CMHR

2

Índice

Ġ Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Ġ Desigualdades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Ġ Desigualdad de las Medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Ġ Desigualdad de Cauchy – Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Ġ Desigualdad de Reordenamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ġ Desigualdad de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Ġ Desigualdad de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Ġ Desigualdad de Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Ġ Desigualdad de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Ġ Algunas recomendaciones para demostrar desigualdades . . . . . . . . . . 27

Ġ Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3

Ġ Introducción: Según Carl B. Boyer, las tres medias: aritmética, geométrica y subcontraria (mas tarde llamada harmónica), ya eran conocidos por los babilonios. Cuenta que Pitágoras de Samos, matemático griego que vivió alrededor del año 550 A.N.E., sabia de las tres medias en Mesopotánea. Los pitagóricos poseían una manera alternativa de definir las tres medias arriba enunciadas; ellos utilizaban la noción de proporción. A saber, dados dos números positivos a y b , las medias aritmética, geométrica y harmónica entre a y b es el número c satisfaciendo respectivamente las siguientes relaciones: a c a

c b a

−=

− (I) a c a

c b c

−=

− (II) a c a

c b b

−=

− (III)

De donde, despejando c de la ecuación (I), obtenemos 2

a bc

+= , o sea c

es la media aritmética de a y b ; despejando c de la ecuación (II), tenemos c ab= , esto es, c es la media geométrica de a y b ; despejando c de la

ecuación (III), obtenemos 2abc

a b=

+, o sea, c es la media armónica de a y

b . Papus de Alejandría, geometra griego que vivía alrededor del año 300 A.N.E., describe en su libro III de la Colección una interesante construcción de las medias aritmética, geométrica y harmónica, representando las tres medias en un único semicírculo:

Donde AB a= , BC b= y DO = media aritmética, DB =media geométrica, DF =media harmónica.

4

Otra ilustración geométrica de las desigualdades entre las medias clásicas es dada en la figura siguiente

Donde PM b= y QM a= . Objetivos Generales

1. Contribuir en la formación académica del estudiante de matemática y/o carreras afines.

2. Tener nuevas herramientas matemáticas para el cálculo de

máximos y mínimos de ciertas expresiones matemáticas. Objetivos Específicos

1. Definir, conocer y utilizar los conceptos, propiedades de las desigualdades básicas.

2. Definir, conocer y utilizar los conceptos, propiedades de la desigualdad de las medias.

3. Definir, conocer y utilizar los conceptos, propiedades de otras desigualdades también importantes para aplicarlos en diferentes problemas de la vida real.

Las desigualdades juegan un rol fundamental dentro de las matemáticas. Para descubrir la forma de probarlas hay que ser en muchos casos verdaderamente creativos. Existen libros completos dedicados a su estudio,

5

y en las competiciones internacionales de matemáticas aparecen con frecuencia, siendo casi siempre una pregunta fija. Todo entrenador experto debe estar familiarizado con varias de ellas y con las técnicas generales para su manejo. En todo lo que sigue asumiremos que las variables que usaremos son números reales, y si además cumpliesen alguna propiedad adicional, entonces será especificado en cada caso. La desigualdad fundamental satisfecha por cualquier número real, y de la cual en cierto sentido se derivan todas las demás, es sencillamente

2 0x ≥ ,

cumpliéndose la igualdad si y solo si 0x = . Más en general

2 2 21 2 0nx x x+ + + ≥ ,

cumpliéndose la igualdad si y solo si 1 2 0nx x x= = = = . Ġ Desigualdades básicas Teorema 1: Para los puntos , ,A B C del espacio, se cumple

AB AC CB≤ + La igualdad se verifica si y solo si [ ]C AB∈ . Teorema 2: Para todo a , b números reales, se cumple

2 2 2a b ab+ ≥ y 24 ( )ab a b≤ + . La igualdad se verifica si y solo si a b= . De estos teoremas, se obtienen otras desigualdades bastante comunes; como son:

o Sean , ,a b c números reales, entonces se cumple 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + +

La igualdad se da cuando a b c= = .

o Si ,a b son positivos, entonces se cumple que

6

2a b

ab+

≥

La igualdad se da cuando a b= .

o Para todo real 0x > , se cumple 1 2xx

+ ≥

y la igualdad se verifica si y solo si 1x = .

Problemas 1. Sean , ,a b c los lados de un triangulo. Pruebe que

2a b c

b c c a a b+ + <

+ + +

2. Pruebe que para todo real , 0x y > :

4 2 2 4

1x y

xyx y x y+ ≤

+ +

3. Pruebe que para todo numero real ,x y se cumple 2 2 2 21 1 1x y x y y x+ + > + + +

4. Sean , ,a b c números reales positivos. Pruebe que

3 3 1 3 3 1 3 3 1 1( ) ( ) ( ) ( )a b abc b c abc c a abc abc− − − −+ + + + + + + + ≤ 5. Sean ,x y números reales positivos, halle el mínimo valor de la función

4 4 2 2

4 4 2 2( , ) x y x y x yf x y

y xy x y x= + − − + +

Una de las técnicas para determinar máximos y mínimos es el uso de las desigualdades entre “promedios”. Dos de los más elementales son la media aritmética y la media geométrica que pasamos a estudiar. Ġ Desigualdad de las medias ( MA MG MH− − ) Si 1a , 2a , 3a , . . . , na son números positivos; los números

7

1 2 3 nn

a a a aA

n

+ + + += , 1 2 3

nn nG a a a a= …

formados en base a ellos se denominan respectivamente media aritmética y media geométrica. Se cumple

n nA G≥ 1 La igualdad se da cuando 1 2 3 1n na a a a a−= = = = =… . Prueba: Emplearemos el método de inducción matemática

Si 2n = es evidente que 1 21 22

a aa a

+≥ .

Basándose en el método de inducción matemática, supongamos que la desigualdad se cumpla para n k= , es decir k kA G≥ donde:

1 2 3 kk

a a a aA

k

+ + + += , 1 2 3

kk kG a a a a= …

y debemos demostrar el teorema para 1n k= + , es decir que la desigualdad 1 1k kA G+ +≥ se cumpla.

1kA + = 1 1( 1) ( 1)2

k kk A k A

k+ ++ + −

=

sumandos

. ( 1) sumandos

1 2 1 1 1 1

2

k

k

A k k

k k k k ka a a a A A A

k

−

+ + + ++ + + + + + + +

=1 1 1.

2

k k k kA k a A A

k k+ + ++ + +

+

1

1 1.2

kkk k kG a A −

+ ++≥

luego

1kA + ≥1

1 1.2

kkk k kG a A −

+ ++≥ 1

1 1. kkk k kG a A −

+ +

Elevando a la 2k : 2

1k

kA + ≥ 11 1. .k k

k k kG a A −+ + ⇔ 1

1kkA ++ ≥ 1.k

k kG a + 1 Hay tantas demostraciones de esta desigualdad, que posiblemente compita con el teorema de Pitágoras en cuanto a cantidad de demostraciones que se conocen.

8

11

kkA ++ ≥

11

1 2 3 1. . . . .kk

k k

G

a a a a a++

+…

Luego 11

kkA ++ ≥ 1

1kkG ++ ⇔ 1 1k kA G+ +≥

con esto queda demostrado el teorema Por lo tanto:

1 2 31 2 3

n nn

a a a aa a a a

n

+ + + +≥ …

Definición: (Medias Potenciales) El número

1

1 2 na a aM

n

α α α α

α

⎛ ⎞+ + += ⎜ ⎟⎝ ⎠

se denomina media potencial de grado α de los números 1a , 2a , . . . , na . En particular, el número

1 21

na a aM

n

+ + +=

es la media aritmética de los números 1a , 2a , . . . , na ; el número 11 1 1

1 21

1 2

1 1 1n

n

a a a nM

na a a

−− − −

−

⎛ ⎞+ + += =⎜ ⎟⎝ ⎠ + + +

es la media armónica de los números 1a , 2a , . . . , na Teorema: Demuestre que si 1a , 2a , . . . , na son números positivos y si

0α β< < , se tiene M MG Mα β≤ ≤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Ω ) Demostración: De MG MA≤ se obtiene

1 21 2. . . nn

n

a a aa a a

n

α α αα α α + + +

≤…

elevando ambos miembros a la potencia 1α

y tomando en consideración

que 1 0α< , obtenemos

9

1

1 21 2. . . nn

n

a a aMG a a a M

n

α α α α

α

⎛ ⎞+ + += ≥ =⎜ ⎟

⎝ ⎠…

Con esto queda demostrado la primera de las desigualdades (Ω ); la segunda se demuestra análogamente. Teorema: (Desigualdad de Bernoulli2) Si 1x ≥ − y 0 1α< < , entonces

(1 ) 1x xα α+ ≤ + En cambio, si 0α < ó 1α > , se tiene

(1 ) 1x xα α+ ≥ + El signo de igualdad en ambos casos, se cumple solo para 0x = . Teorema: Si 1a , 2a , . . . , na son números positivos y α β< , se tiene que M Mα β≤ con la particularidad de que M Mα β= solo si 1 2 na a a= = =… . Prueba: El teorema ya se ha demostrado cuando α y β son de signos contrarios; resta demostrar para α y β de signos positivos. Supongamos que 0 α β< < y sea

1

1 2 na a aM k

n

α α α α

α

⎛ ⎞+ + += =⎜ ⎟⎝ ⎠

, también

1

1 2 na a aM

n

β β β β

β

⎛ ⎞+ + += ⎜ ⎟⎝ ⎠

Dividiendo M β entre k

1

1 2 naa aM M k k k

k M n

ββ β β

β β

α

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟= = ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. . . . . . . . (ω )

2 Desigualdad descubierta por Jacob Bernoulli (1654 - 1705).

10

Sea 11

ad

k

α⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, 22

ad

k

α⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, . . . , nn

ad

k

α⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Reemplazando estos

valores en (ω ):

1

1 2 nM d d d

M n

β β β βα α α

β

α

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

, también

1

1 21

1 2

n

n

aa ad d d k k k

n n

αα α α

β

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

1 21 na a a

k n

α α α α⎛ ⎞+ + += ⎜ ⎟

⎝ ⎠ de donde

1 2 1 1. . 1nd d dM k

n k k

α

α+ + +⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

O sea que: 1 2 nd d d n+ + + = Ahora sea: 1 11d x= + 2 21d x= + 3 31d x= + 1n nd x= + Sumando: 1 2 3 1 2 3n nd d d d n x x x x+ + + + = + + + + + de donde 1 2 3 0nx x x x+ + + + = .

Ahora por la desigualdad de Bernoulli, observar que 1αβ>

1 1 1(1 ) 1d x xβ βα α β

α= + ≥ +

2 2 2(1 ) 1d x xβ βα α β

α= + ≥ +

3 3 3(1 ) 1d x xβ βα α β

α= + ≥ +

11

(1 ) 1n n nd x xβ βα α β

α= + ≥ +

Sumando las desigualdades 0

1 2 3 1 2 3( )n nd d d d n x x x xβ β β βα α α α β

α+ + + + ≥ + + + + +

1

11 2 3 (1)nd d d d

n

ββ β β βα α α α

β

−

−

⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ≥⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

1M

Mβ

α

≥

de donde obtenemos M Mα β≤ para α β< , que es lo que queríamos demostrar.

Problemas 1. Siendo ,a b dos números reales con 0a ≠ , pruebe que

2 22

1 3ba b

aa+ + + ≥

2. Sean , ,a b c números reales positivos. Pruebe que

2 2 2 2 2 2 2 2 2( )( ) 9a b b c c a ab bc ca a b c+ + + + ≥ 3. Si , , 0a b c > y 2 2 2 3a b c+ + = , entonces pruebe que

1 1 1 31 1 1 2ab bc ca

+ + ≥+ + +

4. Si , ,x y z son números reales no negativos tales que 1x y z+ + = ,

probar que 70 227

xy yz zx xyz≤ + + − ≤

12

5. Sean k y n enteros positivos, 1n > . Pruebe que

1 1 1 1 11 1

nk

nkn kn kn n k

⎛ ⎞++ + + > −⎜ ⎟⎜ ⎟+ + − ⎝ ⎠

…

6. Hallar todas las soluciones reales de la ecuación

2 2 2

3 3 3 1x x y y y z z z x− − − − − −+ + = 7. Demuestre que si 3 3 3 81x y z+ + = donde 0x > , 0y > y 0z > ; se

cumple 9x y z+ + ≤ .

Dentro de todas las desigualdades especiales que se utilizan en problemas de competiciones matemáticas, la desigualdad que sigue es considerada juntamente con la desigualdad de las medias uno de los dos mas importantes resultados a ser utilizados. Ġ Desigualdad de Cauchy – Schwarz 3 Sean 1 2, , , na a a… , 1 2, , , nb b b… números reales no todos nulos ( 1n > ). Entonces

2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )( )n n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +… …

Demostración: Consideremos el polinomio de segundo grado

2 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0n nP x a x b a x b a x b= − + − + + − ≥ ; x∀ ∈R

Desarrollando 2 2 2 21 2 1 1 2 2( ) ( ) 2( )n n nP x a a a x a b a b a b x= + + + − + + +

2 2 21 2 0nb b b+ + + + ≥ ; x∀ ∈R

y esto se verifica si y solo si 0∆ ≤ , esto es 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 24( ) 4( )( ) 0n n n na b a b a b a a a b b b+ + + − + + + + + + ≤

3 Bunyakovsky (1804 - 1889), alumno de Cauchy, publico esta desigualdad en una monografía sobre desigualdades entre integrales en 1859, aunque no fue reconocido este aporte suyo hasta hace relativamente poco. En cambio, la extensión a integrales fue atribuida a Schwarz (1843 - 1921), quien publico el resultado en un trabajo de 1885; por eso es más conocida como desigualdad de Cauchy – Schwarz.

13

Luego, cancelando el factor 4 y extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros, llegamos a la desigualdad de Cauchy – Schwarz

2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )( )n n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +… … .

Examinemos ahora la igualdad. Si hay igualdad, quiere decir 0∆ = , entonces el trinomio tiene una raíz real λ :

2 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) 0n na b a b a bλ λ λ− + − + + − = y esto implica que

21 1( ) 0a bλ − = ∧ 2

2 2( ) 0a bλ − = ∧ … ∧ 2( ) 0n na bλ − = de donde se obtiene

31 2

1 2 3

n

n

a aa a

b b b b= = = =

Colorario 1: (Desigualdad entre las medias cuadrática y aritmética) Sean

1 2, , , na a a… números reales positivos, entonces 2 2 21 2 1 2n na a a a a a

n n

+ + + + + +≥

… …

con igualdad si y solo si 1 2 na a a= = =… . Colorario 2: Sean 1 2, , , na a a… , 1 2, , , nb b b… números reales positivos y n un entero mayor que 1, entonces

21 21 1 2 2 1 2

1 2

( ) ( )nn n n

n

aa aa b a b a b a a a

b b b

⎛ ⎞+ + + + + + ≥ + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠… …

con igualdad si y solo si 1 2 nb b b= = =… . El Lema de Titu 4 El Lema de Titu es claramente una aplicación directa de la desigualdad de Cauchy – Schwarz; algunos afirman que es simplemente la desigualdad de Cauchy – Schwarz y no están equivocados. Pero, ¿Qué es lo que el lema dice? Dice que para cualquier números reales

1 2, , , na a a… y cualquier números 1 2, , , nx x x… , se tiene la desigualdad:

4 Titu Andreescu (1956) Profesor de matemática de la universidad de Texas, dedicado a las olimpiadas de matemáticas. Esta desigualdad también es conocido con el nombre de “Desigualdad Útil”

14

2 22 21 21 2

1 2 1 2

( )n n

n n

a a a aa a

x x x x x x

+ + ++ + + ≥

+ + +………

Veamos por que le llaman desigualdad de Cauchy – Schwarz:

22 21 2

1 21 2

( )nn

n

aa ax x x

x x x

⎛ ⎞+ + + + + + ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠… …

2

22 21 2

1 21 2

. . .nn

n

aa ax x x

x x x

⎛ ⎞⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

… .

21 2( )na a a= + + +…

Problemas 1. Sean , , , ,a b c d e números reales tal que 8a b c d e+ + + + = y

2 2 2 2 2 8a b c d e+ + + + = . ¿Cuál es el máximo valor de e ? 2. Sean 1 2, , , 0na a a >… . Pruebe que

2 22 211 2

1 22 3 1

n nn

n

a aa aa a a

a a a a−+ + + + ≥ + + +… …

3. Sean , , 0a b c > , tal que 1a b c+ + = . Probar que

1 1 1 91 1 1 4a b c

+ + ≥+ + +

4. Sean 1, ,4

x y z ≥ − tales que 1x y z+ + = . Calcule el máximo valor de

4 1 4 1 4 1x y z+ + + + + 5. Pruebe que para cualquier números reales , ,a b c se cumple

3 3 3

2 2 2 2 2 2 3a b c a b c

a ab b b bc c c ca a

+ ++ + ≥

+ + + + + +

6. Demostrar que

22 3 2 3 2 3 2 3 3

a b c d

b c d c d a d a b a b c+ + + ≥

+ + + + + + + +

15

Ġ Desigualdad de Reordenamiento 5 Si nos dan dos conjuntos ordenados finitos de números reales

1 2 na a a≤ ≤ ≤… y 1 2 nb b b≤ ≤ ≤… , y si 1 2( , , , )nc c c… es una permutación de 1 2( , , , )nb b b… , entonces se verifica

1 1 1 1 11 1 1

n n n

n n i n i i i i i n ni i i

a b a b a b a c a b a b a b+ −= = =

+ + ≤ ≤ ≤ = + +∑ ∑ ∑… …

Demostración: Supongamos r sa a> . Consideremos las sumas

1 1

1 1'r r s s n n

r s s r n n

S a c a c a c a c

S a c a c a c a c

= + + + + + += + + + + + +

Entonces ' ( )( )r s s r r r s s r s s rS S a c a c a c a c a a c c− = + − − = − − en consecuencia,

'r sc c S S< ⇒ > 'r sc c S S> ⇒ < ‡ La igualdad se da si 1 2 na a a= = =… o 1 2 nb b b= = =… . Ilustración: consideremos 1 13a = , 2 12a = , 3 8a = , 4 7a = 1 25b = , 2 20b = , 3 15b = , 4 10b = Suma directa = 13(25)+12(20)+8(15)+7(10) = 755 Suma aleatória = 13(20)+12(15)+8(25)+7(10) = 710 Suma invertida = 13(10)+12(15)+8(20)+7(25) = 645 Luego: Suma invertida Suma aleatoria Suma directa≤ ≤

Problemas

5 Esta desigualdad tiene una interpretación física: si se tiene una barra OP y se coloca un peso ia a distancia ( )ibσ del extremo O , entonces 1 (1) 2 (2) ( )n na b a b a bσ σ σ+ + +… es el

momento resultante respecto al punto O . La desigualdad dice que el momento es máximo cuando los pesos mayores se colocan más lejos y los menores más cerca de O , y es mínimo cuando se procede a la inversa.

16

1. Pruebe que, para números reales , , 0a b c ≥ se cumple 3 3 3 2 2 2 3a b c a b b c c a abc+ + ≥ + + ≥

2. Sean , ,a b c números reales positivos. Pruebe que

1 ( )2

bc ca aba b c

b c c a a b+ + ≤ + +

+ + +

3. Pruebe que si , , 0a b c > , entonces

3 3 3 2 2 2

2a b c a b c

b c c a a b

+ ++ + ≥

+ + +

4. Sean , ,a b c números reales estrictamente positivos tales que

1ab bc ca+ + = . Pruebe que 1 1 1 3 ab bc ca

a b b c c a a b b c c a+ + ≥ + + +

+ + + + + +

5. Halle el mínimo valor de la función 3 3cos( )

cossen x x

f xx senx

= + sobre 20; π

Ġ Desigualdad de Chebyshev 6 Sean 1 2, , , na a a… y 1 2, , , nb b b… números reales con 1 2 na a a≤ ≤ ≤… y

1 2 nb b b≤ ≤ ≤… . Entonces

1 2 1 2 1 1 2 2.n n n na a a b b b a b a b a b

n n n

+ + + + + + + + +≤

Si, por el contrario, se tiene 1 2 nb b b≥ ≥ ≥… , entonces

1 2 1 2 1 1 2 2.n n n na a a b b b a b a b a b

n n n

+ + + + + + + + +≥

6 Pafnuty Lvóvich Chebyshev (1821 - 1894), matemático ruso y miembro extraordinario de la Academia Imperial de Ciencias.

17

donde la igualdad se cumple si y solo si 1 2 na a a= = =… o

1 2 nb b b= = =… . Demostración:

1 1 2 2 1 2 1 2.n n n na b a b a b a a a b b b

n n n

+ + + + + + + + +− =

[ ]1 1 2 2 1 2 1 22

1 ( ) ( )( )n n n nn a b a b a b a a a b b bn

= + + + − + + + + + +

2, 1

1 ( )( ) 0n

i j i ji j

a a b bn =

= − − ≥∑

ya que los ,i ia b son igualmente ordenados. Colorario: Sean 1 2, , , na a a… reales positivos y k un natural. Entonces

1 2 1 2kk k k

n na a a a a a

n n

+ + + + + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠

…

con igualdad si y solo si los ia son iguales o 0,1k ∈ .

Problemas 1. Sean , , 0a b c > . Pruebe que

32

a b c

b c c a a b+ + ≥

+ + + 7

2. Siendo 1 2, , , 0nx x x >… , pruebe que

1 2

1 21 2 1 2. . . ( . . . )

n

n

x x xxx x nn nx x x x x x

+ + +

≥…

… …

Definiciones: Sea I un intervalo de la recta y :f I → una función. Diremos que la función f es

Convexa si ( ) ( )2 2

a b f a f bf

+ +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

para todos los ,a b en I .

7 También conocida como la Desigualdad de Nesbitt.

18

Cóncava si ( ) ( )2 2

a b f a f bf

+ +⎛ ⎞ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

para todos los ,a b en I .

Proposición: Sea f una función. Entonces

f es convexa si y solo si, para todos ,a b en I y todo [0,1]t∈ se tiene

( )(1 ) (1 ) ( ) . ( )f t a tb t f a t f b− + ≤ − + Geométricamente esto significa que la curva queda por debajo de la cuerda. Esta condición la cumplen, por ejemplo, las funciones tales que ''( ) 0f x > en I . Algunas funciones convexas importantes son:

( ) nf x x= con n natural par, para todo x∈ . ( ) | |f x x α= donde 1α > es una constante, x∀ ∈ . ( ) kxf x e= donde k es una constante real, x∀ ∈ . ( )f x xα= donde 1α > , para 0x > .

Además cualquier punto c del intervalo [ , ]a b se escribe en forma única:

(1 )c t a bt= − + ; 0 1t≤ ≤

Del grafico ( ) ( )f c g c≤

( ) ( ) ( )(1 ) . ( ) ( )f b f af t a t b f a c a

b a

−⎛ ⎞− + ≤ + −⎜ ⎟−⎝ ⎠ . . . . . (∆ )

19

como (1 )c t a bt= − + ⇒ c at

b a

−=

− y reemplazando en ( ∆ )

tenemos: ( ) ( )(1 ) . ( ) ( ) ( )f t a t b f a f b f a t− + ≤ + −

de donde ( )(1 ) . (1 ) ( ) . ( )f t a t b t f a t f b− + ≤ − +

f es cóncava si y solo si, para todos ,a b en I y todo [0,1]t∈ se

tiene ( )(1 ) . (1 ) ( ) . ( )f t a t b t f a t f b− + ≥ − +

Ġ Desigualdad de Jensen 8 Sea ( )f x una función convexa (cóncava hacia arriba) en I , entonces se cumple:

1 1

1 1 ( )n n

i ii i

f a f an n= =

⎛ ⎞≤⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

con ia I∈ ; para i = 1, 2, 3, . . ., n . Es decir:

1 2 1 2( ) ( ) ( )n na a a f a f a f af

n n

+ + + + + +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

Prueba: Haremos la prueba aplicando el método de inducción matemática para

1n > . Para 2n = debemos probar que

1 2 1 2( ) ( )2 2

a a f a f af

+ +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

Del teorema anterior basta hacer: 1a a=

2b a=

8 Johan Ludvig William Valdemar Jensen (1859 - 1925) matemático e ingeniero danés.

20

12

t =

Por lo tanto 1 2 1 2( ) ( )2 2

a a f a f af

+ +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Supongamos que la desigualdad se cumple para n k= , es decir

1 2 1 2( ) ( ) ( )k ka a a f a f a f af

k k

+ + + + + +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

Sea 1 2 3 kk

a a a aA

k

+ + + += ; 1 2 1

1 1k k

k

a a a aA

k+

+

+ + + +=

+,

ahora debemos demostrar la desigualdad para 1n k= + 1 2 1

1( ) ( ) ( ) ( )

( )1

k kk

f a f a f a f af A

k+

+

+ + + +≤

+

1 11

( 1) ( 1)( )2

k kk

k A k Af A f

k+ +

+

+ + −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( 1) sumandos

1 2 1 1 1 1

2

k

k k k k ka a a a A A Af

k

−

+ + + ++ + + + + + + +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 1 1 1 1

2

k k k k ka a a a A A A

k kf

+ + + ++ + + + + + +⎛ ⎞+⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

terminos

1 2 1 1 1 1

2

k

k k k k ka a a a A A Af f

k k+ + + ++ + + + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠≤

( 1) terminos

1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

k

k k k kf a f a f a f a f A f A

k k

−

+ + ++ + + + + ++

≤

1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )

2

k k kf a f a f a f a k f A

k k+ ++ + + + −

+≤

1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )2

k k kf a f a f a f a k f A

k+ ++ + + + + −

=

entonces

21

1 1 2 1 12 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )k k kk f A f a f a f a k f A+ + +≤ + + + + − luego

1 1 2 1( )[2 1] ( ) ( ) ( )k kf A k k f a f a f a+ +− + ≤ + + + Por lo tanto

1 2 3 11

( ) ( ) ( ) ( )( )

1k

k

f a f a f a f af A

k+

+

+ + + +≤

+

Finalmente 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( )

1 1k ka a a f a f a f a

fk k

+ ++ + + + + +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

lo que queríamos demostrar. La igualdad ocurre si 1 2 na a a= = = .

Problemas 1. Demuestre que:

2 2

n n na b a b+ +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

; ,a b +∈R y 2n ≥ .

2. Si , 0a b ≥ y 2a b+ = , pruebe que

( ) ( )5 5 65 51 1 2a b+ + + ≤ .

3. Para todo triangulo ABC , pruebe que

3 32

senA senB senC+ + ≤

4. Utilizando la función logaritmo natural y la desigualdad de Jensen,

demuestre la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica. 5. Sean , ,a b c números reales positivos tales que 1a b c+ + = . Demuestre

que 2 2 21 1 1 100

3a b c

a b c⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6. Sean , ,x y z números reales positivos tal que 3x y z+ + = . Pruebe que

22

1 1 11 1 1 8x y z

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Veamos el siguiente teorema que será utilizado en la demostración de la desigualdad de Holder. Teorema (Desigualdad de Young):

Si 1p > ∧ 1 1 1p q+ = ∧ 0a > ∧ 0b > . Se cumple que:

p qa bab

p q+ ≥ 9

La igualdad se da si p qa b= . Prueba: Sea :f I → R tal que ( ) ( )f x Ln x= (que es cóncava hacia abajo), entonces se cumple:

( )(1 ) . (1 ) ( ) . ( )f t m t n t f m t f n− + ≥ − + ; ,m n I∈ .

Luego: ( )(1 ) . (1 ) ( ) . ( )Ln t m t n t Ln m t Ln n− + ≥ − +

( ) ( )1(1 ) . t tLn t m t n Ln m n−− + ≥

1(1 ) . t tt m t n m n−− + ≥ Sea: 1 0tm b− = > y tn a= Observar que la igualdad se da cuando m n= dando forma

1 11 1 1 1

1 11 ( ) ( )(1 )( ) .( )1 1

1

t tt tt t t tt t

m nt m t n m n

t t

− −− −−− + = + ≥

−

1 11( ) ( )

1 11

t tb aab

t t

−

+ ≥

−

9 William Henry Young (1863 - 1942), matemático ingles cuya desigualdad se utiliza en el estudio de ciertos espacios de funciones.

23

Ahora hagamos 11

qt=

− y 1

pt= ; 1p >

Luego p qa b

abp q+ ≥ si 1 1 1

p q+ = ∧ 1p > ∧ 0a > ∧ 0b > .

La igualdad se da cuando m n= , es decir: 1 1

1 t tb a− = ⇔ p qa b= . Otra forma: Sea ( )f x xα= , donde 0x > y 0α > .

Del grafico, se cumple con las áreas:

1 2 3 1 2

*

0 0

( ) ( )

( ) ( )a b

A A A A A

f x dx f x dx ab

+ + ≥ +

+ ≥∫ ∫

Luego

1

0 0

a bx dx x dx abα α+ ≥∫ ∫ ⇔

1 11

0

0

11 1

b

ax x

abα α

αα

++

+ ≥+ +

⇔

1 11

11 1

a bab

α α

αα

++

+ ≥+ +

Ahora hacemos

24

1 pα + = y 1 1 qα+ = , entonces tenemos

p qa bab

p q+ ≥ donde 1 1 1

p q+ = ∧ 1p > ∧ 0a > ∧ 0b > .

Ġ Desigualdad de Holder 10 Definiciones previas Definición: Un espacio métrico es un par ( ; )X d , compuesto de un conjunto (espacio) X de elementos (puntos) y de una distancia, es decir, una función univoca real y no negativa ( ; )d x y definido para dos elementos cualesquiera x e y de X y que verifica las tres condiciones siguientes:

( ; ) 0d x y = si y solo si x y= ( ; ) ( ; )d x y d y x= (axioma de simetría) ( ; ) ( ; ) ( ; )d x z d x y d y z≤ + (axioma triangular)

Ejemplos: Algunos espacios métricos son

1. ( ; )X d , con 0 ; si

( ; )1 ; si

x yd x y

x y

=⎧= ⎨ ≠⎩

.

2. El conjunto de los números reales con la distancia ( ; ) | |d x y x y= − .

3. El conjunto de grupos ordenados de n números reales

1 2( , , , )nx x x x= … con la distancia 2

1( ; ) ( )

n

k kk

d x y y x=

= −∑ ,

es un espacio métrico (espacio n -dimensional). Teorema (Desigualdad de Holder):

Sean ,p q +∈ con 1p > tales que 1 1 1p q+ = y 1 2, , , na a a… , 1 2, , , nb b b…

números reales positivos. Entonces 10 Otto Ludwig Holder (1859 - 1937) matemático alemán que trabajo en la convergencia de las series de Fourier y en 1884 descubrió la desigualdad que lleva su nombre.

25

1 1

1 1 1

n n np qp q

i i i ii i i

a b a b= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

Prueba: Sabemos por el teorema anterior que:

p qa bab

p q+ ≥ donde 0a > ∧ 0b > ∧ 1 1 1

p q+ = ∧ 1p > .

al reemplazar a y b por

1/

1

j

pnpi

i

aa

a=

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑

, 1/

1

j

qnqi

i

bb

b=

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑

obtenemos

1/ 1/ 1/ 1/

1 1 1 1

1 1j j j j

p q p qn n n np q p qi i i i

i i i i

a b a b

p qa b a b

= = = =

+ ≥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑

sumando para j desde 1 hasta n obtenemos

11/ 1/

11 1

1 1

n

i ii

p qn np qi i

i i

a b

p qa b

=

= =

+ ≥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∑ ∑

Por lo tanto 1/ 1/

1 1 1

p qn n np qi i i i

i i i

a b a b= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

Observar que si 2p q= = tenemos la desigualdad de Schwarz.

Problemas 1. Pruebe que para todo números positivos , ,a b c se cumple

3 3 3 2 2 2a b c a b b c c a+ + ≥ + + 2. Si , , , 0a b c d > y 2 2 2 2 3( )c d a b+ = + , entonces pruebe que

3 3

1a b

c d+ ≥

3. Siendo , , 0x y z > . Pruebe que

26

4 4 43 3 3

4 1 2 4 1 2 4 1 23 3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x y z

x x y x z y y z y x z z x z y+ + ≤

+ + + + + + + + +

4. Pruebe que para 2n ≥ , si 1 2, , , 0na a a >… , entonces 3 3 3 2 2 21 2 1 2 2 3 1( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)n na a a a a a a a a+ + + ≥ + + +… …

Ġ Desigualdad de Minkowski 11 Sea 1p > y 1 2, , , na a a… , 1 2, , , nb b b… números reales positivos. Entonces

1 1 1

1 1 1( )

n n np p pp p p

i i i ii i i

a b a b= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

Es decir:

( ) ( ) ( )1 1 1

1 1 1 1( ) ( )p p p p p pp p pn n n na b a b a a b b+ + + + ≤ + + + + +… … …

Demostración: Sabemos 1 1( ) ( ) ( )p p p

i i i i i i i ia b a a b b a b− −+ = + + +

luego 1 1

1 1 1( ) ( ) ( )

n n np p p

i i i i i i i ii i i

a b a a b b a b− −

= = =

+ = + + +∑ ∑ ∑ . . . . . . . . . . . . . (Θ )

y aplicando la desigualdad de Holder a la suma del lado derecho obtenemos 1/ 1/

1 ( 1)

1 1 1

( ) ( )p qn n n

p p q pi i i i i i

i i i

a a b a a b− −

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

1/ 1/1 ( 1)

1 1 1

( ) ( )p qn n n

p p q pi i i i i i

i i i

b a b b a b− −

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

Reemplazando estas desigualdades en (Θ ) y teniendo en cuenta que ( 1)q p p− = obtenemos

1/ 1/ 1/

1 1 1 1( ) ( )

p p qn n n np p p p

i i i i i ii i i i

a b a b a b= = = =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ ∑

Dividiendo esta desigualdad por 1/

1( )

qnp

i ii

a b=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∑ se obtiene la desigualdad

de Minkowski:

11 Hermann Minkowski (1859 - 1909) matemático Ruso.

27

1 1 1

1 1 1( )

n n np p pp p

i i i ii i i

a b a b= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

Problemas 1. Sean , , ,a b c d números reales. Determine el mínimo valor de

2 2 2 2 2 2( 1) 2( 2) ( 3) ( 1) 2( 2) ( 3)S a b c b c d= + + − + + + + + − + +

2 2 2 2 2 2( 1) 2( 2) ( 3) ( 1) 2( 2) ( 3)c d a d a b+ + + − + + + + + − + + 2. Pruebe que para todo , ,a b c +∈ tal que 1a b c+ + = , se cumple

2 2 22 2 2

1 1 1 82a b ca b c

+ + + + + ≥

Ġ Algunas recomendaciones para demostrar desigualdades 1. Intente transformar la desigualdad para llevarla a la forma ip∑ , con

0ip > , por ejemplo 2i ip x= .

2. ¿Recuerda algo la expresión de alguna de las medias?

3. ¿Se puede aplicar la desigualdad de Cauchy - Schwarz? Se puede aplicar más veces de lo que parece.

4. ¿Se puede aplicar la desigualdad de reordenación? También esta subestimado este resultado.

5. ¿Es simétrica? En tal caso, supóngase a b≤ ≤… Puede resultar útil expresar la desigualdad mediante las funciones simétricas elementales.

6. Si se trata de una desigualdad sobre los lados de un triangulo, inténtese usar la desigualdad triangular. Se puede poner a x y= + , b y z= + , c z x= + , donde ahora , ,x y z son números reales positivos.

28

7. Lleve la desigualdad a la forma ( , , ) 0f a b ≥… . Si f es una función cuadrática en una de las variables, puede ser útil considerar su discriminante.

8. Si la desigualdad debe probarse para los enteros positivos 0n n≥ , inténtese usar la inducción.

9. Inténtese hacer estimaciones formando sumas o productos telescópicos:

2 1 3 2 1 1n n na a a a a a a a−− + − + + − = −…

32

1 2 1 1

. . . n n

n

a a aa

a a a a−

=…

10. Si una suma de cantidades positivas es constante, su producto es máximo cuando todas son iguales. Si un producto de cantidades positivas es constante, su suma es mínima cuando todas son iguales.

Ġ Bibliografía [1] Bornsztein Pierre Inégalités Classiques Math Olympiades [2] Kin Y. Li Math Problem Book I Hong Kong Mathematical Society [3] Korovkin P. P. Desigualdades Editorial Mir Moscu [4] Mitrinovic D. S. Elementary Inequalities Belgrade, 23.III.1964 [5] Nieto José H. Desigualdades