Derivacion y Diferenciacion de Funciones Escalares

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES ESCALARES DE DOS O MÁS VARIABLES

DEFINICIÓN. Una función escalar de variable vectorial consiste en una terna formada por:

i) Un conjunto de valores de la variable vectorial llamado dominio y denotado con n

fD ⊂ii) Un conjunto de valores de la variable escalar llamado

codominio y denotado con ⊂fCiii) Una regla de que asocia a cada elemento del dominio

con uno y sólo un elemento del codominio. A esta regla se le denota con ( )F F r= donde . : nf →Al conjunto de valores que toma la variable dependiente se le denomina recorrido, imagen o rango de la función. Con dos argumentos puede expresarse como ( )= ,z f x y y puede interpretarse de las siguientes dos formas:

f

( ) 2, fx y D∈ ⊂

( ), fz f x y R= ∈ ⊂

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

y

x

z

( ),f x y

2:f →

(

),x y

( )

2

dominiofD ⊂

( )recorridofR ⊂


2

DEFINICIÓN. Se llama vecindad o entorno de ( )0 0,P x y al

conjunto de puntos del interior de un círculo de radio δ y cuyo centro es . Son todos los puntos que satisfacen la

desigualdad:

( 0 0,P x y )

( ) ( )2 2 20 0x x y y δ− + − < . Si se excluye

del conjunto al punto ( )0 0,P x y se habla entonces de una vecindad agujerada o entorno reducido. Si se hace

( ) (0 0, )0,r x y y r x y= = , la definición anterior se puede

expresar como 0r r δ− < . Una vecindad, así como una vecindad agujerada son:

DEFINICIÓN. Sea un subconjunto de del espacio . Entonces:

" "S n

) " "i S es “cerrado” si contiene puntos interiores y además contiene a todos los puntos frontera.

) " "ii S es “abierto” si contiene a todos los puntos interiores y no contiene a los puntos frontera.

) " "iii S es “semiabierto” o “semicerrado” si contiene a todos los puntos interiores y contiene algunos puntos frontera. DEFINICIÓN. Sean dos puntos de un conjunto

. Si estos puntos pueden ser unidos mediante un segmento de curva cuyos puntos pertenecen a , se dice

" " " "P y QnS ⊂

" "S

( )0 0,P x y

vecindad vecindad

( )0 0,P x y

agujerada


3

que es un conjunto conexo. Y si además dicho segmento es parte de una recta entonces a se le denomina simplemente conjunto conexo o convexo.

" "S" "S

EJEMPLO.

)i El conjunto ( ) ( )22 2 2 2 21, 16 ; 2 ;4

S x y x y x y x y⎧ ⎫= + ≤ + − ≥ +⎨ ⎬⎩ ⎭

1≥

es conexo, como se muestra en la figura:

)ii El conjunto

2 2 16x y+ =

y

2 2 1x y+ =

( )22 124

x y+ − =

( ){ }, ; ; ,S x y a x b c d d x y= ≤ < < ≤ ∈ es simplemente conexo o convexo, como se ve en la figura:

DEFINICIÓN. Una región es un conjunto conexo de puntos que puede ser cerrado, abierto o semicerrado.

xQ

P

a

d

y

P

Q

xb

c


4 EJEMPLO. Determinar el dominio de definición de las siguientes funciones, representarlo gráficamente e indicar en cada caso si es región y de qué tipo de región se trata:

( ) ( )( )2 2 2 2) , ln 4 1i f x y x y x y⎡ ⎤= − − + −⎣ ⎦

( ) ( )) , 4 2ii z f x y x y= = − +

( )2

3) , xyiii z f x yy x−

= =−

( )) ,2xiv z f x y angsen xy⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠


5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Una función ( ),z f x y= puede representarse gráficamente de dos formas: )i Por medio de una superficie en 3

)ii Por medio de sus curvas de nivel o líneas de contorno.

( ) ( ) ( )1 2 3, ; , ; , ;f x y C f x y C f x y C= = =

z

( ),z f x y=

y

x


6

9≤

3z C=

2z C=

1z C=

y

x

EJEMPLO. Dado el campo escalar

( ) 2 2 2 2, 9 ;z f x y x y x y= = − − + representarlo gráficamente por medio de curvas de nivel y

mediante una superficie en el espacio . Dar el dominio y el recorrido de la función.

3

Solución Se dan valores a la función y se tiene:

2 20 9z x y= ⇒ + = 2 23 6z x y= ⇒ + =

2 25 4z x y= ⇒ + = 2 27 2z x y= ⇒ + =

2 29 0z x y= ⇒ + =


7

x

y 2 2 2x y+ = 2 2 4x y+ =

2 2 6x y+ = 2 2 9x y+ =

2 2 0x y+ =

El dominio y el recorrido de la función son:

x

y

z

( ) 2 2, 9z f x y x y= = − −

( ){ } { }2 2, 9 ; , 0,9 ;f fD x y x y x y y R z z z= + ≤ ∈ = ∈⎡ ⎤⎣ ⎦ ∈

Es un paraboloide circular o paraboloide de revolución.

EJEMPLO. Para la función

223 1

2 4yz x= − − −


8 dar dominio recorrido y hacer un trazo aproximado de la gráfica, mediante algunas curvas de nivel y en el espacio . 3

2 22 21 0

4 4y yx x− − ≥ ⇒ + ≤1

( )2

2, 1 ; ,4fyD x y x x y

⎧ ⎫= + ≤⎨ ⎬⎩ ⎭

∈

2 22 290 0 1

4 4 4y yz x x

⎛ ⎞= ⇒ = − − ⇒ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠1 (elipse)

2 2 22 21 1 9 81 18 322 4 4 4 4 9

9 9

y y xz x x⎛ ⎞

= − ⇒ = − − ⇒ + = ⇒ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2y

2 2 22 29 51 1 1 5 204 4 4 9

9 9

y y xz x x⎛ ⎞

= − ⇒ = − − ⇒ + = ⇒ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1y

2 22 23 9 9 1 0

2 4 4 4 4y yz x x

⎛ ⎞= − ⇒ = − − ⇒ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

y

1z = −0.5z = −

0z =

x1.5z = −


9

n

y

223 1

2 4yz x= − − −

x

z

OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE FUNCIONES DEFINICIÓN. Sean con

y sea

: :n nf y g→ →n

f gD y D⊂ ⊂ α un escalar real. Entonces: )i Se define la multiplicación por un escalar como:

( )( ) ( ) ; f ff r f r D Dαα α= = )ii Se define la adición de funciones escalares como:

( )( ) ( ) ( ) ; f g f gf g r f r g r D D D++ = + = ∩ )iii Se define la multiplicación de funciones escalares como:

( )( ) ( ) ( ) ; f g f gf g r f r g r D D D⋅⋅ = ⋅ = ∩ )iv Se define el cociente de funciones escalares como:

( ) ( )( ) ( ); ;f f g

g

f rf r D D D gg g r

⎛ ⎞= = ∩⎜ ⎟

⎝ ⎠0r ≠


10

)v Si se define la función real de variable real , entonces la composición de con está dada por:

:h →h f

( )( ) ( )( )h f r h f r=

y su dominio son los elementos del dominio de tales que sus imágenes estén en el dominio de .

fh

EJEMPLO. Sean las funciones:

( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ }

1

2

0,0,2 , 0,1, 3 , 1,1,4 , 0, 1, 2

0,0,1 , 0,1,0 , 1, 1,3 , 1,1,6

f

f

= − −

= −

−

1+

Expresar las siguientes funciones y dar sus respectivos dominios:

1 1 2 2) 3 ; ) ; ) 2 5i f ii f f iii f f− −

11 2

2

) ; ) fiv f f vf

⋅

Solución ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ){ }1) 3 0,0, 6 , 0,1,9 , 1,1, 12 , 0, 1,6

0,0 , 0,1 , 1,1 , 0, 1f

i f

D

− = − − −

= −

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }1 2) 0,0,1 , 0,1, 3 , 1,1, 2 ; 0,0 , 0,1 , 1,1fii f f D− = − − =

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 1) 2 5 0,0,12 , 0,1, 15 , 1,1,32 ; 0,0 , 0,1 , 1,1fiii f f D+ = − =

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }1 2) 0,0,2 , 0,1,0 , 1,1,24 ; 0,0 , 0,1 , 1,1fiv f f D⋅ = =

( ) ( ) ( ){ }1

2

2) 0,0,2 , 1,1, ; 0,0 , 1,13 f

fv Df

⎧ ⎫⎛ ⎞= =⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

EJEMPLO. Sean las funciones


11

( ) ( ) ( ) ( )2 21 2, ; , cos ;

2xyf x y f x y x x y h x x= = + 1= −

1 2

Definir las funciones pedidas y dar su respectivo dominio: 1 1 2

2 1 1

) 6 ; ) 3 ; )) 2 ; )

i f ii f f iii f fiv f f v h f

− ⋅

÷

Solución Los dominios de las funciones dadas son:

( ){ } ( ){ }1 2, , ; , ,f fD x y x y D x y x y= ∈ = ∈

{ }1 1 ;hD x x x= − ≤ ≤ ∈

( ){ }11 6) 6 6 3 ; , ,2 fxyi f xy D x y x y= = = ∈

( ) ( ){ }1 2

2 21 2 3) 3 3 cos ; , ,

2 f fxyii f f x x y D x y x y−− = − + = ∈

( ) ( ){ }1 2

22 2

1 2) cos ; , ,2 f f

x yiii f f x y D x y x y⋅⋅ = + = ∈

( ) ( )2 1 2 2 2 22) 2

cos 2cos

xyyiv f f

x x y x y÷ = =

+ +

( )2

2 22 , ; 0 ;

2f fD x y x y n n x yπ÷

⎧ ⎫= + ≠ ≥⎨ ⎬⎩ ⎭

, ∈

( ){ }11) 1 ; , 2 ; ,2 h fxyv h f D x y xy x y= − = ≤ ∈

EJEMPLO. Sean las funciones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0, 1 , 0,1,0 , 1,1, 3 , 0, 1,5 , 1,2,6g = − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,0 , 0,5 , 3, 1 , 4, 2 , 6,8h = − − − −


12

Obtener la función composición y su dominio. h f( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0,0 , 0,1,5 , 1,1, 1 , 1,2,8

0,0 , 0,1 , 1,1 , 1,2h f

h f

D

= −

=

SUPERFICIES CUÁDRICAS La ecuación general de las superficies cuádricas es:

2 2 2 0Ax By Cz Dx Ey Fz G+ + + + + + = Esfera

La ecuación de la esfera es 2 2 2 1x y z+ + =

Elipsoide

La ecuación de un elipsoide es

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + =

z

x

1

1 y

1


13

y

z

También puede ser un elipsoide de revolución si una elipse gira alrededor de uno de los ejes coordenados.

x

Paraboloide elíptico

Su ecuación es

2 2

2 2x ya b

zc

+ =

z

x

y

Paraboloide hiperbólico


14

La ecuación de esta superficie es

2 2

2 2y xb a

zc

− =

y

z

x Cono elíptico

Su ecuación es 2 2

2 2x y za b c

+ =2

2

Hiperboloide de una hoja

y

z

x


15

Su ecuación es

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ − =

Hiperboloide de dos hojas

Su gráfica es la ecuación

2 2 2

2 2 2 1z y xa b c

− − =

y

z

x


16

y

z

x Para que estas superficies sean gráficas de funciones, deben cumplir con la condición de que exista un solo valor de para cada pareja de valores

" "z( ),x y de la variable vectorial.

DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE Sea la superficie de ecuación 2 22 2y x z 0− − = Se discutirá esta ecuación, viendo sus características: 1. Intersecciones con los ejes coordenados:

- Con el eje = = ⇒ =" " ; 0 0 0x y y z x (origen) - Con el eje = = ⇒ =" " ; 0 0 0y x y z y (origen) - Con el eje = = ⇒ =" " ; 0 0 0z x y y z (origen)

2. Trazas (intersecciones) con los planos coordenados: - Con el plano xy

( )( ) ⎧ + =⎪= ⇒ + − = ∴ ⎨− =⎪⎩

2 00 2 2 0

2 0y x

z y x y xy x


17

- Con el plano 2; 0xz y z x= ⇒ = − (parábola)

- Con el plano 2

; 02yyz x z= ⇒ = (parábola)

3. Secciones planas, paralelas a los planos coordenados: - Secciones paralelas al plano 2 2" " 2 2xy z k y x k= ⇒ − = (hipérbolas con centro en el origen) - Secciones paralelas al plano 2 2" " ; 2 2xz y k x z k= ⇒ + = (parábolas con el eje paralelo al eje ) " "z- Secciones paralelas al plano 2 2" " ; 2 2yz x k y z= ⇒ − = k (parábolas con el eje paralelo al eje ) " "z4. Simetrías con respecto a los planos y ejes coordenados, así como con respecto al origen: - Con respecto al plano " "xy

− ⇒ − + = ∴2 22 2 0z por z y x z no hay - Con respecto al plano " "xz

− ⇒ − − = ∴2 22 2 0y por y y x z si hay - Con respecto al plano " "yz

− ⇒ − − = ∴2 22 2 0x por x y x z si hay - Con respecto al eje " "x

−⎧⇒ − + = ∴⎨ −⎩

2 22 2 0y por y

y x z no hayz por z

- Con respecto al eje " "y−⎧

⇒ − + = ∴⎨ −⎩2 22 2 0

x por xy x z no hay

z por z

- Con respecto al eje " "z


18

−⎧⇒ − − = ∴⎨ −⎩

2 22 2 0x por x

y x z si hayy por y

- Con respecto al origen

2 22 2 0x por xy por y y x z no hayz por z

−⎧⎪ − ⇒ − + = ∴⎨⎪ −⎩

5. Extensión, que es el conjunto de valores que toma cada una de las variables , ,x y z . - En dirección al eje

2 2" " ; 2 2x x y z= − . Esta ecuación tiene soluciones reales para todo valor de " "x , luego la extensión en dirección al eje es infinita, esto es, " "x x∈ . - En dirección al eje 2 2" " ; 2 2y y x z= + . Esta ecuación tiene soluciones reales para todo valor de " "y , luego la extensión en dirección al eje " "y es infinita, es decir, y∈ . - En dirección al eje . Esta ecuación tiene soluciones reales para todo valor de , luego la extensión en dirección al eje es infinita, luego,

2" " ; 2 2z z y= − 2x" "z

" "z z∈ . 6. Representación gráfica. Con lo abtenido anteriormente se hace un trazo aproximado de la gráfica. Así,


19

)

y

z

x EJEMPLO. Determinar la ecuación general de la esfera con centro en y radio igual a . Considerar después el hemisferio inferior y dar la regla del campo escalar cuya representación gráfica es dicho hemisferio, así como su dominio y su recorrido. Graficar las superficies.

(1,2, 1− 5

Solución ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2; 1 2 1x h y k z k r x y z− + − + − = − + − + + =

2 2 2

2 2 2

2 1 4 4 2 1 252 4 2 19 0

x x y y z zx y z x y z

− + + − + + + + =

⇒ + + − − + − =

5

Se toma en cuenta únicamente la parte de abajo:

( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 1x y z− + − + + = 5

( ) ( ) ( )2 21 25 1 2z x⇒ + = − − − −2y

( )( )

2 2 2

2 2

1 25 2 1 4 4

, 1 20 2

z x x y y

4z f x y x y x y

+ = − + − − + −

⇒ = = − − − − + +


20

y

z

( )1,2, 1C −

2 2 2 2 4 2 19x y z x y z 0+ + − − + − = x

y

z

( )1,2, 1C −

( )2 2

,

1 20 2 4

z f x y

x y x y

=

= − − − − + + x

El dominio y el recorrido son:

( ) ( ) ( ){ }2 2, 1 2 25 ; ,fD x y x y x y= − + − ≤ ∈

{ }6 1 ;fR z z z= − ≤ ≤ − ∈ EJEMPLO. Identificar la superficie de ecuación:

2 2 2 4 6x y x y z+ − − − + = 0 Si es función escalar de variable vectorial, dar su dominio, recorrido y hacer un trazo aproximado de su gráfica: Solución


21

0

2 2

2 2

2 4 6 02 1 1 4 4 4 6

x y x y zx x y y z

+ − − − + =

⇒ − + − + − + − − + =

( ) ( )2 21 2x y z 1∴ − + − = − Se trata de un paraboloide circular con vértice en , abre hacia arriba y su eje de simetría, paralelo al eje

(1,2,1)" "x , tiene

como ecuaciones a 1x y y 2= = . Secciones paralelas al plano " "xy , arriba del plano 1z = , son circunferencias. Sí es función ya que a cada pareja ordenada ( , )x y , le corresponde uno y solo un valor de " "z .

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

2 2

1 2 1

, 1 1 2

x y z

z f x y x y

∴ − + − = −

⇒ = = + − + −

El dominio y el recorrido son:

y

z

x

( ) ( ) ( )2 2, 1 1 2z f x y x y= = + − + −

V

( ){ } { }, , ; 1 ;f fD x y x y R z z z= ∈ = ≤ < ∞ ∈


22 GENERACIÓN DE SUPERFICIES Se estudiará cómo generar superficies con una curva generatriz que se mueve sujeta a una o varias trayectorias directrices. Primero se verá el caso de una curva en el espacio , cuya ecuación está determinada por la intersección de dos superficies. Así, el sistema formado por las superficies:

3

( )( )

1

2

, , 0, , 0

f x y zf x y z

⎧ =⎪⎨ =⎪⎩

representa una curva. EJEMPLO. Sean las siguientes superficies (planos)

32 3

x y zx y z+ + =⎧

⎨ 5+ + =⎩

cuya intersección es una recta en . Las ecuaciones de esta recta se obtienen a partir de los vectores normales:

3

( ) ( )1 21,1,1 ; 1,2,3N N= = Se efectúa el producto cruz de estos vectores normales y,

( )1 2 1 1 1 2 1, 2,11 2 3

i j kN N i j k

∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧

× = = − + = −

Se obtienen las coordenadas de un punto de esta recta: 2 2 2

12 3 4 2 3 4

y z y zx

y z y z+ = − − = −

= ⇒ ⇒+ = + =

4


23

( )01, 2,0

2z

Ay=

⇒ ∴ −= −

Finalmente, la ecuación de la recta intersección es: 1 2

1 2x y− +

1z

= =−

Ahora considérese el sistema:

( )( )

1

2

, , , 0:

, , , 0f x y z

Gf x y z

αα

⎧ =⎪⎨ =⎪⎩

donde α es un parámetro real. Si se elimina el parámetro se obtiene una ecuación de la forma ( ), , 0F x y z = que es la ecuación cartesiana de la superficie generada. EJEMPLO. Obtener la ecuación de la superficie cuya generatriz está dada por:

2 2 2:1

xG

y zα

α=⎧

⎨+ + =⎩

Solución Se sustituye el valor del parámetro que y se llega a:

2 2 2 1x y z∴ + + = que es una esfera con centro en ( )0,0,0C y radio 1r = . EJEMPLO. Obtener la ecuación de la superficie cuya generatriz está dada por el sistema:

2 2 3 0:6 0

x y xGyz x xy

γγ γ

⎧ − =⎨

+ + =⎩


24 Solución

2

; 63 3 3 3x y xy xy xyyz x xy

xγ γ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠0=

2 2 2 2 21 12 0 23 3

yz x y x y z x x y⇒ + + = ∴ + + = 0 que es la ecuación de la superficie pedida. Sea ahora un sistema con dos parámetros reales yα β

( )( )

1

2

, , , , 0:

, , , , 0f x y z

Gf x y z

α βα β

⎧ =⎪⎨ =⎪⎩

Aquí sólo se puede eliminar uno de los parámetros por lo que

hace falta una ecuación auxiliar como ( ),g α β = 0 que se conoce como “ecuación de condición”. Si el sistema cuenta con tres parámetros , ,α β γ , entonces harán falta dos ecuaciones de condición. Si se generaliza, para parámetros, se necesitarán

" "n1n− ecuaciones de condición.

CURVA GENERATRIZ Y CURVAS DIRECTRICES EJEMPLO. Obtener la ecuación de la superficie generada por la curva

2 2

: x yGz

2αβ

⎧ + =⎨

=⎩

al apoyarse sobre la curva directriz

:0

x zD

y=⎧

⎨=⎩

Solución


25

2 2 : 0x y y xα α= ± − = ⇒ = ± α β± = (ecuación de condición).

2 2x y z2+ = que es un cono con eje de simetría el eje " "z EJEMPLO. Obtener la ecuación de la superficie generada por la familia de curvas

2 2 1: x yGzα β

γ⎧ + =⎨

=⎩

que se apoyan sobre las curvas directrices 2 2

1 216 4: :

0 0y z xD y Dx y

⎧ ⎧= =⎨ ⎨

= =⎩ ⎩

z−

Solución

( ) ( )1116 1

16Cβ γ β

γ= ⇒ =

( ) ( )214 1

4Cα γ α

γ− = ⇒ = −

2 2 2 22 21 1 1 1

4 16 16 4 4 1y x y x 4x y z

z z z z− + = ⇒ − = ∴ − =

Es un paraboloide hiperbólico con el eje " "z de simetría. SUPERFICIES REGLADAS Son superficies generadas por familia de rectas. EJEMPLO. Obtener la ecuación de la superficie reglada generada por la familia de rectas:


26

00

3 2 2:

4 6x y z

Gx y z

αα α− + =⎧

⎨+ − =⎩

Solución 2 3 2 3 2 3; 4 6 0

2 2 2y x y x y xx y

z z zα − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠z− =

2

0

0

( ) ( ) 2 2 24 2 3 2 3 12 0 5 12 2 12 0x y x y y x z xy x y z− + − − = ∴ − + − = EJEMPLO. Demostrar que la ecuación representa una superficie reglada y obtener la dirección de su recta generatriz.

+ − =2 3xz y z

:2 3z

z Gx yα

αα α=⎧

= ⇒ ⎨+ − =⎩

( )( )

11 2

2

0,0,1; 0 0 1 3 2

2 ,3,0 2 3 0

i j kN

N N i j kN

αα α

∧ ∧ ∧

∧ ∧=× = = − + +

=0

∧

por lo que la dirección de la recta generatriz es:

( )2

1 3,2 ,09 4

v αα

= −+

EJEMPLO. Demostrar que el paraboloide hiperbólico de

ecuación

2 2

2 2y x cza b

− = es una superficie reglada.

y x y x cza b a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


27

y xa b

y x ca b

z

α

α α

⎧ − =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

SUPERFICIES CILÍNDRICAS EJEMPLO. Obtener la ecuación de la superficie cilíndrica cuyas

generatrices son paralelas al vector 3 4 4v i j k∧ ∧ ∧

= + − y la

directriz está dada por: 2 ;y x z 1= = . Graficar.

Solución La ecuación de la generatriz es

1 1

3 4x x y y z z− − −

= = 1

4− Como en este caso la directriz está en un plano paralelo al plano xy , es más cómodo despejar a las variables

, con lo que se obtiene: " " " "x y y1 1

1 1

1 11 1

3 33 4: : 4 4

4 4

x x z zx z z

G Gy y z z y z z y

− −⎧ ⎧=⎪ x= − + +⎪ ⎪− ⇒⎨ ⎨− −⎪ ⎪ = − + += ⎩⎪⎩ −

Se hace 1 1 134

z x y z yα β= + = + 1 , luego


28

23: :4

1x z y xG y D

zy z

α

β

⎧ ⎧= − + =⎪⎨ ⎨

=⎩⎪ = − +⎩

( )231

4Cβ α⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

23 3 314 4 4x z y z x zy z

α

β

= + ⎛ ⎞∴ − + + = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠= +

SUPERFICIES CÓNICAS EJEMPLO. Determinar la ecuación de la superficie con vértice en el punto y directriz dada por la curva fija (4,5,0)

y

z D

v

x


29

2 2

1: 9 41

y zD

x

⎧+ =⎪

⎨⎪ =⎩

Hacer una gráfica aproximada de la superficie obtenida. Solución. Las ecuaciones de la recta generatriz son

4 5x ya b− − z

c= =

Como la directriz está en un plano paralelo al plano , resulta más cómodo despejar a las variables en términos de la variable . Entonces,

yz" " " "y y z

" "x54:

4

y bx aG

z cx a

−⎧ =⎪⎪ −⎨⎪ =⎪ −⎩

Se hace b cya

α β=a

= de donde,

54:

4

yxG

zx

α

β

−⎧ =⎪⎪ −⎨⎪ =⎪⎩ −

y se llega a 2 2

4 5 1: : 9 44 1

y zy xG y D

z x x

α αβ β

⎧= − +⎧ + =⎪

⎨ ⎨= −⎩ ⎪ =⎩


30

( ) ( ) ( )2 23 5 3

19 4

Cα β− + −

+ =

Finalmente, con se llega a la ecuación de la superficie

G y C

2 253 5 34 4 1

9 4

y zx x

⎡ ⎤ ⎡−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎦+ =

2 23 15 5 20 34 94 4

y x zx x

− + + − −⎡ ⎤ ⎡⇒ +⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣36⎤ =⎥⎦

( ) ( )2 224 5 3 5 81 36 4x y z x∴ − − + = −

y

z

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

x

D

V


31 Se generan al girar una curva plana alrededor de un eje contenido en su plano y al que se la llama eje de revolución. También se dice que se generan a través de un círculo de diámetro variable cuyo centro está en el eje y que tiene una meridiana como curva fija directriz.

z

meridiana (directriz)

círculo paralelo

eje de revolución

y

x Sean las ecuaciones de generatriz y directriz las siguientes:

( )2 2 2 , 0: :0

f x zx yG y Dyz

αβ

⎧ ⎧ =+ =⎨ ⎨

== ⎩⎩

Con estas ecuaciones se obtiene la ecuación de condición: ( ) (, 0 )x f Cα α β= ± ⇒ ± =

Se llega a la ecuación de la superficie de revolución que es:

( )2 22 2 , 0x y f x y z

zα

β= ± + ⇒ ± +

==

EJEMPLO. Obtener la ecuación de la superficie de revolución cuya directriz es:


32

( )2 4meridiana :

0z yD

x⎧ =⎨

=⎩ ; eje de revolución: eje " "y

y

z

x

( )2 4meridiana :

0z yDx

⎧ =⎨

=⎩

( )22 2 2 2 24 4z y y x z y= ∴ + =4 ; x z= +

que es la ecuación del paraboloide circular o de revolución. EJEMPLO. Determinar la ecuación de la superficie de revolución cuya directriz es:

2 2

1: 4 10

y zM

x

⎧+ =⎪

⎨⎪ =⎩

; eje de revolución: eje " "zLa gráfica aproximada de esta superficie de revolución es:

eje de revolución

superficie de revolución


33

( )22 2

2 2 2 2 2 2

1 ; 1 14 1 4 1 4 1

x yy z z x y z+ ++ = + = ⇒ + =

2 2 2

14 4 1x y z

+ + = que es la ecuación de un elipsoide de revolución. FORMULACIÓN DE FUNCIONES Secuela de apoyo: - Leer cuidadosamente el enunciado para identificar las magnitudes constantes y variables. - Realizar, cuando esto sea posible, un modelo geométrico. - Construir un modelo matemático preliminar. - Establecer ecuaciones auxiliares. - Construir el modelo matemático definitivo.

superficie de

revolución

z

x

( )2 2

1directriz : 4 10

y zM

x

⎧+ =⎪

⎨⎪ =⎩

eje de

revolución

y


34 EJEMPLO. Obtener la expresión del volumen de un paralelepípedo rectangular que está inscrito en el elipsoide

, en función únicamente de dos de sus lados.

+ + =2 2 236 4 9 36x y z

Solución Modelo geométrico:

+ + = ⇒ + + =2 2 2

2 2 236 4 9 36 11 9 4x y zx y z

( )( )( )2 2 2 8V x y z V x= ⇒ yz=

x

y

z2y

2x

2z

( ), ,P x y z

− −+ + = ⇒ =

⇒ = − −

2 22 2 2

2 2

36 36 436 4 9 369

1 36 36 43

x yx y z z

z x y

2 218 8 36 36 43

V xyz V xy x y⎛ ⎞= ⇒ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠


35

2 28 36 36 43xyV x y∴ = − −

EJEMPLO. El material con que se construye la base de un contenedor que tiene la forma de un prisma rectangular

(paralelepípedo), tiene un costo de y el de sus

lados, de . El contenedor debe tener un volumen de . Expresar el costo total de los materiales con los que se construye el contenedor, en función únicamente de los lados de su base.

2$ 250 / m2$ 200 / m

3120 m

Solución Modelo geométrico:

Modelo matemático preliminar del costo del material:

xy

z

250 200 200C xy xz yz= + +

120120xyz zxy

= ⇒ =


36

120 120250 200 200

24000 24000250

C xy x yxy xy

C xyy x

= + +

∴ = + +

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL Definición. Sea ( , )z f x y= definida en un entorno o vecindad del punto ( )0 0,x y de su dominio y que no necesariamente contiene al punto ( )0 0,x y , por lo que podría ser un entorno

reducido. Se dice que el límite de ( ),f x y cuando ( , )x y tiende a es y se denota como: ( )0 0,x y " "L

( )( ) ( )0 0

0

, ,lim , o, bien, limx x x y x yy y

f x y L L→ →→

=0

si para todo número 0ε > y tan pequeño como se desee, existe otro número 0δ > tal que:

( ),f x y L ε− < para todo ( ) ( )0 0, ,x y x y≠ en un entorno reducido circular de radio δ , que se representa como:

( ) ( ) ( )0 0, , ,x y x y f x y Lδ ε− < ⇒ − < Una representación gráfica de este concepto es la siguiente:


37

))

TEOREMA (propiedades). Sean las funciones

y sea un entorno reducido del punto ( ) ( ) (1 2, , , ,..., ,nf x y f x y f x y( 0 0,x y contenido en sus dominios. Entonces se cumple que:

)i Si existe el límite ( ) ( )( )

0 01, ,

lim ,x y x y

f x y→ entonces éste es único.

)ii El límite de toda función constante con

constante es

( ),f x y C=

C = ( ) ( )( )

0 0, ,lim ,

x y x yf x y C

→=

)iii Si existen ( ) ( )( )

( ) ( )( )

0 0 0 01, , , ,

lim , , ... , lim ,nx y x y x y x yf x y f x y

→ → entonces se cumple que:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

0 0

0 0 0 0

1, ,

1, , , ,

lim , ,

lim , lim ,

nx y x y

nx y x y x y x y

f x y f x y

f x y f x y→

→ →

⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

= + +

)iv Si existen ( ) ( )( )

( ) ( )( )

0 0 0 01, , , ,

lim , , ... , lim ,nx y x y x y x yf x y f x y


z( ),z f x y=

L ε+

( )0 0,x y

( ),x y δ x

L

y ε−

( ),f x y L


38

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

0 0 0 0 0 01 1, , , , , ,

lim lim , lim ,n nx y x y x y x y x y x yf v f v f x y f x y

→ →⎡ ⎤ =⎣ ⎦ →

)v Si existen ( ) ( )

( )( ) ( )

( )0 0 0 0

1 2, , , ,lim , lim ,

x y x y x y x yf x y y f x y


( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

0 0

0 0

0 0

1, ,1

, ,2 2, ,

lim ,,lim

, limx y x y

x y x yx y x y

f x yf x yf x y f x y

→

→→

=,

siempre que el límite del denominador no sea cero.

)vi Si ( ) ( )1 2f v f v≥ y existen los límites

( ) ( )( )

( ) ( )( )

0 0 0 01 2, , , ,

lim , lim ,x y x y x y x y

f x y y f x y→ →

entonces se cumple que

( ) ( )( )

( ) ( )( )

0 0 0 01 2, , , ,


f x y f x y→ →

≥

)vii Si ( ) ( ) ( )1 2 3f v f v f v≤ ≤ y los límites de existen y

son iguales a un determinado valor , es decir, 1f y f3" "a

( ) ( )( )

( ) ( )( )

0 0 0 01, , , ,


f x y a f x y→ →

= = 3 entonces se

cumple que: ( ) ( )( )

0 02, ,

lim ,x y x y

f x y a→

= LÍMITES REITERADOS EJEMPLO. Calcular el límite de la función 2 3z x y= + cuando

utilizando los límites reiterados: ( ) (,x y → )1,1 Solución Los límites reiterados son:


39

)

( ) ( )1 1 1

lim lim 2 3 lim 2 2 3 5y x y

x y y→ → →⎡ ⎤+ = + = + =⎣ ⎦

( ) ( )1 1 1

lim lim 2 3 lim 2 3 2 3 5x y x

x y x→ → →

⎡ ⎤+ = + = + =⎢ ⎥⎣ ⎦ Se puede garantizar que el límite de esta función, cuando la variable tiende al punto ( ,x y ( )1,1 es igual a . " 2" TEOREMA. La condición necesaria para la existencia del límite de una función en un punto del interior de su dominio está dada por la igualdad de sus límites reiterados:

( ,z f x y= )

⎤⎥⎦

( ) ( )0 0 0 0

lim lim , lim lim ,y y x x x x y y

f x y f x y→ → → →

⎡ ⎤ ⎡=⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ En los puntos frontera del dominio de la función esta condición no es necesaria ni suficiente.

y( ),f x yD

( )0 0,x y

x

Sólo se puede demostrar la existencia del límite a partir de la definición, proceso que por lo general se complica.


40 TEOREMA. Si dos curvas diferentes producen dos diferentes valores del límite, siempre y cuando dichos límites existan, entonces el límite de la función en el punto en estudio no existe. EJEMPLO. Elegir tres trayectorias para verificar que el siguiente límite de la función dada no existe:

2 2

2 200

2 5limxy

x yx y→

→

−+

Ahora se estudiará la continuidad que, como se sabe, tiene que ver directamente con la existencia del límite. CONTINUIDAD DEFINICIÓN. Una función escalar de variable vectorial ( ),f x y

es continua en un punto ( )0 0,x y de su dominio, si se cumple:

)i Que la función ( )0 0,f x y exista.

)ii Que el límite ( ) ( )( )

0 0, ,lim ,

x y x yf x y

→ exista.

)iii Que ( )( ) ( )

( )0 0

0 0 , ,, lim ,

x y x yf x y f x y

→=


41 TEOREMAS DE CONTINUIDAD TEOREMA. Si dos funciones escalares de variable vectorial son continuas en un punto de la intersección de sus dominios, entonces su suma, diferencia, producto y cociente (sin el denominador nulo) son funciones continuas en dicho punto. TEOREMA. Las funciones polinomiales son continuas para todo valor real de sus variables independientes. TEOREMA. Las funciones algebraicas y trascendentes son continuas en sus respectivos dominios. Como la continuidad implica necesariamente la existencia del límite, se pueden aprovechar los teoremas anteriores para verificar la existencia de los límites de muchas funciones. EJEMPLO. Calcular el valor del siguiente límite:

( )2 2

12

lim 5 6xy

x xy y→→−

− +

EJEMPLO. Calcular el valor del límite

12

lim 3xy

x y→−→

− −


42 EJEMPLO. Calcular el valor del siguiente límite

( ) ( )2 2

, 2,1lim 400 16 25

x yx y

→− −

EJEMPLO. Calcular el valor del siguiente límite

3 3

3 221

8lim2x

y

x yx x y→

→

−−

EJEMPLO. Calcular el valor de


43

( )2 2

2 200

limxy

sen x yx y→

→

+

+

Solución Si se calculan los límites reiterados se tiene que:

( )2 2 2

2 2 20 0 0lim lim lim 1y x y

sen x y senyx y y→ → →

⎡ ⎤+⎢ ⎥ = =

+⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2 2 2

2 2 20 0 0lim lim lim 1x y x

sen x y senxx y x→ → →

⎡ ⎤+⎢ ⎥ = =

+⎢ ⎥⎣ ⎦

Como la función no está definida en ( )0,0 , no es continua en dicho punto por lo que no se puede garantizar que el límite exista. Habría que demostrar su existencia a partir de la definición. Si se aplican coordenadas polares, se transforma el problema en el cálculo de un límite con una sola variable, por lo cual su resolución se convierte en algo muy sencillo.

( )2 2 22 2

2 2 20 00

lim lim 1x ry

sen x y senrr x yx y r→ →

→

+= + ⇒ = =

+

Ahora se presentará un límite en un punto donde no tiene definición la función y en el cual no se cumple el teorema de la igualdad de los límites reiterados como condición necesaria para la existencia. La razón de que no se cumpla ese teorema es que el punto en cuestión no pertenece al dominio. EJEMPLO. Calcular el límite

( ) ( )

2

4 2, 0 ,0lim

x y

x yx y→ +

Solución


44 Al obtener el valor de los límites reiterados, se llega a:

( )

( )

2

4 2 20 0 0 0

2

4 2 40 0 0 0

0lim lim lim lim 0 0

0lim lim lim lim 0 0

y x y y

x y x x

x yx y y

x yx y x

→ → → →

→ → → →

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥+⎣ ⎦

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥+⎣ ⎦

Hasta aquí podría pensarse que el límite existe. Sin embargo, si

se escoge por ejemplo la trayectoria 2y x= , se tendrá:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 4

4 2 4, 0 ,0 , 0 ,0 , 0 ,0

1 1lim lim lim2 2x y x y x y

x y xx y x→ → →

= =+ 2

=

resultado que hace ver la no existencia del límite. Hay casos de puntos de la frontera del dominio de la función donde, a pesar de existir el límite, no se manifiesta la igualdad de los límites reiterados. Ahora se presentarán dos ejemplos de continuidad para una función escalar de variable vectorial. EJEMPLO. Investigar si la siguiente función es continua en el

punto ( )2,1 :

( ) ( ) (( ) (

2 22 si , 2,,

8 si ,x y x y

f x yx y

⎧ + ≠⎪= ⎨ =⎪⎩

))

12,1

Solución Se analizan las condiciones de continuidad en el punto ( )2,1 y se tiene:


45

( ) ( ) ( ) ( )2 21 1

) 2,1 8 ; ) lim , 6 ; 2,1 lim ,x xy y

i f ii f x y f f x y→ →→ →

= = ≠

por lo tanto la función no es continua en ( )2,1 . Se estudiará el caso en el que una función escalar no es continua a lo largo de una recta y no sólo en puntos aislados. EJEMPLO. Estudiar la continuidad de la función:

( ) 0,0 0

y si xf x y xsi x

⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

Solución Para el punto ( )0, ;b b∈ se tiene que:

( ) ( )0

) 0, 0 ; ) lim ,xy b

i f b ii f x y→→

= = ∃ ∴

0

la función no es

continua en ( ) . 0,b

Para el punto ( ), ;a b a ≠ se tiene que:

( ) ( ) ( )) , ; ) lim , ; ) , lim ,x a x ay b y b

b bi f a b ii f x y iii f a b f x ya a→ →

→ →

= = = ⎡ ⎤⎣ ⎦

( ),f x y∴ es continua en ( ), ;a b a 0≠ Por lo tanto no es continua a lo largo de la recta . 0x = CONCEPTO DE DERIVADA DIRECCIONAL Sean: - Una función escalar de variable vectorial con dominio

( ,z f x y= )" "D


46

- Un punto ( )0 0 0,P x y D∈

- Un vector unitario w en el plano xy y cuyo origen es 0PSe pretende determinar la rapidez de variación de (altura de la superficie) en el punto

" "z( )0 0 0, ,x y z y en la dirección del

vector w , es decir, la razón de cambio de la función en el punto y en la dirección ( ,z f x y= ) 0P w .

DEFINICIÓN. A la razón de cambio de la función escalar

( ),z f x y= , en el punto y en la dirección 0P w se le llama

derivada direccional de la función ( ),z f x y= en y en la

dirección 0P

w . La derivada direccional es la pendiente de la tangente a la curva en el punto " "C ( )0 0 0, ,x y z siempre que la dirección positiva a lo largo de es escogida en la dirección del vector

"C "w .

Definición a la derivada direccional en términos de límites:

C(

),z f x y=

0P

y

z

( )0 0 0, ,x y z

wx


47

y

Por la geometría analítica, las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene a los puntos son: P y Q

1 1cosx x s y y y s senα α= + = + por lo que todo punto de la recta tiene como coordenadas: Q

( )cos ,Q x s y s senα α+ + Si cosx s y y s senα α∆ = ∆ = , entonces se tiene que

y el incremento de la función es: ( ,Q x x y y+ ∆ + ∆ ) )( ,z f x y=

( ) ( )( )

, ,

cos , ,

z f x x y y f x y

z f x s y s sen f x yα α

∆ = + ∆ + ∆ −

⇒ ∆ = + + − ( )

Por otro lado, la distancia PQ está dada por:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 cosPQ x x y y x s x y s sen yα α= − + − = + − + + −

2

2 2 2 2cosPQ s s sen sα α= + =

Se construye el cociente z

PQ∆

, se calcula su límite cuando

0PQ → y se obtiene la variación de la función ( ),z f x y= en la dirección del vector w , que es la derivada direccional. DEFINICIÓN.

( ),P x y

( )1 1,Q x y

α

( )cos ,w senα α=

x


48

( ) ( )α α→

+ + −=

0

cos , ,lims

f x s y s sen f x ys derivada direccional

Notación: ( ) ( ) ( ), ; ; ; ' ; 'w wdzD f x y D z g s f sdw

( ) ( ) ( )0

cos , ,, limw s

f x s y s sen f x yD f x y

sα α

→

+ + −=

La función está en términos del parámetro , variable con respecto a la cual se deriva; para calcular la derivada direccional, bastará con sustituir las ecuaciones paramétricas en la regla de correspondencia

f s

( ),z f x y= para llegar a una

expresión de la forma ( )z G s= para la curva . Si se deriva esta expresión con respecto al argumento

Cs y se hace 0s = ,

se tendrá la derivada direccional, esto es:

( )' 0dz Gds

= EJEMPLO. Calcular la derivada direccional de la función

( ) 2 24, xyz f x y

x y= =

+

en el punto y en la dirección (2,1P )3 45 5

w i j∧ ∧

= + Solución Las variables se pueden expresar como: " " " "x y y

3 42 15 5

x s y y= + = + s Se sustituyen estos valores en la función y se tendrá a ésta en términos únicamente de la variable " "s . Así,


49

( ) 2 2

3 44 2 15 5

3 42 15 5

s sz g s

s s

⎛ ⎞⎛+ +⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝= =

⎛ ⎞ ⎛+ + +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠⎞⎟⎠

2 2

2 2

32 12 48 44 488 85 5 25 5 25

12 9 8 16 20 254 1 55 25 5 25 5 25

2

s s s s sz z

s s s s s

+ + + + += ⇒ =

+ + + + + + + s

2

2

44 4885 252055

s sz

s s

+ +⇒ =

+ +

Se deriva con respecto a y se tiene: " "s2 2

22

20 44 96 44 48 205 85 5 25 5 25 5

2055

s s s s s sdzds

s s

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛+ + + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝=

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 ⎞⎟⎠

Bastará con hacer cero la variable para obtener la derivada direccional

" "s

( ) ( ) ( )0

220 160605 52,1 2,1 2,1 0.48

25 125w w ws

dz D f D f D fds =

−= = ⇒ = ∴ =

¿Qué quiere decir este resultado? “La función, es decir, la altura de la superficie cambia unidades por cada unidad que se recorre en la dirección

0.48w .

DERIVADAS PARCIALES


50

( )

Es sencillo utilizar dos casos particulares conocidos como derivadas parciales con respecto a y con respecto a . " "x " "y Sea la derivada direccional dada por:

( ) ( )0

cos , ,, limw s

f x s y s sen f x yD f x y

sα α

→

+ + −=

DEFINICIÓN. Cuando 0α = , permanece constante y se tiene la derivada parcial con respecto a . Así,

" "y" "x

x

y

w

α

( ) ( )0

, ,0 lim

s

f x s y f x ydzdw s

α→

+ −= ⇒ =

Si s x= ∆ entonces ( ) ( )

0

, ,limx

f x x y f x yx∆ →

+ ∆ −=

∆ derivada parcial con respecto a " "x

DEFINICIÓN. Cuando 2πα = , permanece constante y se

tiene la derivada parcial con respecto a . Así,

" "x" "y

( ) ( )0

, ,lim

2 s

f x y s f x ydzdw s

πα→

+ −= ⇒ =

Si entonces s = ∆y

51

)( ) (0

, ,limx

f x y y f x yy∆ →

+ ∆ −=

∆ derivada parcial con respecto a " "y

Notación. ( ) ( ), ,x xz f f x y f x y f zx x x∂ ∂ ∂

= = = = =∂ ∂ ∂ x

( ) ( ), ,y yz f f x y f x y f zy y y∂ ∂ ∂

= = = = =∂ ∂ ∂ y

Interpretación geométrica “Derivada parcial de ( ),z f x y= con respecto a " "x

La derivada parcial con resptangente a la curva de intplano paralelo al plano . xz

“Derivada parcial de z

y

x

( ),z f x y=

PCurva de Intersección

( ),x y

z


ecto a es la pendiente de la

ersección entre la superficie y el " "x

( ),f x y= con respecto a " "y

1y y=


52

La derivada parcial de la función con respecto a es la pendiente de la tangente a la curva de intersección entre la superficie y el plano paralelo al plano .

" "y

yz Para calcular las derivadas parciales se mantiene constante una de las dos variables independientes y se deriva de manera ordinaria con respecto a la otra.

EJEMPLO. Sea la función 32xz

x y=

+ 2

). Calcular sus derivadas

parciales en el punto e interpretarlas geométricamente. (1,2

zCurva de ( ),z f x y=

intersección

y

( ),x y

1x x=

P

x


53

3

y

EJEMPLO. Sea la función . Calcular sus

derivadas parciales

3 2 23 2 5z x x y y= + +

xz y z en el punto ( )−1,2 .

EJEMPLO. Demostrar que se cumple que 2z zx yx y∂ ∂

+ =∂ ∂

para la función ( )2 2lnz x xy y= + +

EJEMPLO. Sea la función

xyz ye= . Demostrar que

x yxz yz z+ =


54

EJEMPLO. Obtener las derivadas de " "z con respecto a mediante la derivación implícita. " " " "x y y

2 2 22 3x z y z xyz 1+ = −

EJEMPLO. Sea la función 3 2 2 2cos tanx x y z u ang xyz u

y+ − = .

Calcular las derivadas parciales ,u u yx y

uz

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ .

EJEMPLO. La fórmula para un gas ideal está dada por PV kT= donde representa a la presión, V al volumen, a la P T


55

temperatura y es una constante de proporcionalidad. Demostrar que:

k

1V T PT P V

∂ ∂ ∂= −

∂ ∂ ∂ DERIVADAS PARCIALES DE ÓRDENES SUPERIORES Se pueden obtener derivadas de órdenes superiores que a su vez son funciones definidas en el mismo dominio de la función de la cual fueron obtenidas. Sea la función ( ),z f x y= . Si se

calculan las derivadas parciales f fyx y∂ ∂∂ ∂ que son

susceptibles de ser derivadas nuevamente. Las notaciones para las derivadas parciales de segundo orden, que son cuatro, son:

2 2

2 ;x xx x xf f f ff f f f

x x x x y x y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y= 2 2

2;y yx y yf f f ff f f f

x y x y x y y y y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠y=

Algunas de las derivadas parciales de tercer orden son: 3 2

3 2 xx xxxf f f f

x x x x⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠=


56

3 2

xy xyxf f f f

x y x x y x x⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠=

3 2

2 yy yyxf f f f

x y y x y x⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠=

EJEMPLO. Dada a la función

3 2

2x xy yz

x y+ +

=−

Obtener sus derivadas parciales de primero y segundo orden.

TEOREMA DE SCHWARZ. Sea ( ),z f x y= un campo escalar tal que sus derivadas parciales mixtas existen en una vecindad del

punto y son continuas en él. Entonces se cumple que: ( 0 0,x y )( ) ( )0 0 0 0, ,xy yxf x y f x y=


57

EJEMPLO. Sea la función ( ) 4, 4xf x y e sen y−= )i Verificar que se cumple el teorema de Schwarz para

( ) 2,x y ∈)ii Verificar que se satisface la ecuación de Laplace

2 2

2 2 0f fx y

⎛ ⎞∂ ∂+ =⎜ ∂ ∂⎝

⎟⎠ para cualquier punto de . 2

EJEMPLO. Comprobar que la primera función dada no satisface

la ecuación de Laplace, es decir, que 2 2

2 2 0w wx y

∂ ∂+ ≠

∂ ∂ y que

la segunda sí la satisface:

( ) ( )) , cos 2 cosh5 ; ) , cot yi f x y y x ii f x y angx

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠


58 INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA PARCIAL

Sea ( ),z f x y= . es la razón de cambio de en una dirección paralela al eje y la variable permanece

constante. De manera similar

( ,xf x y) f" "x y

( ),yf x y , con constante, es la razón de cambio de en una dirección paralela al eje .

xf " "y

EJEMPLO. La distribución de temperatura en un plato plano caliente, que en un sistema coordenado

" "Txy está dado

por la ecuación , es: 2 21 9x y≤ + ≤

( ) ( ) ( ) ( )2 2 0100, ln ; ; , ,ln 3

T T x y x y T C x y z cm⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠)i Verificar que si si

0T = 2 2 1 2x y y T+ = = 00

+ =2 2 9x y)ii Determinar la razón de cambio de en una dirección

paralela al eje en el punto

" "T" "x ( )1,0 y en el punto ( )0,1

)iii Determinar la razón de cambio de en una dirección

paralela al eje en el punto

" "T" "y ( )3,0 y en el punto ( )0,3 .

)i ( ) ( )2 2 01001 , ln 1ln 3

x y T T x y T C⎛ ⎞+ = ⇒ = = ∴ =⎜ ⎟

⎝ ⎠0


59

( ) ( )2 2 1009 ,ln 3

x y T T x y ⎛ ⎞+ = ⇒ = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ln 9

2 0100 100ln3 2ln3 200ln 3 ln 3

T C= = ∴ =

)ii

( ) ( )

( ) ( )

2 2

0

1,0 1,0

0

0,1 0,1

100 2ln 3

100 2 200 182.048 /ln 3 1 ln3

100 0 0 /ln 3 1

T xx x y

T T cmx x

T T cmx x

⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠⎧ ⎛ ⎞∂ ∂

= = ∴ ≈⎪ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎪⇒ ⎨⎛ ⎞∂ ∂⎪ = ∴ =⎜ ⎟⎪∂ ∂⎝ ⎠⎩

)iii

y 2 21 9x y≤ + ≤

x( )3,0

( )1,0

( )0,1( )0,3

60

( ) ( )

( ) ( )

2 2

0

3,0 3,0

0

0,3 0,3

100 2ln 3

100 0 0 /ln 3 9

100 6 200 60.683 /ln 3 9 3ln3

T yy x y

T T cmy y

T T cmy y

⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠⎧ ⎛ ⎞∂ ∂

= ∴ =⎪ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎪⇒ ⎨⎛ ⎞∂ ∂⎪ = = ∴ ≈⎜ ⎟⎪∂ ∂⎝ ⎠⎩

VECTOR NORMAL A UNA SUPERFICIE Se desea un vector normal a la superficie de ecuación

en el punto 3 22 4z x x y y= − + 2 ( )3,2,7 . Se obtienen dos vectores tangentes con las derivadas parciales y se realiza su producto vectorial (producto cruz).

( )( ) ( )( )

( )

22

3,2 3,2

3 4 3 3 4 3 2 3z zx xyx x∂ ∂

= − ⇒ = − ⇒ =∂ ∂

zx∂∂

13

( )1,0,3u =

( )( ) ( )

( )

22

3,2 3,2

2 8 2 3 8 2z zx yy y∂ ∂ ∂

= − + ⇒ = − + ⇒ = −∂ ∂ ∂

2zy

1

El vector normal a la superf


2( )0,1, 2v = −

icie en el punto ( )3,2,7 es:


61

( )( )

( ) ( ) ( )1,0,3

; 1 0 3 0 3 2 0 1 00,1, 2 0 1 2

i j ku

N u v i j kv

∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧⎧ =⎪ = × = = − − − − + −⎨= −⎪⎩ −

3 2N i j k∧ ∧ ∧

= − + + Por otro lado, si se considera la función ( ),F z f x y 0= − = y se

calculan sus derivadas parciales , ,F F Fx y z∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ y se evalúan en el

punto considerado, se tiene: 3 2 2 3 22 4 ; 2 4z x x y y F z x x y y= − + = − + − 2

( )( ) ( )( )

( )

22

3,2,7 3,2,7

3 4 ; 3 3 4 3 2F Fx xyx x∂ ∂

= − + = − + ∴ = −∂ ∂

3Fx∂∂

( )( ) ( )

( )

22

3,2,7 3,2,7

2 8 ; 2 3 8 2F Fx yy y∂ ∂

= − = − ∴ =∂ ∂

2Fy∂∂

( )3,2,7

1 ;F Fz z∂ ∂

= =∂ ∂

1

DEFINICIÓN. Se denota “vector nabla” aL vector operador:

i jx y z

∧ ∧∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂k∧

o bien i jx y

∧ ∧∂ ∂∇ = +

∂ ∂

- Para ( ), , 0F F x y z= = y un punto , " "P

P PP

F F Fw i jx y z

∧ ∧∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

k∧

) es un vector normal a la superficie

( ,z f x y= en el punto . " "P


62

- Para ( ),z f x y= y un punto , " "PP P

z zv ix y

j∧ ∧∂ ∂

= +∂ ∂ es un

vector perpendicular a la curva de nivel de ( ),z f x y= , contenido en el plano paralelo al plano que está ubicado en la cota del punto .

xy

" "P EJEMPLO. Obtener un vector ortogonal a la parábola de

ecuación 24y x= − en el punto ( )1,3P . Graficar.

Solución

( ) 2, 4f x y y x 0= + − = 2 4z y x= + −

2z zz i j z x ix y

∧ ∧ ∧∂ ∂∇ = + ⇒ ∇ = +

∂ ∂j∧

; ( )1,32z i j

∧ ∧

∇ = +

x

y

EJEMPLO. Obtener un vector normal a la superficie

en el punto 24z x= − − 2y ( )1,1,2P .

( )1,32z i

∧ ∧

j∇ = + 424y x= −

( )1,3P

( )1,3z−∇

22−


63

( )1,32 2z i j k

∧ ∧ ∧

∇ = + +

z2 24z x= − − y ( )1,1,2P 4

Se utilizará este mismo paraboloide para ilustrar lo expresado sobre la aplicación del vector nabla a las funciones

( ) ( )2 2 2 2, , 4 0 , 4f x y z x y z y g x y x y= + + − = = + −

( )( )

( )( )

0,1,3

0,1,3

2 2 0,2,

2 2 0,2,0

f x i y j k f

g x i y j g

∧ ∧ ∧

∧ ∧

∇ = + + ⇒ ∇ =

∇ = + ⇒ ∇ =

1

Como se puede apreciar un vector es normal a la superficie y el otro es normal a la curva de nivel de la superficie. PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE

x

( )( )

0,1,30,2,0z∇ =

4P

2 24z x y= − −

y

( )( )

0,1,30,2,1f∇ =

z

( )1,3z−∇

y

x


64

P 0r r−

zn

El vector n, normal a la superficie, equivale a P

F∇ y el vector

0r r− , definido por los vectores de posición de los puntos , pertenece al plano por lo que es perpendicular al

vector normal

P y Qn. Luego, el hecho de que el producto escalar

de 0n y r r− sea cero, es la condición de perpendicularidad y define la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P . Así,

( )0 0n r r⋅ − =

P PP

F F Fn i jx y z

k∧ ∧ ∧∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

( ) ( ) (0 0 0

0 0 0 0

r x i y j z k )0r r x x i y y j z zr x i y j z k

∧ ∧ ∧

k∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧

⎧ = + +⎪ ⇒ − = − + − + −⎨⎪ = + +⎩

r

0r

( ),z f x y=

x

Plano tangente

Q

y

( ) ( )0 0 0, , ; , ,P x y z Q x y z


65

( ) ( ) ( )0 0 0 0P PP

F F Fi j k x x i y y j z z kx y z

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤+ + ⋅ − + − + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) ( ) ( )0 0 0P PP

F F Fx x y y z zx y z

∂ ∂ ∂− + − + − =

∂ ∂ ∂ 0

EJEMPLO. Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación

2 2 2 9 ; 0x y z z+ + = ≥ en el punto ( )1,2,2P . Graficar de manera aproximada la superficie y el

plano tangente en el punto . P RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE


66

z Recta normal n( ),z f x y=

0r r−

R

r

P

0r y

x ( ) ( )0 0 0, , ; , ,P x y z R x y z El vector N es coolineal con el vector 0r r− . El producto vectorial de 0N y r r− es cero, condición de paralelismo y determina las ecuaciones de la recta normal.

( ) ( )0 0 0P

r r N r r F− × = − ×∇ =

( )0 0 00

P PP

i j k

0r r N x x y y z zF F Fx y z

∧ ∧ ∧

− × = ⇒ − − −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂


67

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

0 0 0

P P

P P

PP

F Fi y y z zz y

F Fj x x z zz x

F Fk x x y yy x

∧

∧

∧

⎡ ⎤∂ ∂− − −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂= − − − −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂+ − − − =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

0 0

P PP

x x y y z zF FFx zy

− − −= =

∂ ∂∂∂ ∂∂

0

EJEMPLO. Determinar las ecuaciones de la recta normal a la

superficie de ecuación en el punto 2xz e seny= 0, ,1

2P π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ .

EJEMPLO. Sean las superficies ( ) ( )2 2 2 2, , 8 0 , , 2 0F x y z x y z y G x y z x y z= + − − = = − + + =

)i Obtener la ecuación cartesiana del plano tangente y las ecuaciones paramétricas de la recta normal a la superficie

en el punto ( ), , 0G x y z = ( )2, 2,0− .


68

)ii Si las dos superficies se cortan en una curva, determinar las ecuaciones simétricas de la recta tangente a dicha curva de intersección en el punto ( )2, 2,0− . Solución )i 2 2 2 0G x y z= − + + =

1 1

2 4

2 0

P

G

P

P

G Gx x

G Gy ny yG Gzz z

∧ ∧

⎧ ∂ ∂= ⇒ =⎪ ∂ ∂⎪

⎪∂ ∂⎪ = − ⇒ = ⇒ = +⎨ ∂ ∂⎪⎪ ∂ ∂⎪ = ⇒ =

∂ ∂⎪⎩

4i j

( ) ( ) ( )0 2 2r r x i y j z k∧ ∧ ∧

− = − + + +

( ) ( ) ( ) ( )0 1,4,0 2 , 2 , 0 6 0Gn r r x y z x y⎡ ⎤⋅ − = ⋅ − + = ∴ + + =⎣ ⎦ que es la ecuación del plano tangente.

( ) ( ) ( )0 2 2 4 4 2 21 4 0

G

i j kr r n x y z z i z j x y k

∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧

⎡ ⎤− × = − + = − + + − − + =⎣ ⎦ 0

22 2 ; 0 4

| 40

x tx y z y

z2t

= +⎧− + ⎪⇒ = = ∴ =⎨

⎪ =⎩

−

que son las ecuaciones paramétricas de la recta normal a la superficie en el punto dado. G LA DIFERENCIAL TOTAL. FUNCIONES DIFERENCIABLES


69

Sea la función escalar de variable vectorial 2 2z x y xy= −

Su incremento se puede expresar como: ( ) ( ), ,z f x x y y f x y∆ = + ∆ + ∆ −

de donde

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2z x x y y x x y y x y xy⎡ ⎤∆ = + ∆ + ∆ − + ∆ + ∆ − −⎣ ⎦ 2 22 2

2 22 2

2 2

2 2

z x y x y xy x x x y y x x y2 2xy xy y x y y x y x y x y x y xy

∆ = + ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆ ∆

− − ∆ − ∆ − ∆ − ∆ ∆ − ∆ ∆ − +2 22

2 22

2 2

2 2

z x y xy x x x y y x x y

xy y x y y x y x y x y

∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ + ∆ + ∆ ∆

− ∆ − ∆ − ∆ − ∆ ∆ − ∆ ∆

Se agrupan ahora los términos en torno a los incrementos:

( ) ( )( ) (

2 22 2

2 2

z xy y x x xy y

x y y x x y x x y y x x y y

∆ = − ∆ + − ∆ +

+ ∆ + ∆ + ∆ ∆ ∆ + − ∆ − ∆ − ∆ ∆ ∆)

Esta expresión se puede escribir de manera compacta como:

( ) ( )2 21 22 2z xy y x x xy y xη η∆ = − ∆ + − ∆ + ∆ + ∆y

( )10 00 0

lim lim 2 0x xy y

x y y x x yη∆ → ∆ →∆ → ∆ →

= ∆ + ∆ + ∆ ∆ =

( )20 00 0

lim lim 2 0x xy y

x y y x x yη∆ → ∆ →∆ → ∆ →

= − ∆ − ∆ − ∆ ∆ =

Los dos primeros coeficientes de x y y∆ ∆ son las derivadas parciales de la función. Luego,

1 2z zz x y xx y

η η∂ ∂∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂y


70

DEFINICIÓN. Una función ( ),z f x y= para la cual existen sus

derivadas parciales ( ) ( )0 0 0 0,x yf x y y f x y, se dice que es

diferenciable en un punto ( )0 0,x y si su incremento puede escribirse como:

( ) ( )0 0 0 0 1 2, ,x yz f x y x f x y y x yη η∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ donde 1 y 2η η se aproximan a cero cuando tienden a cero.

x y y∆ ∆

Generalización. Si el incremento de una función puede escribirse como:

1 1

n n

i i ii i

f A x η= =

∆ = ∆ + ∆∑ ∑ ix

donde las no dependen de los incrementos de los argumentos, mientras que las

iA

iη dependen de ellos de tal forma que 0iη → cuando 0ix∆ → , entonces la función es diferenciable. EJEMPLO. Verificar que la siguiente función es diferenciable:

( ) 3 2, 2 3z f x y x y xy x y= = − +


71

)

Al ser la diferenciable, con su incremento como ( ,z f x y=

1 2z zz x y xx y

η η∂ ∂∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂y , se ve que los dos primeros

sumandos son lineales en x y y∆ ∆ , por lo que al aproximarse a cero los incrementos, estos términos son mucho más grandes que los otros dos que involucran productos entre los incrementos. Se puede decir entonces que:

z zz x yx y∂ ∂

∆ ≈ ∆ + ∆∂ ∂

que es la diferencial de la función escalar de variable vectorial. DEFINICIÓN. Sea la función ( ),z f x y= . Su diferencial se denota con y se le conoce como “diferencial total”. " dz "

z zdz x yx y∂ ∂

= ∆ + ∆∂ ∂

Diferenciales parciales. Aquí se puede introducir el concepto

de diferenciales parciales de la función escalar de ( ),z f x y= :

x yz zd z x y d z yx y∂ ∂

= ∆ = ∆∂ ∂

Para cada una de ellas se analiza la diferencial parcial de la respectiva función identidad y se tiene que:


72

==

; ;x xz x d z x d z dx x dx= = ∆ = ∴ ∆ ; ;y yz y d z y d z dy y dy= = ∆ = ∴ ∆

por lo que la diferencial total de la función ( ),z f x y= se expresa también como:

z zdz dx dyx y∂ ∂

= +∂ ∂

Si se generaliza este concepto se tendrá que:

1 1

n n

i ii ii i

f fdf x dxx x= =

∂ ∂= ∆ =

∂ ∂∑ ∑

INCREMENTO TOTAL E INCREMENTOS PARCIALES

El incremento de una función " "z y la suma de los incrementos parciales con respecto a todos sus argumentos son valores diferentes. Para ilustrar esto, considérese la función z xy=

Los incrementos parciales son x yz y z∆ ∆ , y el incremento

total se diferencia de la suma x z y z∆ + ∆ en la magnitud x y∆ ∆ . Para el cálculo aproximado del incremento se utiliza:

x∆

x∆

y∆ y∆

y

x


73

z zz dx dx y∂ ∂

∆ ≈ +∂ ∂

y

que equivale a la diferencial total de dicha función. ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO

AE f= ∆ − df

100AR

EEf

= ×∆

También se acostumbra definir al error relativo con la expresión:

100Rd fEf

= ×

EJEMPLO. Dada la siguiente función, calcular su diferencial total:

( )2 2

2 2

sen x yz

x y+

=+

EJEMPLO. Calcular los valores exacto y aproximado del volumen del material necesario para fabricar un vaso cilíndrico cuyo radio interior es de , cuya altura interior es de

y si el espesor del fondo y de las paredes es de 8 cm

12 cm


74

0.07 cm . Calcular también los errores absoluto y relativo que se producen al utilizar a la diferencial en lugar del incremento exacto.

EJEMPLO. Calcular el valor aproximado de mediante la diferencial total.

2.033.02

EJEMPLO. Calcular el valor aproximado de 0 031 cos58sen


75 EJEMPLO. La aceleración de la gravedad se determina, en

el movimiento de caída libre, por medio de la fórmula

" "g21

2S g= t .

Determinar el error relativo al calcular si al medir " "g" " " "s y t se han cometido pequeños errores. Solución Se despeja y se tiene: " "g

22

1 22

SS gt gt

= ⇒ = Se determina la diferencial total y,

2 22 2;S g gg dg dS dt dg dSt S t t

∂ ∂= = + ⇒ = −

∂ ∂ 34S dtt

Para determinar el error relativo al calcular " , se utiliza la expresión

"g

2 3

2

2 41 2

2R R R

SdS dtdg t tE E E dSSg St

−= ⇒ = ∴ = − dt

t

EJEMPLO. El calor dado por un calentador eléctrico está

determinado por la fórmula 2k VH

R= donde V es el

voltaje, la resistencia y una constante. En un cierto instante, . Si el voltaje decrece a

R k110 10V volts y R ohms= =


76

)

104 volts , ¿cuánto decrece aproximadamente la resistencia para que se mantenga el mismo calor? DIFERENCIALES TOTALES SUCESIVAS DE ÓRDENES SUPERIORES Sea la función . Como se vio anteriormente, su diferencial total está dada por la expresión

( ,z f x y=


= +∂ ∂

( ) ( ) ( )2d dz d z dz dx dz dyx y∂ ∂

= = +∂ ∂

2 2 2 22

2 2z z z zd z dx dy dx dx dy dy

x x y y x y⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂

⇒ = + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

( ) ( )2 2 2

2 222 22z z zd z dx dxdy dy

x x y y∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3

3 2 233 2 23 3z z z zd z dx dx dy dx dy dy

x y x x y y∂ ∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

33

EJEMPLO. Calcular las tres primeras diferenciales totales sucesivas para la función escalar de variable vectorial

2 23 2z x y xy= −


77 DERIVACIÓN EXPLÍCITA. DERIVADA TOTAL TEOREMA. Sea la función ( ),z f x y= , donde sus variables independientes son funciones de otras dos variables, esto es,

( ) ( ), ,x g s t y y h s t= = . Si las derivadas parciales z zyx∂ ∂∂ y∂ son continuas, entonces se cumple que:

z z x z y z z x z yys x s y s t x t y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂t

TEOREMA. La forma de la diferencial se preserva, es decir, si

( )1 2, , . . . , nF f x x x= en donde

( ) ( )( )

1 1 1 2 2 2 1 2

1 2

, ,..., ; , ,..., ;

; , ,...,n n

n n n

x f u u u x f u u u

x f u u u

= =

=

la diferencial de está dada por: " "F

1 21 2

nn

F F FdF dx dx dxx x x∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂ ∂


78

no importando que las variables dejan de ser independientes, al estar en términos, a su vez, de las variables

.

1 2, ,..., nx x x

1 2, ,..., nu u u ALGUNOS CASOS DE LA DERIVACIÓN EXPLÍCITA

CASO 1. Sea . Su derivada es ( )y f x= ( )'dy f xdx

= y su

diferencial es ( )'dy f x dx=

EJEMPLO. Sea 21ln

1senxysenx

−⎛ ⎞= ⎜ +⎝⎟⎠ . Calcular

dydx y . dy

CASO 2. Sea ( , )z f x y= . Entonces sus derivadas parciales son z zyx y∂ ∂∂ ∂ y su diferencial total es


= +∂ ∂

EJEMPLO. Sea 1 1tan cotz ang angx

= −y . Calcular sus derivadas

parciales z zyx∂ ∂∂ y∂ , así como su diferencial total dz


79

)

CASO 3. Sea . Entonces sus derivadas parciales son ( , ,z f x y u=

,z z yx y∂ ∂∂ ∂

zu∂∂ y su diferencial total es

z z zdz dx dy dux y u∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

EJEMPLO. Sea . Calcular sus derivadas

parciales

2 2z x yu xy u xyu= + + 2

,z z yx y∂ ∂∂ ∂

zu∂∂ y su diferencial total . dz

CASO 4. Sea ( ) ( ) ( ), dondez f x y x f t y y g t= = = . Para calcular la derivada de con respecto a t , se trata de una sola variable independiente, entonces es derivada ordinaria, se denomina “derivada total” y está definida por:

z


80

d z z d x z d yd t x d t y d t

∂ ∂= +

∂ ∂

y la diferencial total es z zdz dx dyx y∂ ∂

= +∂ ∂ .

EJEMPLO. Sea donde 29 4z x y= − 2 3 25 1x t y y t= + = + .

Calcular la derivada total dzdt y la diferencial total . dz

CASO 5. Sea ( , , )z f x y u= donde se definen como , ,x y u( ) ( ) ( ); ;x f t y g t u h t= = = . La derivada es:

dz z dx z dy z dudt x dt y dt u dt

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

y la diferencial total es: z z zdz dx dy dux y u∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

EJEMPLO. Sea x y uzy u x

= + + donde se tiene que

. Calcular ln ; cos ;x t y t u sen= = = tdzdt y . dz


81 CASO 6. Sea donde ( )z f x= ( ),x g s t= . Entonces, las derivadas

parciales z zys t∂ ∂∂ ∂ se obtienen con:

z dz x z dzy xs dx s t dx t

∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂ Y la diferencial es:

dzdz dxdx

=

EJEMPLO. Si 2 1 lnz x x y x s t s= − + = + t , calcular las

derivadas parciales z zys∂ ∂∂ t∂ , así como la diferencial . dz


82 CASO 7. Sea ( ),z f x y= donde ( ) ( ), ; ,x g u v y h u v= = .

Entonces, las derivadas parciales z zyu v∂ ∂∂ ∂ se calculan

como: z z x z y z z x zyu x u y u v x v y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

yv

2

EJEMPLO. Sea 2z x y= − donde ; ux uv y

v= = . Calcular

z zyu∂ ∂∂ v∂ , y la diferencial total de z .


83 CASO 8. Sea ( ), ,z f x y u= donde

( ) ( ) ( ), ; , ; ,x g r s y h r s u k r s= = = . Entonces las derivadas

parciales z zyr s∂ ∂∂ ∂ se obtienen a partir de:

z z x z y z u z z x z y zyr x r y r u r s x s y s u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂us

EJEMPLO. Sea z x y u= + + con ; ;x r s y r s u rs= + = − =

Calcular z zyr s∂ ∂∂ ∂ dz

)

y . CASO 9. Sea donde ( , ,u f x y z= ( ),z g x y= . Entonces, para

calcular las derivadas parciales ,u u yx y

uz

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ se hace lo

siguiente:


84

u u x u y ux x x y x z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂zx ; pero 1 0x yy

x x∂ ∂

= =∂ ∂ ,

entonces: u u ux x z

∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂zx

u u x u y uy x y y y z∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

zy ; pero 0 1x yy

y y∂ ∂

= =∂ ∂ ,

entonces: u u uy y z

∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂zy

u u x u y uz x z y z z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂zz ; pero 0 ; 0 ;x y

z z∂ ∂ ∂ 1z

z= = =

∂ ∂ ∂ ,

entonces: u uz z

∂ ∂=

∂ ∂

EJEMPLO. Sea donde 2 2u x y z= + + 2 22z x y= − . Calcular

,u u yx y∂ ∂∂ ∂

uz

∂∂ .

Solución Se aplican las expresiones antes obtenidas y se tiene:

( )2 2 2

2 4

u u u z u x z xx x z x x

u x x zx

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + ⇒ = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

⇒ = +∂

( )2 2 32 4 2 4 4u ux x x y x x xyx x∂ ∂

= + − ∴ = + −∂ ∂

2


85

( )2 2 2 2 4u u u z u uy z y y yy y z y y y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + ⇒ = + − ⇒ = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂z

( )2 2 2 32 4 2 4 4u uy y x y y x y yy y∂ ∂

= − − ∴ = − +∂ ∂

2u u u zz z z

∂ ∂ ∂= ∴ =

∂ ∂ ∂ APLICACIONES DE LA DERIVADA TOTAL Se puede interpretar a las derivadas como razones de

variación de variables relacionadas. Esto es, que si ( ),z f x y=

en donde ( ) ( )x g r y y h r= = , su derivada total dz z dx z dydr x dr y dr

∂ ∂= +∂ ∂

se interpreta como la razón en la que varía con respecto z r y esta razón depende a su vez de la variación de con respecto al mismo argumento

x y yr .

Las aplicaciones más comunes se relacionan con la variable “tiempo” y es cuando se habla de “rapidez” de variación porque se mide la razón de cambio con respecto al tiempo. EJEMPLO. Dos aviones pasan al mismo tiempo encima de una ciudad, uno en dirección norte y otro en dirección noreste, con

velocidades constantes de 900 1200km kmyh h

respectivamente. ¿Con qué velocidad aumentará la distancia entre estas aeronaves en el instante en que han pasado desde la salida?

2 h


86 EJEMPLO. Por efectos de temperatura y presión producidos en un laboratorio, el radio de un cono circular recto metálico

aumenta con una rapidez de 4.5 cms y su altura disminuye con

una rapidez de 6.5 cms . ¿A qué velocidad cambia su volumen

en el instante en que el radio es de 150 y la altura de ?

cm170 cm


87 EJEMPLO. La presión , el volumen y la temperatura absoluta de un gas perfecto en un sistema cerrado, están relacionados por la ecuación

P VT

PV kT= , donde es una

constante. En un cierto instante es de

k

P 225 kgcm , de y

de . El gas se comprime de tal forma que la

temperatura decrece

V 340 cm

T 0280 K0

8min

K y la presión aumenta a razón de

24.5

min

kgcm . ¿Cuál es la razón de cambio del volumen en ese

instante?


88 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Sean ecuaciones con cuatro incógnitas, como sigue:

( ) ( ), , , 0 , , , 0F x y u v y G x y u v= =

Se desea calcular las derivadas , , ,x x y yu v u v∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

Supóngase que x y y son funciones de u y v( ) ( ), ; ,x f u v y g u v= =

luego:


89

( ) ( )( ), , , , , 0F f u v g u v u v = ( ) ( )( ), , , , , 0G f u v g u v u v =

Se toman diferenciales en ambos miembros y:

0F F F Fdx dy du dvx y u v

∂ ∂ ∂ ∂+ + +

∂ ∂ ∂ ∂=

0G G G Gdx dy du dvx y u v

∂ ∂ ∂ ∂+ + +

∂ ∂ ∂ ∂=

Las derivadas parciales se evalúan en un punto, luego se tratan como constantes y son los coeficientes de dos ecuaciones con cuatro incógnitas . Como dependen de , el sistema se puede expresar como:

, , ,dx dy du dv x y yu y v

F F F Fdx dy du dvx y u v

∂ ∂ ∂ ∂+ = − −

∂ ∂ ∂ ∂

G G G Gdx dy du dvx y u v

∂ ∂ ∂ ∂+ = − −

∂ ∂ ∂ ∂

Se resuelve por Cramer y: ∂ ∂∂ ∂

∆ = ∆ ≠∂ ∂∂ ∂

; 0

F Fx yG Gx y

Se resuelve para y se tiene: " dx "

dx dx

F F F F F F Fdu dvu v y u y v y

du dvG G G G G G Gdu dvu v y u y v y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∆ = ⇒ ∆ = − −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

por lo que:


90

F F F Fu y v yG G G Gu y v ydx du dvF F F Fx y x yG G G Gx y x y

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= − −∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

Como ( ),x f u v= , su diferencial total es x xdx du dvu v∂ ∂

= +∂ ∂

Por analogía de esta expresión con la antes obtenida: F F F Fu y v yG G G Gu y v yx xyF F F Fu vx y xG G G G

y

x y x

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

= − = −∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂y

Los determinantes están formados con derivadas parciales de funciones con respecto a variables de las cuales dependen, se llaman “determinantes jacobianos” y se denotan como:

,,

F Fx yF GJ

x y G Gx y

∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂


91

Se lee como “jacobiano de con respecto a “. Si se utiliza esta notación se tiene que:

,F G ,x y

, ,, ,, ,, ,

F G F GJ Ju y v yx xy

u vF G F GJ Jx y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − = −

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y del mismo modo: , ,, ,, ,, ,

F G F GJ Jy yx u x vyu vF G F GJ J

x y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − = −

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

NOTA. Es importante ver cómo se formaron estos determinantes jacobianos. Se verán algunos casos de derivación implícita. CASO 1. Una ecuación con dos incógnitas: Sea la ecuación donde ( ),F x y = 0 ( )y f x= y se desea calcular dydx . Se determina en ambos miembros la diferencial de

( ),F x y = 0 y se llega a: 0F Fdx dyx y

∂ ∂+ =

∂ ∂

de donde se despeja la derivada requerida y se obtiene: F

dy xFdxy

∂∂= −∂∂


92

EJEMPLO. Sea . Calcular ln 2 0senxe y xy− + =dydx .

CASO 2. Una ecuación con tres incógnitas. Sea la y sea ( ), , 0F x y z = ( ),z f x y= . Se desea calcular el valor

de z zyx y∂ ∂∂ ∂ .

Se obtienen diferenciales en ambos miembros y,

0F F Fdx dy dzx y z∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

Como es dependiente de , se puede escribir " "z " " " "x yFF

F F F yxdz dx dy dz dx dyF Fz x yz z

∂∂∂ ∂ ∂ ∂∂= − − ⇒ = − −

∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂

y como ( ), z zz f x y dz dx dyx y∂ ∂

= ⇒ = +∂ ∂

Luego, por analogía


93

FFz z yx yF Fx y

z z

∂∂∂ ∂ ∂∂= − = −

∂ ∂∂ ∂∂ ∂

y del mismo modo, al cambiar la variable dependiente, se podrían obtener las siguientes expresiones:

( ), x xx f y z dx dy dzy z∂ ∂

= ⇒ = +∂ ∂

luego F F

x xy zyF Fy zx x

∂ ∂∂ ∂∂ ∂= − = −

∂ ∂∂ ∂∂ ∂

( ), y yy f x z dy dx dzx z

∂ ∂= ⇒ = +

∂ ∂ luego

F Fy yx zyF Fx z

y y

∂ ∂∂ ∂∂ ∂= − = −

∂ ∂∂ ∂∂ ∂

EJEMPLO. Sea la ecuación 3 3 3 4 0x yz xy z xyz+ + − = ,

calcular y yyx z∂ ∂∂ ∂


94 CASO 3. Dos ecuaciones con tres incógnitas. Sean las ecuaciones ( ) ( ), , 0 , , 0F x y z y G x y z= = ; se pretende calcular las derivadas: , , , , ,dy dz dx dy dx dz

dx dx dz dz dy dy

Se tiene una sola variable independiente ya que son dos ecuaciones con tres incógnitas. Se procede como se ha hecho anteriormente para construir los determinantes jacobianos:

( ) ( ),,,,

, ,, ,

F GF G JJy xdy dzx zy f x y z g x y

dx dxF G F GJ Jy z y z

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = ⇒ = − = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ), ,, ,, ,, ,

F G F GJ Jz ydx dy x zx f z y y g z y

dz dzF G F GJ Jx y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = ⇒ = − = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )

, ,, ,, ,, ,

F G F GJ Jy z x ydx dzx f y y z g y yF G F Gdy dyJ Jx z x z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = ⇒ = − = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

EJEMPLO. Sean . 2 2 2 2 2 21 0 1 0x y z y x y y z xz− = + + − =

Calcular dx dyydz dz


95


96 CASO 4. Tres ecuaciones con cinco incógnitas: ( ) ( ) ( ), , , , 0 ; , , , , 0 ; , , , , 0F x y z u v G x y z u v H x y z u v= = =

y se desea determinar el valor de las derivadas

, , , , ,x x y y zu v u v u v∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

z

Hay dos variables libres o independientes . " " " "u y vSe construyen los correspondientes determinantes jacobianos.

( ), , , ,, , , ,,, , , ,, , , ,

F G H F G HJ Ju y z v y zx xx f u v y

u vF G H F G HJ Jx y z x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⇒ = − = −

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ), , , ,, , , ,,, , , ,, , , ,

F G H F G HJ Jy yx u z x v zy g u v yu vF G H F G HJ J

x y z x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⇒ = − = −

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ), , , ,, , , ,,, , , ,, , , ,

F G H F G HJ Jx y u x y vz zz h u v y

u vF G H F G HJ Jx y z x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⇒ = − = −

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

EJEMPLO. Sean

2 22 3 0 ; 3 2 0 ; 2 2 0x y z u v x y z u v x y z u v+ + − − = + + + + = + + − + =2

Calcular , ,x y zu v u∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂


97


98 DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE Ya se definió la derivada direccional mediante el límite:

( ) ( )0

cos , ,lims

f x s y s sen f x ydzdw s

α α→

+ + −=

y se analizaron dos casos particulares: z zyx y∂ ∂∂ ∂ .

Se verá otra forma de cálculo para la derivada direccional: TEOREMA. Sea la función diferenciable ( ),f x y y considérese la

dirección ( )θ θ= cos ,w sen . Entonces la derivada direccional de

en la dirección f w está dada por:

coswf fD f senx y

θ θ∂ ∂= +∂ ∂

Prueba Por lo visto cuando se definió la derivada direccional, se puede expresar que en donde ( ) ( ),G s f u v=

cos ;u x s v y s senθ θ= + = + luego,

( ) ( )cos ,G s f x s y s senθ θ= + + y por la definición a partir del límite,

( ) ( ) ( )0

0' 0 lim

0 ws

G s GG D

s→

−= = f

−


99 Por la derivada total

( )' cdG G du G dv G GG s sends u ds v ds u v

osα α∂ ∂ ∂ ∂= = + = +

∂ ∂ ∂ ∂ donde

cos cosduu x sdsdvv y s sen sends

θ θ

θ θ

= + ⇒ =

= + ⇒ =

( ) ( )0 ,s f u v f= ⇒ = ,x y por lo tanto

( ) ( )' 0 , coswf fG D f x y sex y

nθ θ∂ ∂= = +

∂ ∂

EJEMPLO. Sea la función ( ) 3 3, 2 10 2f x y x y xy xy= + − y w un

vector unitario con 3πθ = . Calcular ( ),wD f x y y decir qué

significado tiene el valor ( )1, 2wD − .


100

DEFINICIÓN. Sea una función escalar con dos variables independientes

fx y y . Entonces su gradiente se define

como:

( ), f ff x y i jx y

∧ ∧∂ ∂∇ = +

∂ ∂

La derivada direccional se puede interpretar como el producto escalar entre el gradiente de la función y la dirección unitaria:

( ) ( ), ,wD f x y f x y w= ∇ ⋅ Generalización con variables independientes: " "n

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,..., , ,..., , ,...,w n nD f x x x f x x x w w w= ∇ ⋅ n EJEMPLO. Calcular la derivada direccional de la función

( ) 2 2 3, 2f x y x y xy xy= + − 5

en el punto ( )1,1P y en la dirección del vector 3 4a i∧ ∧

= + j INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL GRADIENTE


101

La derivada direccional es wD f f w= ∇ ⋅ y por la definición del

producto escalar, equivale a coswD f f w θ= ∇ . Como w es unitario,

coswD f f θ= ∇ que es la proyección del módulo del gradiente en la dirección del vector unitario. Cuando el ángulo es cero, es decir, cuando la dirección de w es la del gradiente, la proyección de f∇ es su máximo valor por lo que la derivada direccional es máxima. Cuando el ángulo es de , es decir, cuando la dirección de 090 w es ortogonal a la del gradiente, la derivada direccional es nula. EJEMPLO. Calcular la derivada direccional de la función

22 3 2z x= + y en el punto ( )2,1P , en la dirección que forma ángulos iguales con los ejes coordenados. ¿En qué dirección se presenta la máxima derivada direccional y cuál es su valor?¿En qué dirección la derivada direccional es nula?

y

f∇

θ w

wD f

P

x

Curva de nivel

( ),z f x y=


102

y

EJEMPLO. La superficie de una montaña se ha simulado, de manera aproximada, con un paraboloide elíptico, de tal forma que su cota en cualquier punto está dada por la función

2 22800 0.05 0.03z x= − − El eje apunta al norte y el eje apunta al este. La altura máxima de la montaña es de y se presenta cuando

valen cero, es decir, en el origen de coordenadas. Supóngase que un alpinista se encuentra en el punto de coordenadas

" "y " "x2800 m

" " " "x y y

( )67.5, 72.8,2413.19− . Se requiere saber: )i ¿Asciende o desciende cuando se mueve en dirección

sureste y con que rapidez lo hace? )ii ¿Con qué rapidez asciende si se mueve en la dirección

? 4 i∧ ∧

− + j)iii ¿En qué dirección se debe mover para ascender más

rápidamente y cuál es el valor de esa máxima rapidez de ascenso?

)iv ¿En qué dirección se debe mover para descender más rápidamente?

)V ¿En qué dirección se debe mover para no variar su altura?


103


104 SEGUNDA DERIVADA DIRECCIONAL La primera derivada direccional es:

( ) ( ) ( ) 1 2, , ,w wD f x y f x y w D f x y f w f w= ∇ ⋅ ⇒ = +x y Si se repite la operación y la segunda derivada direccional es:

( ) ( ) ( ) ( )2 21 2, , ,w wD f x y f x y w w D f x y D f w f w⎡ ⎤= ∇ ∇ ⋅ ⋅ ⇒ = +⎣ ⎦

(w x y

) ( ) ( )21 2 1 1 2 2,w xx yx xy yyD f x y f w f w w f w f w w= + + +

( )2 21 1 2, 2w xx xy yD f x y f w f w w f w= + + 2

2y expresión que, como se observa, tiene cierta analogía con el binomio de Newton, con potencias y órdenes de derivación. EJEMPLO. Calcular la segunda derivada direccional de la función

( ) 3 2 2 3, 2 3 4z f x y x y x y xy= = − + 7−

)

en el punto y en la dirección del vector (3,2P 2 5b i∧ ∧

= − + j . Solución

( )2 2 3 2

3,26 6 4 12 12x xxf x y xy y f xy y f= − + ⇒ = − ⇒ = 24xx

( )3 2 2 2

3,22 6 12 6 24 7y yyf x x y xy f x xy f= − + ⇒ = − + ⇒ = 2yy

( )2 2

3,26 12 12 3xy xyf x xy y f= − + ⇒ = 0

2 52 529 29

b i j w i∧ ∧ ∧

= − + ⇒ = − + j∧

( ) ( ) ( )2 24 10 253,2 24 2 30 72 3,2 44.6929 29 29w wD f D f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + ∴ ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ DIFERENCIAL EXACTA Y SU INTEGRACIÓN


105 Sea ( ) ( ), ,P x y dx Q x y dy+ donde son funciones de P y Qx y y . Cabría preguntarse si siempre existirá una función tal que dicha expresión sea su diferencial total, es decir, si

f

( ) ( ), , ) f fP x y dx Q x y dy dx dyx y∂ ∂

+ = +∂ ∂ lo que implicaría que

( ) ( ), ,f fM x y y N x yx y∂ ∂

= =∂ ∂ .

TEOREMA. Sean ( ) ( ),P x y y Q x y, con primeras derivadas parciales continuas. Entonces se dice que

( ) ( ), ,d f P x y d x Q x y d y= + es la diferencial total de la función y se le denomina diferencial exacta, sí y sólo si

f

( ) ( ), ,P x y Q x yy x

∂ ∂=

∂ ∂

Prueba

Sea ( ) ( ), ,P x y dx Q x y dy+ la diferencial total de la función

, es decir, que es igual a ff fdx dyx y∂ ∂

+∂ ∂ , por lo que:

( ) ( ), ,f fP x y y Q x yx y∂ ∂

= =∂ ∂

Se obtienen las derivadas mixtas y se llega a: ( ) ( )2 2, ,P x y Q x yf fy

y x y x y x∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Por el teorema de Schwarz se tiene finalmente que:


106

( ) ( ), ,P x y Q x yy x

∂ ∂=

∂ ∂

EJEMPLO. Comprobar que las siguientes expresiones son diferenciales exactas, es decir, diferenciales totales de determinadas funciones y encontrar dichas funciones:

2

3 2 3 2

3 4)2 4 4

x yi dxx y x y

++ +

dy

2 21 1) y xii dx dyy x y x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )2 3 2) 2iii xy x y dx x y x y dy− + + + − + 3

Derivacion y Diferenciacion de Funciones Escalares

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