Rhéologie - mms2.ensmp.frmms2.ensmp.fr/mms_paris/rheologie/transparents/wf_Rheologie.pdf · Essais...

Rhéologie

Georges Cailletaud

Centre des MatériauxMINES ParisTech/CNRS

Plan

Plan

1 Essais mécaniquesStructuresEléments de volume

2 Modèles rhéologiquesLes briques de basePlasticitéViscoélasticitéElastoviscoplasticité

3 Bilan

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Rhéologie 8 mars 2010 2 / 52

Plan



3 Bilan

Essais mécaniques Structures

Tests d’un avion civil

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Vibration d’une aile

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Structures biologiques

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Alimentaire

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Plan



3 Bilan

Essais mécaniques Eléments de volume

Machines d’essai

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Compression du gypse

Doc. Mines Paris-Géosciences Plus de détails sur site mms2.ensmp.fr


http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/experimental/illustrations/MECAROCH/index.html


Résultat de compression du gypse

Doc. Mines Paris-Géosciences



Traction sur fibre

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Traction sur alliage métallique

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Essais mécaniques

Les essais de base

Matériaux dont le comportement est insensible à la vitesse de sollicitationEssai de traction, ou essai d’écrouissageEssai sous chargement cyclique, ou essai de fatigue

Matériaux dont le comportement est sensible à la vitesse de sollicitationEssai à contrainte constante, ou essai de fluageEssai à déformation constante, ou de relaxation

Autres essais

Essais sous chargement multiaxialTraction–torsionPression interne ou externe

Essais en flexion

Essais de fissuration



Résultat de traction sur un alliage d’aluminium

Domaine d’élasticité «vrai», limite d’élasticité conventionnelle, σ0.2, qui donne0.2% de déformation résiduelle à la décharge

Contrainte ultime, σu

0.2% residual strainElastic slope

Tension curve

ε(mm/mm)

σ(M

Pa)

0.040.030.020.010

600

500

400

300

200

100

0

E=78000 MPa, σ0.2=430 MPa, σu=520 MPa Doc. Mines Paris-CDM, Evry



Résultat de traction sur un acier inoxydable

Matériau présentant un écrouissage important : possibilité de durcissement dansle domaine plastique, augmentation de la limite d’élasticité courante

0.2% residual strainElastic slope

Tension curve

ε(mm/mm)

σ(M

Pa)

0.080.070.060.050.040.030.020.010

600

500

400

300

200

100

0

E=210000 MPa, σ0.2=180 MPa, σu=660 MPa Doc. ONERA-DMSE, Châtillon



Traction et compression sur un alliage d’aluminium

Essai à déformation imposée symétrique ± 0.3%A contrainte nulle, il reste une déformation positiveA déformation nulle, la contrainte est devenue négative

ε(mm/mm)

σ(M

Pa)

0.0050.0030.001-0.001-0.003-0.005

300

200

100

0

-100

-200

-300

Doc. Mines Paris-CDM, Evry



Modèles schématisant les résultats précédents

σ

σ y

E

0 εa. Élastique–parfaitement plastique

ε0

E

TE

σ

σy

b. Élastique–plastique linéaire

Module élastoplastique, ET = dσ/dε.

ET = 0 : matériau élastique-parfaitement plastique

ET constant : matériau élasto-plastique linéaire

Et fonction de la déformation dans le cas général



Fonctionnement d’un modèle de plasticité instantanée

0 0’

A

B

ε

σ

Régime élastiqueOA, O’B

Ecoulement plastiqueAB

Déformation résiduelleOO’

Décomposition de la déformation, ε = εe + εp ;

Domaine d’élasticité, à définir par une fonction de charge f

Ecrouissage, à définir par des variables d’écrouissage, AI .



Résultat de traction sur un acier à haute température

Effet de la viscosité : Comportement sensible à la vitesse de déformation

ε = 1.6 10−5s−1ε = 8.0 10−5s−1ε = 2.4 10−4s−1

725◦C

ε

σ(M

Pa)

0.10.080.060.040.020

80

60

40

20

0

Doc. Ecole des Mines, Nancy



Essai de fluage sur fil étain-plomb

Voir l’exercice

Mines Paris-CDM, Evry



Résultat de fluage sur une fonte (1)

σ=25MPaσ=20MPaσ=16MPaσ=12MPa

t (s)

εp

10008006004002000

0.03

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

0




Représentation schématique d’une courbe de fluage

Fluage primaire , période de durcissement du matériau (écrouissage)

Fluage secondaire , ou stabilisé : εp est une fonction puissance de lacontrainte appliquée

Fluage tertiaire , ou perte de résistance conduisant à la rupture, décritepar des variables d’endommagement

pε

III

III

t



Résultat de fluage sur une fonte (2)

T=800◦CT=700◦CT=600◦CT=500◦C

σ (MPa)

εp(s−1

)

100101

0.001

0.0001

1e-05

1e-06

1e-07

1e-08




Essai de relaxation

On impose une déformation constante en fonction du temps

Pendant l’essai :ε = 0 = ε

p + σ/E

dεp =−dσ/E

Pour une déformation positive, la déformation viscoplastique augmente pendantque la contrainte diminue

La valeur asymptotique de la contrainte est nulle (relaxation totale) ou non(relaxation partielle)

Relaxation partielle s’il existe une contrainte interne ou contrainte seuil dans lematériau,



Représentation schématique d’une courbe de relaxation

Le point représentatif est obtenu comme la somme de la contrainte seuil σs et dela contrainte visqueuse σv

La contrainte seuil représente un comportement plastique qui peut être atteintasymptotiquement lorsque la vitesse tend vers zéro

σv

pε

σs

t

σ σ

E


Plan



3 Bilan

Modèles rhéologiques Les briques de base

Les briques de base pour les modèles de matériau


Modèles rhéologiques Les briques de base

Différents types de rhéologies

Plasticité indépendante du temps

ε = εe + ε

p dεp = f (...)dσ

Elasto-viscoplasticitéε = ε

e + εp dε

p = f (...)dt

ViscoélasticitéF(σ, σ,ε, ε) = 0


Plan



3 Bilan

Modèles rhéologiques Plasticité

Plasticité indépendante du temps



Modèle élastique–parfaitement plastique

Le régime de fonctionnement est défini par lafonction de charge f (de l’espace des contraintes dans R)

f (σ) = |σ|−σy

Domaine d’élasticitési f < 0 ε = ε

e = σ/E

Décharge élastique

si f = 0 et f < 0 ε = εe = σ/E

Ecoulement plastiquesi f = 0 et f = 0 ε = ε

p

La condition f = 0 est la condition de cohérence



Modèle de Prager

Fonction de charge à deux variables, σ et X

f (σ,X) = |σ−X |−σy avec X = Hεp

Ecoulement plastique si on vérifie à la fois f = 0 et f = 0.

∂f∂σ

σ+∂f∂X

X = 0

signe(σ−X) σ− signe(σ−X) X = 0 soit : σ = X

Vitesse de déformation plastique fonction de la vitesse de contrainte

εp = σ/H

Vitesse de déformation plastique fonction de la vitesse de déformation

εp =

EE +H

ε



Ecriture des équations de l’élastoplasticité uniaxiale

Domaine d’élasticitési f (σ,Ai) < 0 ε = σ/E

Décharge élastique

si f (σ,Ai) = 0 et f (σ,Ai) < 0 ε = σ/E

Ecoulement plastique

si f (σ,Ai) = 0 et f (σ,Ai) = 0 ε = σ/E + εp

La condition de cohérence s’écrit :

f (σ,Ai) = 0



Illustration des deux types d’écrouissage



Modèle d’écrouissage isotropeFonction de charge à deux variables, σ et R

f (σ,R) = |σ|−R−σy

R dépend de p, déformation plastique cumulée : p = |εp|dR/dp = H soit R = Hp

Ecoulement plastique ssi f = 0 et f = 0

∂f∂σ

σ+∂f∂R

R = 0

sign(σ) σ− R = 0 soit sign(σ) σ−Hp

Vitesse de déformation plastique fonction de la vitesse de contrainte

p = sign(σ) σ/H soit εp = σ/H

Modèles classiquesRamberg-Osgood : σ = σy +Kpm

Loi exponentielle : σ = σu +(σy −σu)exp(−bp)


Plan



3 Bilan

Modèles rhéologiques Viscoélasticité

Viscoélasticité



Réponses élémentaires en viscoélasticité

Eléments en série, modèle de Maxwell : ε = σ/E0 +σ/η

Fluage sous une contrainte σ0 : ε = σ0/E0 +σ0 t /η

Relaxation à la déformation ε0 : σ = E0ε0 exp[−t/τ]

Eléments en parallèles, modèle de Voigt : σ = Hε+ηε ou ε = (σ−H ε)/η

Fluage sous une contrainte σ0 : ε = (σ0 /H)(1−exp[−t/τ′])

Les constantes τ = η/E0 et τ′ = η/H sont homogènes à un temps,τ désignant le temps de relaxation du modèle de Maxwell



Modèles composés

a. Kelvin–Voigt

(E0)

(H)

(η)

b. Zener

(η)(E2)

(E1)

Réponses en fluage et en relaxation

ε(t) = C(t)σ0 =

(1

E0+

1H

(1−exp[−t/τf ])

)σ0

σ(t) = E(t)ε0 =

(H

H +E0+

E0

H +E0exp[−t/τr ]

)E0ε0


Plan



3 Bilan

Modèles rhéologiques Elastoviscoplasticité

Elasto-viscoplasticité

Schéma du modèle Réponse en traction

X = Hεvp

σv = ηεvp |σp|6 σy

σ = X +σv +σp

Domaine d’élasticité, dont la frontière est |σp|= σy



Equations du modèle

Trois régimes de fonctionnement

(a) εvp =0 |σp|= |σ−Hε

vp| 6σy

(b) εvp >0 σp =σ−Hε

vp−ηεvp =σy

(c) εvp <0 σp =σ−Hε

vp−ηεvp = −σy

(a) intérieur ou frontière du domaine d’élasticité (|σp| < σy )(b),(c) écoulement (|σp|= σy et |σp| = 0 )

On peut résumer les trois équations (en posant < x >= max(x ,0)) par

ηεvp = 〈|σ−X |−σy 〉 signe(σ−X)

ou :

εvp =

< f >

ηsigne(σ−X) , avec f (σ,X) = |σ−X |−σy



Fluage avec un modèle de Bingham

t

σ σo y-

H

εvp

Déformation viscoplastiqueen fonction du temps

σ

σ

Xo

y

σ

vpεEvolution dans le plancontrainte–déformation

viscoplastique

εvp =

σo−σy

H

(1−exp

(− t

τf

))avec : τf = η/H



Relaxation avec un modèle de Bingham

σ

H-E

vpε

σ

y

Relaxation

H

ε

Transitoire : OA = BC

Relaxation : AB

Effacementincomplet : CDO

A

B

DC

vp

Effacement

σ = σyE

E +H

(1−exp

(− t

τr

))+

Eεo

E +H

(H +E exp

(− t

τr

))avec : τr =

η

E +H



Ingrédients des modèles classiques de viscoplasticité

Modèle de Bingham

εvp =

< f >

ηsigne(σ−X)

Plus généralementε

vp = φ(f )

φ(0) = 0 et φ monotone croissante

εvp est nulle si le point courant se trouve dans le domaine d’élasticité ou sur lebord de celui-ci

εvp est non nulle si le point courant se trouve à l’extérieur du domaine d’élasticité

On distingue des modèles avec/sans seuil et avec/sans écrouissage



Modèles viscoplastiques sans écrouissage

Modèles sans seuil : le domaine d’élasticité peut se réduire à l’origine (σ = 0)Modèle de Norton

εvp =

( |σ|K

)n

signe(σ)

Modèle de Sellars-Tegart

εvp = Ash

( |σ|K

)signe(σ)

Modèles à seuilModèle de Perzyna

εvp =

⟨ |σ|−σy

K

⟩n

signe(σ) , εvp = ε0

⟨ |σ|σy−1

⟩n

signe(σ)



Modèles viscoplastiques avec écrouissage

Notion d’écrouissage additif : le durcissement provient des variables quiexpriment le seuil (X et R)

εvp =

⟨ |σ−X |−R−σy

K

⟩n

signe(σ−X)

X désigne la contrainte interne, internal stress (écrouissage cinématique)R +σy désigne la contrainte de friction, friction stress (écrouissage isotrope)σv est la contrainte visqueuse, drag stress

Notion d’écrouissage multiplicatif : on fait varier la contrainte visqueuse, parexemple :

εvp =

( |σ|K (εp)

)n

signe(σ) =

( |σ|K0|εp|m

)n

signe(σ)

(écrouissage par la déformation, ou strain hardening)


Bilan

En plasticité et en viscoplasticité...

Domaine d’élasticité défini par une fonction de charge f < 0

Variables d’écrouissage isotrope et cinématique

En plasticité :

Ecoulement défini par la condition de cohérence si f = 0, f = 0

Ecoulement plastique instantané :

dεp = g(σ, . . .)dσ

En viscoplasticité :

Ecoulement défini par la fonction de viscosité si f > 0

Possibilité d’écrouissage sur la contrainte visqueuse

Ecoulement viscoplastique retardé

dεvp = g(σ, . . .)dt


Bilan

Identification des essais sur le fil de brasure

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 1000 2000 3000 4000 5000

cree

p st

rain

time (s)

1534 g1320 g1150 g997 g720 g

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5000 10000 15000 20000 25000

stre

ss (

MP

a)

time (s)

expsim

Essais de fluage Relaxation ε=20%

Courbes obtenues avec un modèle de Norton

εp =

(σ

800

)2.3

J’essaie tout(e) seul(e) sur le site mms2.ensmp.fr O


http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/experimental/exercices/f_crrel.pdf

Bilan

Identification du fluage du sel gemme

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4st

rain

time (Ms)

expsim

Eprouvette Essai à 3 niveaux (3, 6, 9 MPa)

Courbes obtenues avec un modèle de Lemaitre (strain hardening)

εp =

(σ

K

)n(εp + v0)

m

J’essaie tout(e) seul(e) sur le site mms2.ensmp.fr O


http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/experimental/exercices/intro_salt.pdf

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