Fisica - cinematica

5/10/2018 Fisica - cinematica

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r ; : u t s U / AMecanica

F R E N T E 1

@ Q r i ' f l J N L I Q I Re s u m o : @~~@ C U l & i n a ~M o d u lo T I ~.)~OL-J"Ulle / /U.JI 'eg . ca6efG8 IF u nd am e nto s d a C in em a tic a

1. 0 QUE I E MECANICALYlecanica8 a ciencia que estu-da os movimentos.Por razoes didaticas, a Mecanica

costuma ser dividida em tres capftu-los:

I. CinernaticaI I. D ina r ni caI I I. Estat lcaA Cinematica e a descrif;ao

geometrica do movimento, atravesde fungoes maternaticas, isto 8, e 0equacionamento do rnovimento.

Na Cinernatlca usamos apenasos conceitos da Geometria associa-dos a ldela de temgQ;..as grandezasfundamentais utiliradas sao apenas 0comprimento (L) e 0 tempo (T).A Dinamica investiga os fatoresque produzem ou alteram os movi-mentos; traduz as leis que expll-cam os movimentos.

Na Dlnarnlca utilizamos comograndezas fundamentais 0 comprl-mento (L), 0 tempo (T) e a massa (M).

A Esbitica e 0 estudo das con-dicoes de equillbrio de urn corpo.2. PONTO MATERIAL OUPARTicULA

Ponto material lou parUcu.la] e um corpo de tamanho despre-zfvel em cornparacao com as distan-cias envolvidas no fen6rneno estuda-do.

Quando as dirnensoes do corposao relevantes, para 0 equaciona-mento de seu movimento, ele e cha-mado de corpo extenso.

Exemplificando(I) Urn autom6vel em uma via-

gem de Sao Paulo ao Rio de Janeiro(distancla de 400km) e tratado comoponto material, isto e , 0 seu tama-nho nao e importante no equaciona-menta de seu movimento.

(II) Urn autom6vel fazendo rna-nobras em uma garagem e tratadocomo corpo extenso.

(III) Um atleta disputando a cor-

rida de Sao Silvestre (extensao de1Skm) e tratado como ponto mate-rial.(IV) Um bailarino executando pi-ruetas e tratado como corpo exten-so.

(V) 0 planeta Terra em seu mo-vimento de translal?ao em torno doSol e tratado como ponto material.

(V I) 0 planeta Terra em seu rno-vimento de rotaf;?aoe tratado comocorpu extenso.

Quando se estuda a rotacao deum corpo, suas dirnensoes nao saodesprezfveis e 0 corpo e sempre tra-tado como corpo extenso.Ponto material tem tama-nho desprezivel, porem suamassa na~ e desprezivel.3. pos'I~Ao DE UM PONTOMATERIAL

A posicao de um ponto material edefinida pelas suas caordenadas car-tesianas (x , y, zJ .

z

x

o conjunto de eixos Ox, Oye Oz,de mesma origem 0 e perpendicula-res entre si, e chamado sistemacartesiano t,riortogonal.

Se 0 ponto material estiver sern-pre no mesmo piano, sua posicao po-dera ser definida por apenas duascoordenadas cartesianas: x e y.

Se 0 ponto material estiver sem-pre na mesma reta, sua posicao po-dera ser definida por uma unica co-ordenada cartesiana: x.

4. REFERENCIAL OU SISTEMADE REFERENCIAo sistema cartesiano triortogonaldeve ser fixado em urn local, em rela-ca o ao qual pretendemos estudar a

posicao do ponto material.Esse local 8 chamado sistema

de referencia o u referencial.Ouando 0 referenciai for omilido,

vamos assumi-Io como sendo a su-perffcie terrestre.5. REPOUSO - MOVIMENTO

Repouso e .mevlmente saoconceitos relatives, isto 8, dependemdo referencial adotado.

Naa existe repouso absoluto nemmovimento absoluto.Uma parllcula eSIa em reopouso, para um dado relerencial,quando sua pos,if;?aopermanece invariiivel, isto e, asIres coordenadas cartesiana.s(x, y e z) permanecem cons-tantes nodecurso do tempo.Uma particula esta em me-vlmente, para um dado referencial, quando sua posiC?aovarianodecurso dotempo, islo e, pe-lomenos uma das coordenadascartesianas esta variando.Exemplos

(i) Considere urn carro em umarua e urn poste. 0velocimetro do car-ro marca 100km/h. 0rnotorista do car-ro esta em repouso ou em rnovlrnento?A resposta correta e: depende doreferencial.

Se 0 referencial for a superffc1e ter-restre, 0 paste estara em repouso e 0motorista estara em movimento a100km/h.

Se 0 referencial for 0 carro, 0mo-torista estara em repouso e 0 posteestara ern movimento a 1OOkm/h.

(II) Considere urn aviao em plenovoo e urn passageiro dorrnindo ernuma poltrona.

Se 0 referencial for 0 aviao, 0 pas-sageiro estara em repouso, 8, S80 re-ferencial for a superficie terrestre, 0passageiro estara em movirnento.

.)O BJETIVO -' 99


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6. TRAJETORIATrajeioria de urn ponto material

1 3 0 lugar geometl-ico das posicoesocupadas pelo ponto material no de-curso do tempo, isto e , 1 3 a uniao detodas as posicoes par onde 0 pontomaterial passou.

, y

)

PI(td (t2)

P3(t3)Pn(ln)~-----------------+x

P1: posicao no instante t1P2: poslcao no.instante t2

Pn: poslcao no instante tnA linha geometrica Pl' P2' ... , Pn

(unlao de todas as posicces por ondeo ponto material passou) e a trajet6riado ponto material.

Para uma trajet6ria plana, aequacao da trajet6ria e a equacaoque relaciona as coordenadas carte-sianas x e y entre si.

Se 0 ponto material est iver em re -pouso, ele ocupara uma unica posi-c;:8.0no espaco, e a sua trajetoria sereduzira a urn ponto.

Como a tra je to ria e sta ligada aoconceito de posicao, conclufmos que:

A Irajel6ria dependedo referencial adolado.ExemplificandoConsidere urn aviao voando em

linha reta, paralela ao solo horizontal,com velocidade constante de intensi-dade 500km/h, em um local onde 0efeito do ar e desprezfvel.

Num dado instante, 0aviao aban-dona uma bomba.

Qual a trajetcria descrita pelabomba? Para urn referencial ligado aoaviao, a bomba tera apenas a quedavertical provocada pela acao da gra-vidade e sua trajetoria sera um segmenio de reta vertical,

Para um referenciall igado a su-perficie terrestre, a bomba tera doismovimentos sirnultaneos:

(1) movimento horizontal parafrente com a mesma velocidade do100 - tOOBJETIVO

aviao (500km/h) rnantido gl"ac;:as aurna propriedade chamada inercia:

(2) movimento de queda verticalprovocado pela a98.0 da gravidade

A superposicao destes dois rno-vimentos origina urna trajetoria para-bolica.!t~~:~~~:::~-?--~::r~~-:,r>f'-~.,: ~

- . . . . . , :'.lI,\\ '

,,. ,, ,\ ,'~

Para urn referencial ligado apropria bomba, ela esta em repousoe sua trajetoria sera um ponlo.7. ESPACO (s)

Considere uma trajetoria orienta-da e urn ponto 0, escolhido arbitra-riamente como reterencia. 8eja A a po-

SiC;:30do pon-to material em

B, urn instante t .oefine-se

espal_?o(5),no instante t, como sendo a medidaalqebrica (leva em conta 0 sinal) doarco de trajetoria OA.o cspaco (s) indica apenas ondeesta 0 rnovel na trajetoria, isto e, 0 es-paco e urn indicador da posil_?aodornovel.o espal_?onao indica a dis-Ulncia que 0movel percorreu,mas apenas 0 local onde elese enconlra.o espaco pode ser positive (pon-to A ), negativo (ponto B) ou nulo(ponto 0).o ponto de reterencia (0) e de-nominado origem dos espaeos.

Dizer que 0 espal_?o(5) e nu-10, num dado insiante, significa apenas que, naquele instante, 0 movel esia pealele-nado na origem dos espal_?os.8. FUNCAo HORARIA DOS

ESPAt;OS: 5 = 1(1)Quando um ponto material esta

ern repouso, 0 seu espaco perrnane-ce constante, podendo ser igual a ze-ro (parade na origem dos espacos)ou diferente de zero (parado fora da

origem dos espacos).Quando urn ponto material esta

ern movimento, 0 seu espaco (s) va-ria com 0 instants (t).

A tuncao que relaciona 0 espaco(s) com 0 tempo (t) e denorninadatuncao horaria dos espacos ou, sim-plesmente, equal_?ao horaria domovimento, denorninacao equivoca-da, pois trata-se de uma Iuncao, enao de uma equacao.Quando a equacao horaria e do19 grau, temos 0 movimento chamadouniforme.

Quando a equ acao horaria e do29 grau, temos 0 movimento chamadouniformemente variado.

ExemplosMOVIMENTOS UNIFORMES(1) s = 2,0 + 5,01 (81)(2 ) s = 4 ,O t (S I)MOVIMENTOS UNIFORME.MENTE VARIADOS(3 ) s = - 3,0 + 8 ,O t - 5,O t2 (SI)(4 ) s = 4,0 + 2,Ot2 (SI)(S I) - Sistema Internacional

de Unidades: 0 tempo (t) e rn edld oem segundos, 0 espaco (s) e medidoem metros,9. ESPACO INICIAL (so)

Denornina-se origem dos lem-pos, instante inicial ou instante dereterencia 0 instante t = O .

Na origem dos tempos, 0 m6velocupa uma POSiC;:80Po)' que e defi-nida par um espaco (so) denominadoespal_?oinicial.

Observe que 0 espaco inicial (so)indica apenas onde esta 0 rnovel noinstante t = O .

Nas equacoes de (1) a (4) clta-das anteriormente, 0 espaco inicialvale, respectivamente:

(1) So = 2,Om; (2) So = 0;(3 ) So = - 3 ,O m ; (4) So = 4 ,Om.Um instante I positivo significa

posterior a origem dos tempos e uminstante t negativo significa anterior aorigem dos tempos.

Nao se pode confundir a origemdos tempos (instante t = 0) com a ori-gem dos espacos (posicao em ques = 0).

Quando 0 espaco inicial e nulo(so = 0), entao, na origem dos tempos(t = 0), 0 movel esta posicionado naorigem dos espacos (s = 0).


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o E xe rc ic io s P ro p o s to s1. Dona Cacilda esta sentada em urn onibus que trafega

a 100krn/h, observa urna arvore a beira da estrada ecomenta com seu col ega Ptolomeu:"Eu estou parada e a arvore esta em movimento ou ea arvore que esta parada e eu que estou em movime-to?"Ptolomeu responde com sua habitual precisao:Para urn referencial ligado a estrada, a arvore estaem e voce esta em................................ Para urn referencial ligado aoonibus, a arvore esta em evoce esta em .Complete as lacunas com as palavras adequadas ejustifique.

2. Uma pessoa corre ao longo de um eixo Ox, de formaque sua coordenada de posicao (x) e dada em funcaodo tempo pela relacaox = - 4,0 + 1,0 t (unidades do Sl)

cB E x(metros)-4,0 -2,0 o 2,0 4,0

Representamos, na figura, posicces da pessoa (letrasde A ate E) e as respectivas coordenadas de posicao,Pede-sea) a posicao da pes so a na origem dos tempos;b) 0 instante (to) em que a pessoa passa pela origemdos espac;os.

+ :)O BJET IVO - 101


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V elo cid ade, A celeray ao e C las sificac;ao do s M o vim e nto s1. VELOCIDADE ESCALAR

MEDIAA palavra esealar signifiea ape-

nas que nao ha envolvimento de dire-cao: esealar e 0oposto da expressaovelorial.

Sejam:Pi = posicao no instante t., defi-

nida pelo espaco S1'P2 = POSi9ao no instante 12,defi-

nida pelo espaco s2'As = S2 - s1 = varlacao de espa-90.

At = t2 - t, = intervalo de tempo.Define-se veloeidade esealar

media (Vm), entre os instantes t1 et2(ou entre as posicoes P 1 e P 2)' pelarelacao:

V = t.s = 52 - S1m At 12 - 11

Notas(1) 0 valor absoluto de As sorepresenta a distancia que 0 rnovelpercorreu, se 0 rnovel nao inverter 0sentido de seu movimento.

(2) Se 0 rnovel avancar e, emseguida, recuar, voltando ao ponte departida, seguindo a mesma traietoria,entao As = 0 e Vrn = O .

(3) Se 0 rnovel voltar ao pontode partida, atraves de uma traietoriafeehada, sem inverter 0 sentido deseu rnovimento, entao As nao seranulo e sim igual a distancia percorri-da. Se, por exemplo, a trajetoria fe-chada for uma circunterencla. per-corrida sempre no mesmo senti do,ao eompletar uma volta teremosAs = 2rrR onde Reo raio da eireun-Ierencia descrita.

(4) A veloeidade escalar mediatraduz a veloeidade escalar eonstan-te que 0 rnovel deveria ter para partir102 - + : > OBIETIVO

da mesma poslcao lnlcial e ehegar amesma posicao final, no mesmo inter-valo de tempo At, com 0 mesmodeslocamento escalar.

Sao1Fi'ali/O

Um carro parte deSao Paulo as 12h

Rio de Janeiroo carro chega aoRio as 16 hSa 0 cerro percoueu 400km em 4,Oh, suavelocidade escalar media foi de 100km/h.Potetn, durante a vfagem, a velocidade docerro nao permaneceu cons/ante: ha tre-enos em que D velocidede aumen/a OU di-minui ou, ate mesmo, silu890es em que 0cerro para.Quando clizemos cue a velocldade escelermedia fof de 100km/h, is/o signif ica que, seo cerro pudesse reallzar a viagem comve/ocielade escelsr constante, 0 seu valordevette ser de 100km/il para percorrer adislancia de 400km no iatervato de tempode4,Oh.

o "Concord" e 0 "Queen Elizabeth" cru-Z8m 0 Atlantico com diierente veloci-dedes escalares medias. 0 "Concord'gasta men os cle 3,011 e 0 "Queen Fti-zeoetti" gasla mais de 3 ,0 elias.2. UNIDADES DE

VELOCIDADE No Sistema ,Internaeional, temos:

U(L)= metro (m)u(T)= segundo (s)

mujV1 = -- = m . 5-1S

No Sistema CGS (eentimetro-gra-rna-segundo), temos:U(L)= centimetro (em)U(T)= segundo (s)

em -1U'V) = -- - em . s5I!I Unidade pratica:

U(L)'" quil6rnetro (km)U(T)= hora (h)

km -1u(VI =hkm . hII Helacoes:

km1 --=h 1 m000m=----36005 3,6 sm em1 -=102_S S

3. VELOCIDADE ESCALARINSTANTANEAA velocidade esealar instantanea

traduz a rapidez de movimento, istoe , a rapidez com que a posicao (es-pace) varia no decurso do tempo.

Uma grande veloeidade escalarsignifiea movirnento rapido, pequenavelocidade esealar signifiea movi-mento lento e veloeidade escalar nulasignif iea que nao ha movimento.

Admitamos que se pretenda cal-cular a veloeidade escalar de um rno-vel, em um instante t, em que elepassa par uma poslcao P de suatrajet6ria.

P'_c.y"----"V (t+c.t)/ ( 1 )Para tanto, ealculamos sua velo-

eidade esealar media entre a poslcaoP (instante t) e a posicao P' (instantet + t.t).

Se fizermos 0 intervalo de tempoAt ir diminuindo e tendendo a zero(t.t -- 0), 0 valor da veloeidade esca-lar media (Vrn = ~ ~ ) vai tender pa-ra 0 valor da velocidade esealar noinstante t, isto e:


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A . velocidade escalar ins-tantanea e'o limite para ondetende a velocidade escalal' media, quando a .intervalo de tern-po considerado tendea zero.

i'l.slim-i'l.tv = limm :::i'l.t -. 0

o calculo desse limite e uma fun-cao rnaternatica chamada deriva~ao. dsEscreve-se V = -- e le-se:dtAvelocidade escalar e a derivada do espa~oem rela~ao aotempo.

A vetocidetle esca /a r i ns l8n tanea corres-ponde a ve/ocic/ade esceisr media eel-cotede em um intetvelo de tempo extre-mamen/e peqoeno.Para W71 8U1017l6vel,a vetocidetle esca/arinstantallea e Indicede em s eu v eto cim e-Ira.

o trem-bnte a ( I I 7 W d velocidecie escsierde 51!.;km/il.

Em nosso estudo de Cinematica,s6 nos interessa a derivacao dafuncao polin6mio do tipo:

s = a In + b t + C, ondea, b, e e n sao constantes.

dsv = - - '" a n til -1+ bdtExemplos(I) s = 5,013 + 8,012 - 9,Ot + 1 0 (81)

dsV = - = 15t2 + 16t - 9,0 (SI)dt(II) s = - 3,Ot2 + 1 ,O t - 8,0 (SI)

dsV = - = - 6,Ot + 1 ,0 (81)dt(III) s= - 4,0 + 2,Ot (SI)

dsV = -. - = 2,Om/s (constante)dt4. ACELERAQAO ESCALAR

MEDIA.('1'Sejam:

V 1 = velocidade escalar no instante t1V 2 = velocidade escalar no instants t2

Define-se acelera~ao escalarmedia (Ym' , entre as instantes t, e t2,pela relacao:

S. ACELERAQAO ESCALARIN5TANTANEAA aceleracao escalar instantanea

traduz a rapidez com que a velocida-de escalar varia no decurso do tem-po, isto 8, traduz "a velocidade" davelocidade

Uma grande aceleracao escalarsignifica que a velocidade esc alar va-ria rapidamente, uma pequena ace-leracao escalar significa que a velo-cidade escalar varia lentamente eaceleracao escalar nula significa quea velocidade escalar na o varia.

A acelera~ao escalar ins-tantanea e 0 limite para 0 qualiendea acelera~ao escalar me-dia, quando 0 intervalo detempo consideradD tende a zero.

'( = lim I'm /l.V= lim-- iltM _.. t -+ 0

Portanto: dV'1=-dtA acelera~ao escalar (ins

tantanea, e a derivada da vete-cidade escalar (instantanea)em rela9ao ae tempo.Exemploss = 2,013 + 4,Ot2 - 7,01 + 10,0 (SI,

dsV = -- = 6,012 + 8,Ot - 7,0 (51)dtdV'I = - - = 12,Ot + 8,0 (51)dt

s = 10,0 ""20,Ot - 3,Ot2 (51,dsV = - = 20,0 - 6,Ot (5.1)dt

y = - 6,0 m/s2 (constante,s = 10,0 - 4,Ot (51)

dsV = - - = - 4,Om/s (constante)dt ..dVy = -- = 0 (constante)dt

Quando um cerro lem urns grande ace-/e1"8980 esca/ar, sua ve/ocidade escstsreste verisndo rspidemente.6. UNIDADE5 DE

ACELERAQAOIJ N o 8 1

u(V) m/su ------( Y ) - u(t) - s

toOBJE.T IVO - 103


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.. No CGSu(V) crn/su -------( 'I) - u(t) - s

em -2U.r ) = -- = em sY S2

(I Relag8.o entre as unidades:m 2 em1-=10 --s2 52

7. RELAC;OES ENTRE ASGRANDEZASC.INEMATICAS

(eq. horarial

{veloc, mediae, ["e tee. instanlaneal:=L,~Y m = 1 -

(acet. media' [acel. iinstantanea]s indica a posicao do rnovel (local).V traduz a rapidez de rnovimento.y traduz a rapidez com que a velo-

cidade esc alar varia.8. CLASSIFICAC;io DOS

MOVIMENTOS1!!criterioQuanto it equat;aa hararia:.. 1!!grau: movimento unl-

forme.. 2~ grau: movimento uni

forme.mente variado2!.!crlterloQuanto ao 5entido de movt-menlo (sinal da velocidadeescalal',:.. V > 0: movimentoprogres

sivo" V < 0: movimento retro.

grado3!! criterioQuanta ao modulo da veto-cidade:

104 - +:)OB'ETIV O

D I V I aumenta:movimento acelerado (V y > 0,

O J I VI diminui: movimentoretardado (V. 'I < 0,

e I V I con.stante: movlmen-10 uniforme ('I = 0)

a' Propriedades do graficoespa,?o x tempo

espagoareo de parabola

,,!~areo de parabola

tempo

(I) A velocidade escalar e posi-tiva quando 0 espaco for crescente(0 :S i 1 < t1 e tj < t :S i t4).

(II) A velocidade esoalar e ne-gativa quando 0 espaco for decres-cente (t1 < t < t3).

(III) A aceleracao escalar e positi-va quando 0 arco de parabola liver eon-cavidade voltada para cirna (1 2 < t < t4 )

(IV) A aceleracao escalar e ne-gativa quando 0 arco de parabola ti-ver concavidade voltada para baixo(0 < t < t2).

b) Propriedades do graficovelocidade escalar xtempo

veloei.dade escalar

tempo

(I) A velocidade escalare positivaquando 0 gratieo estiver acirna doeixo dos tempos (0::; t < t1 e t3 < t := : t4)

(II) A velocidade escalar e ne-gativa quando 0 grafico estiver abai-xo do eixo dos tempos (t, < t < 13).

(III) A aceleracao escalar e po-sitiva quando a veloeidade escalarfor crescente (t2 < t < t4).

(IV) A acoloracao escalar e ne-gativa quando a velocidade escalarfor decrescente (0 < t < (2).

Nos intervalos de tempo destaca-

dos 1 1 0 qrafico ternos as seguintesclassiticacoes:1) Para 0 < t < 11:a) Movimento Uniformemente Va-riadob) Movimento Progressivo (V > 0)c) Movimento Retardado (V > 0 e y < 0)2) Para 11 < t < t2:a) Movimento Uniformemente Variadob) Movimento Retr6grado (V < 0)c) Movimento Acelerado (V < 0 e y < 0)3) Para 12 < t < 13:a) Movimento Uniformemente Variadob) Movimento Retr6grado (V < 0)c) Movimento Retardaclo (V < 0 e y > 0)4) Para t3 < t < t4:a) Movimento Unitorrnernente Variadob) Movimento Progressivo (V > 0)c) Movimento Acelerado (V > 0 e y > 0)

o 'dfBgster' elll sell percurso final tetnmovimento retardado em vittude da8r;ao do pers-ouedee.

Na fotografia estro!:Josc6pica de cims, 0ceninno esIA em movimenio ace/era do ea distancia entre as folos sucessivas asiaaumentando.Na fotografia eslrobosc6pica de baixo, 0cerrinno eSla em mO\limento retardado ea dislancia entre as totes euceseives es/adiminuil1do.


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D E xe rc ic io s P ro p o s to s1. Uma partlcula, deslocando-se em uma trajetoria reti-

linea, tern a funcao horaria dos espacos dada pelarelacao:s = 3,Ot2 - 2,0 (SI)A velocidade escalar media entre os instantes t[ = 0 e~ = 2,Os valea) zerod) 4,Om/s

b) l.Om/se) 6,Om/s

c) 2,Omls

.,

"I

2. Uma partfcula esta em movimento com equacaohoraria dos espac;:os dada par

s = 10,0 + 20,Ot - 5,Ot2 (SI)No in stante i[ = 1,Os, a movimento da particula ea) uniforme.b) progressive e acelerado.c) progressivo e retardado,d) retrograde e acelerado.e) retr6grado e retardado .

.) O BJE TIVO - 105


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MecanicaF R E N T E 1 M o d u l o ~

Resumo: , .25a!]lJIJuJtfI~~ tD

M o vim e nto U n ifo rm e1. DEFINIt;Ao

Um movimento e chamado unl-forme .quando a relacao espaco-tempo e do 1Qgrau, lsto e, da forma:

s = A + atonde A e a sao pararnetros constan-tes, com a o.2. PARAMETRO A

Para t = 0 (origem dos tempos),temos So = A e, portanto, 0 pararnetroA representa 0 espaco iniclal.

A = So

3. PARAMETRO aA velocidade escalar V e dada

por:

a = vo pararnetro B representa a velo-

cidade esc alar. .4. PROPRIEDADES DO

MOVIMEt-'TO UNIFORME., Equacao horarla dos espacos:

s = So + Vt., A velocidade escalar media e

igual a velocidade escalar instanta-nea, e constante e diferente de zero:6..Vm::: V = -- = constante 06.t

., A acelsracao escalar media eigual a aceleracao escalar instanta-nea, e constante e igual a zero:

106 - +:>OBJETIVO

Ym :::Y = constante = 0., 0 movimento pode ser progres-

sivo (V > 0) ou retr6grado (V < 0), po-rem nao e nem acelerado nem retar-dado, pais a velocidade escalar econstante (y = 0).5. A denorninacao uniforme derivado fato de a velocidade escalar sercon stante, isto e , e um movimentoque se processa sempre da mesmaforma, com a movel percorrendodistancias iguais em intervalos de tempo iguais.6. Podemos ter movimento

uniforme em qualquer tra-jetoria.

Quando 0 velocTmetro do carro indicasempre 0mestno valor (no caso, 72km/h),o movimento do cerro e u nifo rm e, 1 18 0importando a Irajet6ria que ele descreve.7. GRAFICOS DO

MOVIMENTO UNIFORME, [ ,l V - "-0 ~~".I"J

'I

~o-'I=o

s=O- . J i

r tO~-'(~O -

8. INTERPRETAt;OESGRAFICAS

o Grafico espa~o x tempoespayO

a l,I1 t

o tempo

N 6.st9 a = - - = V6.tNo grafico espa~o x tempo,

a declividade da reta s = f (I)mede a velocidade escalar.

.. Grafico velocidadeescalar x tempo

velocidade escalar

Area ~ V 6.t = .6.5

No grafico velocidade es-calar x tempo, a area sob 0grafico mede a variacrio de espa~o 6.5.


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U E xerc ic io s P ro po s to s1. D a is rnoveis A e B percorrern nma mesrna trajetoria

retilinea com jnovimentos uniformes ~ velocidadescom intensidades respectivamente iguais a-2,OnVse1,Om/~ e sentidos indicados na figura. No instante t o ' 0m6vel A esta posicion ado em Ao e 0 movel B em Bo '

v : j j I J l j . : ; , V' 7111/6Bo 0 Ao+ z B f : : :wI I II . . . , 1 . . . , 1I 1,0m ! 2,Om I

Adotando-se 0 ponto 0 como origem dos espa90s e 0instante to como origem dos tempos, determinea) as equacoes horarias para os movimentos de A eB;

b) a distancia entre os m6veis A e B no instanteII= 10,Os.

d) c~ _ S . ' ) \ V~{~ f\~ s., ~I J t

:. .

~ , I

2. 0 grafico a seguir represent a 0 espaco em funcao dotempo para 0movirnento de uma pessoa que descreveuma trajetoria retilinea.

x(m)

-20,0

1(8)

20,0 - - - - - - - - - - - - -...:

40,0Considere as proposicoes que se seguem,1 ) A velocidade escaJar da pessoa vale 1,Om/s.Il) A pessoa passa pela origem dos espacos no ins-

tante t = 20,05 .III) 0 movimento da pessoa e uniforme e progres-siva.Esta(ao) correta(s) a(s) proposicaoroes):a) I, apenas. b) n, apenas.c) Jell, apenas , d) II e III, apenas.e) I,II e Ill.

to OB JETIVO - 1 07


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3. (Ollmpiada Brasileira de Fisica)S C m )

12 0

o 20 t(s)o grafico ilustra a forma como variam as posicoes deum movel que se desloca numa trajet6ria retilinea. Aequacao horaria deste movimento, em unidades doSJ , ea) s :::::12td) s = 120t

108 - +:)OBJETIVO

b) s = 6,Ote) s = 20 - 1201 c) s= 120-6,Ot


11/24

.;l"'I 'dr~l\Mecanica

F R E N T E 1

~,,1\Lj~Jr R es u m o : @ t l(])@ [ IT )tfl ~M o d u l o ~M o vim e n to U nifo rm e m e nte V ariad o

1. DEFINlc;Ao

U rn movimento e chamado unl-lormemente variado quando arelacao espaco-ternpo e do 2Qgrau,isto e , da forma:

5 = A + Bt + Ct2

em que A, Bee sao parametresconstantes, com C '" o .

2. PARAMETRO APara t = 0 (origem dos tempos),

temos So = A e, portanto, 0 parametroA representa 0 espaco inicial.

A = So3. PARAMETRO B

A velocidade escalar V e dadapor:

dsV = - - = B + 2CtdtPara t = 0 (origem dos tempos),

lemos Va = Be, portanto, 0 pararnetroB representa a velocidade escalar ini-cial.

4. PARA ETRO CA aceleracao escalar y e dada

por:

dVy=-=2Cdt

yC=-2o pararnetro C representa meta-

de da aceleracao escalar.

5. PROPRIEDADES DO MUVII Equacao horaria dos espacos:

Y5=50 + Vot + -- t22ou

4 1 Equacao horaria das velocida-des:

II A aceleracao escalar media eigual a aceleracao escalar instanta-r.ea, e con stante e diferente de zero:

I1VY = y = - = consfante '" 0m I1t41 Equacao de Torricelli:

V2=V~+2yl'lS

41 A velocidade escalar mediapode ser calculada pela media arit-rnetica entre a velocidade escalarinicial (Va) e a velocidade escalarfinal (V):

e Os deslocamentos escalares,em intervalos de tempo sucessivos eiguais, variam em proqressao aritrne-tica.6. A denominacao uniformemente variado deriva do fato de a ve-locidade escalar ser variavel (rnovi-mento variado), porern com acelera-< ; : 3 0 escalar constante, isto e, a velo-cidade escalar varia, porem de umamaneira uniforme (em uma taxa cons-tante).7. Podemos ter movimento

unilormemente variado emqualquer trajetoria.

8. Graficos do movimento uniforme-mente variado:

s s y < 0So So/:

- : >ra ; IIIIII0 0

v v

y y!_,J ,,~~ ) O B JE fIV O - ,109


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nE xe rc ic io s P ro p o sto s1, (FUVEST)- Qual a distancia percorrida ao fim de

3,Os per urn m6vel que, partindo do repouso, se movecorn aceleracao escalar con stante de 2,Om/s2?a) 2,Om b) 3,Om c) 4,Omd) 6,0111 @9,Orn, (' i,J'i -- t".._)'"f.-,: ) (1-2 ,/, (\ -, , ,~llf>' J')_( ;~ ( 1)

6 ! : . . -r v-i -( - . f l _ r : ! 'd,

6:.> 0 { + c '/ , ( ~ \ : ;- 3 . 'l C ; - 7 - gl-I

2. Em uma decolagem, urn aviao parte do repouso eatinge a velocidade escalar final de lOOmis em urnintervalo de tempo de 20s.Supondo-se que a aceleracao escalar do aviao, duran-te a decolagem, seja constante, calculea) a distancia percorrida pelo aviao:b) a aceleracao escalar do aviao,

8 -{ , ?OL VD=O V J = = JOO'(II ! I : ,v;-_0 '6 1 :: - ~

-{7 {I I

\ ,6s: /',1I'/ I / ._~S

I - J - ( \j-{-.._ - -2

110- + : }OBJ ET IVO

1/ v , J (" )Oij ~b ) rf } -.D V~ - - - - - ~6-C1 '} : : = .J~ I0-,(/ 1 '

o!()/

I\ \

3, (UEPA) - Ao sail.' de lIma curva a 72 kmlh, urn rno-torista se surpreende com uma lombada eletronica asua frente. No momenta em que ele adona os freios,esta a 100m cia lombada. Considerando-se que 0CaITO desacelera uniformernente a 1,5m1s2, a velo-cidade esc alar indicada, no momenta exato em que 0rnotorista cruza a lombada, em kmIh, e:

~O b) 24 c) 36 ~a) 40 e) 50\}(). 'I/.J,',vk- . 1 0 , " / 1 > ' ~ v : : : = ?"_ '11- - ) Sr')/I''\ -, I -'\..__( )- ~ _C}-- _ c ; : ; -7]-, r > . o ~~ -l----~~t

/J .Js~ .10011 tl.. ? 1V ~ Vo ,( t ( J t55l 2. )V .: 20 + ;;.(-IC J0. )

\/2.: 400 - 30,)\/2 J .n ')- ~V ! 1~ ) ,'r/ /~

\! : :-j0 - c ]/ 6 - = = - - 3 6 II 1 " 1 f l ) I


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__ e x erc ic io s ta re fa E : : : = = = = = = = = = = = = = = = - i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i .D Aula 1 - Fundamentos da Clnernatlca1. Assinale a opcao falsa:

a) Mecanica e a ciencia que estuda 0movirnento:b) Cinematics e a parte da Mecanica que descreve osmovimentos atraves de equacces matematicas, istoe, sao os conceitos da Geometria associados aideia de tempo;c) para 0 estudo da Cinematica, as grandezas funda-menrais necessarias sao: 0 comprimento (L) e 0tempo (T);

d) a Dinamica e a parte da Mecanica que investiga asleis que govemam os movimentos, isto e , osfatores que produzem Oll alteram as movimentos;

e) para 0 estudo cia Dinamica, as grandezas funda-mentals necessarias sao as mesrnas cia Cinematica:o comprimento (L) e a tempo (T).

2. Assinale a alternativa incorreta:a) Ponto material e tcdo corpo cujas dimensoes naointerferem no estudo de um deterrninado fen6me-no.

b) Quando estudarnos a movimento de rotacao de umcorpo, ele nao pode se r considerado U111 pontematerial.

c) Ponto material e ur n corpo de tamanho e rnassadesprezfveis.

d) Quando estudarnos 0 movimento de translacao daTena, pcdemos considera-la urn ponto material.

e) Em certas circunstancias, uma jarnanta pode serconsiderada urnponto material.

3. Considere tres pontes rnateriais A, B e C cujas velo-cidades, em relacao a superffcie terrestre, tern inten-sidades e sentidos indicados na figura.

10kmlh 10kmlh 10km/h

a) Podernos afirmar que B e C estao em movimento?Justifique sua resposta,b) Se 0 referencial estiver associado ao corpo B, A eC estarao em repouso Oll em movimento?Justifique sua resposta.

4. Urn aviao voando a uma altitude constante de 500mmantem velocidade constante e movimento retilineo.No instante t = ele deixa cair uma bomba. A

fotografia estroboscopica a seguir mostra a bomba deum em um segundo. Despreze a resistencia do a r,

t =0 t = J s t = 2s t = 3s t =4sl: ~ = - . . . _ ! . . : ; : , . . t ._~. . T . . . . _ r .Lr .. ,_If .~ ....._ ' f_.L_ .... _o - - - _ ~ _ _ I I

- " - 0 . . . . . . :" ,"b ,,,,,\ ,\ ,\ ," ~

a) Descreva a trajetoria da bornba em relacao aoaviao.

b) Descreva a trajetoria da bomba em relacao a urnreferencialligado a superficie terrestre,

5. Um carro conversfvel esta em trajetoria retilinea ehorizontal com velocidade constante de intensidade100 km/h em relacao ao solo. 0 motorista dispara urnrevolver, com 0 cano em posicao vertical.Nao se considera a efeito do ar.Descreva a trajetoria do projetil:a) em re lacao a um observador ligado ao carro;b) em relacao a urn observador ligado ao solo.

6. (FGV) - As posicoes de um m6vel em funcao dotempo sao dadas por: x = 2,0 - 3,Ot + 1;Ot2 , onde x re-presenta a posicao, medida em metros, com relacao aum certo referencial, e t , a instante medido em se-gundos.A posicao DO instante t = 1,Os vale, em metros:a) 0 b) 1,0 c) 2,0 d) 3,0 e) 4,0

7. U rn ponto material, movimentando-se sobre a trajet6-ria retilinea abaixo, obedece a equacao horaria:

s = 2,O t - 4,0 (S1)

B o Ao" C B ) , , I (AtI I, , ,: " t ' " - . 'I,Om ! 2,Om Ia) Qual a posicao do ponto material na origem dostempos (t = O)?

b) Em que instante (to) 0 ponto material passa pelaorigem dos espacos (s = O)?

+:) OBJETIVO - 111


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o Aula 2 - Velocidade, Aceleracao e Classifica~aodos Movimentos

1. (UNIP) - 0 corredor Joaquirn Cruz, ganhador c ia me-dalha de ouro nas Olirnpiadas de Los Angeles, fez 0percurso de 800m em, aproximadarnente, Imin e 'lOs.Determine a velocidade escalar media no trajeto.

2. (CESGRANRIO) - Urn automovel passou pelo mar-co 24 km de lima estrada as 12 horas e 7 minutos, Aseguir, passou pelo marco 28 km da mesma estrada as12 horas e 11 minutes.A velocidade escalar media do autornovel, entre aspassagens pelos dois marcos, foi de aproximadamen-te:a) 12 krnIhd) 60 km/h

b) 24 kmIhe) 80 kmJh

c) 28 kmJh

3. (FUVEST) - Urna moto de corrida percorre uma pis-ta que tern 0 fonnato aproximado de urn quadradocom 5,0 km de lado. 0 prirneiro lado e percorrido auma velocidade escalar media de 100kmlh, 0 segun-do e 0 terceiro a 120km/h e 0 quarto a 150km/h .Qual a velocidade escalar media da mota nesse per-curso?

4. Uma partfcula esta em movimento, obedecendo aseguinte funcao horaria dos espacos:s = 2,Ot2 - 18,0 (Unidades do SI) valida para t ~ 0a) Em que instante a partfcula passa pela origem dosespacos?

b) Qual a velocidade escalar media entre os instantesto;::; 0 e tl= 5,Os?

5. Urn carrinho (assimilavel a um ponto material) ternpar equacao horaria dos espacos:s = 6,Ot2 - 3,Ot + 22,0 (em unidades do S I)No instante t = 2,Os, sua velocidade escalar vale:~21mJs ~27~s ~30~sd) 43 mls e) 49 rn/s

6. (MED-ABC) - A funcao horaria dos espacos do mo-vimento de uma particula, em trajetoria retilinea, eexpressa por:

s = 1 ,Ot2 - 10 ,Ot + 24,0 (SI)Pede-se:a) 0 instante (t[) a partir do qual 0 movel inverte 0sentido de seu movimento;

b) a posicao do movel no instante tl.112 - .OOBJETtVO

7. Uma particula lancada verticaimente para cima, dajanela de um ediffcio, tern altura h em relacao ao so-lo dada em funcao do tempo pel a relacao:h = 20,0 + 1O,Ot - 5,Ot2 (unidades do SI)Sabendo que a particula foi Iancada no instantet ; : : ; 0, pede-se:a) a altura da janela, relativa ao solo;b) 0 instante em que a particula atinge 0 ponto dealtura maxima.

8. .-----~~t(s) V (m/s)0 0

1 ,0 3,05,0 15,07,0 3,0

Durante 0 rnovimento de umobjeto foram anotados os va-lores das velocidades escalarese respectivos instantes (esteslidos num cron6metro). Essesval ores foram escritos na tabela ao lado.Determine a aceleracao escalarmedia nos intervalos de tempo:

a) [1,Os; 5,Os]b) [l,Os; 7,Os]

9. Urn movel parte do repouso no instante t o = 0 e atingea velocidade escalar de 18 km/h no instante t[ =:: lOs.Calcule:a) a velocidade escalar do movel, no instante tl, emrn/s;

b) a aceleracao escalar media do movel, entre osinstantes to e t I'em m/ 82.

10. A equacao horaria dos espacos para 0 rnovimento deurn ponto material e dada par:

s ;::;1, 0 t3 (S1)a) Calcule a aceleracao escalar media entre osinstan-les t[ ;::;0 e t2 =:: 2,Os.

b) Calcule a aceleracao escalar nos instanres tl ;::;0 eS = 2,Os.

11. Conhece-se a equacao horaria dos espacos do movi-mento de urn ponto material: s ;::;I5,Ot - 2,5t2 (Sl)a) Determine 0 instante a partir do qual 0' movelinverte 0 sentido do sell movimento,

b) Classifique 0 movimento no instante t 1 = 1,Os.i

12. Um move! se desloca, em uma trajeroria retilfnea,com equacao horaria dos espacos dada par:x = 10,0 + 20,Ot - 5,Ot2 (em unidades doSl) ',.Classifique 0movimento no instante t ;::;3l0S. .


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13. A pOSiy3.0 escalar (espaco) de um movel e dada POl':s = 2,Ot3 - 6 ,O t ( SI)

No instante t = 2,0 s 0 seu rnovimento e :a) progressivo e acelerado;b) progressive e retardado;c) retr6grado e acelerado;d) retrograde e retardado;e) retrograde e uniforme.

14. E dada a funcao horaria do movimento de urn cano:s = 5 ,0 - 8 ,Ot + 1,Ot3 (SI)

a) Determine a velocidade e a aceleracao escalatesno instante tl = 1,Os.

b) Classifique 0 rnovimento no instante tl = 1,Os.

15. Urn ponto material esta se movendo em uma trajeto-ria retilfnea com equacao horaria dos espacos dadapor:

s = 2,Ot3 - 5 ,Ot2 + 2,Ot - 10,0 (SI)No instante t = 1,0s 0 movirnento e:a) progressivo e acelerado;b) progressive e retardado;c) retrograde e aeelerado;d) retrograde e retardado;e) uniformemente variado.

o Aula 3 - Movimento Uniforme1. A tabela a seguir representa 0 espaco (s) em funcao

do tempo (t) para uma particula que esta em movi-menta uniforrne:I t(s) I 1,0 3,0 a 10,0[ S ( I D f 1 5,0 9,0 15,0 bPede-se:a) a velocidade escalar;b) 0 espa90 inicial;c) a funcao horaria dos espacos: s = f(t);d) os valores de a e b;e) a trajetoria da particula.

2. Duas partfculas A e B descrevem uma mesma trajet6-ria retilinea com velocidades escalares constantes ede m6dulos respectivamente iguais a 2 ,Om/s e3,0m/s, em sentidos opostos.Na origem dos tempos, a distancia entre A e B e de1O,Om.

2,Om/s+----'- 3,Orn/s_.,oAo 80I II II t'. . . ------------ . . . . . ., lO,Om '

Com a trajetoria orientada de A para B, com os movi-mentos descritos nos sentidos indicados na figura eadotando-se como origem dos espacos 0ponto medicentre as posicces iniciais Ao e Bo , pede-se:a) as funcoes horarias dos espacos que descrevem osmovimentos de A e B;

b) 0 instante ern que a distancia entre A e B e de60,Om.

3. Denomina-se ano-luz a distancia que a luz percorreem um ano, no vacuo. A distancia de urn ano-luz e ,em metros, da ordem de:a) 105 b) 1010 c) 1016 d) 1017 e) 1021Dados: 1 ana 5!! 3 . 107s

C = 3 . 108m/s4. Uma nave espacial a distancia de 1,44 . 109 km da

Terra envia fotos do planeta Saturno atraves de sinaisque se propagarn com a velocidade da luz no vacuo(3,0 . 108m/s). Qual 0 tempo, em m.inutos, que 0 sinalgasta para atingir a Ten-a?

5. Urn ponto material se desloca em uma trajet6ria qual-quer com movimento uniforme.Sabe-se que nos instantes tl = 2,Os e ~ = 5,Os osespacos sao iguais a s1 = 30m e s2 = 60m, respecti-vamente. Determine:a) a velocidade escalar;b) 0 espaco inicial;c) a funcao horaria do movimento s = f(t).

6. (FUND. CARLOS CHAGAS) - Um trem de 200mde comprimento, com velocidade escala.r constantede 60km/h, gasta 36s para atravessar eompletamenteuma ponte. A extensao da ponte, em metros, e de:a) 200 b) 400 c) 500 d) 600 e) 800

7. (UFCE) - Determine a tempo (em segundos) paraque um trem de carga de 240m de comprimento, comvelocidade escalar constaute v ::: 108km!h, atravessecompletamente um ninel de 1980111.

8. (UNITAU) - No instante to =0, a distancia entre doiscarros A e B e de 375krn. Eles se movem urn ao ell-contro do outro com velocidades constantes e de

+:>O B JE T IV O - 113


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m odules respectivam ente igua is a 60km/h e 90km/h,descrevendo lima mesma rrajetoria retilfnea.

60kmlh) 1 0 0

90km/h. . . .00 A 'D'\::J B

Com a trajetoria orientada conforme indica a figura eadotando-se como origem dos espacos a posicao ini-cial de A, pede-se:'a) as funcoes horarias dos espacos que descrevem osmovimentos dos carros A e B;

b) 0 instante em que os carros se encontrarn;c) a pOSi


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2. (FUND. CARLOS CHAGAS) - Urn m6vel, partin-do do repouso, executa um movimento retilineo uni-formemente variado, Ao terrnino dos 2,Os iniciais, asua velocidade escalar e de 8,Omis .a) Qual a aceleracao escalar do m6vel?b) Qual a distancia percorrida apos 5,Os de movirnen-to?

3. (FUND. CARLOS CHAGAS) - Dois m6veis, A eB, movimenram-se ao longo do eixo x, obedecendoas equacces:move l A: X,\= 100 + 5,Otm6vel B: XB = 5,Ot2em que XA e XB sao medidos em met em s.Pode-se afirmar quea) A e B possuem a mesma velocidade.b) A e B possuem a mesma aceleracao,c) 0movimento de Be unifonne e 0de A e acelerado.d) entre t = a e t = 2,Os ambos percorrem a mesmadistancia.

e) a aceleracao de A e nula e a de B tern intensidadeig ua l a IO rn /s".

4. (FUND. CARLOS CHAGAS) - Uma partfcula par-te do repol1so, no instante inicial, com aceleracao uni-forme e percorre 18,Om nos primeiros 3,0 segundos.Aos 4,0 segundos de movimento uniformernente va-riado, a velocidade escalar instantanea da particula e ,em m/s, igual a:a) 16,0 b) 12,0 c) 10,0d) 8,0 e) 6,0

5. (FVVEST-SP) - Urn trern freou quando sua veloci-dade escalar era de 9,Okm/h e parou em 4,Os.a) Qual a sua aceleracao escalar (desaceleracao),suposta constante?

b) Quanto ele andou ate parar?

6. (CESGRANRIO) - Urn autom6vel partindo do re-pouso leva 5,Os para percorrer 25m em movimentouniformernente variado.a) Qual a velocidade escalar media neste percurso?b) Qual a velocidade escalar final?

7. (PUCCamp-SP) - Urn vefculo em movimento retilf-neo uniformemente variado percorre a distancia de60m que separa dois pontos, A e B, em 5,Os.Sabendo-se que a velocidade escalar em A era delOm/s, pede-se:a) a velocidade escalar em B;b) a aceleracao escalar,

8. (UFMA) - Urn ponte material parte do repouso emrnovimento uniforrnemente variado e, ap6s percorrer12m, esta animado de uma velocidade escalar de6,Om/s. A aceleracao escalar do ponto material, emrn/s", vale:a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0

9. (MED.ABC) - Um m6vel realiza urn movimentouniforrnemente variado de velocidade escalar inicialde -10mls e aceleracao escalar de 2,0m/s2. A veloci-dade escalar do m6vel, ap6s percorrer 9,Om, emrnovimento retrograde e de:a) -26m/s b) -8,Om/s c) 3,Omisd) Vl36 m/s e) 26m/s

10. (VUNESP) - No diagrama esta representada a po-si


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i I 1 I i . res po stas do s exereleles-tareta i i i ii i i ii i. . . l i l i i ii i i ii i i i . . iiiiiiiiiiiiili~LA1 2) a) SA = - 5,0 - 2,Ot (SI ) e SIl = 5,0 + 3,Ot (SI )b) t = lOs

3) C4) 80min5) a) 10mfs

b) 10mc) s = 10 + lOt (SI )

6) B7) 74s " { t em h8) a) SA = 60t e Sa = 375 - 90t s em kmb) 2,5h

1) E 2) C3) a)Nao

b) A: repouso ; B: movimente4) a) segmento de reta vertical

b) arco de parabola5) a) segmento de reta verticalb) arco de parabola

6) A 7) a) Ab) 2,Os

- - .A ULA 2c) 150km da origem

9) a) 12,Osb) 120m e 90m

10) a) uniforme e retr6gradob) v = - 5,Omls e y = c) 30md) s = 20 - 5,Ot (SI)e) 4,0811) a) nao esta determinadab) uniforme e progressivoc) 4,Omlsd)- 40,Ome) s = - 40,0 + 4,Ot (SI)f) 10,Os

1) 29kmlh ou 8,Omfs2) D3) 120km/h4) a) 3,Osb) 10,0111/85) A6) a) 5,Os

b)-I,Om7) a) 20,Om

b) 1,0s8) a) 3,0m/s2

b) 9) a) 5,Om/sb) 0,50m/s2

10) a) 6,Om/s2b) 0 e 12,Omls211) a) 3,Os

b) progressivo e retardado12) retrograde e acelerado13) A14) a) - 5,Om/s e 6,Omls2

b) retr6grado e retardado15) D

A UL A 41) A 2) a) 4,Om/s2 b)50m 3) E4) A 5) a) 6,25 . 10-1m/s2 b)5,Om6) a) S,Omls b) 10m/s7) a) 14,Om/s b) 0,80mls28) B 9) B10) a) 5,0m/s b) -1,2Sm/s2 c) -2,SmJs

d) x = 5,Ot - 0,625t2 (SI) e) 20m11) a) s = 5,0 + lOt + 10t2 (SI)

b) 12,5

A U L A J1) a) 2,Omis

b) 3,Omc) s =3,0 + 2,Ot (SI)d) a = 6,0 e b :::23,0e) nao esta determlnada

116 - + :> OBJET IVO


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[ f J f 1 ( M lTermolog ia

FR EN TE 2

R es u m o :M odu lo ~ 9~J ,c ~ r m ' l ~'- (,.,.me/ltol'cs ca;;er(f,,/Escalas Termometr icas

1. TEMPERATURA

Num primeiro cantato, entende-remas a temperatura como agrandeza que associarnos a urn cor-po, para traduzir a estado de agi-tacao das partlculas que 0 consti-tuem. Esse estado de agi1898.0 e de-finido pelo nfvel enerqetico das par-ticulas e constitui 0 estado terrnico ouestado de aquecimento do corpo.

A medida desse nivel enerqetlco(da temperatura) e feita de maneiraindireta, atraves da medida de umaoutra grandeza, caracterlstica de umdeterminado corpo e variavel com atemperatura. Esta grandeza e cha-mada de grandeza termerne-trica e a corpo e 0 termometro.2. TERMOMETRO

o termometro e um disposltivousado para a deterrninacao de tem-peraturas.

Em todo term6metro encontramosuma substancia, denominada subs-tancia termometrica, que tern pe-10menos uma de suas propriedadesfisicas variando com a temperatura.Essa propriedade tlsica, usada nadeterrninacao da temperatura, e agrandeza termometrica.o rnais conhecido dos term6me-tros e 0 de mercuric.

A substancia terrnornetrica e 0mercurio e a grandeza terrnornetri-ca e a altura h da coluna de rnercu-rio.

Estabelece-se urna relacao entrea altura da col una de mercuric (h) e

sua temperatura, que e a mesma docorpo que esta em contato com 0bulbo desse terrnornetro.Assim, para cada valor de h,existe uma unica temperatura 8 asso-ciada. 0 conjunto dos pares (8, h) de-fine uma Iuncao denominada equa-crao termemetrtca (nome equivo-cado, pois trata-se de uma funcao enao de uma equacao).3. EQUA;io TERMOMETRICA

A equacao terrnornetrica e umaexpressao do tipo G = f (8), que rela-elena as valores da temperatura (8)com os valores da grandeza termo-rnetrica (G). Geralmente e umafun9aO do 1Q grau:

em que a e b sao constantes rela-tivas a cada terrnornetro.

Geralmente, a grandeza termo-rnetrica e uma pressao, um volume auum comprimento (altura de coluna).4. ESCALAS TERMOMETRICAS

Uma escala termometrica eurn conjunto de valores nurnericos(de temperaturas), cada um associa-do a um determinado estado terrnicopreestabelecido.

As escalas mais conhecidas sao:o Escala Kelvin

A escala Kelvin, tarnbern denomi-nada escala absoluta o u escalatermodinamica, foi obtida atravesdo comportamento de um gas pertei-1 0, quando, a volume constante, fez-se variar a pressao e a temperaturado mesmo.

Para os pontos fixos denomina-dos zero absoluto e ponto triploda agua, associamos O f < e 273, 15K,respeclivamente.

Devemos entender por zero abosoluto 0 estado terrnlco te6rico, no

qual a velocidade das moleculas deum gas perteito se reduziria a zero,lsto e, cessaria 0 estado de aqltacaodas rnoleculas.o ponto triplo da agua ocorrequando gelo, aqua e vapor de aquacoexistem ern equilibrio.

Ao ler-se uma temperatura nestaescala, deve-se omitir a termo "grau";assim 25f( le-se "vinte e cincof(elvin".o Escala Celsius

A escala Celsius e definida pelarelacao:

o (OC) = T (K) - 273,15Observe que uma varlacao de

temperatura e expressa nas escalasCelsius e Kelvin pelo mesmo nurnero:

No zero absoluto, essa escalaassinalaria -273,15C e no pontetriplo da aqua, 0 valor 0,01 "C.

Ate 1954 essa escala era defini-da convencionando-se O D C e 100Ccomo as temperaturas associadas adois pontos fixos, a saber:

1!!Ponto Fixo (au ponto do gelD):Estado terrnico do gelo fundente

(equillbrio gelo + aqua), sob pressaonormal (OC).

-geofundente

+:) O BJET IVO - 117


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2!!Ponto Fixo (au ponto do va-por):

Estado terrnico do vapor de aguaem ebulicao, sob pressao normal(100C).

A escala Celsius e usada, oficial-mente, em varies paises, entre asquais, 0 Brasil.o Escala Fahrenheit

Essa escala e usada, geralrnen-te, nos pafses de lingua inglesa.

No ponlo do gelo ( 1 Q P.F.), elaassinala 32F e no ponte do vapor ( 2 QP.F.), 0 valor 212F, apresentando,assim, 180 divisoes entre essas duasmarcas.

Kelvin Celsius FahrenheitPonto de 373,15. t o _Q 2_12.Vapor

Ponto de 273,lti .0 3}__GeloZero

Absoluto_ Q _ _ :~7:i,j9 _

5. EQUACiO DE CONVERSioUmaequa~io de ccnversaee uma relacao entre as temperaluras

em duas escalas terrnornetricas, talque, sabendo-se 0 valor da tempe-ratura numa escala, pode-se obter 0correspondente valor na outra.

Assim, relacionando-se as Ires es-calas citadas anteriormente, temos:11 8- 1):) OBJETIVO

Do esquema, obtemos a equa-cao de conversao entre essas esca-las, em que faremos:

273,155! 273 e 373,15 .. 3738e ~ 0 ElF - 32=100-0 212-32 373-273;.


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n E xe rc icio s P ro p o sto s1. (MACKENZIE-SP) - Nurn dererminado dia, em

Sao Paulo, a temperatura ambiente foi igual a deLondres. Sabendo que, nesse dia, a temperatura de.Londres foi Soop, a temperatura de Sao Paulo foi:.~ to -e b) 20DC c) 25C d) 28C e) 32Cor.r---'o ( . ;S9\) c --

= ' I . - ~ _ . , nil_/r :jr-_J

1~ (:;)30 c ; : _ _ 90(~c = - .30

'1r _ \ - 't f ) : - - 110D C\ ----

2. Um turista brasileiro, em visita aos Estados Unidos,passou pelo deserto de Mojave, onde sao realizadosos pousos dos onibus espaciais da NASA. Ao pararem um posto, a beira cia estrada, ele observou urngrande painel eletr6nico que indicava a temperaturalocal. A temperatura j ndicada estava na escalaFahrenheit. Ele pegou uma calculadora e fez a COll-versao para a esc ala Celsius, encontraudo 0 valor45C. Que valor ele havia observado original menteno painel?DC ~ 8r-3.2,_-: J

5e F - - 3;j-~ 9

- 0F -3?

g1 -\-3 7-:9 I~/ ! ! ' F = ~ 1 1 - 3 " r /

3. (UESC-BA) - Na embalagem de um prcduto exis te aseguinte recornendacao: "Manter a -4C".Num pals em que se usa a escala Fahrenheit, a tempe-ratura correspondente a recomei dada e01) -39,2P 02) -24,8F 03) 24,8F04) 39,rF 05) 402F~S r: Or- 3;;

'1 31

-36 z: s 8F _-1b ,_:)- 3G +:1 6 0 ~ set0(::- 171 :::-2L\,8"r

c- _---..J ~ --= - _

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~ r J ~ J ~ f 1 Y J j - .M o d u l o ~R E N T E 2 ~~L - t l ' IItel/I()/'(~,\,('(fllefa,I'Calor imetr ia

1. ENERGIA TERMICA

Todo corpo e formado de partfcu-las. Essas partlculas estao constan-temente em aqitacao, provocada paruma energia nelas existente.

A energia elnetlea media as-sociada a uma particula e que deter-mina seu estado de agita~ao, de-finindo a temperatura do corpo.o somat6rio das energias de agi-t acao das partfculas e a energiatermica do corpo.E importante notar que esse so-mat6rio de energias depende daenergia de aqitacao de cada parti-cula (da temperatura) e do nurnerode particulas que 0 corpo possui (damassa do corpo).2. CALOR E EQUILiBRIO

TERMICOOuando dois corpos em tempe-

raturas diferentes sao colocados emcontato terrnico, espontaneamente,he . transterencia de energia terrnicado corpo de maior para 0 de menortemperatura. Dessa forma, a tempe-ratura do "mais quente" diminui e do"rnais frio" aumenta ate que as duasse igualem. Nesse ponte cessa atroca de energia terrnica. Dizemosque foi atingido 0 equHlbria termi-co e a temperatura comum e deno-minada temperat~ril final deequilibria termi,:o.

Observemos que a causa deter-minante da passagem de energia ter-12 0 - +:)O BJET IV O

mica de A para B foi a diferenc;a detemperaturas e que, quando as tern-peraturas se igualaram, cessou apassagem de energia terrnica.

A energia terrnica que passa deA para B recebe, durante a passa-gem, a denorninacao de calor.

Portanto, calor e energia ter.mica em transIto de um corpopara outro,motivada pOl' umadiferen9a de temperaturasexistente entre eles.3. CALOR SENSivEL E

C.ALOR LATENTEColocanda-se um pedaco de fer-

ro na chama de uma vela, abserva-mas que a calor fornecido pela chamapravaca uma variario de tempe.ratura (aquecimento) no ferro.

Colacanda-se um pedaco de ge-1 0 na chama da vela, notamos que 0calor fornecido pela chama provocauma mudan~iI de estado (fusao)no gelo.

Portanto, quando um corpo rece-be ou cede calor, este pode produzirIlO corpo dais efeitos dilerentes: va-ria~io de temperatura o u mu-dan~a de estado.

Se 0 efeito 110 corpo for apenasval'iat;ao de temperatura, 0 ca-lor e charnado calor sensivel.

Se 0 etelto no carpo for apenasmudanca de eslado, 0 calor eehamado calor latente.

Assim, nas consideracoes acima,o calor recebido pelo ferro e senslvele 0 recebido pelo qelo e latente.

Por exemplo, so eolocarmos umpedac;o de ferro aquecido na cavida-de feita nurn bloeo de gelo a a o c ,verifiearemos 0 resfriamento do ferroe a fusao de parte do gelo. 0 ferro,mais quente, cede calor ao gelo. E.staquantidade de calor eedida peloferro provocou nele um resfrlamen-10, sendo calor senslvel. A mes-ma quantidade de calor ao ser rece-bida pelo gelo provoca nele u m a fu -sao, sendo, pois, charnaoo de calorlatenie.o calor latente sera alvo de es-tudo no proximo capitulo.

4. CAPACIDADE TERMICA (e)E CALOR ESPECiFICOSENSivEL Ie)Suponharnos que um corpo A de

massa m receba urna quantidade decalor senslvel 0, que Ihe provoca aaquecirnento A S.

mC ) Q -[ fis=eA]

Par definicao, acapacidadeiermica o u capacidade calorifica de urn carpo representa a quanti-


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dade de calor necessaria para variarsua temperatura de uma unidade.

QC=-bttUnidade usual: cal/oCPor definicao, 0 calor especifi.

co sensivel de uma substanciacorresponde a capacidade terrnicapor unidade de massa da mesma.

C Qc=-=---m mAe5. CALCULO DA QUANT. DADE

DECALORSENSivELDa definicao de calor especffico

sensivel, temos:oc=--m68

Q=mcMI

Esta r e la c ao e d eno rn in a da EquaC;ao Fundamental da Calorimetria.

6. CALORIA - CALORESPECiFICO SENSivELDAAGUAPor definicao, chama-se caloria

a quanti dade de calor necessaria pa-ra aquecer 1,Og de aqua pura de14,5C a 15,5C, sob pressao normal.Assim, temos.

~ g u a - l ~ I1 ,O g Q - 1,Ocal14,SoC

a g u a1 ,O g1S,SoC

O",mcMl1 ,0 cal: 1 ,O g . cagua . 1,0C

Portanto: calC"'gull =10-gOCResulta, pols, que a calor espe-

cifico da aqua, no intervalo de tem-peratura de 14,5C a 15,5C, vale1 ,0 cal/gOC.

De forma geral, costumamos utili-zar esse valor (1,0 cal/gC) do calorespecffico da aqua como constanteno intervalo de O D C a 100DC. I

7. BALAN~O ENERGETICOConsideramos varies corpos em

temperaturas diferentes, colocadosem contato terrnico, constituindo umsistema termicamente isolado (siste-ma que nao troca calor com 0 meioexterno).

Como estao em temperaturas di-ferentes, eles trocarn calor entre si,ate atingirem 0 equillbrio terrnico.

Mas, como 0 sistema e terrnica-mente isolado, isto e, como ele naotroca energia terrnica com 0 meio ex-terno, sua energia terrnica 101alper-manece constante.

Logo, a soma das quanti.dades de calor cedidas poruns e igual a soma das quanti.dades de calor recebidas pealos demais.

k Qcedida = k Qrecebida

Se convencionarmos:Calor recebido: 0 > 0

Usando-se a equacao Iundarnen- Calor cedido: 0 < 0tal da Calorimetria, para um gramade agua, vem: a expressao acima se transforma em:

}.;Qtrocada = 0ExemploSistema termicamente isolado.

lOa + Obi: IOc + Od + Oel'--v----cedido recebido\ , Pela convencao adotada, temos

Oa e Ob negativos e Oc' Od e Oe posi-tivos, de tal forma que:

8. EQUIVALENTE EM AGUANo equacionamento das quanti-

dades de calor trocadas entre corpospertencentes a um mesmo sistema,pode-se usar um artificio que facili-tara a obtencao do resultado final.Apenas na equacao pode-se substi-tuir 0 calor trocado par um deterrni-nado corpo pelo calor trocado poruma massa de aqua equivalente aele nas trocas de calor, isto e. pelamassa de aqua que tem a mesmacapacidade terrnica do corpo:

Ccorpo = Cagua

(mc'corpo = E . cagua

em que E e a massa de aqua querealiza as rnesrnas trocas de calorque 0 corpo.

A massa de aqua E e de no-minada equivalente em agua docorpo.

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D E xe rc ic io s P ro p o s to sI. (OLIMPjADA BRASILElRA DE FiSICA) - Al-

guns refrigerantes "light" inforrnarn no recipiente que350 mililitros de seu conteiido possuem teor caloricode l,Skcal. Assinale a seguir a alternativa querepresenta a variacao de temperatura que um litre de_agua sofreria se essa quantidade de energia fOsSeCfes-"tinada exclusivarnente para 0 seu aquecimento.a) a,015C b) Q,03C c) a,ISoCd) a,3C ~' I,SoCLembre-se de que: 1 I) \ C ) . : ) Jn l \ . - - , 1 1l mf = Icm-; . . . . : . : : : : - ' \ . 1 ' : - [ ; l . ~ ~ ) { I , ~densidade da agua = 1,Og/cm3 ;calor especifico sensivel da agua = 1 Ocal/g=C.o - J IS V ( rd l '. J IS, '/((X) n~, 40 - = - ?

Fisica - cinematica

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