Clase1_Optimizacion_UNEFA

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Licda. Alexandra Noguera MSc Licda. Alexandra Noguera MSc © UNEFM 2013© UNEFM 2013

Optimización no linealOptimización no lineal

Fundamentos de OptimizaciónFundamentos de Optimización

Clase 1Clase 1

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CONTENIDO

• Espacio Vectorial. Dependencia Lineal. Producto Interno• Norma de un Vector. Vectores Ortogonales. Base Ortogonal. Subespacio. Matrices. Autovales y Autovectores• Formas Cuadráticas asociadas a una matriz. Conjuntos Convexos

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Espacio vectorialDEF.: un espacio vectorial V es un conjunto no vacío con reglas de adición y multiplicación por escalar que asignan a todo u, v V una suma u + v V y a todo u V , r R un producto r.u V que cumplen las siguientes condiciones:

(1) Para todo u, v, w V , (u+v)+ w = u +( v+w) (2) Existe un elemento en V , denotado por 0, tal que u+0 = u para todo u V (3) Para todo uV, existe un elemento en V, denotado por –u, tal que u +(-u) = 0 (4) Para todo u, v V , u+ v = v + u (5) Para todo r R y todo u, v V , r (u + v) = r.u + r.v (6) Para todo r, s R y todo u, v V , (r + s)u = r.u + s.u (7) Para todo r, s R y todo u, v V , (r.s)u = r.(s.u) (8) Para todo u V , 1.u = u

Los elementos de V, se refieren como vectores.

Ejemplo 1Ejemplo 1

Sean u=(u1,u2,u3) v=(v1,v2,v3) y w=(w1,w2,w3) Demostrar que ellos conforman un espacio vectorial

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Combinación Lineal

Dado un espacio vectorial, se dice que el conjunto de vectores que lo conforman es una combinación lineal (c.l.) cuando existen escalares c1,c2,…,cn tales que, los vectores pueden ser expresados como combinación lineal junto con los escalares.

V=c1v1+c2v2+…+cnvn

Ejemplo 2Sea el conjunto de vectores S={v1,v2,v3} en donde: v1= (2,-1,0,3), v2= (1,2,5,-1) y v3= (7,-1,5,8). Determine si estos vectores conforman una combinación lineal.

Solución:

v1= (2,-1,0,3) 3.v1= 3(2,-1,0,3)= (6,-3,0,9)

3v1+ v2 - v3= (6,-3,0,9)+ (1,2,5,-1)- (7,-1,5,8)

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Dependencia Lineal

Ejemplo 3

Por lo estudiado anteriormente, se sabe que un espacio vectorial V es generado por un conjunto de vectores S={ v1,v2,…,vr }, si cada vector en V es una combinación lineal de v1,v2,…,vr. Los conjuntos generados resultan útiles en una gran diversidad de problemas ya que, a menudo, es posible estudiar un espacio vectorial V estudiando primero los vectores de un conjunto generador S y, a continuación, extendiendo los resultados hacia el resto de V.

Por lo tanto, conviene mantener el conjunto generador S tan pequeño como sea posible. El problema de encontrar los conjuntos generadores más pequeños para un espacio vectorial depende de la noción de independencia lineal, la cual estudiaremos a continuación.

Def.: un conjunto de vectores es linealmente dependiente si un vector en dicho conjunto es una combinación lineal de los otros.

Un conjunto de un vector es linealmente dependiente si ese vector es el vector nulo.

Sea el conjunto de vectores S={v1,v2,v3} en donde: v1= (2,-1,0,3), v2= (1,2,5,-1) y v3= (7,-1,5,8). Determine si estos vectores forman un conjunto linealmente dependiente.

Solución:

v1= (2,-1,0,3) 3.v1= 3(2,-1,0,3)= (6,-3,0,9)

3v1+ v2 - v3= (6,-3,0,9)+ (1,2,5,-1)- (7,-1,5,8) = (0,0,0)

Por lo tanto, estos vectores son linealmente dependientes.

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Dependencia Lineal

Dados los vectores: A=(3 2) B=(-6 -4) verifique si son linealmente dependientes

Ejemplo 3Determine si los polinomios P1= 1-x , P2= 5+3x-2x2 y P3= 1+3x-x2 forman un conjunto de polinomios linealmente dependientes.

Solución:

3P1 – P2 + 2P3 = 0

Ej. Propuesto

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Independencia LinealDef.: Si S={ v1,v2,…,vr } es el conjunto de vectores, entonces la ecuación vectorial:

k1v1 + k2v2 +…+knvn = 0

tiene al menos una solución, a saber: k1=0, k2=0,…, kn =0. Si ésta es la única solución, entonces S recibe el nombre de conjunto linealmente independiente.

Considérense los vectores i=(1,0,0), j=(0,1,0) y k=(0,0,1) en R3. En términos de sus componentes, la ecuación vectorial:

k1i + k2j+k3k = 0

se convierte en: k1(1,0,0) + k2(0,1,0)+k3(0,0,1) = (0,0,0)

o, lo que es equivalente: (k1, k2, k3) = (0,0,0)

Por lo tanto: k1=0, k2=0 y k3=0

como consecuencia, el conjunto S={i,j,k} es linealmente independiente.

Ejemplo 4

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Producto Interno

DEFINICIÓN: Si u y v son vectores en los espacios bidimensional y tridimensional y es el ángulo entre u y v, entonces el producto escalar (punto) o producto euclidiano interior u.v se define por:

cos , si u 0 y v 0.

0 si u 0 ó v 0

u vuv

Calcule el producto euclidiano interior de los vectores u=(0,0,1) y v=(0,2,2), sabiendo que el ángulo que forman es de 45º tal y como se muestran en la siguiente figura:

Ejemplo 4

Dados los vectores: A=(1,1,1) B=(0,2,-1) calcule su producto interior

Ejercicio PropuestoEjercicio Propuesto

y

x

(0,2,2)

z

0

=45º (0,0,1)

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