CO NTRAI ES - Mécanique Matériaux...
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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Cadre général
Hypothèses de base
Signification physique du vecteur contrainte
Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
CONTRAINTES
CONTRAINTES
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Il faut utiliser le tenseur des contraintes
Comment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ?CONTRAINTES
Cadre général
Hypothèses de base
Signification physique du vecteur contrainte
Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
Cadre général
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Efforts de cohésion dans ΩA(dus à la déformation)
Efforts de Ω sur ΩA(provoquant la déformation)
Ω
ΩA
Densité surfacique de forces t
t
Densité volumique de forces F
F
CONTRAINTES
Cadre général
Hypothèses de base
Signification physique du vecteur contrainte
Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
Hypothèses de base
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Ω
Vecteur contrainte
Tenseur des contraintes
Le tenseur des contraintesest symétrique
F dv = t dsΩA ∂ΩA
P
x
C(t)
FΩA
t
F = div(σ)
t = σ.n
F∧x dv = t ∧x dsΩA ∂ΩA
σ = σt
CONTRAINTES
Cadre général
Hypothèses de base
Signification physique du vecteur contrainte
Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
Théorème de l’action et de la réaction
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Le vecteur contrainten ’est pas forcémentporté par la normaleà cette surface.
ndf
t
t = limds -> 0
dfds
CONTRAINTES
Cadre général
Hypothèses de base
Signification physique du vecteur contrainte
Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
Signification physique du vecteur contrainte
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
surfacecontraintesvecteur
Cauchy (eulérien, symétrique)
Piola-Kirchhoff (lagrangien, symétrique)
Piola-Lagrange
df = σ.dsCONTRAINTES
Cadre général
Hypothèses de base
Signification physique du vecteur contrainte
Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
Différents tenseurs des contraintes
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
n
ds
t
Contrainte normale
σn
Contrainte tangentielle
bσt
σn = t . n = σij ni nj
σt = t . b = σij bi nj
ou
σt b = t - σn n
CONTRAINTES
Cadre général
Hypothèses de base
Signification physique du vecteur contrainte
Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
Contraintes normale et tangentielle
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Ω
∂Ω
Vecteur contrainte T connu
sur la partie ∂ΩT de ∂Ωt = T σ.n = T
nT∂ΩT
CONTRAINTES
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Hypothèses de base
Signification physique du vecteur contrainte
Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
Conditions aux limites en pression
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Dans un repère orthonormé (Oxyz) :
σ =
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz
tn001
σxzσyz
σzz
σxy
σyy
σzy
σxx
σyx
σzx
CONTRAINTES
Cadre général
Hypothèses de base
Signification physique du vecteur contrainte
Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
Contraintes dans un repère orthonormé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
actions sur ΩA par lemilieu extérieur
- vecteur contrainte t
- forces de volume fv
Ω
ΩA
CONTRAINTES
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Signification physique du vecteur contrainte
Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
Forces extérieures agissant sur un volume
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Ωργγγγ
Ω
Ω
∂
Ω
σσσσ
Ω
ργγγγ σσσσ
ργγγγ
CONTRAINTES
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Hypothèses de base
Signification physique du vecteur contrainte
Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
Équilibre des forces
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Ω
∂∧
Ωργ γ γ γ ∧
Ω
∧
Ω
σσσσ
ργγγγ ∧ σσσσ σ σ σ σ )
Ω
équilibre des forces symétrie du tenseurdes contraintes
CONTRAINTES
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Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
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Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
Équilibre des moments
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
σ = σt Dans le repère « principal » :
Contraintes principales
σIII
σ =
σI
σII
00
00
0 0
CONTRAINTES
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Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
Contraintes principales
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
symétriquede trace nulle
contrainte moyenne :
σ =
σ11 σ12 σ13
σ21 σ22 σ23
σ31 σ32 σ33
σtr σ
déviateur des contraintes :
S =
σ11 - σm σ12 σ13
σ21 σ23
σ31 σ32
σ22 - σm
σ33 - σm
CONTRAINTES
Cadre général
Hypothèses de base
Signification physique du vecteur contrainte
Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
Contrainte moyenne et déviateur
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
contrainte équivalente de von Mises :
σ = Sup(|σI -σII|, |σII -σIII|, |σI -σIII|)
contrainte équivalente de Tresca :
σ = Sij Sij3
2
CONTRAINTES
Cadre général
Hypothèses de base
Signification physique du vecteur contrainte
Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
Résumé
Contraintes équivalentes
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
ContraintesHypothèse des petites
perturbations
vecteur contrainte : t ( X, n, t)
tenseur des contraintes :
t = σ . n avec σ = σ ( X, t)
équations d’équilibre :σij,j + fvi = ργi
conditions aux limites :σ . n = T sur ∂ΩT
CONTRAINTES
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Contraintes normale et tangentielle
Conditions aux limites en pression
Théorème de l’action et de la réaction
Contraintes dans un repère orthonormé
Tenseur des contraintes
Signification physique des contraintes
Équations d’équilibre
Forces extérieures agissant sur un volume
Équilibre des forces
Équilibre des moments
Contraintes principales
Contrainte moyenne et déviateur
Contraintes équivalentes
Différents tenseurs des contraintes
Utilisation du tenseur des contraintes
Bilan
RésuméRésumé