光位相感応増幅の物理

大阪大学

井上 恭

位相感応増幅（Phase Sensitive Amplification: PSA）

－信号光の入力位相に依存して増幅作用が起こる現象

－増幅現象の源は光非線形性（パラメトリック相互作用）

－低雑音増幅が可能

－位相変調信号光の信号再生が可能

PSAを起こす光非線形性

四光波混合

３次非線形性（c3効果）から発生

媒質は光ファイバ

差周波発生

２次非線形性（c2効果）から発生

媒質はLiNbO3（導波路PPLN)

四光波混合（Four Wave Mixing: FWM）

非線形分極

＋

－

E EP c0分極

P = 0c(E)E

= 0{c1 + c2E + c3E2 + ‥}E

= 0c1 E + 0c2E2 + 0c3E

3 + ‥

P ：分極E：光電場0：誘電率（真空中）c：感受率

2次非線形分極 3次非線形分極

四光波混合

3つの異なる周波数光が非線形媒質に入射されたとする。

..321321 cceEeEeEE

tititi+++

3次非線形分極項より新たな周波数成分が発生 → 四光波混合光

332130

)3( .}.{ 321 cceEeEeEPtititi

+++c

（c.c. 複素共役）

++++++ titititi

eEEEeEeEeE)(

32133

333

233

130321321{

c

++++ tititi

eEEeEEeEE)2(*

322

)2(*3

21

)2(*2

21

323121

})(*

132)(*

231)(*

321132231321 ++++

+++ tititieEEEeEEEeEEE

位相整合

非線形分極から効率良く非線形光が発生するには、位相整合が必要。

非線形分極：

非線形媒質

発生光１：

発生光２：

発生光３：

発生光４：

..

..

)(

})({*321

)(*321

3214

3214

321

cceAAA

cceEEE

P

zti

ti

+

+

++

+

+

..)()(

ccAeEzti

kkk +

伝播光を と表記すると

..)()}({

14144 ccezA

zzti+

..)()}({

24244 ccezA

zzti+

..)()}({

34344 ccezA

zzti+

..)()}({

44444 ccezA

zzti+

1 + 2 – 3 = 4であれば、全発生光が同位相で足し合わされる → 効率良く発生

位相整合条件

（k = 1, 2, 3, 4）

z1

z2

z3

z4

光パラメトリック増幅（Optical Parametric Amplification: OPA）

四光波混合が進行すると、信号光増幅に至る。

fp1

光周波数fp2fs

fi = fp1 + fp2 – fs

ポンプ光１ ポンプ光２

信号光

アイドラ光FWM光発生＠fp1 + fp2 – fs = fi

信号光入力with

ポンプ光１、２

FWM光発生＠fp1 + fp2 – fi = fs

増幅

位相共役特性

信号光位相が反転

)(*s2p1p30i

ii)(zti

eAAAPc

p1 + p2 – s = i

p1 + p2 – s = i ：位相整合

非線形分極 forアイドラ光

複素振幅を絶対値と位相に分けて表記すると、

)()(s2p1p30i

s2p1p||||||)(ztii

iieeAAAP

c +

kikk eAA

|| （k = p1, p2, s）

アイドラ光は信号光の位相反転波

縮退パラメトリック増幅

光周波数

ポンプ１ ポンプ２

信号 非線形媒質アイドラ

通常のパラメトリック増幅

縮退パラメトリック増幅

信号光周波数を２つのポンプ光の真ん中に配置；2

2p1ps

fff

+

信号光周波数にアイドラ光発生； s2p1p2p1p

2p1ps2p1p22

fffff

ffffffi +

+

++

ポンプ１ ポンプ２

信号非線形媒質

信号+

アイドラ

出力光は信号光とアイドラ光の足し合わせ

増幅率が大きいと、ｱｲドラ光出力＝信号光出力

基準位相 0

s|| si

eA

足し合わせの際、アイドラ光は信号光の位相反転波。複素振幅平面で描くと、

出力光

s|| ii

eA

s

出力光振幅は信号光位相に依存; ∝ cos(s – 0)

出力位相は一定値；0 or 0 + p

s

s = 0s = 0 + p/4s = 0 + p/2

位相感応増幅

出力振幅

信号位相s – 00 p 2p 3p

0

Amax

–Amax

p2p3p

信号出力位相

(rad/p

)

-1.0 -0.5 0 0.5 1.0

120

80

40

0

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

出力光パワー

(mW

)

信号入力位相 (rad/p)

非線形結合方程式

zieEEiEEEidz

dE +++ *2p

2s

2s

22p

21p

1p)||2||2|(|

zieEEiEEEidz

dE +++ *1p

2s

2s

22p

21p

2p)||2||||2(

zieEEEiEEEidz

dE +++ *s2p1p

2s

22p

21p

s 2)||||2||2(

理論解析は、各光波の伝播特性を記述する連立微分方程式による。

（これらは非線形分極項をMaxwell方程式に代入して展開すると導き出される。）

ポンプ光１：

信号光＝アイドラ光：

ポンプ光２：

：非線形係数、

≡ p1 + p2 - 2s

zPiiezPEiezPEzE p2p1p 4

p*

s)}0()0({

pss )2sinh()0()2cosh()0()(

+

+

zPzPieEezE ppp 2

s}4/4)0({

pss |)0(|]4/)0()0(cos[)(p

p++

|Es|2 << |Ep1|

2 = |Ep2|2 ≡ Pp

位相整合

p1(0)：ポンプ１入力位相

p2(0)：ポンプ２入力位相

zPzPee pp 22

2

)0()0()0(

1p1pp

+

振幅：位相感応 位相：信号位相に無依存

低雑音性

一般に、光増幅現象には自然放出光発生が伴う。

自然放出光は信号光に重畳して出力され、信号光揺らぎを引き起こす。

位相感応増幅において発生する自然放出光は位相不感応増幅より小さい。

位相感応増幅は原理的に低雑音

通常パラメトリック増幅

Re[E]

Im[E]

縮退パラメトリック増幅

Re[E]

Im[E]

パラメトリック増幅における自然放出光は、真空場が増幅されたものとみなすことができる。

通常OPA

- シグナル波長/アイドラー波長の真空場が増幅

-シグナル/アイドラーは波長変換関係

自然放出光の大きさ：

[真空場の大きさ]×[信号利得]×２

Re[E]

Im[E]

縮退OPA

Re[E]

Im[E]

- シグナル波長の真空場のみが増幅

動径方向の自然放出光の大きさ：

[真空場の大きさ]×[信号利得]

Gr

Gr 2

（r：真空場の標準偏差）

Gr

真空場：｛平均ゼロ、エネルギーhf/2｝の電磁場。エネルギーが1光子の半分なので単独では観測されない。

（G：信号利得）

)2sinh()0()2cosh()0()( p*

spss zPEzPEzE +)2sinh()0()2cosh()0()( p*

ipss zPEzPEzE +

)sinh(ˆ)cosh(ˆ)(ˆiss gtagtata †+ )sinh(ˆ)cosh(ˆ)(ˆ sss gtagtata †+

：シグナル消滅演算子sa ：シグナル生成演算子†sa

量子力学（ハイゼンベルグ表示）では、

－物理量は演算子 で表される。

－時間発展した物理量 の平均値は、初期状態|Yin>との内積 で与えられる。

X

)(ˆ tX YY inin |)(ˆ| tX

初期状態：|Yin> = |a>s|0>i

|a>s：シグナルはコヒーレント状態（純粋単一周波数光）

aaa ||a aaa ||ˆ *†a

|0>i：アイドラーは真空状態

00|ˆ a

aは光電場の複素振幅値に対応

初期状態：|Yin> = |a>s

：アイドラ生成演算子†i

a

)cosh(|)(ˆ| insin gtta aYY )sinh()cosh(|)(ˆ| *insin gtgtta aa +YY

gtgt eie + ir aa

]Re[r aa ]Im[i aa

電場の拡がり具合をみるためには、 を実数部 と虚数部 に分けて考える。

)(ˆ)(ˆ)(ˆ 21s tXitXta +

)(ˆs ta )(ˆ1 tX )(ˆ

2 tX

2

)(ˆ)(ˆ)(ˆ ss

1tata

tX†+

i

tatatX

2

)(ˆ)(ˆ)(ˆ ss

2

†

2in1inin

21in

21 }|)(ˆ|{|)(ˆ| YYYY tXtX 2

in1inin21in

21 }|)(ˆ|{|)(ˆ| YYYY tXtX

)}(sinh)({cosh4

1 22 gtgt +

Gegt

aa 2

2)2/( gteG

GiG /ir aa +

gteG 2

G24

1

gte2

4

1

G4

1

ちなみに、EDFAの自然放出光は、上準

位にある原子が自発的に下準位に遷移

する際に発生する光子が増幅されたもの。

よって、(エネルギー)＝ hf×G

一方、

通常PSAの自然放出光エネルギーは、

(hf/2)×G×２＝ hf×G

EDFAと通常PSAの雑音特性は同じ

agtgtata ˆ)1ˆˆ2()(2

1ˆ)(ˆ)(ˆ 2 + ppp †二準位系における消滅演算子：

||ˆ ge †p

||ˆ eg p

|g>：原子系下準位

|e>：原子系上準位

ar ||| Y ein a初期状態：

Ggt

ta aa +YY }2

)(1{|)(ˆ|

2

inin出力振幅：

Ggtx 24

1

4

1}1){(

2

1 221 +振幅（実数成分）の分散：

（シグナル＋アイドラ）

揺らぎ抑圧効果

位相感応増幅特性を利用すると、位相揺らぎ抑圧が可能。

04/)0(ps0 p

)(ss

s0)0( +

i

eAE

zPzPieEezE ppp 2

s}4/4)0({

pss |)0(|]4/)0()0(cos[)(p

p++

zPzPieEezE pps0 2

s)4(

s |)0(|)cos()(

+

出力位相一定

PSA

但し、振幅揺らぎを抑える効果は無い。どころか、位相雑音→振幅雑音

振幅揺らぎを抑えるには、利得飽和特性を利用。

利得飽和

)(1p1p

1p)()(zi

ezPzE

zieEEiEEEidz

dE +++ *1p

2s

2s

22p

21p

2p)||2||||2(

zieEEEiEEEidz

dE +++ *s2p1p

2s

22p

21p

s 2)||||2||2(

sin2ps1p

PPdz

Pd

)(2p2p

2p)()(;zi

ezPzE

)(ss

s)()(;zi

ezPzE

zieEEiEEEidz

dE +++ *2p

2s

2s

22p

21p

1p)||2||2|(|

sin1ps2p

PPdz

Pd

sin2 s2p1ps PPP

dz

Pd

++ cos4)2(p2

p1s

p1

p2sp2p1s2p1p P

PP

P

PPPPPPP

dz

d

z 2p1ps2

= p1 + p2 – 2s

位相整合｛信号光増加；ポンプ光減少｝ when = p/2

伝播定数初期位相＋

非線形屈折率

位相感応特性

= p/2

++ cos4)( p2p12p1pPPPP

dz

d

信号光が小さい時（Ps << Pp1, Pp2)

信号光位相がポンプ光に同期、かつ位相整合がとれている[ ]と、

0dz

d = p/2 が継続、信号光は増加し続ける。（未飽和状態）

信号光が大きくなると、

0)()0(

2p)0(

1p+ PP

0}2{}2)(){( s1p1ps1p)0(

2p1p)0(

1p+++ PPPPPPPP

dz

d

は p/2 から減少＝信号光の増加率が減少（利得飽和状態）

さらに進むと、 < 0 の領域へ＝信号光減少

信号入力光パワー (dBm)

-40 -20 0

30

20

10

0出力光パワー

(dB

m) ポンプ光

信号光

利得飽和を利用すると、振幅揺らぎ抑圧も可能。

信号入力光位相(rad/p)

-1.0 -0.5 0 0.5 1.0

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0信号光出力パワー

(W)

3.0

2.5

2.5

1.5

1.0

0.5

信号出力光位相

(rad/p

)

偏波依存性一般には、光電場/分極場は3次元ベクトル → 非線形感受率 c3 はテンソル

EEEχP 3NL

ガラス媒質の場合

)()()()()()()( 3*

2111223*

211122321NL fEfEfEχfEfEfEχfffP yyxxxxx ++

)()()()()()( 3*

2112123*

211212 fEfEfEχfEfEfEχ yxyxxx ++

)()()()()()( 3*

2112213*

211221 fEfEfEχfEfEfEχ yyyxxx ++

)()]()([)()]()([ 23*

1121213*

21122 fEffχfEffχ xx EEEE +

)}()()()()()({ 3*

213*

211221 fEfEfEfEfEfEχ yyyxxx ++

複屈折のあるファイバの場合

)()]()([)()]()([)( 23*

113*

2321 fffffffff EEEEEEE ++

(c1122 = c1212 = c1221)

直感的には、

f1 f2f3 f4

ビート振動(f1 – f3)

変調側帯波f2 + (f1 – f3)

f1 f2f3 f4

ビート振動(f2 – f3)

変調側帯波f1 + (f2 – f3)

位相感応増幅となるには、信号光とアイドラ光が同一周波数/同一偏波。

ポンプ光と信号光は同一偏波の必要あり

ところで、２ポンプ位相不感応パラメトリック増幅では、

直交２ポンプとすることにより、偏波無依存化が可能。

ポンプ１

ポンプ２信号光

アイドラ

ポンプ１

ポンプ２

信号光

アイドラ

この場合、信号光とアイドラ光は異なる偏波状態。

このままでは、位相感応増幅には応用できず。

そこで、、、、、、

非線形ファイバ

PBS(45°)

PBS(0°)

|V>

|H>

ファイバ入力 ファイバ出力＝PBS(45)入力

PBS(45)出力

偏波無依存構成

（直交２ポンプを入力）

ポンプ１

ポンプ２

信号光

位相同期に関して位相感応増幅ではポンプ光位相に合致した位相成分のみ増幅。

なので、信号光入力位相とポンプ光位相を同期させる必要あり。

位相同期不要で出力位相一定にできないか。

PBS

非線形ファイバ

分散媒質ポンプ１、２信号光

分散媒質は、信号光とポンプ光との相対位相をp/2シフト

右廻りと左廻りとで位相ダイバーシティ

右廻り 左廻り

信号入力位相 (rad/p) 信号入力位相 (rad/p)

-1.0 -0.5 0 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0

信号光出力パワー

(arb

. li

n.)

信号出力光位相

(rad/p

)

1.0

0.5

0

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

1.5

1.0

0.5

0

-0.5

-1.0

-1.5

まとめ

位相感応増幅（PSA)の基本原理について述べた。

光パラメトリック増幅において、信号光とアイドラ光が縮退したのがPSA。

出力光は信号光とアイドラ光の合成波。

アイドラ光と信号光は位相共役関係であることから、

・出力光位相は信号入力位相に依らない一定値

・出力光振幅は、信号光とアイドラ光との中間位相状態への射影成分に比例

→ 位相感応特性