SISTEM DINAMIK DISKRET

Anggota Kelompok:

1. Inggrid Riana C.

2. Kharisma Madu B.

3. Solehan

Kontinu

Diskret

Sistem Dinamik

SISTEM DINAMIK

POKOK BAHASAN

SDD

OTONOMUS

1-D

LINEAR NON-LINEAR

MULTI-D

LINEAR NON-LINEAR

NON-OTONOMUS

SISTEM OTONOMUS 1-D

Kestabilan

Solusi

Titik Tetap

SDD Otonomus Linear 1-D

Kestabilan

Linearisasi

Solusi Jika Ada

Titik Tetap

SDD Otonomus Non-Linear 1-D

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

+1 = + ,

dengan

= 0,1,2, ,

, , .

Bentuk Umum

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

Solusinya adalah

= 0

1 +

1 , jika 1

0 + , jika = 1

Solusi Sistem

Diberikan SDD +1 = + , dengan nilai awal 0.

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

Titik Tetap

Titik tetap dari +1 = + , adalah

sedemikian sehingga

= + ,

diperoleh

=

1 , jika 1

0, jika = 1 dan = 0.

Untuk = 1 dan 0 titik tetap tidak ada.

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

Proposisi 1.

Titik tetap dari +1 = + ada jika dan hanya jika

1 atau = 1 dan = 0 .

Proposisi 2.

Titik tetap dari +1 = + tunggal jika dan hanya jika

1.

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

Kestabilan Titik Tetap

Titik tetap dari +1 = () adalah:

Stabil global (asimtotik) jika

lim

= , 0

Stabil lokal (asimtotik) jika stabil lokal dan

lim

= .

Proposisi 3.

Titik tetap dari +1 = + , stabil global jika dan hanya jika

< 1

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

Contoh

1. +1 =3

4 + 2

Solusi: =3

4

0 8 + 8

Titik Tetap: = 8

Kestabilan: =3

4< 1 stabil

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

Contoh

2. +1 = 2 + 2

Solusi: = 2 0

2

3+

2

3

Titik Tetap: =2

3

Kestabilan: = 2 > 1 tak stabil

SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D

+1 = , dengan = 0,1,2, .

Bentuk Umum

Solusinya adalah

1 = 0

2 = 1 = ( 0) = 2 0

=

0

Solusi Sistem

Diberikan SDD +1 = dengan nilai awal 0.

SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D

Titik Tetap

Titik tetap dari +1 = , adalah

sedemikian sehingga

= .

Linearisasi

Hasil linearisasi: +1 = + ,

dengan = dan =

SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D

Kestabilan Titik Tetap

Proposisi 4.

Titik tetap dari +1 = , stabil lokal di sekitar

titik tetap jika dan hanya jika

() < 1.

SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D

Contoh

+1 = 3 + 2

3

Titik Tetap: 1 = 0 2

= 1 3 = 2

Kestabilan:

(1) = (0) = 3 > 1 tidak stabil

(2) = 1 = 2 > 1 tidak stabil

(1) = (2) = 3 > 1 tidak stabil

SISTEM OTONOMUS MULTI-D

Kestabilan

Solusi

Titik Tetap

SDD Otonomus Linear Multi-D

Kestabilan

Linearisasi

Solusi

Titik Tetap

SDD Otonomus Non-Linear Multi-D

dengan

= 0,1,2, .

Bentuk Umum

+1 = + , k

Titik Tetap

Titik tetap dari +1 = + , adalah

sedemikian sehingga = + , diperoleh

= 1, jika 0.

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Proposisi 5.

Titik tetap dari +1 = + , tunggal jika dan hanya

jika 0.

Solusinya adalah

= 0

1 + 1, jika 0. atau

= 0

+ .

Solusi Sistem

Diberikan SDD +1 = + , dengan nilai awal 0.

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Lemma 1. Jika matriks mempunyai nilai

eigen real berbeda 1, 2, , maka ada matriks

non singular sedemikian sehingga

= 1,

di mana matriks diagonal

=

1 0 000

20

00

,

= 1 2 dan = , = 1, 2, , .

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Proposisi 6.

Sistem persamaan beda linear orde pertama non-

homogen

+1 = + ,

dapat ditransformasi ke sistem persamaan beda linear

orde pertama homogen

+1 = ,

di mana dan = 1.

Proposisi 6.

Sistem persamaan beda linear orde pertama non-

homogen

+1 = + ,

dapat ditransformasi ke sistem persamaan beda

linear orde pertama homogen

+1 = ,

di mana = dan = 1.

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Proposisi 7.

Solusi dari sistem persamaan beda linear orde pertama

non-homogen

+1 = + ,

adalah

= 1 0

+ ,

di mana adalah Jordan Matriks yang bersesuaian

dengan .

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Kasus 2 (Nilai Eigen Real Kembar)

Contoh

1. Uncoupled System

+1 = 2,

+1 = 2,

di mana 0 = 0, 0 .

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

2. Coupled System

+1 = 2 ,

+1 = + 4,

di mana 0 = 0, 0 .

dengan

= 0,1,2, .

Bentuk Umum

+1 = +

Titik Tetap

Titik tetap dari +1 = + , adalah

sedemikian sehingga = + , diperoleh

= 1, jika 0.

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Kasus 3 (Nilai Eigen Kompleks Berbeda)

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Lemma 3. Jika matriks mempunyai 2 nilai eigen

kompleks berbeda 1, 1, 2, 2, , 2 , 2

dimana + dan , maka ada matriks

non singular sedemikian sehingga

= 1,

di mana matriks blok

=

1 11 1

0 00 0

0 00 0

2 22 2

0 00 00 00 0

0 00 0

0 00 0

0 00 0

2 2 2 2

,

= 1 1 dan = , = 1, 2, , .

Kemudian jika blok pertama pada matriks blok D diubah

dalam bentuk koordinat polar dimana = cos dan

= sin , maka :

= cos sin sin cos

Lemma 6

cos sin sin cos

= cos sin sin cos

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Teorema 3

Titik tetap dari +1 = + dengan mempunyai 2

pasang 1, 1, 2, 2, , 2 , 2 nilai eigen imajiner yang

berbeda, dimana + dan stabil global

(asimtotik) jika dan hanya jika

2 +

2 1 2 < 1, = 1,2, , 2

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Diagram Phase

Sistem

+1 =

+1 = +

mempunyai variasi perilaku bergantung pada nilai

.

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Orbit Periodik : =

Spiral Masuk : <

Spiral Keluar : >

Searah Jarum Jam Berlawanan Arah Jarum Jam

Searah Jarum Jam

Searah Jarum Jam

Berlawanan Arah Jarum Jam

Berlawanan Arah Jarum Jam

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Orbit Periodik : =

Orbit periodik berlawanan arah jarum jam

Misalkan = 1, = 1 dan nilai awal 0, 0 = 1,0 .

Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh 1, 1 = 0,1 ,

2, 2 = 1,0 , 3, 3 = 0,1 , dan 4, 4 = 1,0 .

Terlihat bahwa sistem berbentuk orbit periodik dan

berlawanan arah jarum jam.

+1 =

+1 = +

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Orbit Periodik : =

Orbit periodik searah arah jarum jam

Misalkan = 1, = 1 dan nilai awal 0, 0 = 1,0 .

Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh

1, 1 = 0,1 , 2, 2 = 1,0 , 3, 3 = 0, 1 , dan

4, 4 = 1,0 . Terlihat bahwa sistem berbentuk orbit

periodik dan searah jarum jam. Sebagai catatan,

menentukan arah pergerakan.

+1 =

+1 = +

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Contoh

1. Uncoupled System

+1 = 2,

+1 = 0.5,

di mana 0 = 0, 0 .

Kasus 1 (Nilai Eigen Real Berbeda)

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

2. Coupled System

+1 = + 0.5,

+1 = + 1.5,

di mana 0 = 0, 0 .

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Contoh

1. = , >

+1 = ,

+1 = ,

di mana 0 = 0, 0 .

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Contoh 1

=0 11 0

= 0

11

= 0

2 + 1 = 0

2 = 1

1,2 =

1 = 1 =

=

11

1 2 1 1

1 + 2 1 0 0

=1

=01

+ 10

=0 11 0

1 =0 11 0

1 = 1 = maka = 0, = 1

= tan1

= tan1 = 90

= 2 + 2 = 0 + 1 = 1

+1 = ,

+1 = ,

0 = 0, 0

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

= 1cos 90 sin 90sin 90 cos 90

=cos 90 sin 90sin 90 cos 90

= 1 0

=0 11 0

1cos 90 sin 90sin 90 cos 90

0 11 0

00

=cos 90 sin 90sin 90 cos 90

00

+1 = ,

+1 = ,

0 = 0, 0

= 0 cos 90 0 sin 90

= 0 sin 90 + 0 cos 90

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

2. > , >

+1 = + ,

+1 = ,

di mana 0 = 0, 0 .

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Contoh 2

=1 11 1

= 0

+ 1 11 + 1

= 0

( + 1)2+1 = 0

2 + 2 + 2 = 0

1,2 = 1

1 = 1 +

1 = 1

=

11

1 2 1 1

1 +