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IAE Poutres planes

Saber EL AREM

Centre des MatériauxMINES ParisTech

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Rappel

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Théorème de Castigliano

Flambement d’une poutre élastique

Poutres composites

Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 2 / 32

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Poutres composites

Rappel

RappelPour permettre de préciser les relations entre les déformations etcontraintes locales et les quantités résultantes au niveau d’unesection, il est nécessaire d’adopter des hypothèses sur lacinématique des sections lors d’une transformation de la poutre.

On focalise l’attention sur les changements de géométrielongitudinaux. Ainsi on s’interesse pas aux éventuelles variationsde géométrie des sections droites. L’objet d’étude (solide élancé)

est considéré comme une ligne moyenne déformable à chaquepoint de laquelle est attachée une section droite rigide.


Rappel

Récapitulatif pour les poutres de TimoshenkoLes lois de comportement globales de la structure s’écrivent

N = ESU,1 T = µS(θ+V,1) M = EIθ,1

On rappelle les équations d’équilibre :

N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1−T = 0

et les conditions aux limites

N(0) =−F0 N(L) = FL T (0) =−P0 T (L) = PL

M(0) =−M0 M(L) = ML

Il vient : T ,1 = µS(θ,1 +V,11) =−p

M,1 = T = EIθ,11 = µS(θ+V,1)

on obtient EIθ,111 =−p permettant de calculer θ.

Ensuite la flèche est déduite par : T ,1 = µS(θ,1 +V,11) =−p


Rappel

Récapitulatif pour les poutres de Navier BernoulliOn rappelle les équations d’équilibre :

N,1 + t = 0 T,1 +p = 0 M,1−T = 0

et les conditions aux limites

N(0) =−F0 N(L) = FL T (0) =−P0 T (L) = PL

M(0) =−M0 M(L) = ML

Les lois de comportement globales de la structure s’écrivent

N = ESU,1 M = EIθ,1 = EIV,11 (T = M,1 = EIV,111)

Il vient : T ,1 = EIV,1111 =−p

La flèche est obtenue comme solution d’un problème d’ordre 4 par rapport auxefforts appliqués ; elle est d’ordre 2 pour un moment constant :

V,1111 =−pEI

La rotation de la section est déduite par :

θ =−V,1


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Poutres composites



Matériaux élastique linéaireLe matériaux constituant la structure étudiée ayant uncomportement élastique linéaire, l’énergie apportée par l’extérieursert intégralement à déformer le solide, de manière réversible.

EnoncéLe théorème de Castigliano permet de calculer de déplacement ∆idans le sens et au point où s’applique un effort Fi , par la relation :

∆i =∂W∂Fi




Théorème de la charge fictive

Si, à l’endroit où l’on désire calculer le déplacement ∆, il n’y a pas d’effortappliqué, on fera intervenir un effort fictif X , au point et dans la direction de ∆.

L’expression de ∆ sera obtenue en appliquant sur X le théorème de Castigliano :

∆ =(

∂W (P,X)∂X

)X=0

P désigne l’ensemble des efforts extérieurs appliqués à la structureX désigne l’effort fictif

Généralisation : Théorème de Muller-BreslauLe travail d’un effort unitaire appliqué à une structure chargée est égal au travaildes efforts internes qu’il développe dans cette structure, dans les déformationsélastiques dues aux charges extérieures :

∆i =R

structure

[MM̄i

EI+

NN̄i

ES+

T T̄i

GS′

]Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 10 / 32


IllustrationConsidérons une poutre console soumise, à son extrémité libre (x1 = L), à unmoment concentré ML.

M(x1) = ML; θ(x1) =ML

EIx1; V (x1) =− ML

2EIx2

1

θ(L) = LML

EIainsi V (L) =−L2 ML

2EIL’énergie de déformation élastique (potentiel élastique) s’écrit :

W =Z

structure

M2(x1)2EI

dx1 = LM2

L

2EI

Il vient : θ(L) =∂W∂ML

=−LML

EI



Appliquons une charge fictive F en x1 = L et déterminons V (L) :

W =Z

structure

M2(x1)2EI

dx1 =Z

structure

(ML−F(L− x1))2

2EIdx1 = L

M2L

2EI−L2 MLF

2EI+L3 F 2

6EI

Il vient : V (L) =(

∂W (ML,F)∂F

)F=0

=−L2 ML

2EI

Maintenant appliquons le théorème de Muller-Breslau : F = 1

M̄i(x1) = x1−L

V (L) =Z

structure

MM̄i

EIdx1 =

Zstructure

ML(x1−L)EI

dx1 =−L2 ML

2EI


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Poutres composites



Le flambement est un phénomène d’instabilité qui apparaît surles poutres longues, les plaques et les coques minces, et quiconduit à des modes de déformation catastrophiques.

Une poutre droite flambe en compression lorsque sa ligneneutre ne reste pas droite.

La charge critique dépend étroitement du module du matériauqui constitue la poutre, de la forme de la section droite, de lalongueur de la poutre, mais aussi des conditions aux limites.



Flambement d’une poutre élastiqueDans un monde parfait, l’état de déformation est de la compression simple, ladéformation axiale est uniforme sur l’ensemble de la poutre, de valeur F/ES. Ilen est tout autrement si on considère que la ligne neutre de la poutre peut nepas rester droite.

EIV,11 +FV = 0 (1)

En posant w2 = F/EI, l’équation sans second membre s’écrit :

V,11 +w2V = 0 (2)

Elle admet donc des solutions de la forme :

V (x1) = Acos(wx1)+B sin(wx1) (3)




Si on considère le cas d’une poutre simplement supportée aux deuxextrémités, la flèche doit être nulle aux deux extrémités (x1 = 0 et x1 = l) :

A = 0 B sin(kl) = 0 (4)

Le cas B = 0 correspond à la situation triviale où la flèche reste nulle. Parcontre, si on a kl = nπ, on trouve effectivement la possibilité d’avoir unedéformée non rectiligne. On trouve alors :

V (x1) = B sin(

nπx1

l

)F = n2

π2 EI

l2(5)

La charge critique d’Euler Fc correspond au premier mode (n = 1) :

Fc = π2 EIl2




Dans le cas général on écrit la charge critique d’Euler :

Fc = π2 EI(Kl)2

avec :1 K = 1 : Poutre simplement supportée aux deux extrémités2 K = 0.7 : Poutre encastrée-simplement supportée3 K = 0.5 : Poutre encastrée-encastrée4 K = 2 : Poutre encastrée-libre


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Poutres composites

Poutres composites

Poutre sandwich en flexion 3 points

1x

x3P

2l

e

e2h

On considère un sandwich, avec au centre (−h < x3 < h) un matériau à faiblespropriétés mécaniques, de type mousse (caractéristiques élastiques Em et µm), et, de

chaque côté (−h−e < x3 <−h et h < x3 <−h +e) une couche métallique(caractéristiques élastiques Ea et µa).


Poutres composites

Poutre sandwich : force axiale

On a toujours : N =R

S σ11 dS ; il faut reconstruire une approximation de σ11

La contrainte σ11 est discontinue, et : σ11(x3) = E(x3)ε11

σ11 = E(x3)(U1,1 +θ1,1x3)

N = U,1

ZS

E(x3)dS +θ,1

ZS

E(x3)x3dS

Si E(x3) est une fonction paire en x3, et indépendante de x2 ; la seconde intégrale est nulle

N =< ES > U,1 avec < ES >=Z

SE(x3)dS


Poutres composites

Poutre sandwich : moment

M =Z

Sx3σ11 dS

σ11 = E(x3)(U1,1 +θ1,1x3)

M = U,1

ZS

x3E(x3)dS +θ,1

ZS

E(x3)x23 dS

E(x3) est une fonction paire en x3, et indépendante de x2 ; la première intégrale est nulle

M =< EI > θ,1 avec < EI >=Z

SE(x3)x2

3 dS


Poutres composites

Poutre sandwich : cisaillementLa contrainte σ13 est continue à l’interface. Il y a une incohérence en surface, car la valeurdonnée par la théorie sur une facette de normale parallèle à x1 est non nulle, alors que lasurface x3 est libre... Dans les couches externes, la contrainte σ13 n’est pas égale à 2µε13.

x

x

1

3

σ

σ

σ

13

31

11

= 0

σ 13

x3

T =Z

Sσ13 dS ≈

Z b

0

Z +h

−hσ13dx2dx3 = (V,1 +θ)

Z +h

−h2bµ(x3)dx3

T ≈< µS >+h−h (V,1 +θ)


Poutres composites

Forme générale des équations pour une poutre composite

Si la distribution des modules n’est pas paire en x3, il y a un couplage entretraction et flexion. On doit écrire :

N

M

T

=

Z

SEidS

ZS

Eix3dS 0ZS

Eix3dSZ

SEix

23 dS 0

0 0Z

SµidS

=

U,1

θ,1

V,1 +θ

(6)

Unités NN.mN

=

N N.m 0N.m N.m2 0

0 0 N

=

−m−1

−

(7)


Poutres composites

Poutre sandwich en flexion 3 points :flèche max

Les calculs effectués ci-dessus restent valables, à condition d’utiliser les valeurshomogénéisées des produits EI et µS :

v =Pl3

6 < EI >+

Pl2 < µS >

L’aluminium (Ea, µa), est situé entre les cotes ±h et ±(h +e). La mousse (Em, µm)entre les cotes ±h. Il vient donc :

< EI >=23

b(Ea((h +e)3−h3)+Emh3)

< µS >= 2bhµm


Poutres composites

Poutre sandwich en flexion 3 points

Application numérique :L’ensemble (P =−160 N, l = 250 mm, Ea = 75000 MPa, Em = 20 MPa, νm = 0.3,

b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm) conduit à :

< EI >=23×100(75000× (173−153)+20×153) = 7694500000 N.mm2

< µS >= 2×100×15× 202×1.3

= 23077 N

V = (−0.054−0.867) mm

C’est maintenant le terme lié à l’effort tranchant qui est prépondérant. On notel’importance qu’il y a à conserver un matériau qui possède des propriétés non

négligeables comme cœur de la poutre. Ainsi, avec un module d’Young de 0,80 MPaau lieu de 20 MPa, on trouverait une flèche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu

tout l’avantage de l’assemblage «sandwich».


Poutres composites

Finite element computations

Material parameter

Aluminium alloy : Young’s modulus Ea, Poisson’s ratio νa = 0.3

Foam, calcul B : Young’s modulus E f , Poisson’s ratio ν f

Geometry

Foam thickness 2h, Alu thickness = e

Length � Width of the plate = 500 mm � 100 mm

Loading

Force/unit width F = 1.5 N/mm

Aluminium

Foam2he

e

F


Poutres composites

Mesh and boundary conditions

Aluminium alloy : E = 75 GPa, ν=0.3

Foam, calcul B : E = 0.907 MPa, ν=0.2

Foam, calcul C : E = 20. MPa, ν=0.2

Load = 0.80 N/mm, corresponding to 150 N on a 100 mm plate

A : Half length = 250 mm, Alu width = 4 mm

B and C : Half length = 250 mm, Alu width = 2 times 2 mm, Foam = 30 mm

SYM V1 V2 V3

Force

Bottom


Poutres composites

Coarse and Fine meshes


Poutres composites

Deformed shapes

x

y

z

x

y

z

x

y

z

A

B

C


Poutres composites

Vertical displacement

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

0 50 100 150 200 250 300

U2

(mm

)

< - - - center - - Y - - right support - - - >

Vertical displacement U2 along the bottom line, aluminium sheet

coarse Afine A

bendingshear

total


Poutres composites

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0 50 100 150 200 250 300

U2

(mm

)


Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 20 MPa core

fine Bbending

sheartotal


Poutres composites

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

0 50 100 150 200 250 300

U2

(mm

)


Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 0.5 MPa core

fine Bbending

sheartotal


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