
dapat digunakan untuk memperkirakan distribusi tegangan , disamping alat-alat ukur
berteknologi tinggi di laboratorium. Makalah ini menguraikan tentang pembuatan program
processor / solver untuk distribusi tegangan berbasis metode elemen hingga berdimensi
dua dengan bidang diskritisasi berbentuk elemen segitiga. Penulisan program
menggunakan Visual Basic
Kata kunci: MEH, Processor, Oistribusi Tegangan, Komponen struktur
237
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
ABSTRACT
STRESS DISTRIBUTIONS ANALYSIS SOLVER DEVELOPMENT BASE ON
THEFINITE ELEMENT METHOD FOR STRUCTURE COMPONENT. One of the
safety factor which is seriusly concider is life time of component. Every structure
component which is bears the cyclic load will come in fatigue. If the cyclic load is
introduced at structure component for long period, the structure component will come in
creep. At fatigue and creep the load intencity is a main factor due to failure, break of a
component. The pure elasticity of a component is a theoritical aspect only. The structure
component is an object which is bears the cyclic a long period. Fatigue and creep is caused
by stress. For prove this hypothesis the finite element method (FEM) is method used for
stress distributions prediction, beside the laboratory high technology equipments. This
paper describes the solver development for stress disrtibutions, base on the finite element
method in two dimensional discritisation which are used the triangular element. The
program is written in Visual Basic Language.
Keywords: FEM,Stress,Structure Component, Visual Basic Language
PENDAHULUAN
PenyeIesaian distribusi tegangan dengan MEH, daerah (benda) yang dianalisis
dibagi-bagi menjadi sejumlah elemen ( diskretisasi geometri) yang berbentuk segitiga
(untuk dua dimensi). Penyelesaian dengan metode elemen hingga melibatkan tiga langkah
yaitu: I. PreProcessor, 2. processor (.wlver), 3. Post processing.
Program processor untuk analisis tegangan adalah satu bagian dari tiga tahap
penyelesaian masalah dengan MEH. Program ini melakukan process perhitungan meliputi
(struktur program) ; 1. Pengambilan file data, 2. Renumbering node, 3. optimasi,
4.Penyusunan matriks bentuk, 5. matrik sifat material, 6. Penyusunan koefisien matrik
kekakuan 7. Pemberian beban, 8. Penyelesaian persamaan linear dengan dekomposisi LU,
9.Penyelesaian distribusi tegangan, 1O. Penulisan hasil dan gambar animasi. Pengambilan
file data yang diperoleh dari program pre-processor yang berisi data material yang
akan disimulasi. Data-data tersebut berupa material properties, data elemen hasil meshing
238
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
berupa koordinat dan nomor node, serta data beban. Data-data terse but diolah program
processor sehingga diperoleh persamaan matriks yang berbentuk
Ka= f (I)
k pada persamaan (1) adalah matriks kekakuan, a adalah matriks untuk variabel yang ingin
disimulasi (pergeseran), dan f adalah matriks beban gaya. Dengan menggunakan metode
dekomposisi LV, matriks a dapat ditentukan. Program processor ini hanya menganalisis
daerah (benda) dibagi-bagi menjadi sejumlah elemen ( diskretisasi geometri) yang
berbentuk elemen segitiga linier untuk dua dimensi.
Model matematik distribusi tegangan
...... 2)
dimana [;
& = L
Ba1I = /,
e
N "r
........ 3)
(/ = N u
.......... 4)
dimana: L = linear operator
Matrik sifat material plane stress = D =
dimana; cr = Tegangan
€ = regangan
a = pergeseran (displacement)
B = matrik fungsi bentuk
E--(I - J.I)
239
...... 5)
Prosiding Pertemuan I1miah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
Penyelesaian akhir persamaan 3 dan 4 dalam bentuk matrik dapat dituliskan sebagai
berikut;
Ke ae = fdimana ; Ke = matrik kekakuan
Matrik beban gaya = f = fEO - fao + fb + fs + fpl
STRUKTUR PROGRAM
........ 6)
....... 6a )
Struktur program processor ini dapat digambarkan seperti gambar berikut ini.
Gambar 1. Struktur program processor untuk analisis distribusi tegangan
III. MODULARISASI PROGRAM
Berdasarkan struktur program pad a gambar I, fungsi yang ada akan
dieksekusi secara berurutan (dari kiri ke kanan). Hasil akhir dari program processor
ini adalah "matriks a" pada persamaan (I). Jika dibuat dalam diagram aktivitas,
tahapan tersebut digambarkan sebagai berikut.
"'._",~I_n..","'1''''n .•.•.•...•_ .•__. h1l"-'~
Gambar 2. Diagram aktifitas untuk program processor
240
Prosiding Pertemuan Ilmiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
ILL Baca file data.
Infonnasi yang terdapat pada file data dikelompokkan berdasarkan data yang saling
terkait. Ada 7 kategori dalam pengelompokan ini. Jumlah Node: berisi infonnasi
jumlah node danjumlah elemen;
a) Data Node: berisi informasi koordinat setiap node
b) Data Material: berisi informasi id material, modulus Young, poisson ratio,
muai jenis, tebal
c) Data Elemen : berisi informasi nom or node ke-ij,k setiap elemen berdasarkan
id elemen
d) Gaya berat : berisi informasi nomor elemen, percepatan kearah X dan Y serta
nomor kurva.
e) Gaya terpusat : berisi informasi Nomor elemen; Gaya kearah X dan Y, nomor
kurva.
t) Gaya tekanan : berisi informasi dua node yaitu node 1 dan node2 yang diantara
keduanya mengalami tekanan.
g) Tumpuan sendi roll: berisi informasi pergeseran kearah X dan Y.
11.2. Menentukan variabel kunci.
Variabel kunci adalah variabel yang diperlukan untuk menyusun matriks
kekakuan (stiffness).
Matriks stiffness yang diperoleh akan simetri dan sparse. Variabel kunci tersebut
diberi nama JSTKO, ISTKQ, JDIAGQ.
Tabel 1. Nama variable pada penentuan variable kuncit--lo. t--l~ TipeScopeF'Un.gsi
1)
....TST.FC("..)1r:Lt.eger-GlouELl---r-JI e:n.yi.. rn.pa..n.ba..o. yea..1-c:n.ya.e1 ern.~ctil'U t.-u.r11it.s-ri
r.:.uago1~'-~t..a.~ sa..r'J"").pa.ie1 ~ ...•.oen. ya..n.. g t:i. eta:k: b e:rn.J.lai.
r-:Lol se~ V'ert..i:k:a.l c:t.i~ j~a.I"1n.ya ada1-.t"J,. :z k:a.1ij 'U.r.-Ua.h a~oCie2)
L:S'"T.JCO I:n.t..egorGlobalI'-JI eonyi rr .•..I-..•a.rJ.b.13.¥}. y-a..krJ.y:a.e1 ern.~di1"'1it.~g.s-ridi.agonal l..1t...a..rY:I.8. ~pa...i
e:1 e::rr:lC:r'). :y'a.%'1 g ti cia k b ern..:i 1a.i1').01
se c::a.ri!ll. 1..•.0 rizo:n.t..A. 1di.~ J1....UTtl~ya acba1ah:2
l-ca.li. Ju- r:r:1..la..h.rJ.O de
3.>
J£>I.A= 0I:n.tegerGloba.1l'V1e:n.yirn..pa..T"ltaLa!e1 ern.~~t.rl1<:11aU rrra.es s",...~..cl.isirr:l-pa:n.
Sa..rr1.pa..ip~dapo 00si 8ic:I.ia &'0 n.a.l•.•t.a•.•.••••d.1~ )U-:I"~cU~Y'8. a~e.h.:2 1<:a.1iju..rrIJ.aI"1 n.ode
241
Prosiding Pertemuan I1miah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
Penentuan variabel kunci berdasarkan diskritisasi bidang menjadi sejumlah elemen.
Pad a penelitian ini bent uk elemen yang didiskritisasi adalah elemen segitiga seperti
gambar di bawah ini:
Gambar 3: Bentuk geometri denganjumlah node dan elemen sebanyak 12 buah
rum us variabel kunci (JSTK, ISTK, JDIAG) adalah 2 kali jumlah node dengan
rum us berikut;
I. Variabel kunci JSTK dan ISTK
a. Untuk yang Ganjil
JSI = 2 * (Nomor_NODE_ pertama(l%) - Nomor_NODE_ dituju(l%)) + 1
JSTK(2 * Nomor_NODE_dituju(l%) - I) = JSI
ISTK(2 * Nomor_NODE_dituju(I%) - I) = JS2
b. Genap
JS2 = 2 * (Nomor_NODE_pertama(I%) - Nomor_NODE_dituju(I%)) + 2
JSTK(2 * Nomor_NODE_pertama(I%)) = JS2
ISTK(2 * Nomor_NODE_dituju(l%)) = JS I
II. Variabel kunci JDIAG
JDIAG(I%) = JDIAG(I% - I) + JSTK(I%)
Dimana; 1% adalah dimulai dari 1 Sampai dengan 2* jumlah Node
11.3. Menentukan matriks kekakuan (stiffnes~)
Untuk menentukan matriks stiffness diperlukan variabel kunci JDIAGO. Hal ini
disebabkan karena banyaknya elemen matriks stiffness adalah JDIAG(2 x
jmINode).
Komponen penyusun matriks stiffnes untuk setiap elemen adalah:
........ 7)
242
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
~10~2
0~3
0
Dimana : B = L N = I 0
In:, I0In:, 2
0/11:33
In:, I ~ I In:, 2 11122
In:, 3~3
BT = matriks fungsi bentuk yang di transpose
t = tebal
A = luasO.
Diagram aktifitas untuk matrik kekakuan adalah sebagai berikut.
ISSN 1693-3346
.... 7a)
Gambar 4. Diagram aktifitas untuk matrik kekakuan
Untuk menghitung luas setiap elemen, digunakan persamaan sebagai berikut.
11.4. Proses Assemblage
Untuk seluruh elemen perlu dilakukan assemblage. Koefisien matrik pada
persamaan 7 dapat dituliskan dalam suatu notasi yang menyangkut nomer node
elemen. Bila node pada elemen adalah i,j dan k maka dapat ditulis :
Ke = EtA x
~2i-I,2i-l)k(2i-I.2i)k(2i-I.2.i-I)k(2i-1.2.i) k(2i-I,2k-l)k(2i-I.2k)
~2i,2i-l)
~2i,2i)k(2i,2.i-I)k(2i,2.i)k(2i,2k-l)k(2i,2k)
~2.i-1,2i-l) ~2j-l,2i)
k(2j-l,2j-l)k(2.i-l,2j) k(2j-1 ,2k-l)~2i-I.2k)
K=
I~2j,2i-l)
k(2j,2i)k(2j.2j-l)k(2.i,2.i)k(2j,2k-l)~2j.2k)I........ 9)
~2k-I,2i-l) ~2k-l,2i)
k(2k-I.2j-l) k(2k-I.2i) k(2k-I.2k-l) k(2k-l,2k)
~2k,2i-l)
~2k.2i)k(2k.2j-l)k(2k.2j)k(2k.2k-l)k(2k.2k)
243
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
Setelah semua elemen diproses, akan didapat bentuk matrik seperti pada persamaan 1.
Dimana; K =matrik bujur sangkar (2n x 2n) dinamakan matrik stiffness
a = matrik kolom berisi perpindahan node
f = matrik kolom berisi gaya xjarak (energi)
11.5. Memberikan syarat batas.
Persamaan 1 belum dapat diselesaikan, karena matrik K merupakan matrik
INDEFENITE. Agar dapat diselesaikan, maka perlu syarat batas yang berupa
tumpuan. Pemberian tumpuan bertujuan agar salah satu suku matrik (koefisien
matrik) atau lebih pada diagonal utama menjadi dominan. Ini akan mengakibatkan
matrik K menjadi POSITIVE DEFINITE, sehingga dapat diselesaikan. Matrik K
merupakan matrik simetri dimana k(p,q)=~q,p).Secara fisis pemberian tumpuan berarti
truss ditahan pada satu atau lebih nodenya. Ini berarti pada suatu node, pergerakan
pada salah satu arah dicegah (pergeserannya nol). Salah satu cara agar pergeseran
pad a satu node atau lebih menjadi nol (an = 0), dengan metoda PIVOTING. Misal ada
persamaan seperti berikut, dengan k (p,q)= k (q,p):
~l,l) al + k(l,2)a2 + ~1,3)a3 = fl
~2,1) al + k(2,2)a2 + k(2,3)a3 = f2
~3,1) al + k(3,2)a2 + k(3,3)a3 = f3
Agar a2= 0, maka persamaan diubah menjadi ;
k(l,l) at + ~I,2) a2 + k(l,3)a3 = fl
o al + I a2 + 0 a3 = 0
~3,1) at + ~3,2) a2 + k(3,3)a3 = f3
Agar keadaan simetri dapat dipertahankan, matrik diubah dalam bentuk berikut ;
244
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
11.6. Dekomposisi LV
Matriks stiffness yang tersimpan dengan dimensi satu akan didekomposisi menjadi
matriks L dan U yaitu ; f= Ka dimana K = LU. Pola matriks U dan L sarna dengan
matriks stiffness. Pada gambar 5 terlihat bahwa pola matriks L dibalik sehingga
penyimpanannya mengikuti pola penyimpanan matriks stiffness.
1 II II,
1 1III
I1 1II
I 1 1III
1 II IL
1I 11
1
11 111
1 1
(a)
(b)
Gambar 5. Pola penyimpanan matriks L : (a) pola awal; (b) mengikuti pola matriks
stiffness
Gambar 5 adalah pola penyimpanan matriks U yang juga mengikuti pola
penyimpanan matriks stiffness.
u" U 12 U 1.1
Un
1I2.1u 2~
U .\~
U .14
U"
U 45 U ~(,
U 55 U sr. U 57
u {-.(, U (,7
U 77 U 71(
Gambar 6. Pola penyimpanan matriks U
11.7. Menyusun beban.
Matrik beban terdiri dari lima macam yang dinyatakan pada persamaan 6a yaitu
a.Self strain
a. fgo= JBTO EodV = JBTOEotdxdy = BTOEotA .... 6a)v A
245
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
b. Prestress
rao = fBTaodV = fSTao tdxdy = STao tA
c. Body force
ISSN 1693-3346
N,o
f: = IN' bdV = I NTbldxdy = II:' NJ
oN,
o
N,o
t dx dy
o N,
d. Permukaan tarikan
N0
0
N
f . N ' ,wlS
f ,. I No '0
I ' [: : ] dSf:
= =., N
N I
0
0N I
e. Beban Titik (point loads)
rpl = LNTfp
dimana ; £0 = tahanan regangan pribadi dari perukomponen struktur temperatur
cro = tegangan sisa dan s = permukaan (surface)
11.8. Penyelesaian persamaan linear.
Setelah diperoleh matriks L_elementO, U_elementO dan BebanO, persamaan linear
dapat diselesaikan dengan substitusi. Ilustrasi terhadap masalah ini dapat dilihat
pada gambar berikut yang menunjukkan hasil meshing dari objek yang disimulasi.
'25 >6 '27
'20
'6
"2
8
Gambar 7 . Hasil meshing objek yang disimulasi dengan elemen segitiga linear
PEMBAHASAN DAN HASIL
PEMBAHASAN.
246
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
ISSN 1693-3346
1. Pembacaan data input dari preprocessor
2. Pembuatan gambar geometri yang akan dianalisis dan diskritisasi bidang serta
pemberian nomor node dan elemen seperti gambar 7.
3. Melakukan perhitungan untuk variabel kunci (JSTK,JDIAG,ISTK)
4. Pembuatan program untuk matrik fungsi bentuk dan transposenya untuk setiap
elemen seperti pad a persamaan 7a.
5. Pembuatan program untuk matrik kekakuan
6. Pembuatan program untuk matrik beban seperti pada 11.7
7. Pembuatan program untuk LU decomposition
8. Pembuatan program untuk menghitung regangan untuk setiap elemen seperti pada
persamaan 3
9. Pembuatan program untuk menghitung distribllsi stress seperti pada persamaan 2
10. Pembuatan program untllk menlliis hasil
11. Pembuatan program superposisi setiap node
HASIL PROGRAM.
1. Program setelah dieksekusi menghasilkan gambar geometri, data node, element, data
beban, syarat batas berupa tumpuan dan variable kunci (JSTK,JDAIG,ISTK)
'::;;'"," ... j:;::"M'-: "00 •. "'M.._ "'M'"~~~";.':~~n~:_~""'_"" ""'_ ~c,.," "'Ot.1t ••.•o ....ecolI:'""_..•..z,....'" -~ 0)7'5 0• v, 0'0:'5 0~ 0'7", ('• 0, 0C1;>!' ~
,. 0.• ,".> ~· ", 0.•••'" l_._--~_..~ ---
2. Hasil program untuk matrik kekakllan dan diberikan gaya terpllsat kearah sumbu Y
pada nomor elemen 45 sebesar 10000 N
247
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong,20 Nopember 2007
1,~!1.r~':.-.~;:;:~.•~~.~.£..~.<W~.~.,~~11i1"'~':'J.r1!'~!t~.I:,:d\!.'!:aml'z=:C~11Z1!11!1Je!12I"-1IIJ:.1I!.&.JI::'.;;;::-!l~:::.:Itil.urJ---~~ _.. .a-~~ .
3. Hasil program untuk deformasi setiap node~U~1·~~~·.s~"~_'!'].a:jI,."~~:-I;nvr~.,""""'-"~ ~.,..~~.4!!J_-mJl(
~ ~ ~ e-o_ ~gnn_ QeC>uO &un ~ ~ •••
4. Hasil program perpindahan setiap node (Superposisi)1!~<rcr::·!:::::O·!E'I!I"'E :t·;;:·"C·:!:·rJ:\i1OII<U1;:3:'Q:;(tlLm~~~,,"It'····~,~·0. .,. c.- _ er••,•.u ••_ ••• CIoM>uo EL.un q,.,....•• ~ ••.•. 1._ ~,'''''
,..,,", - ..••.~ - ~. '-·1
ISSN 1693-3346
._ ..... ~,.;.~~
._..;,J;_""'"~""""-"-'-"":':"" :"'"T1j.. ~........; ,
!Eli!
·{.:':!'O:"'~~er~ _I_I_!-1::1 o. -60 J;~'_""'_
A::n.:,:1U::I::.:<:t-w,n •• ~I~ ~ .
~ :~~;::-:..:.-(_.._)~ ••••••••'U· ••..IE•.•• _)M , __ c_.- •. "·f •.•••)~ ••••• ....c)< •.•.•••• L._)~:: .. (. __ .,~...)
oj., .-g[~J ,
~~~~~;._ ..~,- --_ .... .,-
248
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
KESIMPULAN .
ISSN 1693-3346
Penguasaan teori dasar metoda elemen hingga (MEH) beserta pemrograman Processor
akan mempermudah penyelesaian persoalan distribusi tegangan berdimensi dua dengan
disktritisasi bidang berbentuk e1emen segitiga pada material atau pad a benda yang
dianalisis.
DAFT AR PUST AKA.
1. FRANK L ST ASA,"Applied Finite Element Analysis For Engineers", Florida
Institute of Technology (1985)
2. Structural Analysis Guide, Ansys Realease 5.7
3. Stress Analysis Guide, Ansys Release 5.7
4. SAEED MOA VENI," Finite Element Analysis, Theory and Application with
ANSYS", Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458 (1983)
5. WILLIAM WEAVER Jr, PAUL R. JOHNSTON, "Structural dynamics by finite
Elements", Prentice Hall; Englewood Cliffs, New Jersey 07632
6. DAUD lUNG at all,"Visual Basic, Super Bible", Sams Publishing, Indianapolis
USA 1999.
7. EV ANGELOS PETROUTSOS,"Mastering Visual Basic 5",Sybec, San Fransisco,
USA 1997.
249
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007
LAMPIRAN
FLOW CHART INDUK PROGRAM PROCESSOR
C MULAI )"'--.BACAFILEDATA
ISSN 1693-3346
JSfK, JDIAG, ISfK
Variabel kundJSfK, JDIAG, ISIKdan I&TKF
NODE, ELE1\'IEN
r.IAIRIK FUNCSIBENIUKDANTRANSPOSE, r.IATRIKSJF ..••T M ..••TF.RT..••••
&J&JNMATRIKKoef matrik M1X#( )
KF.KAKTTAN MTX#i')
! f---to
BEBANBERAT, BEBAN&J&JN
TERPU&H, BEBANTEKANANRFRAN f4-!fNARAT BA-
TAS BEBAN
BEBAN 11JMPUAN
! ~INVERSLU_DECOf\'IP, L(), UO
M ATRTK'Ii.. ), HSL( )
I
HASIL LU (REGANGAN),FUNG~ BENI1JK
MENULISHA~T.
SELE&<\I
FILE HA ~L HSL()
250