ClaseNL05S0109
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Programación No LinealProgramación No Lineal55Postgrado de Investigación de OperacionesPostgrado de Investigación de OperacionesPostgrado de Investigación de OperacionesPostgrado de Investigación de Operaciones
Prof. Gonzalo Müller [email protected]
Facultad de IngenieríaUniversidad Central de Venezuela
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Clase AnteriorClase Anterior
� Programación Convexa.
� Conjuntos convexos:
x = α x1 + (1 – α) x2, ∀α∈ [0, 1], x ∈ S
� Combinación convexa → Combinación lineal no negativa → Combinación lineal.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 2
negativa → Combinación lineal.
� Combinación convexa:
x = α1 x1 + α2 x2 + … + αm xm, αk ≥ 0, Σ αk = 1
� Punto Interior, Punto Exterior, Frontera, Conjunto Abierto, Conjunto Cerrado.
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Clase AnteriorClase Anterior
� Clausura, Conjunto Acotado, Conjunto Compacto.
� Capsula Convexa: Politope y Simplex.
� Teorema de Carathéodory.
� Conjuntos convexos separados.
�
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 3
� Hiperplano.
� Semiespacios.
� Hiperplano separador.
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Clase AnteriorClase Anterior
� Tipos de separación: apropiada, estricta y fuerte.
� Separación fuerte → Separación estricta → Separación apropiada.
� Separación entre un conjunto convexo y un punto.
� Hiperplano soporte: Hiperplano propio.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 4
� Hiperplano soporte: Hiperplano propio.
� Soporte en la frontera de un conjunto convexo.
� Cota Superior, Cota inferior, Supremo, Ínfimo, Máximo, Mínimo.
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Existencia de un mínimoExistencia de un mínimo
� Mínimo de una función f:
Sea S ⊂ En, x* es la solución del problema O(f, S) si:
f(x*) ≤ f(x)
∀x∈S ^ x*∈S
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 5
∀x∈S ^ x*∈S
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Existencia de un mínimoExistencia de un mínimo
{{{{ }}}}
{{{{ }}}}
f : (a,b] R
f(b) inf f(x) : x (a,b]
y
b min f(x) : x (a,b]
→→→→
= ∈= ∈= ∈= ∈
= ∈= ∈= ∈= ∈
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 6
{{{{ }}}}
f : (a,b) R
f(b) inf f(x) : x (a,b)
y
b no es el mínimo pues b (a,b)
→→→→
= ∈= ∈= ∈= ∈
∉∉∉∉
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Existencia de un mínimoExistencia de un mínimo
{{{{ }}}}
f : (a,b] R
inf f(x) : x (a,b]
y
f(b)
luego el mínimo no existe
→→→→
α = ∈α = ∈α = ∈α = ∈
α ≠α ≠α ≠α ≠
αααα
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x
f : (a, ) R
lím f(x)
y no existe mínimo
→∞→∞→∞→∞
∞ →∞ →∞ →∞ →
= −∞= −∞= −∞= −∞
luego el mínimo no existe
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Existencia de un mínimoExistencia de un mínimo
� Teorema de Weierstrass (Condición de suficiencia para la existencia de un mínimo):
Si S ⊂ En, S ≠ ∅ y S es compacto toda funcióncontinua f: S → E tiene mínimo.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 8
Esto es, el problema
min f(x)
s.a: → Tiene solución
x ∈ S
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 es convexasobre un conjunto convexo S ⊆ En si para dos puntoscualquiera x1, x2∈S:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
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f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
α∈[0, 1]
Una función convexa sobre S siempre es continua en su interior
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 10
f(αx1 + [1 – α]x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
S Conjunto convexo
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 11
f(αx1 + [1 – α]x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
S Conjunto convexo
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 12
f(αx1 + [1 – α]x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
S Conjunto no convexo
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 13
f(αx1 + [1 – α]x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
S Conjunto no convexo
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 14
f(αx1 + [1 – α]x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
S Conjunto convexo
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 15
f(αx1 + [1 – α]x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
S Conjunto convexo
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente ConvexaConvexa: Una función f en E1
es estrictamente convexa sobre un conjunto convexoS ⊆ En si para dos puntos cualquiera x1, x2∈S:
f(αx1 + [1 – α]x2) < αf(x1) + [1 – α]f(x2)
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f(αx1 + [1 – α]x2) < αf(x1) + [1 – α]f(x2)
α∈(0, 1)
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) < αf(x1) + [1 – α]f(x2)
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 17
f(αx1 + [1 – α]x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
Una función estrictamente convexa no admite segmentos rectos
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
Ejemplo 5.1: Demostrar que la siguiente función es convexa sobre R:
f(x) = x2 – 1
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
Ejemplo 5.1: Demostrar que la siguiente función es convexa sobre R:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 19
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
Ejemplo 5.1: Demostrar que la siguiente función es convexa sobre R:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
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Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2Si f(x) es convexa entonces:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
αf(x1) + [1 – α]f(x2):
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
αf(x1) + [1 – α]f(x2):
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = α(x12 – 1)+[1 – α](x22 – 1)
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx12 – α + x22 – αx22 – 1 + α
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx12 + x22 – αx22 – 1
αf(x ) + [1 – α]f(x ) = α[x 2 – x 2] + x 2 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 22
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = α[x12 – x22] + x22 – 1
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
αf(x1) + [1 – α]f(x2):
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = α(x12 – 1)+[1 – α](x22 – 1)
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx12 – α + x22 – αx22 – 1 + α
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx12 + x22 – αx22 – 1
αf(x ) + [1 – α]f(x ) = α[x 2 – x 2] + x 2 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 23
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = α[x12 – x22] + x22 – 1
f(αx1 + [1 – α]x2):
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
αf(x1) + [1 – α]f(x2):
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = α(x12 – 1)+[1 – α](x22 – 1)
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx12 – α + x22 – αx22 – 1 + α
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx12 + x22 – αx22 – 1
αf(x ) + [1 – α]f(x ) = α[x 2 – x 2] + x 2 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 24
αf(x1) + [1 – α]f(x2) = α[x12 – x22] + x22 – 1
f(αx1 + [1 – α]x2):
f(αx1+[1 – α]x2) = (αx1 + [1 – α]x2)2 – 1
f(αx1+[1 – α]x2) = α2x12+2α[1 – α]x1x2+[1 – α]2x22–1
f(αx1+[1 – α]x2) = α2x12+[2α–2α2]x1x2+[1–2α+α2]x22–1
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1+[1 – α]x2) = α2x12+2αx1x2–2α2x1x2+x22–2αx22 + α2x22– 1
f(αx1+[1 – α]x2) = α[2x1x2–2x22]+α2[x12 –2x1x2 + x22]+x22 – 1
f(αx1+[1 – α]x2) = α[2x1x2–2x22]+ α2(x1 –x2)2+ x22 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 25
f(αx1+[1 – α]x2) = α[2x1x2–2x22]+ α2(x1 –x2)2+ x22 – 1
f(αx1+[1 – α]x2) = – α[–2x1x2+x22]+ α2(x1 –x2)2+ x22 –1 + αx12 – αx12 – αx22
f(αx1+[1 – α]x2) = – α[x12–2x1x2+x22]+ α2(x1 –x2)2+ x22
– 1 + α[x12 –x22]
![Page 26: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/26.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1+[1 – α]x2) = – α (x1 –x2)2 + α2(x1 –x2)2+ x22 – 1 + α[x12 –x22]
f(αx1+[1 – α]x2)=(α2 – α)(x1 –x2)2+α[x12 –x22]+x22 –1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 26
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1+[1 – α]x2) = – α (x1 –x2)2 + α2(x1 –x2)2+ x22 – 1 + α[x12 –x22]
f(αx1+[1 – α]x2)=(α2 – α)(x1 –x2)2+α[x12 –x22]+x22 –1
f(αx + [1 – α]x ) ≤ αf(x ) + [1 – α]f(x ):
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 27
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2):
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1+[1 – α]x2) = – α (x1 –x2)2 + α2(x1 –x2)2+ x22 – 1 + α[x12 –x22]
f(αx1+[1 – α]x2)=(α2 – α)(x1 –x2)2+α[x12 –x22]+x22 –1
f(αx + [1 – α]x ) ≤ αf(x ) + [1 – α]f(x ):
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 28
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2):
(α2 – α)(x1 –x2)2+α[x12 –x22]+x22 –1≤ α[x12 – x22] + x22 – 1
(α2 – α)(x1 –x2)2 ≤ 0
![Page 29: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/29.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1+[1 – α]x2) = – α (x1 –x2)2 + α2(x1 –x2)2+ x22 – 1 + α[x12 –x22]
f(αx1+[1 – α]x2)=(α2 – α)(x1 –x2)2+α[x12 –x22]+x22 –1
f(αx + [1 – α]x ) ≤ αf(x ) + [1 – α]f(x ):
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 29
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2):
(α2 – α)(x1 –x2)2+α[x12 –x22]+x22 –1≤ α[x12 – x22] + x22 – 1
(α2 – α)(x1 –x2)2 ≤ 0 → f(x) = x2 – 1 es convexa
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
�� FunciónFunción CóncavaCóncava: Una función f en E1 es cóncavasobre un conjunto convexo S ⊆ En si para dos puntoscualquiera x1, x2∈S:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 30
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
α∈[0, 1]
![Page 31: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/31.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
f(αx1 + [1 – α]x2)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 31
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
Si f(x) es convexa entonces –f(x) es cóncava, y viceversa
![Page 32: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/32.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente CóncavaCóncava: Una función f en E1
es estrictamente cóncava sobre un conjunto convexoS ⊆ En si para dos puntos cualquiera x1, x2∈S:
f(αx1 + [1 – α]x2) > αf(x1) + [1 – α]f(x2)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 32
f(αx1 + [1 – α]x2) > αf(x1) + [1 – α]f(x2)
α∈[0, 1]
![Page 33: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/33.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) > αf(x1) + [1 – α]f(x2)
f(αx1 + [1 – α]x2)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 33
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
Una función estrictamente cóncava no admite segmentos rectos
![Page 34: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/34.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Es Convexa ?
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 34
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Es Cóncava ?
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 35
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
No es ni cóncava ni convexa sobre el conjunto convexo S en estudio.
f(αx1 + [1 – α]x2)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 36
αf(x1) + [1 – α]f(x2)
f(x2)
f(x1)
x1 x2
S
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 es convexasobre un conjunto convexo S ⊆ En si para n puntoscualquiera:
f(α1x1+α2x2+··· +αnxn) ≤ α1f(x1)+α2f(x2)+··· +αnf(xn)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 37
f(α1x1+α2x2+··· +αnxn) ≤ α1f(x1)+α2f(x2)+··· +αnf(xn)
x1, x2,…, xn∈S
α1+α2+··· +αn = 1
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Propiedades de un función convexa:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 38
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Propiedades de un función convexa:
� Si una función f es convexa y k ≥ 0 entonces kf esconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 39
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Propiedades de un función convexa:
� Si una función f es convexa y k ≥ 0 entonces kf esconvexa.
� La suma de dos funciones convexas (cóncavas) esuna función convexa (cóncava).
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 40
una función convexa (cóncava).
![Page 41: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/41.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Propiedades de un función convexa:
� Si una función f es convexa y k ≥ 0 entonces kf esconvexa.
� La suma de dos funciones convexas (cóncavas) esuna función convexa (cóncava).
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 41
una función convexa (cóncava).
� Corolario:
� La combinación lineal no negativa de funcionesconvexas es una función convexa.
![Page 42: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/42.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
Ejemplo 5.2: Demostrar que la siguiente función es convexa sobre R:
f(x) = 2x2 + x – 2
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 42
![Page 43: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/43.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
Ejemplo 5.2: Demostrar que la siguiente función es convexa sobre R:
f(x) = 2x2 + x – 2
f(x) = f (x) + f (x)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 43
f(x) = f1(x) + f2(x)
si f1(x) y f2(x) son convexas entonces f(x) es convexa:
f1(x) = 2x2 – 2
f2(x) = x
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f1(x) = 2x2 – 2 = 2 f3(x)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 44
![Page 45: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/45.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f1(x) = 2x2 – 2 = 2 f3(x)
si f3(x) es convexa entonces 2 f3(x) es convexa
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 45
![Page 46: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/46.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f1(x) = 2x2 – 2 = 2 f3(x)
si f3(x) es convexa entonces 2 f3(x) es convexa
f3(x) = x2 – 1 es convexa → f1(x) es convexa
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 46
![Page 47: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/47.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f1(x) = 2x2 – 2 = 2 f3(x)
si f3(x) es convexa entonces 2 f3(x) es convexa
f3(x) = x2 – 1 es convexa → f1(x) es convexa
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 47
f2(x) = x es convexa si dados dos puntos x1, x2 se satisface:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) = αx1 + [1 – α]x2αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx1 + [1 – α]x2
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 48
![Page 49: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/49.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) = αx1 + [1 – α]x2αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx1 + [1 – α]x2
↓
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 49
Se satisface
![Page 50: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/50.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
f(αx1 + [1 – α]x2) = αx1 + [1 – α]x2αf(x1) + [1 – α]f(x2) = αx1 + [1 – α]x2
↓
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ αf(x1) + [1 – α]f(x2)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 50
Se satisface
↓
f1(x) y f2(x) es convexa
↓
f(x) es convexa
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Propiedades de una función convexa:
� Una función convexa puede ser discontinua y estasdiscontinuidades solo pueden ocurrir en losextremos del dominio efectivo.
� El dominio efectivo ED:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 51
� El dominio efectivo ED:
ED(f) = {x | x∈En, f(x) < +∞}
![Page 52: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/52.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Si f es una función convexa sobre un conjuntoconvexo S ⊂ En,
Entonces, el conjuntoW = {x | x ∈ S, f(x) ≤ c}
∀c ∈ E
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 52
Función convexa
f(x)
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Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Si f es una función convexa sobre un conjuntoconvexo S ⊂ En,
Entonces, el conjuntoW = {x | x ∈ S, f(x) ≤ c}
∀c ∈ E
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 53
c
W
Conjunto convexoFunción convexa
f(x)
![Page 54: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/54.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Todo mínimo local de una función convexa f sobreEn es un mínimo global de f sobre En.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 54
![Page 55: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/55.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Todo mínimo local de una función convexa f sobreEn es un mínimo global de f sobre En.
� Si f es una función convexa sobre En y S ⊂ En es unconjunto convexo, entonces todo mínimo local de fen x*∈ S es un mínimo global sobre todo S.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 55
en x ∈ S es un mínimo global sobre todo S.
![Page 56: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/56.jpg)
Funciones ConvexasFunciones Convexas
� Todo mínimo local de una función convexa f sobreEn es un mínimo global de f sobre En.
� Si f es una función convexa sobre En y S ⊂ En es unconjunto convexo, entonces todo mínimo local de fen x*∈ S es un mínimo global sobre todo S.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 56
en x ∈ S es un mínimo global sobre todo S.
� Si f es una función estrictamente convexa sobre En
y S ⊂ En es un conjunto convexo, entonces elmínimo local de f en x*∈ S es el único mínimoglobal sobre todo S.
![Page 57: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/57.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
Ejemplo 5.3: Determinar el óptimo de la siguiente función:
f(x) = x2 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 57
![Page 58: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/58.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
Ejemplo 5.3: Determinar el óptimo de la siguiente función:
f(x) = x2 – 1
Condición suficiente para un mínimo local estricto de
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 58
Condición suficiente para un mínimo local estricto de O(f):
∇f(x*) = 0 ^ zT∇2f(x*)z > 0
∀∀∀∀ z ≠ 0, z∈En
![Page 59: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/59.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
∇f(x) = 2x = 0
↓
x = 0
Dado z = z:
∇2f(x) = 2
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 59
∇2f(x) = 2
zT∇2f(x*)z = 2 · z2
2 · z2 > 0 ∀∀∀∀ z, z ≠ 0
![Page 60: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/60.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
∇f(x) = 2x = 0
↓
x = 0
Dado z = z:
∇2f(x) = 2
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 60
∇2f(x) = 2
zT∇2f(x*)z = 2 · z2
2 · z2 > 0 ∀∀∀∀ z, z ≠ 0→ Mínimo Local Estricto
![Page 61: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/61.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
∇f(x) = 2x = 0
↓
x = 0
Dado z = z:
∇2f(x) = 2
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 61
∇2f(x) = 2
zT∇2f(x*)z = 2 · z2
2 · z2 > 0 ∀∀∀∀ z, z ≠ 0→ Mínimo Local Estricto
f(x) es convexa → Mínimo GLOBAL Estricto
![Page 62: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/62.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
∇f(x) = 2x = 0
↓
x = 0
Dado z = z:
∇2f(x) = 2
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 62
∇2f(x) = 2
zT∇2f(x*)z = 2 · z2
2 · z2 > 0 ∀∀∀∀ z, z ≠ 0→ Mínimo Local Estricto
f(x) es convexa → Mínimo GLOBAL Estricto
f(x) es estrictamente convexa → Único Mínimo GLOBAL
![Page 63: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/63.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
� Problema de optimización convexa:
Dada una función f convexa:
f: En → E1
Dado un conjunto S definido por:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 63
S: gk ≥ 0, hj = 0
gk: funciones cóncavas
hj: funciones lineales
� S constituye un conjunto convexo cerrado.
![Page 64: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/64.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
El Problema de Optimización Convexa OC(f, S) consiste en encontrar x* ∈ S tal que:
f(x*) ≤ f(y)
∀ y ∈ S
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 64
∀ y ∈ S
por si solas hj son funciones no lineales convexas y/o
concavas, pero no constituyen un conjunto convexo
![Page 65: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/65.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
� Teorema de Kuhn-Tucker (Condición Necesaria)
Dadas f, gk y hj funciones diferenciables continuasconvexa, cóncavas y lineales en S, respectivamente.
Si existen un x* que satisfaga:
gk ≥ 0, hj = 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 65
gk ≥ 0, hj = 0
y existen vectores λ* y µ* tales que:
∇x, λL (x*, λ*, µ*) = 0
µk* gk(x*) = 0 k=1,…,m
µ* ≥ 0
Entonces, x* es un óptimo global de OC(f, S)
![Page 66: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/66.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
� Condición de Slater
Un problema de optimización O(f, S) es fuertemente consistente si existe un punto x0 tal que:
gk(x0) > 0 k=1,…, m
h (x0) = 0 j=1,…, p
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 66
hj(x0) = 0 j=1,…, p
![Page 67: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/67.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
� Teorema de Kuhn-Tucker
(Condición Necesaria y Suficiente)
Dado un problema OC(f, S) fuertemente consistente y f,gk y hj funciones diferenciables continuas convexa,cóncavas y lineales en S, respectivamente, y hj linealmenteindependientes.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 67
independientes.
Si x* es un óptimo de OC(f, S). Entonces, existen vectores λ* y µ* tales que:
∇x, λL (x*, λ*, µ*) = 0
µk* gk(x*) = 0 k=1,…,m
µ* ≥ 0
![Page 68: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/68.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
Ejemplo 5.4: Determinar la solución del siguiente problema:
min x12 + x22 – 1
s. a:
(x – 4)2+ x 2 ≤ 18
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 68
(x1 – 4)2+ x22 ≤ 18
x1 + x2 = 4
![Page 69: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/69.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
Ejemplo 5.4: Determinar la solución del siguiente problema:
min x12 + x22 – 1
s. a:
(x – 4)2+ x 2 ≤ 18
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 69
(x1 – 4)2+ x22 ≤ 18
x1 + x2 = 4
Convexa
![Page 70: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/70.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
Ejemplo 5.4: Determinar la solución del siguiente problema:
min x12 + x22 – 1
s. a:
– (x – 4)2 – x 2 ≥ – 18
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 70
– (x1 – 4)2 – x22 ≥ – 18
x1 + x2 = 4
Cóncava
![Page 71: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/71.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
Las funciones pertinentes:
f(x) = x12 + x22 – 1
g1(x) = 18 – (x1 – 4)2 – x22
h1(x) = x1 + x2 – 4
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 71
Construir el Langrangeano:
L(x, λ, µ) = x12 + x22 – 1 – µ1(18 – (x1 – 4)2 – x22) – λ1(x1 + x2 – 4)
![Page 72: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/72.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
Encontrar el punto estacionario:
∇x, λL(x, λ, µ) = 2x1 + 2µ1(x1 – 4) – λ12x2 + 2µ1x2 – λ1x1 + x2 – 4
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 72
↓
2x1 + 2µ1(x1 – 4) – λ1 = 0
2x2 + 2µ1x2 – λ1 = 0
x1 + x2 – 4 = 0
µ1(18 – (x1 – 4)2 – x2 2) = 0
![Page 73: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/73.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
µ1(18 – (x1 – 4)2 – x2 2) = 0:
µ1 = 0
ó
18 – (x1 – 4)2 – x2 2 = 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 73
µ1 = 0:
2x1 – λ1 = 0 → λ1 = 2x12x2 – λ1 = 0 → λ1 = 2x2x1 = x2
![Page 74: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/74.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
x1 + x1 = 4
2x1 = 4
x1 = 2 x2 = 2 λ1 = 4 µ1 = 0
↓
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 74
Se satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker
↓
Es un óptimo → Es un mínimo local → Es un mínimo global
![Page 75: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/75.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
18 – (x1 – 4)2 – x2 2 = 0:
x2 2 = 18 – (x1 – 4)2
Además debe satisfacer:
x1 + x2 = 4
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 75
↓
x1 = 4 – x2x2 2 = 18 – (4 – x2 – 4)2
x2 2 = 18 – x22
![Page 76: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/76.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
2x2 2 = 18
x2 = ±3
x2 = +3:
x1 = 4 – x2 = 4 – 3= 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 76
El nuevo sistema será:
2(1) + 2µ1(1 – 4) – λ1 = 0
2(3) + 2µ13 – λ1 = 0
2 – 6µ1 – λ1 = 0
6 + 6µ1 – λ1 = 0
![Page 77: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/77.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
λ1 = 2 – 6µ1
6 + 6µ1 – (2 – 6µ1) = 0
6 + 6µ1 – 2 + 6µ1 = 0
4 + 12µ1 = 0
µ = – 1/3 < 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 77
µ1 = – 1/3 < 0
↓
No Satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker
↓
No es un óptimo
![Page 78: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/78.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
x2 = –3:
x1 = 4 – x2 = 4 + 3= 7
El nuevo sistema será:
2(7) + 2µ1(7 – 4) – λ1 = 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 78
–2(3) – 2µ13 – λ1 = 0
14 + 6µ1 – λ1 = 0
– 6 – 6µ1 – λ1 = 0
![Page 79: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/79.jpg)
Optimización de Funciones ConvexasOptimización de Funciones Convexas
λ1 = 14 + 6µ1
– 6 – 6µ1 – (14 + 6µ1) = 0
– 6 – 6µ1 – 14 – 6µ1 = 0
– 20 – 12µ1 = 0
µ = – 5/3 < 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 79
µ1 = – 5/3 < 0
↓
No Satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker
↓
No es un óptimo
Recuerde que si la función es
estrictamente convexa solo un
punto debería satisfacer las
condiciones de Kuhn-Tucker
![Page 80: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/80.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 diferenciablesobre un conjunto convexo S ⊆ En es convexa si parados puntos cualquiera x1, x2∈S se satisface:
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 80
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
f(x2)
![Page 81: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/81.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 diferenciablesobre un conjunto convexo S ⊆ En es convexa si parados puntos cualquiera x1, x2∈S se satisface:
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 81
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
f(x2)
f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
![Page 82: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/82.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 diferenciablesobre un conjunto convexo S ⊆ En es convexa si parados puntos cualquiera x1, x2∈S se satisface:
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 82
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
f(x2)
f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
![Page 83: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/83.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente ConvexaConvexa: Una función f en E1
diferenciable sobre un conjunto convexo S ⊆ En esestrictamente convexa si para dos puntos cualquierax1, x2∈S se satisface:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 83
f(x2) > f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
![Page 84: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/84.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.5: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 84
![Page 85: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/85.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.5: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 85
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2
![Page 86: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/86.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.5: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 86
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2Si f(x) es convexa entonces:
f(x2) ≥ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
![Page 87: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/87.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
f(x) = x2 – 1, ∇f(x) = 2x
x22 – 1 ≥ x12 – 1 + (x2 – x1)T 2x1x22 ≥ x12 + (x2 – x1) 2x1x22 ≥ x12 + 2x1x2 – 2x12
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 87
x22 ≥ 2x1x2 – x12
x22 – 2x1x2 + x12 ≥ 0
(x2 – x1)2 ≥ 0
↓
f(x) = x2 – 1 es convexa
![Page 88: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/88.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción ConcavaConcava: Una función f en E1 diferenciablesobre un conjunto convexo S ⊆ En es concava si parados puntos cualquiera x1, x2∈S se satisface:
f(x2) ≤ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 88
f(x2) ≤ f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
![Page 89: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/89.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente ConcavaConcava: Una función f en E1
diferenciable sobre un conjunto convexo S ⊆ En esestrictamente concava si para dos puntos cualquierax1, x2∈S se satisface:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 89
f(x2) < f(x1) + (x2 – x1)T∇f(x1)
![Page 90: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/90.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 diferenciablesobre un conjunto convexo S ⊆ En es convexa sobreéste si para dos puntos cualquiera x1, x2∈S se satisface:
(x2 – x1)T [∇f(x2) – ∇f(x1)] ≥ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 90
(x2 – x1)T [∇f(x2) – ∇f(x1)] ≥ 0
![Page 91: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/91.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente ConvexaConvexa: Una función f en E1
diferenciable sobre un conjunto convexo S en En esestrictamente convexa sobre éste si para dos puntoscualquiera x1, x2∈S se satisface:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 91
(x2 – x1)T [∇f(x2) – ∇f(x1)] > 0
![Page 92: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/92.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.6: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 92
![Page 93: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/93.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.6: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 93
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2
![Page 94: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/94.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.6: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 94
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2Si f(x) es convexa entonces:
(x1 – x2)T [∇f(x1) – ∇f(x2)] ≥ 0
![Page 95: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/95.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
f(x) = x2 – 1, ∇f(x) = 2x
(x1 – x2)T [2x1 – 2x2] ≥ 0
(x1 – x2) [2x1 – 2x2] ≥ 0
2(x1 – x2)(x1 – x2) ≥ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 95
2(x1 – x2)2 ≥ 0
↓
f(x) = x2 – 1 es convexa
![Page 96: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/96.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 diferenciablesobre un conjunto convexo S ⊆ En es convexa sobreéste si para dos puntos cualquiera x1, x2∈S se satisface:
(x2 – x1)T [∇f(x2) – ∇f(x1)] ≥ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 96
(x2 – x1)T [∇f(x2) – ∇f(x1)] ≥ 0
![Page 97: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/97.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente ConvexaConvexa: Una función f en E1
diferenciable sobre un conjunto convexo S en En esestrictamente convexa sobre éste si para dos puntoscualquiera x1, x2∈S se satisface:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 97
(x2 – x1)T [∇f(x2) – ∇f(x1)] > 0
![Page 98: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/98.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción ConvexaConvexa: Una función f en E1 doblementediferenciable sobre un conjunto convexo abierto S ⊂
En es convexa sobre éste si su hessiano es semi-definido positivo:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 98
z T· ∇2f(x)· z ≥ 0
∀∀∀∀ z ∈ En
∀∀∀∀ x ∈ S
![Page 99: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/99.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
�� FunciónFunción CóncavaCóncava: Una función f en E1 doblementediferenciable sobre un conjunto convexo abierto S ⊂
En es cóncava sobre éste si su hessiano es semi-definido negativo:
z T· ∇2f(x)· z ≤ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 99
z · ∇ f(x)· z ≤ 0
∀∀∀∀ z ∈ En
∀∀∀∀ x ∈ S
Las condiciones de 2º Orden no
son aplicables a las estrictamente
![Page 100: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/100.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.7: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 100
![Page 101: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/101.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.7: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Dado z = z:
Si f(x) es convexa entonces:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 101
Si f(x) es convexa entonces:
z T· ∇2f(x)· z ≥ 0
![Page 102: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/102.jpg)
Funciones Convexas DiferenciablesFunciones Convexas Diferenciables
Ejemplo 5.7: Demostrar que la siguiente función diferenciable es convexa:
f(x) = x2 – 1
Dado z = z:
Si f(x) es convexa entonces:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 102
Si f(x) es convexa entonces:
z T· ∇2f(x)· z ≥ 0
∇f(x) = 2x, ∇2f(x) = 2
z · 2· z ≥ 0
z2 · 2 ≥ 0 → f(x) es convexa
![Page 103: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/103.jpg)
Optimización de Funciones Convexas D.Optimización de Funciones Convexas D.
�� Minimizando una función diferenciable convexa Minimizando una función diferenciable convexa (Condición Necesaria y Suficiente)
Sea el siguiente problema de O(f, S) de una función f diferenciable convexa sobre un conjunto convexo S:
� Si x* es una solución óptima.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 103
� Si x* es una solución óptima.
Entonces ∇f(x*)T(x – x*) ≥ 0 para todos los x∈S
� Si S es un conjunto abierto.
Entonces ∇f(x*) = 0
No es necesario verificar
condiciones de 2º Orden
![Page 104: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/104.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� FunciónFunción CuasiconvexaCuasiconvexa: Una función f en E1 escuasiconvexa sobre un conjunto convexo S en En sipara dos puntos cualquiera x1, x2∈ S:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ max{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 104
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ max{f(x1),f(x2)}
α ∈[0, 1]
![Page 105: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/105.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� FunciónFunción CuasiconvexaCuasiconvexa: Una función f en E1 escuasiconvexa sobre un conjunto convexo S en En sipara dos puntos cualquiera x1, x2∈ S:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ max{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 105
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ max{f(x1),f(x2)}
α ∈[0, 1]
↓
si f(x1) ≥ f(x2) entonces f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ f(x1) para todo x1, x2 ∈ S.
![Page 106: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/106.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
f(αx1 + [1 – α]x2) ≤ max{f(x1),f(x2)}
max{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 106
1 2
f(x2)
f(x1)
x1 x2
f(λx1+ [1 – λ]x2)
![Page 107: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/107.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función CuasiconvexaPropiedades de una función Cuasiconvexa:
� No todo mínimo local es un mínimo global.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 107
![Page 108: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/108.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función CuasiconvexaPropiedades de una función Cuasiconvexa:
� No todo mínimo local es un mínimo global.
� Un mínimo local no global no puede ser estricto.
� Si x ∈ S es un mínimo estricto de f, entonces estambién un mínimo global de f sobre S.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 108
también un mínimo global de f sobre S.
![Page 109: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/109.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función CuasiconvexaPropiedades de una función Cuasiconvexa:
� No todo mínimo local es un mínimo global.
� Un mínimo local no global no puede ser estricto.
� Si x ∈ S es un mínimo estricto de f, entonces estambién un mínimo global de f sobre S.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 109
también un mínimo global de f sobre S.
� Puede contener discontinuidades.
![Page 110: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/110.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� FunciónFunción FuertementeFuertemente CuasiconvexaCuasiconvexa: Una función f enE1 es fuertemente cuasiconvexa sobre un conjuntoconvexo S en En si para dos puntos cualquiera x1,x2∈S, tales que x1 ≠ x2:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 110
f(αx1 + [1 – α]x2) < max{f(x1),f(x2)}
∀α ∈ (0, 1)
![Page 111: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/111.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
f(αx1 + [1 – α]x2) < max{f(x1),f(x2)}
f(x )
max{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 111
f(x2)
f(x1)
x1 x2
f(λx1+ [1 – λ]x2)
Una función fuertemente cuasiconvexa
no admite segmentos horizontales
![Page 112: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/112.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función Fuertemente Propiedades de una función Fuertemente CuasiconvexaCuasiconvexa:
� Un mínimo local es el único mínimo y por ende elúnico mínimo global.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 112
![Page 113: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/113.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función Fuertemente Propiedades de una función Fuertemente CuasiconvexaCuasiconvexa:
� Un mínimo local es el único mínimo y por ende elúnico mínimo global.
� Toda función Estrictamente Convexa también es
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 113
� Toda función Estrictamente Convexa también esFuertemente Cuasiconvexa.
� Toda función Fuertemente Cuasiconvexa esCuasiconvexa.
![Page 114: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/114.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente CuasiconvexaCuasiconvexa: Una función fen E1 es estrictamente cuasiconvexa sobre unconjunto convexo S en En si para dos cualquiera x1, x2
∈ S, tales que f(x1) ≠ f(x2):
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 114
f(αx1 + [1 – α]x2) < max{f(x1),f(x2)}
∀α ∈ (0, 1)
![Page 115: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/115.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
f(αx1 + [1 – α]x2) < max{f(x1),f(x2)}
max{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 115
f(x1)=f(x2)
x1 x2
f(αx1+ [1 – α]x2)
puntos no válidos: f(x1)=f(x2)
![Page 116: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/116.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
f(αx1 + [1 – α]x2) < max{f(x1),f(x2)}
max{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 116
f(x2)
f(x1)
x1 x2
f(αx1+ [1 – α]x2)
No se satisface:
f(αx1 + [1 – α]x2) < max{f(x1),f(x2)}
![Page 117: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/117.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
f(αx1 + [1 – α]x2) < max{f(x1),f(x2)}
max{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 117
Una función estrictamente cuasiconvexa solo
admite un segmento horizontal en el mínimo
f(x2)
f(x1)
x1 x2
f(αx1+ [1 – α]x2)
f(x1*) =f(x2*)
![Page 118: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/118.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función Estrictamente Propiedades de una función Estrictamente CuasiconvexaCuasiconvexa:
� Todo mínimo local es un mínimo global.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 118
![Page 119: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/119.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función Estrictamente Propiedades de una función Estrictamente CuasiconvexaCuasiconvexa:
� Todo mínimo local es un mínimo global.
� Toda función Convexa también es EstrictamenteCuasiconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 119
Cuasiconvexa.
![Page 120: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/120.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función Estrictamente Propiedades de una función Estrictamente CuasiconvexaCuasiconvexa:
� Todo mínimo local es un mínimo global.
� Toda función Convexa también es EstrictamenteCuasiconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 120
Cuasiconvexa.
� Toda función Fuertemente Cuasiconvexa tambiénes Estrictamente Cuasiconvexa.
![Page 121: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/121.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� Propiedades de una función Estrictamente Propiedades de una función Estrictamente CuasiconvexaCuasiconvexa:
� Todo mínimo local es un mínimo global.
� Toda función Convexa también es EstrictamenteCuasiconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 121
Cuasiconvexa.
� Toda función Fuertemente Cuasiconvexa tambiénes Estrictamente Cuasiconvexa.
� No toda función Estrictamente Cuasiconvexa esCuasiconvexa.
![Page 122: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/122.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
Ejemplo 5.8: La siguiente función diferenciable es estrictamente cuasiconvexa pero no cuasiconvexa:
1 x = 0
f(x) = (Karamardian 1967)
0 x ≠ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 122
0 x ≠ 0
![Page 123: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/123.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
Ejemplo 5.8: La siguiente función diferenciable es estrictamente cuasiconvexa pero no cuasiconvexa:
1 x = 0
f(x) = (Karamardian 1967)
0 x ≠ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 123
0 x ≠ 0
1. Solo es posible evaluar si es estrictamente cuasiconvexa para x1 = 0 y x1 ≠ 0 o viceversa de lo contrario f(x1) = f(x2). f(αx1 + [1 – α]x2) < 1
![Page 124: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/124.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
Ejemplo 5.8: La siguiente función diferenciable es estrictamente cuasiconvexa pero no cuasiconvexa:
1 x = 0
f(x) = (Karamardian 1967)
0 x ≠ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 124
0 x ≠ 0
1. Solo es posible evaluar si es estrictamente cuasiconvexa para x1 = 0 y x1 ≠ 0 o viceversa de lo contrario f(x1) = f(x2). f(αx1 + [1 – α]x2) < 1
2. Si x1 > 0, x2 <0 para algun α f(αx1 + [1 – α]x2) = 1
1 > max{f(x1),f(x2)} → f(x) no es cuasiconvexa
![Page 125: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/125.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� FunciónFunción CuasicóncavaCuasicóncava: Una función f en E1 escuasicóncava sobre un conjunto convexo S en En sipara dos puntos cualquiera x1, x2∈S:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ min{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 125
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ min{f(x1),f(x2)}
α ∈(0, 1)
![Page 126: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/126.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
�� FunciónFunción CuasicóncavaCuasicóncava: Una función f en E1 escuasicóncava sobre un conjunto convexo S en En sipara dos puntos cualquiera x1, x2∈S:
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ min{f(x1),f(x2)}
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 126
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ min{f(x1),f(x2)}
α ∈(0, 1)
↓
si f(x1) ≥ f(x2) entonces f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ f(x2) para todo x1, x2 ∈ S.
![Page 127: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/127.jpg)
Convexidad GeneralizadaConvexidad Generalizada
f(αx1 + [1 – α]x2) ≥ min{f(x1),f(x2)}
f(λx1+ [1 – λ]x2)
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 127
f(x1)
f(x2)
x1 x2
min{f(x1),f(x2)}
![Page 128: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/128.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� FunciónFunción CuasiconvexaCuasiconvexa: Una función f en E1
diferenciable sobre un conjunto convexo S ⊂ En escuasiconvexa sobre éste si y sólo si para dos puntoscualquiera x1, x2∈S tales que f(x1) ≤ f(x2) se satisface:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 128
(x1 – x2)T ∇f(x2) ≤ 0
![Page 129: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/129.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� FunciónFunción CuasiconcavaCuasiconcava: Una función f en E1
diferenciable sobre un conjunto convexo S ⊂ En escuasiconcava sobre éste si y sólo si para dos puntoscualquiera x1, x2∈S tales que f(x1) ≥ f(x2) se satisface:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 129
(x1 – x2)T ∇f(x2) ≥ 0
![Page 130: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/130.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
Ejemplo 5.9: Demostrar que la siguiente función diferenciable es cuasiconvexa:
f(x) = x2 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 130
![Page 131: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/131.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
Ejemplo 5.9: Demostrar que la siguiente función diferenciable es cuasiconvexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 131
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2, x2 ≥ x1 →f(x2) ≥ f(x1)
![Page 132: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/132.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
Ejemplo 5.9: Demostrar que la siguiente función diferenciable es cuasiconvexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 132
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2, x2 ≥ x1 →f(x2) ≥ f(x1)
Si f(x) es convexa entonces:
(x1 – x2)T ∇f(x2) ≤ 0
![Page 133: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/133.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
∇f(x) = 2x
(x1 – x2) 2x2≤ 0
2x1x2 – 2x22 ≤ 0
2x1x2 ≤ 2x22
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 133
x1 ≤ x2
![Page 134: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/134.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
∇f(x) = 2x
(x1 – x2) 2x2≤ 0
2x1x2 – 2x22 ≤ 0
2x1x2 ≤ 2x22
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 134
x1 ≤ x2↓
f(x) = x2 – 1 es cuasiconvexa
![Page 135: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/135.jpg)
Conceptos fundamentalesConceptos fundamentales
� Hessiano Bordeado ∇2f(x): Matriz hessiana bordeada de una función f doblemente diferenciable en x es:
∂
∂
∂
∂
x
)f(...
x
)f(0
xx
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 135
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
=∇
kk
2
1k
2
k
k1
2
11
2
1
k1
2
xx
)f(...
xx
)f(
x
)f(...
...
...xx
)f(
xx
)f(
x
)f(xx
)f(
xxx
xxx
x
![Page 136: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/136.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� FunciónFunción CuasiconvexaCuasiconvexa (Condición Necesaria):
Si una función real f doblemente diferenciable sobreun conjunto convexo abierto S ⊂ Rn es cuasiconvexa,entonces:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 136
|∇2f(x)k| ≤ 0 k= 2,…, n
∀x∈S
![Page 137: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/137.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente CuasiconvexaCuasiconvexa (CondiciónNecesaria y Suficiente):
Si una función real f doblemente diferenciable sobreun conjunto convexo abierto S ⊂ Rn es estrictamentecuasiconvexa, entonces:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 137
cuasiconvexa, entonces:
|∇2f(x)k| < 0 k= 1,…, n
∀x∈S
![Page 138: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/138.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Función Cuasiconcava Función Cuasiconcava (Condición Necesaria):
Si una función real f doblemente diferenciable sobre un conjunto convexo abierto S ⊂ Rn es cuasiconcava, entonces:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 138
(– 1)k|∇2f(x)k| ≤ 0 k= 2,…, n
∀x∈S
![Page 139: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/139.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� FunciónFunción EstrictamenteEstrictamente CuasiconcavaCuasiconcava (CondiciónNecesaria y Suficiente):
Si una función real f doblemente diferenciable sobreun conjunto convexo abierto S ⊂ Rn es estrictamentecuasiconcava, entonces:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 139
cuasiconcava, entonces:
(– 1)k|∇2f(x)k| < 0 k= 1,…, n
∀x∈S
![Page 140: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/140.jpg)
Optimización de Funciones Convexas D.Optimización de Funciones Convexas D.
� Teorema de Kuhn-Tucker
(Condición Necesaria y Suficiente)
Dado un problema OC(f, S) fuertemente consistente yf, gk y hj funciones diferenciables continuas convexa,cuasicóncavas y lineales en S, respectivamente, y hj
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 140
cuasicóncavas y lineales en S, respectivamente, y hj
linealmente independientes y ∇gk(x*) ≠ 0 ∀gk(x*) = 0
Si x* es el óptimo de OC(f, S). Entonces, existenvectores λ* y µ* tales que:
∇xL (x*, λ*, µ*) = 0 µ*g(x*) = 0 µ* ≥ 0
![Page 141: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/141.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� FunciónFunción PseudoconvexaPseudoconvexa: Una función real fdiferenciable sobre un conjunto convexo abierto S⊂
Rn es pseudoconvexa sobre éste si para dos puntoscualquiera x1, x2∈ S tales que f(x2) ≥ f(x1) se satisface:
[x2 – x1]T ∇f(x1) ≥ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 141
[x – x ] ∇f(x ) ≥ 0
Una función pseudoconvexa es una función estrictamente
cuasiconvexa que no admite puntos de inflexión
![Page 142: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/142.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Propiedades de una función PseudoconvexaPropiedades de una función Pseudoconvexa:
� Toda función Convexa Diferenciable también esPseudoconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 142
![Page 143: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/143.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Propiedades de una función PseudoconvexaPropiedades de una función Pseudoconvexa:
� Toda función Convexa Diferenciable también esPseudoconvexa.
� Toda función Pseudoconvexa también esEstrictamente Cuasiconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 143
Estrictamente Cuasiconvexa.
![Page 144: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/144.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Propiedades de una función PseudoconvexaPropiedades de una función Pseudoconvexa:
� Toda función Convexa Diferenciable también esPseudoconvexa.
� Toda función Pseudoconvexa también esEstrictamente Cuasiconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 144
Estrictamente Cuasiconvexa.
� Todo mínimo local es un mínimo global.
� Si x* es el mínimo entonces ∇f(x*) = 0.
![Page 145: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/145.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Función Estrictamente PseudoconvexaFunción Estrictamente Pseudoconvexa: Una función real f diferenciable sobre un conjunto convexo S⊂ Rn
es estrictamente pseudoconvexa sobre éste si para dos puntos cualquiera x1, x2 ∈ S, x1 ≠ x2, tales que f(x2) >f(x1) se satisface:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 145
[x2 – x1]T ∇f(x1) ≥ 0
Una función estrictamente pseudoconvexa es una función
fuertemente cuasiconvexa que no admite puntos de inflexión
![Page 146: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/146.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Propiedades de una función Estrictamente Propiedades de una función Estrictamente PseudoconvexaPseudoconvexa:
� Toda función Pseudoconvexa también esFuertemente Cuasiconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 146
![Page 147: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/147.jpg)
Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Propiedades de una función Estrictamente Propiedades de una función Estrictamente PseudoconvexaPseudoconvexa:
� Toda función Pseudoconvexa también esFuertemente Cuasiconvexa.
� El único mínimo local es el único mínimo global.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 147
� El único mínimo local es el único mínimo global.
� Si x* es el mínimo entonces ∇f(x*) = 0.
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Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
Ejemplo 5.10: Demostrar que la siguiente función diferenciable es pseudoconvexa:
f(x) = x2 – 1
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 148
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Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
Ejemplo 5.10: Demostrar que la siguiente función diferenciable es pseudoconvexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 149
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2, x2 ≥ x1 →f(x2) ≥ f(x1)
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Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
Ejemplo 5.10: Demostrar que la siguiente función diferenciable es pseudoconvexa:
f(x) = x2 – 1
Sean dos puntos x1, x2∈R:
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 150
Sean dos puntos x1, x2∈R:
x1 = x1, x2 = x2, x2 ≥ x1 →f(x2) ≥ f(x1)
Si f(x) es convexa entonces:
[x2 – x1]T ∇f(x1) ≥ 0
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Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
∇f(x) = 2x
[x2 – x1] T 2x1≥ 0
(x2 – x1) 2x1≥ 0
2x1x2 – 2x12 ≥ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 151
2x1x2 ≥ 2x12
x2 ≥ x1
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Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
∇f(x) = 2x
[x2 – x1] T 2x1≥ 0
(x2 – x1) 2x1≥ 0
2x1x2 – 2x12 ≥ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 152
2x1x2 ≥ 2x12
x2 ≥ x1↓
f(x) = x2 – 1 es pseudoconvexa
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Optimización de Funciones Convexas D.Optimización de Funciones Convexas D.
� Teorema de Kuhn-Tucker
(Condición Necesaria y Suficiente)
Dado un problema OC(f, S) fuertemente consistente y f, gk y hj funciones diferenciables sobre un conjunto convexo abierto S⊂ Rn.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 153
convexo abierto S⊂ Rn.
Si f es pseudoconvexa y todas las gk(x*) = 0 son cuasiconcavas y las hj son cuasiconvexas y cuasiconcavas (es decir, están acotadas).
Si x* es el óptimo global de OC(f, S)
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Optimización de Funciones Convexas D.Optimización de Funciones Convexas D.
Entonces, existen vectores λ* y µ* tales que:
∇xL (x*, λ*, µ*) = 0
µk* gk(x*) = 0 k=1,…,m
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 154
gk(x*) ≥ 0 k=1,…,m
hj(x*) = 0 j=1,…,p
µ* ≥ 0
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Optimización de Funciones Convexas D.Optimización de Funciones Convexas D.
ó
∇x,λL (x*, λ*, µ*) = 0
µk* gk(x*) = 0 k=1,…,m
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 155
gk(x*) ≥ 0 k=1,…,m
µ* ≥ 0
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Convexidad Generalizada DiferenciableConvexidad Generalizada Diferenciable
�� Función PseudocóncavaFunción Pseudocóncava: Una función f en E1
diferenciable sobre un conjunto convexo S en En es pseudocóncava sobre éste si para dos puntos cualquiera x1, x2 ∈ S tales que f(x2) ≤ f(x1) se satisface:
[x2 – x1]T ∇f(x1) ≤ 0
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 156
[x – x ] ∇f(x ) ≤ 0
Si una función es pseudoconvexa y
pseudoconcava es llamada pseudolineal
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Optimización de Funciones Convexas D.Optimización de Funciones Convexas D.
Ejemplo 5.11:
min 6(x1– 10)2 + 4(x2– 25)2
s. a:
x12+ (x2– 5)2 ≤ 50
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 157
x12+ 3x22 ≤ 200
(x1– 6)2+ x22 ≤ 37
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Optimización de Funciones Convexas D.Optimización de Funciones Convexas D.
Ejemplo 5.12:
min 6(x1– 10)2 + 4(x2– 25)2
s. a:
x12+ (x2– 5)2 ≤ 50
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 158
x12+ 3x22 ≤ 200
x1 – 6sen2(x2) = 1
![Page 159: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/159.jpg)
ResumenResumen
� Mínimo de una función f: x*∈S y inf(f(x))=f(x*).
� Teorema de Weierstrass (Condición de suficiencia para la existencia de un mínimo): S es compacto y f función continua.
� Función Convexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 159
� Función Convexa.
� Función Estrictamente Convexa: no admite segmentos rectos.
� Función Cóncava.
� Si f(x) es convexa entonces –f(x) es cóncava, y viceversa.
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ResumenResumen
� Propiedades de un función convexa:
� Si una función f es convexa y k ≥ 0 entonces kf esconvexa.
� La suma de dos funciones convexas es una funciónconvexa.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 160
convexa.
� Composición de funciones convexas.
� Todo mínimo local de una función convexa f es unmínimo global de f.
� Todo mínimo local de una función estrictamente esel único mínimo global sobre todo S.
![Page 161: ClaseNL05S0109](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060112/5571f29149795947648cbbe6/html5/thumbnails/161.jpg)
ResumenResumen
� Problema de optimización convexa: OC(f, S).
� Teorema de Kuhn-Tucker.
� Condición de Slater.
� Función Convexa Diferenciable.
�
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 161
� Función Estrictamente Convexa Diferenciable.
� Si x* es una solución óptima.
Entonces ∇f(x*)T(x–x*) ≥ 0 para todos los x∈S
Si S es un conjunto abierto:
Entonces ∇f(x*) = 0
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ResumenResumen
� Función Cuasiconvexa.� Función Fuertemente Cuasiconvexa: no admite segmentos horizontales� Un mínimo local es el único mínimo y por ende elúnico mínimo global.
� Función Estrictamente Cuasiconvexa: solo admite un
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 162
� Función Estrictamente Cuasiconvexa: solo admite un segmento horizontal en el mínimo.� Todo mínimo local es un mínimo global.
� Función Cuasiconvexa Diferenciable. � Función Cuasicóncava Diferenciable,� Hessiano Bordeado ∇2f(x).
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ResumenResumen
� Teorema de Kuhn-Tucker: gk cuasicóncavas .
� Función Pseudoconvexa: similar a una estrictamente cuasiconvexa.
� Todo mínimo local es un mínimo global.
� Si x* es el mínimo entonces ∇f(x*) = 0.
Programación No Lineal – Prof. Gonzalo Müller – Clase 5 – NC&GM – 163
� Si x es el mínimo entonces ∇f(x ) = 0.
� Teorema de Kuhn-Tucker: f es pseudoconvexa, hj son cuasiconvexas y cuasiconcavas.