CINEMÁTICA (2013)

H. O. Di RoccoFacultad de Ciencias Exactas, UNCPBA

April 15, 2013

Abstract

Veremos en esta clase los fundamentos de la Cinemática, tema, porsupuesto, tratado en todos los libros de Física I. No se tratan aquí lascuestiones referentes al movimiento relativo, tema de un próximo capítulo.

Estas notas fueron pensadas como un recordatorio personal, por lotanto, NO reemplazan un libro de texto; para esta unidad resultan útilesaquéllos indicados en las Referencias.

1 Introducción

La Cinemática se ocupa de la descripción del movimiento, concepto relativopor excelencia. Para tal descripción hay que elegir un Sistema de Coordenadas(SC), también denominado Sistema de Referencia (SR), un origen de tiemposy se supone que a lo largo de los ejes x,y,z en coordenadas cartesianas (SCC)hay un continuo de relojes debidamente sincronizados. Eventualmente, podemosusar otros sistemas de coordenadas: polares, cilíndricos, esféricos, etc., cosa quese hará en Mecánica Teórica. Por ahora, comenzamos con un SCC. Entonces,la posición de una partícula está dada por

r (t) = x (t) i+y (t) j+z (t)k: (1)

Una de las cuestiones más importantes en cinemática es cómo dos observadoresen SR distintos pueden correlacionar sus medidas. Este tema, denominadomovimiento relativo, será objeto de una clase posterior. Una posterior gener-alización, para cuando las velocidades involucradas son del orden de c

�� 3� 108ms�1

�,

será considerada en la última unidad: la Teoría Restringida de la Relatividad.Comencemos por el caso más sencillo, el unidimensional, donde podremos

hacer caso omiso del carácter vectorial de las magnitudes.

1

2 Movimiento rectilíneo; desplazamiento, veloci-dad, aceleración

Sea x (t) el desplazamiento, NO el camino recorrido. Entonces de�nimosla velocidad media ev como

ev = x2 � x1t2 � t1

� �x

�tms�1;

esta velocidad media no da información su�ciente para describir los detalles�nos del movimiento, puesto que depende de �t: Para independizarnos de �t;hacemos �t! 0; con lo cual de�nimos la velocidad instantánea v:

v = lim�t!0

�x

�t=dx

dtms�1:

La notación dx=dt indica la operación del Cálculo In�nitesimal denominadaderivada, fundamental en el Análisis Matemático. Sin entrar en los detallesanalíticos, cosa que por otra parte se verá en Análisis Matemático, diremosque la derivada es la operación que nos da el cambio relativo de la variabledependiente respecto de la independiente. Grá�camente hablando, y solamentesi las escalas sobre los ejes t; x son iguales, la velocidad es la pendiente de latangente a la curva x (t) en cada instante.Hay distintas funciones x (t) que pueden resultar de interés. La más sencilla

es la linealx = x0 +mt;

donde m es la pendiente de la recta. Si derivamos miembro a miembro,resulta que v = m = cte; por lo que la expresión anterior queda, en de�nitiva,en su forma canónica:

x = x0 + vt ms�1

Este tipo de movimiento, caracterizado por x = x0 + vt y, por lo tanto, conv = cte; se denomina movimiento rectilíneo uniforme (MRU).

2

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

t

x

Figura 1: grá�cas para x(t) y v(t) en el MRU.

Otras posibles formas funcionales de interés serán las siguientes:

x = x0 + v0t+12at

2 v = v0 + atx = A cos (!t+ �) v = �!A sin (!t+ �) :

La primera línea de arriba describe el movimiento denominado uniforme-mente acelerado; el segundo renglón describe el movimiento oscilatorio (o ar-mónico simple): es uno de los movimientos más generales de toda la Física.Toda una unidad de este curso será destinada a este tipo de movimiento.En todos los casos, hay que observar el cumplimiento de las reglas del Análisis

Dimensional: p.e.: ! se mide en s�1 y A en m; luego, en la expresión para lavelocidad, !A se medirá en ms�1:En el caso en que la información sobre el movimiento esté dada por v (t) ;

el desplazamiento se calcula teniendo en cuenta que dx = v (t) dt; por lo cual,integrando miembro a miembroZ x

x0

dx =

Z t

t0

v (t) dt =) x = x0 +

Z t

t0

v (t) dt;

si v = cte; resulta que

x = x0 + v (t� t0) : (2)

Desde el punto de vista geométrico, la operación anterior signi�ca que eldesplazamiento viene dado por el área bajo la curva v (t) :Importante: debe quedar en claro que x es el desplazamiento; el camino

recorrido viene dado por

camino recorrido =Z t

t0

jv (t)j dt

3

pero esta cantidad no es de mayor importancia física; su mayor interés es enlas competencias automovilísticas, donde el desplazamiento puede ser nulo (sihablamos de carreras en pistas cerradas), el camino recorrido obviamente no loes y la velocidad promedio (de�nida en dichas competencias) signi�ca caminorecorrido/tiempo empleado.Si v (t) es constante, tenemos el denominado movimiento rectilíneo uniforme;

en caso en que v (t) 6= cte; podemos de�nir, análogamente, el concepto de acel-eración media: ea = �v

�t;

e instantánea

a =dv

dt

�m=s

s

�=d

dt

�dx

dt

�ms�2 � d2x

dt2ms�2:

A las formas funcionales anteriores les corresponderán, respectivamente

a = a

a = �!2A cos (!t+ �) = �!2x (t) :

Si la información viene dada por a (t) ; la velocidad se calcula teniendo encuenta que dv = a (t) dt; por lo que

v = v0 +

Z t

t0

a (t) dt

y

x = x0 +

Z t

t0

�v0 +

Z t

t0

a (t) dt

�dt:

Si a = cte (como en el caso de la caída libre, donde por convención setoma el eje j apuntando hacia arriba, a =� gj),

y = y0 + v0 (t� t0)�g

2(t� t0)2 :

Importancia de la aceleración: como veremos más adelante, al tratarla Dinámica, la Ley fundamental de la Dinámica (2a Ley de Newton) relacionadirectamente la Fuerza (el agente del cambio de movimiento) con la aceleración.

2.1 Movimientos acelerado o retardado (tiro vertical ycaída libre)

Siempre que la dirección de v sea igual a la dirección de a, no importa si ambasa la derecha o ambas a la izquierda, el movimiento se denomina acelerado;en caso contrario será decelerado (o retardado). El ejemplo más natural loconstituye el de tiro vertical y caída libre. Especí�camente en este

4

caso, eligiendo el sentido positivo del eje vertical hacia arriba, g apunta siemprehacia abajo, y eligiendo el origen de tiempos en t0 = 0

y = y0 + v0yt�g

2t2

v = v0y � gt:

La altura máxima ocurre cuando v = 0; entonces t = v0y=g y por lo tanto

ymax = y0 +v20yg� 12gv20yg= y0 +

v20y2g:

2.1.1 Ejemplo

Importante: no hay que recordar, necesariamente, las fórmulas de arriba.Se lanza un cuerpo hacia arriba desde una altura de 100 m, con una velocidad

inicial de 98 m/s y se quieren averiguar algunas características del movimiento.Podemos describir el movimiento ubicando el origen en el suelo o bien desdedónde se lanzó el cuerpo (o desde cualquier otro punto, cosa que puede ser o node interés). Las ecuaciones para y(t); v(t) son, eligiendo g =� gj

v = v0 � gt = 98 m=s� 9:8 ms�2t

y = y0 + v0t� 4:9t2 = 100 m+ 98 ms�1t� 4:9 ms�2t2:

Si queremos averiguar la altura máxima, ésta ocurrirá cuando v = 0; lo cualsucede cuando t = 10 s; reemplazando en la segunda, nos da ymax = 590 m: Eltiempo que tarda en llegar al suelo sale de poner y = 0 en la segunda ecuación,con las soluciones t = �0:96s; 20:96s; la primera de ellas no tiene sentido físico1 .La velocidad con que arriba resulta �107:4 ms�1; el signo "-" signi�ca queapunta hacia abajo.

1En un párrafo próximo veremos un caso donde un tiempo negativo TIENE sentido.

5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20­100

0

100

200

300

400

500

600

t

y

Figura 2: Grá�cas de y (t) y v (t) para el ejemplo.

2.2 Cuando tenemos a (x)

Una relación importante se logra cuando la aceleración depende de la posición;por ejemplo, una masa sujeta a un resorte "ideal" (cumple lo que se llamamovimiento armónico simple, ya veremos qué signi�ca ésto, más adelante), sat-isface a (x) = �(k=m)x:En general, si conocemos a (x) ; y teniendo en cuenta que

dv = a dt y v =dx

dt;

al multiplicar miembro a miembro, se "simpli�ca" dt :

v dv = a dtdx

dt= a dx

e integrando Z v

v0

v dv =

Z x

x0

a (x) dx

lo que implica el resultado general (usando aquí la regla de Barrow, ver Apéndice)

1

2

�v2 � v20

�=

Z x

x0

a (x) dx:

En el caso de tiro vertical, con a = �g

v2 = v20 + 2g (h0 � h) :

6

En el caso del movimiento armónico simple (M.A.S.), donde F (x) = �kx; ypor lo tanto (COMO VEREMOS EN DINÁMICA), a (x) = � (k=m)x 2Z x

x0

a (x) dx =k

2m

�x20 � x2

�=) 1

2

�v2 � v20

�=

k

2m

�x20 � x2

�:

Si observamos con cuidado estas dos últimas expresiones, que reescribimosasí

v2 + 2gh = v20 + 2gh0

y

v2 +k

2mx2 = v20 +

k

2mx20;

ambas nos dicen que hay cantidades que, evaluadas en x0 (o en h0) y encualquier otro punto genérico x (o en h) se conservan. Luego veremos quepara ciertos tipos de sistemas, denominados conservativos, podremos enunciarla denominada ley de conservación de la energía mecánica.

3 Algunos ejemplos simples

A lo largo del curso volveremos una y otra vez a una serie de ejemplos car-acterísticos, en los cuales aplicaremos los conceptos que iremos desarrollando:movimiento armónico simple, retardado por fricción, movimiento planetario...Ejemplo 1El movimiento de una masa sujeta a un resorte o el de un péndulo que oscila

con ángulos pequeños (< 10o) se describe mediante el denominado movimientoarmónico simple, uno de los modelos más importantes de toda la Física. Eneste caso, x (t) = A sin (!t+ �) ; siendo A la amplitud, medida en metros, ! lapulsación

�s�1�y � la fase inicial. Derivando una y dos veces

v (t) = !A cos (!t+ �)

a (t) =d2x

dt2= �!2A sin (!t+ �) = �!2x (t) ;

�jémosnos que la última puede escribirse

d2x (t)

dt2+ !2x (t) = 0;

una expresión de este tipo se denomina ecuación diferencial, y su estudiocorresponde al Análisis Matemático (en general, al 2o curso). De cualquier man-era, como hemos partido de que x (t) = A sin (!t+ �) ; ya sabemos que cuandotengamos una ecuación diferencial de la forma d2x (t) =dt2+!2x (t) = 0; la solu-ción será x (t) = A sin (!t+ �) (o, eventualmente x (t) = A cos (!t+ �)):SINQUERER, YA SABEMOS RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL..!

2También veremos que el símbolo m se re�ere a la masa, una medida cuantitativa de lapropiedad denominada inercia.

7

Ejemplo 2Supongamos el movimiento de un cuerpo retardado por la fricción; una ley

empírica que anda bien a velocidades relativamente bajas es que la deceleraciónes proporcional a la velocidad: a = dv=dt = �kv; con las dimensiones [k] = s�1:Esta ecuación es otro tipo de E.D. y si bien no es necesario entrar en los detallesacerca de cómo se resuelve (por lo demás, en una forma bastante sencilla), lasolución es

v (t) = v0e�kt;

como puede veri�carse por simple derivación. Integrando v (t) (tampoco esnecesario entrar en los detalles técnicos de cómo se hace ésto), encontramos que

x (t) = x0 +v0k

�1� e�kt

�:

SIGNIFICADO FÍSICO: la expresión para v (t) indica el resultado fácilmenteveri�cable de que el cuerpo se detiene (v = 0) al cabo de un cierto lapso (aunque,teóricamente hablando, t sea in�nito); la expresión de x (t) nos dice que laposición �nal será un número �nito.EJERCICIO (para cuando estén estudiando para el final y sepan bien

Análisis I)Derivar la expresión anterior para x (t) y veri�car las ecuaciones para v (t)

y a (t) :

4 Problemas de encuentro y paradoja de Zenón

Típicamente, los problemas de encuentro tienen una formulación similar a lasiguiente: sea un móvil A que pasa por el origen del SR con una velocidad vAen t = 0; un cierto tiempo después, t1 pasa otro móvil B con velocidad vB ; ¿enqué punto B sobrepasa a A y cuánto tarda en hacerlo? Grá�camente, podremostener diversos casos. En el que sigue, vB > vA y el encuentro se produce luegode pasar por el origen del SR:

8

0 1 2 3 4 5 6 70

10

20

30

40

t

x

En el caso que sigue, vB < vA, por lo que el encuentro se produjo antes depasar por O; una solución negativa para el tiempo tiene sentido en este caso:

­7 ­6 ­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­30

­20

­10

10

20

t

x

Paradoja de Zenón3. Desde el punto de vista cinemático, la resoluciónde la paradoja de Zenón de Elea es trivial. Si en t = 0; Aquiles se halla en elorigen de coordenadas mientras que la tortuga está en la posición x0; y ambos

3Zenón de Elea (n. 490 AC �m. 430 AC), famoso por sus paradojas.

9

se mueven sobre el eje x con velocidad constante, las ecuaciones de movimientoserán, con vA > vT

xA = vAt; xT = x0 + vT t;

Aquiles sobrepasa a la tortuga cuando xA = xT ; o sea, cuando

t =x0

vA � vT;

en la posición

xA = xT � x� = vA�

x0vA � vT

�:

El razonamiento de Zenón consistía en pensar algo así como: cuando Aquilesllega a x0; tarda un tiempo t0 = x0=vA; en este lapso, la tortuga recorre uncamino s0 = t0vT = x0 (vT =vA) : Cuando Aquiles recorre la distancia s0; tardaun tiempo t1 = s0=vA = x0vT =v2A y en ese lapso la tortura recorre s1 = t1vT =x0 (vT =vA)

2; :::

De tal manera, el camino recorrido por Aquiles es

s = x0 + s0 + s1 + ::: = x0

1 +

�vTvA

�+

�vTvA

�2+ :::

!

y el tiempo que tarda en alcanzar a la tortuga viene dado por

t = t0 + t1 + ::: =x0vA

1 +

�vTvA

�+

�vTvA

�2+ :::

!:

Zenón no sabía en esa época que la suma de in�nitos términos puede dar unresultado �nito. En efecto, como vT < vA; la serie entre paréntesis es conver-gente y vale

1 +

�vTvA

�+

�vTvA

�2+ :::

!=

1

1� (vT =vA)=

vAvA � vT

:

Entonces, el tiempo que tarda Aquiles en llegar a la tortuga viene dado por

t =

�x0vA

��vA

vA � vT

�=

x0vA � vT

;

como antes.

4.1 Problemas de encuentro en los casos de tiro verticaly/o caída libre

Evidentemente, pueden plantearse problemas de encuentro cuando uno o ambosde los móviles ejecutan movimientos acelerados. Algebraicamente hablando, lassoluciones se plantean del modo siguiente. Si y1 (t) e y2 (t) son las posiciones de

10

los cuerpos, éstos se encontrarán en los tiempos t� y en las coordenadas y� quesatisfagan y�1 (t

�) = y�2 (t�) : Para el caso de dos cuerpos puntuales que ejecutan

movimientos dados por

y1 = y10 + v10t�g

2t2; y2 = y20 + v20t�

g

2t2;

las posibilidades de encuentro vienen presentadas grá�camente. Si el movimientodel cuerpo puntual #1 viene dado por la curva negra, el cuerpo #2 podrá en-contrarse dos veces con el #1 (curva color siena), una vez (curva roja) o ninguna(curva azul):

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

y

5 Movimiento curvilíneo en el plano; velocidad

El movimiento de un punto P en el plano puede entenderse mediante tres de-scripciones, cada una de ellas con alguna ventaja en algunos conceptos.Veamos ante todo uno o dos resultados generales que nos serán de utilidad

en lo que viene. Ante todo, debemos notar que en su forma intrínseca, esdecir independientemente del sistema de coordenadas elegido para estudiarlo,todo vector puede ponerse en la forma a =au; siendo u un vector unitarioque se denomina el versor de la dirección orientada r, y que cuando convenga,pondremos en la forma ur: Asimismo usaremos indistintamente las notacionesn � uN ; para el versor nomal a la curva y t � uT ; para el versor tangente a lacurva, ya que serán extensamente utilizados en diversos capítulos del curso.Indiquemos estos resultados generales:a. La derivada de un versor respecto del tiempo no es, en general,

un versor.

11

Sea un versor u (t) ; dado que su módulo es constante, al cambiar t solamentepuede rotar. Escribamos, para hacer más sencilla la deducción

u (t) = cos �i+sin �j juj = 1;

entoncesdu

dt=du

d�

d�

dt= (� sin �i+ cos �j) d�

dt� u?

d�

dt

donde, como puede verse, u? es perpendicular a u; y de módulo d�=dt:Entonces,salvo que d�=dt = 1; el módulo de du=dt no es constante. En las expresionesanteriores d�=dt es lo que llamaremos velocidad angular: la razón de cambio deun ángulo respecto del tiempo.Nota: Cuando nos referimos al versor ur; el que indica la dirección desde

el origen de coordenadas a la posición del punto material, al versor u? se losuele denotar como u� (ver más adelante, la �gura de la sección "La curva contodos los versores"). Análogamente, cuando el vector es tangente a una curva,como en el caso fundamental de la velocidad, al versor u? se lo suele denotarcomo uN : precisamente uN ? uT :b. Estructura intrínseca de la derivada.Sea v un vector genérico (¡no necesariamente sólo el vector velocidad..!):

v =vu; entoncesdv

dt=dv

dtu+v

du

dt=dv

dtu+v

d�

dtu?; (3)

lo que nos dice que la variación de v tiene dos componentes: uno paraleloal mismo v y el otro perpendicular a él. Si v es la velocidad de una partícula,entonces la expresión anterior nos da la aceleración a:Nota: Cuando, con la notación v indicamos la velocidad y dado que, como

veremos a continuación está en la dirección tangente a la trayectoria, escribire-mos

v =vuT ;dv

dt=dv

dtuT+v

duTdt

=dv

dtuT+v

d�

dtuN :

Cuando v = jvj = cte; se generaliza lo visto para versores, ya que laderivada de un vector de módulo constante es perpendicular al vector mismo:v (d�=dt)uN :1. Coordenadas intrínsecas (o: Descripción intrínseca)Nota: una cuestión de denominaciones. Cuando empleemos la palabra ve-

locidad vamos a indicar la cantidad vectorial: magnitud, dirección y sentido;lo designaremos con la notación v: La sola magnitud, es decir v � jvj ; serádenominada rapidez ( o celeridad). También puede usarse velocidad escalar.Personalmente, pre�ero la palabra rapidez ya que es común en el habla diario.En lugar de describir el movimiento mediante los pares (x; y) o (r; �) ; podemos

usar la coordenada s sobre la curva, que mide la longitud de la trayectoria; no de-pende del tipo de coordenadas usadas. El mayor interés en esta descripción estáen que podemos demostrar explícitamente que la velocidad es tangente a

12

la trayectoria. Teniendo en cuenta que cuando �t! 0; también ocurre que�s! 0; podemos pensar en la siguiente evaluación

v = lim�t!0

�r

�t= lim

�t!0;�s!0

��r

�s

�s

�t

�= lim

�t!0

�s

�tlim�s!0

�r

�s=ds

dt

dr

ds

en el último paso tenemos en cuenta que en el límite las longitudes de arco dsy la de jdrj tienen a ser iguales y como dr=ds debe ser un vector, todo indicaque dr=ds será un versor (dr = dsuT ); por lo tanto

v = vuT :

2. Coordenadas cartesianas (cómodas para tratar el tiro oblicuo)La posición de P queda de�nida mediante x (t) e y (t) : r =x (t) i+y (t) j: Los

versores son �jos por lo cual la velocidad viene dada por v =vxi+vyj: Entonces,

v =qv2x + v

2y y v forma un ángulo tal que tan� = vy=vx:

No se vislumbra fácilmente que v es tangente a la trayectoria.3. Coordenas polares (útiles para tratar el movimiento planetario)La posición de P queda de�nida mediante las coordenadas r (t) y � (t) :

X

Y

ur

u(theta)

Coordenadas polares

la relación con las cartesianas es

x = r cos � r =px2 + y2

y = r sin � � = tan�1 (y=x);

el vector posición esr =r

^r � rur

13

pero ahora el versor^r (� ur) no es �jo. La velocidad se encuentra derivando,

v =dr=dt; o sea:

v =dr

dtur + r

durdt;

y comodurdt

=d�

dtu�

siendo u� un versor en la dirección transversal (u� ? ur) ; resulta que

v =dr

dtur + r

d�

dtu�:

En de�nitiva, en coordenadas polares resulta que

v = vr+v�; con vr =dr

dtur y v� = r

d�

dtu�

y

v =

s�dr

dt

�2+

�rd�

dt

�2

6 Movimiento curvilíneo en el plano; aceleración

1. En coordenadas intrínsecasComenzamos con esta descripción para mostrar que, independientemente

de la elección de las coordenadas, la aceleración tiene, en cada punto de latrayectoria, una componente tangente a la curva y otra normal a ella. Paraello vamos a hacer uso de la noción de que en cada punto de toda curva suavepodemos de�nir un círculo osculatriz y que el radio de curvatura R cumpleds = Rd�. Derivando v; tenemos la ec. 3, que escribimos nuevamente

a =dv

dt=d

dt(vuT ) =

dv

dtuT + v

duTdt;

ya hemos visto que duT =dt = (d�=dt)n; pero como, por la regla de la cadena(ver el Apéndice)

d�

dt=d�

ds

ds

dt=1

Rv;

resulta queduTdt

=v

Rn

y, en de�nitiva

a =dv

dtuT +

v2

Rn = aT + aN

�a =

qa2T + a

2N

�;

las componentes aT y aN se denominan componentes tangencial y normal(o centrípeta) respectivamente, de la aceleración.

14

DEBE QUEDAR EN CLARO ENTONCES, QUE EN TODOMOVIMIENTOCURVILÍNEO SIEMPRE HAY ACELERACIÓN, AÚN EN EL CASO EN QUEjvj = cte:2. En coordenadas cartesianas; relación con las intrínsecasEn principio,

a =d2x

dt2i+

d2y

dt2j =axi+ ayj;

ahora bien, si � es el ángulo que uT forma con i y recordando que uT =cos�i+sin�j y n =�sin�i+cos�j; entonces podemos pasar de las componentesintrínsecas a las cartesianas

a =dv

dt(cos�i+sin�j) +

v2

R(� sin�i+ cos�j)

con lo cual

ax =dv

dtcos�� v

2

Rsin�

y

ay =dv

dtsin�� v

2

Rcos�:

3. En coordenadas polares (para cuando derivar deje de causar susto)Aunque sea un poco engorroso el resultado �nal, el esfuerzo se justi�ca puesto

que la descripción de importantes tipos de movimiento se describen en coorde-nadas polares, por ejemplo, el movimiento de los planetas alrededor del sol.Partimos de

a =d

dt

�dr

dtur + r

d�

dtu�

�;

derivando convenientemente y teniendo en cuenta que

durdt

=d�

dtu�;

du�dt

= �d�dtur

podemos llegar a (es un ejercicio largo, pero alguna vez vale la penahacerlo)

a =

"d2r

dt2� r

�d�

dt

�2#ur +

�2dr

dt

d�

dt+ r

d2�

dt2

�u�

o, lo que es lo mismo

a =

"d2r

dt2� r

�d�

dt

�2#ur +

�1

r

d

dt

�r2d�

dt

��u�;

donde el primer término se denomina aceleración radial y el segundo aceleracióntransversa.Importancia para el estudio del movimiento de los planetas alrededor

del Sol.

15

Haremos uso de estos resultados en una unidad posterior, cuando describ-amos el movimiento de los cuerpos sobre los que actúa una fuerza centralinversamente proporcional al cuadrado de la distancia: F = �C=r2^r: Como sedemostrará más adelante, una partícula sometida a una fuerza central describeuna sección cónica (circunferencia, elipse, parábola o hipérbola, dependiendo dediversos parámetros físicos).

6.1 La curva con todos los versores

Para no confundirnos, vamos a plantear una curva arbitraria (por empezar,distinta de una circunferencia, en general) y trazaremos los distintos versores:

UR

U(theta)UT

UNI

Siempre sucede que ur?u� y siempre sucede que uT?uN : En el caso enque la curva sea una circunferencia uT � u� y uN = �ur; ver la próximasección.Resumiendo, esto signi�ca que, dado un versor radial ur; su derivada es

proporcional a u�; y dado un versor tangente uT ; su derivada será proporcionala uN :Siempre sucede que si e (t) forma un ángulo � con el eje x, entonces

de

dt= e?

d�

dt:

16

6.2 Cómo elegir la representación

Esto se hará en cada problema físico en particular, dependiendo de la simetríadel problema. Como veremos en una próxima clase, en Dinámica hay dos proble-mas que podemos denominar problema directo y problema recíproco: el primeroes "dada la fuerza hallar el movimiento resultante" y el segundo es "dado el tipode movimiento, encontrar la fuerza que lo provoca". Sea como sea, la presenciade cualquier componente de la aceleración implica la existencia de una fuerzaactuante sobre el punto material, paralela a dicha componente. Además, noimporta la representación elegida, se tendrán las integrales vectoriales

v (t) = v (t0) +

Z t

t0

a (t) dt

y

r (t) = r (t0) +

Z t

t0

v (t) dt:

7 Movimiento circular uniforme

En este caso, como R=cte, conviene la representación en coordenadas polares,puesto que tendremos una sola variable, � (t) : También podríamos usar s(t) =R� (t) : Hay una completa analogía con las expresiones del movimiento unidi-mensional si de�nimos la velocidad angular como ! = d�=dt = v=R y la acel-eración angular como � = d!=dt = (dv=dt) =R = aT =R: Recordando que, parar = R = cte

v =dr

dtur + r

d�

dtu� = 0 + r

d�

dtu� = R

v

Ru� = vu�:

Además, como siempre (¡intrínsecamente!) vale v =vuT ; resulta que para elmovimiento circular uniforme u� = uT :Una manera sencillísima de ver todo esto es escribir, como ya sabemos

r = A [cos (!t) i+ sin (!t) j]

v = �!A [� sin (!t) i+ cos (!t) j]

a = �!2A [cos (!t) i+ sin (!t) j] ;

por lo cual v ? r y a = �!2r:En de�nitiva, si se da como dato la aceleración angular � (t) ; entonces se

pueden encontrar ! (t) y � (t) mediante

! (t) = !0 +

Z t

t0

� (t) dt

17

y

� (t) = �0 +

Z t

t0

! (t) dt:

Recalquemos entonces que en cada instante debemos sumar vectorialmenteaT + aN = �RuT + !

2Rn para tener a y por lo tanto la ligazón con la fuerzaactuante.En el caso en que ! = cte y por lo tanto � = 0; tenemos el movimiento

circular uniforme, que relacionamos a continuación con el movimiento armónicosimple.

7.1 Relación del M.C.U. con el M.A.S.

Podemos considerar que las proyecciones del MCU sobre los ejes x e y nos dandos M.A.S. En éste se de�nen las magnitudes T; denominado período, comoT = 2�R=v � 2�=!: ! se denomina pulsación, relacionado con la frecuencia �a través de ! = 2��: En el M.C.U. ! es la velocidad angular mientras que en elM.A.S es, básicamente, una frecuencia (más allá del factor 2�):

7.2 Necesidad de una notación vectorial para ~! (movimientocircular no necesariamente uniforme)

Con la intención primordial de estudiar el movimiento de un cuerpo situadosobre la super�cie terrestre, nos vemos en la necesidad de introducir ~! comouna magnitud vectorial. Efectivamente, dado que r y v son vectores, es útilde�nir �!! (� !) como un vector libre, no deslizante, tal que

v =�!! ^ r

de manera que (ver �gura)

v = !r sin� = !R:

El vector aceleración angular viene dado por

� =d�!!dt

y por lo tanto � es paralelo a �!! : La aceleración lineal a es, entonces

a =dv

dt=d

dt(�!! ^ r) = d�!!

dt^ r+�!! ^ dr

dt= � ^ r+�!! ^ v;

el primer término es la aceleración tangencial aT = � ^ r (de módulo �R)y el segundo es la aceleración centrípeta aN =

�!! ^ v = �!! ^ �!! ^ r (de módulo!2R).Atención: no pensar nunca en la denominación centrífuga, hasta que veamos

sistemas de referencia acelerados.

18

7.3 Un cuerpo ubicado sobre la super�cie terrestre

Ya que el movimiento de rotación diaria implica que alrededor del eje sur-nortela Tierra recorre 2� por día, resulta que ! ' 7:292�10�5s�1: El radio terrestrees del orden de r ' 6:35� 106m; por lo que un cuerpo A ubicado a la latitud �tendrá un radio de giro R = r cos�; con lo cual vA = !r cos� = 463 cos� ms�1:La aceleración centrípeta aN = !2R = !2r cos� ' 3:38� 10�2 cos� ms�2: Losvalores máximos ocurren sobre el ecuador, cuando � = 0;con lo cual vA = 463ms�1 y aN ' 3:38 � 10�2 ms�2; este valor es casi 300 veces menor al de laaceleración de la gravedad, g: Es al ser tan pequeña esta aceleración que nosentimos la fuerza centrípeta sobre nosotros.

7.4 Movimiento de precesión

El vector r (de módulo constante) barre, alrededor del eje de rotación (quecoincide con la dirección de �!! ) una super�cie cónica, formando un ángulo �:Este tipo de movimiento se llama de precesión y veremos su importancia altratar cuerpos rígidos. En lugar de considerar r consideremos un vector Acualquiera (pero de módulo constante) que describe un movimiento de precesióncon velocidad angular �!! : Entonces, por comparación con

v =dr

dt= �!! ^ r;

resultarádA

dt= �!! ^A;

lo importante es que así como v?r, el vector dA=dt ? A.

8 Composición de movimientos; movimiento deproyectiles lanzados con velocidades relativa-mente pequeñas

Consideremos el caso de un punto material lanzado con velocidad v0 formandoun ángulo � con respecto del eje x; eligiendo por convención el sentido positivohacia arriba, a = �gj. Descomponiendo v0 en sus componentes cartesianas

v0=v0xi+v0yj �v0 cos�i+ v0 sin�j;

en cualquier punto de la trayectoria (es decir para un t arbitrario), tendremosque la componente x de la velocidad es constante, mientras que la componentey se comporta similarmente al problema de tiro vertical:

vx = v0x; vy = v0y � gt = v0 sin�� gt;

19

integrando, y suponiendo que parte del origen (x0 = y0 = 0), tendremos lasdenominadas ecuaciones paramétricas (u horarias) x (t) e y (t) :

x = v0xt

y = v0yt�g

2t2:

Despejando t podremos obtener la ecuación de la trayectoria y (x)

t =x

v0 cos�

y = v0yx

v0x� g2

�x

v0 cos�

�2� ax� bx2

que es la ecuación de una parábola de 2o grado.

8.1 Propiedades

Para que alcance el punto de altura máxima A, tenemos en cuenta que en esepunto vy = 0; de donde

tA =v0yg=v0 sin�

g

y la altura máxima que alcanza será

y = v0ytA �g

2t2A =

v20 sin2 �

2g:

El tiempo de vuelo se calcula teniendo en cuenta que al tocar el suelo, y = 0;entonces

tV =2v0yg

=2v0 sin�

g;

el doble del valor anterior: tV = 2tA: El alcance, o sea la distancia sobre el ejex donde el proyectil choca, viene dado por

R = v0xtV =v20gsin (2�) :

Dada una cierta velocidad v0; el máximo alcance se logra cuando � = 45o;en efecto, de la ecuación anterior, el máximo valor de sin (2�) = 1; lo que ocurrecuando � toma dicho valor.EJERCICIOSAprehender el signi�cado físico de la composición de movimientos.Estos resultados se aplican al caso en que x0 = y0 = 0; en cierto tipo de

problemas, éstas condiciones no se cumplen, por lo tanto, no hay que aprenderlas últimas fórmulas de memoria.

20

9 Cómo ir de las ecuaciones paramétricas a lasde la trayectoria

En los casos más sencillos, como el visto arriba, puede despejarse t de la ecuaciónx (t) ; reemplazar en y (t) y la operación nos da y (x) : Podría suceder que taloperación no sea siempre sencilla, pero podemos construir una tabla de valorescomo la siguiente:

t x yt0 x0 y0::: ::: :::tN xN yN

;

de dicha tabla podemos obtener, indistintamente x (t) ; y (t) o y (x) ; y gra�-carlas mediante programas adecuados.

10 Apéndices

1.Regla de Barrow: Si se cumple que

dF (x)

dx= f (x) ;

el vínculo entre las nociones de integral inde�nida (o antiderivada, o prim-itiva), F (x) ; y la integral de�nida, que mide el área debajo de la curva f (x) ;viene dado por la regla de Barrow:Z b

a

f (x) dx = F (b)� F (a) :

Este resultado se conoce como Teorema Fundamental del Cálculo.Ejemplo: se verá en Análisis Matemático que si F (x) = sin (x) ; entonces

f (x) = cos (x) : Si uno quiere encontrar el área bajo la curva cos (x) en [0::�=2] ;ésta vendrá dada por

�Area =

Z �=2

0

f (�) d� = sin (�=2)� sin (0) = 1� 0 = 1:

Pequeño ejercicio: gra�car cos (x) en [0::�=2] y calcular grá�camente el áreabajo la curva.2.Regla de la cadena. En nuestro caso el dato del problema es s (t) ;mien-

tras que nosotros necesitamos calcular d�=dt; sin saber cómo varía explícita-mente � con t: Entonces hacemos uso de la regla que nos ocupa que, en símbolos,parece mostrar cosas "que se simpli�can":

dF

du=dF

dw

dw

du; (4)

21

y que nos dice lo siguiente: si conocemos cómo varía w (u) y necesitamossaber cómo varía F (u) ; sabiendo cómo varía F (w) ; entonces vale la fórmula(4).Una pequeña "demostración" puede verse de esta manera: como se verá al

estudiar la noción de diferencial, el cambio de una función F (w (u)) vale, alcambiar u

�F ��dF

du

��u;

análogamente, podemos escribir, cuando cambia w

�F ��dF

dw

��w y �w �

�dw

du

��u

por lo cual

�F =

�dF

dw

��dw

du

��u

y comparando con la primera, resulta entonces la fórmula 4. Mejores demostra-ciones pueden encontrarse en los libros de Análisis Matemático.

11 Revisión [2]

Una vez estudiado este capítulo deben poseerse los siguientes conocimientos:1. Conocer las de�niciones de desplazamiento, velocidad y aceleración.2. Ser capaz de distinguir entre velocidad vectorial (velocidad) y módulo de

la velocidad (rapidez).3. Ser capaz de calcular (a mano alzada) la velocidad instantánea en una

representación grá�ca.4. Saber calcular el desplazamiento de una partícula en una curva v (t) y las

variaciones de velocidad en una curva a (t) :5. Sumar y restar vectores grá�camente.6. Expresar los vectores arbitrarios en función de vectores unitarios. Es-

quematizar una curva en 2D e identi�car claramente los versores i; j;uT ;uN ;ur;u�:7. Saber que en el movimiento de proyectiles los movimientos horizontal y

vertical son independientes y ser capaz de resolver problemas usando este hecho.8. Saber que cuando una partícula se mueve en un círculo con rapidez

constante, posee una aceleración centrípeta de magnitud v2=r; dirigida hacia elcentro del círculo.Saber definir, explicar o simplemente identificar:Partícula, velocidad, rapidez, desplazamiento, velocidad media, velocidad

instantánea, pendiente, derivada, aceleración media, aceleración instantánea,integral.Componentes de un vector según las direcciones dadas por los distintos

versores [(i; j) ; (uT ;uN ) ; (ur;u�)] ; tiempo de vuelo, alcance, aceleración cen-trípeta.

22

12 Preguntas [3]

1. Un conejo avanza cada segundo la mitad de la distancia que hay de su nariza una lechuga. ¿Podrá llegar hasta la lechuga? ¿Cuál es el valor límite de suvelocidad media? Hacer una grá�ca mostrando su velocidad y otra mostrandosu posición conforme transcurre el tiempo.2. Vincular este caso al de la paradoja de Aquiles y la tortuga.3. a) ¿Puede un cuerpo tener velocidad cero y estar acelerado? b) ¿Puede

un cuerpo tener rapidez constante y velocidad variable? c) ¿Puede un cuerpotener velocidad constante y rapidez variable?4. ¿Puede un cuerpo tener velocidad hacia el este y sin embargo tener

aceleración hacia el oeste?5. MÁS DIFÍCIL E INTERESANTE: considere una pelota que se lanza vertical-

mente hacia arriba. Tomando en cuenta la resistencia del aire, ¿esperaría Vd.que el tiempo que tarda en subir sea mayor o menor que el tiempo que tarda enbajar?6. En el movimiento de los proyectiles, ¿será necesario considerar movimiento

en 3D más bien que en 2D?7. Un autobús, con un parabrisas vertical, se mueve en medio de un aguacero

con una velocidad vb: Las gotas caen verticalmente con una velocidad �nal vr:¿Con qué ángulo pegan las gotas contra el parabrisas?8. Un muchacho va sentado en un vagón de ferrocarril que se mueve con

rapidez constante y arroja una pelota al aire directamente hacia arriba. ¿Caerála pelota detrás de él?¿Delante de él?¿Caerá en sus manos? ¿Qué pasará si elvagón acelera hacia adelante o toma una curva mientras la pelota está en elaire?9. Un ascensor está bajando con velocidad constante. Un pasajero toma una

moneda y la deja caer en el piso. ¿Qué aceleración observará para la monedaque cae (a) el pasajero y (b) una persona en reposo con respecto al pozo delascensor?

References

[1] Alonso-Finn

[2] Tipler

[3] Resnick-Halliday

23