CONCEPTOSDE MATEMATICA

PARA EL MAESTRO

01 CMC O O EL PROFESOR

EL ESTUDIANTE

En este número:

Introducción a la filosofía matemá­tica.

¿Qué pasa con la reforma de la en­señanza de la matemática?

Geometría del portasegmento.

Lenguaje y notación conjuntiva.

Olimpíada matemática.

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OLIMPIADA MATEMATICAARGENTINAMATEMATICA I

A LAS ESCUELASBIBLIOTECASMAESTROSPROFESIONALESProfesionales

FECHAS DE REALIZACION DE LOS CERTAMENES

l

20 y 21 de Agosto:Certamen zonal. Primera y segunda prueba

V

l 14, 15 y 16 de Octubre:Certamen nacional. Primera, segunda y tercera prueba:

i10 de Noviembre:

Acto de entrega de premiosí!:■Todavía pueden adquirir una colección completa de;.

CONCEPTOS DE MATEMATICA

INSTITUTO NACIONAL PARA EL MEJORAMIENTO

DE LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS

(I. N. E. C.)

’

'APero recuerden que el N° 1 se está agotando.No se demoren, pues, y envíen de inmediato su pedido, acompañado de giro postal o bancario o cheque c/Bs. As., a ¡a dirección de la revista.

4 *

Av. Las Heras 2545 - 3er Piso - Buenos Airesi

ADHESION DE INECí

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CONCEPTOSCentro de Altos Estudios en Ciencias Exactas

DE MATEMATICACONCEFTO SDE MATEMATICA PUBLICACION I R1MLSTUAL0 UNIVERSIDAD PRIVADA N° 18ABRIL-M AYO-JUNIOAÑO V

AUTORIZADA POR EL DECRETO.DEL PODER EJE­CUTIVO NACIONAL N9 2227/68 CONFORME A LO ESTABLECIDO EN EL ARTICULO 79 DE LA LEY N9 17604.

Sede. Fernández Blanco 2045 - 8s.CARTA AL LECTORAs.;

Domicilio particular del director: Paraguay 1949 - 6o A - Bs. As.!

Muchos lectores saben de nuestra inquietud por publicar colaboraciones de docentes argentinos y no son pocos aqué­llos a quienes hemos pedido que nos concedieran ei honor de que hiciéramos conocer por muestro intermedio alguno de sus trabajos. Lamentablemente, no siempre hemos tenido éxito en nuestro empeño. Ei cúmulo de tareas a que se ven sometidos y las múltiples obligaciones a que deben hacer frente ha determinado que pese a su buena voluntad no pudieran cumplimentar nuestro pedido.* Hemos obviado esa dificultad recurriendo a colaboraciones de ios más destacados especialistas de! mundo con io cuál nuestras páginas se han adornado con su capacidad, su ori­ginalidad y su entusiasmo por i a resolución de los problemas actuales de ia enseñanza de i a matemática. Aun cuando mu­chos así io reconocen, no ha faltado quien nos reprochara injustamente por ia ausencia arriba señalada. Queremos des­tacar que /as páginas de CONCEPTOS DE MATEMATICA siempre estarán abiertas a ios docentes argentinos que quie­ren hacer llegar por su intermedio las reflexiones que /es despierta ia enseñanza de nuestra disciplina.* Por suerte, en este número, abundan ias colaboraciones de

docentes argentinos. Ei profesor Oscar L. isnardi nos da a conocer su artículo sobre Matemática y Arte; de Emilio J. de Ceceo publicamos ia primera parte de La geometría del portasegmento; a Jorge Bosch pertenece un análisis sobre ia reforma de i a enseñanza en nuestro, país, indicando defi­ciencia y señalando soluciones con /as que, quizás, se podrá disentir, pero no nos quedan dudas acerca de i a importancia de ios problemas que plantea.* También plantea muchos problemas ei doctor César A. Trejo ai presidente de ia Comisión Nacional para ia Ense­ñanza de ia Matemática. Son muchos ios docentes que han expresado su opinión acerca de ia presunta inoperan cía de i a actuación de dicha comisión y creemos que ia respuesta a muchos de ios interrogantes que plantea Trejo esclarecerá cuestiones que se han suscitado.* Completan este número otros artículos cuya significación

habrá de ser apreciada por nuestros lectores y i as secciones habituales. Nos complacemos en señalar ia colaboración de ios profesores Rosa M. S. de Rega y Alfredo J. Cossi en i a búsqueda de problemas para ia sección de ia Olimpíada de Matemática.

Esperando que este número resulte de su agrado, ios sa-

iDirector EditorJOSE BANFIORGANIZACION DEPARTAMENTAL

Rector: Dr. HORACIO E. BOSCHI ♦

Asesores: José Babini, Juan I. Blu- quier, Frcdériquc Papy, Gcorges Papy, Luis A. Santaló.

Redactores: Raúl A. Chiappa, Emi­lio De Ceceo Juan C. Dalmasso, Haydée Fernández. Atilio Piaña, Lisa Sabbatliello, Andrés Valeiras y Cristina Vcrdaguer de Baníi

Dibujante: Arquitecto Julio R Juan.

Suscripción anual: Argentina $ 12, Exterior, 4 dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales o sobre bancos de Buenos Aires, deben ,.cr extendidos a nombre de CONCEPTOS DE MATEMA­TICA

TITULOS BASICOS INTERMEDIOS Y SUPERIORESCARRERAS UNIVERSITARIAS COMPLETAS EN:

• BACHILLERATO SUPERIOR EN CIENCIAS EXACTAS• ESTADISTICA MATEMATICA• INVESTIGACION OPERATIVA© LICENCIATURA EN MATEMATICA PURA• LICENCIATURA EN MATEMATICA APLICADA• LICENCIATURA EN SISTEMAS• COMPUTACION CIENTIFICA• PROFESORADO DE MATEMATICA• CURSOS PERFECCIONAMIENTO DOCENTE EN FISICA Y

MATEMATICA (CICLOS INTERMEDIO Y SUPERIOR)• CURSO DE POSTGRADO DE LICENCIADOS

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Ejemplar suelto: mSn. 350.Ejemplar atrasado: mSn. 400.Lugares de venta: En nuestra sede,

Fernández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Alsina, Perú 127; Libería y Edi­torial El Ateneo, Florida 340; Li­brería del Colegio. Alsina y Bolí­var; Librería General de Tomás Pardo. Maipu 618: Librería Ro- sio. Callao 62!; Librería Santa Fe, Santa Fe 2427, Buenos Ai­res, Librería del Azul, San Mar­tin 4 72. Azul, Librería “F.ras- mo'\ San Martin 3330, Mar del Plata; Librería El Universitario, H. Irigoyen y San Juan. Corrien-

Cuerpo de profesores del departamento de matemáticas 1

tCS.Carlos Loiseau He be Ra buffet ti Armando O. Rojo Liiian RudinLiliana A/mosni de Sananes Alcira Torres

Mercedes Bergero Juana Cardoso Juan A. Foncuberta Ni ida G. de Ghiotto María S. de Hernández Roberto P. Hernández Kelly Kesteiman

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EL DIRECTOR

3

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zar con 0 en lugar de 1; supondremos este grado de conocimiento y tomaremos punto de partida la sucesión.

retrocedamos al definir, siempre podamos ir más lejos todavía. Por otra parte, siempre es posible que, cuando el análisis se haya prose­guido suficientemente, podamos llegar a térmi­nos que son realmente simples, y por tanto lógicamente no aptos para el tipo de defini­ción que consiste en analizar. Esta es una cuestión que no necesitamos decidir; para nuestros objetivos es suficiente observar que, puesto que las potencias humanas son finitas, las definiciones que conocemos deben siempre comenzar en alguna parte con términos indefi­nidos por el momento, aunque acaso no per­manentemente.

Toda la matemática pura tradicional, in­cluida la geometría analítica, puede considerarse como enteramente formada por proposiciones sobre los números naturales. Esto equivale a decir que los términos que se presentan pueden definirse mediante los núme­ros naturales, y las proposiciones pueden deducirse de ias propiedades de los números naturales con el agregado, en cada caso, de las ¡deas y las proposiciones de la lógica pura.

Que toda la matemática pura tradicional se puede derivar de los números naturales, es un descubrimiento relativamente reciente, aunque se lo sospechara desde hace mucho. Pitágoras, que creía que no sólo la matemática sino todo lo demás podía deducirse de los números, fue el descubridor del más serio obstáculo en el camino de lo que se llama la "aritmetización" de la matemática. Fue Pitágoras quien descu­brió la existencia de los inconmensurables y, en particular, la inconmensurabilidad del lado del cuadrado y su diagonal. Si la longitud del lado es de 1 m, el número de metros de la diagonal es la raíz cuadrada de 2, que parece no ser del todo un número. El problema así planteado sólo se resolvió en nuestros días, y sólo fue resuelto completamente con la ayuda de la reducción de la aritmética a la lógica, de lo cual nos ocuparemos más adelante. Por aho­ra, daremos por sentada la aritmetización de la matemática, aunque esto fue un hecho de mayor importancia.

Habiendo reducido toda la matemática pura tradicional a la teoría de los números natu­rales, el próximo paso del análisis lógico con­sistió en reducir esta teoría al menor conjunto de premisas y términos no definidos de los cuales ella podía ser derivada. Este trabajo fue realizado por Peano. Mostró que toda la teoría de los números naturales se podía derivar de

PAGINAS MEMORABLES

Introducción a la Filosofía

Matemática

i comoi

0, 1,2, 3,. . .,/7, /?+!,.. .

y a esta sucesión nos referiremos cuando ha­blemos de la "sucesión de los números natura­les".

Sólo en una etapa avanzada de la civiliza­ción podríamos tomar esta sucesión como punto de partida. Debe haber requerido mu­chos años descubrir que tanto un par de faisa­nes como un par de días eran ejemplos del número 2: el grado de abstracción necesario está lejos de ser fácil. Y el descubrimiento de que 1 es un número debe haber sido difícil. En lo que se refiere al 0 es una adición muy reciente; los griegos y los romanos carecían de dicho dígito. Si tiempo ha nos hubiéramos embarcado en la filosofía matemática, habría­mos tenido que comenzar con algo menos abs­tracto que la sucesión de los números natura­les, a la cual habríamos llegado como una eta­pa de nuestro viaje hacia atrás. Cuando nos familiaricemos más con los fundamentos lógi­cos de la matemática seremos capaces de comenzar otro retroceso hacia lo que es ahora una última etapa de nuestro análisis. Pero por el momento los números naturales parecen re­presentar lo más fácil y lo más familiar de la matemática.

Pero aunque familiares, no son comprendi­dos. Muy pocas personas están preparadas para entender una definición de lo que se entiende por "número", por "0" o por "1". No es muy difícil ver que, comenzando por 0, se puede obtener cualquier otro número natural por adiciones repetidas de 1, pero tendremos que definir qué entendemos por "sumar 1" y qué entendemos por "repetidas". Estas cuestiones están lejos de ser fáciles. Hasta hace poco se entendía que alguna, por lo menos, de estas primeras nociones de la aritmética debían ser aceptadas por ser demasiado simples y primi­tivas como para ser definidas. Puesto que todos los términos que son definidos lo son por medio de otros términos, resulta claro que el conocimiento humano debe siempre conten­tarse con aceptar algunos términos como inte­ligibles sin definición, de manera de tener un punto de partida para sus definiciones. No re­sulta claro que pueda haber términos imposi­bles de definir: es posible que, por lejos que

BERTRAND RUSSELL (Gran Bretaña)

Podemos establecer la misma distinción de otra manera. Las cosas más obvias y fáciles de la matemática no son las que llegan lógica-

el comienzo; son cosas que, desde elLa sucesión de los números naturales

mente enpunto de vista de la deducción lógica, llegan más o menos a mitad de camino. Así como los cuerpos más fáciles de ver son los que no están ni muy cerca ni muy lejos, no son ni muy pequeños ni muy grandes, asi también las concepciones más fáciles de entender son las

ni muy complejas ni muy simples

La matemática es un estudio que, cuando comenzamos por sus partes más familiares, se puede proseguir en una u otra de dos direc­ciones opuestas. La dirección más familiar es constructiva, hacia grados de complejidad gra­dualmente crecientes: de los enteros a las frac­ciones, a los números reales, a los números complejos; de la adición y la multiplicación a la diferenciación e integración y a la matemá­tica más alta. La otra dirección, que es menos familiar, avanza, por el análisis, hacia una abs­tracción y simplicidad lógica cada vez mayo­res; en lugar de preguntar qué se puede definir y deducir de lo que se admite para comenzar,

preguntamos qué ¡deas y principios más generales se pueden hallar mediante los cuales se pueda definir o deducir lo que era nuestro punto de partida. Este hecho de seguir esta dirección opuesta es lo que caracteriza a la filosofía matemática como opuesta a la mate­mática ordinaria. Pero, debe comprenderse que

está en el contenido,

l

que no son(usando "simple" en sentido lógico). Y asi co­

necesitamos dos tipos de instrumentos, el telescopio y el microscopio, para la ampliación de nuestras potencias visuales, así también ne­cesitamos dos tipos de instrumentos para la ampliación de nuestras potencias lógicas, uno

avanzar hacia la matemática más alta, y

mo

parael otro para retroceder a los fundamentos ló­gicos de las cosas que nos sentimos inclinados a dar por sentadas en matemática. Encontra­remos que analizando nuestras nociones mate­máticas ordinarias adquirimos visión fresca,

nos

nuevas potencias y los medios para alcanzar enteramente nuevos temas matemáticos me­diante la adopción de frescas líneas de avance luego de nuestro viaje hacia atrás. Nos propo­nemos explicar simple y no técnicamente la filosofía matemática, sin detenernos en las partes que son tan dudosas o difíciles que re­sulta escasamente posible un tratamiento ele­mental. Un tratamiento completo se encontrará en Principia Mathematica; lo que hacemos aquí es meramente una introducción.

Para las personas de educación media de los días actuales, el punto de partida obvio de la matemática sería la sucesión de los números naturales;

tal distinción; sino en el estado mental del investigador. Los primeros geómetras griegos, que pasaron de las reglas empíricas de la topografía egipcia a las proposiciones generales que justificaron esas reglas y de ahí a los axiomas y postulados de Euclides, se ocuparon de la filosofía mate-

no

ii

mática, de acuerdo con la definición anterior; pero una vez que se alcanzaron los axiomas y postulados, su empleo deductivo, tal como lo encontramos en Euclides, perteneció a la ma­temática en el sentido común. La distinción entre matemática y filosofía matemática es tal que depende del interés que inspira la investi­gación y del estado que ésta ha alean: ido; no de las proposiciones a que se refiere la inves­tigación.

1, 2, 3, 4,.. .,ete.

Probablemente, sólo una persona con algún conocimiento matemático pensaría en comen-

45

!

Consideremos brevemente el tipo de cami­no por el cual resulta la teoría de los números naturales, de estas tres ideas y cinco proposi­ciones. Para comenzar definimos a 1 como "el

de 0", 2 como el "sucesor de 1", y

pretaciones diferentes, todas las cuales satis­facen a las cinco proposiciones primitivas. Da­remos algunos ejemplos:

tres ideas primitivas y de cinco proposiciones primitivas, además de las de la lógica pura. Estas tres ideas y estas cinco proposiciones se convirtieron, pues, por decirlo así, en repre­sentantes de toda la matemática pura tradicio­nal. Si pueden definirse y probarse mediante otras, también esto es posible para toda la matemática pura. Su "peso" lógico, si podemos usar una expresión tal, es igual al de la serie completa de ciencias que se ha deducido de la teoría de los números naturales; la verdad de esta serie completa está asegurada si la verdad de las cinco proposiciones primitivas está ga­rantizada, siempre que, por supuesto, no haya nada erróneo en el aparato puramente lógico que también está implicado. El trabajo de ana­lizar la matemática ha sido extraordinariamen­te facilitado por este trabajo de Peano.

Las tres ¡deas primitivas de la aritmética de Peano son:

Entonces:

(1) "0 es un número", esto es, x0 es un miembro del conjunto.

(2) "El sucesor de cualquier número es un nú­mero", esto es, tomando cualquier térmi­no xn del conjunto, x en el conjunto.

(3) "No existen dos números que tengan el mismo sucesor"; esto es, si xm y xn son dos números diferentes del conjunto, xm + 1 Y *n + 1 son diferentes; esto re­sulta por el hecho de que (por hipótesis) no hay repeticiones en el conjunto.

(4) "0 no es el sucesor de ningún número", esto es, no hay ningún término en el con­junto antes de x0.

(5) Se convierte en: Cualquier propiedad de x0 y de x es de todas las x.

Esto ocurre por la propiedad correspon­diente para los números.

Una sucesión de la forma:

* i , x2t- • •/ *n«* • •

(1) Tomemos (0) como si significara 100 y número para designar a los números de 100

sucesorasí sucesivamente. Obviamente podemos extendernos cuanto queramos con estas definí-

virtud de (2) cualquier

I en adelante en la serie de los números rales. Entonces, todas nuestras proposiciones primitivas son satisfechas, incluso la cuarta, pues, aún cuando 100 es el sucesor de 99, 99 no es un "número" según el sentido que esta­mos dando ahora al término "número". Es ob­vio que 100 se puede substituir por cualquier número en este ejemplo.

(2) Dejemos a (0) su significado usual, pe­ro hagamos que "número" signifique lo que usualmente denominamos "números pares" y que e! "sucesor" de un número sea el número que resulte de agregarle 2. Entonces "1" será el número 2; "2" será el número 4, y así su­cesivamente; la serie de "números" sería aho-

está tambiénnatu- n + 1ciones, puesto que, en número que alcancemos tendrá un sucesor, y en virtud de (3) éste no puede ser ninguno de los números ya definidos, porque, de serlo, dos números diferentes tendrían el mismo su­cesor; y en virtud de (4) ninguno de los núme-

alcancemos en la serie de sucesoresros quepuede ser 0. Luego, la serie de sucesores da una serie sin fin de números continuamente

En virtud de (5) todos los números

nos

nuevos.aparecen en esta serie, que comienza con 0 y se continúa a través de sucesivos sucesores: pues (a) 0 pertenece a esta sucesión, y (b) si un número n pertenece a ella, también perte­nece su sucesor, de donde, por inducción ma­temática, cualquier número pertenece a la su-

con tal que lo sea xn, lon + 1

0, número, sucesor ra:

cesión.Supongamos que se desea definir la suma

de dos números. Tomando cualquier número m, definimos m 4- 0 como m, y m + (n + 1) como el sucesor de m + n. En virtud de (5) esto da una definición de la suma de m y n, cualesquiera sean el número y n. En forma semejante podemos definir el producto de dos números cualesquiera. El lector puede conven­cerse fácilmente que cualquier proposición ele­mental ordinaria de la aritmética se puede pro­bar mediante nuestras cinco premisas, y si en­cuentra alguna dificultad puede encontrar la prueba en Peano.

Ahora es el momento de volver a las consi­deraciones que hicieron necesario avanzar más allá del punto de vista de Peano, —quien re­presenta la última perfección de la "aritmeti- zación" de la matemática—, al de Frege, el primero que logró éxito en la "logización" de la matemática; esto es, en reducir a la lógica las nociones aritméticas que sus predecesores habían demostrado ser suficientes para la ma­temática. En verdad no daremos, en este tra­bajo, la definición de Frege del número y de números particulares, pero daremos algunas de las razones por las cuales el tratamiento de Peano es menos definitivo de lo que pareciera.

En primer término, las tres ¡deas primitivas de Peano, a saber, "0", "número" y "suce­sor", sirven para un número infinito de inter-

Por "sucesor", entiende el número siguiente en el orden natural. Es decir, el sucesor de 0 es 1, el sucesor de 1 es 2, y así sucesivamente. Por "número" entiende, en este aspecto, a la clase de los números naturales. No está admi­tiendo que conocemos todos los números de esta clase, sino sólo que sabemos lo que enten­demos cuando decimos que éste o aquél es un número, de la misma manera que entendemos cuando decimos "Juan es un hombre", aún cuando no conozcamos individualmente a to­dos los hombres.

0, dos, cuatro, seis, ocho,. ..

Todas las cinco premisas de Peano estarían satisfechas aún.

(3) Hagamos que "0" signifique el núme­ro 1 y que "número" signifique el conjunto

- 1 1 1 1

v*n la que existe un primer término, un sucesor de cada término (de modo que no hay último término, no hay repeticiones, y cualquier tér­mino puede ser alcanzado desde el principio en un número finito de pasos, es denominado progresión. Las progresiones son de gran im­portancia para los fundamentos de la matemá­tica. Como hemos visto, cualquier progresión satisface a los cinco axiomas de Peano. Se puede probar, recíprocamente, que cualquier serie que verifica los cinco axiomas de Peano es una progresión. Por tanto, estos cinco axio­mas pueden usarse para definir la clase de las progresiones: las "progresiones" son las suce­siones que verifican los cinco axiomas. Cual­quier progresión puede ser tomada como base de la matemática pura: podemos dar el nom­bre "0" a su primer término, el nombre "nú­mero" al conjunto completo de sus términos y el nombre "sucesor" al siguiente en la pro­gresión. No es necesario que la progresión esté compuesta por números; puede estar com­puesta por puntos en el espacio, o momentos en el tiempo, o cualquier otra cosa de las cuales hay una variedad infinita. Cada progre­sión diferente provocará una interpretación di­ferente de todas las proposiciones de la mate­mática pura tradicional; todas esas posibles interpretaciones son igualmente ciertas.

1,1 ____i____ 9

2 4 8 16

y que "sucesor" signifique "mitad". Entonces, todos los cinco axiomas de Peano serán ciertos para este conjunto.

Resulta claro que los ejemplos se pueden multiplicar indefinidamente. En efecto, dada cualquier serie:

Las cinco proposiciones primitivas de Peanoson:

(1) 0 es un número.(2) El sucesor de cuaiquier número es un número.

(3) No existen dos números que tengan el mismo sucesor.

(4) 0 no es el sucesor de ningún número.(5) Cualquier propiedad que pertenezca a 0, y también al sucesor de cualquier nú mero que tiene la propiedad, pertenece a todos los números.

El último es el principio de inducción ma­temática. Tendremos mucho que decir sobre la inducción matemática, pero, por ahora, esta­mos interesados sólo con lo que ocurre con el análisis de Peano de la aritmética.

*0, *1/*2,.X3___ _ xn'* ‘ •\que continúa indefinidamente, no contiene re­peticiones, tiene un comienzo y no tiene tér­minos que no puedan ser alcanzados desde el comienzo en un número finito de pasos, tene­mos un conjunto de términos que verifican los axiomas de Peano. Esto se ve fácilmente, aún cuando la. prueba formal sea algo larga. Haga­mos que "0" signifique x0f que "número" sig­nifique todo el conjunto de términos, y que el"sucesor" de x sea x„ . -.n n t i.

67

i

tamiento similar puede aplicarse obviamente a cualquier otra clase dada en extensión.

(2) Es obvio que en la práctica podemos saber mucho sobre una clase sin ser capaces de numerar sus miembros. Ningún hombre puede en realidad enumerar a todos los hombres, ni siquiera a los habitantes de Londres, y con todo se conoce mucho acerca de cada una de dichas clases. Esto es suficiente para mostrar que la definición por extensión no es necesaria para conocer una clase. Pero cuando llegamos a considerar clases infinitas, hallamos que la enumeración ni siquiera es posible teóricamen­te para seres que sólo viven un tiempo finito. No podemos enumerar todos los números na­turales; ellos son: 1, 2, 3, y así sucesivamente. En cierto punto debemos contentarnos con "así sucesivamente". No podemos enumerar todas las fracciones ni todos los números irra­cionales, ni todos los de cualquier otra colec­ción infinita. Por tanto, nuestro conocimiento acerca de tales colecciones sólo se puede deri­var de una definición por comprensión.

Estas notas son pertinentes, cuando esta­mos buscando la definición de número, de tres maneras diferentes. En primer término, los números mismos forman una colección infini­ta, y por tanto no pueden definirse por enu­meración. En segundo término, las colecciones que tienen un número dado de términos pre­sumiblemente forman ellas mismas una colec­ción infinita; debe presumirse, por ejemplo, que hay una colección infinita de ternas en el mundo, pues si ese no fuera el caso el número total de cosas en el mundo sería finito, lo cual, aunque posible, parece improbable. En tercer término, deseamos definir al "número" de manera tal que sean posibles infinitos nú­meros; por tanto, debemos ooder hablar del número de términos de una colección infinita, y una tal colección debe definirse por com­prensión, esto es, por una propiedad común a todos sus miembros y peculiar de ellos.

Para muchos objetivos, una clase y una ca­racterística definitoria de ella son práctica­mente intercambialbles. La diferencia vital entre ambas consiste en que sólo hay una cla­se que tiene un conjunto dado de miembros, mientras que existen muchas características di­ferentes mediantes las cuales se puede definir una clase dada. Los hombres se pueden definir como bípedos implumes, o como animales ra­cionales, o (más correctamente) por los trazos mediante los cuales Swift delineó el Yahoos.

sino con respecto a todos los conjuntos de términos que tienen ciertas propiedades. Un procedimiento total no es ¡lógico; en verdad, para ciertos objetivos, representa una generali­zación valiosa. Pero, desde dos puntos de vista, falla para dar una base adecuada para la aritmética. En primer término, no nos permite saber si hay algún conjunto de términos que satisfacen a los axiomas de Peano; ni siquiera dar la más mínima sugestión sobre alguna manera de descubrir si tales conjuntos existen o no. En segundo término, como ya se obser­vó, necesitamos que nuestros números sean tales que se puedan usar para contar los obje­tos comunes, y esto requiere que nuestros números tengan un significado definido; no meramente que tengan ciertas propiedades formales. Este significado definido es definido por la teoría lógica de la aritmética.

Un número particular no es idéntico a nin­guna colección de términos que tengan ese nú­mero; el número 3 no es idéntico a la terna formada por Brown, Jones y Robinson. El nú­mero 3 es algo que todos las ternas tienen en común y que las distingue de todas las otras colecciones. Un número es algo que caracte­riza a ciertas colecciones, esto es, a las que tienen ese número.

En lugar de hablar de una "colección", po­demos como regla hablar de una "clase" o a veces de un "conjunto". Otros términos que se usan en matemática con el mismo fin son "agregado" y "multiplicidad". Hay mucho que decir acerca de las clases. Por ahora, diremos tan poco como sea posible. Pero hay algunas observaciones que se deben hacer de inmedia-

En el sistema de Peano no hay nada que nos permita distinguir entre las diferentes in­terpretaciones de sus ideas primitivas. Se admite que sabemos lo que se entiende por "0", y que no supondremos que este símbolo significa 100 o aguja de Cleopatra o cualquiera de las otras cosas que pudiera significar.

Que "0", "número" y "sucesor" no se pue­dan definir mediante los cinco axiomas de Peano, sino que deben ser comprendidos inde­pendientemente, es un punto importante. Necesitamos nuestros números no sólo para verificar fórmulas matemáticas, sino para apli­carlos de manera correcta a objetos comunes. Necesitamos tener diez dedos, dos ojos y una nariz. Un sistema en el cual "1" signifique 100 y "2" signifique 101, y así sucesivamente, podría estar muy bien para la matemática pura, pero no se acomodaría a la vida diaria. Necesitamos que '0", "número" y "sucesor" tengan significados que nos den la asignación correcta de dedos, ojos y narices. Ya tenemos algún conocimiento (aunque no su­ficientemente articulado ni analítico) de lo que entendemos por "1" y "2" y así sucesiva­mente, y nuestro uso de los números en arit­mética debe estar de acuerdo con este conoci­miento. No podemos asegurar que éste será el caso con el uso del método de Peano; todo lo que podemos hacer, si lo adoptamos, es decir "sabemos lo que entendemos por "0", "núm­ero" y "sucesor" aún cuando no podamos ex­plicarlo mediante otros conceptos más sim­ples". Es bastante legítimo decir esto cuando sea necesario y en algún momento todos debe­mos hacerlo pero el objeto de la filosofía matemática es demorarlo, tanto como sea po­sible. Por la teoría lógica de la aritmética somos capaces de diferirlo por mucho tiempo.

Podría sugerirse que, en lugar de introducir "0", "número" y "sucesor" como términos de los cuales conocemos el significado aún cuando no podamos definirlos, podríamos considerarlos como tres términos cualesquiera que verifiquen los cinco axiomas de Peano. Ya no serán más términos que tengan un significa­do definido aunque no se los defina: serán "variables", términos respecto de los cuales hacemos ciertas hipótesis, por ejemplo, las es­tablecidas en los cinco axiomas, pero que, de otra manera, son indeterminados. Si adopta­mos este plan, nuestros teoremas no se proba­rán con respecto a un conjunto incierto de términos denominados "números naturales".

to.; Una clase o colección se puede definir de

dos maneras que a primera vista parecen bas­tante diferentes. Podemos enumerar sus miem­bros, como cuando decimos: "La colección a la que me refiero está formada por Brown, Jones y Robinson". O podemos mencionar una propiedad definitoria, como cuando habla­mos de la "humanidad" o de los "habitantes de Londres". La definición que enumera es denominada definición "por extensión", y la que menciona una propiedad definida es deno­minada definición "por comprensión". De es­tos dos tipos, la definición por comprensión es lógicamente más fundamental. Esto se muestra mediante dos consideraciones: (1) que la defi­nición por extensión siempre puede ser reduci­da a una por comprensión; y (2) que a menu­do la definición por comprensión no puede ser reducida ni aún teóricamente por extensión. Cada uno de estos puntos requieren una pala-

II \

Definición de Número

La pregunta: ¿qué es un número? , ha sido formulada a menudo, pero sólo en nuestro tiempo se la respondió correctamente. La res­puesta fue dada por Frege en 1884, en su G rundí agen der Arithmetik. Aunque este libro es bastante pequeño, no difícil, y de la más alta importancia, casi no atrajo atención, y la definición de número que contiene permane­ció prácticamente desconocida hasta que fue redescubierta por este autor en 1901.

Al buscar una definición de número, lo pri­mero que se debe aclarar es lo que podemos llamar la gramática de nuestra investigación. Muchos filósofos, cuando intentan definir al número, se están ocupando realmente de de­finir la pluralidad, lo cual es algo bastante diferente. Número es lo característico de los números, así como hombre es lo caracte­rístico de los hombres. Una pluralidad no es un ejemplo de número, sino de algún número particular. Una terna de hombres, por ejemplo, es un ejemplo del número tres, y el número 3 es un ejemplo de número, pero la.terna no es un ejemplo de número. Este punto puede pa­recer elemental y escasamente digno de men­ción; empero ha resultado ser demasiado sutil para los filósofos, con pocas excepciones.

bra de explicación.(1) Brown, Jones y Robinson poseen todos

cierta propiedad que no es poseída por ningu- el universo, vale decir, la propiedad de

i!

no enser o Brown, o Jones, o Robinson. Esta pro­piedad se puede usar para dar una definición por comprensión de la clase formada por Brown, Jones y Robinson. Consideremos una fórmula tal como "x es Brown o x es Jones o

Robinson". Esta fórmula será verdad para

*

x essólo tres x, es decir, Brown, Jones y Robin­son. En este aspecto se asemeja a una ecua­ción cúbica con sus tres raíces. Puede consi­derársela como asignando una propiedad co­mún a los miembros de la clase formada por estos tres hombres y peculiar de ellos. Un tra-

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9

{

esposas conjuntamente son el dominio de la relación de matrimonio. La relación de esposa a esposo es denominada recíproca de la rela­ción de esposo a esposa. De la misma manera, menor es la recíproca de mayor, más tarde es la recíproca de más temprano, y así sucesiva­mente. Generalmente, la recíproca de una rela­ción dada es la relación que ocurre entre y y x siempre que la relación dada ocurra entre x e y. El dominio recíproco de una relación es el dominio de su recíproca: así, la clase de esposas es el dominio recíproco de la relación de esposo a esposa. Ahora podemos establecer cómo sigue nuestra definición de semejanza:

Se dice que una clase es "semejante" a otra cuando existe una relación uno-a-uno en la cual una clase es el dominio en tanto que la otra es el dominio recíproco.

Es fácil probar: (1) que toda clase es seme-

mostrar que el conjunto de esos objetos es semejante al conjunto de los números 1 a 10. La noción de semejanza se presupone lógica­mente en la operación de contar, y es lógica­mente más simple aunque menos familiar. Al contar, es necesario tomar los objetos, conta­dos en cierto orden, como primero, segundo, tercero, etc., pero el orden no es la esencia del número: es una adición innecesaria, una innecesaria complicación desde el punto de vista lógico. La noción de semejanza no re­quiere un orden: por ejemplo, vimos que el número de esposos es el mismo que el número de esposas, sin tener que establecer un orden de precedencia entre ellos. La noción de seme­janza tampoco requiere que las clases que son semejantes sean finitas. Tómese, por ejemplo, los números naturales (excluido el 0) por una parte, y las fracciones que tiene 1 como nu­merador, por otra parte: es obvio que pode­mos correlacionar 2 con 1/2, 3 con 1/3, y así sucesivamente, probando entonces que las dos clases son semejantes.

Podemos, pues, usar la noción de "seme­janza” para decidir cuándo dos colecciones tienen que pertenecer al mismo haz, en el sen­tido que hemos considerado antes.

Tenemos que construir un haz que conten­ías clases que no tienen miembros: esto

ocurriría con el número 0. Luego necesitamos un haz para todas las clases que tienen un miembro; esto ocurrirá para el número 1. Luego, para el número 2, necesitamos un haz formado por todos los pares, luego uno para todas las ternas; y así sucesivamente. Dada cualquier colección, podemos definir el haz al que pertenecerá como la clase de todas las co­lecciones que son "semejantes" a ella. Es muy fácil ver que si (por ejemplo) una colección tiene tres miembros, la clase de todas las co­lecciones que son semejantes a ella será la clase de las ternas. Y cualquiera sea el número de términos que pueda tener una colección, las colecciones que son "semejantes" a ella tendrán el mismo número de términos. Pode­mos tomar esto como "definición" de "tener el mismo número de términos". Es obvio que se obtiene un resultado conforme al uso en tanto nos limitemos a colecciones finitas.

Hasta aquí no hemos sugerido nada del más leve acento paradógico. Pero cuando vamos la definición real de los números no podemos evitar lo que a primera vista parece una para­doja, aunque esta impresión rápidamente desa-

(sigue en pág. 17)

ESte hecho de que una característica definito- ria no sea nunca única es lo que hace que las clases sean útiles; de otra manera, nos po­dríamos contentar con las propiedades nes y peculiares de sus miembros. Cualquiera de esas propiedades se pueden usar en lugar de la clase cuando la unicidad no es importante.

Retornando ahora a la definición de núme­ro, resulta claro que el número es una manera de reunir ciertas colecciones, esto es, las que tienen un número dado de términos. Podemos imaginar a todos los pares en un haz, a todas las ternas en otro, y así sucesivamente. De esta manera obtenemos diversos haces de colecciones, consistiendo cada haz de todas las colecciones que tienen cierto número de tér­minos. Cada haz es una clase cuyos miembros son colecciones, esto es, clases; por tanto cada, uno es una clase de clases. El haz formado por todos los pares, por ejemplo, es una clase de clases: cada par es una clase con dos miem­bros, y el haz total de pares es una clase con un número infinito de miembros, cada uno de los cuales es una clase con dos miembros.

¿Cómo decidiremos si dos colecciones per­tenecerán al mismo haz? La respuesta que se sugiere por sí misma es ésta: "Descubrir cuán­tos miembros tiene cada una y colocarlos en el mismo haz si tienen el mismo número de miembros". Pero esto presupone que hemos definido números y que sabemos cómo descu­brir cuántos términos tiene una colección. Hemos usado así la operación de contar de modo tal que una conjetura pueda pasar fácil­mente inadvertida. En verdad, sin embargo, contar, aunque familiar es lógicamente operación muy compleja; además sólo es utili­zadle, como medio de descubrimiento del número de términos que posee una colección, cuando la colección es finita. Nuestra defini­ción de número no debe admitir en adelante que todos los números son finitos, y no pode­mos en todo caso, sin caer en un círculo vicio­so, contar para definir números, porque los números son usados para contar. Necesitamos, por tanto, algún otro método para decidir cuándo dos colecciones tienen el mismo núme­ro de términos.

En la realidad, es más simple descubrir lógi­camente si dos colecciones tienen el mismo número de términos que definir lo que es ese número. Un ejemplo aclarará ío dicho. Si no hubiera poligamia o poliandria en ninguna par­te del mundo, resulta claro que el número de

esposos que viven en cualquier momento sería exactamente el mismo que el número de espo­sas. No necesitamos ningún censo para asegu­rarnos de esto, ni necesitamos saber cuál es el número real de esposos y de esposas. Sabemos que el número debe ser el mismo en ambas colecciones, porque cada esposo tiene una es­posa y cada esposa un esposo. La relación de esposo y esposa es lo que se denomina "uno-a -uno".

comu-

Se dice que una relación es "uno-a-uno" cuando x tiene la relación en cuestión con res­pecto a y, ningún otro término x' tiene la misma relación con respecto a y, y x no tiene la misma relación con ningún otro término y' que no sea y. Cuando sólo se cumple la prime­ra de estas dos condiciones, la relación es de­nominada "uno-a-muchos"; cuando sólo se cumple la segunda, es denominada "muchos-a- uno". Se observará que el número 1 en estas definiciones.

En los países cristianos, la relación

jante a sí misma; (2) que si una clase cc es semejante a una clase j3, entonces 0 es seme­jante a a; (3) que si á es semejante a (3 y /3 a 7, entonces o: es semejante a y Se dice que una relación es reflexiva cuando posee la pri-

de estas propiedades, simétrica cuando

no se usa

entreesposo y esposa es uno-a-uno; en los países mahometanos es uno-a-muchos. En el Tibet es muchos-a-uno. La relación de padre a hijo es uno-a-muchos; la del hijo al padre es muchos- a-uno; pero la del hijo mayor al padre es a-uno. Si n es cualquier número, la relación de n a n X 1 es uno-a-uno; también lo son las relaciones de n a 2n o, a 3/7. Cuando conside­ramos sólo números positivos, la relación de n - ?2 es uno-a-uno; pero cuando se admiten los números negativos, se vuelve dos-a-uno, puesto que n y — n tiene el mismo cuadrado. Estos ejemplos bastarán para aclarar las nociones de las relaciones:

meraposee la segunda, y transitiva cuando posee la tercera. Es obvio que una relación que es simétrica y transitiva debe ser reflexiva en to­do su dominio. Las relaciones que poseen estas propiedades son de importancia, y mere­ce observarse que la semejanza es una relación

uno-

ga

de este tipo.Es obvio para el sentido común que dos

clases finitas tienen el mismo número de tér­minos si son semejantes, pero no en otro caso. El acto de contar consiste en establecer una correlación uno-a-uno entre el conjunto de ob­jetos contados y los números naturales (exclui­do el 0) que se emplean en el proceso. De acuerdo con esto, el sentido común llega a la conclusión de que hay tantos objetos en el conjunto por contar como números se em­plean para llegar al último número usado en la cuenta. Y también sabemos que, siempre que

números finitos, hay n núme-

a n

una uno-a-uno, uno-a-muchos y muchos-a-uno, que intervienen en gran parte de los fundamentos de la matemática; no sólo

respecto a la definición de los números, sino en muchos otros aspectos.

Se dice que dos clases son "semejantes" cuando hay una relación uno-a-uno , que hace corresponder cada término de una clase con un término de la otra clase, de la misma ñera que la relación matrimonial hace ponder esposos y esposas. Unas definiciones preliminares ayudarán a establecer más precisa­mente esta definición. La clase de los términos que tienen una relación dada otra, se llama dominio de esa relación; así los padres son el dominio de la relación de padre e hijo; esposos son el dominio de la relación de esposo a esposa; esposas son el dominio de la relación de

con Ji*

ma­nos limitemos a

desde 1 hasta n. Ocurre, por tanto, que el contar una colec-

corres-rosúltimo número usado para

__ el número de términos de la colección, con tal que la colección sea finita. Pero este resultado, aunque sólo sea aplicable a coleccio-

finitas, depende y supone, el hecho de que dos clases que son semejantes tienen el mismo número de términos, por lo cual lo que hace-

cuando contamos (digamos) 10 objetos es

ción escon una cosa u

anes

esposa a esposo, y esposos y mos

10 11

3asa con la Reforma

nseñanza de la Matemática

reforma en el campo de la enseñanza de la matemática. En algunos países -como Francia y Bélgica, por ejemplo— este movimiento cris­talizó en estudios profundos y en aplicaciones sistemáticas. En nuestro país hemos asistido una vez más a la dilapidación de esfuerzos y al desaprovechamiento de los recursos naturales. Teníamos, en efecto, un magisterio y un pro­fesorado de excelente nivel, una fuerte tradi­ción pedagógica, un movimiento cultural de primer orden, una buena escuela matemática en el nivel de la enseñanza universitaria y la investigación, un núcleo de propulsores califi­cados y entusiastas. Con esta materia prima, un mínimo de sensatez en la conducción hu-

llamada "reforma educativa" que terminó en el fracaso. Se ha malgastado el potencial inte­lectual de nuestro país, que es uno de los más elevados de América; se ha perdido la opor­tunidad -que existía ciertamente- de colocar la enseñanza de la matemática en la Argentina en el más alto nivel internacional, lo que hu­biera sido una concreta y auténtica contri­bución al desarrollo del país.

a

JORGE E. BOSCH (Argentina)

tualmente desprejuiciada tuvo un éxito préndente en la post-guerra. Se aplicó la teoría de la información a la genética, la teoría de los juegos a la economía, la teoría de los con­juntos ordenados a la sociología. Por todo el mundo circula una nueva sed de conocimien­tos, —como en las grandes épocas de Abelardo o Miguel Angel— un nuevo estilo de investi­gación y de análisis, una nueva inquietud por comprender todo y por replantear todos los problemas: un segundo Renacimiento, sin nin­guna duda.

Es importante destacar que en este gran hervidero de ideas, la matemática desempeña un papel central: no sólo ha penetrado en ciencias tradicionalmente alejadas de sus méto­dos, como la sociología o la psicología, sino que comienza a invadir con firmeza terrenos que parecían esencialmente vedados al pen­samiento exacto, como la estética, la música y la crítica teatral.

Hasta comienzos de nuestro siglo, la mate­mática fue considerada como una proeza de carácter lógico y como una clave esencial comprender la naturaleza; pero se entendía por "naturaleza" el conjunto de fenómenos es­tudiados por la física y la química. Ahora la matemática aparece como un recurso universal aplicable a todo tipo de problemas, sin limita­ciones preconcebidas.

La enseñanza de una ciencia de estas carac­terísticas debe constituir un tema prioritario para todos los que se interesan por la marcha de la civilización y la cultura. La trascendencia del problema es tan grande, que deberíamos meditar profundamente antes de tomar deci­siones: éste es uno de esos temas en los que la ligereza, la improvisación y la incompetencia son imperdonables.

La oportunidad perdidaDesde hace unos diez años tiene vigenci

todo el mundo un creciente movimiento de

Algunos defectos concretos

Voy a apoyar estas reflexiones generales en una lista —que no pretende ser exhaustiva— de defectos concretos en los que se observa el fracaso a que estoy aludiendo.

1) En el año 1968 fue creada, por decreto del Poder Ejecutivo, una Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática. A más de dos años de su creación, esta comisión ha sido prácticamente ignorada por las autoridades: prueba de ello es que se han gestado progra­mas, proyectos de programas, temas nuevos, recomendaciones, etc., que no han sido elabo­rados por ella. Intervienen asesores en cuyo anonimato se diluye la responsabilidad de los errores que se cometen.

2) También en 1968 tuvo lugar en la ciu­dad de Córdoba, con gran despliegue de recur­sos materiales y humanos, el Primer Simposio para la Enseñanza de las Ciencias, organizado por el INEC, donde se trabajó intensamente y se aprobaron recomendaciones que estimo de la mayor importancia. Pero todavía no han si­do publicadas las actuaciones de ese Simposio,

lo cual esa excelente realización del INEC pierde buena parte de la eficacia a que podía aspirar. Como el INEC es un organismo que se ha distinguido por su eficiencia y por el alto nivel de sus aportes al mejoramiento de la en­señanza científica, es lícito suponer que algu­na dificultad administrativa está demorando, o acaso impidiendo, la publicación de aquel im­portante documento.

3) La gestación misteriosa y anónima de programas de estudio alcanza a veces a pro­ducir situaciones que se prestan a la sospecha. A ese extremo se llegó el año pasado, cuando aparecieron de pronto libros impresos en Espa­ña cuyo contenido se adaptaba milagrosa­mente a los nuevos programas argentinos, que hasta poco antes se habían mantenido prácti­camente en secreto. La Confederación Argen­tina de Maestros y Profesores (CAMYP) efec­tuó la correspondiente denuncia, ante la cual

Trascendencia del problemá sor-Creo que estamos asistiendo, en el nivel de

la civilización contemporánea, a un segundo Renacimiento (o a un tercero, si se quiere to­mar en cuenta el Renacimiento carolingio); en las tres últimas décadas se ha operado una de las transformaciones culturales más profundas de la historia humana. Entre otros factores, la última guerra mundial exigió un grado tal de colaboración y entendimiento entre especia­listas de diferentes ramas del conocimiento científico, que quedaron echadas las bases de una actividad interdisciplinaria tan profunda y sorprendente como nunca se había visto antes. Son numerosos y sugestivos los ejemplos que pueden citarse al respecto. Uno de los más importantes es el de la creación de la ciberné­tica, o ciencia del control y de la comuni­cación en los animales y en las máquinas. Su promotor más eminente fue el ¡lustre mate­mático, físico y filósofo Ñorbert Wiener, pero no cabe duda de que la cibernética fue el re­sultado del entendimiento entre varios mate­máticos, físicos y fisiólogos. Al comentar, en 1947, la colaboración habida entre él y el fi­siólogo Arturo Rosenblueth, colaboración que fue decisiva para la creación de la cibernética, Wiener escribió:

"Estábamos de acuerdo sobre estos temas mucho tiempo antes de hgber elegido el cam­po de nuestras investigaciones conjuntas y nuestras respectivas partes en el mismo. El fac­tor decisivo en este nuevo paso fue la guerra."

El horror de esa guerra total, que se trans­formó en una dramática lucha por la supervi­vencia, aguzó el ingenio de los hombres, impuso el trabajo en equipo, obligó a ensayar soluciones que en épocas normales se hubieran considerado extravagantes. Aquella tragedia sombría produjo al menos esta luz: nada es lo suficientemente extravagante como para no me­recer un

biera bastado para obtener un éxito brillante. Sin embargo, estamos al borde del fracaso. En efecto: no se ha introducido —a lo largo de diez años— ninguna reforma orgánica; apenas han aparecido en los diversos programas algu­nos puntos aislados que no se articulan con el resto y que, en definitiva, producen más deso­rientación que comprensión de las nuevas ¡deas. Los alumnos de la escuela secundariaegresan con una preparación matemática defi­ciente, que se hace notoria en los cursos de ingreso y en los primeros años de las carreras universitarias. Sin embargo, aunque parezca paradójico, lo poco que se ha hecho ha resul­tado excesivo; las tímidas e incoherentes reformas introducidas han resultado, en la prácti­ca, insospechadamente audaces. La explicación de esta paradoja es sencilla. Los ministerios de educación autorizaron la implantación de refor-

los programas sin emprender simultánea­mente una tarea de actualización sistemática del personal docente. El INEC (Instituto Nacional

el Mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias) organizó y continúa organizando exce­lentes cursos para docentes de matemática, real i-

distribuye publicaciones, canaliza una ¡ro­dé información, y organizó con

mas en conpara

para

í

1 za yportante masa impresionante éxito el Primer Simposio para la Enseñanza de las Ciencias (Córdoba, 1968). Pero corresponde a los más altos niveles administra­tivos del Ministerio de Cultura y Educación la elaboración y l3 instrumentación de un plan orgánico, profundo y sistemático, tendiente a lograr la actualización de la totalidad de los docentes argentinos en un plazo calculado yfijado de antemano.

Un plan semejante, con la ¡mplementación material y humana que presupone, no existió ni existe. En cambio, se perdieron tiempo y

la elaboración de unea enanálisis científico. Esta actitud intelec-

recursos cuantiosos en

1213

canza a los propios docentes, que se ven en la imposibilidad de enseñar con coherencia un programa que no la tiene.

6} Pero es una utopía y una irresponsabili­dad poner en marcha una reforma de la ense­ñanza de la matemática si no se aplica simultá­neamente, o, mejor aún, previamente, un plan sistemático y global de actualización docente, con etapas previstas y calculadas, con plazos estimado, con medios y con personal idóneos. Aquí ha fallado —a mi modo de ver— la com­prensión de las ideas directrices del problema; ha fallado lo que suele llamarse "la filosofía" de la cuestión. En efecto: se ha creído que la función específica del ministerio público es es­tablecer normas y programas y que la función específica del docente es arreglárselas como pueda para ejecutar aquellas directivas. Este profundo error de enfoque bastaría por sí solo para llevar al fracaso todo intento de renova­ción de la enseñanza de la matemática en nuestro país. Cuando se aspira a producir una transformación honda en los métodos y en los contenidos, la actualización de los docentes deja de ser una cuestión individual y se sitúa en el nivel de los problemas nacionales. Si el ministerio público no arbitra los fondos, los planes, el material y los medios de toda índole para llevar a cabo en forma sistemática, como tarea nacional, la actualización de los docen­tes, no tiene ningún derecho a exigir de éstos el cumplimiento de los nuevos programas y de las nuevas normas. No es el docente el que debe realizar sacrificios individuales para llevar a cabo la reforma, sino que es el ministerio público el que debe poner en ejecución la ta­rea de la actualización docente, con el mismo criterio de empresa nacional con que pone en ejecución la tarea de impartir instrucción a los niños y a los jóvenes.

Creo que los profesores de matemática y los maestros encargados de enseñar una mate­mática muy distinta de la que ellos mismos han aprendido, tienen derecho a negarse a po­ner en ejecución los nuevos programas si no se les resuelve total y previamente el problema de su actualización. Creo también que si hasta ahora los maestros y los profesores de mate­mática han puesto una excesiva buena volun­tad en llevar adelante una tarea imposible, es porque no han tomado claramente conciencia de la injusticia que se está cometiendo con ellos ni de lo descabellado de la tarea les exige. Me agradaría saber qué sucedería si

de un día para otro el gobierno decidiera biar los ferrocarriles por aviones y comunicara simplemente al personal ferroviario que debe actualizarse y que cada uno se las debe glar como pueda para llevar a cabo con toda felicidad esa transformación.

Que la actualización de los docentes es el problema crucial de la reforma de la enseñan za de la matemática, es un principio pedagó­gico muy conocido por todos excepto por los funcionarios que en ciertos países tienen la responsabilidad de conducir la política educa­tiva. En el número anterior de esta revista se publicaron sendos artículos de dos matemáticos eminentes, que tienen participación activa y decisiva en el movimiento mundial por la re forma de la enseñanza de la matemática; como era de prever, ambos ponen singular énfasis en el problema de la actualización docente. Dice André Lichnerowicz, presidente de la Comi­sión Internacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática:

"La calidad de una enseñanza, la posibi­lidad de mutaciones cuidadosamente elabo­radas, descansa en primer término sobre los maestros que efectúan esa enseñanza mate­mática. Casi afirmaría gustoso que en adelante los maestros de matemática ocuparán un lugar entre los hombres más importantes de nuestra sociedad, aquéllos que determinarán profunda­mente su futuro."

Y dice Marshall Stone, figura de prestigio mundial en los planos de la investigación y de la enseñanza:

"Uno de los más arduos problemas de la

correctos desde el punto de vista científico: en muchos de ellos hay fundamentales errores de concepto, que de ningún modo pueden atribuirse a descuidos o a defectos de impre­sión. La indiferencia total de las autoridades ante este fenómeno ha de basarse —se me ocu­rre— en un mal entendido respeto por la liber­tad de prensa. No se discute que-alguien tenga derecho a publicar libros de matemática plaga­dos de errores: hasta ahí llega la libertad de prensa; otra cosa completamente distinta es aceptar un libro tal como texto de enseñanza en la escuela pública. Volviendo al símil de los ferrocarriles insinuado en el punto anterior, imaginemos que —además de decidir de un día para otro el cambio de ferrocarriles por avio­nes y de comunicar al personal ferroviario que debe arreglárselas como pueda— el gobierno permitiera la adopción oficial de manuales de instrucción sobre el manejo de aviones, es­critos apresuradamente para llenar un fin evi­dentemente lucrativo y pletóricos de gruesos errores.

se prometió una investigación oficial. Hasta donde llegan mis informaciones, los resultados de esa investigación no han sido todavía dados a publicidad. El caso es importante, pues esta­rían implicados en esta situación algunos de esos asesores que en los últimos años han fre­cuentado el Ministerio de Educación. El re­sultado más interesante que podría tener una investigación como la mencionada sería, a mi juicio, que conoceríamos por fin —aunque por un medio un tanto indirecto— la identidad de quienes elaboran los planes de matemática en este país.

4) Las actuaciones del Ministerio de Educa­ción y del Conade en lo que se refiere a la reforma educativa han tenido un marcado ca­rácter tecnocrático; dejando de lado toda dis­cusión acerca de la conveniencia de imprimir tal carácter a la puesta en marcha de una re­forma educativa, resulta curioso advertir que esta solución tecnocrática tiene serias deficien­cias precisamente desde el punto de vista téc­nico. Entre todos los funcionarios que, de un modo u otro, intervinieron en la elaboración de la llamada "reforma educativa", no hay uno so/o que sea matemático profesional; sin embargo, la reforma de los planes de estudio y de los programas de matemática es presentada como uno de los aspectos de la reforma edu­cativa. Llamativos tecnócratas, que creen con­veniente prescindir de los técnicos en matemá­tica cuando se trata de reformar los planes de enseñanza de la matemática.

5) Los temas llamados "de matemática mo­derna" que se han incorporado a los progra­mas poseen un marcado efecto negativo: apa­recen aislados, desvinculados del resto, con lo cuál el alumno recibe la impresión de que se trata de temas gratuitos e inútiles. Si el punto de vista de la teoría de conjuntos no se adop­ta en forma coherente y sistemática en la tota­lidad de la enseñanza, su efecto unificador y su capacidad de proporcionar una base con­ceptual simple y potente, se pierden por com­pleto. La inclusión de ideas conjuntistas en te­mas aislados, como se hace ahora, resulta per­judicial para la formación intelectual del alum­no, pues éste se ve así sometido a saltar incomprensiblemente de un punto de vista a otro, sin lograr en ningún momento una com­prensión global y estructural de la metodolo­gía matemática. Más aún: la mezcla de lenguajes y concepciones irreconciliables tiene consecuencias caóticas, y el desconcierto al-

cam-

arre-

1

Balance y perspectivasTengo la impresión de que muchos han

subestimado la dificultad del problema: los conjuntos pintados, el símbolo de pertenencia cuidadosamente dibujado, los ejemplos familia­res acerca de tías, perros y flores, confieren a las nociones conjuntistas un aire rosado e ino­fensivo. Pero lo cierto es que —aún en los ni­veles más elementales— el tema es profundo y difícil. A pesar de los cursos de actualización (bien o mal dictados), a pesar de los abun­dantes libros (bien o mal escritos), a pesar de las conferencias y de los congresos, y a pesar de los varios años transcurridos, todavía esta- mos muy lejos de haber logrado un buen nivel de actualización global en el profesorado secundario de matemática; todavía son muy frecuentes las confusiones sobre temas funda­mentales. Voy a mencionar un solo ejemplo entre muchos: todavía se cometen demasiado a menudo errores de enfoque en la definición y en el tratamiento de las relaciones de orden; más específicamente: todavía se presentan de­masiado a menudo serias dudas cuando se tra­ta de establecer si una relación puede ser simultáneamente simétrica y antisimétrica. Es­ta es una cuestión que corresponde a los nive­les más elementales de la teoría de conjuntos, pero requiere una sutileza de pensamiento y una claridad de ¡deas que, a mi juicio, todavía

reforma es la preparación de los maestros y profesores para que sean capaces de enseñar los tópicos modernos, y hay que confesar que muchas veces no sabemos cómo hacerlo. En­tiendo que una vez que se ha decidido que un país modernizará el programa oficial, debería ser posible organizar un plan de estudios parael adiestramiento de los profesores.'

Frases como éstas se han escrito y dicho miles de veces en todo el mundo durante diez años. La doctrina que ellas sintetizan es per­fectamente conocida por maestros, profesores e investigadores. Los únicos que todavía no la han aprendido son los planificadores y los ex­

funciones

1I

i

pertos en educación que ocupan directivas en algunos países: en ellos reside el subdesarrollo.

7) De los libros de matemática que los alumnos usan como texto, no

que setodos son

14 15

;.\

sumen orgánico sobre las características de la matemática moderna y sus posibilidades de apli­cación en todos los niveles de la enseñanza. Esta propuesta tiene el carácter de una peregrinación a las fuentes: ya que se trata de enseñar la matemá­tica moderna, averigüemos antes qué debe enten­derse por tal expresión, y cuáles son las caracte­rísticas relevantes que debe tomar en cuenta cualquier plan educativo. Los únicos que están en condiciones de suministrar esta información eminentemente técnica son los matemáticos profesionales, y el organismo que tiene las ma­yores probabilidades de acertar en la designa­ción de esa Comisión es la asociación profe­sional que reúne a los matemáticos argentinos. Debe encomendarse, pues, a la Unión Matemá­tica Argentina, que proponga los integrantes de la Comisión Nacional de Matemática.

4) Ampliar, con el nombramiento de algu­nos matemáticos profesionales designados por las universidades nacionales, la Comisión Na­cional para la Enseñanza de la Matemática —que ya existe- y encomendar a esta Comi­sión la tarea específica de elaborar programas sintéticos de matemática para los ciclos pri­mario y secundario, sobre la base del resumen orgánico elaborado previamente por la Comi­sión Nacional de Matemática mencionada en el punto anterior.

5) Encomendar a la misma Comisión Na­cional de Matemática mencionada en el punto 3, el nombramiento de todas las personas que actuarían en el Plan de Actualización Docente en Matemática, con excepción de las que re­presenten a las asociaciones profesionales y/o gremiales de maestros y profesores, y al INEC. El Plan deberá estar concebido de tal modo que se cumplan por lo menos los dos objetivos siguientes: a) Asegurar la actualización de to­dos los docentes de matemática en un plazo no superior a los cinco años; b) Asegurar la actualización permanente de los docentes por tiempo indefinido, mediante mecanismos efi­cientes y ágiles.

6) Poner en vigencia gradualmente los pro­gramas elaborados por la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática, según lo expresado en el punto 4.

7) Dar a publicidad los programas con más de un año de anticipación a su puesta en vi­gencia: éste es el único método por el cual se podrá eliminar toda suspicacia con respecto a la aparición súbita de libros que responden a programas adoptados precipitadamente. Es, a- demás, el único método por el cual se puede

no han sido logradas con la amplitud deseable. Ejemplos como éste revelan que la cuestión no es fácil ni sencilla y que, si bien contamos con unt profesorado secundario en matemática de muy alto nivel, las dificultades naturales e in­trínsecas del tema hacen que el problema de la actualización docente sea sumamente deli­cado.

estimular a los autores para que escriban libros de texto con el cuidado y la dedicación que el caso requiere. En un comienzo, el plazo debe ser de dos años.

8) Encomendar a la Comisión Nacional de Matemática mencionada en el punto 3, que nombre una Comisión de Lectura de textos de matemática. Es esencial que las tareas de esta Comisión de Lectura sean retribuidas con honorarios adecuados y sean compatibles con el régimen de dedicación exclusiva de las uni­versidades. Esta Comisión leería los textos sometidos a su consideración y elaboraría dic­támenes sintéticos acerca de la presencia o ausencia de errores científicos. Sobre la base de tales dictámenes, el Ministerio de Educación aprobaría o desaprobaría los libros de texto de matemática que editoriales y autores some­tieran a su consideración.

9) Apoyar y promover la investigación se­ria en enseñanza de la matemática, sobre todo en los niveles primario y secundario. En este sentido, en nuestro país nó se ha hecho nada,

lo cual contrasta con la obra notable que se ha llevado a cabo en otros países, como Fran­cia, Bélgica y Canadá.

10) Estimular por medios concretos y efec­tivos el perfeccionamiento científico y pedagó­gico de los docentes de matemática.

Palabras finalesNinguna reforma educativa tendrá éxito si

no se la promueve por medios democráticos ¡dóneos para obtener la colaboración entu­siasta de todos. Ninguna reforma educativa tendrá éxito si no se cuenta con un personal docente decorosamente remunerado; con un sistema de información racional que evite toda desorientación al maestro, al profesor y al alumno; y con un sistema de estímulos mate­riales, morales e intelectuales que permita a los docentes -en todo el ámbito del país- emprender con optimismo la delicada tarea de convertir a nuestros hijos en protagonistas del renacimiento cultural de nuestra época.

Si ésta es la situación en la enseñanza se­cundaria, fácil es imaginar cuál puede ser en el nivel primario, donde los maestros carecen de la especialización que poseen los profesores de matemática, y donde la supuesta actualización ha sido llevada a cabo en forma mucho más apresurada, más caótica y más irresponsable. Un mínimo de sensatez indica que debe sus­penderse de inmediato todo intento de intro­ducción de la llamada matemática "moderna" en la escuela primaria e iniciar, en cambio, un proceso bien calculado y planificado de actua­lización de los maestros, extremando las pre­cauciones para que esta tarea recaiga en manos idóneas y para cerrar el paso a los productores de manuales y recetarios lucrativos.

El balance es francamente negativo: con programas mal confeccionados, con un perso­nal docente de alta capacidad pero que no halla oportunidades orgánicas ni estímulos adecuados para su actualización en escala na­cional, y con textos que, en general, no satis­facen requisitos mínimos de seriedad

científica, la enseñanza de la llamada "mate­mática moderna" está en una difícil encruci­jada en el nivel secundario, y ante la perspec­tiva de un fracaso total en el nivel primario.

Se ha causado ya un daño irreparable a la educación argentina, pero se está a tiempo —naturalmente— de evitar que se causen nue­vos daños irreparables. Para ello se deben to­mar algunas medidas urgentes, entre las cuales podrían contarse las que siguen:

1) Dar a publicidad las actuaciones del Primer Simposio para la Enseñanza de las Ciencias, desarrollado en Córdoba en 1968.

2) Congelar los programas de matemática de la escuela secundaria hasta que llegue el momento de efectuar una auténtica reforma, y suprimir drásticamente todo intento de intro­ducir la llamada "matemática moderna" en la escuela primaria, también hasta que llegue el momento de efectuar una auténtica reforma.

3) Crear una Comisión Nacional de Mate­mática, integrada por matemáticos profesio­nales, que se encargaría de redactar

\

(viene de pág. 11)parezca. Pensamos naturalmente que la clase de pares (por ejemplo) es algo diferente al nú­mero 2. Pero no existe duda acerca de la clase de pares; es indubitable y no difícil de definir, en tanto que el número 2, en cualquier otro sentido, es una entidad qietafísica sobre la cual nunca podemos estar seguros que exista o cuya pista podamos seguir. Por tanto, es más prudente contentarse con la clase de pares, de la cual estamos seguros, que perseguir a un problemático número 2 que siempre puede, debe, permanecer esquivo.

El número de una dase es la dase de todas las clases que son semejantes a ella.

Así el número de un par será la clase de todos los pares. En efecto, la clase de todos los pares será el número 2, de acuerdo con nuestra definición. A expensas de una pequeña singularidad, esta definición asegura definitivi- dad e indubitabilidad, y no es difícil probar que los números así definidos tienen todas las demás propiedades que esperamos tengan los números.

Podemos ahora definir números en general cualquiera de los haces en que la seme-

i las clases. Un número será un , de clases tales que dos cualesquiera

semejantes entre sí y ninguna exterior es ¡emejante a ninguna que pertenezca al conjun­to. En otros términos, un número (en general)

es cualquier colección que es el número de sus miembros, o más simplemente todavía.

Un número es algo que es el número de alguna dase.

Una definición tal tiene la apariencia verval de ser circular, pero en realidad no lo es. Defi­nimos el "número de una clase dada" sin usar la noción de número en general; por tanto, podemos definir número en general mediante el "número de una clase dada" sin cometer ningún error lógico.

Las definiciones de esta clase son en verdad muy comunes. La clase de los padres, por ejemplo, podría definirse definiendo primero en qué consiste ser el padre de alguien; luego la clase de los padres será la de todos aquellos que son padres de algo. Semejantemente, si necesitamos definir los números cuadrados (di­gamos), debemos definir primero lo que enten­demos al decir que un número es el cuadrado de otro, y luego definir los números cuadrados como aquéllos que son los cuadrados de otros números. Esta manera de proceder es muy común, y es importante comprender que es legítimo y muy a menudo necesario.

Hemos dado, pues, una definición de los números que servirá para colecciones finitas Queda por ver si servirá para colecciones infi­nitas. Pero primero debemos decidir qué entendemos por "finito" e "infinito".

1

comojanza reúne aconjuntoson

un re-

16 17

i

■

expresa: longitud de AB/ longitud de U — a, lo que se lee: medida de AB con respecto a 0).

material plástico. El material más adecuado es aquél que presenta una superficie despulida y traslúcida.

Se recorta un trozo rectangular de 1,5 a 3 cm de ancho y de 10 a 15 cm de largo. Claro está que estos valores pueden variar mu­cho, de acuerdo con el uso. También resulta práctico tener preparados varios p.s. dife­rentes medidas.

r-----II5. Efectuar operaciones con segmentos: su­

reste, multiplicación por un número abs-i aA

ma ytracto. Producto de segmentos.

6. División de un segmento por un número abstracto: a/n = b; a/b = n, siendo n un núme­ro abstracto. El número n expresa la razón

>

c9geométrica a : b = n. En este caso conviene comenzar haciendo que b sea parte alícuota de a, (Principio de la divisibilidad de Arquíme- des). Este proceso llevará al concepto de medi­da de un segmento.

Las operaciones fundamentales que es nece­sario aplicar para la solución de los ejercicios propuestos son las siguientes:

—trazar la mediatriz de un segmento;—segmentos y ángulos consecutivos ordena­

damente congruentes a otros segmentos y ángulos dados;

—trazado de la bisectriz de un ángulo.Veamos, a continuación, algunos ejemplos

que, como hemos dicho, se han resuelto utili­zando como única herramienta el portaseg- mentos. En las construcciones que se propo­nen se aplican las propiedades de la regla y de las paralelas.

1o. Trazas la perpendicular a una recta. Sea a la recta dada. (Fig. 2)

Colocar el p.s. en las posiciones (1) y (2). Se marcan los puntos M, N, A y B.

><r

Fig. 3i

mediante los trazos b, b'; c, c'; e, e'; d, d'. Trazando la recta que contenga los puntos M

*r>

y N se tendrá la perpendicular pía. (Fig. 3)2o. Trazar la mediatriz de un segmento.

Este problema puede tener otro enunciado: di­vidir un segmento en dos partes iguales (y por reiteración dividir un segmento en 2n partes ¡guales), etc.

Se apoya el p.s. en los extremos del seg­mento dado (A, B) en las posiciones ( ' y (2) de la fig. 4 y se marcan los trazos a, i y b, b'. Quedarán determinados los puntos M • N

oque definen la perpendicular p, la cual con. •

Nne al punto C tal que AC = CB.

Para el caso del segmento, basta observar lafigura.

En cuanto al ángulo, se hace coincidir uno de los bordes del p.s. (posición 1) con uno de los lados del ángulo, por ejemplo, OM. Se marcan en el p.s. el vértice O y la intersec­ción N. Luego se lleva el p.s. a la posición 2 sobre la recta mn sobre la cual se ha de trans­portar el ÑOM. Se marcan los puntos N', O' y M' y se obtendrá N'O'M' = ÑOM.

En este ejercicio se aplica el carácter transi­tivo de la congruencia de ángulos.

4°. Trazado de la bisectriz de un ángulo.Este ejercicio puede resolverse de distintas

laneras:a) Sea xoy el ángulo dado.Se coloca el p.s. en la posición (1) (fig. 6)

se hace el trazo a'; luego se coloca el p.s. enposición (2) y se hace el trazo a". Así se

‘termina el punto O'. Se traza la semirrecta ► •*>

0' = b' que es la bisectriz pedida.

La fig. 1 muestra su uso para trazar las rectas'a y*6 que ¡ntersectan a la mm' en los puntos A y B.

Uso del portasegmentos

Creo que convendría comenzar efectuando algunas actividades que contribuyan a la ad­quisición de conceptos básicos, por ejemplo:

1. Probar que por dos puntos pasa sola­mente una recta. (Dos puntos determinan una recta)

/*

(O \

^ a —-Xz

/i(

•>- CÍ Vr

✓ ■—

c2. Comparar segmentos mediante el p.s.; llegar a la conclusión a = b; a > b o a < b. (Concepto: Los segmentos son magnitudes)

3. Dar la idea de segmentos consecutivos colineales. Probar que a + b = c (Concepto: Los segmentos son magnitudes aritméticas).

4. Siempre es posible expresar la longitud de un segmento en función de un segmento tomado como unidad. (Concepto: La medida de un segmento es un número abstracto que

y s^ ^ ó

(z) ;/Vf/,/ ✓ N. c J/>

I N /

Fig. 430. Transporte de un segmento y de un

ángulo.Fig. 2\

2223

Aplicando el trazado de perpendiculares (figs. 2, 3 y 4) y de la bisectriz (figs. 6 y 7)

podrán construir ángulos de 90°, 45°, 22°30\ 135°, etc.

6o. Construcción de ángulos de 60°, 30°, 15°, 120°, etc.

Sea mm' la recta dada y P el punto desde*. ■ > ,

el cual se desea trazar la perpendicular a mmb) Otro procedimiento podría ser el si­

guiente.La fig. 10 muestra distintos ángulos relacio­

nados con el de 60°.7o. Trazado de paralelas.se (Fig. 12)

Se comienza colocando el p.s. en la posi­ción (1) de manera que uno de sus bordes cor­

e­ te a mrn' y contenga a P. Se marcan en el p.s. los puntos A y B, de modo que A coincidirá

punto M y B con P. Se lleva luego el

c?

i(y/ i con un

p.s. a la posición (2) haciendo coincidir a B con P y a A con un punto de mm' que llama-

3 ó '

nn /N. Se comprende fácilmente que

M G'mm'; N £ mm' y MP= NP.Se traza la'mediatriz del segmento MN co­

mo se ha visto en las figs. 2, 3 y 4. Sea xy’lMN en P'; MP'= NP'. PP' es la parte de la perpendicular xy>que mide la distancia de P a mm'.

Este problema puede tener distintos enun­ciados, como por ejemplo:

—hallar la distancia de un punto a una rec-

remos

o/

*rn ii

/ \L

d'ifFig. 7

Sobre OX se toman los segmentos ÓM y ÓN arbitrarios. Se toma OM' = OM y M'N' — MÑ. Se une N con M'y M con N' con lo que quedará determinado el punto O'. Se traza la semirrecta OO' = b, que es la bisectriz pedida.

Este ejercicio puede enunciarse de distintas maneras:

-dividir un ángulo en dos partes iguales;—trazar el lugar geométrico de los puntos

del plano que equidistan de los lados del ángulo;

—trazar la semirrecta que contenga los cen­tros de las circunferencias tales que los lados del ángulo sean tangentes a dichas circunferencias.

Por reiteración del problema se podrá divi­dir el ángulo en 2n partes ¡guales.

5o. Construir un ángulo de 45°, 90°, 135°, etc.

Fig. 11 ta;i—construcción de un triángulo isósceles da­

da la base (MÑ) y la altura (PT>').9°. Construir un cuadrado dado el lado.

Se comienza trazando la recta at Se coloca el p.s. en la posición (1) y se traza una recta ScP cualquiera, secante a aT, marcando en el p.s. los puntos A y B. La recta ácF*es la direc­triz. Para cualquier posición en que los puntos A y B coincidan con la directriz Sd*, los bor­des del p.s. pertenecen a rectas paralelas. Así tendremos: a H b H c H d H e H\ H', etc.

8o. Por un punto exterior a una recta tra­zar una perpendicular a dicha recta.

Fig. 9

Se comienza trazando la recta mm' y sobre ella se marcan los puntos A y B y la perpendi­cular en su punto medio M. Sobre el p.s. se marcan los puntos A' y B' tales que Á'B' = ÁB. Se coloca el p.s. en la posi­ción (1), haciendo coincidir A' con A y B' con la perpendicular p sobre la cual se marca el punto C. El ángulo CAB es de 60°.

La^fig. 9 muestra cómo mediante la bisec­triz Ab se forma el ángulo de 30°; de igual manera podría obtenerse el de 15° ral, el de 60°/2n.

1>\p

vY

p' '•Y

- '&*> \

y, en gene-

-Xx**/ (O Tb 6'

!/ i* / \ \/ \/ \/ \ i/ i\/ \/ d \/ \\* /b / \\

Fig. 13\/ \/\ / \

v'

Pf Sobre una recta xy*se toma AB= l según lo visto antes (figs. 2, 3 y 4). Se trazan~p y"p' perpendiculares a AB én A y B, respectiva­mente. Sobre ellas se toman AD = AB y BC = AB. Se obtienen los puntos A, B, C y D que son los vértices del cuadrado ABCD pe­dido.

V nih IN/ni

I¡y

Fig. 8 Fig. 10 Fig. 12

24 25

dio M. La recta rñm' corta a ÁTp y a Áy en B y en D. A, Bf C, D son los vértices del cuadra­do pedido.

11°. Construir un rombo dada la diagonal y un lado.

10°. Construir un cuadrado dada la diago-LA ENSEÑANZA PRIMARIA

LENGUAJE Y NOTACION

CONJUNTISTAV

JAMES W. HEDDENS . (Estadps Unidos)Actividades de los niños

Los conjuntos equivalentes, no equivalentes e ¡guales presentan situaciones que desarrollan la conciencia de la necesidad de hacer elecciones discriminatorias. Si se ofrece a un niño una elección entre dos conjuntos de barras de chocolate —uno de cuatro barras y el otro de dos— no tiene ninguna dificultad para decidir si son equivalentes.

En una situación más abstracta crece la dificultad de identificación. Esto se aclarará mediante muchas experiencias de correspondencias biunívocas entre conjuntos. La comparación de conjuntos que no tienen el mismo número de miembros o elementos ayudará a desarrollar la discriminación visual. Finalmente, a medida que el niño progresa hasta el punto de que puede comprender y usar el simbolismo más adecuado de los paréntesis, está comenzando a aplicar su comprensión de los conjuntos y de la notación conjuntista para objetivos de comprensión e identificación.

(

A

iV

7Sobre una recta xy se toma AC = d. Se tra-

íb la perpendicular en el punto medio_de AC (figs. 3 y 4): pp\L AC, que corta a AC en el punto medio (ÁM ^ MC). Sobre pp', a partir de M se toma MDaMBaÁM. ABCD es el cuadrado pedido.

Este ejercicio puede efectuarse de otra ma-

Sobre una recta xy se toma la diagonal d; d = AC. Se traza la mediatriz de AC, quedan­do determinado el punto M, (fig. 4). Con el p.s. se toma el lado I y apoyando en A se corta la perpendicular 'pp’ en D, en la posi­ción (1): AD = 1. Luego se repite la operación en (2) y se obtiene CD_= I.

A, B, C, D son los vértices del rombo pedi-

PRIMER Y SEGUNDO GRADO

Conjuntos equivalentes y no equivalentes

• Haga poner de pie a un grupo de cinco niños. Luego, haga poner de pie a otro grupo de cinco niños, haga que cada niño del primer grupo encuentre un compañero en el segundo grupo. Pregúntese a la clase si los dos conjuntos son equivalentes. Pídase a otro niño que escriba el símbolo que designa al número de cada grupo. Muchas variaciones de esta actividad pueden hacerse

otros objetos concretos, dibujos sobre el pizarrón y representaciones sobre el franelógrafo.• Dibuje una línea numérica de "cuadrados” sobre el piso.

ñera:

I b/r7J

do.I conó 120. Construir un rombo dadas las dia­

gonales.I

3 52 61 7I*'-^7

IFig. 1*

b yA f/V' /V I

Haga que los niños se paren sobre los cuadrados en correspondencia biunívoca.• Disponga niños en dos grupos, 6 en un grupo, 4 en el otro. Haga que los niños del primer

grupo encuentren compañeros en el segundo grupo. Pregunte a la clase si los dos conjuntos equivalentes. Pregunte cuál conjunto tiene más. Haga que un niño escriba los símbolos que representan el número de cada grupo.

• Disponga dos conjuntos en el pizarrón o en el franelógrafo.

:

d son

Fig. 15

En un punto A de xy* se traza 1 xy. Se construye la bisectriz ÁÍ> como se indicó en la fig. 6. Sobre ÁÉ,AC = d. Se traza mm' 1 AC en su punto me- □□□□□a partir de A se marca

Fig. 2

26 27

■

niño escriba el número debajo de cada conjunto y diga qué conjunto tiene menosHaga que un elementos.

• Sobre el pizarrón dibuje un gráfico de conjuntos.

• ¿Cuál conjunto tiene menos objetos?

★ ★ ★

★ ★ ★á£&AA □□□□OOO

Fig. 3 Fig. 8

De una colección de dibujos de conjuntos, haga que un niño seleccione uno que represente más que cada uno de los conjuntos anteriores. Luego haga que un niño seleccione uno que represente menos que cada uno de los conjuntos anteriores.

• En cada una de las segundas regiones de los gráficos que siguen dibuje un conjunto con un elemento más que los que se encuentran e». el conjunto dado:

• ¿Cuáles conjuntos tienen el mismo número de objetos?

afcajojí tt * **t

R S TFig. 9í'

• Dibuje rayas para mostrar cuántos caramelos hay para cada niño.Fig. 4

Conjuntos equivalentes

• Marque el conjunto que tiene el mayor número de objetos.

OG0QGGÍ90i

(★jT★ Coo og^)^o o o cPcj) dcT^ CFig. 10

!5 3 4 ó 2 0• Dibuje rayas para mostrar cuántos globos hay para cada niño.

Fig. 5

K3• Marque el conjunto que tiene el menor número de objetos.

CO) Q r \>

;■ □ Q □BBS

a a aD B

l- Fig. 113 2 7 5 2

• Encierre en un círculo la cifra que designa al número mayor.Fig. 6• ¿Cuál conjunto tiene más objetos?

23 5 2 1o o oFig. 7 187 ó■ o 9o o

Fig. 12

28 29

• Encierre en un círculo al símbolo que designa al númerocírculo la cifra que designa al número menor. menor.• Encierre en un

74 o 712 16 -0 55 o 4489 o2 o6 o

19 Q 20

123 o 1323 79 ° 97 15 o 5145 o731 oo

203 - 320 230 ° 032Fig. 13

¿Cuál conjunto tiene menos elementos?!

• ¿Cuál conjunto tiene más elementos? Fig. 17.

TERCER Y CUARTO GRADO.

Conjuntos equivalentes, no equivalentes o ¡guales

• Compare los siguientes conjuntos.DBA iConjunto A = ---------- , -Conjunto B = ---------- , —Los conjuntos A y B son Conjunto A = Conjunto B

□ □ □ □ □ □ □□ A □ OAno*0*0*0'*0 *0

9 9 9*e 9□ □ conjunto Bconjunto A

• Conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5 } Conjunto D = { 1, 3, 5, 2, 4 } Los conjuntos C y D son ----

H Conjunto G = {1, 2, 3, 4 } Conjunto H = {2, 3, 4, 5}¿Es conjunto G = ConjuntoH?

GFEFig. 14

más elementos que el conjunto dado. Dibuje un conjunto con menos# Dibuje un conjunto con elementos que el conjunto dado. Sue

John

* * #

# # V.Joe

menos elementosmás elementos • ¿Los conjuntos A, B y C (pueden, no pueden) ser puestos en correspondencia biunívoca?

Los conjuntos A, B y C son (¡guales, equivalentes).

• Conjunto X = { 2, 4, 6} Conjunto. Y = {3, 5, 7 }Conjunto X

• Conjunto A = { □, o, a } Conjunto B = {A*oa}

Conjunto A

9 Represente cada uno de los siguientes conjuntos encerrando sus elementos entre llaves.

Fig. 15

círculo al símbolo que designa al número mayor.9 Encierre en unConjunto Y(=, =£}í

19 « 1745 ° 46

99 ° 9028 ° 18 Conjunto B(=, =£ )

66 0 771011 o

345 0 435100 » 101222 - 232 a) Un conjunto de cuatro nombres de niños que comienzan con la letra J.b) Un conjunto de los nombres de tres provincias.

Use llaves para encerrar conjuntos que sean equivalentes pero no ¡guales a los dos conjuntos anteriores. Luego forme conjuntos ¡guales a los dos conjuntos.

Fig. 16

31

30

QUINTO Y SEXTO GRADO ® ¿Puede Ud. pensar algunos de los subconjuntos de los siguientes conjuntos dados? Puede haber más de uno:

el conjunto de los estudiantes de su escuela; el conjunto de los números naturales menores que 10; el conjunto de los estudiantes de su clase.

• Conjunto K = Saúl, Saverio, SeverinoEscriba todos los posibles subconjuntos del conjunto K.• Empleando la siguiente lista de subconjuntos, escriba un conjunto de cuatro elementos tal

que todos puedan ser subconjuntos de él.

{Juan, José, Julio} ; {José, Julio} ; {Juan} ;j lomas, Julio} ; {Juan, Tomás}

• Nombre dos subconjuntos de cada uno de los siguientes conjuntos.

Conjunto C ={ 8, 10 } ; Conjunto D = { r, s } ; Conjunto E = { Juan, Tomás, José }

• ¿Verdadero o falso?

a) Cada elemento de { 1,2} es elemento de 1, 2, 3, 4 }b) Cada elemento de{ 4, 3, 2, 1} es elemento de 2, 1 }c) Cada elemento de{ 3, 9, 4, 8 } es elemento de 4, 8, 3, 9}d) Cada elemento dej 9, 4, 8} es elemento de 8, 3, 4, 9 } .

• Conjunto R CConjunto S significa que Conjunto R es un Conjunto A

Conjuntos equivalentes, no equivalentes e iguales

• Compare los siguientes conjuntos.

;i

Fig. 20del Conjunto S.

Conjunto B significa que Conjunto A es un subconjunto del Conjunto B.¿Cuáles conjuntos, si los hay, son equivalentes?¿Cual.es conjuntos, si los hay, son iguales?

• Examine los siguientes conjuntos y luego indique cuáles de los siguientes juicios son verdaderos (V) y cuáles son falsos (F).

Conjunto A = \ Conjunto B = ) Conjunto C =oA oI /

i Fig. 23Conjunto A Conjunto B- Conjunto Cj-Tom Conjunto A = Conjunto B Conjunto A =£ Conjunto B Conjunto A <-*■ Conjunto B Conjunto A Conjunto B

Joe T I BillJack CConjunto-----— del Conjunto

CConjunto y conjunto-

Conjunto son ambos -

ConjuntoConjuntoSet BSet AI

{1. 3, 5. 7) Conjunto C = Conjunto DConjunto C i=- Conjunto DConjunto C *-*■ Conjunto DConjunto C </*■ Conjunto D

Set C Set D (3, 7. 1, 5}

; ¡'

Conjunto E = Conjunto FConjunto E Conjunto F Conjunto E Conjunto E V* Conjunto F

Set E Set F

< □ ☆}{ o □ o > Fig. 24Conjunto Fi

ide { A, B, C, D }El diagrama muestra que { B, C } es un-

Fig. 21

Subconjuntos• ¿Puede Ud. dibujar diagramas para mostrar los siguientes conjuntos y sus subconjuntos?

(▲ □ o ★ O A • Los elementos del conjunto F son tam­bién elementos del ----------

El conjunto F es un junto E.

a) el conjunto cuyos elementos son 5, 8, 2, 7 y el conjunto cuyos elementos son 2 y 7.b) el conjunto cuyos elementos son los números naturales entre 5 y 10, y el conjunto cuyos

elementos son 6 y 7.del con-Fig. 22

3332

¿Verdadero o falso? bananas, manzanas C R

7, 8, 9 <Z T bote (7 R 3, 5 C T

C S2, 3, 4, 5, 6 C T

• Examine los conjuntosConjunto R = { manzana, banana, coco \ Conjunto S = { auto, bote, tren } Conjunto T ={ 2, 3, 4, 5, 6 }

MatemáticaSEXTO GRADO

OSCAR L. ISNARDI (Argentina)Conjunto universal

Dos artes, la plástica y la música, tienen a la matemática como elemento fundamental pa­ra su correcta realización. Nos referiremos, ahora, a la plástica exclusivamente.

La pintura concreta de nuestros días usa esencialmente de las relaciones geométricas centradas en los casos de simetría y sus com­posiciones. Un buen artista de la pintura y el dibujo actual no puede ignorar el manejo del par de ejes coordenados cartesianos ortogo­nales y la representación de funciones.

Es de capital importancia que el maestro especial de dibujo de las escuelas primarias, intermedias y medias vaya formando a sus alumnos en imágenes geométricas y, en cola­boración con el profesor de matemática, ana­lice gráficamente, por un lado, y analítica­mente, por el otro, ciertas funciones que el educando va a usar en cualquier campo de las artes o de las ciencias.

Analicemos, entonces, cómo se deben com­poner ciertos casos geométricos sumamente ú- tiles en el dibujo:

de traslado, y sus relaciones o funciones correspondientes.• ¿Cuál puede ser un conjunto universal para cada uno de los siguientes conjuntos?

a) un conjunto de aviones de pasajeros,b) el conjunto de los números 1,3, 5, 7, 9,c) el conjunto de los números primos comprendidos entre 1 y 15.

© Si U =l{ 1, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 15} , formar los siguientes subsonjuntos:

a) el conjunto de los enteros impares.b) el conjunto de los enteros pares,c) el conjunto de los números fraccionarios,d) el conjunto de los números primos.

AMPLIACION'

i

¿Verdadero o falso?• Examine los conjuntos

U = conjunto de los números pares. M= { 0, 4, 8. 12, 16}P= {0. 2, 4, 5, 6}S = {1.3, 5, 7,9}

Fig. 2MC U PC U SC U UC U

El profesor de dibujo realiza su función artís­tica y el profesor de matemática se interna en el concepto de semejanza geométrica.

REFLEXION O SIMETRIA AXIAL

i

(viene de pág. 26) :TRASLACION

Sobre xy se toma AC = dj. Se traza la me- diatriz de AC (fig. 4). Con el mismo procedi­miento se* divide a d2 en dos partes ¡guales. Sobre pp* se toma Ñ D = Ñ B = d2/2. ABCD es el rombo pedido.

13°. Construir un triángulo equilátero da­do el lado.

Sobre una recta xy* se toma ÁB = lf lado del triángulo. Se traza la mediatriz de AB (fig. 4). Con el p.s. se marca MN' = I y apo­yándose en^A se corta a pj? en C de manera que AC = NN' = I. Se une C con B y queda determinado el triángulo equilátero ABC de la­do dado I.

Fig. 3

En este caso cobra sentido la ley de reflexión, o carácter reflejo para algunos autores. El pro­fesor de matemática irá componiendo las refle­xiones axiales y centrales.A3A:Ai;ROTACION

><o Fig. 1* :

Mientras el profesor de dibujo realiza este grá­fico técnicamente, el profesor de matemática introduce la noción de vector como elemento

Fig. 4Fig. 18

34 ■

35

,

:A

/

i

ITRASLACION REFLEXIVA Yt Lemniscata de Bernoulli.Reflexión con respecto al eje y.

Con este punto se analizará el signo del ángulo trigonométrico según el sentido de giro.

h 4)COMBINACIONES DE ESTAS REALIZACIONES r = a

Espiral de Arquímedes. Rototraslación constante.v ♦

AMPLIACION TRASLA TORIA X

yrFig. 8

u —

ROTO-TRASLACION

Estrofoide.Reflexión con respecto al eje x.

—O- ♦X1“ " -"O**-*.

'R R 2)iJ y1 x} + y3 — 3ax = 0ÓFig, 5 t

Y5)-P-- # 0 'P

*AMPLIACION ROTATORIA r = e

Espiral logarítmica.Rototraslación variable.

***Fig. 9

+ROTACION REFLEXIVA X**

******

*X

Folium de Descartes.Reflexión con respecto a la función y = x.Fig. 10

Fig. 66)Estas no son las únicas posibilidades gráficas

pero sí las que dan mayores oportunidades pa­ra el trabajo.

Una vez que los alumnos dominan estos ca­sos deberán analizar algunas funciones en sus gráficos, de manera que esta simple enseñanza participa de una gran relación entre matemá­tica y dibujo en toda la carrera del estudiante, sobre todo entre bachillerato y escuela técni-

f 3) r = a sen 2 y Rosa de cuatro pétalos.

Rotación.

(x2 + y2)2 = a2(x'! —y2) ó r2 = a2 eos 2 y?

!

AMPLIACION REFLEXIVA 1 yy

i

i ca.t ■*-i

X< Por ejemplo:1)

a 4- xy2 = x2Fig. 7 (sigue en pag. 40)a - x

36 37

rio (y, casi diría, suficiente) con un

/°) También

ser consecuenteenfoque conjuntista sistemático. j se advierte el origen de aquellas espec-

tativas en que por suerte es inevitable la toma de conciencia de igualmente obvios:a) La necesidad impostergable de actualizar

planes y programas cambiando los métodos y enfoques tradicionales si se quiere evitar que la enseñanza quede al margen de la re­volución cultural de en el mundo de hoy.

b) Que tomando

bros que responden punto por punto a progra­mas adoptados para vigencia casi inmediata. (Ver por ej. el comentario editorial "Presuntas anomalías que deben- ponerse en claro"; La Prensa. 10-1-1970.)

Creo importante que la Comisión proponga y prevea medios ¡dóneos para evitar la "fabrica­ción" apresurada de textos, estimular la pro­ducción de textos variados y de calidad, y rom­per la excesiva servidumbre a un programa. En lo que sigue formulo algunas sugerencias al res­pecto.

10°) Sería redundante señalar la distancia que media entre una mera indicación de contenidos y la estructuración de un programa orgánico. En es­ta última tarea son esenciales dos aspectos: por una parte el análisis de la coherencia interna, condición primordial e ineludible en todo plan de estudios de matemática, y por otra parte el estudio de los medios metodológicos y didácti­cos idóneos para asegurar un aprendizaje ade­cuado. Curiosamente estos dos aspectos suelen presentar como antagónicos, cuando es obvio que se complementan y se apoyan mu­tuamente. Creo que esto se debe a que con harta frecuencia se considera uno solo de ellos ignorando el otro; para evitarlo es necesaria la colaboración de matemáticos profesionales y didactas. Afortunadamente ambos "sectores", asi como el de la dirección y supervisión de la enseñanza, están representados en la Comisión.

11°) Creo que

Preguntas a la

Comisión Nacionapor lo menos cuatro hechos

que somos participes

en cuenta el ritmo evolutivo de la civilización actual se advierte clara­mente que llegar, digamos en 1980, solución

cas espectativas en sectores de docentes de di­versas partes del país. Son precisamente los sec­tores más calificados por el empeño con que buscan orientarse y orientar mediante una con­ducción orgánica en el propósito de poner en marcha una sustancial modernización en la en­señanza de la matemática. Esto lo hemos cons­tatado sin duda todos los miembros, sobre to­do en los primeros tiempos, por los reiterados requerimientos que se inician con las preguntas acerca de lo que la Comisión hizo, hace o pro­yecta hacer.

5o) Es fácil advertir el origen de las espectativas y lo justificado de los requerimientos. Se viene hablando de reforma y modernización desde hace alrededor de 10 años, pero no se ha es­tructurado aún —no digamos implantado— nin­guna reforma orgánica y coherente. Han apa­recido diversos programas con sectores y pun­tos de orientación moderna; son de diversos orígenes, que a veces es difícil o tal vez impo­sible conocer, pero lo que importa es que en ellos -en cuanto conozco— los "temas moder­nos" no se articulan orgánicamente con el res­to, por lo que en definitiva producen más deso­rientación que comprensión. Además están le­jos de proveer enfoques coherentes.

6o) He señalado esta situación que estimula el flore­cer de una prosa vacua, llena de "estructuras" y "situaciones" pero carente de toda visión orgá­nica de metas o fines y de los medios ¡dóneos para alcanzarlos. Para concretar lo he hecho con referencia a la primera etapa ineludible en la actualización: la implantación de un enfoque conjuntista sistemático. Nadie duda de que hay que graduar las dificultades por etapas, esto es obvio; pero esto no significa en modo alguno adoptar un enfoque conjuntista a medias, o un enfoque "cada vez más conjuntista" por re­miendo progresivo de lo nuevo en lo viejo. Pre­cisamente muchas dificultades y desconciertos que se observan en los procesos de moderniza­ción de la enseñanza se deben a que obviamen­te el enfoque conjuntista no puede adoptarse a medias. Ello lleva a mezclar dofc concepciones,

incluso dos lenguajes incongruentes, y condu­ce a la imprecisión y al

Es un hecho indiscutible que las ideas con- juntistas conducen a una exposición estructura­da de toda la matemática. Para ello

Señor Presidente de la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática:

Doctor Luis A. Santaló

a unapara problemas planteados en

1960, lejos de denotar prudente sabiduría podría significar un absurdo anacronismo.

c) Que la velocidad de expansión de los proce­sos culturales en el mundo de hoy alienta esperanzas acerca de la implantación de una reforma orgánica que otorque estructura­ción y coherencia. Estas esperanzas quedan sólidamente fundadas en la magnitud del "gradiente de actualización" proveniente de países más avanzados, y su creciente in­fluencia en nuestro medio.

d) Que también es alentador el hecho innega­ble de que la educación es uno de los facto­res esenciales del desarrollo de los países en el cual es posible efectuar, con método, or­ganización y decisión, progresos profundos sin pasar por lentas etapas de desarrollo económico y tecnológico.

8o) Hace ya varios años se elaboraron algunos con­tenidos o anteproyectos de programas a los que se dio alguna difusión sin indicaciones sobre las bases científicas y didácticas que los funda­menten. En ese entonces, una ¡dea basada en la experiencia de otros países era esperar que la publicación de libros meditados con diversos enfoques, variados caminos y diferentes ¡deas, permitiera seleccionar pautas para estructurar planes y programas adecuados a nuestro medio.

Es bien sabido que este esquema fracasó ro­tundamente y por lo demás gran parte de los libros fueron escritos para responder paso a pa­so a contenidos prefijados.

Acaso esto se deba a un excesivo estatismo

S/D.

Tengo el agrado de dirigirme al señor Presidente con el objeto de formular -en mi carácter de miem­bro de la Comisión como representante de la Univer­sidad de Buenos Aires— algunas sugerencias sobre ta­reas a las cuales en mi opinión la Comisión puede y debe abocarse.

Ante todo reitero cuanto le manifestara en ocasio­nes anteriores así como lo propuesto en reunión re­ciente en el sentido de que la Comisión se aboque cuanto antes a la estructuración de planes y progra­mas de estudio. Entiendo que ésta y otras tareas rela­tivas a una modernización en la enseñanza de la ma­temática deben realizarse sin más demoras en forma amplia y orgánica, y al respecto formulo las consi­deraciones siguientes:

1o) Entiendo que la Comisión no debe limitarse a las tareas que le sean expresamente encomen­dadas o requeridas por organismos oficiales —como ser el proyecto de contenidos funda­mentales que elaboró respondiendo a un reque­rimiento— y quedar luego a la espera de ser consultada.

Por lo contrario, creo que aunque la Comi­sión no tenga facultades ejecutivas, puede y de­be tomar la iniciativa en el estudio de proble­mas que son de su competencia específica de acuerdo con los fundamentos de su creación

2o) La misma Comisión ha afirmado tener compe­tencia en algunos problemas y cuestiones deter­minados por ella Lo ha hecho por de pronto al constituir algunas de sus subcomisiones, co­mo la de programas de estudio, de profeso­rados y perfeccionamiento docente.

3o) Mientras la Comisión no haga oír su voz me­diante la elaboración de los proyectos y pro­puestas que resulten de su trabajo sistemático, y también señalando problemas a los organis­mos competentes para estudiarlos, o dando pautas de orientación, en mi opinión es natural —aunque no del todo aceptable— que no sea consultada por funcionarios y organismos eje­cutivos

4°) Un hecho que compromete y a la vez alienta el accionar de la Comisión es que su propia cons­titución, hace dos años y medio, despertó lógi-

seI

)

un plan de estudios realmente orgá­nico y coherente debe constar de programasbreves —acaso sintéticos para acentuar la liber­tad del profesor y del texto (ver 8o y 9°) — pero cada uno seguido de una amplia y explí­cita formulación de los cauces científicos y di­dácticos que lo fundamenten. Este último re­quisito es no solamente un ficaz recaudo para garantizar la "organicidad" del programa; ade­más hace que éste sea realmente orientador pa­pa el docente en la imprescindible clarificación de fines o metas, y de las alternativas de dios idóneos para alcanzarlos según cauces de naturalidad y coherencia.

Lo realmente importante en los programas es la organicidad. En particular creo muy perni­cioso introducir algunos conceptos conjuntistas que luego no se utilizan sistemáticamente. Si se opta por adoptar un punto de vista conjuntista, que es fuertemente normativo, toda la enseñan­za debe ser consecuente con este enfoque; de lo contrario no se logra nada de la gran simpli­ficación que puede proveer.

En resumen, creo que los programas sintéti­cos y a la vez fundamentados, aseguran por parte del Estado una conducción efectiva preci­samente por ser una conducción con libertad, y desde luego sin el paternalismo que ha resul­tado nefasto en todos los órdenes y países y sería desde luego inaceptable en el plano cultu-

me-

i

vigente entonces en la aplicación del curricu­lum. Si bien en este aspecto se advierte un loa­ble progreso hacia lo que podríamos llamar —con redundancia sólo aparente— la mentali­dad liberal del Mundo Libre, lo cierto es que por momentos nuestro esquema curricular edu cativo fue en la práctica más estatista que los de algunos estados totalitarios, al menos a juz­gar por documentos recientes provenientes de países socialistas.

9o) A primera vista parecería sin interés actual se­ñalar que otrora fue inútil esperar libros varia­dos antes de estructurar programas. El hecho es que subsiste una marcada tendencia a ajustarse muy estrictamente a programas oficiales a veces detallados. Por otra parte, en ocasiones se ha señalado y criticado la aparición súbita de l¡-

1

eral.caos.

12°) La única manera de evitar la "fabricación" pre­cipitada de textos, y episodios como los señala­dos en 9o, es dar a publicidad programas aprobación definitiva y amplia anticipación

es necesa- cona

38!39

i-i

j

j

a) Redacción de anteproyectos cuyos conteni­dos y estructuración sean susceptibles de conferir, desde un punto de vista científico,

la matemática de la enseñanza secundaria la fisonomía de la matemática actual.

b) Estudio de estos anteproyectos con referen­cia a sus posibilidades y conveniencias di­dácticas y pedagógicas.

c) Síntesis de lo realizado en las dos etapas anteriores y redacción de los programas y de su fundamentación.

11, Tener especialmente en cuenta en la elabo­ración de los programas nuevos los siguientes temas:a) Desarrollo consecuente del punto de vista

conjuntista.b) Desarrollo consecuente del punto de vista

vectorial.c) Desarrollo sistemático y coherente de la

geometría a través del concepto de transfor­mación. Uso del álgebra de la composición de transformaciones y de los grupos corres­pondientes en el estudio y la estructuración de la geometría.

d) Desarrollo de las estructuras abstractas del álgebra con aplicaciones inmediatas a diver­sas ramas de la aritmética, del álgebra y de la geometría.

12. Aplicar los mismos criterios para la elabo­ración de programas para cursos experimen­tales.

15°) Es cierto que los recaudos contenidos en la parte 10 a, b, c de estas recomendaciones obli­gan a una tarea ardua, pero su aplicación co­rrecta es poco menos que ineludible para gara­ntizar una labor eficaz en la estructuración de una reforma orgánica. Por tal motivo, propon­go que la Comisión considere explícitamente estas recomendaciones, que sin duda podrá am­pliar, modificar y perfeccionar, para luego em­prender sobre bases y procesamientos que garanticen un resultado matemáticamente sano y didácticamente eficaz, la" estructuración de pla­nes y programas. Una parte preliminar de esta ardua tarea ya está hecha con la elaboración de contenidos fundamentales.

Sería redundante señalar la trascendencia de esta labor; la situación actual afecta a miles de docentes algunos de los cuales estamos entre los cifentos de miles de padres de alumnos. Me sentiría muy feliz si la Comisión aceptara al­gunas de estas sugerencias, y aún más si las sustituyera por otras más eficaces.

Saludo al Señor Presidente con mi consideración más distinguida.

vigencia, por ejemplo un año. Ensu puesta en mi opinión seria muy conveniente que la Comi­sión elaborara una propuesta fundada al respec-

ato.13°) Al buscar las causas que dificultan la moderni­

zación de la enseñanza se advierte que una muy principal es nuestro subdesarrollo organi­zativo. A veces se realizan esfuerzos costosísi­mos cuyos resultados permanecen inéditos lar­go tiempo o tal vez para siempre archivados en alguna oficina, y por otra parte, con frecuencia mucho mayor, se empieza desde cero dejando de lado la labor ya hecha.

El problema de la enseñanza de las ciencias en el nivel medio se analizó muy detenida­mente en el Primer Simposio Nacional sobre la Enseñanza de las Ciencias, realizado en la ciu­dad de Córdoba en 1968. En varias ocasiones he recordado en la Comisión sus recomenda­ciones con respecto a matemática. La eficaz utilización de los cuantiosos recursos materiales necesarios para los gastos de organización, de amplia publicidad, de profusa impresión de ma­terial preparatorio, de traslado y alojamiento de una concurrencia masiva, el pedido con tiempo de colaboraciones que desde luego de­bían ser inéditas, etcétera, aseguraron el éxito de la reunión durante el tiempo de su desarro­llo. Tras larga y fecunda discusión se aprobaron recomendaciones que estimo de la mayor im­portancia y contienen recaudos ¡dóneos para garantizar una tarea orgánica y eficaz en la mo­dernización de la enseñanza y la estructu­ración de planes y programas.

Pero lamentablemente no puede decirse lo mismo de la eficacia o del éxito definitivos de la reunión. En efecto, a más de dos años y medio de la cuantiosa inversión de medios materiales y esfuerzos, todo este trabajo, así como las colaboraciones aceptadas y las pedi­das, siguen inéditos, sus autores carecen de no­ticias y desde luego ignoran si se publicarán algún día como en su momento se dijo, o si quedarán archivados para siempre.

14°) En muchas de las consideraciones anteriores me baso en las recomendaciones para matemática del Simposio, por lo cual, teniendo en cuenta que es inédito, transcribo este importante do­cumento:

D. Con respecto a MATEMATICA:10. Preparar programas con coherencia interna, relativamente breves pero cada uno seguido de una minuciosa fundamentación y motivación y por un estudio detallado de los cauces matemá­ticos y criterios de estructuración.

Tres son las etapas que se prevén para esa

Conclusiones del Simposio

CONCEPTOS DE MATEMATICA en su oportuni­dad informó a sus lectores acerca del Primer Simpo­sio Nacional sobre la Enseñanza de las Ciencias que se realizó en la ciudad de Córdoba entre el 16 y 19 de octubre de 1968. Hoy tenemos el placer de publi­car las importantes conclusiones que allí se votaron referentes a nuestra asignatura.

Desarrollar la capacidad para la interpretación de los hechos corrientes de la vida diaria, incluyéndolos en modelos coherentes.

Desarrollar las capacidades y aptitudes intuitivas.Estimular la imaginación y desarrollar la capaci­

dad creadora.Acostumbrar a la precisión, claridad y concisión

en el lenguaje.Desarrollar la habilidad para emplear adecuada­

mente el vocabulario científico.Inculcar hábitos de orden y exactitud en el traba-

i

TEMA I

LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS: SUS OBJETIVOS Y METODOS

jo.Desarrollar hábitos de perseverancia y continuidad

en el esfuerzo.Favorecer la comprensión de la relación entre las

ciencias y del modo en que el progreso de una contribuye al progreso de las otras.

Desarrollar la capacidad para integrar la historia del progreso científico y tecnológico en la historia de la cultura de cada época.

Introducir en el conocimiento de las teorías ac­tuales que resumen hechos comunes a las diversas ciencias.

Desarrollar la comprensión de la fuerte influencia que en el mundo actual tiene la ciencia y la tecnolo-

Considerando:Que la enunciación explícita de objetivos es el

paso primordial para toda mejora en la enseñanza de las ciencias.

Que, en lo posible, dicha enunciación debe for­mularse en forma operativa, es decir, en términos de conductas esperadas de modo que puedan elaborarse los instrumentos de medición y los criterios de eva­luación del aprendizaje.

Que puede distinguirse tres grupos de objetivos:— Los generales de la enseñanza de las ciencias;— Los comunes a la enseñanza de las ciencias

experimentales;— Los particulares de la enseñanza de cada una de

las ciencias.Que para el logro de los objetivos han de utilizar­

se métodos y técnicas que aprovechen las adquisicio- más recientes de la psicología evolutiva, del

aprendizaje y de la psicología social, así como dios auxiliares de enseñanza que proporciona la derna tecnología.

Que es conveniente someter a experimentación, pnétodos y medios antes de proceder a su aplicación generalizada.

gía.Favorecer la capacidad para la adaptación a los

cambios derivados de la aplicación de la ciencia y la tecnología.

t

Los siguientes OBJETIVOS COMUNES DE LA EN­SEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES (BIOLOGIA, FISICA Y QUIMICA).

nes rme­mo- • ;

Desarrollar la capacidad para la observación metó­dica y reflexiva, y la habilidad para la medición, descripción e interpretación de los datos o conclusio­nes.

j

Predisponer para la búsqueda de regularidades y para la ordenación sistemática de los datos, de modo que se facilite la formulación de proposiciones de valor más general.

Habilitar gradualmente para la organización del trabajo propio en la experimentación científica para que el estudiante pueda ir prescindiendo de la guía del docente.

Habituar a la crítica de los métodos empleados y la contrastación de los resultados obtenidos, con

las hipótesis adelantadas por el estudiante.Desarrollar la habilidad para la presentación esta­

dística de los datos, con exactitud y precisión.Desarrollar la capacidad para el análisis de los

EL PRIMER SIMPOSIO NACIONAL SOBRE LA ENSEÑANZA

DE LAS CIENCIAS,

I

labor: César A. Trejo Recomienda:Los siguientes OBJETIVOS GENERALES DE LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS:

Desarrollar la capacidad para pensamiento lógico y el examen l maciones y observaciones. ...

Habilitar para distinguir las proposiciones cientiti-

la honesti-

:(viene de pág. 37)

De esta forma los alumnos obtendrán una preparación pre-universitaria acorde al momen­to científico y artístico en que vivimos.

Todo esto nos dice de la importancia que

la abstracción, el crítico de las infor-

deben tener en la enseñanza media los elemen­tos esenciales de geometría proyectiva y des­criptiva; asi como cierta profundidad de metría vectorial y analítica.

a

cas de las no científicas.Desarrollar una actitud de respeto por

dad intelectual y la objetividad.

geo- i

41 i

*

r ••

TEMA II BIBLIOGRAFIAdatos experimentales y la generalización de los resul­tados obtenidos.

Desarrollar la habilidad para el tratamiento de los errores experimentales.

Desarrollar la habilidad para la descripción verbal o gráfica de los hechos y objetos observados

dificultades para enseñar los temas incluidos en el texto y los alumnos logran captarlos convenientemente, será un síntoma del buen nivel alcanzado al cual habrán contribuido sin duda la esforzada labor de las autoras.

CONTENIDOS FUNDAMENTALES,DE CADA CIENCIA EN LOS DIFERENTES

NIVELES, CICLOS Y ORIENTACIONES DE LA ENSEÑANZA tapia, Nelly V. de BIBILONI, Alicia T. de,

PARENDEX MATEMATICA, Sexto grado. 300 páginas, EDITORIAL ESTRADA, Buenos Aires, 1971.

Considerando:Asegurar la habilidad en el cálculo aritmético y algebraico y en el trazado e interpretación de gráfi­cos.

<Julio R. JuanQue para el cumplimiento de los objetivos enun­ciados en el Tema I es imperioso actualizar los conte­nidos de la enseñanza de las ciencias;

Que es conveniente indicar lineamientos generales con relación al-procedimiento a seguir en la elabora­ción de planes y programas y las características de estos;

Habituar al uso de la matemática como instru­mento auxiliar de otras disciplinas.

Favorecer la convicción de que las afirmaciones científicas pueden ser refutadas por nuevos hechos o evidencias.

Ejercitar la habilidad manual.

Se votaron los siguientes OBJETIVOS PARTICU­LARES DE LA ENSEÑANZA DE LA MATE­MATICA:

Desarrollar y ejercitar el pensamiento lógico rigu-

El hecho de que en algunas provincias argentinas se hayan puesto en vigencia nuevos programas en los que se introducen conceptos modernos, ha provocado sensibles dificultades en muchos maestros que se ven en la nece­sidad de impartir conocimientos que ellos mis­mos nunca han recibido en su tránsito por la escuela normal, sin recibir tampoco los cursos adecuados de capacitación que hubiera corres­pondido. No cabe ninguna duda de la comple­jidad del problema planteado y de la dificul­tad de hallar la solución del mismo.

BREUER J. Initiation a la Theorie des ensen­óles Langage et méthode de la mathématique moderne. 116 páginas DUNOD, París, 1969.Que asimismo es necesario definir los contenidos

de la enseñanza de Is ciencias básicas, ya sea enun­ciándolos o bien caracterizándolos suficientemente; No abundan mucho los libros en que se

exponga claramente la teoría de los conjuntos. Por ello resulta interesante que la empresa edi­tora haya impreso la 12a. edición de esta obra, cuyo original apareció en Hannover, Ale­mania, en 1964.

La primera parte se dedica a los conjuntos finitos y a las operaciones sobre los mismos; la segunda a los conjuntos infinitos, numerables y no numerables y a las operaciones sobre los números cardinales; la tercera parte a los co­juntos ordenados, tipos de orden y conjuntos bien ordenados; en la cuarta parte trata de los conjuntos de puntos, conjuntos lineales, puntos de acumulación y de condensación y conjuntos particulares. La última parte, intitu­lada Complementos, se refiere a los conceptos de base, las paradojas de la teoría de los con­juntos, el infinito potencial y el infinito actual y los desarrollos más recientes. Concluye el .libro recapitulando los teoremas más impor­tantes y dando una importante bibliografía.

Breuer emplea las ¡deas directrices reciente­mente concebidas para una enseñanza estruc­turada de la matemática, la cual asigna a la teoría de los conjuntos una función primordial basándose en principios pedagógicos muy sim­ples como por ejemplo no introducir una no­ción nueva sin emplear ejemplos adecuados o sin decir porqué las nociones ya explicadas no bastan para expresar la misma ¡dea. Muestra además que los desarrollos, incluso los más abstractos, son siempre la respuesta a cuestio-

formuladas simplemente. El autor expresa "el valor de la teoría depende en primer

término de ser ante todo un lenguaje común a todas las disciplinas matemáticas", que se ha impuesto rápidamente como un instrumento de trabajo eficaz para el descubrimiento de las estructuras generales que puedan servir de base

EL PRIMER SIMPOSIO NACIONAL SOBRE LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS,

Recomienda:roso.Lograr que el estudiante adquiera conocimientos

básicos elementales de teorías matemáticas con vigen­cia actual y habilidad para operar con los entes en ellas involucrados.

Con respecto a los CONTENIDOS DE LAS CIEN­CIAS, en general:

Elaborar los planes y programas de las ciencias básicas de los diferentes niveles, ciclos y modalidades de enseñanza con asesoramiento de comisiones inte­gradas con investigadores y docentes especialmente calificados.Conforme a los siguientes procedimientos y caracte­rísticas:

Pero como no se podía permanecer indife­rente ante la situación, he aquí que, en la me­dida de sus posibilidades, los docentes se han hecho presentes para aportar su granito de are­na mediante la escritura de libros que pudie-

ser usados al efecto. Este que comentamos pertenece a dos entusiastas docentes argentinas de cuyo esfuerzo, por estar presente en este movimiento de renovación de la enseñanza de la matemática, están perfectamente enterados nuestros círculos docentes. Ahora han empren­dido una ardua tarea cuya finalidad es la de colaborar con la no menos ardua de los docen­tes responsables de ese nivel de enseñanza.

Los capítulos del libro son los siguientes: Conjuntos; Conjuntos de números; Conjuntos de puntos; Curvas; Relaciones; Relaciones geo­métricas; Operaciones y funciones; Divisibi­lidad; Polígonos; Números racionales; Números decimales; Equivalencia y superficie de figuras planas; Razones y proporciones; Circunfe­rencia y círculo; Números enteros; figuras del espacio. La amplitud de este temario da idea de la magnitud del trabajo realizado, el cual además contiene centenares de ejercicios, gran profusión de gráficos a dos colores a veces muy ingeniosos, ejemplos para discutir, temas para recordar, pruebas de ingenio, ejercicios de repaso, invitaciones a que los alumnos saquen conclusiones, problemas integrados, multitud

explicados y

Favorecer la comprensión del proceso de materna- tización de las ciencias operado en las últimas déca­das.

r

Desarrollar la capacidad para abordar situaciones complejas no necesariamente matemáticas, pero a menudo matematizables. a) Formulación de un esquema general para el

aprendizaje de las ciencias desde los nueve años de edad teniendo presente que el entrenamiento en la observación debe comenzar en el jardín de infantes.

b) Estructuración de los anteproyectos de planes y programas de modo que confieran a la enseñanza de las ciencias la fisonomía de la ciencia actual, se atengan ai método adecuado a la edad de los educan­dos y respondan a la articulación entre los distintos niveles, ciclos y modalidades.

c) Coordinación de los contenidos de la enseñan­za de las ciencias básicas con miras a su integración conceptual.

d) Selección y puesta al día

ranAdemás en los referente al METODO DE LA ENSE­ÑANZA DE LAS CIENCIAS, se votó:

Aplicar preferentemente el método activo.En las ciencias experimentales, procurar por todos

los medios adecuados la realización de experiencias por los educandos, en forma individual o en peque­ños grupos, no obstante las limitaciones que hubiera en cuanto a la existencia y dotación de laboratorios.

En matemática, no ceñirse a un método único y utilizar recursos intuitivos, inductivos y experimenta­les que puedan convenir en una primera etapa, si se los emplea para crear situaciones motivadoras del razonamiento matemático propiamente dicho. En to­dos los casos las formas pedagógicas que asuma el proceso enseñanza-aprendizaje guardarán estrecha co­herencia con la unidad estructural del conocimiento matemático previamente programado.

En lo referente a CURSOS EXPERIMENTALES:

Fomentar y apoyar la organización de cursos ex­perimentales para la enseñanza de las ciencias básicas con medios técnicos, materiales y administrativos efi­caces. En el proyecto y evaluación de tales cursos se procurará la participación de personas de reconocida competencia científica y didáctica.

En matemática convendrá investigar experimental­mente los contenidos y la mejor forma de enseñarlos y de distribuirlos en los distintos cursos cuando se trate de temas nuevos cuya introducción se considere indispensable como, por ejemplo, probabilidades y estadística, computación y elementos de cálculo.

permanente de con­tenidos procurando incluir en todos los cursos temas de actualidad y usarlos en ejemplificación.

e) Flexibilidad suficiente de los programas para su adaptación a condiciones y circunstancias regiona­les y extensión compatible con el tiempo disponible para su desarrollo completo.

f) Presentación de los programas analíticos, en lo posible, en forma operacional, es decir, en términos de comportamiento esperado de los alumnos, incluye la habilidad

l

quepara resolver problemas específi­

cos.g) Ensayo y evaluación de los proyectos antes de

su aplicación generalizada.h) Integración de las comisiones de planes

gramas de ciencias para el ciclo primario tros y con profesores secundarios de la respectiva asignatura, especialmente capacitados..Con

nesque

y pro- con maes-

;de problemas sobre los ternas otros de repaso, etc.

Si los maestros

respecto a MATEMATICA: Preparar programas

vamente breves para cadacoherencia interna, relati-

uno seguido de una minu- (sigue pág. 46)

con ide sexto grado no tienen i

42 43 ?

ií

?

están impresos en el nuestro han perdido vi­gencia en la matemática actual.

Satisfacer estas necesidades y convertirse en un medio útil para la enseñanza ha sido el propósito de los autores. No residía la difi­cultad en la distribución de los temas que en

fue la siguiente: 1, Revisión de no-

a futuros desarrollos. Por ello, más que un simple formalismo, como lo entrevio Cantor, la teoría de conjuntos es un método de análi­sis que permitirá obtener resultados funda­mentales para el ulterior desarrollo de la mate­mática.

La obra concluye exponiendo ciertos resul­tados de topología, una de las disciplinas más fecundas de la matemática moderna, para cuyo desarrollo la teoría de conjuntos ha ser­vido de lenguaje y de método.

El libro tiene una cuidadosa presentación editorial.

NOTICIAS1. Cúmplenos informar a nuestros lectores

que no ha caído en el vacío nuestro llamado para la obtención de suscriptores protectores de la revista y que tenemos esperanza de que su número aumente grande­mente. Recuérdese que no sólo se es amigo de la revista enviándonos una suma adicional sino también contribuyendo a que aumente el nú­mero de suscriptores. Hoy cumplimos con el deber de incorporar como amigos de CON­CEPTOS DE MATEMATICA a Elda C. de Alberto, Juan Blaquier, Norma S. Brachman, Irma Cordova, Hilda O. de Damiani, Ricardo J. Dupleich, Isaac Feldman, Ramona G. Fer­nández, Ana E. O. C. de Fregenal, Elba G. de Giménez, Beatriz M. S. de Giuntoli, Justo F. Yllanes, Juan M. López, María J. Llaona, Mar­ta M. H. de Maciel, Cora R. de Sadosky y Angela T. de Sosa.

10 al 31 de agosto. Prof. María L. Schweit-este casociones conjuntistas; 2, Funciones; 3, Límites de sucesiones numéricas. Series; 4, Límites de funciones reales; 5, Definición topológica de límite y teoremas básicos; 6, Continuidad; 7, Derivadas; 8, Variación de funciones; 9, Primitivas e integrales.

La dificultad residía en el enfoque. De-

zer.amigos o

° Números en color en el primer ciclo de la escuela elemental. Martes, de 18 y 15 a 20 y 30, del 20 de julio al 31 de agosto. Prof. Nélida O. de Gutiérrez.

• Números en color en el segundo ciclo de ¡a escuela elemental. Martes, de 18 y 30 a 20, desde el 14 de setiembre al 26 de octubre. Prof. María L. Schweitzer.

° Números en color en el primer ciclo de la escuela intermedia. Martes y jueves de 18 y 30 a 20, del 4 al 23 de noviembre. Prof. Edgardo H. Dávila.3. Con todo éxito se está desarrollando en

el local de la Confederación de Maestros, Av. de Mayo 963, primer piso, el curso de ense­ñanza moderna de matemática para maestros que organizado por el Instituto de Perfeccio­namiento Docente "Pedro B. Franco" de di­cha institución dicta todos los sábados de 17 a 19 el profesor Emilio De Ceceo. La elevada cantidad de maestros inscriptos obligó a des­doblar el curso que ahora se dicta también, con el mismo horario, los días miércoles.

4. El director de la Dirección General de Investigación y Desarrollos del Ministerio de Defensa de nuestro país, capitán de navio José Luis Nicolini nos informa que la Escuela de Investigación Operativa dictará diversos cursos por correspondencia (introducción a la compu­tación, programación por camino crítico, pla­neamiento y control de stocks, programación lineal, etc.). Información más detallada se po­drá obtener personalmente en Moreno 1402 y por escrito en San José 317, Buenos Aires.

5. De la misma fuente se nos informa que se ha programado un Seminario sobre Compu­tación para dirigentes, que se desarrollará en agosto de este año y al cual podrá concurrir militares y civiles. La información se podrá obtener en las mismas direcciones indicadas

la

Cristina Verdaguer de Banfijemos hablar a los autores: "El problema fun­damental reside en los conceptos básicos: fun­ción, límite, continuidad, derivada, integral y muy especialmente en dos de ellos: límite e integral. Parecería que una vez solucionado el problema didáctico que originan estas nocio­nes, los desarrollos ulteriores no plantearán dificultades más graves que las que se hallan en la enseñanza del álgebra". Con ellos coinci­dimos en que no basta con dar nociones intui­tivas y aproximadas sino que es preciso llegar a definir matemáticamente las mismas en for-

BOSCH, Jorge E.; HERNANDEZ, Roberto. Análisis matemático para la enseñanza media. Editorial CAECE S.A., Buenos Aires, 1971.

Se refiere este libro a temas introducidos en los programas vigentes en la enseñanza se­cundaria de nuestro país y estamos conformes con los autores en que puede ser usado con provecho en los cursos básicos de las diversas carreras universitarias.

No es de ningún modo desconocida para la mayoría de nuestros lectores la personalidad de Jorge Bosch y de Roberto Hernández a tra­vés de la cátedra, del libro y de la actuación en diversas reuniones relativas a los problemas de la enseñanza de nuestra asignatura. Al em­prender esta tarea, debieron tener en cuenta, en primer término, que tanto alumnos como profesores deben manejar conceptos y nota­ciones con los cuales no están suficientemente habituados cuando no las desconocen total­mente como ocurre en el caso de muchos alumnos. En segundo término, los libros de texto de que se dispone si son realmente buenos están en general escritos en otros idiomas y si

2. Los cursos organizados por el Instituto de Perfeccionamiento Docente "Carlos M. Biedma" de la Escuela Argentina Modelo, Río Bamba 1059, Buenos Aires, para la segunda mitad del año 1971 son los siguientes:° Ciencia en el primer ciclo de la escuela

elemental. Martes de 18 y 15 a 20 y 30, del 20 de julio al 24 de agosto. Profs. Jorge A. Ratto y Liliana Spadavecchia.

° Matemática en el segundo ciclo de la escue­la elemental. Lunes y miércoles, de 18 y 15 a 20 y 30, del 23 de agosto al 13 de setiembre. Prof. María L. Schweitzer.

° Ciencia en el segundo ciclo de la escuela elemental. Jueves, de 18 y 15 a 20 y 30, del 2 al 20 de setiembre. Profs. Jorge A. Ratto y Eduardo A. Pattis.

° Matemática en el primer ciclo de la escuela intermedia. Lunes y miércoles, de 18 y 15 a 20 y 30, del 22 de setiembre al 30 de octubre. Prof. Edgardo H. Dávila.

° Ciencia en el primer ciclo de la escuela intermedia. Martes, de 18 y 15 a 20 y 30, del 5 de octubre al 9 de noviembre. Profs. Jorge A. Ratto y Eduardo Pattis.

• Geometría moderna para maestros. Martes y jueves, de 18 y 30 a 20, del 20 de julio al 3 de agosto. Prof. Juan C. Giorgetti.

• Enfoques didácticos de geometría moderna. Martes y jueves, de18y15a20y 30, del

ma precisa y han sido consecuentes con esta manera de ver, pero siempre recordando el problema didáctico y recurriendo cuando la ocasión lo exigió a la subdivisión de las difi­cultades mediante ¡deas ingeniosas. El resul­tado es esta obra a la que no es difícil vtaicinar una favorable acogida en los medios para los cuales ha sido concebida.

Este éxito se acrecentará si en próximas ediciones se emplea una tipografía más mo­derna y se la complementa con las necesarias notas históricas.

/{

J. F. B

I

!!

La esencia de la matemática es la Libértad más arriba.6. El Instituto Nacional para la Enseñanza

de las Ciencias prosigue desarrollando intensa labor. En la Escuela Normal N° 2 de Buenos Aires, el ingeniero Francisco H. Val y la profe-

Lidia M. de Castrillo hablaron el 4 de sobre "Actividades extraprogramáticas.

;

G. CANTORsorajunio

44 • i45í

."

ESSKrZfCJorge E. Bosch: ¿QUE PASA CON LA RE­

FORMA EN LA ENSEÑANZA DE LA MA­TEMATICA? Conferencia diferida para el mes de octubre.

César A. Trejo: MATERIALES PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA, 30 de

clubes y ferias de ciencia", y los profesores Beatriz S. de Palau y Juan Carlos Dalmasso sobre "Olimpíadas Matemáticas". El 3 de ju­nio, el profesor Renato H. Vólker desarrolló el tema "La metodología y la didáctica de las ciencias" para los participantes de los cursos latinoamericanos del Programa Regional de Desarrollo Educativo.

7. En el aula magna del pabellón de indus­trias de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, del 10 al 15 de mayo se desarrolló el "Curso para profesores Líderes en activida­des científicas extraescolares", organizado por el Instituto Nacional para el Mejoramiento de Enseñanza de las Ciencias (INEC).

8. Cumplimos finalmente en informar que el Seminario de Matemáticas "Dr. Claro C. Dassen" de la Sociedad Científica Argentina, Av. Santa Fe 1145, ha organizado 8 reuniones para tratar sobre "actualización de la enseñan­za de la matemática en el ciclo medio, de acuerdo con el siguiente programa, que siem­pre comenzarán a las 18 y 30.

Textos de

MatemáticaModerna

junio.J. E. Bosch: EL PUNTO DE VISTA CATE-

GORIAL EN LA ENSEÑANZA DE LA MA­TEMATICA, 11 de agosto.

Atilio Piaña: REFLEXIONES QUE SUSCI­TA LA SUPERVISION DE LA ENSEÑANZA, 25 de agosto.

Roberto P. J. Flernández: LA INTRODUC­CION DEL ANALISIS MATEMATICO EN LA ENSEÑANZA MEDIA, 8 de setiembre.

C. A. Trejo: EQUIVALENCIAS; I: IGUAL­DAD, PARALELISMOS, 22 de setiembre.

C. A. Trejo: EQUIVALENCIAS; II: CON­GRUENCIA; SEMEJANZA, 6 de octubre.

Armando O. Rojo: ENFOQUE DE "PRO­BABILIDADES" EN LA ENSEÑANZA ME­DIA, 20 de octubre.

a nivel primario

1° Grado: GREGORIO SUMA, de 2o Grado: CUENTOS CON CUENTAS, de N.D. Schefini y A. Schefini 3o Grado: MATEMATICA MODERNA. EJERCICIOS PARA PRIMERO,

SEGUNDO Y TERCER GRADOS de A.M. Ceci y O.M. de Paglilla

6o Grado: APRENDEX MATEMATICA, de N.V. de Tapia y A.T. de Bibiloni

7° Grado: APRENDEX MATEMATICA, de N.V. de Tapia y A.T. de Bibiloni

E.T. de Lagomarsino y A.F. de Ferrari

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(viene de la pág. 42)

Tener especialmente en cuenta en la elaboración de programas nuevos los siguientes temas:

ciosa fundamentación y motivación y por un estudio detallado de los cauces matemáticos y criterios de estructuración.

T<-es son las etapas que se preven para esa labor:a) Redacción de anteproyectos cuyos contenidos

y estructuración sean susceptibles de conferior, desde un punto de vista científico, a la matemática de la enseñanza secundaria la fisonomía de la matemática actual.

1a) Desarrollo consecuente del punto de vista con- juntista.

b) Desarrollo consecuente del punto de vista vec-

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torial.

c) Desarrollo sistemático y coherente de la geo­metría a través del concepto de transformación. Uso del álgebra de la composición de transformaciones y de los grupos correspondientes en el estudio y la estructuración de la geometría.

d) Desarrollo de las estructuras abstractas del ál­gebra con aplicaciones inmediatas a diversas ramas de la aritmética, del álgebra y de geometría.

b) Estudio de esos anteproyectos con referencia a sus posibilidades y conveniencias didácticas y pedagó- . gicas.

Biblioteca de Ciencias de ¡a EducaciónDe próxima aparición:

LA POTENCIA DE LA MATEMATICA de Z.P. Dienes EL APRENDIZAJE DE LA MATEMATICA. UN ESTUDIO EXPERIMEN­TAL, de Z.P. Dienes

c) Síntesis de lo realizado en las dos etapas ante­riores y redacción de los programas y de su funda- mentación.

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Opiniones

La matemática no es para el artista la matemática. Ño se trata forzosamente de cálculos sino de la presencia de uno realeza; de una ley de resonancia, consonancia y ordenación infinitas. El rigor es tal que de ella resulta verdaderamente la obra de arte, ya se trate de un dibujo de Leonardo, de la terrorífica exactitud del Partenón -comparable en la talla de su mármol o la talla de las máquinas-herramientas-, del implacable juego constructivo de Ia catedral o de la unidad que da Cézanne a la ley que determina el árbol, el esplendor unitario de las raíces del tronco, de las ramas, de las hojas, de las flores y de los frutos. No hay ningún azar en la naturaleza Si se comprende qué es la matemática en el sentido filosófico se la discierne en todas sus obras. El rigor la exactitud 'on los medios de la solución, la. causa del carácter, la razón de la armonía.

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