CINEMATICA DIRECTA E INVERSA DE UN ROBOT DE 4 GRADOS DE LIBERTAD

2012-B ROBTICA CINEMTICA DEL ROBOT 4DOF - RPPR

1

CINEMATICA DIRECTA E INVERSA DE UN ROBOT

4DOF RPPR

Cuya Solari, Omar Antonio

[email protected]

Flores Bustinza, Edwing Irwing

[email protected]

Torres Chavez, Jonathan Emmanuel

[email protected]


2

En el presente informe se desarrolla el anlisis de la cinemtica directa e inversa

de un Robot de cuatro grados de libertad del tipo Revoluta Prisma Prisma

Revoluta que podemos observar en la figura N1.

Figura N1.- Robot 4DOF - RPPR

El proceso del desarrollo de la cinemtica del robot se basa en el problema de

hallar la posicin y orientacin del efector final del robot (ltimo eslabn) para los

valores de las coordenadas articulares del robot (cinemtica directa) y viceversa

(cinemtica inversa).

Figura N2.- Cinemtica del Robot

I.- Cinemtica Directa

Para comenzar el anlisis, abordaremos el tema de la cinemtica directa. Primero

debemos establecer los frames o ejes de referencia para cada juntura presente en

el robot. Ante tal situacin emplearemos el algoritmo de Denavit-Hartenberg,

mediante el cual obtendremos matrices de transformacin homognea para cada

grado de libertad. Cada matriz homognea tendr la informacin de la posicin,

orientacin, perspectiva y escala de sus ejes coordenados correspondientes o

frames, respecto a ejes anteriores o de referencia.

La estructura de la matriz de transformacin homognea se presenta a

continuacin:

Posicin y orientacin del efector final del robot

(x,y,z,,,)

Valor de las Coordenadas articulares

(q1, q2,,qn)

DIRECTA

INVERSA


3

Figura N3.- Estructura de una matriz homognea

Algoritmo Denavit - Hartenberg

Este algoritmo realiza una secuencia de traslaciones y rotaciones del frame

mundial a lo largo de los eslabones del robot, por tal motivo el algoritrmo tiene

por objetivo encontrar una tabla por eslabn que describa los cambios en

rotacin y traslacin de los ejes X y Z. Entre esos cambios se consignaran los

valores de articulaciones (REVOLUTAS O PRISMATICAS) que posea el robot.

Para obtener la tabla con la informacin de las articulaciones de nuestro robot,

utilizaremos una secuencia de pasos que se detallan seguidamente:

1. Debemos enumerar los eslabones, comenzando con 1 (primer eslabn

mvil de la cadena) y acabando con 4 (el ltimo eslabn mvil).

Consideraremos el eslabn 0 a la base fija del robot.

Figura N4.- Numeracin de eslabones

2. El siguiente paso es enumerar cada articulacin


4

Figura N5.- Numeracin de articulaciones

3. Localizamos los ejes de cada rotacin. Si se trata de una articulacin

rotativa, el eje ser su propio eje de giro; si es prismtica, ser a lo largo

del eje del cual se produce el desplazamiento. A su vez indicaremos sus

dimensiones:

Figura N6.- Sistema de coordenadas del robot RPPR

Los pasos anteriores permitirn hallar las matrices homogneas que son

necesarias para hallar las relaciones matemticas entre los sistemas

coordenados. Por tanto un sistema de coordenadas (Si) definido segn el


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algoritmo D-H se relaciona con el siguiente sistema de coordenadas mediante

cuatro parmetros: i (rotacin con respecto al eje z), di (traslacin con

respecto al eje z), i (traslacin con respecto al eje x), ai (rotacin con

respecto al eje x), los cuales sern indicados mediante la siguiente tabla:

i di i ai

1 q1 l1 0 0

2 0 q2 -a2 -pi/2

3 0 q3 0 0

4 q4 l4 0 0

Figura N7.- Denavit Hartenberg

Estos parmetros D-H nos servirn para hallar las matrices de transformaciones

homogneas para cada eslabn respecto al frame mvil anterior, definidas

segn la siguiente matriz:

Figura N8.- Matriz Homognea Denavit Hartenberg

Es importante recalcar que esta matriz ha sido resultado de las transformaciones

de derecha a izquierda de cada matriz de transformacin de coordenadas, esta

secuencia es la siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )

Una vez realizado el anlisis anterior emplearemos el software Matlab para

obtener las matrices de transformacin homognea de cada eslabn del robot.

Describiremos la programacin realizada:


6

a) Antes de comenzar nuestro programa debemos entonces crear una funcin que

realice el algoritmo D-H y que luego ser utilizada en nuestro programa

principal.

Esta funcin debe contener los parmetros: i (giro con respecto al eje ), di (traslacin con respecto al eje ), i (traslacin con respecto al eje ), ai (rotacin con respecto al eje ), y su resultado debe ser devuelto en una matriz.

% Funcin Denavit-Hartenberg

function dh=denavit(a,alpha,d,theta)

dh=[cos(theta) -cos(alpha)*sin(theta) sin(alpha)*sin(theta) a*cos(theta) sin(theta) cos(alpha)*cos(theta) -sin(alpha)*cos(theta) a*sin(theta) 0 sin(alpha) cos(alpha) d 0 0 0 1];

b) En primer lugar declararemos los parmetros fsicos del robot, las coordenadas

articulares y parmetros Denavit-Hartenberg

clear all; close all; clc % CINEMATICA DIRECTA Robot RPPR

a2=0.1; l4=0.1; l1=0.2; g1=0.05; g2=0.05; g3=0.05; g4=0.05; % Coordenadas Articulares Iniciales q = [0 0.1 0.2 pi/4]; %------------------------------------------------------------------------ q1 = q(1); % Revoluta q2 = q(2); % Prismtica q3 = q(3); % Prismtica q4 = q(4); % Revoluta

%------------------------------------------------------------------------ % Parmetros DH del robot % % Parmetros Denavit-Hartenberg del robot % theta = [q1 0 0 q4 ]; % d = [l1 q2 q3 l4]; % a = [0 -a2 0 0 ]; % alpha = [0 -pi/2 0 0 ]; %------------------------------------------------------------------------ % Parmetros Denavit-Hartenberg del robot % a alpha d theta PD=[ 0 0 l1 q1 -a2 -pi/2 q2 0 0 0 q3 0 0 0 l4 q4 -g1 0 0 0 0 0 g2 0 g3 0 0 0 0 0 g4 0];

%------------------------------------------------------------------------

De lo anterior debemos observar que en la etapa de los parmetros Denavit-

Hartenberg existen cuatro lneas auxiliares. El motivo de la creacin de stas se


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debe a que el efector final nicamente es un punto, para fines de simulacin y

correcta visualizacin se ha creado un Gripper que slo contemplara rotacin

respecto al efector final:

Figura N 9.- Efector final Gripper

Este gripper posee las dimensiones mencionadas en la figura anterior. Para su

creacin se ha empleado el concepto de Frames Fantasmas (Ghost Frames). La

razn por la cual se emplean estos tipos de sistemas de referencia fantasma se

debe bsicamente a que para pasar de un sistema de referencia al de la siguiente

articulacin, en algunos casos (dependiendo del tipo de robot) no podemos

hacerlo de manera directa. Entonces necesitamos generar sistemas de referencia

fantasmas (no forman parte directa del robot) para mediante el uso del algoritmo

Denavit-Hartenberg, poder llegar a la siguiente articulacin del robot.

En esta ocasin no se est empleando este concepto en su totalidad, sino con

fines ilustrativos. Sucede que si nos planteamos el movimiento del cuarto

eslabn notaremos que realiza un movimiento rotacional alrededor de su eje z, el

cual no podr ser visualizado de manera clara mediante un simulador. Por tal

razn elaborar un efector final mediante frames fantasmas o adicionales

permitir visualizar el movimiento producto de la articulacin q4. Ya que el

gripper no incrementar los grados de libertad del robot pero si nos permitir

visualizar la evolucin de la ultima juntura.

Bsicamente podemos describir el comportamiento de los frames fantasmas

mediante la figura N 10 que mostramos a continuacin:


8

Figura N10.- Frames fantasmas S5, S6, S7, S8

Claramente podemos encontrar este anlisis mediante Denavit Hartenberg en la

programacin realizada en Matlab:

c) El siguiente paso es conocer las matrices de transformacin homognea para

cada articulacin

% Matrices de transformacin homognea para cada artiuclacin A01 = denavit(PD(1,1),PD(1,2),PD(1,3),PD(1,4));% eslabon 1 movil


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A12 = denavit(PD(2,1),PD(2,2),PD(2,3),PD(2,4));% eslabon 2 movil A23 = denavit(PD(3,1),PD(3,2),PD(3,3),PD(3,4));% eslabon 3 movil A34 = denavit(PD(4,1),PD(4,2),PD(4,3),PD(4,4));% efector final Ag1 = denavit(PD(5,1),PD(5,2),PD(5,3),PD(5,4)); Ag2 = denavit(PD(6,1),PD(6,2),PD(6,3),PD(6,4)); Ag3 = denavit(PD(7,1),PD(7,2),PD(7,3),PD(7,4)); Ag4 = denavit(PD(8,1),PD(8,2),PD(8,3),PD(8,4));

d) Una vez declaradas las matrices que describen la posicin y orientacin de los frames de los eslabones del robot, pasaremos a postmultiplicar cada notacin para obtener el frame actual respecto del anterior (tener en cuenta que el anterior esta en base al frame solidario). Luego en el caso del efector final se tendr su posicin y orientacin respecto al frame solidario OXYZ.

S0=eye(4); %frame fijo (matriz identidad 4x4) S1=A01*S0; % posicin y orientacin frame 1 (respect. al fijo xyz) S2=A01*A12; % posicin y orientacin frame 2 (respct. al movil 1) S3=A01*A12*A23; % posicin y orientacin frame 3 (respect. al movil 2) S4=A01*A12*A23*A34; % posicin y orientacin frame 4(efector final) S5=S4*Ag1; % PARA EL GRIPPER S6=S5*Ag2; % PARA EL GRIPPER S7=S4*Ag3; % PARA EL GRIPPER S8=S7*Ag4; % PARA EL GRIPPER

e) Luego extraeremos los datos de posicin de cada eslabn para el ploteo del robot.

%Extrayendo datos de eslabones para ploteo P0=[S0(1,4) S0(2,4) S0(3,4)]; P1=[S1(1,4) S1(2,4) S1(3,4)]; P2=[S2(1,4) S2(2,4) S2(3,4)]; P3=[S3(1,4) S3(2,4) S3(3,4)]; P4=[S4(1,4) S4(2,4) S4(3,4)]; P5=[S5(1,4) S5(2,4) S5(3,4)]; P6=[S6(1,4) S6(2,4) S6(3,4)];

P7=[S7(1,4) S7(2,4) S7(3,4)]; P8=[S8(1,4) S8(2,4) S8(3,4)];

f) Finalmente realizaremos los ploteos de los sistemas de referencia de cada

articulacin (incluyendo los frames fantasmas) y un prototipo del robot de 4DOF

del tipo RPPR que est siendo sujeto a anlisis.

%-----------------------------ploteos------------------------------------ figure plot3([P0(1) P1(1)],[P0(2) P1(2)],[P0(3) P1(3)],'c','LineWidth',4) hold plot3([P1(1) P2(1)],[P1(2) P2(2)],[P1(3) P2(3)],'r','LineWidth',4) plot3([P2(1) P3(1)],[P2(2) P3(2)],[P2(3) P3(3)],'g','LineWidth',4) plot3([P3(1) P4(1)],[P3(2) P4(2)],[P3(3) P4(3)],'m','Linewidth',4) plot3([P4(1) P5(1)],[P4(2) P5(2)],[P4(3) P5(3)],'b','Linewidth',4) plot3([P5(1) P6(1)],[P5(2) P6(2)],[P5(3) P6(3)],'b','Linewidth',4) plot3([P4(1) P7(1)],[P4(2) P7(2)],[P4(3) P7(3)],'b','Linewidth',4) plot3([P7(1) P8(1)],[P7(2) P8(2)],[P7(3) P8(3)],'b','Linewidth',4) hold frame(S0,'b',0.05),hold,frame(S1,'b',0.05),hold,frame(S2,'b',0.05)


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hold,frame(S3,'b',0.05),hold,frame(S4,'b',0.05) axis([-0.5 0.5 -0.5 0.5 0 0.5]) rotate3d,grid,view(149,54)

g) Por ltimo mostraremos en pantalla los resultados obtenidos

%----------------------------resultados---------------------------------- disp('-----------------------------------------------------------------') disp('------------------MATRIZ DE TH (ESLABON 4)-----------------------') disp(S4) disp('-----------------------------------------------------------------') disp('------------------MATRIZ DE TH (ESLABON 3)-----------------------') disp(S3) disp('-----------------------------------------------------------------') disp('-------------------MATRIZ DE TH (ESLABON 2)----------------------') disp(S2) disp('-----------------------------------------------------------------') disp('-------------------MATRIZ DE TH (ESLABON 1)----------------------') disp(S1) disp('-----------------------------------------------------------------') disp('---------------------MATRIZ DE TH (Fijo)-------------------------') disp(S0) disp('-----------------------------------------------------------------')

Para conocer los resultados ejecutamos el programa y obtenemos las siguientes

matrices de transformacin homogneas:


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Figura N11.- Matrices d Transformacin Homognea del Robot

RPPR de 4 grados de libertad

El grfico obtenido a partir de los comandos de ploteo es el siguiente:


12

Figura N12.- Simulacin del Robot RPPR de 4 grados de libertad

Claramente podemos observar en la figura anterior la estructura del robot, los

sistemas de referencia por cada articulacin incluyendo el Frame de la base fija

del robo. Debemos mencionar que el efector se encuentra con esa posicin final y

orientacin debido a las coordenadas articulares iniciales dadas al robot:

% Coordenadas Articulares Iniciales q = [0 0.1 0.2 pi/4];

As, nuestro robot posee un revoluta que no ha sido girada con respecto a su eje z

(color celeste), un primer prisma cuya longitud inicial es de 0.1 unidades (color

rojo), un segundo prisma cuya longitud inicial es de 0.2 unidades (color verde) y

una revoluta (color rosado) unida a un efector (color azul) que han sido rotadas

45 (pi/4).

Comprobacin con el Toolbox Corke de Matlab

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.5

0

0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Eje X

ZY

X

Z

Y

X

Z

Y

Y

Y

X

Z

Z

X

X

Eje Y

Eje

Z


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Primero insertaremos la tabla D-H para este robot siguiendo el formato del toolbox Corke para cada eslabn o link, adems de crear el objeto con titulo y con parmetros D-H ya declarados: Toolbox Corke con FKINE %---------------------------------------------- % alpha a theta d sigma offset %----------------------------------------------- L{1}=link([0 0 q1 l1 0 0]); L{2}=link([-pi/2 -a2 0 q2 1 0]); L{3}=link([ 0 0 0 q3 1 0]); L{4}=link([ 0 0 q4 l4 0 0]); R4=robot(L,'R4','LD954','Robot 4DOF (RPPR)'); R4.name='\bf Robot RPPR'; R4.manuf='LD954';

Luego declararemos valores de color para las lneas, sombra y ajustes de escala para el ploteo: R4.plotopt={'workspace',[-0.5 0.5 -0.5 0.5 -1 0.5]}; R4.lineopt={'color','blue','LineWidth',4}; R4.shadowopt={'color','black','LineWidth',2};

Ahora escribiremos en pantalla la funcin FKINE que nos la posicin y orientacin del efector final del robot configurado en el toolbox (R4) relativo a la matriz de articulaciones declaradas al inicio del cdigo. Esta matriz FKINE deber comprobarse con la matriz hallada en el cdigo puro anterior S4: T=fkine(R4,q);

drivebot(R4,q); disp('--------------------------------------------') disp('Matriz de Transformacion Homogenea FKINE') disp(T) disp('--------------------------------------------') view(149,54)


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Figura N13.- Simulacin del robot RPPR con el toolbox de Corke Matlab

II.- Cinemtica Inversa

Continuando con el anlisis del robot, ahora abordaremos la parte de la

cinemtica inversa. Bsicamente podemos hallarle dos utilidades:

Permite verificar si las variables correspondientes a los grados de libertad

ingresados son las correctas de acuerdo a la posicin del efector final

resultante.

Para poder ingresar alguna posicin final en la cual se colocar el efector

del robot. Debemos indicar al respecto que esta aplicacin tiene lugar en

robots que no poseen gran nmero de revolutas.

Para llevar a cabo la cinemtica inversa realizamos un anlisis geomtrico:

a) Planteamos una vista superior del robot. Para estos fines rotamos la primera

revoluta 45 y la cuarta revoluta 60. Los primas siguen teniendo las mismas

longitudes:

-0.5

0

0.5

-0.5

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5

XY

Z Robot RPPR

xyz


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Figura N14.- Anlisis Geomtrico del Robot 4DOF RPPR (Plano X0, Y0)

b) Del grfico anterior podemos deducir las siguientes ecuaciones:

Primera Articulacin:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

(

) (

)


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Segunda Articulacin:

Tercera Articulacin:

Cuarta Articulacin:

Para llevar a cabo este anlisis tomamos otra vista del robot. La vista que

tendremos en la figura 14 ser la del efector y la comparacin entre los frames 3 y

4. En este caso aparecer la ltima juntura q4, cuyo valor lo encontraremos

vectorialmente:

Figura N15.- Anlisis Geomtrico del Robot 4DOF RPPR (Plano X3, Y3)

Sabemos que el producto escalar de dos vectores se define como:

| || |


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Entonces utilizaremos esta herramienta matemtica para describir los siguientes

vectores:

| || | ( ) ( )

| || | ( ) ( )

De aqu nos damos cuenta que es posible obtener el valor de la juntura q4

fcilmente. Pero resulta importante detallar que los vectores son

parte de la matriz de transformacin homognea hallada anteriormente para cada

eslabn:

[

]

Por lo tanto de nuestro cdigo fuente obtendremos:

( )

( )

( )

( )

Para finalmente:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ( ) ( ))

c) Una vez obtenida la cinemtica inversa empleamos el software Matlab para

simular y verificar resultados. Entonces a la programacin desarrollada para la

cinemtica directa le adicionamos lo siguiente:

En un nuevo editor crear la funcin cinversa que implementar las ecuaciones

halladas de forma geomtrica explicada en los tems a y b y que permitir

verificar los valores de las coordenadas articulares iniciales.


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function qi = cinversa1(T,q1,q2,q3,q4,l1,l4,a2)

%------------------------------------------------------------------------

%DEVUELVE EL VERCTOR DE CORRDENADAS ARTICULARES QUE CORRESPONDE %------------------------------------------------------------------------

%Posicin del Efector Final %------------------------------------------------------------------------

p=T(1:3,4); %Px = p(1), Py = p(2), Pz = p(3) %------------------------------------------------------------------------

%Parametros DH %------------------------------------------------------------------------ teta= [q1 0 0 q4]; d=[l1 q2 q3 l4]; a=[0 -a2 0 0]; alpha=[0 -pi/2 0 0];

%------------------------------------------------------------------------ % a alpha d theta %------------------------------------------------------------------------

PD=[ 0 0 l1 q1 -a2 -pi/2 q2 0 0 0 q3 0 0 0 l4 q4]; %------------------------------------------------------------------------

%Articulacin 1 R=sqrt(p(1)^2+p(2)^2); r=sqrt(R^2-a(2)^2); sphi=-p(1)/R; cphi=p(2)/R; phi=atan2(sphi,cphi); sbeta=-a(2)/R; cbeta=r/R; beta=atan2(sbeta,cbeta); q1i=phi-beta; %------------------------------------------------------------------------ %Articulacion 2 q2i=p(3)-d(1); %Pz-L1 %------------------------------------------------------------------------ %Articulacion 3 q3i=r-d(4); %r-L4 %------------------------------------------------------------------------ %Articulacion 4 A01 = denavit(PD(1,1),PD(1,2),PD(1,3),q1i); A12 = denavit(PD(2,1),PD(2,2),PD(2,3),PD(2,4)); A23 = denavit(PD(3,1),PD(3,2),q2i,PD(3,4)); A34 = denavit(PD(4,1),PD(4,2),q3i,PD(4,4)); A03=A01*A12*A23; y3 =A03(1:3,2); sq4=dot(T(1:3,1),y3); %Definimos el producto escalar x4.y3 cq4=dot(T(1:3,2),y3); %Definimos el producto escalar y4.y3 q4i=atan2(sq4,cq4);

%------------------------------------------------------------------------ %Declaramos la matriz final qi qi=[q1i*180/pi q2i q3i q4i*180/pi];


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Recordar que debemos cambiar las coordenadas articulares iniciales en la cinemtica directa, con la finalidad de verificar junturas revolutas y prismticas del robot:

% Coordenadas Articulares Iniciales q = [pi/4 0.1 0.2 pi/3];

En el programa principal incluimos lo siguiente:

%------------------------------------------------------------------------ %Coordenadas insertadas al inicio q = [(q1*180/pi) q2 q3 (q4*180/pi)]; disp('--------------Coordenadas Iniciales---------------') disp(q); %------------------------------------------------------------------------ %Cinematica Inversa Robot RPR qi = cinversa1(S4,q1,q2,q3,q4,l1,l4,a2); disp('--------------Coordenadas Finales-----------------') disp(qi); %------------------------------------------------------------------------

Para conocer los resultados ejecutamos el programa:

Finalmente la posicin robot se observa grficamente:

Figura N16.- Simulacin del Robot RPPR de 4 grados de libertad

-0.5

0

0.5

-0.5

0

0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

ZY

X

ZYX

Eje X

Z

Y

Y

YX

Z

Z

X

X

Eje Y

Eje

Z


20

III.- Implementacin de la cinemtica directa e inversa en LABVIEW CODIGO

PURO.

Teniendo en cuenta lo trabajado en el cdigo Matlab para la cinemtica directa e

inversa de este robot, nos disponemos a pasar cada lnea de cdigo al software

Labview en programacin grafica y utilizando SubVIs por cuestin de orden y

sntesis para el cdigo.

Figura N17.- Panel Frontal

Contenido por SubVi

Para implementar la cinemtica directa e inversa del robot en Labview se tendrn

en cuenta los siguientes SubVIs que han sido creados:

SubVI D-H.

Tratamiento de parmetros D-H y generacin de matrices TH para los

eslabones.

Extraccin de coordenadas para el ploteo.

Cinemtica inversa (Para comprobacin).

Cinemtica inversa (Para insertar los datos de la posicin del efector final).

Como se observa nuestro panel frontal presenta dos modos de operacin en un

men ring cuyo men se describe a continuacin:


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a) El primero, recibe datos en TEACH PENDANT de las articulaciones

individualmente, esos valores se procesarn de acuerdo al diagrama de bloques

del caso 0 que se detallar ms adelante, del cual se obtendrn las posiciones

del efector final a travs de las matrices de transformacin homognea que

tambin sern calculadas para finalmente extraer los datos de posicin del

efector final y eslabones para graficarlos con la herramienta CURVE 3D y as

visualizar de forma interactiva el movimiento de nuestro robot. Esta opcin

permite comprobar los datos ingresados en las articulaciones a travs de un

SubVi con la cinemtica inversa.

Figura N18.- Resumen panel frontal

b) La segunda opcin la hemos llamado Modo Coordenada P(x,y,z), aqu el

cdigo habilita un men como el siguiente:

Mediante esta opcin el cdigo procesar un punto insertado cualesquiera para el

efector final, es decir podr dirigir al robot hacia un punto. Con este dato el

cdigo calcular los valores de las junturas mediante un Vi de cinemtica

inversa. ste SubVi arrojar un arreglo con las junturas calculadas para dicha

accin, luego las ingresar a la cinemtica directa que generar las matrices para

cada eslabn y posicionar al efector final del robot en el punto insertado.


22

Con estas pautas generales se presentar los diagramas de bloques para el cdigo

en general para cada caso expuesto:

Caso 0:

Caso 1:


23

1.- SubVI DENAVIT - HARTENBERG

El SubVI tiene la siguiente estructura en el panel frontal:

Figura N19.- Panel frontal SubVi D-H

Luego en el panel de bloques programaremos la estructura de la matriz TH de

Denavit - Hartenberg de la figura 8:

Figura N 20.- Panel de Bloques SubVi D-H.

Usaremos esta notacin para asignar las matrices D-H respectivas para cada

eslabn.

Coeficientes de

la matriz D-H

Matriz D-H


24

2.- Tratamiento de parmetros D-H y generacin de matrices TH para los

eslabones.

En este SubVi se toman en cuenta las siguientes las entradas: parmetros D-H

fijos, articulaciones insertadas (en modo Teach Pendant o Modo coordenada).

Estos valores servirn para obtener en la salida del SubVI las matrices de TH de

cada eslabn mvil (S1, S2, S3, S4) respecto al mundial, adems de los

eslabones fijos para el gripper (S5, S6, S7 y S8) y el eslabn solidario que refiere

al frame solidario S0. La tabla de parmetros D-H general tambin es

construida y mostrada en la salida.

Figura N 21.- Panel Frontal del SubVI DH+Si

Para lograr lo explicado anteriormente, tenemos el diagrama de bloques que se

observa en la Figura 22. Aqu sectorizamos el cdigo en dos estructuras Flat

Sequence:

a) La primera contiene un cdigo que procesa los nmeros escalares L1, L4, a2 y

las articulaciones q1, q2 , q3, q4 para ser ingresados a los arreglos d, theta, a y

alpha que representan a los parmetros D-H del robot, usando la herramienta

Replace Array Subset, la cual nos permite reemplazar el valor en una posicin

de un arreglo o ndice por otro valor, de esta forma construir la tabla D-H

general con un Reshape Array para convertir el arreglo fila en una columna de

4 elementos luego a un Build Array para apilar todas las columnas y generar la

tabla solo aplicando transpuesta a todo el arreglo.

A su vez se observa que los valores completos de la tabla general D-H son

extrados uno a uno por cada fila (es decir por eslabn) para ingresar a la

siguiente parte de la estructura.


25

Figura N 22.- Panel de bloques

b) Aqu se procesarn estos valores por eslabn con el propsito de encontrar las

matrices de D-H (A01, A12, A23 y A34) de cada uno utilizando el SubVI anterior

de D-H. Luego pasamos a calcular las matrices de transformacin homognea

para cada eslabn, pero estas matrices describirn su posicin y orientacin

respecto al frame mundial (S1, S2, S3, S4), para ello hacemos producto matricial

siguiendo el algoritmo ya explicado. Finalmente obtendremos en el ltimo

producto la matriz del efector final S4, la cual es importante para el cdigo,

pues con esto hemos logrado pasar el algoritmo aprendido en clase y comprobado

antes en Matlab, a Labview con xito.

c) Como parte extra hemos hecho un VI para el gripper que contiene el clculo de

los D-H extras que se han agregado para su generacin, ver figura 23. Se observa

que la multiplicacin de las matrices es estratgica, esto debido a que necesito

que el gripper refleje el movimiento de la ltima articulacin q4, por tanto las

matrices S5, S6, S7 y S8 deben estar respecto al frame del efector final S4.

Tabla D-H

Matrices de TH por

eslabn mvil


26

Con estos resultados podemos pasar a plotear la cinemtica directa del robot

modelado 4DOF RPPR con ayuda del algoritmo D-H desarrollado hasta aqu.

Figura N 23.- Diagrama de bloques para el SubVI para el gripper

3.- Extraccin de coordenadas para el ploteo

En este SubVI se llevara a cabo la extraccin de las posiciones x, y, z de cada

eslabn del robot y gripper a graficar, para ello haremos uso de las matrices de

TH calculadas del algoritmo D-H finales del SubVi anterior. En este proceso

usaremos las propiedades que nos da Labview a travs del manejo de arreglos

para lograr agrupar los vectores x, y, z y entregarlos al Toolkit de ploteo CURVE

3D de Labview, el cual requiere en arreglo de 1D los datos para x, y, z.

Figura N 24.- Panel Frontal


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a) La primera parte de la estructura Flat Sequence Structure usada extraemos

los datos de traslacin de las matrices TH Si (i=0:8), los cuales representan a las

filas 0, 1 y 2 de la columna 3 de cada matriz, a stos los que hemos llamado Pi

(i=0:8). Para esto usamos los Index Array de Labview.

b) En la segunda parte del Flat procesaremos los datos de los Pi(x,y,z) para

graficarlos, para ello apilaremos los datos de las coordenadas x en un arreglo

1D llamado Px, lo mismo para Py y Pz. Tener en cuenta que para el gripper se

han agrupado los datos de forma tal que se pueda visualizar sin problemas los

cambios en el grafico 3D final, esto debido a que le ploteador CURVE 3D de

Labview une los puntos en secuencia y no independientemente, por lo que se

tendr que repetir un punto en el gripper (P5) para obtener los resultados que se

pretenden. No existe alteracin en los clculos pues solo es con fines grficos.

Figura N 25.- Cdigo fuente para extraccin de datos para el ploteo


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4.- Cinemtica Inversa (para comprobacin)

Este SubVI fue creado en base al cdigo de la funcin cinversa1 del cdigo Matlab

expuesto y explicado anteriormente. El programa recibe los parmetros fijos D-H

junto con la matriz de transformacin homognea del efector final S4 como

entradas, y las salidas sern las cuatro articulaciones q1, q2, q3 y q4 que sern

comprobadas con referencia a la cinemtica directa. Cabe resaltar que esta SubVi

se encuentra en el modo de operacin Teach Pendant del cdigo principal.

Figura N 26.- Panel Frontal del SubVI cinversa1

Cada parte de la estructura Flat Sequence usada corresponde al clculo de cada

articulacin segn el mtodo geomtrico planteado anteriormente en anlisis

para este manipulador.

a) En el primer sector se extraen los datos de la posicin del efector final adems

de los vectores de orientacin en x4 y y4 que nos darn informacin para el

clculo de la articulacin q4 posteriormente en este cdigo.

b) El segundo y tercer sector corresponden al clculo geomtrico de las

articulaciones q1 (revoluta), q2 (prismtica) y q3 (prismtica) segn el anlisis

geomtrico. Para el caso de las junturas revolutas se ha utilizado la herramienta

matemtica atan2 de Labview la cual nos da un rango ms amplio para el

argumento a calcular ( ).

c) En el cuarto sector hace un clculo rpido de las matrices necesarias para

encontrar la matriz del eslabn 3 (A03), con el objetivo de extraer los datos de

orientacin del vector y3 para ser operado, mediante el producto escalar de

vectores, con el vector de orientacin x4 y y4 extrados antes y obtener as la

juntura q4.


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Figura N 27.- Bloques segn mtodo geomtrico para la cinemtica Inversa

(comprobacin)

5.- Cinemtica Inversa (insertar posicin deseada para el efector final)

Este programa para el modo de operacin Coordenada P(x,y,z) sigue la lnea de

clculo del SubVI anterior con las siguientes diferencias:

a) Este cdigo recibe un punto deseado P(x,y,z) para el efector final del robot.

b) Se realiza el clculo rpido de las matrices de los eslabones adicionando la del

efector final A04 con el objetivo de extraer los datos de orientacin para los

vectores x4 y y4 que luego se utilizarn para el clculo de q4.

Figura N 28.- Panel Frontal


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Figura N 29.- Panel de bloques con sealizaciones para este SubVI

IV.- Conclusiones

1. La cinemtica directa y el algoritmo DENAVIT HARTENBERG resultan una

pieza importante para el Modelamiento de un robot, pues este algoritmo alberga

todas las condiciones para la generacin del robot en el espacio, adems de

entregar informacin de posicin y orientacin respecto a un sistema de

referencia.

2. La informacin de posicin y orientacin de las matrices de transformacin

homognea resulta vital para el desarrollo del modelamiento de un manipulador

robtico. Ellas nos informan si el sistema en anlisis rot o se traslad respecto a

un eje de referencia.

3. La adicin de los frames fantasmas resulta con el nico fin de describir

rotaciones o traslaciones extras que si bien es cierto, no contienen articulacin,

nos ayudan a tener detalle acerca de la estructura del robot a analizar para casos

particulares. Es importante mencionar que no hay alteracin en los grados de

libertad al utilizar este criterio.

4. Las caractersticas de este manipulador nos permiti interactuar con dos

modos de operacin para visualizar el comportamiento de la cinemtica inversa.

Es importante decir que la cinemtica inversa es netamente una herramienta de

comprobacin de articulaciones.

5. El clculo de la cuarta articulacin para el modo de operacin Coordenada

P(x,y,z) resulta innecesario pues el efector llegar hacia el punto deseado

rotando o no rotando el efector final, por ende en el cdigo de la cinemtica

inversa , para este caso, se le ha colocado el valor de cero a esta variable q4.

y4

x4

A04

P(x,y,z)


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6. Al calcular un valor de juntura revoluta entre dos eslabones mviles para la

cinemtica inversa, resulta conveniente y seguro hacerlo vectorialmente con las

orientaciones que nos dan las matrices de TH cada vez que se produce la

rotacin.

7. Una vez ms se comprob la efectividad del software Labview para comprender

y comprobar aspectos de los algoritmos matemticos para esta experiencia.

CINEMATICA DIRECTA E INVERSA DE UN ROBOT DE 4 GRADOS DE LIBERTAD

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