Ethan Frome

28control statistic i fiabilitate

CURS 1

NOIUNI DE TEORIA PROBABILITILOR

1.1. Definiii

Evenimentul n teoria probabilitilor se definete ca rezultatul unui experiment.

Evenimentul sigur (notat ) este evenimentul care se produce n mod sigur la efectuarea unui experiment.

Evenimentul imposibil (notat ) este evenimentul care nu se produce, n mod obligatoriu, la efectuarea unui experiment.

Evenimentul aleator (ntmpltor, notat E) este evenimentul care poate s se produc sau s nu se produc la efectuarea unui experiment.

Probabilitatea evenimentului A, adic P(A), este raportul dintre numrul m al cazurilor favorabile i numrul total n al experimentelor (numrul de cazuri egal posibile).

Exemplu: O urn conine 6 bile albe i 4 bile negre. Care este probabilitatea de a extrage o bil alb ? Rspuns:

1.2. Proprieti ale probabilitii

a) Probabilitatea evenimentului sigur (m=n): ;

b) Probabilitatea evenimentului imposibil (m=0): ;

c) Probabilitatea evenimentului aleator .

1.3. Noiunea de frecven relativ

Frecvena relativ este raportul dintre numrul al probelor n care evenimentul s-a produs i numrul total al probelor.

1.4. Teorema adunrii probabilitilor evenimentelor incompatibile

Se numesc evenimente incompatibile dou sau mai multe evenimente la care producerea unuia din ele exclude producerea celorlalte (exemplu: la aruncarea unui zar obinerea feei 2 i obinerea feei 5 sunt evenimente incompatibile).

Reuniunea a dou evenimente A i B, notat , reprezint evenimentul care const n producerea a cel puin unul din evenimentele A sau B,, deci fie a evenimentului A, fie a evenimentului B, fie a ambelor evenimente A i B.Reuniunea evenimentelor A, B i C, notat reprezint evenimentul care const n producerea evenimentelor A, B, C, ,,, (sau a evenimentelor A, B, C, A i B, B i C, C i A, A i B i C.

Teorem Probabilitatea producerii unuia din evenimentele incompatibile A i B este :

(1.1)

Demonstraie

Notm cu n numrul de cazuri egal posibile ale experimentului n urma cruia se pot produce evenimentele A sau B cu m1 numrul cazurilor favorabile producerii evenimentului A cu m2 , numrul cazurilor favorabile producerii evenimentului B. Rezult c numrul rezultatelor favorabile apariiei unuia din evenimentele A sau B este m1+ m2 (evenimentele A i B sunt incompatibile). Rezult

(1.2)

Pentru trei evenimente incompatibile:

(1.3)

Generaliznd relaia (1.3) pentru n evenimente se obine urmtoarea teorem: probabilitatea producerii unuia din mai multe evenimente incompatibile este egal cu suma probabilitilor acestor evenimente.

Exemplu:

Trei urne conin 32 bile (10 albe, 7 negre, 15 verzi). Care este probabilitatea de a extrage o bil colorat ?

(1.4)

1.5. Teorema adunrii probabilitilor evenimentelor compatibile

Teorem Probabilitatea producerii unuia din evenimentele compatibile A i B este :

(1.5)

Demonstraie

Dac evenimentele A i B nu sunt incompatibile probabilitatea evenimentelor comune se ia n considerare de dou ori [o dat la i o dat la ], deci trebuie sczut.

1.6. Evenimente contrare

Dou evenimente sunt contrare dac ndeplinesc urmtoarele condiii:

a) sunt incompatibile;

b) reuniunea lor este evenimentul sigur.

Evenimentul contrar evenimentului A se noteaz

Teorem Suma probabilitilor a dou evenimente contrare este 1.

(1.6)

Demonstraie: sunt evenimente incompatibile (a), de unde rezult:

(1.7)

dar, (b)

(1.8)

ntruct

(1.9)

rezult:

(1.10)

1.6. Sistem complet de evenimente

Evenimentele formeaz un sistem complet de evenimente dac un experiment conduce la realizarea a unuia i numai a unuia din aceste evenimente () iar reuniunea lor este evenimentul sigur.

Exemple

a) Sistemul format din .

b) n cazul aruncrii unui zar avem evenimentele: , corespunztoare celor ase fee ale zarului.

Teorem Suma probabilitilor evenimentelor dintr-un sistem complet de evenimente este egal cu 1:

(1.11)

Demonstraie

(1.12)

Deoarece

(1.13)

teorema este demonstrat.

1.7. Evenimente independente i evenimente dependente

Evenimentele sunt independente dac probabilitatea unuia este independent de probabilitatea celuilalt.

Exemple:

a) (evenimente independente) ntr-o urn sunt 6 bile albe i 3 negre. Se noteaz cu A evenimentul care const n extragerea unei bile albe i B evenimentul care const n extragerea unei bile negre. Probabilitile celor dou evenimente sunt:

(1.14)

nu depinde de faptul dac evenimentul B s-a produs.

b) (evenimente dependente) ntr-o urn sunt a bile albe i b negre. Se noteaz cu A evenimentul care const n extragerea unei bile albe i B evenimentul care const n extragerea unei bile negre, n ipoteza c bila nu s-a mai pus napoi n urn. S se calculeze probabilitatea de a extrage o bil neagr din dou extrageri.

Exist dou cazuri:

b1) prima bil a fost alb. Rezult:

(1.15)

b2) prima bil a fost neagr. Rezult:

(1.16)

Se observ c depinde de producerea sau neproducerea evenimentului A s-a produs sau nu.

1.8. Teorema nmulirii probabilitilor evenimentelor independente

Se numete intersecia a dou evenimente A i B evenimentul care const n producerea simultan a evenimentelor A i B.

Teorem Probabilitatea producerii simultane a evenimentelor independente A i B este egal cu produsul probabilitilor celor dou evenimente.

Demonstraie

- Se noteaz cu n1 numrul cazurilor egal posibile realizrii evenimentului A i cu m1 numrul cazurilor favorabile realizrii acestui eveniment;

- Se noteaz cu n2 numrul cazurilor egal posibile realizrii evenimentului B i cu m2 numrul cazurilor favorabile realizrii acestui eveniment.

Numrul rezultatelor incompatibile egal posibile ale experimentului n care se produc fie i , fie i , fie i, fie i, fie i este (fiecare din cele n1 rezultate egal posibile ale experimentului n care poate s se produc evenimentul A poate fi asociat cu fiecare din cele n2 rezultate egal posibile ale experimentului n care poate s se produc evenimentul B. Din cele sunt favorabile .

Rezult:

(1.17)

Pentru a extinde teorema de mai sus la un numr oarecare de evenimente trebuie precizat ce se nelege prin evenimente independente n totalitatea lor.

Mai multe evenimente se numesc independente n totalitatea lor dac fiecare dintre ele i orice intersecie a celorlalte (coninnd fie pe toate, fie o parte a lor) sunt evenimente independente.

Exemplu: Evenimentele A, B, C sunt independente n totalitatea lor dac sunt independente evenimentele: i , i , i , i , i ,

Consecin Probabilitatea producerii simultane a mai multor evenimente independente n totalitatea lor este egal cu produsul probabilitilor acestor evenimente.

(1.18)

Exemplu

n trei urne se gsesc bile albe i bile negre, astfel: urna 1 (8 albe, 2 negre), urna 2 (7 albe, 3 negre), urna 3 (9 albe, una neagr.). Care este probabilitatea ca, dac se extrag 3 bile toate s fie albe:

(1.19)

1.9. Probabiliti condiionate

Se consider dou evenimente dependente A i B. Se numete probabilitate condiionat a evenimentului B de ctre evenimentul A, notat probabilitatea evenimentului B calculat n ipoteza c evenimentul A s-a produs.

Teorema nmulirii probabilitilor evenimentelor dependente

S se calculeze probabilitatea evenimentului n ipoteza c evenimentele A i B sunt evenimente dependente.

Teorem Probabilitatea producerii simultane a dou evenimente dependente A i B este egal cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele i probabilitatea condiionat de acesta a celuilalt eveniment.

(1.20)

Demonstraie

Se noteaz cu:

n- numrul rezultatelor incompatibile egal posibile ale experimentului n care se pot produce evenimentele A i B;

m- numrul rezultatelor favorabile n care se pot produce evenimentele A i B;

m1- numrul rezultatelor favorabile producerii evenimentului B n ipoteza c evenimentul A s-a produs.

(1.21)

Observaie

Din relaia (1.18) rezult relaia de definiie a probabilitii condiionate:

(1.22)

Exemplu

ntr-o urn se afl 5 bile albe i 4 bile negre. Se extrag dou bile fr a reintroduce prima bil. Care este probabilitatea ca prima bil s fie alb iar a doua s fie neagr ?

Fie A evenimentul ca prima bil s fie alb iar B evenimentul ca a doua bil s fie neagr. . Dac evenimentul A se produce n urn rmn 4 bile albe i 4 bile negre.

Rezult:

(1.23)

1.10. Formula probabilitii totale

Presupunem c un eveniment B poate s se produc condiionat fiind de unul din evenimentele . Se cunosc: i

S se calculeze probabilitatea evenimentului B.

Teorem Probabilitatea unui eveniment B care s se produc condiionat de unul din evenimentele care formeaz un sistem complet de evenimente este egal cu suma produselor dintre probabilitile acestor evenimente i probabilitile condiionate corespunztoare evenimentului B.

(1.24)

Demonstraie n condiiile teoremei producerea evenimentului B revine la producerea unuia din evenimentele: adic:

(1.25)

n condiiile consecinei teoremei de adunare a probabilitilor evenimentelor incompatibile rezult:

(1.26)

Din teorema nmulirii probabilitilor dependente rezult:

(1.27)

de unde rezult:

(1.28)

1.11. Formula lui Bernoulli

Se execut n experiene independente, n fiecare din experimente probabilitatea de apariie a evenimentului A este constant i egal cu p (probabilitatea ca evenimentul A s nu se produc este q=1-p).

S se determine probabilitatea ca n k din cele n experimente evenimentul A s se produc iar n celelalte n-k experimente s nu se produc.

Se pune problema producerii evenimentului n k evenimente i n n-k experimente s nu se produc. Vom avea urmtoarea succesiune de evenimente:

(1.29)

de k ori i

(1.30)

de n-k ori. n virtutea consecinei teoremei de nmulire a probabilitilor evenimentelor independente, probabilitatea unei succesiuni din cele artate anterior este:

(1.31)

Numrul succesiunilor distincte n care apare de k ori i apare de n-k ori este . Deoarece aceste succesiuni sunt incompatibile n virtutea teoremei de adunare a probabilitilor evenimentelor incompatibile rezult probabilitatea evenimentului k:

(1.32)

Exemplu: Din 10000 de nou nscui, n medie, sunt 485 fete i 515 biei. Care este probabilitatea ca ntr-o familie cu 5 copii 3 s fie fete ?

Probabilitatea naterii unei fete este , iar probabilitatea naterii unei biat este .

Rezult :

(1.33)

EMBED Equation.3

_1165140468.unknown

_1165142736.unknown

_1165145147.unknown

_1168012263.unknown

_1168012532.unknown

_1168355018.unknown

_1303555404.unknown

_1303555597.unknown

_1168355285.unknown

_1168355600.unknown

_1168355043.unknown

_1168354921.unknown

_1168354965.unknown

_1168354902.unknown

_1168354292.unknown

_1168012485.unknown

_1168012514.unknown

_1168012424.unknown

_1165243134.unknown

_1165244511.unknown

_1165308845.unknown

_1165309004.unknown

_1165309509.unknown

_1165309533.unknown

_1165309097.unknown

_1165308961.unknown

_1165308672.unknown

_1165308750.unknown

_1165244815.unknown

_1165244207.unknown

_1165244404.unknown

_1165244095.unknown

_1165236968.unknown

_1165237763.unknown

_1165238630.unknown

_1165237336.unknown

_1165145609.unknown

_1165236812.unknown

_1165145218.unknown

_1165145251.unknown

_1165144139.unknown

_1165144372.unknown

_1165144604.unknown

_1165145102.unknown

_1165144552.unknown

_1165144147.unknown

_1165144197.unknown

_1165143320.unknown

_1165144090.unknown

_1165144107.unknown

_1165143547.unknown

_1165143202.unknown

_1165143279.unknown

_1165142823.unknown

_1165141513.unknown

_1165141818.unknown

_1165141984.unknown

_1165141726.unknown

_1165141206.unknown

_1165141428.unknown

_1165140734.unknown

_1165062809.unknown

_1165139625.unknown

_1165139880.unknown

_1165139992.unknown

_1165139725.unknown

_1165063758.unknown

_1165064021.unknown

_1165062822.unknown

_1165061496.unknown

_1165062449.unknown

_1165062699.unknown

_1165061618.unknown

_1165061349.unknown

_1165061403.unknown

_1165061173.unknown