CINEMATICA PUNCTULUI

CINEMATICA PUNCTULUI

7.1 Cinematica punctului material Cinematica punctului material studiaz micarea mecanic a punctelor

materiale, fr a se tine cont de masele i forele ce acioneaz asupra lor. Micarea punctelor materiale se raporteaz la un reper de care se consider fixat un anumit sistem de referin. Reperul (sistemul de referin) poate fi fix sau mobil. n raport cu reperul fix, micarea punctului material se numete micare absolut, iar n raport cu reperul mobil, micarea se numete micare relativ.

7.2. Elementele cinematice ale micrii punctului material

7.2.1. Legea de micare Micarea unui punct material M este cunoscut dac n orice moment se

poate preciza poziia lui n raport cu un reper presupus fix O. Pentru aceasta, se definete vectorul de poziie OMr = al punctului material M fa de originea O a reperului, ca funcie de timp (fig. 7.1):

)t(rr = (7.1) Funcia vectorial )(trr = reprezint legea de micare a punctului material

sub form vectorial. Aceast funcie vectorial trebuie s ndeplineasc anumite restricii impuse de fenomenul fizic al micrii punctului: ea trebuie s fie continu, uniform, finit n modul i derivabil de cel puin dou ori.

Acest vector fiind definit de dou funcii scalare n plan sau de trei funcii scalare n spaiu rezult c punctul material liber are dou grade de libertate n plan sau trei grade de libertate n spaiu.

Definirea vectorului de poziie r poate fi fcut n coordonate carteziene prin cunoaterea funciilor scalare n timp

x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) (7.2) deoarece

kzjyixr ++= (7.3) versorii kji ,, ai reperului fix fiind vectori constani.

Dac se folosesc coordonatele cilindrice, cunoaterea lui r este echivalent cu cunoaterea urmtoarelor funcii scalare:

= (t) , = (t) , z = z(t) (7.4)

7.1 Cinematica punctului material 3

care reprezint raza polar, unghiul polar, respectiv cota punctului material M (fig.7.1). Vectorul de poziie este de forma:

kzur p += (7.5) Versorii pu i u care se

folosesc n cadrul coordonatelor cilindrice sunt vectori variabili iar derivatele lor se exprim cu ajutorul derivatelor unghiului polar .

Funciile de timp x = x(t), y = y(t), z = z(t), = (t), = (t) care definesc poziia punctului material M fa de reperul O, formeaz legile de micare (ecuaiile de micare) scalare ale punctului material.

7.2.2. Traiectoria punctului material Traiectoria este locul geometric al poziiilor succesive ocupate de punct n

micare. ntre traiectorie i curba pe care se deplaseaz punctul nu exist ntotdeauna o identitate. Spre exemplu, pe un cerc, un punct poate parcurge numai un arc sau poate parcurge de mai multe ori cercul.

Ecuaiile (7.1), (7.2), (7.3), (7.4) i (7.5) pot fi considerate ca fiind ecuaiile parametrice ale traiectoriei. Prin eliminarea parametrului t ntre ecuaiile scalare ale micrii (7.2), se obin ecuaiile a dou suprafee:

f1 (x, y, z) = 0 , f2 (x, y, z) = 0 (7.6) care prin intersecia lor determin traiectoria sub forma implicit.

Cu ajutorul legilor de micare n coordonate cilindrice, se pot obine n mod analog ecuaiile implicite ale traiectoriei:

1 (, , z) = 0 , 2 (, , z) = 0 (7.7) n unele probleme de cinematic se cunoate traiectoria. n acest caz,

micarea punctului material poate fi definit printr-o singur ecuaie scalar, astfel: se alege pe curba (C) un punct arbitrar Mo i un sens pozitiv de msurare a arcelor pe curb. Poziia unui punct oarecare M poate fi definit prin valoarea s(t) a arcului de

curb

MMo (fig. 7.1). Legea de micare a punctului M pe traiectorie n acest caz, este dat de ecuaia

s = s(t) (7.8) care se numete ecuaie orar (lege orar) a micrii puntului material.

4 CINEMATICA PUNCTULUI

7.2.3. Viteza punctului material Micrile se pot deosebi ntre ele i prin faptul c punctele materiale pot

parcurge aceleai distane n intervale de timp diferite sau distane diferite n acelai interval de timp. Aceste considerente impun introducerea unei noi noiuni numit vitez. Viteza este o mrime vectorial care precizeaz direcia i sensul n care se efectueaz micarea. Pentru determinarea vectorului vitez, vom urmri variaia n timp a vectorului de poziie OMr = a punctului M de pe traiectorie n raport cu un reper fix O.

La un moment oarecare t, punctul M are vectorul de poziie )(tr . ntr-un interval suficient de scurt dt, punctul M ajunge n poziia M cruia i corespunde vectorul de poziie t)(t +r . (fig. 7.2). Prin urmare, n intervalul de timp dt, punctul

a parcurs arcul de curb

`MM de lungime s cruia i corespunde vectorul variaie:

)()( trttrr += a vectorului de poziie r . Intervalul de timp t fiind foarte mic, se poate asimila elementul de arc cu elementul de coard. n acest caz raportul tr / se definete ca vitez medie:

( ) ( )r r t t r tvm t t +

= =

(7.9)

Viteza medie d o imagine asupra modului cum se deplaseaz

punctul. De cele mai multe ori ns intereseaz direcia i sensul micrii. Acestea se obin cu ajutorul vitezei instantanee. Limita acestui raport cnd t tinde la zero, reprezint viteza instantanee (sau viteza) punctului material la momentul t:

rdtrd

ttrttr

trv

tt

&==

+=

=

)()(limlim00

(7.10)

Deci n micarea unui punct material, viteza este un vector reprezentat de derivata vectorului de poziie al punctului n raport cu timpul.

Derivatele unei funcii vectoriale (sau scalare) n raport cu timpul se noteaz cu puncte. Astfel, de exemplu

dtdxx =& i 2

2

dtvdv =&&

v s

rrvm

=

M (C) M r t)(tr )( +tr O fig. 7.2

7.1 Cinematica punctului material 5

Pentru determinarea elementelor caracteristice ale vectorului vitez, din relaia (7.10) deducem:

sdtds

ts

sr

rr

trv

tttt

&==

=

= 0000

lim||lim||

limlim (7.11)

deoarece

=

||0lim

r

r

t(versorul tangentei) s

dt

ds

t

s

t&==

0lim , 1

||

0lim =

s

r

t (7.12)

n concluzie, vectorul vitez v este aplicat n punctul M, are direcia tangentei n M la traiectorie iar sensul este dat de micarea punctului pe traiectorie. Mrimea vectorului vitez este

sdtdsvv &=== || (7.13)

Ecuaia de dimensiuni a vitezei este [ ] 1= LTv (7.14)

Unitatea de msur pentru vitez este m/s (din relaia (7.13)).

7.2.4. Acceleraia punctului material Acceleraia este o mrime care arat variaia vitezei unui punct n decursul

micrii, ca direcie, sens i modul. n intervalul mic de timp t, punctul material strbate pe traiectorie arcul

`MM i are n M viteza )(tv iar n M )tt(v + . n acest fel, viteza s-a modificat cu

)()( tvttvv += (fig. 7.3). Pe poriunea

`MM , acceleraia medie este definit prin raportul:

ttvttv

tvam

+=

=)()(

(7.15)

Acceleraia la momentul t (acceleraia instantanee sau momentan) va fi limita cnd t tinde la zero a raportului (7.15):

rvdtvd

ttvttv

tva

ttm&&& ===

+

=

=

)()(limlim00

(7.16)

Prin urmare acceleraia este derivata n raport cu timpul a vitezei sau derivata a doua n raport cu timpul a vectorului de poziie al punctului respectiv. Acceleraia este o mrime vectorial, avnd punctul de aplicaie n M, este coninut n planul de variaie al vitezei, deci n planul osculator n punctul M la traiectorie (planul a dou

6 CINEMATICA PUNCTULUI

tangente infinit apropiate) i este ndreptat spre interiorul traiectoriei (nspre concavitate).

Ecuaia de dimensiuni a acceleraiei este

[ ] 2= LTv (7.17) Unitatea de msur a

acceleraiei este m/s2.

7.2.5. Hodograful vitezei Punctul M n deplasarea sa pe curba (C) ocup poziiile M1, M2, ..., Mn cu

vitezele nvvv ,...,, 21 . ntr-un punct arbitrar O, construim vectorii echipoleni cu vectorii vitez (fig. 7.4). Locul geometric al extremitilor vectorilor echipoleni cu vitezele este o curb (H) numit hodograful vitezelor. Cu ajutorul curbei (H) se poate observa variaia vitezei punctului M.

Ecuaia vectorial a hodografului vitezei se obine din relaia

)()( tvr H = (7.18) Ecuaia analitic a hodografului vitezei se obine proiectnd relaia (7.18) pe

axele unui reper ales i eliminnd parametrul t. Rezult imediat c viteza unui punct oarecare P de pe hodograf este tocmai

acceleraia:

)()( tadtvd

dtOPdr H ===& (7.19)

fig. 7.4

1v

2v

3v M1

M2 M3

(C)

(H) 1v 2v

3v

)(tv M M' (C) v ma t)(tv )( ++ ttv a fig. 7.3

7.1 Cinematica punctului material 7

7.2.6. Invarianii micrii n raport cu schimbarea reperului Considerm dou repere fixe (O i O1) n raport cu care se studiaz micarea

punctului (fig. 7.5), astfel c putem scrie: )()( 01 trrtr += (7.20)

cu =0r constant. Vitezele i acceleraiile unui punct

arbitrar M de pe traiectorie raportate la cele dou repere se obin din relaia (7.20) prin derivri succesive:

arravrrv ====== &&&&&& 1111 , (7.21) Observm c viteza i acceleraia

sunt invariante n raport cu schimbarea r