cuerdas vibrantes 2

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ÍNDICE

1. PROLOGO

2. OBJETIVOS

3. REPRESENTACION ESQUEMÁTICA DEL FENÓMENO EN ESTUDIO

4. FUNDAMENTACION TEÓRICA

5. HOJA DE DATOS

6. CALCULOS Y RESULTADOS

7. CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES

8. BIBLIOGRAFÍA

10 de septiembre de 2015

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Prólogo

En esta experiencia se estudia la aparición de ondas estacionarias en una cuerda

tensa sujeta por su extremo en función de la tensión aplicada a la misma. Se analizan

los diversos parámetros que intervienen en la aparición de ondas estacionarias en la

cuerda como son la frecuencia de excitación f, la densidad lineal de masa μ de la

cuerda, la tensión aplicada T y la longitud L de la cuerda. Todos estos parámetros

tendrán un valor fijo en la experiencia, dejando como único parámetro variable la

tensión o fuerza aplicada T.

Para la realización de la experiencia se dispone de una cuerda de longitud L, uno de

cuyos extremos está sujeto a un motor que produce un movimiento de vibración de

pequeña amplitud. Esta vibración se propaga a lo largo de la cuerda hasta el otro

extremo donde resulta reflejada. La onda reflejada se propaga ahora en sentido

opuesto, con lo cual en cada punto de la cuerda se produce la superposición o

interferencia de la onda incidente y de la onda reflejada. Bajo ciertas condiciones esta

superposición genera un estado de vibración especial de la cuerda, que recibe el

nombre de onda estacionaria.


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Objetivos

Comprender el movimiento oscilatorio en una cuerda.

Analizar experimentalmente la relación que existe entre la frecuencia, tensión,

densidad lineal y longitud de onda de una onda estacionaria en una cuerda

tensa.

Determinar gráficamente los puntos donde se localiza la mayor energía cinética

y potencial respectivamente.

Comprobar las fórmulas de las frecuencias y ecuación de las ondas propias de

una cuerda.

Determinar la presencia de los elementos de una onda estacionaria en una

cuerda con determinada densidad lineal, tales como la longitud de onda, el

número de nodos, la frecuencia, entre otros.

Obtener la gráfica de velocidad al cuadrado versus la tensión.

Comparar el experimento de ondas estacionarias en una cuerda con el modelo

ideal de ésta.


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Representación esquemática del fenómeno

Materiales:

Un vibrador y una fuente de corriente continua.

Un vasito de plástico y una cuerda.


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Una polea incorporada a una prensa.

Cuatro masas de diferentes pesos.


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Una regla graduada de un metro.


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Procedimiento

1. Atar la cuerda por un extremo al oscilador y por el otro al balde.

2. Pasar la cuerda por la polea.

3. Hacer oscilar la cuerda con las diferentes masas.


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Fundamento teórico

ONDAS ESTACIONARIAS

Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma

naturaleza con igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en sentido

opuesto a través de un medio.

Las ondas estacionarias permanecen confinadas en un espacio (cuerda, tubo con aire,

membrana, etc.). La amplitud de la oscilación para cada punto depende de su

posición, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que

interfieren. Hay puntos que no vibran (nodos), que permanecen inmóviles,

estacionarios, mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen con una amplitud de

vibración máxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren, y con una energía

máxima. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los

nodos. La distancia que separa dos nodos o dos antinodos consecutivos es media

longitud de onda.

Se puede considerar que las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino

los distintos modos de vibración de la cuerda, el tubo con aire, la membrana, etc. Para

una cuerda, tubo, membrana entre otros, sólo hay ciertas frecuencias a las que se

producen ondas estacionarias que se llaman frecuencias de resonancia. La más baja

se denomina frecuencia fundamental, y las demás son múltiplos enteros de ella (doble,

triple, etc.).

Una onda estacionaria se puede formar por la suma de una onda y su onda reflejada

sobre un mismo eje (x o y).

ONDA COMPLETA

Se considera que una onda es completa cuando ha finalizado su recorrido, lo que

podemos considerar como dos movimientos:

Cuando llega a una cresta consecutiva, habiendo recorrido un valle. Viceversa.

Se pueden obtener por la suma de dos ondas atendiendo a la fórmula:


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y1=Asen(kx+wt )

y2=Asen(kx−wt )

y= y1+ y2=Asen (kx+wt )+Asen(kx−wt )

Estas formula nos da como resultado:

y(x ,t )=2 Asen ( kx ) .cos (wt )

Siendo:

ω=2πf y k=2 πλ

VALLES Y NODOS

Se produce un valle cuando:

sen (kx )=±1 , siendo kx= π2,3π2

,…,…,(2n+1)2

Sik=2πλ

→ x=(n+ 12 ) . λ2

Se produce un nodo cuando

sen (kx )=0 , siendo kx=0 , π ,2 π ,….nπ

Sik=2πλ

→ x=n .λ2

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA

La frecuencia más baja para la que se observan ondas estacionarias en una cuerda de

longitud L es la que corresponde a n = 1 en la ecuación de los nodos, que representa

la distancia máxima posible entre dos nodos de una longitud dada. Ésta se denomina

frecuencia fundamental, y cuando la cuerda vibra de este modo no se presentan nodos

intermedios entre sus dos extremos. La siguiente posibilidad en la ecuación, el caso n

= 2, se llama segundo armónico, y presenta un nodo intermedio

Si x=L y λ=λn→L=n.λn

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Siendo L la longitud de la cuerda, despejamos λ:


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λn=2Ln

Frecuencias fundamentales


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Hoja de datos

masa(g) L n

10.2 57 3

20.5 72 3

31 27 1

42.1 60 2

49.8 97.5 3

Datos :

masa del balde: 16g

masa de la cuerda: 0.7 g

longitud de la cuerda: 121 cm


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Cálculos y resultados

1) Calcule f, λ y V para cada masa (peso) llenando el cuadro:

F n L f=n/2L(^F/⍴) λ= 2L/n v=λf0.257 3 0.57 55.468 0.38 21.0780.358 3 0.72 51.804 0.48 24.8660.461 1 0.27 52.280 0.54 28.2310.570 2 0.6 52.314 0.6 31.3880.645 3 0.975 51.390 0.65 33.403

2) Grafique un perfil de la cuerda indicando la posición de mayor Energía

Cinética y la de mayor Energía Potencial en la cuerda.

Para valores medios

Ek=14

μω2 A2 λ E p=

14μω2 A2 λ

Mayor energía potencial


Mayor energía cinética

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3) Grafique V2 vs F e interprete el resultado. Haga ajuste de la gráfica por mínimos cuadrados.

v2 F444.281 0.257618.310 0.358796.992 0.461985.218 0.570

1115.789 0.645

0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450 0.500 0.550 0.600 0.650 0.7000

200

400

600

800

1000

1200

f(x) = 1728.57007742029 x + 0.000416308138255772R² = 0.999999999999789

v2 vs F

Del grafico se obtiene la ecuación:

v2=1728.6 F+0.0004

masa L u0.0007 1.21 0.0005785

De la ecuación:v2=( 1u)F


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Entonces se tiene:

u= 11728.6

=0.0005785

Por lo tanto:

%error=0.005785−0.0057850.005785

x100=0%

Observaciones


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Se observa en primer lugar que obtenemos un error del 0%.

Se observa que la frecuencia y la velocidad aumentan conforme

aumenta la Fuerza.

Se observa que si el vibrador no se fija bien en la mesa, las ondas en

vez de ser transversales se forman en ondas longitudinales.

Se observa que la onda estacionaria solo se forma desde el extremo de

la cuerda sujeta al vibrador hasta el punto de contacto de la cuerda con

la polea.

Se observa que para una misma fuerza el n aumenta conforme se

aumenta la longitud L.

Para el caculo de la energía cinética seria de importancia medir las

amplitudes de los vientres y comparar las dos fórmulas teóricas, aunque

eso implique otros cálculos más.

Para hallar el peso total que ejerce tensión en la cuerda debemos

considerar también el peso del balde.

Al trabajar en las mediciones de las diferentes longitudes “L”, tenemos

que tener mucho cuidado ya que si queremos tener unos resultados más

precisos tenemos que variar lentamente pequeñas longitudes para

encontrar la verdadera (la más cercana) forma de oscilación de la

cuerda tensa.


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Conclusiones

Aunque obtuvimos como resultado un porcentaje de error del 0%,

notamos que si hacemos referencia a la parte de la ecuación obtenida

de la gráfica, hemos de considerar aquellos factores con múltiplos a las

milésimas o más aun para concluir que nuestro error fue muy pequeño y

que nuestro experimento realizado tiende a la ecuación ideal de una

onda estacionaria.

Las ondas estacionarias se producen para determinadas condiciones de

fuerza, características de la cuerda y frecuencia de oscilación del

vibrador eléctrico.

La longitud de onda teórica solo es de referencia, ya que con todos los

factores externos varia.

La longitud de onda puede variar en un mismo sistema siempre y

cuando encuentre otro punto de resonancia.

Se puede concluir que los puntos de mayor energía es aquel que tiene

mayor amplitud ya que en él tiene mayor posición y mayor velocidad.

Para una misma fuerza el “n” aumenta conforme se aumenta la longitud.

La gráfica de V2 versus F es una función lineal.


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Bibliografía

Física Universitaria Duodécima edición. Volumen I.Pag.419-438 W.

Sears, M.W. Zemansky, H.D. Young y R.A. Freedman Pearson. Addison

Wesley.

Serway Jewet. Física para ciencia e ingeniería. Volumen 1. 7ma edición.

Cap. XV. Pág. 434. Editorial Cengage Learning. México D. F. 2008.


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