𝐎

𝐫

𝐫 ′

𝚫𝐭

𝑿

𝒀

𝒁

𝐓

𝐀

𝐁

𝐭

𝐭+ 𝚫𝐭

𝚫𝐫

𝜽

CINEMATICA

El estudio del movimiento de los cuerpos data desde tiempos antiguos, los

científicos de la antigüedad se preguntaban cómo concebir una manera o un

concepto de naturaleza física y matemática a la vez que permita cuantificar el

movimiento de los cuerpos, por su puesto ellos no conocían los aparatos

matemáticos que manejamos hoy en día los llamados humanos del futuro, pero aun

a pesar de sus limitaciones, ellos fueron capaces de desarrollar el método científico

que tantos frutos nos han dado a nosotros los científicos, el método científico un

método tan potente que estos grandes hombres descubrieron y utilizaron comienza

con la observación, la partícula o cuerpo en estudio se dispone a ser observada

respecto a un sistema de referencia que por lo general es un sistema inercial de

referencia, es decir, un observador no acelerado, de acuerdo con sus

observaciones ellos lograron caracterizar el movimiento de las partículas por medio

de un concepto que inventaron espontáneamente, el concepto de velocidad, por

supuesto ellos creían en la absolutez del tiempo, más dramática aun la definición

del tiempo de newton: “el tiempo matemático y físico, de su naturaleza y de sí

mismo fluye de forma espontánea sin relación a nada externo”, estos hombres

reconocían el movimiento como una constante cambiatura de la posición del

cuerpo en estudio, tal y como se puede analizar en las siguientes disertaciones.

VECTOR POSICIÓN, VECTOR DEZPLAZAMIENTO

Cuando una partícula es dispuesta para ser observada ésta generalmente se

dispone respecto a un sistema , donde y son las tres dimensiones en las

que la partícula tiene libertad de moverse, una ilustración de la partícula en

movimiento podría ser la siguiente

La ilustración nos muestra un cuerpo que se mueve a través de una trayectoria , el

cuerpo en todo momento es referenciado con respecto al observador , por lo tanto

el vector de posición de la partícula en el punto respecto al observador viene

dado por , como es un vector en el espacio tridimensional, vendrá determinado

por las coordenadas , y , de hecho se podrá escribir

( )

+ +

Observemos que la partícula tiene un vector de posición con respecto al

observador en el instante , en su afán de cambiar de posición la partícula ahora

se mueve a la posición en el instante + , y su vector de posición respecto al

observador vendrá dado ahora por ′, y se podrá escribir

′ ( ′ ′ ′)

Donde ′ ′ ′ son las nuevas coordenadas de la partícula, debemos indicar que

′ ′ ′ no representan las coordenadas de la partícula en otro sistema de

referencia ′, sino coordenadas en el mismo sistema de referencia pero actuales,

de la posición actual, dado que la partícula cambio de posición, de acuerdo a esto

podemos tener

′ ′ + ′ +

′

El vector que une el vector y el vector ′ es como se ve en la ilustración , que

según el teorema de la adición vectorial escrito para el triangulo , podremos

escribir

+ ′

′

Luego reemplazando ′ y tenemos

′ + ′ +

′ ( + + )

( ′ ) + ( ′ ) + (

′ )

El vector se conoce como el vector desplazamiento de la partícula en el

intervalo de a y su módulo es la longitud del desplazamiento | |, el vector

desplazamiento para el caso que nos ocupa será

( ′ ) + ( ′ ) + (

′ )

Y la longitud del desplazamiento para este caso será

𝐎

𝐫 (𝒕)

𝐫 (𝐭+ 𝚫𝐭)

𝚫𝐭

𝐗

𝐘

𝐙

𝐓

𝐀

𝐁

𝐭

𝐭+ 𝚫𝐭 𝚫𝐫

| | √( ′ ) + ( ′ ) + ( ′ )

Si nuestro interés es calcular el ángulo que forman y ′ en cualquier instante, se

podrá hacer calculando el producto escalar entre los vectores y ′, lo que se hará

en la siguiente forma

′ | || ′|

Despejando queda

′

| || ′|

Que sería la forma de calcular el ángulo .

VELOCIDAD MEDIA

Cuando una partícula se mueve respecto a algún sistema de referencia esta

no deja de cambiar de posición con respecto a este sistema, tal afán de cambio de

posición de la partícula respecto al sistema se puede evidenciar mediante la

ilustración:

En esta ilustración podemos ver que la partícula está cambiando de posición, la

misma se mueve siguiendo una trayectoria la posición de la partícula viene dada

por el vector de posición ( ) donde ( ) viene determinado por las coordenadas ,

y dado que el movimiento de la partícula evoluciona con el tiempo su vector de

posición ( ) también evoluciona con éste, y como ( ) viene determinado por ,

y , entonces tanto , y evolucionan con el tiempo y son funciones de éste, por

lo tanto se podrá escribir

( )

( )

( )

Y el vector de posición vendrá dado por la expresión funcional

( ) ( ( ) ( ) ( ))

( ) ( ) + ( ) + ( )

analizaremos lo que sucede en el intervalo de a en la ilustración, notemos que

en un instante particular la partícula se encuentra en la posición de la trayectoria

del movimiento, la posición de la partícula en el instante con respecto al

observador viene dada por el vector de posición ( ) y en un instante posterior

+ la partícula se encuentra en la posición de la trayectoria del movimiento, la

posición de la partícula en el instante + con respecto al observador viene

dada por el vector de posición ( + ), es obvio que la partícula ha cambiado de

posición respecto al observador desde ( ) hasta ( + ), este cambio de

posición respecto al observador puede representarse justamente por una variación

de ( ) ( ), es decir

( ) ( + ) ( )

De hecho escribiendo la suma vectorial en el triangulo , tenemos

( ) + ( ) ( + )

De aquí podemos despejar ( ) para tener

( ) ( + ) ( )

Este cambio del vector de posición de la partícula representa solo eso, un cambio

en la posición de la partícula, sin embargo para caracterizar el movimiento de la

partícula debemos conocer cómo evoluciona el vector de posición ( ) de la

partícula con respecto al tiempo, a saber, debemos calcular el ritmo de cambio de la

posición de la partícula ( ) con respecto al tiempo, tal ritmo de cambio o tal

evolución temporal de la posición ( ) se podría calcular por medio de la expresión

( )

A esta expresión también se le llama intensidad de la cambiatura de posición, esta

expresión nos mide el ritmo de cambio medio de la posición con respecto al tiempo

𝐗 𝑿𝟎(𝒕𝟎)

𝐗(𝒕)

𝐎

𝚫𝐗 𝐗(𝐭) 𝑿𝟎(𝒕𝟎)

y constituye la definición de velocidad media de una partícula, la notación de

velocidad media viene dada por el símbolo y por lo tanto tendremos que

( )

Se dice que el movimiento de una partícula es a velocidad constante cuando la

velocidad de ésta es una constante a lo largo de su movimiento, en cuyo caso se

podrá escribir que

( )

Si el movimiento es en una sola dimensión, tenemos

En esta figura podemos ver una partícula que se mueve en una sola dimensión, la

dimensión ( ), por lo tanto las otras dimensiones ( ) y ( ) son cero, en el

instante inicial la partícula se encuentra en la posición inicial ( ) y después de

un incremento de tiempo la partícula se encuentra en la posición ( ) en el

instante .

Una variación en el vector de posición ( ) para una situación en la que la velocidad

de la partícula no es constante implicará también una variación en las dimensiones

( ) , ( ) y ( ), y por lo tanto la variación en el vector de posición ( ) será el

vector desplazamiento de la partícula que vendrá dada en la siguiente forma

( ) ( ) + ( ) + ( )

Por lo tanto el vector de posición que describe la evolución del movimiento de la

partícula que se mueve en una sola dimensión, como una evolución del movimiento

de la misma en las tres dimensiones espaciales ( ) , ( ) y ( ), se reduce a ser

determinado por solo una dimensión que es ( ), y por lo tanto

( ) ( ( ) ( ) ( )) se puede reducir en la siguiente forma

( ) ( ( ))

( ) ( )

Luego una variación en ( ) será igual a una variación en ( ) y por lo tanto

tendremos ( ) ( ) , luego reemplazando en la ecuación

( )

( )

Lo que nos dice que para una partícula que se mueve unidimensionalmente su

velocidad puede calcularse como la razón entre un incremento en la dimensión en

la que tiene libertad de moverse y un incremento respectivo en el tiempo, en la

figura de arriba podemos reconocer que un incremento en la dimensión de libertad

de movimiento de la partícula viene dada por , además el incremento de

tiempo respectivo viene dado por , por lo tanto reemplazando en la

expresión

( )

Tenemos

( ) ( )

Con esto reconocemos que la velocidad media de una partícula que se mueve

unidimensionalmente es un vector en la dirección de la dimensión , cuyo modulo

se calcula como

| | ( ) ( )

Finalmente reemplazando estas validaciones podemos tener

( )

Tomando el modulo en cada miembro de esta ecuación tenemos

( ) | |

La que finalmente nos conduce a

( ) ( ) | |

( ) ( ) + | |

La velocidad media de una partícula es una caracterización del movimiento de la

partícula muy buena sobre todo cuando ésta describe un movimiento a velocidad

𝐎

𝐫 (𝒕)

𝐫 (𝐭+ 𝚫𝐭)

𝚫𝐭

𝐗

𝐙

𝐓

𝐀

𝐁

𝐭

𝐭+ 𝚫𝐭 𝚫𝐫

𝐘

constante porque la velocidad media es igual justamente a esa velocidad constante,

pero existen situaciones más comunes en las que la velocidad de la partícula no es

constante es por eso que se hace necesario calcular la velocidad instantánea de la

partícula, eso es lo que nos ocupará en la siguiente sección.

VELOCIDAD INSTANTANEA

Como lo afirmamos en la sección anterior, la velocidad media de una partícula es

una caracterización del movimiento de la partícula muy buena sobre todo cuando la

partícula describe un movimiento a velocidad constante, cuando el movimiento de

la partícula describe un movimiento diferente se hace necesario calcular la

velocidad instantánea de la partícula en cualquier instante de su trayectoria, dado

que ahora su velocidad puede variar a lo largo de su trayectoria.

En la sección anterior se demostró que la velocidad media de la partícula entre y

, viene dada por el cociente incremental

( )

( + ) ( )

La cual se definió como la intensidad de la cambiatura de posición

Ahora, notemos en la figura que conforme el incremento de tiempo va tendiendo

a cero , el vector de posición ( + ) de la partícula en el instante + , se

aproxima al vector de posición de la partícula ( ) en el instante , tal como se

observa en la figura, los vectores de posición con líneas discontinuas son los

vectores de posición de la partícula conforme el incremento de tiempo va

tendiendo a cero , por lo tanto se infiere que cuando se aproxima cada vez

más a cero, la partícula se aproxima cada vez más al punto , luego en el límite

cuando el cociente incremental ( ) ( )

debe seguir significando una

velocidad, y como al hacer la partícula tiende hacia la posición , entonces el

cociente incremental ( ) ( )

cuando debe ser la velocidad de la partícula

en el punto cuando .

Luego si tenemos interés en calcular la velocidad instantánea de la partícula en el

punto , debemos calcular el límite del cociente incremental ( ) ( )

cuando

, así de esta forma podemos definir la velocidad instantánea de la partícula en

cualquier punto de su trayectoria, por el límite de su velocidad media ( ) ( )

cuando , lo que se escribe rigurosamente en la forma

( )

( ( + ) ( )

)

La representación de la velocidad instantánea es simplemente , así que tenemos

( )

( ( + ) ( )

)

( ( + ) ( )

)

El tiempo no es una magnitud de naturaleza vectorial, más bien es de naturaleza

escalar, por lo tanto la expresión ( ( ) ( )

) es de naturaleza vectorial,

dado que el límite se aplica sobre el cociente incremental de una variación vectorial

y una escalar, esa es la razón de que la velocidad instantánea sea una magnitud

vectorial, y por lo tanto se justifica el haber escrito la velocidad instantánea

( ( + ) ( )

)

Como un vector .

Notemos ahora que el límite involucrado en el cálculo de la velocidad instantánea

corresponde a la definición de derivada de ( ) con respecto al tiempo por lo tanto

se podrá decir que la velocidad instantánea de la partícula es la primera derivada

temporal del vector de posición ( ), por lo tanto tendremos

( ( + ) ( )

)

( )

𝐎

𝐫 (𝒕)

𝐫 (𝐭+ 𝚫𝐭)

𝚫𝐭

𝐗

𝐘

𝐙

𝐓

𝐀

𝐁

𝐭

𝐭+ 𝚫𝐭 �� (𝒕)

�� (𝐭+ 𝚫𝐭)

El vector velocidad es la primera derivada temporal del vector de posición ( )

entonces se concluye que el vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria

de movimiento de la partícula, tal y como se puede apreciar a continuación

Si somos capaces de conocer la velocidad de la partícula como función del tiempo,

entonces podremos integrar esta ecuación en la siguiente forma

( )

( )

Integrando cada miembro de esta ecuación, el primer miembro desde ( ) hasta

( ) y el segundo miembro desde hasta , tenemos

∫ ( ) ( )

( )

∫

( ) ( ) ∫

Para el caso de un movimiento unidimensional en el eje a velocidad constante

la ecuación se puede reducir a

( ) ( ) ∫

Dado que el vector es constante y v es constante podrán salir del proceso de

integración, para tener

( ) ( ) ∫

( )

( ) ( ) ( )

Dado que el movimiento es unidimensional en el eje a velocidad constante, se

tendrá ( ) ( ) y ( ) ( ) , lo que reduce la ecuación a

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Cancelando los vectores unitarios en cada miembro de la ecuación tendremos

( ) ( ) ( )

Donde ( ) ( )

la cual es la forma de cálculo de la velocidad para un cuerpo que

describe un movimiento a velocidad constante

Ahora supongamos que conocemos la velocidad de la partícula en cualquier

instante de su trayectoria como función del tiempo y que viene dada por la

expresión

+ ( )

Donde y son vectores constantes, podríamos entonces calcular la posición de

la partícula en cualquier instante de su trayectoria utilizando la ecuación

( ) ( ) ∫

∫ ( + ( ))

∫

+∫ ( )

( ) ( ) ∫

+∫ ( )

∫

+∫ ( ) ( )

( ) ( ) ( ) +

( )

( ) ( ) + ( ) +

( )

Para el caso de un movimiento unidimensional en el eje el vector constante

vendrá dado por y el vector constante vendrá dado por ,

𝐎

𝐫 (𝒕)

𝐫 (𝐭+ 𝚫𝐭)

𝚫𝐭

𝐗

𝐘

𝐙

𝐓

𝐀

𝐁

𝐭

𝐭+ 𝚫𝐭 �� (𝒕)

�� (𝐭+ 𝚫𝐭)

también podremos afirmar que para el movimiento unidimensional ( ) ( ) y

( ) ( ) reemplazando en la expresión nos da

( ) ( ) + ( ) +

( )

( ) ( ) + ( ) +

( )

La ecuación se puede reducir a

( ) ( ) + ( ) +

( )

Si el instante inicial es la expresión se reduce a

( ) ( ) + +

Generalmente la posición inicial ( ) en el instante inicial es cero, es decir

( ) ( ) y la partícula comienza su movimiento desde el origen, luego

reemplazando tenemos

( ) +

ACELERACIÓN MEDIA

En secciones anteriores se definió la velocidad como un ritmo de cambio de la

posición con respecto al tiempo, en esta sección veremos que la definición de

aceleración media quedará expuesta después de hacer unos cuantos

razonamientos.

Consideremos la siguiente ilustración

𝐎

𝐫 (𝒕)

𝐫 (𝐭+ 𝚫𝐭)

𝚫𝐭

𝐗

𝐙

𝐓

𝐀

𝐁

𝐭

𝐭+ 𝚫𝐭

𝚫𝐫

�� (𝒕)

�� (𝐭+ 𝚫𝐭)

𝐘

Notemos que en el instante la particula se encuentra en la posición y su

velocidad en ese punto es ( ) de la misma manera en el instante + la partícula

se encuentra en la posición y su velocidad en ese punto es ( + ), notamos

que la naturaleza de una partícula en movimiento es estar cambiando de posición

tal afán de cambio de posición de la misma se cuantifica por medio de su velocidad,

notemos que se define la velocidad por medio de ( )

, ( ) es una función del

tiempo y como la velocidad es la primera derivada del vector de posición con

respecto a tiempo, entonces la velocidad también será una función del tiempo, por

lo tanto es más propio escribir

( ) ( )

Luego notemos que como la velocidad es una función del tiempo, también puede

evolucionar con respecto a este, también puede cambiar, de hecho es lo que

demostraremos a continuación

notemos que en un instante particular la partícula se encuentra en la posición de

la trayectoria del movimiento, la posición de la partícula en el instante con

respecto al observador viene dada por el vector de posición ( ) y en un instante

posterior + la partícula se encuentra en la posición de la trayectoria del

movimiento, la posición de la partícula en el instante + con respecto al

observador viene dada por el vector de posición ( + ), es obvio que la

partícula ha cambiado de posición respecto al observador desde ( ) hasta

𝐎

�� (𝒕)𝑨

�� (𝒕)𝑩

𝜟𝒕

𝐗

𝐙

𝑻

𝑨

𝑩

𝐭

𝒕𝑩 𝒕𝑨 + 𝚫𝒕 𝜟��

�� (𝒕)𝑨

�� (𝒕)𝑩

𝐘

( + ), este cambio de posición respecto al observador puede representarse

justamente por una variación de ( ) ( ), luego si indicamos los vectores de

posición con respecto al observador de la partícula en las posiciones y por

( ) y por ( ) y sus instantes respectivos por y donde es igual al instante

inicial más un incremento de tiempo , es decir, + , la ilustración se

reconfigura en la forma

La propiedad de adición vectorial nos da

( ) + ( )

Luego aplicando el operador diferencial con respecto al tiempo tenemos

( )

+

( )

De aquí tenemos que

( )

( )

Ya se ha probado que ( )

( ), por lo tanto se podrá escribir

( )

( ) y

( )

( ) , las que reemplazando nos da

( ) ( )

En una sección anterior demostramos que el vector desplazamiento viene definido

por lo que nos dice que el vector desplazamiento es la variación vectorial de

la posición respecto al observador entre dos puntos específicos y de la

trayectoria y su primera derivada temporal es una variación vectorial del vector

velocidad entre dos puntos específicos y de la trayectoria, tal y como se

observa en la ecuación anterior, por lo tanto se podrá escribir

( ) ( )

Luego tenemos que una variación vectorial del vector de velocidad de la partícula

vendrá dado en la forma

( ) ( )

Dado que + la variación de velocidad se reescribe en la forma

( + ) ( )

Si indicamos que el instante es un instante particular , entonces tenemos

( + ) ( )

Esta ecuación es la prueba más lógica de que la velocidad también puede cambiar

con respecto al tiempo, también puede evolucionar, he ahí la necesidad de medir

esa cambiatura de velocidad con respecto al tiempo, es así que si medimos la

cambiatura del vector velocidad con respecto al tiempo tenemos

( + ) ( )

Este ritmo de velocidad constituye la definición de aceleración media, se define

entonces la aceleración media como el ritmo de cambio de la velocidad con

respecto al tiempo, la aceleración entonces es el ritmo de cambio del vector

velocidad con respecto al tiempo, la aceleración se representa por el símbolo , por

lo tanto tendremos

( + ) ( )

Respecto a la aceleración, se observa en la naturaleza que siempre la aceleración

es constante por tramos, es bastante improbable definir un cambio de aceleración

con respecto al tiempo, aunque hay estudios que sugieren que se puede definir un

cambio de aceleración con respecto al tiempo que se asociaría con una magnitud

física que se llamaría celeridad, pero a estas alturas en que la mayoría de los

científicos rara vez piensan en la física clásica desarrollar un concepto como tal

resultaría ser un esfuerzo infructuoso.

𝐎

𝐫 (𝒕)

𝐫 (𝐭+ 𝚫𝐭)

𝚫𝐭

𝐗

𝐙

𝐓

𝐀

𝐁

𝐭

𝐭+ 𝚫𝐭

𝚫𝐫 �� (𝒕)

�� (𝐭+ 𝚫𝐭)

𝐘

ACELERACIÓN INSTANTANEA

En cálculos anteriores se definió la velocidad instantánea como el límite de la

velocidad media cuando el incremento de tiempo tendía a cero, de igual forma se

definirá aquí la aceleración instantánea como el límite de la aceleración media

cuando el incremento de tiempo tiende a cero

Como lo afirmamos en la sección anterior, la aceleración media de una partícula es

una caracterización del cambio de velocidad de la partícula muy buena, cuando el

movimiento de la partícula describe un movimiento arbitrario en el cual la partícula

experimenta tramos de movimiento acelerado, se hace necesario calcular la

aceleración instantánea de la partícula en cualquier instante de su trayectoria

En la sección anterior se demostró que la aceleración media de la partícula entre

y , viene dada por el cociente incremental

( )

( + ) ( )

La cual se definió como la intensidad de la cambiatura de la velocidad de la

partícula.

Ahora, notemos en la figura que conforme el incremento de tiempo va tendiendo

a cero , el vector velocidad ( + ) de la partícula en el instante + , se

aproxima al vector de velocidad de la partícula ( ) en el instante , tal como se

observa en la figura, los vectores de velocidad con líneas discontinuas son los

vectores de velocidad de la partícula conforme el incremento de tiempo va

tendiendo a cero , por lo tanto se infiere que cuando se aproxima cada vez

más a cero, la partícula se aproxima cada vez más al punto , luego en el límite

cuando el cociente incremental ( ) ( )

debe seguir significando una

aceleración, y como al hacer la partícula tiende hacia la posición , entonces

el cociente incremental ( ) ( )

cuando debe ser la aceleración de la

partícula en el punto cuando .

Luego si tenemos interés en calcular la aceleración instantánea de la partícula en el

punto , debemos calcular el límite del cociente incremental ( ) ( )

cuando

, así de esta forma podemos definir la aceleración instantánea de la partícula

en cualquier punto de su trayectoria, por el límite de su aceleración media ( ) ( )

cuando , lo que se escribe rigurosamente en la forma

( )

(

)

( ( + ) ( )

)

( )

(

)

( ( + ) ( )

)

Realizaremos a continuación un tratamiento similar al realizado en una sección

anterior, el tiempo no es una magnitud de naturaleza vectorial, más bien es de

naturaleza escalar, por lo tanto la expresión

( ( + ) ( )

)

Es de naturaleza vectorial, dado que el límite se aplica sobre el cociente incremental

de una variación vectorial de la velocidad, que dicho sea de paso es una magnitud

vectorial, y una escalar como es el tiempo, esa es la razón de que la aceleración

instantánea sea una magnitud vectorial, y por lo tanto se justifica el haber escrito la

aceleración instantánea

( ( + ) ( )

)

Como un vector .

Notemos ahora que el límite involucrado en el cálculo de la aceleración instantánea

corresponde a la definición de derivada de ( ) con respecto al tiempo por lo tanto

se podrá decir que la aceleración instantánea de la partícula es la primera derivada

temporal del vector de velocidad ( ), por lo tanto tendremos

( ( + ) ( )

)

( )

𝐎

𝐫 (𝒕)

𝐫 (𝐭+ 𝚫𝐭)

𝚫𝐭

𝐗

𝐘

𝐙

𝐓

𝐀

𝐁

𝐭

𝐭+ 𝚫𝐭 �� (𝒕)

�� (𝐭+ 𝚫𝐭)

( )

El vector aceleración es la primera derivada temporal del vector de velocidad ( ),

sabemos que la velocidad viene definida por ( ) ( )

, la que reemplazando en la

definición de aceleración nos da

( )

( ( )

)

( )

Por lo tanto la aceleración también se define como la segunda derivada del vector

de posición con respecto al tiempo

Si somos capaces de conocer la aceleración de la partícula como función del

tiempo, entonces podremos integrar la ecuación

( )

En la siguiente forma

( )

Integrando cada miembro de esta ecuación, el primer miembro desde ( ) hasta

( ) y el segundo miembro desde hasta , tenemos

∫ ( ) ( )

( )

∫

( ) ( ) ∫

Para el caso de un movimiento unidimensional en el eje a aceleración constante

la ecuación se puede reducir a

( ) ( ) ∫

Dado que el vector es constante y es constante podrán salir del proceso de

integración, para tener

( ) ( ) ∫

( )

( ) ( ) ( )

Dado que el movimiento es unidimensional en el eje a aceleración constante, se

tendrá ( ) ( ) y ( ) ( ) , lo que reduce la ecuación a

( ) ( ) ( )

La que se reduce

( ) ( ) ( )

El término ( ) constituye ser la velocidad en el instante inicial , el término se

puede escribir más sencillamente como ( ) , y se lee simplemente: es la

velocidad inicial de la partícula, así tenemos

( ) ( )

( ) + ( )

Haremos un tratamiento más riguroso, a partir de la expresión

( ) ( ) ∫

Para el caso de un movimiento en el que la aceleración es constante tanto en

magnitud como en dirección, en tal caso el vector aceleración es un vector

totalmente constante y puede salir fuera del proceso de integración para tener

( ) ( ) ∫

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) + ( )

Luego, sabemos que ( ) ( )

, la que reemplazando da

( )

( ) + ( )

Separando variables e integrando tenemos

( ) ( ) + ( )

∫ ( ) ( )

( )

∫ ( )

+∫ ( )

( ) ( ) ∫ ( )

+∫ ( )

El vector ( ) corresponde al vector velocidad inicial el cual se supone que es

totalmente constante, además dijimos que el vector aceleración es totalmente

constante, considerando estas afirmaciones tenemos

( ) ( ) ( ) ( ) + ∫ ( )

( ) ( ) + ∫ ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) + ∫ ( ) ( )

( ) ( ) +

( )

( ) ( ) + ( ) ( ) +

( )

Para el caso en que el instante inicial es cero tenemos

( ) ( ) + ( ) +

Esta expresión representa el vector de posición en función del tiempo en cualquier

instante del movimiento de la partícula.