Dynamical Systems Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Departement...

Dynamical Systems Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Departement of Mathematics FMIPA UNS

LECTURE 2: ORBITS AND TYPES OF ORBITS A. Iterasi (iteration)

Seperti yang kita lihat pada lecture 1, ada banyak masalah yang meli-

batkan iterasi (iteration). Iterasi bertujuan mengulang suatu proses terus-menerus. Dalam sistem dinamik, proses yang diulang tersebut adalah penerapan (formula) suatu fungsi.

Dalam pembahasan sistem dinamik diskret, hanya akan dipelajari fungsi-fungsi satu variabel yang sudah pernah dijumpai dalam kalkulus dasar, seperti (1) Fungsi kuadrat (quadratic function)

푄 (푥) = 푥 + 푐 dengan 푐휖푅 dan konstan.

(2) Fungsi logistik (logistic function) 퐹 (푥) = 훼푥(1 − 푥)

dengan 훼 konstan. (3) Fungsi eksponensial (exponential function)

퐸 (푥) = 훼푒 dengan 훼 konstan.

(4) Fungsi sinus (sine function) 푆 (푥) = 휇 sin푥

dengan 휇 konstan. Hal menarik dan penting yang akan dipelajari adalah mengenai

perubahan dinamika fungsi-fungsi tersebut seiring dengan perubahan nilai-nilai parameternya.

Secara matematik, proses iterasi terhadap suatu fungsi merupakan komposisi berulang fungsi tersebut terhadap dirinya sendiri. Misalnya, untuk fungsi F,

퐹 (푥) adalah iterasi kedua dari F, yaitu 퐹 퐹(푥) , 퐹 (푥) adalah iterasi ketiga dari F, yaitu 퐹 퐹 퐹(푥) ,

dan secara umum 퐹 (푥) adalah iterasi ke-n dari fungsi F.

Contoh 1. Jika 퐹(푥) = 푥 + 1, maka 퐹 (푥) = (푥 + 1) + 1 퐹 (푥) = ((푥 + 1) + 1) + 1

Contoh 2. Jika 퐹(푥) = √푥, maka 퐹 (푥) = √푥

퐹 (푥) = √푥


B. Sistem Dinamik (dynamical system)

Sistem dinamik (dynamical system) adalah suatu fungsi 푓: 퐼 → 퐼, de-ngan himpunan I disebut state space.

Contoh. Diberikan fungsi kuadrat 퐹 (푥) = 훼푥(1 − 푥) dengan 0 < 훼 ≤ 4 dan 퐼 = [0,1]. Fungsi tersebut mempunyai nilai maksimum di 푥 = dan

퐹 = 훼 1− = Sehingga diperoleh max [ , ]퐹(푥) = 1, dan min [ , ]퐹(푥) = 0. Sehingga 퐹 (푥)휖[0,1] untuk setiap 푥휖[0,1]. Jadi, fungsi 퐹 merupakan sistem dinamik (dynamical system), yaitu 퐹 : [0,1] → [0,1].

C. Orbit

Diberikan titik awal Rx 0 , orbit dari 0x di bawah fungsi F didefinisikan sebagai barisan dari titik-titik

....),(...,),(),(, 002

2010 xFxxFxxFxx nn

yang ditulis sebagai berikut: 풪(푥0) = {퐹 (푥),∀푛}

Titik 0x disebut bibit (seed) dari orbit. Dengan kata lain, orbit merupakan output-output dari suatu iterasi yang didaftarkan sesuai urutan yang dicapai. Perlu diketahui bahwa pada sistem dinamik kontinu, orbit digambarkan sebagai sebuah kurva (curve). Pertanyaan dasar dalam sistem dinamik adalah: jika diberikan titik awal 푥 , bagaimana perilaku (behaviour) dari orbit tersebut?

Contoh 1. Jika 퐹(푥) = √푥 dan 푥 = 2, maka diperoleh 푥 = 2 푥 = √2 ≈ 1.4142 푥 = √2 ≈ 1.1892

푥 = √2 ≈ 1.0905 .............................. Sehingga diperoleh: Orbit dari 2 adalah 풪(2) = {2, 1.4142, 1.1892, 1.0905, ...}. Selain itu, untuk 푥 = 3 dan 푥 = juga diperoleh: Orbit dari 3 adalah 풪(3) = {3, 1.7321, 1.3161, 1.1472, ...}. Orbit dari adalah 풪 = , 0.7071, 0.8409, 0.9170, 0.9576, . . . Dari semua titik awal 푥 di atas, titik-titik dari orbit menuju ke 1.


Contoh 2. Jika 푆(푥) = sin 푥 (dimana x dalam radian, bukan derajat), maka orbit dari 푥 = 123, adalah 푥 = 123 푥 = −0.4599 … 푥 = −0.4438 … ......................... 푥 = −0.0975 … 푥 = −0.0974 … .......................... Dengan sangat lambat sekali, titik-titik pada orbit menuju 0.

Contoh 3. Jika 퐶(푥) = cos 푥 (dimana x dalam radian, bukan derajat), maka orbit dari 푥 = 123, adalah 푥 = 123 푥 = −0.8879 … 푥 = 0.6309 … ........................... 푥 = 0.739085 … 푥 = 0.739085 … 푥 = 0.739085 … ............................ Setelah beberapa iterasi, orbit tersebut berhenti pada titik 0.739085....

D. Tipe Orbit (tipes of orbits) Terdapat banyak tipe orbit dalam sistem dinamik, di antaranya adalah A. Titik Tetap (fixed point)

Titik tetap dari fungsi F adalah titik 푥 yang memenuhi persamaan 퐹(푥 ) = 푥 , sehingga diperoleh 퐹 (푥 ) = 퐹 퐹(푥 ) = 퐹(푥 ) = 푥 dan secara umum 퐹 (푥 ) = 푥 .

Jadi, orbit dari suatu titik tetap merupakan barisan konstan {푥 , 푥 , 푥 , … }

Secara matematik, titik tetap suatu fungsi dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan

퐹(푥) = 푥


Contoh. Diberikan fungsi 퐹(푥) = 푥 − 4푥 + 6. Sehingga diperoleh 퐹(푥) = 푥

푥 − 4푥 + 6 = 푥 ↔ 푥 − 5푥 + 6 = 0 ↔ (푥 − 2)(푥 − 3) = 0 ↔ 푥 = 2 atau 푥 = 3

Jadi, F mempunyai dua titik tetap, yaitu 2 dan 3. Oleh karena itu Orbit dari 2 adalah 풪(2) = {2, 2, 2, ...}, dan Orbit dari 3 adalah 풪(3) = {3, 3, 3, ...}.

Secara geometri, titik tetap suatu fungsi merupakan perpotongan (intersection) antara kurva fungsi tersebut dengan garis diagonal 푦 = 푥.

Contoh. Gambar 2.1 (a) menunjukkan bahwa fungsi 퐹(푥) = 푥 − 4푥 + 6 mempunyai dua titik tetap, yaitu 푥 = 2 dan 푥 = 3, karena titik-titik tersebut merupakan perpotongan antara kurva F dengan garis y = x. Sedangkan Gambar 2.1 (b) menunjukkan bahwa fungsi 퐹(푥) = sin 푥 hanya mempunyai satu titik tetap, yaitu 푥 = 0.

Gambar 2.1. (a) 퐹(푥) = 푥 − 4푥 + 6, (b) 푆(푥) = sin푥

B. Orbit Periodik (periodic orbit atau cycle)

Titik 푥 merupakan titik periodik jika 퐹 (푥 ) = 푥 untuk beberapa bilangan bulat 푘 > 0. Nilai k positif terkecil yang memenuhi disebut periode prima (prime period). Jika 푥 adalah titik periodik dengan periode prima k (titik 푥 membentuk k-cycle), maka orbit dari 푥 merupakan barisan berulang 푥 ,퐹(푥 ), … ,퐹 (푥 ), 푥 ,퐹(푥 ), … ,퐹 (푥 ), …

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.01

2

3

4

5

6

3 2 1 0 1 2 33

2

1

0

1

2

3


dengan {푥 ,퐹(푥 ), … ,퐹 (푥 )} disebut orbit periodik (periodic orbit).

Catatan. Jika 푥 berada pada orbit periodik dengan periode k (k-cycle), maka semua titik pada orbit dari 푥 juga merupakan titik periodik de-ngan periode k.

Contoh 1. Diberikan 퐹(푥) = 푥 − 1. Karena 퐹(0) = −1 dan 퐹(−1) = 0, maka orbit dari 0 adalah 풪(0) = {0,−1, 0,−1, 0,−1, … } sedangkan orbit dari -1 adalah 풪(−1) = {−1, 0,−1, 0,−1, 0, … } Jadi, 0 dan −1 merupakan titik periodik dari F dengan periode prima 2, atau dapat dikatakan 0 dan −1 membentuk 2-cycle. Pada kasus ini {0,−1} atau {−1,0} merupakan orbit periodik.

Contoh 2. Diberikan 퐹(푥) = − 푥 + 푥 + 1. Karena 퐹(0) = 1,퐹(1) = 2, dan 퐹(2) = 0, Maka orbit dari 0 adalah 풪(0) = {0, 1, 2, 0, 1, 2, … } Jadi, 0 (demikian juga 1 dan 2) merupakan titik periodik dari F dengan periode prima 3, atau dapat dikatakan 0, 1, dan 2 membentuk 3-cycle. Pada kasus ini {0, 1, 2} merupakan orbit periodik.

Perhatikan bahwa untuk titik periodik 푥 dengan periode n (n-cycle) berlaku 푥 = 퐹 (푥 ), dan terus berulang setelah melewati 푛 − 1 titik lainnya dalam orbit periodik. Dengan demikian, 푥 merupakan titik tetap 퐹 . Sehingga n-cycle dapat ditentukan dengan dengan menye-lesaikan persamaan 퐹 (푥) = 푥

Contoh. Titik periodik periode 2 (2-cycle) dari 퐹(푥) = 푥 − 1 ditentukan dengan menyelesaikan persamaan 퐹 (푥) = 푥 (푥 − 1) − 1 = 푥 ↔ 푥 − 2푥 − 푥 = 0 ↔ 푥(푥 + 1)(푥 − 푥 − 1) = 0

↔ 푥(푥 + 1) 푥 − 1 −√5 푥 − 1 + √5 = 0

Jadi, terdapat 4 titik yang membentuk 2-cycle, yaitu 0,−1, 1− √5 , dan 1 + √5


Gambar 2.2. 퐹 (푥) = (푥 − 1) − 1 Secara geometri, titik periodik 2 periode (2-cycle) merupakan perpo-tongan antara kurva 퐹 (푥) dengan garis diagonal 푦 = 푥.

Catatan: (1) Jika F fungsi kuadrat, maka 푭풌 mempunyai derajat ퟐ풌. Secara

umum, sangat sulit menentukan titik periodik secara eksak.

Contoh. titik periodik periode 5 (5-cycle) dari fungsi 퐹(푥) = 푥 − 2 ditentukan dengan menyelesaikan persamaan 퐹 (푥) = 푥 ↔ 퐹 (푥) − 푥 = 0. Persamaan tersebut merupakan persamaan polinomial dengan derajat 2 = 32. Persamaan polinomial dengan derajat tinggi seperti di atas biasanya tidak mungkin (impossible) diselesaikan dengan cara eksak.

(2) Jika 푥 mempunyai periode prima k, maka 푥 merupakan titik tetap 퐹 , untuk setiap bilangan bulat 푛 > 0. Dengan kata lain 푥 = 퐹 (푥 ), 푛 = 1, 2, 3, …

Periode prima terjadi untuk kasus 푛 = 1. Jika 푥 = 퐹 (푥 ), maka 퐹 (푥 ) = 퐹 퐹 (푥 ) = 퐹 (푥 ) = 푥

퐹 (푥 ) = 퐹 퐹 (푥 ) = 퐹 (푥 ) = 푥 ............................................................. (Buktikan dengan induksi matematika!)

(3) Berdasarkan no. (2), jika 퐹 mempunyai k-cycle, maka 퐹 mempu-nyai cycle dengan panjang nk, untuk setiap bilangan bulat 푛 > 0.

1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

1

0

1

2

3

4


C. Eventually Fixed

Titik 푥 disebut eventually fixed jika 푥 sendiri bukan titik tetap, tetapi beberapa titik pada orbit dari 푥 merupakan titik tetap. Jadi, terdapat 푛 ≥ 1 sedemikian sehingga

푥 = 퐹 (푥 ) merupakan titik tetap, tetapi 퐹(푥 ) ≠ 푥 .

Atau 퐹 퐹 (푥 ) = 퐹 (푥 ), untuk setiap 푘 ≥ 푙 ≥ 1, dengan l suatu bilangan bulat positif, tetapi 퐹(푥 ) ≠ 푥 .

Contoh 1. Titik −1 merupakan eventually fixed untuk 퐹(푥) = 푥 karena 퐹(−1) = 1 dan 1 merupakan titik tetap dari 퐹(푥). Hal ini ditunjukkan dari orbit −1, yaitu 풪(−1) = {−1, 1, 1, 1, … }.

Contoh 2. Titik 1 + √5 merupakan eventually fixed untuk 퐹(푥) =

푥 − 1 karena orbit dari 1 + √5 adalah 1 + √5 , 0, 0, 0, … .

D. Eventually Periodic

Titik 푥 disebut eventually periodic jika 푥 sendiri bukan titik periodik, tetapi beberapa titik pada orbit dari 푥 merupakan titik periodik. Jadi, terdapat 푛 ≥ 1 sedemikian sehingga

푥 = 퐹 (푥 ) merupakan titik periodik, tetapi 푥 ≠ 퐹 (푥 ), 푛 = 1, 2, 3, …

Atau 퐹 (푥 ) = 퐹 (푥 ), untuk beberapa 푚,푛 > 1.

Contoh. Titik 1 merupakan eventually periodic untuk 퐹(푥) = 푥 − 1 karena 퐹(1) = 0 dan 0 berada pada orbit periodik dengan periode 2 (2-cycle). Hal ini ditunjukkan dari orbit 1, yaitu 풪(1) = {1, 0,−1, 0,−1, 0, … }. Titik √2 dan √2 + 1 juga merupakan eventually periodic karena berturut-turut diperoleh orbit 풪 √2 = {√2, 1, 0,−1, 0,−1, 0, … }, dan 풪 √2 + 1 = √2 + 1,√2, 1, 0,−1, 0,−1, 0, … .


E. Not Fixed or Periodic

Dalam sistem dinamik, banyak dijumpai orbit yang bukan merupakan titik tetap atau periodik, yaitu tidak memenuhi syarat titik tetap atau periodik pada pembahasan sebelumnya.

Perhatikan tiga contoh berikut. (1) Diberikan fungsi linear

푇(푥) = 2푥. Fungsi tersebut hanya mempunyai satu titik tetap 0 dan tidak mempunyai titik periodik. Perhatikan bahwa 푇 (푥 ) = 2 푥 , sehingga, jika 푥 ≠ 0, maka |푇 (푥 )| → ∞ untuk 푛 → ∞.

(2) Diberikan fungsi linear 퐿(푥) = 푥. Fungsi tersebut hanya mempunyai satu titik tetap 0 dan tidak mempunyai titik periodik. Perhatikan bahwa 퐿 (푥 ) = ,

sehingga, jika 푥 ≠ 0, karena barisan konvergen ke 0, maka |퐿 (푥 )| → 0 untuk 푛 → ∞. Pada kasus ini, orbit dari 푥 konvergen ke titik tetap 0.

(3) Diberikan fungsi kuadrat 퐹(푥) = 푥 . Perhatikan bahwa 퐹 (푥 ) = (푥 ) , Sehingga, jika |푥 | < 1 (−1 < 푥 < 1), maka |퐹 (푥 )| → 0 untuk 푛 → ∞. Sebagai contoh, jika 푥 = 0.1, maka orbit dari 푥 adalah

풪(0.1) = {0.1, 0.01, 0.0001, … , 10 , . . . } yang menuju 0. F. Orbit-orbit Lain (other orbits)

Beberapa orbit pada pembahasan sebelumnya, yaitu fixed, periodic, eventually fixed, dan eventually periodic, merupakan contoh orbit dengan perilaku sederhana yang bergerak konvergen menuju ke suatu limit tertentu, termasuk konvergen ke suatu cycle. Tetapi banyak fungsi sederhana, seperti fungsi kuadrat dari variabel real, dapat mempunyai banyak orbit dengan tingkat kompleksitas luar biasa (incredible complexity).


Contoh. Diberikan fungsi kuadrat 퐹(푥) = 푥 − 2. Orbit dari 0 merupa-kan orbit sederhana, yaitu eventually fixed:

풪(0) = {0,−2, 2, 2, 2, … }.

Gambar 2.3. Orbit dari 0 untuk 퐹(푥) = 푥 − 2

Tetapi, berikut diberikan orbit dari beberapa titik yang cukup dekat

dengan titik 0, yaitu 0.1, 0.01, 0.001, dan 0.0001.

(a) (b)

Gambar 2.3a. Orbit dari (a) 0.1 dan (b) 0.01, untuk 퐹(푥) = 푥 − 2

Setelah beberapa iterasi, orbit-orbit di atas jauh dari titik tetap 0. Tampak bahwa orbit tersebut bergerak hampir secara random di sekitar intarval [−2, 2]. Hal ini menunjukkan perilaku chaotic.

0 20 40 60 80 1002

1

0

1

2

0 20 40 60 80 1002

1

0

1

2

0 20 40 60 80 1002

1

0

1

2


(a) (b)

Gambar 2.3b. Orbit dari (a) 0.001 dan (b) 0.0001, untuk 퐹(푥) = 푥 − 2

Berikut diberikan gambaran lain dari salah satu orbit di atas. Gambar 2.4 menunjukkan histogram dari orbit 0.1 untuk 퐹(푥) = 푥 − 2. Untuk menampilkan gambar tersebut, interval −2 ≤ 푥 ≤ 2 dibagi menjadi 400 sub interval, sehingga setiap sub interval mempunyai lebar 0.01. Selan-jutnya, kita menghitung 20.000 titik orbit 0.1 pada histogram.

Gambar 2.4. Histogram orbit dari 0.1 untuk 퐹(푥) = 푥 − 2

Perhatikan bahwa distribusi titik-titik dari orbit tidak pernah berhenti bergerak (menempati setiap sub interval), meskipun selalu berada pada interval −2 ≤ 푥 ≤ 2. Hal ini merupakan salah satu bentuk perilaku chaotic yang akan dipelajari pada pembahasan berikutnya.

0 20 40 60 80 1002

1

0

1

2

0 20 40 60 80 1002

1

0

1

2


E. The Doubling Function

Doubling function mempunyai domain interval setengah terbuka (half-open) dan setengah tertutup (half-closed), 0 ≤ 푥 < 1 atau [0,1). Doubling function 퐷: [0, 1) → [0, 1) didefinisikan sebagai berikut

퐷(푥) =2푥 0 ≤ 푥 <

2푥 − 1 ≤ 푥 < 1

Secara lebih ringkas, 퐷 juga dapat didefinisikan sebagai 퐷(푥) = 2푥 mod 1 Secara geometri, doubling function diilustrasikan pada Gambar 2.5.

Gambar 2.5. Grafik dari doubling function

Contoh: (1) 퐷(0.3) = 2(0.3) = 0.6 (2) 퐷(0.6) = 2(0.6) − 1 = 1.2 − 1 = 0.2 (3) 퐷(0.9) = 2(0.9) − 1 = 1.8 − 1 = 0.8

Doubling function 퐷 mempunyai banyak titik periodik (cycle). Contoh: (1) Titik tetap : 풪(0) = {0, 0, 0, 0, … } (2) 2-cycle : 풪 = , , , , …

풪 = , , , , …

(3) 4-cycle : 풪 = , , , , , , , …

(4) 6-cycle : 풪 = , , , , , , , , , , , , … .

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


F. The Tent Function

Tent function mempunyai domain interval tertutup 0 ≤ 푥 ≤ 1 atau [0,1]. Tent function 퐷: [0, 1] → [0, 1] didefinisikan sebagai berikut

푇(푥) =2푥 0 ≤ 푥 ≤

2 − 2푥 < 푥 ≤ 1

Secara geometri, tent function diilustrasikan pada Gambar 2.6.

Gambar 2.6. Grafik dari tent function

Contoh: (1) 푇(0.3) = 2(0.3) = 0.6 (2) 푇(0.6) = 2 − 2(0.6) = 2− 1.2 = 0.8 (3) 푇(0.9) = 2 − 2(0.9) = 2− 1.8 = 0.2

Tent function 푇 mempunyai beberapa titik periodik (cycle). Contoh: (1) Titik tetap : 풪(0) = {0, 0, 0, 0, … }

풪 = { , , , , … }

(2) 2-cycle : 풪 = , , , , …

풪 = , , , , …

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Dynamical Systems Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Departement...

Documents

Transcript of Dynamical Systems Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Departement...