Dajana Rudi¢ - Odjel Za Matematikumdjumic/uploads/diplomski/RUD14.pdf · logiju, sociologiju,...

Sveu£ili²te J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Dajana Rudi¢

Strukturne jednadºbe i dvofazna metodanajmanjih kvadrata

Diplomski rad

Osijek, 2014.

1


Dajana Rudi¢

Strukturne jednadºbe i dvofazna metodanajmanjih kvadrata

Diplomski rad

Mentorica:

prof. dr. sc. Mirta Ben²i¢

Komentorica:

prof. dr. sc. Nata²a arlija

Osijek, 2014.

2

Zahvaljujem mentorici prof.dr.sc. Mirti Ben²i¢i komentorici prof.dr.sc. Nata²i arlijana pomo¢i pri pisanju diplomskog rada.Zahvaljujem i dr.sc. Marini Jegerna podacima i pomo¢i pri pisanju rada.

3

Sadrºaj

1 Uvod 4

2 Teorijski dio 52.1 to su strukturne jednadºbe? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Povijest strukturnih jednadºbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Kovarijance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 Koecijent korelacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Dvofazna metoda najmanjih kvadrata(2SLS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1 Instrumental varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Konzistentnost 2SLS procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.3 Testiranje hipoteza s 2SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Prakti£ni dio 193.1 Opis podataka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Obrada podataka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 Analiza "fokus na resurse" modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.2 Analiza "prihvatljivi gubitak" modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.3 Analiza "razvijanje partnerstva" modela . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.4 Analiza "princip limunade" modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.5 Analiza "pilot u zrakoplovstvu" modela . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.6 Analiza "sklonost kontroliranju budu¢nosti" modela . . . . . . . . . . 33

3.3 Zaklju£ak obrade podataka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


Strukturne jednadºbe i dvofazna metoda najmanjih

kvadrata

1 Uvod

Postoje mnoge tehnike analize podataka koje istraºiva£ima omogu¢uju veliku statisti£kuu£inkovitost i bolje obrazloºavanje podataka poput vi²estruke regresije, faktorske analize,multivarijantne analize varijance, diskriminatorne analize i mnogih drugih. Sve ove tehnikesu snaºni alati za odgovaranje na mnoga pitanja, no svi imaju zajedni£ku slabost - svakatehnika moºe ispitivati samo jednostruke veze. esto su istraºiva£i suo£eni sa skupom me-usobno povezanih pitanja. Primjerice, koje varijable utje£u na ugled trgovine? Kako tajugled povezan s ostalim varijablama utje£e na odluku kupovine i zadovoljstvo u trgovini? Ina kraju, kako zadovoljstvo s trgovinom utje£e na dugoro£nu lojalnost upravo toj trgovini?Ovaj skup problema ima menadºersku i teorijsku vaºnost, a niti jedna od multivarijantnihtehnika ne omogu¢ava odgovor na sva ova pitanja s jednom opseºnom tehnikom. Upravo zaovu vrstu problema koristimo modeliranje strukturnim jednadºbama (SEM).

Modeliranje strukturnim jednadºbama ispituje skup zavisnih odnosa istovremeno. SEMje kori²ten u gotovo svakom podru£ju znanosti uklju£uju¢i obrazovanje, marketing, psiho-logiju, sociologiju, menadºment, testiranje i mjerenje, zdravlje, demograju, organizacijskopona²anje, biologiju pa £ak i genetiku. Razlog zbog kojeg je ova metoda toliko privla£na raz-nim podru£jima je dvostran: prvo omogu¢uje jasnu metodu prilikom bavljenja s vi²estrukimvezama istovremeno uz statisti£ku ekasnost i drugo, omogu¢ava opseºno poja²njavanje vezauz laku tranziciju iz obrazloºavaju¢e1 u konrmatornu analizu2. Ova tranzicija odgovara sveve¢im naporima u svim podru£jima znanosti za razvoj sistemati£nijeg pregleda problema.Ovi napori zahtijevaju sposobnost testiranja niza veza sa£injenih od velikih modela, skupafundamentalnih principa ili cijele teorije. Ovo su problemi kojima upravo modeliranje struk-turnim jednadºbama odgovara.

1Eksplanatorna analiza(eng. explanatory analysis)-analiza koja denira mogu¢e veze samo u najop-¢enitijem obliku i tada omogu¢ava multivarijantnim tehnikama procjenu veza, daje metodi i podacima dadeniraju prirodu veza.

2Konrmatorna analiza(eng. conrmatory analysis)-analiza suprotna od obrazloºavaju¢e analize, ko-risti multivarijantnu tehniku kako bi testirala (konrmirala) ranije speciciranu vezu. Primjerice ako pret-postavimo da samo dvije varijable mogu biti prediktori ovisne varijable. Ukoliko testiramo zna£ajnost ovadva prediktora i nezna£ajnost svih ostalih tada smo proveli konrmatornu analizu.

5

2 Teorijski dio

2.1 to su strukturne jednadºbe?

SEM obuhva¢a cijelu familiju modela poznatih po mnogim imenima poput analiza struk-ture kovarijanci, analiza latentnih varijabli, konrmatorna faktorska analiza i £esto, jednos-tavno LISREL analiza (prema programskom paketu). Jednostavno govore¢i SEM procje-njuje skup zasebnih, ali meuzavisnih vi²estrukih regresijskih jednadºbi istovremeno speci-ciranjem strukturnog modela pomo¢u statisti£kog programa. Prvo se istraºiva£ oslanja nateoriju, prija²nja iskustva i ciljeve istraºivanja kako bi razlikovao koje nezavisne varijableprediktiraju svaku od zavisnih varijabli. Ve¢ je spomenut primjer s ugledom trgovine, dakleprvo se ºeli prediktirati ugled trgovine, zatim, koriste¢i ugled prediktirati zadovoljstvo, tekoriste¢i obje spomenute varijable prediktirati lojalnost prema trgovini. Dakle, neke zavisnevarijable postaju nezavisne u sljede¢im vezama ²to opravdava meuzavisnu prirodu struktur-nog modela. Mnoge varijable utje£u na svaku od zavisnih varijabli, ali s razli£itim efektima.Sve veze se prevode u skup strukturnih jednadºbi za svaku zavisnu varijablu posebno. Ovajprincip razlikuje SEM od ostalih multivarijantnih tehnika, upravo time dopu²taju¢i vi²es-truke veze meu zavisnim i nezavisnim varijablama. [2]

Osim spomenutih svojstava, SEM ima sposobnost u analizu uklju£iti i latentne varija-ble. Latentna varijabla je ona varijabla koja ne moºe biti izravno izmjerena, ali moºe bitipredstavljena ili procijenjena koriste¢i jednu ili vi²e promatranih, odnosno izmjerenih varija-bli koje nazivamo indikatorima. Promatrane varijable koje prikupljamo raznim testovima ipromatranjima nazivamo manifestnim varijablama. Kori²tenje latentnih varijabli, iako zvu£inepotrebno, ima prakti£ne i teorijske prednosti, budu¢i da popravlja statisti£ku procjenu,bolje prezentira teorijske koncepte te na ovaj na£in vodimo vi²e ra£una o gre²kama prilikommjerenja.

Primjer 1. [2]Menadºeri poduze¢a HATCO htjeli su pove¢ati produktivnost svojih radnikai ²to duºe ih zadrºati na njihovim radnim mjestima kroz bolje razumijevanje motivacije ipona²anja prema poduze¢u. Kadrovski odjel je zbog toga identicirao tri vrste pona²anja zakoja su smatrali da su najbitnija: zadovoljstvo poslom, predanost organizaciji i vjerojatnostpromjene radnog mjesta. Tada su razvili slijede¢e veze:

Zavisna varijabla Nezavisne varijableZadovoljstvo poslom ←→ pona²anje suradnika + poslovno okruºenjePredanost organizaciji ←→ zadovoljstvo poslom + visina pla¢eVjerojatnost promjene radnog mjesta ←→ zadovoljstvo poslom + predanost organizaciji

Tablica 1: Veze unutar modela

Iz kadrovskog odjela ovaj je zadatak predan istraºiva£kom odjelu koji je, kako bi lak²epromotrio navedene veze, sve slikovito prikazao ²to je vidljivo na Slici 1.

6

Slika 1: Slikoviti prikaz veza

Navedeni slikoviti prikaz u primjeru zovemo dijagram puteva[1], to je gra£ki prikaz cje-lokupnog skupa veza u konstrukciji modela gdje ravne strjelice prikazuju utjecaj nezavisnevarijable na zavisnu, a zaobljene prikazuju korelaciju meu varijablama. Dijagrami putevasu baza za analizu puteva, proceduru za empirijsku procjenu ja£ine svake veze koju u ovomslu£aju nazivamo put. Ja£ine veza ra£unaju se koriste¢i samo matricu kovarijanci ili ko-relacija. Jednostavna korelacija izmeu bilo koje dvije varijable moºe se izraziti kao sumaputeva koji spajaju te dvije to£ke.

Primjer 2. [2] Koriste¢i model iz prethodnog primjera demonstrirat ¢emo na£in na kojise £itaju veze iz dijagrama puteva. Uzmimo jednostavnu vezu koja daje zavisnu varijabluzadovoljstvo poslom (Y1) pomo¢u nezavisnih varijabli pona²anje suradnika (X1) i poslovnookruºenje (X2). Ovu vezu vidimo na Slici 3. Odnos ovih varijabli moºe se jednostavnozapisati:

Y1 = BX1 + CX2

Pomo¢u analize puteva moºemo koriste¢i jednostavne korelacije meu varijablama, procijenitiveze meu spomenutim varijablama. Pretpostavimo da je V ar(Xi) = 1, i = 1, 2 te V ar(Y1) =1, takoer pretpostavljamo da u ovom primjeru nema gre²aka modela. Zbog jednostavnostiputevi su na slici ozna£eni slovima A, B i C. Put A prikazuje korelaciju izmeu X1 i X2, putB je efekt dobiven prediktiranjem varijable Y1 pomo¢u varijable X1, a put C je efekt dobivenprediktiranjem varijable Y1 pomo¢u varijable X2.

7

Slika 2: Dijagram puteva

Korelacije Korelacije kao sume puteva Ra£unanje strukturnihkoecijenata

X1 X2 Y1 Corr(X1, X2) = A 0.50 = AX1 1.0 Corr(X1, Y1) = B + AC∗ 0.60 = B + ACX2 0.50 1.0 Corr(X2, Y1) = C + AB∗∗ 0.70 = C + ABY1 0.60 0.70 1.0 0.60 = B + 0.50C

0.70 = C + 0.50BB = 0.33C = 0.53

Tablica 2: Ra£unanje strukturnih koecijenata pomo¢u analize puteva

Iz Slike 2 je o£ito da primjerice, za vezu izmeu varijabli X1 i Y1 postoje dva puta,jedan izravni i jedan neizravni koji je posredovan varijablom X2, pa je upravo zbog togaCorr(X1, Y1) = B + AC. Jednako tako vrijedi i za ostale veze. Pokaºimo ovo koriste¢isvojstva i deniciju korelacije, varijance i kovarijance:

∗Corr(X1, Y1) = Corr(X1, BX1 + CX2) =Cov(X1, BX1 + CX2)√V ar(X1)V ar(BX1 + CX2)

=

=Cov(X1, BX1) + Cov(X1, CX2)√

V ar(X1)V ar(BX1 + CX2)=

Iz svojstva varijance V ar(aX + bY ) = a2V ar(X) + b2V ar(Y ) + 2abCov(X, Y ) slijedi:

=BCov(X1, X1) + CCov(X1, X2)√

V ar(X1)(B2V ar(X1) + C2V ar(X2) + 2BCCov(X1, X2))=

=BCov(X1, X1) + CCov(X1, X2)√

V ar(X1)V ar(X2)(B2 V ar(X1)

V ar(X2)+ C2 + 2BCCov(X1,X2)

V ar(X2)

) =

8

=BV ar(X1)√

V ar(X1)V ar(X2)(B2 V ar(X1)

V ar(X2)+ C2 + 2BCCov(X1,X2)

V ar(X2)

)+

+C√

B2 V ar(X1)V ar(X2)

+ C2 + 2BCCov(X1,X2)V ar(X2)

Cov(X1, X2)√V ar(X1)V ar(X2)

=

=BV ar(X1)√

V ar(X1)V ar(X2)(

B2V ar(X1)+C2V ar(X2)+2BCCov(X1,X2)V ar(X2)

)+

+AC√(

B2V ar(X1)+C2V ar(X2)+2BCCov(X1,X2)V ar(X2)

) =

=B

1V ar(X1

√V ar(X1)V ar(BX1 + CX2)

+AC√

V ar(BX1+CX2)V ar(X2)

=

Kako je Y1 deniran s Y1 = BX1 + CX2 imamo:

=B√V ar(Y1

V ar(X1

+AC√V ar(Y1)V ar(X2)

koriste¢i pretpostavku s po£etka primjera nazivnici nam postaju 1, te imamo upravo ono ²tosmo htjeli dokazati:

= B + AC

Analogan je postupak i za jednadºbu ∗∗Corr(X2, Y1) = C + AB.

Pristup prikazan u Primjeru 2. prikazuje kako je, koriste¢i analizu puteva, jednostavnorije²iti bilo koju vezu baziraju¢i se samo na korelacijama varijabli unutar speciciranogmodela. Kao ²to se moºe vidjeti iz ovog jednostavnog primjera, ukoliko promijenimo model,odnosno puteve na bilo koji na£in, dolazi do promjena unutar kauzalnih veza. Ove promjenepredstavljaju bazu za modiciranje modela kako bismo postigli bolje poklapanje s podacima,naravno ako je to teorijski opravdano.

2.1.1 Povijest strukturnih jednadºbi

Ne postoji konkretan odgovor na pitanje tko je izumio modeliranje strukturnim jednadº-bama jer su mnogi znanstvenici doprinijeli njegovom razvoju. Povijest strukturnih jednadºbi¢emo stoga opisati identiciranjem triju osnovnih komponenti kao u [1] koje £ine dana²njestrukturne jednadºbe: analiza puteva, koncept latentnih varijabli i mjerljivih modela teop¢enita procedura procjene.

9

Izumiteljem analize puteva smatramo Sewalla Wrighta3, prema kojemu su tri osnovnaaspekta analize puteva: dijagram puteva, jednandºbe koje povezuju korelacije ili kovarijances parametrima te dekompozicija efekata. Dijagram puteva je, kao ²to je ranije spomenuto,gra£ki prikaz skupa jednadºbi koji prikazuje veze meu svim varijablama uklju£uju¢i smet-nje i gre²ke. Koriste¢i dijagram puteva Wright je predloºio skup pravila za pisanje jednadºbikoje uspostavljaju odnos meu korelacijama (ili kovarijancama) varijabli i parametrima mo-dela ²to predstavlja upravo drugi aspekt analize puteva. Tada je predloºio rje²avanje ovihjednadºbi po nepoznatim parametrima, supstitucijom kovarijanci ili korelacija uzorka s od-govaraju¢im kovarijancama ili korelacijama pripadne populacije kako bi dobio procjene pa-rametara. Tre¢i aspekt analize puteva pruºa na£ine na koje moºemo razlikovati izravne,neizravne i ukupne efekte jedne varijable na drugu. Izravni efekti su oni koji nisu posre-dovani niti jednom drugom varijablom, neizravni su posredovani barem jednom varijablom,dok su ukupni efekti sume svih izravnih i neizravnih efekata.

Analiza puteva napredovala je kroz vrijeme. Dana²nja forma razraena je glede simbolaunutar dijagrama puteva te ima jednadºbe koje povezuju kovarijance i parametre izvedenepomo¢u matrice umjesto "£itanja" iz dijagrama puteva te ima jasnije deniranu dekompozi-ciju izravnih, neizravnih i ukupnih efekata. No i dalje ne moºemo osporiti Wrightov doprinosnjenom razvoju.

Osim analize puteva, suvremenim tehnikama strukturnih jednadºbi esencijalni su i kon-cepti latentnih varijabli i mjerljivih modela. Tradicija faktorske analize proizi²la od Spe-armana4(1904.) nagla²avala je vaºnost odnosa meu latentnim faktorima i promatranimvarijablama. Osnovno je bilo ono ²to danas zovemo mjerljivi model. Wrightovi primjerianalize puteva demonstrirali su da modeli iz ekonometrike koji sadrºe varijable s gre²kamamogu biti identicirani i procijenjeni. Radovi u sociologiji tijekom 60-ih i ranih 70-ih de-monstirali su potencijalnu sintezu modela iz ekonometrike s latentnim umjesto procijenjenimvarijablama, no njihov rad se svodio na primjere te nisu utvrdili op¢eniti model koji bi semogao primijeniti za speci£ne probleme. Do generalnog modela do²li su Joreskog 5(1973.),Keesing 6(1972.) i Wiley (1973.). Njihov model je bio sastavljen od dva dijela, prvi je biomodel latentnih varijabli koji je bio sli£an spomenutom skupu jednadºbi s iznimkom da susve varijable latentne. Drugi dio je bio mjerljivi model koji je prikazao indikatore kao efektelatentnih varijabli kao u faktorskoj analizi. Matri£ni izrazi za ove modele su prikazani takoda mogu biti primijenjeni za mnoge zasebne probleme.

Ostaje nam jo² posljednja komponenta strukturnih jednadºbi, procedura procjene. Raneprimjene spomenute Wrightove analize puteva koristile su procedure procjene kako bi do²le doprocjenitelja parametara. U ekonometrici su svojstva procjenitelja za strukturne jednadºbe spromatranim varijablama bile dobro utvrene. U psihometrici radovi Lawleya(1940), Ander-

3Sewall Green Wright (21.12.1889 - 3.3.1988) bio je ameri£ki geneti£ar poznat po utjecajnom radu nateoriji evolucije i spomenutoj analizi puteva.

4Charles Edward Spearman (10.9.1863 - 17.9.1945) bio je engleski psiholog poznat po svojim statis-ti£kim istraºivanjima kao utemeljitelj faktorske analize.

5Karl Gustav Joreskog(roen 25.4.1935) je ²vedski statisti£ar, koautor je statisti£kog programa LI-SREL. Trenutno je po£asni profesor na Uppsala Sveu£ili²tu.

6prof. Roger Martin Keesing (16.5.1935 - 7.5.1993) bio je lingvist i antropolog, poznat po radovimana srodstvu, religiji, politici, povijesti, kognitivnoj antropologiji i jeziku.

10

sona i Rubina(1956), te Joreskog(1969) poloºili su temelje za testiranje hipoteza u faktorskojanalizi. Bock i Bargmann (1966) predloºili su analizu strukture kovarijance kako bi proci-jenili komponente varijanci latentnih varijabli. Joreskog je 1973. predloºio procjeniteljamaksimalne vjerodostojnosti (MLE) za op¢enite modele strukturnih jednadºbi, ovo je danasnaj²ire kori²ten procjenitelj.

Kona£no, ova skica razvoja modela strukturnih jednadºbi ne bi bila kompletna bez spo-minjanja softvarea koji je tada nastao. Kao ²to je spomenuto u kratkom opisu Joreskog, oni Sorbom kreirali su LISREL ²to moºemo nazvati jednim od najve¢ih faktora koji je doveodo ²irenja ove metode kroz dru²tvene znanosti.

2.1.2 Kovarijance

[3]Kovarijance su centralni koncept za ovu vrstu modeliranja, postoji jo² jedno ime zastrukturne jednadºbe - analiza struktura kovarijanci. Upravo zbog toga potrebno je podsjetitise osnovnih pravila algebre kovarijanci. Pretpostavimo stoga da su X1, X2 i X3 slu£ajnevarijable7 kojima su drugi momenti kona£ni, tj. E(X2

1 ) <∞, E(X22 ) <∞ i E(X2

3 ) <∞.

Denicije(D1)Cov(X1, X2) = E[(X1 − E[X1])(X2 − E[X2])]

= E[X1X2]− E[X1]E[X2](D2)V ar(X1) = Cov(X1, X1)

= E[(X1 − E[X1])2]

Pravilac je konstanta, a X1, X2, X3 su slu£ajne varijable(P1)Cov(c,X1) = 0(P2)Cov(cX1, X2) = cCov(X1, X2)(P3)Cov(X1 +X2, X3) = Cov(X1, X3) + Cov(X2, X3)

Svojstvaa1, b1, a2 i b2 su konstante, a X1 i X2 slu£ajne varijable(S1)Cov(a1X1 + b1, a2X2 + b2) = a1a2Cov(X1, X2)

(S2)|Cov(X1, X2)| ≤√V ar(X1)V ar(X2)

u slu£aju kad su X1 i X2 nezavisne(S3)Cov(X1, X2) = E[X1X2]− E[X1]E[X2]

= E[X1]E[X2]− E[X1]E[X2]= 0

Tablica 3: Osnovna pravila i denicije kovarijanci

U Tablici 3. E ozna£ava o£ekivanje slu£ajne varijable ²to je osnovna numeri£ka karakte-ristika slu£ajne varijable, u diskretnom slu£aju je to suma produkata realizacija te slu£ajnevarijable i odgovaraju¢ih vjerojatnosti. Zatim V ar predstavlja varijancu ²to je o£ekivanokvadratno odstupanje slu£ajne varijable od njenog o£ekivanja.

7Slu£ajna varijabla je funkcija X : Ω → R, gdje je Ω prostor elementarnih dogaaja vjerojatnosnogprostora (Ω,P(Ω), P ).

11

Kovarijanca mjeri koli£inu linearne zavisnosti izmeu dvije slu£ajne varijable. Potrebnoje napomenuti da kada su slu£ajne varijable pozitivno linearno zavisne kovarijanca je pozi-tivna, nasuprot tome kada su X1 i X2 negativno linearno zavisne kovarijanca je negativnate ukoliko su varijabe meusobno nezavisne, kovarijanca je jednaka nuli. Obrat ne vrijedi.Svojstvo (S2) navedeno u tablici je tzv. Cauchy-Schwarts nejednakost koja pokazuje daje apsolutna vrijednost kovarijance bilo kojih dviju slu£ajnih varijabli ograni£ena odozgokorijenom produkta varijanci tih dviju slu£ajnih varijabli.

Podsjetimo se i nepristranog procjenitelja kovarijance uzorka, neka je dan jednostavanslu£ajan uzorak ((X1, Y1), (X2, Y2), ..., (XN , YN)) iz distribucije slu£ajnog vektora (X, Y ):

ˆCov(X, Y ) =

∑Ni=1(Xi −X)(Yi − Y )

N − 1(1)

Gdje su (X,Y ) srednje vrijednosti uzorka.

2.1.3 Koecijent korelacije

[3]Osim pomo¢u kovarijanci, strukturne jednadºbe moºemo analizirati i koriste¢i korela-cije. Ponovimo osnovne £injenice o koecijentu korelacije.

Pretpostavimo da ºelimo znati koja je veza izmeu koli£ine edukacije i godi²nje zaradezaposlenih u populaciji. Neka X1 ozna£ava edukaciju, a X2 zaradu te izra£unajmo njihovukovarijancu. Rje²enje koje dobijemo ovisi o na£inu na koji smo izmjerili edukaciju i zaradu.Svojstvo (S1) kovarijance navedeno u Tablici 3. implicira da kovarijanca izmeu edukacije izarade ovisi o tome je li zarada mjerena u dolarima ili u tisu¢ama dolara ili je li edukacijamjerena u mjesecima ili godinama. O£ito je da na£in mjerenja ovih varijabli ne utje£e na tokoliko su snaºno povezane. injenica da kovarijanca ovisi o jedinicama mjere je slabost kojaje svladana uvoenjem korelacijskog koecijenta izmeu X1 i X2:

Corr(X1, X2) =Cov(X1, X2)

sd(X1)sd(X2)=

σX1X2

σX1σX2

,

gdje sd ozna£ava standardnu devijaciju8. Koecijent korelacije izmeu X1 i X2 se ponekadozna£ava s ρX1X2 .

Budu¢i da su σX1 i σX2 pozitivni, Cov(X1, X2) i Corr(X1, X2) su uvijek jednakog predz-naka te Corr(X1, X2) = 0 ako i samo ako je Cov(X1, X2) = 0. Neka od svojstava kovarijanciprenose se na korelaciju, a popisana su u Tablici 4.

8Standardna devijacija ozna£ava mjeru raspr²enosti podataka u skupu. Interpretira se kao prosje£no

odstupanje od prosjeka i to u apsolutnom iznosu, a ra£una: σX =√

1N

∑Ni=1(Xi − X)2 =

√V ar(X)

12

Svojstvaa1, b1, a2 i b2 su konstante, a X1 i X2 slu£ajne varijableza a1, a2 > 0(S1)Corr(a1X1 + b1, a2X2 + b2) = Corr(X1, X2)za a1, a2 < 0(S2)Corr(a1X1 + b1, a2X2 + b2) = −Corr(X1, X2)(S3)−1 ≤ Corr(X, Y ) ≤ 1u slu£aju kad su X1 i X2 nezavisne(S4)Corr(X1, X2) = 0(S5)Corr(X1, X2) = 1⇒ X2 = a1 + b1X1 za b1 > 0(S6)Corr(X1, X2) = −1⇒ X2 = a1 + b1X1 za b1 < 0

Tablica 4: Osnovna pravila i svojstva koecijenta korelacije

Ako je Corr(X1, X2) = 0, odnosno Cov(X1, X2) = 0, tada ne postoji linearna vezaizmeu X1 i X2 te moºemo re¢i da su one nekorelirane slu£ajne varijable; u suprotnom X1 iX2 su korelirane. Kao ²to vidimo u (S5) Corr(X1, X2) = 1 implicira savr²enu linearnu vezu,analogno u slu£aju (S6) iznos korelacije −1 implicira savr²enu negativnu linearnu vezu meuslu£ajnim varijablama.

2.2 Dvofazna metoda najmanjih kvadrata(2SLS)

2.2.1 Instrumental varijable

Kao motivaciju uvedimo linearni model populacije dan u [4]:

y = β0 + β1x1 + β2x2 + ...+ βKxK + u, (2)

E(u) = 0, Cov(xj, u) = 0, j = 1, 2, ..., K − 1, (3)

gdje su x1, x2, ..., xK−1 egzogene 9 neovisne varijable, a xK potencijalno endogena te postojimogu¢nost da su xK i u meusobno korelirane. Budu¢i da nemamo nikakvih dodatnihinformacija ne moºemo doslijedno odrediti parametre u jednadºbi (2).

Metoda instrumental varijabli (IV) pruºa op¢enito rje²enje za problem endogenih neo-visnih varijabli. Kako bismo mogli koristiti IV pristup s endogenom xK potrebna nam jemanifestna varijabla z1 koja nije dio jednadºbe (2) te zadovoljava dva uvjeta. Prvo, z1 i umoraju biti nekorelirane, tj.:

Cov(z1, u) = 0. (4)

Drugim rije£ima, jednako kao i x1, x2, ..., xK−1, z1 je egzogena u jednadºbi (2).Drugi uvjet uklju£uje vezu izmeu z1 i xK . Linearna projekcija varijable xK na sve

egzogene varijable:

xK = δ0 + δ1x1 + ...+ δK−1xK−1 + θ1z1 + rK , (5)

9Egzogena varijabla je ona varijabla koja je nekorelirana s gre²kom modela, nasuprot njoj je endogenavarijabla koja moºe biti korelirana s gre²kom modela.

13

gdje je, prema deniciji gre²ke linearne projekcije, E(rK) = 0 te su rK i x1, x2, ..., xK−1, z1nekorelirane. Klju£na pretpostavka za ovu linearnu projekciju je da je koecijent uz z1razli£it od nule, tj.:

θ1 6= 0. (6)

Ovaj uvjet zna£i da izmeu z1 i xK postoji linearna veza nakon ²to su izba£ene ostaleegzogene varijable x1, x2, ..., xK−1, tj. xK = δ0 + θ1z1 + rK , gdje je θ1 = Cov(z1, xK)/V ar(z1)pa je uvjet (6) ekvivalentan Cov(z1, xK) 6= 0.

Sada je potrebno spomenuti da nismo stavili restrikcije na distribucije varijabli xK iz1. U mnogim slu£ajevima xK i z1 su obje neprekidne, ali moºe se dogoditi i da obje bududiskretne. Zapravo, jedna ili obje spomenute varijable mogu biti binarne ili imati neprekidnei diskretne karakteristike istovremeno. Jednadºba (5) je jednostavno linearna projekcija ipostoji kada su drugi momenti svih varijabli kona£ni.

Kada z1 zadovoljava uvjete (4) i (6) tada kaºemo da je ona kandidat za instrumentalvarijablu za xK . Jednostavnije re£eno z1 je instrument od xK . Budu¢i da su x1, x2, ..., xK−1i u nekorelirane, one sluºe kao instrumental varijable same sebi u jednadºbi (2). Drugimrije£ima potpuni popis instrumental varijabli jednak je popisu egzogenih varijabli, ali £estose odnosi samo na instrumente endogenih neovisnih varijabli.

Linearnu projekciju u jednadºbi (5) nazivamo reducirana forma jednadºbe za endogenuneovisnu varijablu xK . U kontekstu linearnih modela s jednom jednadºbom reduciranaforma uvijek uklju£uje pisanje endogene varijable kao linearne projekcije na sve egzogenevarijable. Ova terminologija proizlazi iz analize simultanih jednadºbi te u tom kontekstuima vi²e smisla. Koristimo ju u svim kontekstima IV zato ²to je saºet na£in izraºavanja daje endogena varijabla linearno projicirana na egzogene varijable. Ova terminologija takoerprenosi da jednadºba (5) nije nuºno strukturna.

Iz strukturne jednadºbe (2) i reducirane forme za xK , dobivamo reduciranu formu za yuvr²tavaju¢i jednadºbu (5) u jednadºbu (2):

y = α0 + α1x1 + ...+ αK−1xK−1 + λ1z1 + v (7)

gdje je v = u + βKrK reducirana forma gre²ke, a αj = βj + βKδj i λ1 = βKθ1 reduciraniparametri. Prema na²im pretpostavkama, v je nekorelirana sa svim neovisnim varijablamau jednadºbi (7) pa obi£nom metodom najmanjih kvadrata (OLS)10 moºemo konzistentno

10Obi£na metoda najmanjih kvadrata za model s jednom nezavisnom varijablom je sljede¢a: yi =b0 + b1xi + ei, moramo izabrati parametre b0 i b1 tako da minimiziraju

∑e2i . Da bismo dobili parametre

s tim svojstvima moramo parcijalno derivirati izraz∑e2i po b0 i b1 i izjedna£iti prve derivacije s nulom

kako bismo dobili ekstreme, odnosno minimume funkcija. Kriterij najmanjih kvadrata moºemo denirati:Min

∑ni=1 e

2i = Min

∑ni=1(yi − b0 − b1xi)

2, gdje yi ozna£ava stvarnu vrijednost y za i-to opaºanje, a nozna£ava broj opaºanja. Parcijalnim deriviranjem dobijemo sljede¢e:

∂

∂b0

∑(yi−b0−b1xi)2 = −2

∑(yi−b0−b1xi) = 0

∂

∂b1

∑(yi−b0−b1xi)2 = −2

∑xi(yi−b0−b1xi) = 0,

te u kona£nici dobijemo parametre:

b1 =

∑(xi − x)(yi − y)∑

(xi − x)2b0 = y − b1x.

14

procijeniti reducirane parametre αj i λ1.Sada moºemo pokazati da pretpostavke koje smo uzeli za IV z1 rje²avaju identikacijski

problem za βj, j = 1, 2, ..., K − 1 u jednadºbi (2). 'Identikacijski' se odnosi na to da βjmoºemo pisati u terminima populacijskih momenata u promatranim varijablama. Kakobismo vidjeli na koji na£in to moºemo napraviti jednadºbu (2) pi²emo kao

y = xβ + u (8)

gdje je konstanta apsorbirana u x pa je tako x = (1, x2, ..., xK). Pi²emo 1×K dimenzionalnivektor svih egzogenih varijabli

z ≡ (1, x2, ..., xK−1, z1). (9)

Pretpostavke (3) i (4) implicirajuE(z′u) = 0 (10)

Mnoºenjem jednadºbe (8) s z′ te uzimanjem o£ekivanja i kori²tenjem (10) dobivamo

[E(z′x)]β = E(z′y), (11)

gdje je E(z′x) K ×K dimenzionalan, a E(z′y) K × 1 dimenzionalan. Jednadºba (11) daklepredstavlja sustav od K linearnih jednadºbi s K nepoznanica β1, β2, ..., βK . Ovaj sustavima jedinstveno rje²enje ako i samo ako je K × K dimenzionalna matrica E(z′x) punogranga11(uvijet ranga), tj. ako je:

r(E(z′x)) = K, (12)

u tom slu£aju dobijemo sljede¢e rje²enje:

β = [E(z′x)]−1E(z′y). (13)

O£ekivanja E(z′x) i E(z′y) mogu biti konzistentno procijenjena koriste¢i slu£ajan uzorak na(x,y, z1) pa tako jednadºbom (13) moºemo dobiti vektor β.

O£ito je da je uvjet (4) kori²ten kako bismo dobili jednadºbu (13), no i dalje nismoiskoristili uvjet (6). Prisjetimo se da ne postoje linearne veze meu egzogenim varijablamapa je matrica E(z′z) punog ranga K, ²to isklju£uje mogu¢nost kolinearnosti u z u populaciji.Tada se moºe pokazati da je jednadºba (12) valjana ako i samo ako vrijedi uvijet (6). Dakle,uz uvjet egzogenosti (4), pretpostavka (6) je klju£na pri identikaciji vektora β.

Stoga kada nam je dan slu£ajan uzorak (xi, yi, zi1) : i = 1, 2, ..., N iz populacije, IV pro-cjenitelj vektora β je

β =

(N−1

N∑i=1

z′ixi

)−1(N−1

N∑i=1

z′iyi

)= (Z′X)−1Z′y (14)

gdje su Z i X N ×K dimenzionalne matrice, a y je N × 1 dimenzionalni vektor podataka.Konzistentnost ovog procjenitelja dolazi izravno iz jednadºbe (13) i zakona velikih brojeva12.

11Rang matrice je maksimalan broj njenih linearno nezavisnih stupaca.12Zakon velikih brojeva je teorem koji opisuje rezultat provoenja istog eksperimenta puno puta. Prema

zakonu, prosjek rezultata dobivenih tim eksperimentima treba biti blizu o£ekivanoj vrijednosti te teºi k njojs rastom broja provoenja eksperimenata.

15

Pri traºenju instrumenata za endogenu nezavisnu varijablu uvjeti (4) i (6) su jednakovaºni pri identikaciji vektora β. No, postoji jedna vaºna razlika: uvjet (6) moºe bititestiran, dok uvjet (4) mora biti odrºan. Razlog ove razlike je jednostavan: kovarijanca uuvjetu (4) uklju£uje nemanifestnu, odnosno latentnu varijablu u, ²to zna£i da ne moºemotestirati ni²ta o Cov(z1, u).

Kako bismo opisali dvofaznu metodu najmanjih kvadrata ponovno promatramo model spo£etka ovog poglavlja opisan u jednadºbama (2) i (3) gdje xK moºe biti korelirana s u. No,ovaj put ¢emo pretpostaviti da imamo vi²e od jedne instrumental varijable od xK . Neka suz1, z2, ..., zM varijable za koje vrijedi:

Cov(zh, u) = 0, h = 1, 2, ...,M, (15)

tako da je svaka zh egzogena u jednadºbi (2). Ako svaka od ovih varijabli ima parcijalnukorelaciju s xK u odnosu na x1, x2, ..., xK−1, z1, ..., zM , mogli bismo imati M razli£itih IVprocjenitelja. Zapravo, postoji puno vi²e od toga, vi²e nego ²to moºemo prebrojati, budu¢ida je bilo koja linearna kombinacija x1, x2, ..., xK−1, z1, ..., zM nekorelirana s u. Koji IVprocjenitelj tada koristiti?

Pod odreenim pretpostavkama procjenitelj metode najmanjih kvadrata u dva koraka(2SLS) je najekasniji IV procjenitelj. Spomenute pretpostavke ¢e se za sada odnositi jed-nostavno na intuiciju.

Kako bismo ilustrirali metodu 2SLS, denirat ¢emo vektor egzogenih varijabli saz ≡ (1, x1, x2, ..., xK−1, z1, ..., zM), 1 × L dimenzionalnim vektorom (L = K + M). Meusvim mogu¢im linearnim kombinacijama od z koje mogu biti kori²tene kao instrumenti odxK , metoda 2SLS bira onu koja je najvi²e korelirana s xK . Kada bi xK bila egzogena,tada bi ovaj izbor implicirao da je najbolji instrument za xK upravo xK . Ukoliko izbacimoovaj slu£aj, linearna kombinacija od z koja je najvi²e korelirana s xK dana je linearnomprojekcijom xK na z. Reducirani oblik xK je dan s:

xK = δ0 + δ1x1 + ...+ δK−1xK−1 + θ1z1 + ...+ θMzM + rK , (16)

gdje, po deniciji, rK ima o£ekivanje 0 i nekorelirano je sa svakom varijablom s desne stranejednadºbe (16). Kako je bilo koja linearna kombinacija vektora z nekorelirana s u, tada je i

x∗K ≡ δ0 + δ1x1 + ...+ δK−1xK−1 + θ1z1 + ...+ θMzM (17)

nekorelirana s u. Zapravo, x∗K je £esto interpretirana kao onaj dio xK koji je nekoreliran su. Ukoliko je xK endogena, to je upravo zato ²to je rK korelirana s u.

Kada bismo mogli promatrati x∗K , koristili bismo ga kao instrument za xK u jednadºbi(2) te bi koristili IV procjenitelj. Kako su δj i θj populacijski parametri, x∗K nije dobarkandidat za instrument. Meutim, sve dok koristimo standardnu pretpostavku da ne pos-toje egzaktne linearne veze meu egzogenim varijablama, moºemo procijeniti konzistentneparametre u jednadºbi (16) koriste¢i OLS. Uzora£ki analogoni od x∗iK za svako promatranjei su jednostavno odgovaraju¢e OLS vrijednosti:

xiK = δ0 + δ1xi1 + ...+ δK−1xiK−1 + θ1zi1 + ...+ θMziM . (18)

16

Za svako promatranje i, deniramo vektor xi ≡ (1, xi1, ..., xiK−1, xiK), i = 1, 2, ..., N . Koris-te¢i xi kao instrumente za xi dobivamo IV procjenitelj

β =

(N∑i=1

x′ixi

)−1( N∑i=1

x′iyi

)= (X′X)−1X

′y. (19)

IV procjenitelj u jednadºbi (19) je zapravo OLS procjenitelj. Kako bismo potvrdili ovu£injenicu, primijetimo da se N × (K + 1) dimenzionalna matrica X moºe izraziti kao X =Z(Z′Z)−1Z′X = PZX, gdje je projekcijska matrica PZ = Z(Z′Z)−1Z′ idempotentna13 isimetri£na. Stoga, X

′X = X′PZX = (PZX)′PZX = X

′X. Uvr²tavanjem ovog izraza u

(11) demonstriramo da se IV procjenitelj koji koristi instrumente od xi moºe prikazati sβ = (X

′X)−1X′y. Naziv ove metode, "dvofazna metoda najmanjih kvadrata", dolazi od ove

procedure.Rezimirajmo, β dobijamo u sljede¢e dvije faze:

1. Pronaimo odgovaraju¢e vrijednosti xK iz regresije

xK na 1, x1, ..., xK−1, z1, ..., zM , (20)

gdje je indeks i izostavljen zbog jednostavnosti. Ovo nazivamo prvom fazom regresije.

2. Provedimo OLS regresiju

y na 1, x1, ..., xK−1, xK . (21)

Ovo zovemo drugom fazom regresije koji rezultira s βj.

Testiranje uvjeta ranga s jednom endogenom nezavisnom varijablom i vi²e instrumenataje jednostavno. U jednadºbi (16) jednostavno testiramo nul hipotezu

H0 : θ1 = 0, θ2 = 0, ..., θM = 0 (22)

nasuprot alternative da je barem jedan θj razli£it od nule. Ovaj test daje razlog za eks-plicitno provoenje prvog koraka regresije. Ukoliko ne moºemo opovrgnuti hipotezu (22)nasuprot alternativne da je barem jedan θj razli£it od nule, na malom nivou zna£ajnosti,tada bismo trebali imati ozbiljne rezerve o predloºenoj 2SLS proceduri jer tada instrumentine zadovoljavaju minimalne zahtjeve.

Za model s jednom endogenom varijablom kaºemo da je preidenticiran kada je M > 1 ikada postoji M − 1 preidenticiraju¢a restrikcija. Ova terminologija dolazi od £injenice daukoliko je svaki zh parcijalno koreliran s xK , tada imamoM−1 vi²e egzogenih varijabli nego²to nam je potrebno kako bismo identicirali parametre u jednadºbi (2). Primjerice, ukolikoje M = 2, moºemo zanemariti jedan instrument i bez obzira na to identicirati parametre.

13Idempotentna matrica je ona za koju vrijedi A2 = A

17

2.2.2 Konzistentnost 2SLS procedure

Sumirajmo asimptotske rezultate za 2SLS u modelu s jednom jednadºbom s nekolikoendogenih varijabli meu neovisnim varijablama. Populacijski model zapi²emo:

y = xβ + u (23)

gdje je x 1 × K dimenzionalni vektor. Nekoliko elemenata od x moºe biti korelirano s u.Kao i obi£no, pretpostavimo da je dan slu£ajan uzorak iz populacije.

PRETPOSTAVKA 2SLS.1: Za 1× L dimenzionalni vektor z vrijedi E(z′u) = 0Ovdje ne speciciramo odakle dolaze elementi vektora z, ali znamo da su egzogeni ele-

menti od x, uklju£uju¢i i konstante, sadrºani u z. z ¢e o£ito sadrºavati varijable koje nisu diomodela, osim eventualno ako je svaki element od x egzogen. Uvjet E(u|z) = 014 implicira2SLS.1

Sljede¢a pretpostavka sadrºava uvjet ranga za analizu jedne jednadºbe.PRETPOSTAVKA 2SLS.2: (a) r(E(z'z))=L (b) r(E(z'x))=K

Dio (b) je klju£an uvjet ranga za identikaciju. Precizno, ovo zna£i da je z dovoljno linearnopovezan s x tako da je E(z′x) punog ranga.

Uz uvjet ranga potreban je i sljede¢i uvjet, L ≥ K ²to drugim rije£ima zna£i da moramoimati instrumenata barem onoliko koliko imamo neovisnih varijabli. U suprotnom ne moºemoidenticirati vektor β. No ovaj uvjet nam ne osigurava (b) dio 2SLS.2 budu¢i da elementiod z ne moraju biti korelirani s elementima od x.

Ve¢ znamo kako testirati pretpostavku 2SLS.2b s jednom endogenom neovisnom varija-blom. U op¢enitom slu£aju mogu¢e je testirati istu pretpostavku ukoliko nam je dan slu£ajanuzorak na (x, z), testiranjem uzorka analognog E(z′x), tj.Z′X/N . esto procjenjujemo redu-cirani oblik za svaku endogenu neovisnu varijablu kako bismo se osigurali da je barem jedanelement koji je dio z, ali ne i x signikantan. Ovo nije dovoljno za uvjet ranga op¢enito, alipomaºe pri odreivanju ukoliko uvjet ranga nije zadovoljen.

Kori²tenjem linearnih projekcija imamo jednostavan na£in provjere kako pretpostavke2SLS.1 i 2SLS.2 identiciraju vektor β. Prvo pretpostavimo da je E(z′z) regularna, ²tozna£i da uvijek moºemo pisati linearnu projekciju od x na z kao x∗ = zΠ, gdje je Π L ×K dimenzionalna matrica denirana s Π = [E(z′z)]−1E(z′x). Budu¢i da se svaki stupacod Π moºe konzistentno procijeniti regresiranjem pripadnih elemenata od x na z, u svrhuidenticiranja vektora β, Π moºemo tretirati kao poznatu. Pi²emo x = x∗ + r, gdje jeE(z′r) = 0 pa je E(x∗

′r) = 0. Sada je 2SLS procjenitelj efektivno IV procjenitelj, koriste¢i

instrumente x∗. Mnoºenjem jednadºbe (23) s x∗′, uzimanjem o£ekivanja dobivamo sljede¢e:

E(x∗′x)β = E(x∗

′y), (24)

14Uvjetno o£ekivanje slu£ajne varijable X za danu vrijednost Y = y je

E(X|Y = y) =

∑x∈R(X) xP (X = x|Y = y), ako je X diskretna∫∞−∞ xf(x|y)dx, ako je X neprekidna

,

gdje je f(x|y) uvjetna funkcija gusto¢e slu£ajnog vektora X za zadanu vrijednost Y = y.

18

jer je E(x∗′u) = 0. Dakle β je deniran s β = [E(x∗

′x)]−1E(x∗

′y) pod uvjetom da je E(x∗

′x)

regularna. AliE(x∗

′x) = Π′E(z′x) = E(x′z)[E(z′z)]−1E(z′x) (25)

i ova matrica je regularna ako i samo ako je E(z′x) ranga K; tj. ako i samo ako vrijedi pret-postavka 2SLS.2b. Ukoliko spomenuta pretpostavka ne vrijedi, tada je E(x∗

′x) singularna i

β nije identiciran.2SLS procjenitelj moºemo pisati:

β =

( N∑i=1

x′izi

)(N∑i=1

z′izi

)−1( N∑i=1

z′ixi

)−1( N∑i=1

x′izi

)(N∑i=1

z′izi

)−1( N∑i=1

z′iyi

). (26)

Vrijedi sljede¢i rezultat.

Teorem 1. (Konzistentnost za 2SLS) Pod pretpostavkama 2SLS.1 i 2SLS.2, 2SLS procjeni-telj dobiven iz slu£ajnog uzoka je konzistentan za vektor β.

Dokaz

β = β +

(N−1 N∑i=1

x′izi

)(N−1

N∑i=1

z′izi

)−1(N−1

N∑i=1

z′ixi

)−1

(N−1

N∑i=1

x′izi

)(N−1

N∑i=1

z′izi

)−1(N−1

N∑i=1

z′iyi

)Koriste¢i pretpostavke 2SLS.1 i 2SLS.2, primijenimo zakon velikih brojeva za svaki izraz za-jedno sa Slutskyjevim teoremom15 dobivamo konzistentnost.

2.2.3 Testiranje hipoteza s 2SLS

Ve¢ smo vidjeli da je testiranje hipoteze o jednom parametru βj jednostavno kori²tenje tstatistike koja ima asimptotsku normalnu distribuciju. Najjednostavniji postupak testiranjahipoteza je deniranje linearne kombinacije koju ºelimo testirati, recimo θ ≡ a1β1 + a2β2 +...+ aKβK te napisati βj u terminima θ i ostalim elementima vektora β. Tada supstituiratijednadºbu tako da θ bude dan direktno te procijeniti dobivenu jednadºbu s 2SLS kako bismodobili standardnu gre²ku θ.

Odgovaraju¢i test za vi²estruke restrikcije moºe se izra£unati koriste¢i metodu baziranuna rezidualima, analognu uobi£ajenoj F statistici iz OLS analize. Model pi²emo:

y = x1β1 + x2β2 + u, (27)

15Slutskyjev teorem: Neka su Xn i Yn nizovi slu£ajnih varijabli. Ako Xn konvergira po distribucijiprema slu£ajnoj varijabli X i Yn konvergira po vjerojatnosti prema konstanti c, tada Xn + Yn → X + c;XnYn → cX; Xn/Yn → X/c, gdje su sve navedene konvergencije po distribuciji.

19

gdje je x1 1 × K1 dimenzionalan, a x2 1 × K2 dimenzionalan. Sada ºelimo testirati K2

restrikcije:H0 : β2 = 0 nasuprot H1 : β2 6= 0 (28)

Vektori x1 i x2 mogu sadrºavati endogene i egzogene varijable.Neka z ozna£ava L ≥ K1 + K2 dimenzionalni vektor instrumenata te pretpostavimo da

je uvjet ranga za identikaciju zadovoljen.Neka su ui 2SLS reziduali za procjenjivanje nerestriktiranog modela koriste¢i zi kao instru-

mente. Koriste¢i ove reziduale deniramo 2SLS deniramo 2SLS sumu kvadratnih rezidualas:

SSRur ≡N∑i=1

u2i . (29)

Kako bismo denirali F statistiku za 2SLS, treba nam suma kvadratnih reziduala iz drugogkoraka regresije. Dakle, neka je xi1 1 × K dimenzionalni vektor odgovaraju¢ih vrijednostiiz prvog koraka regresije xi2 na zi. Deniramo SSRur kao uobi£ajenu sumu kvadratnihreziduala iz nerestriktirane regresije u drugom koraku y na x1, x2. Sli£no, SSRr je sumakvadratnih reziduala iz restriktiranog drugog koraka regresije, y na x1. Moºe se pokazati dapod H0 : β2 = 0 (i pretpostavkama 2SLS.1 i 2SLS.2), N · ( ˆSSRr − ˆSSRur)/SSRur

a∼ χ2K2.

Imalo bi smisla koristiti statistiku tipa F :

F ≡ ( ˆSSRr − ˆSSRur)

SSRur

· (N −K)

K2

(30)

koja je pribliºno distribuirana kao FK2,N−K .Iznosi ˆSSRr i ˆSSRur moraju se izra£unati izravno iz drugog koraka regresije. Nazivnik

od F je SSRur, tj. 2SLS suma kvadratnih reziduala.Za 2SLS je vaºno ne koristiti oblik statistike koja bi funkcionirala za OLS, preciznije,

(SSRr − SSRur)

SSRur

· (N −K)

K2

, (31)

gdje je SSRr 2SLS restriktirana suma kvadratnih reziduala. Ne samo da prethodni izraznema poznatu grani£nu distribuciju, nego £ak moºe biti negativna s pozitivnom vjerojatnosti£ak i kad veli£ina uzorka teºi u beskona£nost. O£ito takva statistika ne moºe imati pribliºnuF distribuciju ili bilo koju distribuciju koja je tipi£no povezana s testiranjem vi²e hipoteza.

3 Prakti£ni dio

3.1 Opis podataka

Podatci za ovaj rad skupljani su na Ekonomskom fakultetu Sveu£ili²ta J.J. Strossmayerau Osijeku. Skupljani su u svrhu doktorske disertacije dr. sc. Marine Jeger na temu Efektu-acija i razvoj poduzetni£kih namjera 16 u kojem je ispitan karakter odnosa izmeu primjene

16Jeger, Marina. Efektuacija i razvoj poduzetni£kih namjera. Doktorska disertacija. Osijek : Ekonomskifakultet u Osijeku, 13.07. 2013., 201 str. Voditelj: prof. dr. sc. Sanja Pfeifer.Projekt/Tema:010-0101195-0872.

20

efektualne logike i intenziteta namjera za pokretanjem vlastitog poduzetni£kog pothvata.Efektualna logika je denirana kao logika koja proizlazi iz poduzetni£ke ekspertize i svojuprimjenu pronalazi u situacijama visoke neizvjesnosti u kojima je budu¢nost te²ko ili nemo-gu¢e predvidjeti. Samim tim, primjena efektualne logike (ili efektuacije) u procesu dono²e-nja odluka polazi od raspoloºivih resursa (znanja i vje²tina pojedinca, zi£kih i materijalnihresursa te mreºe kontakata) i fokusiranjem na ono ²to je pod kontrolom pojedinca, zanema-ruje klasi£ne metode predvianja budu¢nosti i nagla²ava eksibilnost u ostvarivanju ciljeva.Istraºiva£ki dio doktorskog rada obuhva¢a dizajniranje upitnika za mjerenje osnovnih dimen-zija efektuacije i prilagodbu postoje¢eg i testiranog instrumenta za mjerenje poduzetni£kihnamjera; provoenje glavnog istraºivanja na uzorku od 345 studenata zavr²ne godine diplom-skog studija Ekonomskog fakulteta u Osijeku; ocjenu psihometrijskih karakteristika mjerenihkonstrukata efektuacije te statisti£ku obradu i analizu prikupljenih podataka.

Efektuacija je mjerena kroz pet principa efektuacije pomo¢u izjava s Likertovom 1-5mjernom ljestvicom, to su:

Fokus na resurse (eng. Bird-in-hand) Efektualne osobe pri dono²enju odlukapolaze od resursa i kompetencija kojima raspolaºu, a ne od cilja kojeg treba ostvariti.Odluke o izboru proizvoda/usluge, prvih kupaca, ciljanog trºi²ta i sli£no, temelje su naodgovorima na sljede¢a tri pitanja: "Tko sam ja?", "to znam?", "Koga poznam?".

Prihvatljivi gubitak vs. mogu¢a dobit (eng. Aordable loss) Efektualne osobefokusirane su na pitanja smanjenja tro²kova i spu²tanja iznosa investicije na minimum(kao suprotnost fokusiranju na povrat na investiciju). Odreivanjem resursa koje osobaºeli investirati u pothvat denira se i visina gubitka koji je osoba spremna prihvatiti uslu£aju najgoreg scenarija.

Razvijanje partnerstva (eng. Crazy quilt) Efektualne osobe se prvenstveno foku-siraju na izgradnju partnerskih odnosa, a zna£ajno manje vremena posve¢uju analizikonkurencije (ukoliko uop¢e posve¢uju vrijeme analizi konkurencije).

Princip limunade (eng. Lemonade principle) U najve¢em broju slu£ajeva efektu-alne osobe pro²iruju svoj trºi²ni segment kroz dva kanala: 1) razvojem novih proizvodai usluga za trenutne kupce, ili 2) stvaranjem partnerskih odnosa i pretvaranjem utje-cajnih £imbenika (stakeholdera) u kupce.

Pilot u zrakoplovu (eng. Pilot in the plane) Razvoj poduzetni£kog pothvata jeodreen i voen ljudskim faktorom.

I dodatnom dimenzijom efektuacije:

Sklonost kontroliranju budu¢nosti (eng. Future controlling) Postavlja se kaosuprotnost predvianju budu¢nosti u smislu da je fokus efektualne osobe na kreiranjui oblikovanju budu¢nosti kakvu priºeljkuje, a ne predvianju trendova i promjena natrºi²tu i istovremenom prilagoavanju tim trendovima i promjenama.[5]

21

Osim efektualne logike mjereni su i faktori koji prema teoriji planiranog pona²anja (TPP)utje£u na namjere. TPP naj£e²¢e je primjenjivan teorijski okvir u istraºivanju poduzetni£kihnamjera. Teorija planiranog pona²anja polazi od pretpostavke kako ve¢ina ljudskog pona²a-nja nastaje kao rezultat namjere pojedinca da poduzme odreeno pona²anje i sposobnostipojedinca da donese svjesnu odluku o tome (voljni aspekt). Prema TPP na formiranje na-mjere utje£u tri faktora: (1) stav pojedinca prema odreenom pona²anju (odgovor na pitanjeelim li to u£initi?), (2) subjektivne norme (odgovor na pitanje ele li drugi ljudi da ja tou£inim?), i (3) percipirana kontrola nad pona²anjem (Posjedujem li sposobnost potrebnu dato u£inim?).

U spomenutoj disertaciji istraºivanje je dalo rezultate u kojima je vidljivo da postoji po-zitivna povezanost izmeu efektualne logike i poduzetni£kih namjera te pozitivna povezanostizmeu primjene efektualne logike i osobnog stava, subjektivnih normi i percipirane kontrolenad pona²anjem gdje je najja£a povezanost izmeu efektualne logike i subjektivnih normi.

3.2 Obrada podataka

Podatci su analizirani kori²tenjem softwarea R. Od njegovog uvoenja sredinom 1990-ih,R je ubrzano postao jedan od najra²irenije kori²tenih softwarea za statisti£ko ra£unanje,osobito meu statisti£arima. R funkcionira na svim osnovnim kompjuterskim platformama²to ga £ini vrlo pristupa£nim.

Za provoenje detaljne analize strukturnih jednadºbi kori²ten je paket sem unutar R-a,to£nije, njegova tsls funkcija koja strukturne jednadºbe analizira koriste¢i metodu najmanjihkvadrata u dva koraka opisanu u teorijskom dijelu ovog rada. Kao ²to je opisano u poglavlju2.2.3 nulta hipoteza je da su parametri jednaki nuli, odnosno da ne postoji veza meuvarijablama unutar odabrane strukturne jednadºbe. Nasuprot tome, alternativna hipotezaje da su parametri razli£iti od nule, odnosno da postoji veza meu varijablama.

Analizom osnovne statistike spomenutih varijabli vidljive u Tablici 5 uo£avamo kako suminimalne vrijednosti svih varijabli izmeu 1 i 2, osim subjektivnih normi £ija je minimalnavrijednost -4. Jednako tako postoji odstupanje subjektivnih normi kod maksimalnih vrijed-nosti gdje sve ostale varijable imaju 5, a subjektivne norme 10. Razlog tomu je u na£inuizra£una subjektivnih normi, jedina ta varijable je ra£unata kao produkt ljestvica, pa jemogla poprimiti vrijednosti od -10 do 10, ovo je jasno vidljivo iz pitanja unutar upitnikakoji se nalaze u prilogu. Uo£avamo takoer da unutar ve¢ine varijabli imamo nedostaju¢evrijednosti ²to je bilo za pretpostaviti budu¢i da su podaci skupljani u obliku upitnika kojisu sadrºavali Likertovu mjernu ljestvicu.

22

Varijabla Min 1. Qu. Med X 3. Qu. Max N sdFokus na 1.250 3.250 3.750 3.677 4.000 5.000 345 0.6635resursePrihvatljivi 1.600 3.200 3.800 3.709 4.200 5.000 345 0.6587gubitakRazvijanje 2.000 3.750 4.000 4.018 4.500 5.000 345 0.5665partnerstvaPrincip 2.000 3.750 4.000 4.028 4.500 5.000 345 0.5476limunadePilot u 2.000 3.500 3.750 3.768 4.500 5.000 344 0.5362zrakoplovstvuKontroliranje 1.750 3.500 3.750 3.827 4.250 5.000 344 0.5525budu¢nostiOsobni stav 1.000 3.200 3.800 3.705 4.400 5.000 343 0.9335Subjektivne -4.000 3.000 4.667 4.714 6.667 10.000 340 2.6595normePBC 1.000 2.667 3.167 3.083 3.500 5.000 342 0.7514Poduzetni£ke 1.000 2.200 3.000 2.947 3.600 5.000 341 1.0689namjere

Tablica 5: Osnovna statistika svih varijabli

Meu svim varijablama najmanju standardnu devijaciju ima princip efektualne logikepilot u zrakoplovstvu. Kako je standardna devijacija prosje£no odstupanje od prosjeka,odnosno mjera raspr²enosti podataka o£ito je da spomenuti princip najmanje odstupa odsvog prosjeka, odnosno je najmanje raspr²en dok subjektivne norme odstupaju najvi²e te sunajraspr²enije upravo zbog ranije navedenog razloga prilikom mjerenja ove varijable.

3.2.1 Analiza "fokus na resurse" modela

U ovom modelu analizirana je veza izmeu jednog od principa efektuacije, fokusa naresurse (ME), s osobnim stavom, subjektivnim normama, PBC-om. S obzirom da je interesnopodru£je ovog istraºivanja upravo veza efektuacije s poduzetni£kim namjerama, nas najvi²ezanima veza meu spomenutim varijablama i poduzetni£kim namjerama. O£ito je da unutarovog modela nema latentnih varijabli, nego su sve manifestne, odnosno promatrane varijable.Dijagram puteva ovog modela prikazan je na Slici 3.

23

Slika 3: Dijagram puteva ME modela

Br. Strukturne jednadºbe1.1) Poduzetni£ke namjere= λ1Osobni stav+λ2Subjektivne norme+

+λ3PBC+λ4ME+δ11.2) Osobni stav= λ5ME+δ21.3) Subjektivne norme= λ6ME+δ31.4) PBC= λ7ME+δ4

Tablica 6: Strukturne jednadºbe danog modela

Navedene strukturne jednadºbe opisuju veze varijabli s poduzetni£kim namjerama gdjeje veza izmeu ME i poduzetni£kih namjera izravna s parametrom λ4, te neizravna prekovarijabli osobni stav s parametrom λ5, zatim subjektivnih normi s parametrom λ6, te PBC-as parametrom λ7. Osim s ME, poduzetni£ke namjere imaju izravnu vezu s osobnim stavoms parametrom λ1, subjektivnim normama s parametrom λ2, te PBC-om s parametrom λ3.

Analizom ovih jednadºbi dobiveni su sljede¢i rezultati.

Parametar Vrijednost p vrijednostλ1 0.650774 <0.000001λ2 -0.016692 0.211545λ3 0.567919 <0.000001λ4 -0.140130 0.007415λ5 0.166266 0.031488λ6 0.655326 0.002926λ7 0.044407 0.477250

Tablica 7: Vrijednosti parametara ME modela

24

1.1) Poduzetni£ke namjere= 0.650774·Osobni stav+0·Subjektivne norme++0.567919·PBC+0·ME−0.62446689

1.2) Osobni stav= 0.166266·ME+3.09428071.3) Subjektivne norme= 0.655326·ME+2.30823861.4) PBC= 0·ME

Tablica 8: Rezultati analize ME modela

Slika 4: Rezultati ME modela

Testiranjem strukturnih jednadºbi promatramo nul-hipotezu koja je u ovom slu£aju daje parametar λi = 0, i = 1, ..., 7, odnosno da ne postoji linearna veza meu varijablamaunutar promatrane jednadºbe. Testiranjem jednadºbe 1.1) s vjerojatno²¢u p < 0.000001,na nivou zna£ajnosti 0.05 nemamo razloga sumnjati u alternativnu hipotezu tj. nemamorazloga sumnjati da postoji linearna veza izmeu osobnog stava i poduzetni£kih namjera sparametrom λ1 = 0.650774. Analogno tome dobiven je rezultat i za parametar λ3, gdje sp < 0.000001 nemamo razloga sumnjati u alternativnu hipotezu, te on iznosi 0.567919. Ostaliparametri jednadºbe 1.1) su statisti£ki nezna£ajni. U jednadºbama 1.2) i 1.3) smo dobilistatisti£ki zna£ajne procjene, dakle s p = 0.031488 na nivou zna£ajnosti 0.05 odbacujemonul-hipotezu, odnosno nemamo razloga odbaciti alternativnu hipotezu, pa je λ5 = 0.166266.Sli£no je dobiveno za jednadºbu 1.3) gdje je s p = 0.002926 na nivou zna£ajnosti 0.05utvreno da nemamo razloga odbaciti alternativnu hipotezu te je dobivena procjena λ6 =0.655326. Zaklju£ujemo da u ME modelu poduzetni£ke namjere imaju samo jednu neizravnuvezu s ispitanim principom efektuacije, fokusom na resurse, i to vezu posredovanu varijablomosobni stav. Ostale dobivene veze ne spadaju u na²e interesno podru£je pa ih nije potrebnododatno nagla²avati.

3.2.2 Analiza "prihvatljivi gubitak" modela

Ovim modelom promatramo utjecaj drugog principa efektuacije, prihvatljivog gubitka(AL) na poduzetni£ke namjere te analogno prethodnom modelu vezu izmeu osobnog stava,

25

subjektivnih normi i PBC-a s poduzetni£kim namjerama. Takoer analogno prethodnommodelu ni ovdje nemamo latentnih varijabli. Dijagram puteva ovog modela prikazan je naSlici 5.

Slika 5: Dijagram puteva AL modela


+λ3PBC+λ4AL+δ12.2) Osobni stav= λ5AL+δ22.3) Subjektivne norme= λ6AL+δ32.4) PBC= λ7AL+δ4

Tablica 9: Strukturne jednadºbe AL modela

Navedene strukturne jednadºbe opisuju veze varijabli s poduzetni£kim namjerama gdjeje veza izmeu AL i poduzetni£kih namjera izravna s parametrom λ4, te neizravna prekovarijabli osobni stav s parametrom λ5, zatim subjektivnih normi s parametrom λ6, te PBC-as parametrom λ7. Osim s AL, poduzetni£ke namjere imaju izravnu vezu s osobnim stavoms parametrom λ1, subjektivnim normama s parametrom λ2, te PBC-om s parametrom λ3.


26

Parametar Vrijednost p vrijednostλ1 0.644637 <0.000001λ2 -0.020656 0.123581λ3 0.563958 <0.000001λ4 -0.054266 0.308567λ5 -0.004567 0.953450λ6 0.323799 0.148890λ7 -0.180269 0.004126

Tablica 10: Vrijednosti parametara AL modela

2.1) Poduzetni£ke namjere= 0.644637·Osobni stav+0·Subjektivne norme++0.563958·PBC+0·AL−0.88455138

2.2) Osobni stav= 0·AL2.3) Subjektivne norme= 0·AL2.4) PBC= −0.180269·AL+3.75117793

Tablica 11: Rezultati analize AL modela

Slika 6: Rezultati AL modela

Provodimo jednako testiranje kao i u ME modelu. Kao ²to je vidljivo iz Tablice 11 idijagrama puteva na Slici 6 o£ito je da postoji samo jedan put kojim je efektuacija pove-zana s poduzetni£kim namjerama, i to posredovanjem PBC-a. Dakle, u jednadºbi 2.1) svjerojatno²¢u p < 0.000001 na nivou zna£ajnosti 0.05 nemamo razloga odbaciti alternativnuhipotezu te je dobivena procjena λ3 = 0.563958 ²to zna£i da postoji linearna veza izmeuPBC-a i poduzetni£kih namjera. Sli£no u jednadºbi 2.4) s vjerojatno²¢u p = 0.004126 nanivou zna£ajnosti nemamo razloga sumnjati u alternativnu hipotezu te je dobivena procjenaλ7 = −0.180269, dakle postoji negativna linearna veza meu varijablama AL i PBC. Tim

27

zaklju£ujemo da u AL modelu postoji slab utjecaj prihvatljivog gubitka na poduzetni£kenamjere i to neizravan, preko PBC-a.

3.2.3 Analiza "razvijanje partnerstva" modela

U ovom modelu analizirana je veza sljede¢eg principa efektuacije, razvijanja partnerstva(CQ) s osobnim stavom, subjektivnim normama, PBC-om te njihova ukupna veza s podu-zetni£kim namjerama. Ponovno analogno prethodnom modelu nemamo latentnih varijabli.Dijagram puteva ovog modela prikazan je na Slici 7.

Slika 7: Dijagram puteva CQ modela


+λ3PBC+λ4CQ+δ13.2) Osobni stav= λ5CQ+δ23.3) Subjektivne norme= λ6CQ+δ33.4) PBC= λ7CQ+δ4

Tablica 12: Strukturne jednadºbe CQ modela

Navedene strukturne jednadºbe opisuju veze varijabli s poduzetni£kim namjerama gdjeje veza izmeu CQ i poduzetni£kih namjera izravna s parametrom λ4, te neizravna prekovarijabli osobni stav s parametrom λ5, zatim subjektivnih normi s parametrom λ6, te PBC-as parametrom λ7. Osim s CQ, poduzetni£ke namjere imaju izravnu vezu s osobnim stavoms parametrom λ1, subjektivnim normama s parametrom λ2, te PBC-om s parametrom λ3.


28


Tablica 13: Vrijednosti parametara CQ modela

3.1) Poduzetni£ke namjere= 0.654161·Osobni stav+0·Subjektivne norme++0.563885·PBC+0·CQ−0.611650

3.2) Osobni stav= 0.271149·CQ+2.615552623.3) Subjektivne norme= 0.988395·CQ+0.74101443.4) PBC= 0·CQ

Tablica 14: Rezultati analize CQ modela

Slika 8: Rezultati CQ modela

Testiranjem je potvrena samo jedna neizravna veza meu traºenim varijablama, daklevarijabla CQ povezana je s osobnim stavom koji je nadalje povezan s poduzetni£kim namje-rama. Kao ²to je vidljivo u Tablici 14, u jednadºbi 3.1) s vjerojatno²cu p < 0.000001, nanivou zna£ajnosti 0.05 nemamo razloga odbaciti alternativnu hipotezu, te nam je parametarλ1 = 0.654161. Nadalje, u jednadºbi 3.2) je s vjerojatno²¢u p = 0.027367 na nivou zna£aj-nosti 0.05 dobivena procjena λ5 = 0.271149, dakle iz vjerojatnosti zaklju£ujemo da nemamorazloga sumnjati u alternativnu hipotezu i prihva¢amo dobivenu procjenu za parametar λ5.U jednadºbi 3.3) je s vjerojatno²¢u p = 0.000162 na nivou zna£ajnosti dobivena procjena

29

λ6 = 0.988395, takoer nemamo razloga sumnjati u alternativnu hipotezu te prihva¢amodobivenu procjenu. Ponovo smo u istoj situaciji kao i u ME modelu gdje imamo jednu ne-izravnu vezu analiziranog principa efektuacije i poduzetni£kih namjera. No, s obzirom nato da su oba parametra unutar ove neizravne veze ve¢i od parametara dobivenih u ME iAL modelu, zaklju£ujemo kako je veza ja£a izmeu razvijanja partnerstva i poduzetni£kihnamjera, u odnosu na veze ostvarene u ME i AL modelima.

3.2.4 Analiza "princip limunade" modela

Ovaj model promatra izravana i neizravana veza izmeu principa limunade(LP) i podu-zetni£kih namjera. Ponovno analogno prethodnim modelima nemamo latentnih varijabli.Dijagram puteva ovog modela prikazan je na Slici 9.

Slika 9: Dijagram puteva LP modela


+λ3PBC+λ4LP+δ14.2) Osobni stav= λ5LP+δ24.3) Subjektivne norme= λ6LP+δ34.4) PBC= λ7LP+δ4

Tablica 15: Strukturne jednadºbe LP modela

Navedene strukturne jednadºbe opisuju veze varijabli s poduzetni£kim namjerama gdjeje veza izmeu LP i poduzetni£kih namjera izravna s parametrom λ4, te neizravna prekovarijabli osobni stav s parametrom λ5, zatim subjektivnih normi s parametrom λ6, te PBC-as parametrom λ7. Osim s LP, poduzetni£ke namjere imaju izravnu vezu s osobnim stavoms parametrom λ1, subjektivnim normama s parametrom λ2, te PBC-om s parametrom λ3.


30


Tablica 16: Vrijednosti parametara LP modela

4.1) Poduzetni£ke namjere= 0.644489·Osobni stav+0·Subjektivne norme++0.580661·PBC+0·LP−0.74266730

4.2) Osobni stav= 0.269635·LP+2.619330814.3) Subjektivne norme= 0.900965·LP+1.09157004.4) PBC= 0.215510·LP+2.21590584

Tablica 17: Rezultati analize LP modela

Slika 10: Rezultati LP modela

Testiranjem ovog modela, u strukturnoj jednadºbi 4.1) postignute su veze izmeu po-duzetni£kih namjera i osobnog stava te PBC-a. Dakle s vjerojatno²cu p < 0.000001 u obaslu£aja odbacujemo nul-hipotezu, te nemamo razloga sumnjati postojanje spomenutih veza,s parametrima λ1 = 0.644489 i λ3 = 0.580661. U jednadºbi 4.2) dobivena je procjenaλ5 = 0.269635 s vjerojatnosti p = 0.004095, dakle na nivou zna£ajnosti nemamo razlogasumnjati u alternativnu hipotezu te prihva¢amo procjenu. Sli£no u jednadºbi 4.3) dobivenaje procjena λ6 = 0.900965 s vjerojatnosti p = 0.000806, £ime zaklju£ujemo da na nivou zna-£ajnosti nemamo razloga sumnjati u postojanje linearne veze meu LP i subjektivnih normi.

31

U jednadºbi 4.4) dobili smo procjenu λ7 = 0.215510 s vjerojatnosti p = 0.004338, zna£ida na nivou zna£ajnosti 0.05 nemamo razloga sumnjati u linearnu vezu meu LP i PBC-a.O£ito je kako su u ovom modelu vidljive dvije neizravne veze izmeu principa limunade ipoduzetni£kih namjera, i to veze posredovane osobnim stavom i PBC-om. to zna£i kako jeveza ovog principa efektuacije mnogo ja£a od onih u tri prethodno analizirana modela.

3.2.5 Analiza "pilot u zrakoplovstvu" modela

Ovaj model prikazuje izravne i neizravne veze principa pilota u zrakoplovstvu (PP) spoduzetni£kim namjerama. Kao i ranije ni u ovom modelu nemamo latentnih varijabli.Dijagram puteva ovog modela prikazan je na Slici 11.

Slika 11: Dijagram puteva PP modela


+λ3PBC+λ4PP+δ15.2) Osobni stav= λ5PP+δ25.3) Subjektivne norme= λ6PP+δ35.4) PBC= λ7PP+δ4

Tablica 18: Strukturne jednadºbe PP modela

Navedene strukturne jednadºbe opisuju veze varijabli s poduzetni£kim namjerama gdjeje veza izmeu PP i poduzetni£kih namjera izravna s parametrom λ4, te neizravna prekovarijabli osobni stav s parametrom λ5, zatim subjektivnih normi s parametrom λ6, te PBC-as parametrom λ7. Osim s PP, poduzetni£ke namjere imaju izravnu vezu s osobnim stavoms parametrom λ1, subjektivnim normama s parametrom λ2, te PBC-om s parametrom λ3.


32

Parametar Vrijednost p vrijednostλ1 0.642328 <0.000001λ2 -0.021731 0.106120λ3 0.575646 <0.000001λ4 -0.012041 0.857310λ5 0.374758 <0.000001λ6 0.800909 0.003806λ7 0.287523 0.000197

Tablica 19: Vrijednosti parametara PP modela

5.1) Poduzetni£ke namjere= 0.642328·Osobni stav+0·Subjektivne norme++0.575646·PBC+0·PP−1.06296444

5.2) Osobni stav= 0.374758·PP+2.292058435.3) Subjektivne norme= 0.800909·PP+1.70044035.4) PBC= 0.287523·PP+1.99769867

Tablica 20: Rezultati analize PP modela

Slika 12: Rezultati PP modela

Iz dijagrama puteva na Slici 12 i Tablice 20 vidimo da su kao i u prethodnom slu-£aju ostvarene dvije neizravne veze izmeu analiziranog principa efektuacije i poduzetni£kihnamjera. Prema tome, kako bi utvrdili koji princip efektuacije ima snaºniju vezu s po-duzetni£kim namjerama potrebno je izra£unati ukupnu snagu veze kao ²to je u£injeno uPrimjeru 2, u poglavlju 2 ovog rada. Dakle s obzirom na to da su dobivene procjene:λ1 = 0.642328, λ3 = 0.575646, λ5 = 0.37475, λ7 = 0.287523, ukupnu snagu veze dobivamo naslijede¢i na£in:

λ1 · λ5 + λ3 · λ7 = 0.397465.

33

Kako je u prethodnom modelu ukupna snaga veze iznosila 0.298915, zaklju£ujemo da jeprincip efektuacije pilot u zrakoplovstvu statisti£ki zna£ajniji princip od principa limunade.

3.2.6 Analiza "sklonost kontroliranju budu¢nosti" modela

U ovommodelu analizirana je veza posljednjeg principa efektuacije, sklonosti kontroliranjubudu¢nosti (FC) s osobnim stavom, subjektivnim normama, PBC-om te njihova ukupnaveza s poduzetni£kim namjerama. Analogno prethodnim ni u ovom modelu nema latentnihvarijabli. Dijagram puteva ovog modela prikazan je na Slici 13.

Slika 13: Dijagram puteva FC modela


+λ3PBC+λ4FC+δ16.2) Osobni stav= λ5FC+δ26.3) Subjektivne norme= λ6FC+δ36.4) PBC= λ7FC+δ4

Tablica 21: Strukturne jednadºbe FC modela

Navedene strukturne jednadºbe opisuju veze varijabli s poduzetni£kim namjerama gdjeje veza izmeu FC i poduzetni£kih namjera izravna s parametrom λ4, te neizravna prekovarijabli osobni stav s parametrom λ5, zatim subjektivnih normi s parametrom λ6, te PBC-as parametrom λ7. Osim s FC, poduzetni£ke namjere imaju izravnu vezu s osobnim stavoms parametrom λ1, subjektivnim normama s parametrom λ2, te PBC-om s parametrom λ3.


34

Parametar Vrijednost p vrijednostλ1 0.641561 <0.000001λ2 -0.021984 0.101690λ3 0.574531 <0.000001λ4 -0.000118 0.998550λ5 0.458295 <0.000001λ6 0.769647 0.003736λ7 0.246607 0.000936

Tablica 22: Vrijednosti parametara FC modela

6.1) Poduzetni£ke namjere= 0.641561·Osobni stav+0·Subjektivne norme++0.574531·PBC+0·FC−1.100356162

6.2) Osobni stav= 0.458295·FC+1.9568096.3) Subjektivne norme= 0.769647·FC+1.77037316.4) PBC= 0.246607·FC+2.13593344

Tablica 23: Rezultati analize FC modela

Slika 14: Rezultati FC modela

I u ovom modelu imamo istu situaciju kao i u prethodna dva. No, kako je u ovom slu£ajuukupna snaga veze:

λ1 · λ5 + λ3 · λ7 = 0.435707,

zaklju£ujemo kako je upravo ova dimenzija efektuacije najsnaºnije povezana s poduzetni£kimnamjerama. Te promjenom sklonosti kontroliranju budu¢nosti dolazi do najve¢ih promjenau poduzetni£kim namjerama. Pa bi se zbog toga sklonost kontroliranju budu¢nosti trebaladetaljnije istraºiti i ispitati.

35

3.3 Zaklju£ak obrade podataka

Provedenom analizom u tri od ²est modela dobivene su zna£ajnije veze s interesnomvarijablom poduzetni£kim namjerama. Dakle, postoje dva relevantnija principa efektuacije,to su princip limunade, pilot u zrakoplovstvu te dimenzija efektuacije, sklonost kontroliranjubudu¢nosti. Promotrimo jo² kovarijance i korelacije meu svim principima efektuacije isklonosti kontroliranju budu¢nosti s poduzetni£kim namjerama.

KovarijanceCov(Poduzetni£ke namjere, Fokus na resurse) -0.01598058Cov(Poduzetni£ke namjere, Prihvatljivi gubitak) -0.06959849Cov(Poduzetni£ke namjere, Razvijanje partnerstva) 0.01129427Cov(Poduzetni£ke namjere, Princip limunade 0.04575144Cov(Poduzetni£ke namjere, Pilot u zrakoplovstvu) 0.1051189Cov(Poduzetni£ke namjere, Sklonost kontroliranju budu¢nosti) 0.1292575

KorelacijeCorr(Poduzetni£ke namjere, Fokus na resurse) -0.0225791Corr(Poduzetni£ke namjere, Prihvatljivi gubitak) -0.09902453Corr(Poduzetni£ke namjere, Razvijanje partnerstva) 0.01900798Corr(Poduzetni£ke namjere, Princip limunade 0.04575144Corr(Poduzetni£ke namjere, Pilot u zrakoplovstvu) 0.07866829Corr(Poduzetni£ke namjere, Sklonost kontroliranju budu¢nosti) 0.2189571

Tablica 24: Kovarijance i korelacije varijabli s poduzetni£kim namjerama

Kako kovarijanca mjeri koli£inu linearne zavisnosti izmeu dvije slu£ajne varijable, vidimoda je najintenzivnija linearna veza izmeu poduzetni£kih namjera i sklonosti kontroliranjubudu¢nosti te da su ove varijable pozitivno linearno zavisne. Osim ove veze vidimo da supoduzetni£ke namjere i princip limunade takoer pozitivno linearno zavisne no ne²to slabijeod linearnih veza izmeu poduzetni£kih namjera i sklonosti kontroliranju budu¢nosti, tepoduzetni£kih namjera i principa pilota u zrakoplovstvu. Osim kovarijance, poduzetni£kenamjere i sklonost kontroliranju budu¢nosti imaju i najve¢i koecijent korelacije. Stoga jeo£ito kako je sklonost kontroliranju budu¢nosti princip kojim bi se trebalo ponajvi²e zabavitiprilikom daljnjih istraºivanja.

Ova tri principa bismo stoga mogli koristiti u praksi prilikom edukacije studenata.

36

Saºetak

SEM je vrlo snaºan statisti£ki aparat koji omogu¢uje testiranje vi²estrukih veza meuvarijablama. One mogu biti manifestne, odnosno varijable koje prikupljamo raznim testo-vima i promatranjima te latentne koje se ne mogu izravno izmjeriti, ali mogu biti predstav-ljene ili procijenjene kori²tenjem jedne ili vi²e manifestnih varijabli. Pojednostavljeno, SEMprocjenjuje skup zasebnih, ali meuzavisnih vi²estrukih regresijskih jednadºbi istovremenimspeciciranjem strukturnog modela pomo¢u statisti£kog programa. Spomenute vi²estrukeveze prikazujemo gra£ki u dijagramu puteva gdje nam ravne strjelice prikazuju utjecajnezavisne varijable na zavisnu, a zaobljene korelaciju meu varijablama.

Razvoju strukturnih jednadºbi doprinijeli su mnogi znanstvenici, najistaknutiji suWright,Spearman i Joreskog koji je koautor statisti£kog programa LISREL-a, jednog od najve¢ihfaktora koji je doveo do ²irenja ove metode.

Metoda instrumental varijabli pruºa op¢enito rje²enje za problem endogenih neovisnihvarijabli. Varijablu smatramo instrumentalom neke druge varijable ukoliko zadovoljava dvauvjeta. Prvi je da mora biti egzogena u po£etnom modelu, a drugi da parametar uz nju ureduciranoj formi jednadºbe mora biti razli£it od nule. U situaciji kad imamo puno mogu¢-nosti za IV procjenitelja te ne znamo kojega izabrati, koristimo metodu najmanjih kvadratau dva koraka. Pod odreenim pretpostavkama procjenitelj 2SLS metode je najekasniji IVprocjenitelj. 2SLS meu svim mogu¢im kandidatima za instrument varijablu bira onu kojaje najvi²e korelirana s varijablom £iji instrument traºimo. Prilikom testiranja imamo nul-hipotezu: svi parametri dane jednadºbe su jednaki nuli, dok je alternativna: barem jedanod parametara razli£it je od nule. Dokazali smo i da je 2SLS procjenitelj konzistentan.

Podatci prikupljeni na Ekonomskom fakultetu u Osijeku su analizirani statisti£kim pro-gramom R, to£nije njegovim paketom sem, funkcijom tsls. Analiziranjem veze principaefektualne logike s poduzetni£kim namjerama utvreno je kako postoje tri statisti£ki zna-£ajnije varijable, od kojih je najzna£ajnija sklonost kontroliranju budu¢nosti koja je jednaod dimenzija efektuacije. Ovu dimenziju efektuacije bi stoga trebalo detaljnije istraºiti te bimogla pomo¢i u prakti£nom poticanju studenata za odabir poduzetni²tva kao karijere.

37

Structural equations and two stage least square method

Summary

SEM is a powerful statistical tool which allows testing multiple relationships between thevariables. Variables can be manifest, which we collect using dierent tests and observations,we also have latent variables which can't be measured directly, but can be represented orestimated using one or more manifest variables.

Many scholars have contributed to development of SEM. Most important ones are Wright,Spearman and Joreskog who is coauthor of statistical software LISREL, one of greatestfactors which lead to the spreading of this technique.

Method of instrumental variables provides a general solution to the problem of an endo-genous explanatory variable. Variable is considered instrumental for of another variable ifit satises two conditions. The rst one is that it has to be exogenous in initial model, andthe second one is that the coecient on that variable in reduced form of equation has to benonzero. In situation when we have lots of possibilities for IV estimator and we don't knowwhich one to choose we use two stage least square method. Under certain assumptions 2SLSestimator is the most ecient IV estimator. Out of all possible candidates for instrumentvariable 2SLS chooses that which is most highly correlated with variable whose instrumentwe are searching for. When testing, null-hypotheses is that all parameters of initial equationare zero as opposed to that alternative hypotheses is that at least one of the parameters isnot equal to zero. We also proved that 2SLS estimator is consistent.

Data collected at the Faculty of Economics in Osijek was analyzed using statistical sof-tware R, more precisely its package sem, using function tsls. Analysis of relationships betweenprinciples of eectual logic and entrepreneurial intentions found that there are three statis-tically signicant variables, from which most signicant one is future controlling, who is oneof the dimensions of eectual logic. This dimension of eectuation should be explored andshould be helpful in practical stimulating students to choose entrepreneurship as their careerchoice.

38

Literatura

[1] K.A. Bollen, Structural Equations with Latent Variables, John Wiley & Sons, Inc.,New York, 1989.

[2] J.F.Hair,jr., R.E.Anderson, R.L.Tatham, W.C.Black, Multivariate DataAnalysis, Fifth Edition, Prentice Hall, New Jersey, 1998., 577644

[3] J.M.Wooldridge, Introductory Econometrics, a Modern Approach, Fifth Edition,South-Western Cengage Learning, Michigan State University, 2013.

[4] J.M.Wooldridge, Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, SecondEdition, The MIT Press, Cambridge, London, 2010.

[5] S.D.Sarasvathy, Eectuation: Elements of entrepreneuria lexpertise, Edward ElgarPublishing, 2008.

[6] J.Fox, Structural Equation Modeling, 13(3), 465-486, Lawrence Erlbaum Associates,Inc., McMaster University, Ontario, 2006.

Dajana Rudi¢ - Odjel Za Matematikumdjumic/uploads/diplomski/RUD14.pdf · logiju, sociologiju,...

Documents

Transcript of Dajana Rudi¢ - Odjel Za Matematikumdjumic/uploads/diplomski/RUD14.pdf · logiju, sociologiju,...