T.C. HARRAN NVERSTES MHENDSLK FAKLTES NAAT MHENDSL BLM

naat Mhendislii Blm rencileri in

DNAMK DERS NOTLARI

Hazrlayanlar : Do. Dr. Zireddin MEMMEDOVYrd. Do. Dr. Mehmet GM

ANLIURFA 2004

1

NSZ naat Mhendislii lisans retimi erevesinde hazrlanm bu ders notlarnda, niversitelerin inaat mhendislii blmlerinde ilenen dinamik dersi mfredat programna uyulmutur. Dinamik dersi inaat rencileri iin ileri snflarda okutulan Yap Dinamii ve Yaplarn Deprem Hesab derslerine hazrlk amac ile verilmektedir. Ders notlarnda; her blmde, ilenmi konularn sonunda yeterli sayda karakteristik problemlerin aklamal zm verilmitir. Ders notlar yedi blmden olumaktadr. Bu blmlerde Bir Paracn Kinematii, Bir Paracn Dinamii, Rijit Cismin Kinematii, telemede Rijit Cismin Dinamii, Rijit Cismin Dzlemsel Hareketinin Dinamii konular, dier blmlerinde ise ve Enerji, Mekanik Titreimler, Virtel ve Ktlesel Atalet Momentleri konular verilmitir. Ders notlarnn hazrlanmasnda, zellikle problemlerin seilmesinde eitli ders kitaplarndan yararlanlmtr. Elden geldiince ak bir anlatmla yazlmaya allan ders notlarnn rencilerimize yararl olmasn diliyoruz. Ders notlarnn bilgisayarda yazmnda, ekil iziminde ve dzenlenmesinde gsterdii ilgi ve katklar iin blmmzn retim Grevlisi Mahir Kayaya ve Aratrma Grevlisi Nilay Kayaya teekkrlerimizi bildiririz. Yardmc ders kitab olarak, rencilerin yararna sunulan bu kitapta btn gayretlerine ramen gzden kamas mmkn hatalar ve hususlarla ilgili uyar ve eletirilerde bulunacak okuyuculara imdiden teekkrlerimizi sunarz.

2

NDEKLER Sayfa 1. Rijit cisimler dinamii Giri 1.1Rijit cisim kinematii 2. Bir paracn kinematii 2. rnekler 2. Problemler 3. Bir paracn dinamii 4. telemede rijit cismin dinamii 5. Rijit cismin dzlemsel hareketinin dinamii 6. Dnmede rijit cismin dinamii 6. rnekler 6. Problemler 7. ve enerji 7. rnekler 7. Problemler 8. mpuls ve momentum 8. rnekler 9. Mekanik titreimler 10. Serbest (lineer) titreimler 11. Zorlanm titreimler (snmsz) 11. rnekler 11. Problemler 12. Virtel i 13. Ktlesel atalet momentleri Kaynaklar 3 3 3 8 13 20 22 25 26 28 31 37 38 40 43 44 48 53 54 58 61 64 65 68 75

3

1. RJT CSMLER DNAM GR Bildiimiz gibi rijit cisimler mekanii statik ve dinamik diye ikiye ayrlr. Statik dengedeki, dinamik hareketteki cisimlerle urar. Dinamik de KNEMATK ve KNETK diye ikiye ayrlr: 1. Kinematik- kuvvetlerin hareket zerindeki tesirini dnmeden, hareketin geometrisi incelenir; 2. Kinetik- hareketi salayan kuvvet verildiinde ortaya kan hareket incelenir. Mekaniin bu dalnda da cisimlerin tam rijit olduklar kabul ediliyor. Gerek inaat sistemleri hibir vakit salt (mutlak) rijit deildir ve kendilerine etkiyen ykler altnda ekillerini deitirirler. Fakat genel olarak bu ekil deitirmeler kktr ve gz nne alnan sistemin hareket durumuna nemli bir etkide bulunmaz . Ancak sistemin gme mukavemeti sz konusu olunca ekil deitirmeler nem kazanr ve ekil deitiren cisimler mekaniinin bir alt dal olan mukavemette bunlar incelenir. 1.1. Rijit Cisim Kinematii Rijit bir cisim iindeki bir noktann yer deitirmesi, hz veya ivmesi yeryzndeki sabit bir noktaya gre yer deitirmesi, hz veya ivmesidir. Yeryznn sabit olmad bilinmesine ramen, birok mhendislik problemlerinde yeryzn sabit kabul etmek kafi (yeter) derecede dorudur. Rijit bir cisim iindeki bir noktann mutlak yer deitirmesi, hz veya ivmesi, dnyaya nazaran hareket eden bir noktaya gre yer deitirmesi, hz veya ivmesidir. A noktasnn SA mutlak yer deitirmesi, Ann Bye gre relatif yer deitirmesi olan SA/B ile B noktasnn SB mutlak yer deitirmesinin vektrel toplamdr. Matematiksel olarak ifade edilirse

SA = SA / B + SBolur.

(1.1)

A noktasnn VA mutlak hz; Ann Bye gre relatif hz olan VA/B ile B noktasnn VB mutlak hznn vektrel toplamdr. Bu matematik olarak ifade edilirse

vA = vA/ B + vB

(1.2)

olur.

4

A noktasnn

aA mutlak ivmesi; A

noktasnn Bye gre relatif ivmesi olan aA/B ile

B noktasnn aB mutlak ivmesinin vektrel toplamdr.Matematiksel olarak ifade edilirse

aA = aA / B + aBolur.

(1.3)

Rijit bir cismin basit hareket tipleri u ekilde gruplara ayrlabilir: 1) telenme: Cisim iindeki her doru paras daima balang dorultularna paralel kalyorsa bu harekete telenme denir. telenmede cismin btn noktalarnn yer deitirmesi, hz ve ivmesi ayn ekilde deiir. 2) Dnme: Cisim iindeki bir doru zerinde noktalar hari olmak zere dier btn noktalar, merkezleri bir doru (dnme ekseni) zerinde olan dairesel yrngelerde hareket ederler. Dnmede cismin btn noktalarnn dnme ekseni etrafndaki asal yer deitirmesi hz ve ivmesi ayndr. 3) Dzlem hareket: Cismin btn noktalar sabit bir dzlemden sabit uzaklkta kalrlar. Dzlem harekette genel olarak dnyaya gre lineer hz ve ivmesi bilinen bir B baz noktas seilir. Rijit cismin dier bir A noktasnn mutlak hareketi yukarda listesi verilen denklemlerle A noktasnn baz B noktasna gre relatif hareketi ile B noktasnn mutlak hareketi birletirilerek bulunur. A noktasnn B noktasna gre relatif hareketi bir dnmedir. Bundan dolay rijit bir cismin herhangi bir andaki dzlem hareketi dnme ve telenme hareketlerinin birletirilmesi olarak gz nne alnabilir. Yukarda verilen mutlak byklkler ve relatif byklklere ait eitlikler B (1.4) A r

S

SA/B= r ;

VA/B= r ;

a

A / B

=

r

(

2

+

)

olur.

ekil 1.1

Burada BA = r; : BAnn dzlem hareketteki asal yer deitirmesi ve : BAnn asal ivmesidir. Ani dnme ekseni: Dzlem harekette cismin iinde veya dnda olabilen hzsz bir eksendir. Hareket dzlemine diktir. Rijit cismin btn dier noktalar o anda dnme ekseni

5

etrafnda dnerler. Bu hzsz izginin konumunun genellikle srekli olarak deitiini iyice kavramak nemlidir. COROLS KANUNU: Bu kanun dnen bir cismin iindeki bir yrnge boyunca hareket eden bir paraca tatbik edilir. Toplam ivme

a p = a p/y + a M + 2v p/y . yBurada

(1.5) dir.

ap/y: aM :

P noktasnn sabit olarak kabul edilen yrngeye gre relatif ivmesi. (yrngenin teet

ve normal bileenleri kullanlyor); herhangi bir anda P noktas ile akan yrnge zerindeki M noktasnn ivmesi (nokta

dnen yrnge zerinde bulunduundan yrngenin dnme merkezini M noktasna birletiren yarap vektr ve buna dik dorultuda ivmenin bileenleri kullanlr);

vp/y: P noktasnn herhangi bir anda P noktas ile akan yrnge zerindeki M noktasnagre relatif hz.(Bu hzsadece cisim iindeki yrngede hareket eden paracn yrngesine teet olarak izilmeli);

y : yrngenin dnme merkezine gre asal hz. Ekseriyetle bu merkez yrngenin erilikmerkezi deildir. 2vp/y.y dorultusu vP/y yi y ile ayn dorultuda bir dik a kadar dndrerek bulunan COROLS bileenidir. rnek 1.1: L uzunluklu bir ubuk A noktasnn hz sabit iddete ve sola ynl olacak ekilde hareket etmektedir. Hareketi inceleyelim (ekil 1.I). ubuk deyle as yapt anda w asal hz ve asal ivmesi oluturuyor. A noktasnn vA mutlak hz Ann Bye gre relatif hz cinsinden ifade edilecektir:vA = vA/B + vB

B L A

(I) ekil 1.I

v A : vektr yatay dorultuda olup; iddeti vA ya eittir. v B : dey dorultuda olup, iddeti bilinmiyor.

6

v A / B : dik dorultuda olup, iddeti bilinmiyor.ubuk ekseni

90

vA vB

vA/Bekil1.Ia

Bilinmeyen iki iddettir. Tamamyla bilinen vA ile balayan bir vektr geni izilir.vA nn bir ucundan ubua dik bir doru izerek, dier ucundan da ekil 1.2ada gsterildii gibi kapayacak dik doru izeriz. Gsterildii gibi dey kol vB , ubua dik kolda vA/B dir. Dik gende; (aA/B)n= L.w2

v A/B = v A /cos Fakat vA/B=L. Buradan;

olur 90

aB

(aA/B)t= L. ekil 1.Ib

= v A/B /L = v A /L.cos = v A /L.cos

vA/B sol yukar doru ynelmi olduundan A etrafnda saat ibreleri ynnde dnmelidir.Bundan dolay da saat ibreleri ynndedir. imdi asal ivmesini tayin edelim: Bnin Aya gre teetsel bileeni L. dr. Denklem:

a A = (a A / B ) t + (a A / B ) n + a B

(II)

olur.

a A vektrnn iddeti sfra eittir (nk vA=sabit) (a A / B ) t ubua dik dorultuda olup iddeti L. ya eittir.7

(a A / B ) n aB

2 ubuk boyunca olup iddeti, L. eittir.

dey dorultuda olup iddeti bilinmeyendir. Gsterilen iki bilinmeyeni bulmak iin

vektrel denklemin sa tarafndaki vektrel bykln toplamnn sfra eit olmas gerekir. Bilinen (a A / B ) n

nin ularndan biri ubua dik, dieri dey, yani (a A / B ) n

ile

as yapan iki doru izilirse (ekil 1b) ivmenin (a A / B ) n Adan Bye yneldiine dikkat edilmelidir. Bu dik genden:

(a A/B ) = L. = L. 2 tan = 2 tan = VA .tan / L2 .cos 2

bulunur.

saat ibreleri ynndedir. nk (aA/B)t teetsel bileen Ay B etrafnda saat ibreleriynnde hzlandrmaktadr.

8

2. BR PARACIIN KNEMAT Kinematik, kuvvetlerin veya dier faktrlerin hareket zerindeki tesirini dnmeden hareketin incelenmesidir. Burada sadece hareketin geometrisi incelenir. Maddesel noktann hareketini inceleyelim: 2.1) Dorusal hareket: P noktasnn bir doru (burada kolaylk olsun diye seilen X ekseni) boyunca hareketidir. P noktasnn herhangi bir

t

zamanndaki konumu X ekseni zerindeki sabit O

balang noktasndan itibaren, X yer deitirmesi cinsinden ifade edilir. X yer deitirmesi iaret kabulne gre pozitif veya negatif olabilir. Ortalama hz : Yer deitirmenin xden

(x + x )

e kadar deitii

t

ile

(t + t ) zaman

aralnda P

noktasnn vort ortalama hz (x / t ) orandr. Matematiksel olarak: eklinde yazlr. Ani hz : P noktasnn t anndaki ani hz v zaman artmnn ( t ) sfra gitmesi halinde ortalama hzn limitidir. Matematiksel olarak:

v ort =

x t

(2.1)

v= lim t 0Ortalama ivme: Hzn v den (v + v ) ye

x dx = t dt

(2.2)

kadar deitii

t ile (t + t )

zaman aralnda P noktasnn

aort

ortalama ivmesi v/t orandr. Matematiksel olarak:

a ort =Ani ivme: P noktasnn

v t

(2.3)

t

anndaki ani ivmesi

a, zaman artmnn t sfra gitmesi halinde ortalama

ivmenin limitidir.

9

Matematiksel olarak:

v dv d 2 x = = a= lim t 0 t dt dt 2Sabit ivme a=k iin aadaki formller geerlidir:

(2.4)

v = v 0 + ktv 2 = v 0 2 + 2kss = v 0t + 1 2 kt 2(2.5)

s=

v + v0 .t 2

Burada v0 ilk hz; v son hz;

k sabit ivme; t zaman, s yer deitirmedir.

2.2) Basit Harmonik hareket: vmenin negatif olarak yer deitirme ile orantl olduudorusal bir harekettir.

a = k 2 xEitlii rnek olarak yer deitirmesi

(2.6) (2.7)

x = bsin t

ile verilen titreim denklemini salar. Burada b uzunluk cinsinden genlik, rad / sn cinsinden sabit dairesel frekans, t sn cinsinden zamandr. Bylece;

x = bsin t dena=2 Bundan dolay a = kx

v=

dx = bcos t dtbulunur.

ve

d2x = 2 bsins = 2 x 2 dtdir.

(2.8)

Burada k= bir sabit, hareket basit harmonik bir harekettir.

2.3) Erisel hareket: P noktasnn erisel bir yrnge zerinde hareket etmesidir (ekil 2.1). P noktasnn

t

anndaki durumu (kartezyen) dik koordinatlar x ve y veya kutupsal

koordinatlar ve cinsinden ifade edilir.

10

y x P C y n x P y y x ekil 2.1

x

(t + t )

annda hareketli nokta koordinatlar) (x + x, y + y ) veya (, + ) olan P

noktasnda bulunur. Yer deitirme P ve P yi birletiren c kirii kadardr. Bu mesafe noktann eri zerinde s kadar hareket etmesi ile meydana gelmitir. Kk zaman aralklarnda s takriben c ye eittir:

s = c = x 2 + y 2Vektrel olarak;

(2.9)

c = n + p = p. + p c

(n = p. )

(2.10)

Yer deitirmenin c kadar olduu t ve t + t zaman aralnda P noktasnn vort ortalama hz c/ t orandr:

vort=veya;Vort=

x 2 y c = ( ) + ( )2 = t t tc n = + t t t

( v ort ) 2 + ( v ort ) 2 x y

(2.11)

(2.12)

11

bulunur. Burada; vort ortalama hzn iddeti, (vort)x =

x ortalama hzn x bileeninin iddeti, t dorusunun asal yer

(vort)y =

y , p ortalama hzn y bileeninin iddeti; t t

deitirmesinin deiimini gsterir.

t anndaki ani hz matematiksel olarak yazlrsa: y c x 2 2 v = lim = lim + lim = vx + vy t 0 t t 0 t t 0 t veya2 2

(2.13)

v= limelde edilir.

d d c =lim + lim = + t t t dt dt

(2.14)

Burada; vx, vy ani hzn srasyla x, y bileenlerinin iddeti; p noktasnn seilen 0 kutup noktasna uzakl;

d d ani hzn radyal bileeni izgisinin ani asal hz dt dt

P noktasnn tlimitidir.

anndaki ani ivmesi ortalama ivmenin t zaman artm sfra giderken

ay

a

P(x,y)

ax x

ekil 2.2

Dik koordinatlarda (ekil 2.2):

12

dv dv a = a2 + a2 = x + y x y dt dt Burada a ani ivmenin iddetidir.

2

2

(2.15)

ax ve ay ani ivmenin x ve y bileeninin iddetidir.2.4) Dairesel hareket: Erilik yarap sabit ve R olan bir eri zerindeki harekettir.Aadaki dairesel harekete ait formller nceki genel eitliklerin zel halleridir:

t

n

r O

S

ekil 2.3

v t2 2 S= r.; vt=r. ; an= = r. = v t . r at= r.Burada; S dairesel yrngenin yay uzunluu; (2.16)

asal yer deitirme; r dairenin yarap; vt t anndaki lineer hzn teetininiddeti; an ivmenin O merkezine yarap dorultusunda yneltilmi normal bileeninin iddeti

t annda r yarapnn asal hz ; t annda r yarapnn asal ivmesi.

13

2. RNEKLER:rnek 2.1: Bir Pnoktas bir doru zerinde

S=4t3+2t+5

denklemine gre hareket

etmektedir: a) t=3 sn deki yer deitirme,hz ve ivmeyi;

b) t=4 sn esnasnda ortalama ivmeyi belirtiniz. zm:

a) S=4t3+2t+5=4.33+2.3+5=119 m v= a= ds = 12t 2 + 2 =12.32+2=110 m/sn dt dv =24t=24.3=72 m/sn2 dt v=12t2+2=12.42+2=194 m/sn v=vt=4-vt=3=194-110=84 m/sn;

t=4sn

t=t2-t1=4-3=1 sn. aort=

v = 84 :1=84 m/sn2 t

B

rnek 2.2: ekil 2.1 de grlen AB ubuunun en alt A noktas saadoru sabit va=5 m/snlik hzla hareket etmektedir.

yO

L A

=600 olduu zaman B noktasnn hz nedir?dy dx zm: x +y =L olduundan 2x + 2y =0 dt dt2 2 2

xekil 2.II

vB =

dy x dx = . = cot g.( v B ) = cot g 60 0 .5 = 2,89m / sn dt y dt

aksi iareti B noktasnn saa doru hareket ettiini gstermektedir.

rnek 2.3: Bir noktann yer deitirmesinin x ve y bileenleri metre olarak x=10t +2t,

2

y=t3+5 ifadeleri ile verilmitir. t=3 sn de noktann yer deitirmesini, hzve ivmesini belirtiniz.

zm: v x =

dx = 20t + 2 ; dt t=3sn.

vy =

dy = 3t 2 ; t=3sn, x=96 m; y=32 m. dt vy=27 m/sn

vx=62 m/sn ;

v = v 2 + v 2 = 62 2 + 27 2 = 67,6m / sn v=67,6 m/sn. x y

14

ax =

dv dv x = 20 ; ay= y = 6t t=3sn, ax=20 m/sn2, ay=18m/sn2. dt dt

a = a 2 + a 2 = 20 2 + 18 2 = 26,9m / sn 2 x yrnek 2.4: Bir noktann hareketi aadaki denklemlerle ifade edilmitir

vx=20t+5 , vy=t2-20Ayrca t=0 iken, x=5m ve y=-15m olduu bilinmektedir. t =2sn iin yer deitirme, hz ve ivmeyi belirtiniz.

zm:

vx =

dx = 20t + 5 den x= ( 20t + 5)dt = 10t 2 + 5t + C1 dt

dy t3 2 2 vy = = t 20 den y = (t 20)dt = 20t + C 2 dt 3

x denkleminde x=5, t=0 ise C2=-15 bulunur. x=10t2+5t+5, y=

C1=5; y denkleminde y=-15, t=0 ise

t3 dx 2 dy 2 20t 15 , ax= 2 = 20 ; ay= 2 = 2t 3 dt dt

t=2sn iin x=55m ; y= 52,3m ; vx=45m/sn; vy= 16 m/sn.v= v 2 + v 2 = 45 2 + ( 16) 2 = 47,8 x ym ; sn

ax=20

m ; sn 2

ay=4

m ; sn 2

a= a 2 + a 2 = 20 2 + 4 2 = 20,4 x y

m . sn 2

rnek 2.5: Bir maddesel nokta a = 2 v ivmesi ile dey doru boyunca hareketetmektedir. t=2sn iken yer deitirmesi s=

64 m ve hz v=16m/sn dir. t=3sn 3

iken noktann yer deitirme, hz ve ivmesini hesaplaynz.

zm:

a=

dv den dt

2 v=

dv dt

ise

2dt=

dv v1 2

buradan

2t+C1=2v1/2 (a)

t=2sn iin, v=16 m/sn; 2.2+C1=2.(16)1/2 4v=(2t+4)2 ise v=(t+2)2 olur. v =

C1=4 bulunur. (I) dan

ds = (t + 2) 2 ve ds =(t+2)2dt dt

15

ntegral alarak s =

1 64 (t + 2) 3 + C 2 bulunur. Burada t=2sn olduunda s= olur. Onda 3 3 C2=0.Buna gre denklemler:

64 1 = ( 2 + 2) 3 + C 2 ; 3 3

1 dv s = (t + 2) 3 , v=(t+2)2 , a= = 2(t + 2) dir. 3 dtt=3sn iin

s=41,7m ; v=25m/sn ; a=10m/sn2 deerleri elde edilir.

rnek 2.6: 18 cm apnda bir disk 15 saniyede suknettenniform olarak 280 devir/dak lk hza getirilmektedir. Durgun halden 1sn sonra disk zerindeki bir noktann hz ve ivmesini hesaplaynz.( ekil 2.VI) o

at a an

A o

ekil 2.VI

zm: Bu problem dnme denklemlerinin bir uygulamasngstermektedir.nce , hz verildikten sonraki asal ivmesini bulalm:

280 devir rad .2 0 0 rad 60 sn devir = = = 1,96 2 t 15sn snimdi balangtan 1sn sonraki asal hz bulalm:

1 = 0 + t = 0 + 1,96Disk zerinde bir nokta

rad rad .1sn = 1.96 2 sn sn rad cm = 17,64 sn sn2

Hz v=r. 1 = 9cm.1,962

Normal ivmesi a n = r .1 = 9.(1,96) = 34,56

cm sn 2

16

Teetsel ivmesi at=r.=9.1,96=17,64 Toplam ivmesi

cm sn 2 cm sn 2

2 a = a t2 + a n = (17,64) 2 + ( 34,56) 2 = 38,76

Toplam ivme vektr ile O noktasndaki yarap arasndaki a

cos =

a n 34,56 = = 0,8916 a 38,76

= 26 0

rnek 2.7: A otomobili kuzey batya ynelmi bir yol boyunca 36km/saat lk bir hzlagitmektedir,B otomobili ise 126km/saat lk hzla bat ile gneyedoru 600 lik a yapan yol boyunc hareket etmektedir. A nn B ye gre relatif hz ve dorultusunu belirtiniz (ekil 2.VIIa).

A450 600

600

VB VA/B VA450

VA/B (VV/B)x

(VA/B)y

B

a)

b)ekil 2.VII

c)

zm: Hzlar balayan vektrel denklem

v A / B = v a + ( v B ) v A = v A / B + v BVektrlerin x ve y ye gre bileenlerini bulalm:

(vA)x=-36.cos450 = -36.0,707=-25,45 km/s (vA)y= 36.sin450 = 36.0,707= 25,45 km/s(vB)x=-126.cos60 = 126.0,5= -63 km/s0

(vB)y=-126.sin600 = -126.0,866= -109,12 km/s

17

Buradan

(vA/B)x = (vA)x - (vB)x = -25,45 +63 = 37,55 km/s (vA/B)y = (vA)y (vB)y = 25,45 + 109,12 =134,57 km/s vA/B = ( v A / B ) 2 + ( v A / B ) 2 = ( 37,55) 2 + (134,57 ) 2 = 140 km/s x y134,57 vA/B nin doru ile yapt as ise: =tan-1 37,55;

=740

rnek 2.8 : 1,8m uzunluunda ve kk kesitli bir ubuk yatay bir dzlemde bir ucundangeen dey eksen etrafnda dnmektedir. Bu ubuun hz 5 saniyede 20 devir/sn den 30 devir/sn ye ykselmektedir. a) ubuun orta noktasnn zaman aralnn balang ve bitiminde lineer hzn hesaplaynz. b) vme baladktan 3 sn sonra ubuun orta noktasnn ivmesinin normal ve teetsel bileenlerini tayin ediniz.

zm: Verilenler:

B = 20devir / sn = 40rad / sn s = 30devir / sn = 60rad / sn r = 1,8/2 = 0,9 m t =5sna) v B = r . B =

t1=3sn

1,8 .40rad / sn = 113,04m / sn ; 2

vs = r. s =

1,8 .60 = 169,6m / sn 2

b) 5sn lik aralkta herhangi bir anda niform asal ivmesi

=

s B 60 40 = = 4rad / sn 2 t 5

3 sn sonra asal hz = B + t = 40 + 4.3 = 52rad / sn vmenin bileenleri:

a t = r = 0,9.4rad / sn 2 = 11,3m / sn 2a n = r 2 = 0,9.52 2 = 2434m / sn 2

18

rnek 2.9: Bir P noktas dairesel bir yrnge zerinde katettii yayn uzunluu s = t +3olacak ekilde hareket etmektedir.Dairenin yarap 12 m dir: a) t = 2sn anndaki hzn eksenel bileenleri vx ve vy ni belirtiniz (ekil 9.1a). b) Noktann ivmesinin t = 2sn iin ax ve ay eksenel bileenlerini bulunuz.

3

yxoP

yVy Vx P

r

y

o

x

a)

oekil 2.IX

x b)

zm: AP mesafesi 2sn de katedilmi olsun AP = s = 23 +3 = 11m. x =12 cos ,

y =12 sin .

vx=

d dx = 12 sin , dt dt d 1 2 = t . dt 4

vy= 12 cos

d . dt

s t3 + 3 s = r = = , r 12

d 1 2 t =2sn iin; = .2 = 1rad / sn; dt 4 vx = 12(sin 11 ).1 = 9,48m / sn 12

2 3 + 3 11 = = rad. 12 12 vy = 12(cos11 ).1 = 7,30m / sn 12

Negatif iaret hzn x bileeninin sola doru ynl olduunu gsterir.Toplam hz

v = v 2 + v 2 = ( 9,48) 2 + (7,3) 2 = 12m / sn dir. x y

d v ni v = r dt

22 formlnden de bulmak olabilir. v = 12.( ) = 12m / sn 4

19

Noktann ivmesinin t=2sn iin ax ve ay eksenel bileenlerini blalm.

d 2 d 2 a x = 12 cos ( ) 12 sin 2 dt dt d 2 d 2 a y = 12 sin ( ) + 12 cos 2 , dt dt t=2sn de=

d 1 2 d 2 t = t 2 = dt 4 dt 2

d 11 = 1rad / sn : rad ve dt 12 11 11 .(1) 2 12. sin .1 = 16,8m / sn 2 12 1211 11 .1 + 12. cos .1 = 2,19m / sn 2 12 12

ax= 12. cos

a y = 12. sinToplam ivme

a = a 2 + a 2 = 17m / sn 2 olur. x y

20

2. PROBLEMLER Problem 2.1: A noktas bir doru zerinde S=4t +2t ifadesi ile hareket etmektedir.Yerdeitirme, hz ve ivme ifadelerinin zamana gre degiimlerini iziniz ( Yani S- t; v- t ve2

a- t diyagramlarn).Problem 2.2: Problem 1iznz.

S=3t +2t+5 yer deitirme ifadesi ile verilen hareket iin3 2

2

Problem 2.3: Problem 1i S=6t -2t +10 yer deitirme ifadesi ile verilen hareket iinznz.

Problem 2.4: Yer deitirmesinin x ve y bileenleri metre olarak x = 5t - 2t +2 ,

3

2

y=2t2+8tbelirtiniz.

ifadeleri ile verilmi noktann t=10sn de yer deitirmesini,hz ve ivmesini

Problem 2.5: Noktann hareketi aadaki denklemlerle ifade edilmitir

vx=2t2+4 ;Problem 2.6:

vy=6t-8 . Ayrca t=0 iken, x=6m, y=-4m olduu bilinmektedir.Bir noktann dorusal hareketinde ivme a=- 9,81 denklemi ile verilmitir.

t=5sn iin yer deitirme, hz ve ivmeyi hesaplaynz.Bilinmektedir ki t=0 olduu anda x yer deitirmesi 7,5m v hz 0 dr: a) s yer deitirmenin denklemini belirtiniz; b) t=5sn deki yer deitirme, hz ve ivmeyi; c) t=7sn deki yer deitirme, hz ve ivmeyi; d) Ortalama hz ve ivmeyi belirtiniz.

Problem 2.7: Dey bir doru boyunca hareket eden noktann ivmesi a=12t- 20 denklemiile verilmitir.t=0 annda yer deitirmesi s=- 10m ve t=5sn iken yer deitirmesi

s=+10m dir.a) Hareketin denklemini karnz; b) t=10sn deki yer deitirme,hz ve ivmeyi hesaplaynz.

Problem 2.8: 20 cm apndaki bir disk 10 dakikada 800 devir/dak hzdan skunetegemektedir. Asal ivmeyi tayin ediniz.

21

Problem 2.9:

Bir disk niform olarak

saniyede skunetten

200 devir/dak

hzlandrlmaktadr. Bu hz ile iki saniye dndkten sonra sn de skunete getirilmektedir. Disk btn zaman aral boyunca ne kadar dnme yapar?

22

3. BR PARACIIN DNAMBir paracn dinamiinde, hareketi salayan kuvvet verildiinde ortaya kan hareket incelenir. Bir cismin (paracn) dinamii problemlerinin zlmesinde hareketin NEWTON Kanunlar kullanlabilir:

Newtonun 1.kanunu. Bir cisim skunetteki durumuna veya bir doru boyuncaniform hareketine ( sabit hz), durumunu deitirecek baz kuvvetler zorlayncaya kadar devam eder. Baka bir deyile, bir parack ancak dengelenmemi kuvvetler tesiri altnda ivme kazanr.

Newtonun 2. kanunu. Bir F kuvveti bir cismin zerine etki ettii zaman kuvvetdorultusunda, kuvvetle doru ve cismin m ktlesi ile ters orantl olmak zere bir ivme meydana getirir. Bu kanuna gre ka = F/m veya

F= kmaF= ma

(3.1) (3.2)

Burada k bir orant sabitidir. k=1 olmak zere birimler uygun seilirse

olur. Newtonun 3. kanunu. Her etkiye veya kuvvete eit ve ters ynl olmak zere tepkiveya kuvvet vardr. Dier bir deyile, bir cisim ikinci bir cisim zerine bir kuvvet tesir ettirirse, ikinci cisim de birinci cisim zerine iddeti eit ve zt ynl ayni bir kuvvet tesir ettirir. Birimler kullanlan sisteme baldr. Mhendislik almalarnda genellikle yukardaki formlde k deeri birim olacak ekilde deerlere uygun seilir. Buna gre esas birimler ayrlrsa bunlar: kuvvet iin kN ve ivme iin m/s2 dir. Ktle birimi bu iki birim cinsinden tretilir. Yeryzne yakn mesafelerde serbeste den bir cisme kuvvet olarak yalnz kendi W arl etki etmektedir. vmesi, g yerekimi ivmesine eittir ( kullanlan birim sisteminde g =

9,81 m/s2 dir).kinci kanuna gre

W= kmg

(3.3) (3.4)

veya k=1 olmak zere W=mg ;

m=W/g (kg/m/sn2=kg.sn2/m) dir.

Bir cisme herhangi bir kuvvetler sistemi etkiyorsa bu paracn herhangi bir eksen dorultusunda ivmesini bulmak iin, sistemdeki btn kuvvetlerin o eksene gre bileenleri toplanr ve ( kg sn2/m cinsinden) m ktlesi ile( m / sn2 cinsinden) ivmesinin arpmna eitlenir. X dorultusunda bu eitlik

23

Fx = maxveya

ax = Fx/mdir.

(3.5)

W arlnda bir cisim srtnmesiz yatay dzlemde ekil 1a da grld gibi durmaktadr. Cisim yay katsays

k (kN /cm)

olan bir yaya balanmtr. Arlk denge konumundan ( denge

konumunda yayda ekme ve basn kuvveti sfrdr.) Hareketi inceleyelim.

xo

kadar ayrlsn ve sfr hzla braklsn.

W

T

a ekil 3.1

x

b

N

Cismin denge konumundan x kadarayrld zamanki serbest cisim diyagram ekil 1b- deizilmitir.Yay x kadar uzatld zaman cisime yatay dorultuda T kuvveti etki ettirir.

durumdaki boyunun fark ile orantl kabul edilir. Bu ifade matematiksel olarak Maddenin elastik limiti iinde yaydaki kuvvet yayn uzam boyu ve gerilme kuvveti bulunmad

T= kxeklinde yazlr.

(3.6)

Burada T kN cinsinden yay kuvveti; k - kN /cm boyutunda bir sabit; x ise uzunluun cm olarak deiimidir. Kuvvetlerin yatayda toplanmas ile

Fx = -T=bulunur.

W .a x g

(3.7)

dikkat Sola doru olan kuvvetler ve dengenin solundaki mesafelerin negatif alndna edilmelidir. Bu durumda x mesafesi saa dorudur. Yani ax pozitif yazlmtr. T gerilmesi ise sola doru olup negatiftir.

d2x T= kx ve ax= 2 dt

konursa (3.7) denklemi

24

W d2x kx= . g dt 2

d 2 x kg + .x = 0 dt 2 W kg kg .t ) + B cos( .t ) W W

(3.8)

olur.

Bu denklemin zm diferansiyel denklemler teorisinden sinsl ve kosinsl terimler eklinde elde edilir. x = A sin(

(3.9)

imdi A ve B deerlerini hesaplayalm. t= 0 iken x= x0 ve buradan

x0= Asin (

kg kg .0) + Bcos ( .0 ) W W

ve

B = x0

bulunur.

Ay belirtmek iin xi zamana gre tretmek lazmdr.Yani t=0 iken v=0 olmaldr.

v= dx/dt = A

kg kg kg kg .t ) ve buradan t=0 sin( .t ) x 0 cos( W W W W

v =v0 = 0 ; A=0 bulunur. Bu problem iin hareket denklemix = x0 cos (

kg .t W

olar.

(3.10)

25

4. TELEMEDE RJT CSMN DNAMRijit cismin telenmesinde herhangi bir paracn ivmesi dier bir parackla ayndr. Bir paracn aktif kuvveti , ktlesi dm ile ivmesi ann arpmna eittir. Bu kuvvet

a ivme vektr dorultusundadr

dF= dm.aDALEMBERT ilkesine gre bir cisme tesir eden d kuvvetlerin bilekesi btn etkenkuvvetlerinin bilekesine eit olmaldr.

Fd= ma

DALEMBERT ilkesine gre teleme denklemleri yle ifade edilebilir:

Fx= (dm)ax = ax dm= m ax Fy= (dm)ay = ay dm= may(4.1)

M = I.Burada Fx ,

Fy

d kuvvetlerin srasyla x ve y eksenleri zerindeki bileenlerinin

cebirsel toplam ; m cismin ktlesi; ax ,

ay

cismin ivmesinin srasyla x ve y eksenleri

zerindeki bileenleri; M d kuvvetlerin ktle merkezine gre momentlerinin cebirsel toplam; I cismin ktle merkezine gre atalet momenti; ise cismin asal ivmesidir.

Atalet kuvveti metodu ile zm; cisme tesir eden etken kuvvetler ters dndrlp dkuvvetler topland zaman uygulanabilir. Bu kuvvetler sistemi,alma kolayl bakmndan o an iin dengede tutarlar. Ters dndrlm etken kuvvetler ( atalet kuvvetleri) gerekte yoktur. Statik denge denklemleri ancak bundan sonra kullanlr.

26

5. RJT CSMN DZLEMSEL HAREKETNN DNAMBu genel halde hareketin denklemleri

Fx = m ax Fy = m ayolur. (5.1)

M=I.Momentlerin ktle merkezine gre alnacana dikkat etmek gerekir. Kural olarak, baka bir noktann seilmesi halinde denklemler ok daha kark olur. Ancak O noktasnn, ivmesi sfra eit veya ktle merkezine ynelmi bir nokta olmas halinde Mo=Io. denkleminin korunacan belirtilmesi gereklidir.

ax ivmesi ve Fx ayn dorultuda, ay ivmesi ile Fy ayn dorultudadr. Dkuvvetlerin ktle merkezi etrafnda momenti ile ayn dorultuda ise pozitif kabul edilir. ekil 1de grld gibi dey bir eksen zerinde eitli konumlar alabilen , yatay bir

P kuvveti etkisi altnda yatay dzlem zerinde hareket eden r yaraply

P a r W F N ekil 5.1 a

ve W arlkl homojen silindirin hareketini inceleyelim. Serbest cisim diyagram, merkezden a yksekliinde uygulanan P kuvvetini gstermektedir.

F sola doru etkidii zaman hareketin denklemleri

Fx = P-F = (W/g) ax

(5.2)27

Fy = N-W = 0M = P.a +F.r =Hareketin saa doru olmas iin P,

(5.3)

1W 2 r 2 g

(5.4) dir.

Fden byk olmaldr.

ax = r.

deeri (5.4) denkleminde yerine konursa

P.a + F.r =(5.5) denklemi (1/2) r ile blnerek

1W r .a x 2 g

(5.5) bulunur

W 2Pa + 2F = a x g r(5.6) denklemi ile (5.2) nin sol taraflar eitlenirse

(5.6) bulunur.

2Pa + 2F = P F r

veya

3F = P(1

2a ) r

(5.7)

1. a = r/2 olmas halinde F=0 olur. Yani P kuvveti yarapn yars kadar merkezin stnde uygulanrsa srtnme kuvveti sfr olur.

2. a = r olursa 3F = -P F = -P/3 olur. Bu durumda srtnme yn deitirmi olurve saa doru etkiler.

F = -P/3 halinde (5.4) denklemi a = r iinP .r P 1W 2 .r = r . 3 2 gveya

2 1W P= r . 3 2 g

(5.8)

olur. Bu ise nn pozitif

olduunu veya silindirin saa yuvarlandn gsterir. Ancak P fazla bytlrse F nin de artaca tabiidir. Mmkn olan maksimum srtnme deeri alr almaz silindir kayacaktr. Bu durumda yeni bir kabul yaplmaldr. F srtnmesi imdi srtnme katsays () ile N normal kuvvetinin arpmna eit olur. Bu durumda hareket denklemleri aadaki gibi olur:

Fx = P-N =(W/g)ax Fy = N-W = 0 M = P a +N r =1W 2 r . 2 g

(5.9) (5.10) (5.11)

Bu denklemler hem kayma (lineer ivme ax) ve hem de yuvarlanma (asal ivme ) gsterirler.

28

6. DNMEDE RJT CSMN DNAMBir cismin bir simetri dzlemi varsa ve cisim bu simetri dzlemime dik, sabit bir eksen etrafnda dnyorsa, dengelenmemi kuvvet sistemi altnda bu cismin hareket denklemleri unlardr:

Fn = m r 2 Ft = m r Mo = Io r

(6.1)

F1

m

n

F2

O F4 t F3 ekil 6.1 W R w

Burada (ekil 1e gre) :

Fn : d kuvvetlerin ( cismin W arl ve Fi ykleri) dnme d merkezi O ile ktle merkeziGyi birletiren n ekseni zerinde bileenlerinin cebirsel toplam;Ft : d kuvvetlerin Onoktasnda n eksenine dik olan t ekseni zerinde bileenlerinin cebirsel toplam;

Mo: D kuvvetlerin O noktasndan geen dnme eksenine gre momentlerinin cebirseltoplam;

m : cismin ktlesi ( kg.sn2/m)

(m= W/g)

r : O dnme merkezinin ktle merkezi G ye uzakl (m) Io : dnme eksenine gre cismin atalet momenti (kg.sn2.m) : asal hz (rad/sn) : asal ivme (rad/sn2)Simetri ekseni etrafnda dnen bir cismin hareket denklemleri u ekli alr:

29

Fx= 0 Fy = 0 M = I Burada:

(6.2)

Fx : d kuvvetlerin x ekseni olarak seilen herhangi bir doru zerindeki bileenlerinincebirsel toplam;

Fy : d kuvvetlerin y ekseni zerindeki bileenlerinin cebirsel toplam; M : d kuvvetlerin ktle merkezi Gden geen dnme eksenine(simetri ekseni) gremomentlerinin cebirsel toplam,

I :

cismin G ktle merkezinden geen dnme eksenine gre atalet momenti2

(kg.sn2.m), : cismin asal ivmesi (rad/sn ).l

y d

rnek 6.1: Alt ucundan yatay bir eksenetrafnda mafsallam bir ubuk dey konumdan braklyor. W= mg y

ubuun hareketini inceleyelim (ekil 6.2) : Rx ubuun boyu l ve ktlesi m olsun.ekil 6.2 Serbest cisim diyagram aa doru etkiyen W arln ve mesnet noktasndaki Rx ve Ry Hareket denklemleri:Ry

reaksiyonlarn gstermektedir. ubuun dey eksenle as yapt kabul edilsin.

Fn=m F 2 Ft=m F Mo = Io olmak zere ubuk, dengelenmemi bir kuvvet sistemi etkisi ile sabit eksen etrafnda dnmektedir. Bu durumda gerekli tek denklem

M=I

dr.

30

1 d 2 2 ekil 6.2den Mo =W.d , d=L.Sin /2 olur. Io= m l ; = olduu gz nne 3 dt 2alnrsa;2 1 l 2 d mg sin = m l 3 dt 2 2

veya

d 2 3g = sin dt 2 2l

(a)

d 2 d d d d d d 3g = ( )= = . = . (a) ya gre d = sin d 2 dt dt dt dt d dt d 2lintegrasyon alnarak

2 3g = cos + C1 2 2l 3g integrasyon sabiti bulunur. Bylece 2lve =

= 0 = 0 olur C1=

3g 3g 2 = cos + 2 2l 2l

3g (1 cos ) l

dir.

31

6. RNEKLERrnek 6.1:

250 kN arlnda homojen bir kap, yatay bir ray zerinde skunette bulunan

A ve B makaralarna mesnetlenmitir. Sabit P kuvveti 50 kN dr. Kap skunetten hareketegeiyor:A B P=50kN 0,3m VA VB P=50kN

1,2m

G

.

1,2m

1,2m

1,2m

.W=250kN

a)ekil 6.I

b)

ax

a) 5 saniyede kapnn hz ne olur? b) Makaralardaki reaksiyonlar ne kadardr? (Yuvarlanma srtnmesi ihmal edilecektir).(ek.1a)zm: Verilenler: W =250 kN, P =50 kN , t =5sn, ay=0.

ax ivmesi serbest cisim diyagramlarnda x ynndedir (ek 1b).a)

Fx = ma x ;

Fy = ma y ;x

M = 0 denklemleri uygulanarak yazabiliriz;(6.I)

F

= 50 =

250 .a x 9,8250 .0 9,8

F

y

= VA + VB 250 =

(6.II) (6.III)

M = VB .1,2 VA .1,2 50.(0,3) = 0(6.I) dan a x =

_

9,8.50 = 1,96m / sn 2 olarak elde edilir. Kapnn hz 2501,2VB 1,2VA = 15elde edilir.

ax= v0 +at = 0 + (1,96).5 = 9,8 m/snb) (6.II) ve (6.III) den VA + VB = 250 ;

VA =118,75 kN ;

VB = 131,25 kN

32

rnek 6.2: A sehpasnda sola doru 4 m/sn2Lik ivme veriliyor. B ubuu D noktasndamesnetlenmi olup tepesi H noktasnda,dey dzlemde skunette bulunuyor.A nn arl 200 kN, B nin arlr 50 kN dr. a) Yatay F kuvvetini; b) ubuun tepesindeki yatay itkiyi hesaplaynz. H7,5cm B D F 10cm A 3,75cm P1x

H

3,75cm

Px 5cm

50kN

a)

Py

b)ekil 6.II

zm: Verilenler: a = 4m/sn ; WA =200 kN ; WB = 50 kN.

2

Btn ekli serbest cisim kabul ederek F kuvvetini aadak gibi buluruz:

F=ekil1b gre

( 200 + 50)kN W .4m / sn 2 = 102kN .a = 2 9,8m / sn g WB 50 .4 = 20,4kN .a = 9,8 g

P1 x =

buluruz.

D noktasna gre momentler toplanarak H bulunur:

20,4.

7 ,5 + 50.5 H .7,5 = 0 H = 43,5 kN. 2

rnek 6.3: A ve B cisimlerinin her biri 100 kN gelmektedir. P kuvveti sola doru bir ivmeverirken, A nn kaymamas iin B ye kk bir para ivilenmitir. a) A nn devrilmemesi art ile P nin deerini bulunuz; b) Sistemin balangta saa doru 3 m/sn lik hz ile hareket ettii kabul edilirse 10 m gittikten sonrak hz ne olur?

33

15cm

15cm A Para 25cm

25cm

A

. .

P1x

15cm

P

B

100kN

D N

F

.D25cm ekil 6.III

a)zm:

b)

Verilenler: WA = WB =100 kN, v0 = 3 m/sn, s = 10 m .

a) A nn serbest cisim diyagramn izelim. A nn maksimum deerini bulmak iin, alt sa keye gre momentlerin toplam yazlr:

F

x

= ma P1x =

WA 100 .a P1x = .a ; g 9,8a = 5,88 m/sn2

M

D

= (

100 25 15 .a). + 100. = 0 9,8 2 2

Btn sistemin serbest cisim diyagramnda yatay kuvvetler toplanrsa

F

x

=

W 200 .a (I) veya P = .5,88 = 120kN elde edilir. g 9,80 = 32 2.5,88 s s=0,765 m

b) nce saa doru alnan mesafeyi bulalm:

v2 = v02 +2as (II);2 v 0 = 0 + 2. (5,88).(9,235)

10 m den geri kalan 9,235 m sola doru olacaktr. (II) ye gre

v =10,42 m/sn alrz.

rnek 6.4: Arl 200 kN olup vibratr olarak kullanlan eksantrik bir silindir geometrikmerkezinden 5 cm mesafede ve (ekil 6.IV) de gsterilen konuma dik bir eksen etrafnda dnmektedir. Asal hz 10 rad/sn ve asal ivmesi 2 rad/sn2 ise silindir zerindeki O mesnetinin tepkisini bulunuz.

34

ty Ot G.o

y1 a

On

n

o

. .o1

ekil 6.IV

5cm 10cm

zm: Verilenler: W =200 kN , = 2 rad/sn2, r =5 cm ,Hareket denklemlerini yazalm:

= 10 rad/sn.

n ve t eksenleri (ekil 6.IV) deki gibi seilsin. 200 (0,05).10 2 = 102,04 kN 9,8

F

n

= mr 2 O n == mr = Io Ot =

F

t

200 .(0,05).2 = 2,04 kN 9,8

M

o

Mo= Io .

IG =

1 1W 2 mr 2 = r 2 2 g

Io= IG + ma2 =

1 200 200 . .(0,05) 2 + .(0,05) 2 = 0,28 kN.sn 2 .m 2 9,8 9,8

Gerekli moment: Mo= Io = 0,28.2 = 0,56 kN.m M0 = 0,56 kN.m.

rnek 6.5: 75 cm apl 300 N luk bir tekerlek yatayile 250 lik a yapan eik dzlemzerinde kaymadan yuvarlanmaktadr. F srtnme vektle merkezinin ivmesini bulunuz.

35

y

250 W 250 N ekil 6.V F

x

zm: ekil 6.Vde tekerlee etkiyen kuvvetler sistemi grlmektedir.

M = I .m= W 300 = = 30,6Nsn 2 m g 9,8

_

_

_ 0,75 2 1 1 ) = 2,14N.sn 2 .m I = mr 2 = .30,6.( 2 2 2

Hareket denklemleri:

Fx= m a x (I) ,Buradan :

_

Fy =m a y_

_

(II) ,

M = I (III) .

_

_

300.sin 25 F = 30,6 a x (I)1, N 300.cos 250 = 30,6. a y = 0 (II)1, (dzleme dik dorultuda ivme mevcut deildir). F._

0

0,75 = 2,14 2

(III)1.

ekilden (yuvarlanma problemi olduundan)

0,75 a x = r . = . 2_

2 _ = .a x 0,75_

(III) den Bylece

1

F = (15,28) a x . (I) den F = (15,28 a x ) konularak ax=2,74 m/sn2 bulunur. F =(15,28) . (2,74) = 41,68 N olur.

_

1

36

rnek 6.6: 160 kN arlnda homojen bir silindir zerinde ( ekil 6.VI) bir oyuk almtr.Oyua yatay ynde 60 kN lk bir kuvvet etkiyor.Silindirin kaymadan yuvarlandn farz ederek a) Silindirin ktle merkezinin ivmesini; b) Srtnme kuvvetini bulunuz.

r1

.W

r2P

N

F ekil 6.VI

zm: Verilenler: W = 160 kN ; r2 = 45 cm ; r1 = 6 0 cm ;

P = 60 kN

Yuvarlanma saa doru olsun. Bu durumda (asal ivme) saat ibreleri ynnde ve ktle merkezi ivmesi a saa dorudur. Hareket denklemleri;_

Fx = ma

veya P F =

160 _ .a 9,8

60 F =

160 _ .a 9,8

(I)

M = Ia = r_

veya F.0,6 P.0,45 =

1 160 1W 2 .(0,6) 2 . .r1 . = 2 9, 8 2 g_

a olduu iin 0,6F 27 = 2,94 0,6F 27 =2,94 0,6a = 0,61 m / sn 2

(II)

(I) ve (II) denklemlerinden

, F = 50 kN buluruz.

37

6. PROBLEMLER Problem 6.1: ekil I de grlen sistemin arl320 kN ve jirasyon yarap 0,45 m dir. Arlklarn serbest braklmas halinde ; a) makaralarn asal ivmesini bulunuz; b) plerdeki gerilmeleri hesaplaynz

r1 r2o

500kN 1500 kN

ekil I

Problem 6.2: ekil II de gsterilen homojen bir silindir kaymadan yatay bir yzey zerindeyuvarlanmaktadr. a) Ktle merkezinin ivmesini; b) Silindire gelen dzlem reaksiyonunu hesaplaynz.a P1=1000kN

r=0,9m

.2400 kN

P=1250kN

F

ekil II

N

Problem 6.3 : Bir bilardo topuna (ekil III), kendisi ile masaarasnda srtnmesiz harekete balamas iin yatay tutulan masadan ne kadar ykseklikte vurulmaldr?

y

P d

r xW

ekil III

38

7. VE ENERJ

Bir paraca etkiyen bir F kuvveti onu herhangi bir yrnge boyunca hareket ettirdii zaman aada tarif edildii gibi i yapars2

Wk = F tdss1

(7.1)

F Ft

s1

ds s2

ekil 7.1 Burada S1 , S2 paracn srasyla hareketin balangcnda ve sonundaki yer deitirmesi;

Ft : F kuvvetinin ekilde gsterildii gibi teetsel bileeninin iddeti;

ds : paracn yrnge boyunca kk yer deitirmesidir.Aadaki gibi zel durumlar ola bilir:

1) iddeti ve dorultusu sabit bir kuvvetin bir doru boyunca yer deitirmesi halinde Wk= F.s(7.2)

Burada Wk : yaplan i , F : sabit kuvvet , s : hareket esnasnda doru boyunca toplam yer deitirmedir.

2) iddeti sabit fakat bir doru ile sabit a yapan,kuvvetin yer deitirmesi halinde Wk = Fs cos Burada : kuvvetin tesir izgisi ile yer deitirme arasndaki adr. (7.3)

3) Kuvvetler bir kuvvet ifti ise (dnme meydana gelir ) Wk = M d1 2

(7.4)

39

Burada M : kuvvet ifti; d : asal yer deitirme difereansiyeli; 1 asal yer deitirmelerdir (rad). Kuvvet hareket dorultusunda etkiyorsa i pozitif, aksi ynde ise negatiftir.

ve 2 -ilk ve son

, birimi (kN.m ) gibi olan skaler byklktr. G yaplan iin deiimidir .Gcn birimi saniyede ( kN.m ) gibidir. Verim, zamann bazperiyotlar iin alnan iin verilen ie blmdr. Ayn zamanda verim alnan gcn verilen gce blm gibi de ifade edilebilir. israf edildii iin alnan i verilen iten daha kktr (ekseriyetle srtnme kuvvetlerini yenmek iin).

V hzyla hareket eden ve ktlesi m olan bir paracn kinetik enerjisi Tk = mv

1 2

2

(7.5)

eittir. Burada m : cismin ktlesi; v : cismin hzdr. Bir parack zerine etkiyen btn kuvvetlerin yapt i, paracn kinetik enerjisindeki deiime eittir:

Wk= T2 T1 =

1 1 1 2 2 2 mv 2 - mv 1 = m( v 2 v 2 1 ) 2 2 2

(7.6)

Burada Wk : yaplan i; m : paracn ktlesi; v1 , v2 : srasyla ilk ve son hz;

T1 , T2 : srasyla ilk ve son enerjidir. Birimi iin birimiyle ayndr. telenmede rijit cismin kinetik enerjisi (5) forml ile hesaplanr. Dnmede ise Tk =

1 I 0 2 22

(7.7)

. Burada I0 : dnme eksenine gre cismin atalet momentidir ( kg.sn .m ) ;

: asal hz (rad/sn).Dzlem harekette rijit cismin kinetik enerjisi: Tk = ve enerji prensibinedeiime eittir.

1 1 mv 2 + I 0 2 2 2

(7.8)

gre rijit cisim zerine yerdeitirme sresince etkiyen d

kuvvetler tarafndan yaplan i, ayn yerdeitirme esnasnda cismin kinetik enerjisindeki

40

7. RNEKLERrnek 7.1:ksalarak 15 cm oluyor. Yay 7,5 cm daha (toplam 12,5 cm) ksaltarak 7,5 cm uzunluuna getirmek iin yaplan ilave ii hesaplaynz (Yay katsays k =4 N/cm kabul edilecektir.Yani, Ft=4 s). Balangta serbest uzunluu 20 cm olan bir yay, basn altnda net 5 cm

zm: Tarif gereince ( (7.1) forml) yay 5 cm den 12,5 cm-e kadar ksaltmak iingereken i:s2 12 , 5

Wk = Ft ds =s1

5

1 4sds = 4. s 2 25

12,5

= 262,5 (N.cm).5

aadak gibi de bulunabilir:

Wk =

12 , 5

0

4sds 4sds = 312,5 50 = 262,5 (N.cm).0

rnek 7.2: W arlnda ve L uzunluunda ince bir ubuk, bir ucundan yatay dzleme birpimle balanmtr (ekil 7.II). Balangta dey konumda olan ubuun dmede asal hzn bulunuz.

L L/2

ekil 7.II

zm: yapan tek kuvvetyaplan i

1 dey mesafe kadar den W arldr. Bu zaman 2

WL dir. Kinetik enerji: 2

41

T1=0 den T2 =

1 1 1 W I 0 . = ( . L2 ). 2 kadar deimitir.Bu durumda 2 2 3 gWL 1 W 2 2 3g L = = bulunur. 2 6 g L

Wk= T2 T1 veya

rnek 7.3: Arl 40 kN olan 1,8 m uzunluunda ince bir ubuun, bir ucundan geendey bir eksene gre hz 10 devirde 20 devir/dak dan 50 devir/dak ya kyor. Bunu yapmak iin gerekli sabit M momentini bulunuz.

zm: Verilir: W = 40 kN; 1 = 20devir / dak =

rad 20 devir = 2,09rad / sn .2 sn 60 sn

2 = 50devir / dak =

50 .2 = 5,23rad / sn 60 rad = 62,8rad devirL=18m

= 10devir = 10devir .2

Bir ucundan geen eksene gre ubuun ktlesel atalet momenti

1 I 0 = mL2 dir. 3

m=

W g

1 40 .(1,8) 2 = 4,2 kN sn2 m I0 = . 3 9,8Yaplan i dnen cismin kinetik enerjisindeki deiime eittir:

Wk=M = I 0 ( 2 1 ) M .6,28 =2 2

1 2

1 .4,2.(5,23 2 2,09 2 ) 2

M = 0,77 kN.m bulunur. rnek 4:10 m/sn lik bir ilk hzla yuvarlanan bir kre 30 lik bir eik dzlem zerinde harekete balyor (ekil 7.IV). Kre dzlem zerinde nereye kadar yuvarlanacaktr?0

y x300

W

N

F

ekil 7.IV

zm:

lk kinetik enerji T1 , yolun sonunda

T2=0 olur. yapan tek bileen Warlnn dzlem zerindeki (negatif)

42

bileenidir. Yaplan i: Wk = ( W sin 30 ).x = 0

1 W.x dir. 2

lk kinetik enerji:

1 1 2 2 T1 = mv 1 + I1 ve v1 =1.r olduundan 2 2

1 1 W 7 W 2 7 2 2 2 T1 = mv 1 + mv 1 = mv 1 = .10 2 T1=5,78W v 1 = 0,7. 2 5 9,8 10 g 10Yaplan i kinetik enerjideki deiime eittir:

Wk = T2 T1 veya

1 .W .x = 0 5,78 W 2

x = 11,6 m.

rnek 7.5: ekil 1 de A blou 500 kN, B blou 640 kN dr. Tamburun atalet momenti I =17 kN.sn2.m dir. A cismi 1,8 m/sn lik hza erimeden nce ne kadar yol alr?

r1

r2o

A

B ekil 7.V

zm:

Verilir: WA = 500 kN , WB = 640 kN,

r1 = 0,3cm , r2 = 0,9 m, vA = 1,8 m/sn, I =17 kn.sn2.m____________________________ .

sA =?Yaplan i Wk = 500.sA 640.sB dir. Sistemin geometrisinden

sB = 1/3 sA dr veya vB = 1/3 vAWk = 500 sA 640. s A = 286,7s A

1 3

(I)

43

Sistemin ilk kinetik enerjisi T1 = 0 . Son kinetik enerji

T2 =

1 1 1 2 m A v 2 + I 2 + m B v B dir. A 2 2 2

1 vA = 1,8 m/sn, vB = v A = 0,6m / sn o halde 3

=

v A 1,8 = = 2rad / sn dir. Buradan r2 0,9(II)

1 500 1 1 600 T2 = . .(1,8) 2 + .17.2 2 + . .( 0,6) 2 = 125 2 9,8 2 2 9,8(1) ve (2) den 286,7 sA = 125 sA = 0,44 m bulunur.

7. PROBLEMLER Problem 7.1: Arl 200 N olan bir yapma uydu, dnya yznden 2500 km yksekliktedairesel bir yrnge zerinde dnmektedir. Bu ykseklikte yer ekim ivmesi 5,1m/sn2 dir. Yrnge hz 24000 km/s olduuna gre uydunun kinetik enerjisi ne olur?

Problem 7.2: Arl 400 kN olan bir demiryolu arabas, yzde 2 eiminde bir rampadaaa doru 150 m yuvarlandktan sonra, bunu izleyen yine yzde 2 eimli ikinci bir rampada yukar doru 100 m karak duruyor. Arabann ortalama yuvarlanma direncini hesaplaynz.

Problem 7.3: Bir ip 300 kN gelen kat, homojen bir silindir etrafnda sarlmtr (ekil I).Skunetten itibaren 1,8 m dtnde G merkezinin hzn bulunuz ( r= 0,45 m).

o.W

.

r

ekil I

44

8. MPULS VE MOMENTUM F kuvvetinin t1 ve t2 zaman arasndaki lineer impulsu F ile dt arpmnn t1 ile t2arasndaki integrali olarak tarif edilir. Matematiksel olarakt2

I mp = F.dtt1

(8.1)

dir. Burada F, tnin fonksiyonudur.

F kuvveti, ( t2 t1 ) zaman aralnda sabit ise

I mp = F.(t 2 t 1 )olur.

(8.2)

mpuls, vektr (kuvvet) ve skaler (zaman) arpm ile belirlendii iin bir vektrdr.O halde eksenler boyunca bileenlerine ayrlabilir. Birimi N.sn dir. Bir paracn herhangi bir andaki lineer momentumu, ktlesi ile, o andaki hznn arpmna eittir.

M om = m.Vhalde eksenler boyunca bileenlerine ayrlabilir. Birimi N.sn dir..

(8.3)

Lineer momentum bir vektr (hz) ve bir skaler (ktle) ile belirlendii iin bir vektrdr. O Paracklar grubunun lineer momentumu, toplam ktlenin ktle merkezine toplandkabul edilerek hesaplanan lineer momentumuna eittir :

M

om

= (m + m + ....... + m ).v 1 2 nktle merkezinin lineer hz (m/sn) cinsinden.

(8.4)

Burada Mom grubun lineer momentumu ; m1, m2 .....mn her bir paracn ktlesi(N.sn2/m) cinsinden; v

Lineer impuls ve momentum prensibine gre herhangi bir zaman aralnda bir parack grubuna etkiyen lineer impulslarn verilen bir dorultu zerindeki bileenlerinin cebirsel toplam, parack grubunun lineer momentumunun ayn dorultudaki bileenlerinin deiimine eittir. Matematik olarak x dorultusu iin bu aadaki ekilde ifade edilir.

(I

mp

) x = (M om ) x

(8.a)

45

Bir F kuvvetinin O noktasndan geen bir eksen etrafnda asal impulsu, kuvvetin Mo momenti ile dt arpmnn zaman limitleri t1 ve t2 arasnda alnan integrali ile belirtilir. Bu matematiksel olarak ifade edilirset2

( A .I mp ) 0 = M o .dt dir.t1

(8.b)

F kuvveti zaman aral (t2-t1) esnasnda sabit kalrsa asal impuls

( A .I mp ) 0 = M o .( t 2 t 1 )

(8.c)

Asal mpuls bir vektr (kuvvetin momenti) ve bir skalerin (zaman) arpm ile belirlendii iin bir vektrdr. Birimi kuvvet, mesafe ve zaman arpm ile belirtilir

(N.m.sn). Bir parack grubunun asal momentumu grup iindeki her paracn asalmomentumunun toplamna eittir :

( A .M om ) 0 = m 1 .v 1 x r1 + m 2 v 2 x r2 + ...... + m n v n x rn

(8.5)

Burada O herhangi bir eksen zerindeki nokta; ( A .M om ) 0 - parack grubunun O noktas etrafndaki asal momentumu ; m1, m2,..mn her bir paracn ktlesi ; v1,v2,..vn her bir paracn hz ; r1, r2,.rn: v1, v2,.....vn hz vektrlerinin srasyla O noktasndan dik uzakldr. Asal mpuls ve asal momentum prensibine gre bir parack gurubuna herhangi bir zaman aral esnasnda tesir eden d kuvvetlerin O noktasndan geen bir eksen etrafnda asal impulslarnn cebirsel toplam, parack gurubunun ayn eksen etrafndaki asal momentumunun deiimine ( ayn zaman aralnda) eittir. Bu matematiksel olarak aadaki ekilde ifade edilir;

(A

.I mp ) 0 = ( A .M om ) o

(8.6)

u prensibe gre, cismin telenmesinde daha nce geen eitlikler u hali alr :

(IBurada

mp

) x = (M om ) x = m.( v x v x )2 1 2 1

(I mp ) y = (M om ) y = m.( v y v y ) (Imp

(8.7)

)x ,

(I

mp

) y d kuvvetlerin srasyla x, y dorultusundaki lineer

impulslar, (N.sn) cinsinden;

46

v x ; v y cismin x ve y dorultusundaki son hzlar (m/sn);2 2

v x ; v y cismin x ve y dorultusundaki ilk hzlar .1 1

Gsterilen prensibe gre, bir cismin dnmesinde daha nce geen eitlikler u hali alr :

(ABurada

.I mp ) 0 = .( A .M om ) o = I o .( 2 1 )

(8.8)

( A .I mp ) 0 - d kuvvetlerin O noktasndan geen dnme eksenine gre asal

impulsu (N.sn.m); Io cismin dnme ekseni etrafndaki atalet momenti (N.m.sn2); 2 ve

1- srasyla cismin son ve ilk asal hz (rad/sn).Bir cismin dzlemsel hareketinde daha nce geen eitlikler u hali alrlar :

(I (I

mp x

) = .(M om ) x = m .( Vx 2 Vx1 )

mp y

) = .(M om ) y = m .( Vy 2 Vy1 )

(8.9)

(A

.I mp ) c = .( A .M om ) c = I c .( 2 1 )

burada I c ktle merkezinden geen eksene gre atalet momenti. ki cinsin arpmasnn btn hallerinde ktleler ok kk zaman aralnda tesir eder ve genellikle belirsizdir; impuls ve momentum denklemlerinde zaman ihmal edilir. ki cisim arasnda direkt merkezsel arpma iin arpma katsays, ayrlma relatif hznn, iki cismin yaklama relatif hzna orandr :

e=

v 2 v1 u1 u 2

(8.10)

burada e arpma katsays, u1, u2 arpmadan nce srasyla 1 ve 2 cisimlerinin hzlar (m/sn). ki cisimde ayn dorultuda hareket ediyorsa arpma meydana gelmesi iin

u1 > u2 olmaldr. v1 , v2 cisimlerin srasyla arpmadan sonraki hzlar (m/sn).arpma esnasnda cisme ayn kuvvet (eit ve zt reaksiyon) tesir ettii iin, arpmadan nceki momentumun toplam, arpmadan sonraki momentumun toplamna eit olmaldr. Bunun matematiksel ifadesi aadaki gibidir :

m 1 .u 1 + m 2 .u 2 = m 1 .v 1 + m 2 . v 2burada m1, m2 srasyla 1 ve 2 cisimlerinin ktlesidir.

(8.11)

47

u1, u2 srasyla 1 ve 2 cisimlerinin arpmadan nceki hzlar v1, v2 srasyla 1 ve 2 cisimlerinin arpmadan sonraki hzlar. v1 ve v2 bilinmeyenlerine gre (8.10) ve (8.11) denklemleri zlrse m 2 .u 2 .(1 + e) + u 1 .(m 1 e.m 2 ) m1 + m 2(8.12)

v1 =

v2 =alrz.

m 1 .u 1 .(1 + e) + u 2 .(m 2 e.m 1 ) m1 + m 2

a ) Tam elastik cisimler iin, yani e = 1 iin

v1 =

2.m 2 .u 2 + u 1 .(m 1 m 2 ) m1 + m 2(8.13)

v2 =olur.

2.m 1 .u 1 + u 2 .(m 2 m 1 ) m1 + m 2

m = m1 = m2

hali iin

v 1 = u2 ; v 2 = u1b ) Elastik olmayan arpmada (e = 0)

olur.

(8.14)

v1 = v 2 =olarak bulunur.

m 1 .u 1 + m 2 .u 2 m1 + m 2

(8.15)

48

8. RNEKLERrnek 8.1: 30 kN arlnda bir blok, yatayla 300 lik eimli bir dzlem zerinde, durgunhalden balayarak, aaya kayyor. Blok ile darasnda kinetik srtnme katsays

= 1/4 olduuna gre 3 sn sonunda bloun hzn bulunuz.y x300

W

N

F

ekil 8.I

zm:

Verilenler: W = 30 kN, = 30 , = 1/4 , t = 3sn ,vx1 =0 .

0

Vx2=?

(I

mp

) x = (M om ) x veya ( Fx ).t = m.( v x 2 v x1 )

t = 3sn ; vx1= 0 ; vx2 3sn sonundaki hz. W 30 kNsn 2 = = 3,06 m= g 9,8 m

F

y

= 0 (nki y ynnde hareket yoktur)

N W.cos 300 = 0 N = 30.0,866 kN

F

x

= 0 W.sin 300 - .N =0 , N = 25,98 kN.( W.sin 300 -.N).t = ( vx1 vx2).m

(8.1) den:

1 (30.0,5 - .25,98).3 = 3,06. v x 2 ) v x 2 = 8,34m / sn 4rnek 8.2: 25 kN lk bir blok yatay dzlem zerinde skunetten F = 3t -5t2 ye gre deien F yatay kuvveti etkisi ile harekete geer. Maksimum hz bulunuz. zm:Verilenler: v1 = o , W = 25 kN , v2 = v.

V2 = ?; vmax= ?

(I

mp

) x = (M om ) x veya

Fdt = m( v0

t

2

v1 )

49

W t2 t 3 25 ( 3t 5t )dt = g ( v 0) 3 2 5. 3 = 9,8 v 0t 2

v = 0,588t 0,653t + C1. vmax iin dv/dt =0 olmaldr.

2

3

dv = 1,176t 1,959t 2 = 0 t = o,6sn. dt vmax= 0,588.(0,6)2 0,653.(0,6)3= 0,07 vmax= 0,07 m/sn .rnek 8.3 : ekil 1 de gsterilen ve yarap 0,6 m olan bir makara asl olarak 5 kN ve 7,5kN luk iki arlk tamaktadr. Arlklarn hzn 3m/sn den 6m/sn ye ykseltmek iin gerekli zaman bulunuz .

.

rG

W1 W2

T1 ekil 8.III

T2

zm:

Verilenler: W1=5 kN, W2=7,5 kN, r=0,6 m, v1=3 m/sn, v2=6 m/sn . Bir serbest cisim diyaram izilir. 5 kN ve 7,5 kN luk arl tayan iplerdeki gerilme kuvvetleri T1 ve T2 olsun. (8.9) denklemlerine gre yazabiliriz:

(T1 5).t =

5 (6 3), 9,8

(I)

(7,5 T2 ).t =

7,5 (6 3), 9,8_

(II)

((T2 T1 ).0,6).t = I( 2 1 )

(III)

50

(III) denkleminde T2.0,6 ve T1.0,6 gerilme kuvvetlerinin makara merkezine gre momentleridir.

(I G + I G ) = I G I G = mr 2x y

2 =

v2 6 = = 10rad / sn ; r 0,6 0,5 (10 5) 9,812,5 .3 9,8

1 =

v1 3 = = 5rad / sn r 0,6

Konularak (III) denklemi

(T2 T1 ).0,6t =(I) ve (II) nin toplanmas ile

olur

(III)1

(T1 T2 ).t + 2,5t =(III)1 den

bulunur

(IV)

(T1 T2 ).t =

25,5 bu deer (4) de yerine konularak 58,8

t=1,7sn bulunur.rnek 8.4: Arl 485 kN ve ap 20 cm olan homojensilindir ani olarak yatay bir dzleme drldnde yatay geometrik ekseni etrafnda saat ibreleri ynnde 36 rad/sn hzla dnmektedir. Srtnme katsaysn 0,15 kabul ederek: a) Srf yuvarlanma balandnda G ktle merkezinin hzn ; b) Bu balamadan nce ktle merkezinin ald yolu bulunuz ( ekil 8.IV). Verilir : W = 485 kN, r = 10 cm , 1 =36 rad/sn , = 0,15 . F = N. F G. 1

r

W N ekil 8.IV

zm :

v=?; s=?Serbest cisim diyagramn izerek (ekil 8.IV )

N = W =485 kN ; F = 0,15N = 0,15.485 = 72,75 kN ;

m=

W 485 = = 49,5kN.sn 2 / m ; g 9,8

51

1 1 I = mr 2 = .49,5.(0,1) 2 0,25kN.sn 2 .m 2 2mpuls momentum denklemlerini yazalm:

buluruz.

(I

mp

) n = (M om ) n veya F .t = m( v 2 v 1 ); v1= 0, v2 = v. (I)mp

( AI

) G = ( AI mp ) G veya

F .r .t = I( 2 1 )

(II)

(II) de saat ibreleri yn pozitif kabul edilmitir. (I) ve (II) den 72,75t = 39,5 (1)1

72,75.0,1, t = 0,25( 36) (II)1

=72,75t = 49,5 v

v v = = 10 v dir. r 0,1

72,75t = 2,5 v 9 bu denklemlerden v = 1,2m / sn; t = 0,8sn; s= v+0 .t = 0,48m. 2

rnek 8.5: Eit iki bilardo topunun arpmadan nceki hzlar srasyla u1 =6 m/sn ve

u2 =- 8 m/sn dir. arpma katsays e = 0.8 olduuna gre arpmadansonraki hzlar bulunuz.

zm :

Aadaki temel temel denklemler uygulanarak :

e=

v 2 v1 ve m 1u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; (u1 + u2 = v1 + v2). u1 u 2 v 2 v1 veya 6 ( 8 ) v 2 v 1 = 11,2(I) (II)

0,8 =

m 1 = m 2 = m 6m 8m = mv 1 + mv 2 v 1 + v 2 = 2(I) ve (II) den v 1 = 66m / sn ,

v 2 = 4,6m / sn

rnek 8.6 : Bir top dey olarak zeminden 19,2 m sryor. Bir sonraki sramada 13,8 mykseklie ulayor. Top ile zemin arasndaki srama katsays nedir ?

zm : Verilenler: h1 =19,2 m , h2 =13,8 m .

e=?

52

Skunette olduu iin u2 = v2 = 0 olur.

u 1 = 2gh 1 = 2.9,8.19,2 = 19,4m / sn.

v 1 = 2gh 2 = 2.9,8.13,8 = 16,4m / sn.Aa doru hareket hz pozitif kabul ediliyor

e=

v 2 v 1 0 ( 16,4) = = 0,84. u1 u 2 19,4 0 h2 13,8 = = 0,84 gibi de bulunabilir). h1 19,2

(e =

53

9. MEKANK TTREMLERKtlesi ve elastiklii bulunan bir cismin belirli zaman aralnda tekrarlanan hareketine mekanik titreim denir. Hareketin kendisini tekrarlamas iin geen zamana periyot denir. Birim zamandaki salnm saysna frekans denir. Sistemin iindeki kuvvetlerin tesiriyle sistemde serbest titreimler meydana gelir. Sistemin serbest titreimindeki frekansna tabii frekans denir. Sisteme periyodu bozucu d kuvvetler tesir ettii zaman zorlanm titreimler meydana gelir. Sistemin tabii frekans ile zorlanm titreimlerin frekans st ste der veya bu frekansla tabii frekans arasndaki fark ok kk olacak ekilde yaklarsa rezonans olur. Zamanla yok olan titreimlere kaybolucu titreimler denir. Serbest titreimler kaybolucu karakterdedirler. Zamanla kendini tekrarlamaya devam eden titreimlere kalc titreimler denir. Zorlanm titreimler kalc titreimlere rnektir.

Sistemin serbestlik derecesi hareketin belirtilmesi iin lzumlu deiken (koordinat)saysna baldr. rnek olarak ekil 1deki yaya balanan ktlenin yalnz dey dorultuda dnlen hareketi bir koordinatla belirtilebilir. Dolaysyla sistem tek serbest derecelidir

(x; ns = 1).

x x

ekil 9.2

ekil 9.1

54

ekil 9.2de grlen iki yaya bal ubuun hareketini tarif etmek iin iki deikene ihtiya vardr ve bundan dolay sistemin serbestlik derecesi ikidir (x ve ; ns = 2).

Basit Harmonik Hareket : Basit Harmonik Hareket zamann sins ve cosinsfonksiyonlar ile gsterilir. Bundan dolay x = . sin t (1) basit harmonik hareketin bir denklemidir. Bu hareket X cm uzunluunda bir vektrn, dairesel yrnge zerinde sabit rad/sn asal hz ile dnerken ap zerinde vektrn izdm ile temsil edilebilir. Bu tip harekette :

x XTp = f=

: : :

ap zerinde (cm cinsinden) izdm uzunluu; dnen vektrn (cm cinsinden) boyu; (rad/sn cinsinden) dairesel frekans;

2 : sn cinsinden periyot ; frekans, salnm/sn veya sn-1

: 2

cinsinden .

10. SERBEST (LNEER) TTREMLERW arl yay katsays veya modl k (kN/cm) olan dey bir yaya aslmtr.Arlk denge konumundan x0 kadar aada ve v0 ilk hz ile harekete balatlyor (ekil 10.1).

x x0 X

W

W

ekil 10.1 55

ekil 10.1 de W arlnn eitli konumlar gsterilmitir. X deerine hareketin genlii denir. Arln denge konumundan X kadar yukar kabilecei tabiidir. Yaydaki gerilme kuvveti yayn uzam veya ksalm konumu ile ilk konumu (W arl olmadan) arasndaki uzakln yay katsays ile arpmna eittir.T = .k

(10.1)

Arln denge konumunda ve denge konumundan X kadar aadaki konumunda serbest cisim diyagramn izelim (ekil 10.2 a, b). T=k

T=k(x+)

a W a) Denge Konumu W b) Dengenin altndaki konum

ekil 10.2

Cismin herhangi bir andaki x konumunun denge konumundan itibaren lldne dikkat edelim. ekil 10.2.a da grld gibi ivme yoktur, dolaysyla sistem dengededir. Burada yazlabilir.T = k . = W =W k

(10.2)

ekil 10.2.bde denge konumundan aa doru yer deitirmeleri pozitif kabul edelim. vmenin yn bilinmemektedir, o da pozitif kabul edilirse negatif iaret yukar doru olduunu gsterecek serbest cisim diyagramna Newton kanunu tatbik edilirse

Felde edilir.

y

= m.a

veya W T =

W .a g

T = k .( x + ) ve W = k .

yerlerine konursa

56

k .x =bulunur.

W .a g

a=

d2x d 2 x kg den hareket denklemi + .x = 0 dt 2 dt 2 W

(10.3) ekline gelir.

x pozitif olduu zaman (denge konumunun altnda) ivmenin yukar doru olduugrlmektedir. Buna, arlk aaya en alt konumuna doru hareket ederken ivmenin yukarya veya hznn azalaca eklinde mana verilebilir. (10.3) diferansiyel denklemin zmn

x = A. sin t + B. cos teklinde kabul edebiliriz. Burada dairesel frekans ve rad/sn dir.

(10.4)

Bunun zm olup olmadn anlamak iin zamana gre ikinci trev alnrsa :

x=2

dx = ( A . cos t B. sin t ) dt

(10.5)

dx = A . 2 . sin t B. 2 . cos t = 2 ( A. sin t + B. cos t ) = 2 .x 2 dtelde edilir.

d2x = 2 .x 2 dt(10.5) deeri (10.3) hareket denkleminde yerine konursa

(10.5)

2 .x +

kg .x = 0 W

bulunur.

X zm kabul edildii iin deeri=olur. Bundan dolay zm aadaki ekilde elde edilir :

kg W

(10.6)

X = A. sin ( kg / ) t + B. cos ( kg / ) tHareketin, devrinin 2 radyan aralnda tamamlanacana dikkat edelim. Yani

(10.7)

kg / .T = 2

;

T = 2. / kg

(10.8)

Burada T periyot veya bir devrin tamamlanmas iin geen zaman. 57

Frekans periyodun tersi veya

f=

1 1 kg = T 2 W W ; k

dir.

(10.9)

Daha nce izah edildii gibi =

W= k . dir. Bu deeri kullanarak (10.8) ve (10.9)

formlleri aadaki gibi yazlabilir :

T = 2

g

ve

f=

1 g 2

(10.10)

A ve B sabitleri problemin verilen snr artlarndan tayin edilecektir.Burada

t = 0 da x = x0 , v = v0 kabul edilip x in ve v nin bu deerleri t= 0 ile birlikte (10.4)ve (10.5) denklemlerinde yerine konursa

B=x0 ,Dolaysyla zm

A=

v0

alrz.

x=

v0 sin t + x 0 cos t

dir.

(10.11)

zm baka bir forml eklinde de yazlabilir:

x= Xcos(t )Burada X genlik , faz asdr.

(10.12)

X= (

v0 2 2 ) + x0 v0 -1 =tan x 0

(10.13)

(10.14)

Bylece, genellikle harekette bulunan bir arln teorik olarak sonsuza kadar devam eden serbest titreimi inceleniyor.

58

11. ZORLANMI TTREMLER (SNMSZ) W arl yaya sabiti k (N/cm) olan bir yaya aslmtr. Arln zerine periyodubozucu F . cos .t kuvveti tesir etmektedir. Hareketi inceleyelim (ekil 1).

T=k(x+)

W F cost

W

F cost

ekil 11.1

Hareketin diferansiyel denkleminde serbest titreimin denklemine nazaran imdi ilave bir terim olacaktr, yani

W d2x . + k .x = F. cos .t g dt 2veya

d 2 x k .g F.g + .x = . cos .t 2 dt W Wibarettir :

(11.1)

Diferansiyel denklemler teorisine gre bu denklemin zm iki parann toplamndan 1) Yukarda belirtildii gibi sa taraf sfr olan (kaybolucu ksm) denklemin zm 2) (11.1) denkleminin herhangi bir zel zm. Kalc ksm olarak isimlendirilen ikinci zm

x = X. cos .teklinde kabul edelim. Buradan

(11.2)

dx = X.. sin .t dtelde edilir.

ve

d2x = X. 2 . cos .t 2 dt

(11.3)

(11.2) ve (11.3) denklemleri (11.1)de yerlerine konursa; 59

X. 2 . cos .t +

k .g F.g .X. cos .t = . cos .t W W

Dolaysyla

X=

F.g k .g 2 .W

veya X =

Fk W 1 . g .k2

(11.4)

oluyor. F kuvvetinin yay zerine statik olarak tesir ettii zaman ona verdii kmeyi F ile gsterelim, yani

F =Ayn zamanda2 n =

F k

(11.5) (11.6)

k .g W

olduuna dikkat edelim. Burada n bozucu kuvvet olmad zamanki tabii frekanstr. Dolaysyla

X=eklinde yazlabilir. ncelemeyi kolaylatrmak iin

F 1 ( n ) 2

(11.7)

= r tanm yaplrsa kalc ksmn zm n

X=olur.

F . cos .t 1 r2

(11.8)

Frekansn, bozucu kuvvet frekans ile ayn olduuna dikkat edelim. Genel zm ise

x = A. sin(olur.

k .g k .g 1 .t ) + B. cos( .t ) + . F . cos .t W W 1 r2

(11.9)

(11.9) da ilk iki terim serbest titreimi temsil eder. Titreimi kademeli olarak, yok edecek ekilde snmler mevcut olduundan bunlar kaybolucu karakterdedirler. Dolaysyla yalnz

60

x = F .zm ile alr.

1 . cos .t 1 r2

(11.10)

Bu zmn maksimum deeri cos .t = 1 olduu zaman meydana gelir, yaniX maks = F 1 r2

(11.11)

Bu deer genlik olarak isimlendirilir. Kalc ksm genliinin F kuvvetinin sebep olduu F statik kme oranna bytme faktr denir :

bf =

1 1 r2

(11.12) olduundan bytme faktr

r=

f = n f n

bf =eklinde yazlabilir.

1 1 (f f n ) 2

(11.13)

r ye frekanslar oran denir.

(11.13) deeri f in fn den kk olup olmamasna bal olarak pozitif ve negatif olabilir.

f = f n olduu zaman rezonans meydana gelir ve teorik olarak genlik (Xmaks) sonsuz oluyor.Bytme faktrnn, frekanslar oran r ye bal olarak diyagram aada izilmitir (ekil 11.2).bf = 1/(1-r2) r 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 2,0 3,0 4,0bf = 2 1/(1-r )

6 5 4 3 2 1 0 1 -2 -3 -4 -5

1 1,042 1,190 1,563 2,778 -2,273 -1,042 -0,641 -0,333 -0,125 -0,067

21 bf =-1 2 3 4

r

ekil 11.2 61

r > 1 olduu zamanki negatif deer F kuvvetinin x yer deitirmesinin ters ynnde -6olduunu gsterir.

r = 2 olduu zaman b f = 1 dir. Bunun manas: r oran

2 den byk olduu zaman

bytme faktr 1 den kk olacaktr. Bu artlar altnda tatbik edilen bozucu kuvvet, statik olarak tatbik edildii zaman yaptraca hareketten daha kk hareket yaptracaktr.

11. RNEKLER rnek 11.1: Arl 250 kN olan bir motor her birinin sabiti k = 20 kN /cm olan drt yayzerine oturtulmutur. Motor titreirken frekansn ve peryodunu bulunuz.

zm : Her yay W =Frekans :

250 = 62,5kN arlk tayor. 4

f=

1 k .g 1 20.981 . = . = 2,82salal / sn = 2,82 1 / sn 2.3,14 62,5 2 . W1 = 0,355sn bulunur. f

Peryot : T =

rnek 11.2:10 cm apnda ve 2,5 cm kalnlnda elik bir disk 1/6 cm apnda ve 60 cmuzunluunda bir elik tele rijit olarak balanmtr. Sistemin tabii frekansn bulunuz?

zm : Cisimlerin mukavemeti teorisine gre telin dnme as =

M b .L dir. G .I O

Burada Mb - burulma momenti (N.cm); G kayma modl, elik iin G =8.103 kN/cm2;

I0 diskin atalet momenti,

.d 4 Io = 32

Dolaysyla burulma yay katsays

1 3,14.( ) 4 .8.10 3 M .d .G 6 k= b = = = 0,0101kN.cm / rad 32.L 32.60 4

Silindirin ktlesel atalet momenti

62

.d 2 1 W 1 .d 2 .h. 2 I o = .m.r ; m = ; W= .h. I o = . 2 g 4 2 4.g

1 3,14.10 2 .2,5.78.10 6 2 = 78.10 6 kN / cm 3 ; g = 981cm / sn 2 I o = .( ).5 = 0,000195kN.sncm 2 4.981Frekans f =

1 k 1 0,0101 . = = 1,14 salal / sn 2. I 0 2.3,14 0,000195

f=1.14 sn-1.

rnek 11.3: Bir maddesel nokta basit bir harmonik hareket yapmaktadr. Maksimum ivme 16m/sn2 ve maksimum hz 2 m/sn dir. Hareketin genliini ve frekansn belirtiniz.

zm : Verilenler: amak=16 m/sn2 ;

Vmak= 2 m/sn amak=X.2(II)

Vmak=X.

(I) ;

(II) nolu ifadeyi (I) e blersek:

=(I) den

16 = 8 rad / sn alrz. 2 f=1,27 sn-1.

X=

v mak 2 8 = = 0,25 m ; frekans f = = ; 8 2 2

rnek 11.4: Maddesel bir nokta genlii 10 cm ve periyodu 0,75 sn olan basit bir harmonikhareket yapyor. Maksimum hiz ve maksimum ivmeyi hesablaynz.

zm : Verilenler: X=10 cm =0,1m ;

T= 0,75 sn .

T= =

2 2 ; Vmak=X. ; amak=X.2 ; = T2.( 3,14) = 8,38 rad / sn . Vmak=0,1. 8,38 = 0,84 m/sn ; 0,75

amak=(0,1).(8,38)2=7,02 m/sn .rnek 11.5: Arl 50 N olan bir blok, ekilde grlen bir yay dzlemi ileaslmtr. Blok dey olarak aa doru ekildikten sonra serbest braklyor. a) Meydana gelen hareketin periyot ve frekansn, b) hareketin genlii 7,5 cm ise blokun maksimum hz ve ivmesini hesaplaynz.o

k1

k2 50 N63

zm : Verilenler: W = 50 N ; k1= 5 N/cm ; k2 = 6 N/cm .

a) Yaylar seri bal olduu iin

= 1 + 2 =

+ k1 k 2

k=

1 1 30 = = = = = 2,727 N / cm 1 1 1 1 11 + + + k1 k 2 k1 k 2 5 6

k=2,727 N/cm = 272,7 N/m .

2 =

k 272,7 ( 272,7 ).(9,81) = = = 53,5 = 7,32 rad / sn. 50 m 50 g 2 2.( 3,14) = = 0,858 , 7,32

T=f=

T= 0,858 sn. f = 1,165 sn 1 .

7,32 = = 1,165 evirim / sn veya 2 2.( 3,14)

b) X=7,5 cm = 0,075 m ; Vmak=X. = (0,075).(7,32) =0,55 ; Vmak= 0,55 m/sn .

amak= X.2 = (0,075).(7,32)2 = 4,01 ; amak= 4,01 m/sn2 .

64

11. PROBLEMLER Problem 11.1: Arl 40 N olan bir A bilezii, katsays k = 4 n/cm olan bir yay zerindeekil 1 de grld gibi hareketsiz durmaktadr. Yay 5 cm sktrldktan sonra serbest braklrsa meydana gelen hareketin periyodunu,maksimum hzn ve maksimum ivmesini hesaplaynz.

A

kekil I

Problem 11.2 : Arl 40 N olan A bilezii bir yayn zerinde ekil 1 de grld gibihareketsiz durmaktadr.Bilezik yaya balanmtr ve genlii 5 cm iddetinde basit bir harmonik hareket yapmaktadr. a) k yay katsaysnn mmkn olan en byk deerini , b) hareketin buna kar gelen frekansn hesaplaynz.

Problem 3: Arl 500 N olan birblok, ekil II de grlen bir yay dzlemi ile aslmtr.Blok dey olarak aa doru ekildikten sonra serbest braklyor. a) Meydana gelen hareketin periyot ve frekansn, b) hareketin genlii 7,5 cm ise blokun maksimum hz ve ivmesini hesaplaynz. 500N

k1=5N/cm

k2

k2=3 N/cmekil II

65

12. VRTEL Virtel Yer deitirme ve Virtel : Bir paracn virtel yer deitirmesi, paracnkonumunun balar ile uyuan herhangi sonsuz kk deiimidir. Virtel i, parack zerine tesir eden btn kuvvetlerin virtel yer deitirme esnasnda yaptklar itir.

Denge : Bir paracn dengesi iin gerek ve yeter art, paracn herhangi bir virtel yerdeitirmesinde paraca tesir eden btn kuvvetler tarafndan yaplan virtel i sfr olmaldr. Bir rijit cismin dengesi iin gerek ve yeter art, rijit cismin balar ile uyuan herhangi bir virtel yer deitirmesinde cisme tesir eden btn d kuvvetler tarafndan yaplan virtel i sfr olmaldr. Bal rijit cisim sistemlerinin dengesi yukarda rijit cisimler iin verilen tarifin ayndr. Balarla uyuan bir virtel yer deitirmede i kuvvetlerin srtnmesine mafsallardaki ba kuvvetlerinin (hareketin dorultusuna dik kuvvetlerin) i yapmad kabul ediliyor. yapan d kuvvetler aktif veya uygulanan kuvvet olarak isimlendirilirler. Bir sistemin potansiyel enerjisinin (V) stasyoner deeri varsa dengesi vardr. Dolaysyla V, x gibi bir bamsz deikenin fonksiyonu ise, dV ds = 0 denge iin xin deerini verecektir.

Kararl Denge :Kararl denge potansiyel enerjinin minimum olduu zaman meydana gelir.Aada ekil 1deki daire eklinde bklm srtnmesiz telin en alt noktasna bir halka yerletirilmesi halkann potansiyel enerjisinin minimum olmas ile bu denge konumunun kararl olacan gsterir. nk herhangi bir bozucu tesirden sonra halka en alt konumuna dnecektir. x ekseni bir karlatrma ekseni olarak kullanlrsa x ekseni altndaki herhangi bir noktada halkann potansiyel enerjisi V

V = W .y = W . a 2 x 2dir.

(12.1)

66

y

y

a x y

xx a

y

x

ekil 12.1: kararl denge Denge konumunu bulmak iin dV dx sfra eit yazlr :dV W .x =+ =0 dx a2 x2

ekil 12.1: kararsz denge

(12.2)

Dolaysyla burada zm iin x = 0 olmaldr (halka en alt noktada). Dengenin tipini belirtmek iin denge konumunda d 2 V dx 2 yi incelemek gereklidir. Bylece

d2V W W .x 2 =+ 2 + 2 2 3/ 2 dx 2 a x 2 (a x )2 2

(12.3)

(12.3) den x = 0 da d V dx = + W a (pozitif) elde edilir. Bu dengenin karal olduunu gsterir.

Kararsz Denge : Karasz denge potansiyel enerji V maksimum olduu zamanmeydana gelir. ekil 2de halka telin en st noktasna konursa, halkann potansiyel enerjisinin maksimum olmas ile bu denge konumunun kararsz olaca seziliyor.

x ekseni zerindeki herhangi bir noktada halkann potansiyel enerjisiV = + W .y = + W . a 2 x 2dir. Denge konumunu bulmak iin dV dx sfra eit yazlrsa (12.4)

dV W .x = 2 =0 dx a x2

(12.5)

67

alrz. Dolaysyla burada zm iin x = 0 olmaldr (halka en st noktada). Ayn zamanda

d2V W W.x 2 = 2 2 3/ 2 dx 2 a 2 x 2 (a x ) ve buradan x = 0da d 2 V dx 2 = gsterir.

(12.6)

W (negatif) bulunur. Bu dengenin karasz olduunu a

Farksz Denge : Farksz denge sistem brakld konumda kald zaman vardr.

rnein, kre yatay bir dzlem zerine konabilir ve orada kalr (ekil 3).

ekil 12.3

ZET :

Sistemi denge haline getiren deikenin deerini belirtmek iin sistemin potansiyel enerjisi V deiken cinsinden ifade edilir. Yukardaki aklamalarda x deiken idi. Denge hali iin dV/dx=0

xin deerini belirtir.incelenir :

d2V Dengenin tipini renmek iin dx 2 d2V 1) > 0 ise denge kararldr ; dx 2 d2V 2)