CAPITOLUL 1

CINEMATICA MIŞCĂRII

ABSOLUTE A PUNCTULUI

1.1. Forme uzuale ale ecuaţiilor de mişcare Stabilirea poziţiei unui punct P faţă de un reper fix (R) Oxyz, în raport cu care se studiază mişcarea lui, se realizează cu ajutorul unor mărimi – vectoriale sau scalare – numite parametri de poziţie. Sistemele cele mai des folosite de astfel de parametri de poziţie sunt:

10. Vectorul de poziţie (raza vectoare) al punctului P,

considerat în raport cu originea reperului (R), OPr , (Fig. 1.1); dacă punctul se află în mişcare, r este o funcţie vectorială de timp şi pentru a defini o mişcare fizică reală, această funcţie vectorială trebuie să fie continuă, uniformă şi derivabilă, primele două derivate reprezentând mărimi fizice ce caracterizează mişcarea punctului.

Relaţia ],t,t[t),t(rr f0 (1.1)

este numită ecuaţia (legea) de mişcare a punctului sub formă vectorială. Intervalul ]t,t[ f0 este intervalul de timp în care are loc

mişcarea, 0t şi ft fiind momentul iniţial, respectiv, final al mişcării.

20. Coordonatele carteziene ale punctului, în reperul fix (R), sunt reprezentate prin distanţele orientate x (abscisa), y (ordonata) şi z (cota) ale acestui punct la planele de coordonate Oyz, Oxz şi Oxy (Fig. 1.1); dacă punctul material se află în mişcare, aceste coordonate sunt funcţii de timp, considerate continue şi de cel puţin două ori derivabile în raport cu timpul, adică

.]t,t[t),t(zz),t(yy),t(xx f0 (1.2)

Relaţiile (1.2) reprezintă ecuaţiile de mişcare ale punctului în coordonate carteziene (sau legea de mişcare).

– 11 –

Fig. 1.1

Expresia analitică a vectorului de poziţie r , aşa după cum rezultă din Fig.1.1, are forma

.]t,t[t),t(rk)t(zj)t(yi)t(xr f0 (1.3)

30. Coordonatele cilindrice ale punctului sunt repre-

zentate prin următoarele trei mărimi scalare (Fig. 1.1): - raza polară ,0PO P fiind proiecţia punctului P pe

planul de coordonate Oxy; - unghiul polar , reprezentat prin unghiul orientat determi-

nat de raza polară cu axa Ox, cu semnul stabilit de regula observa-torului care priveşte planul Oxy dinspre sensul pozitiv al axei Oz;

- cota , reprezentând distanţa orientată a punctului P la planul Oxy.

Coordonatelor cilindrice le corespunde sistemul de axe de coordonate cilindrice, P (Fig.1.1), axa P fiind paralelă la raza

O

)R(

r

y

x i

P

O y

x

z

)(

P

z

b

n t

i

i

k

kj

i

– 12 –

polară şi cu sensul determinat prin versorul i , axa P paralelă cu

axa Oz şi cu sensul determinat de versorul ki şi axa P completând reperul triortogonal drept, cu sensul determinat de verso-rul i care satisface condiţia

.iii (1.4)

Dacă punctul material se deplasează în reperul (R), atunci coordonatele cilindrice sunt funcţii de timp, considerate şi acum continue şi de cel puţin două ori derivabile în raport cu timpul, adică

.]t,t[t),t();t();t( f0 (1.5)

Relaţiile (1.5) poartă numele de ecuaţiile de mişcare (sau legea de mişcare) ale punctului P în coordonate cilindrice.

Expresia analitică a vectorului de poziţie r , aşa după cum rezultă din Fig. 1.1, are forma

.]t,t[t),t(rkziPPPOr f0 (1.6)

unde i este versorul razei polare, iar ik este versorul axei P ,

paralelă şi având acelaşi sens pozitiv ca şi axa Oz (Fig. 1.1). Aşa după cum rezultă din Fig.1.1, relaţiile de legătură dintre

coordonatele cilindrice şi cele carteziene pot fi scrise sub forma

.z;z

;x

yarctg;siny

;yx;cosx 22

(1.7)

40. Coordonata intrinsecă (naturală sau curbilinie)

a punctului, utilizată atunci când se cunoaşte traiectoria )( a acestui punct (curba descrisă de punct în mişcare), reprezintă lungimea „s” a arcului orientat de curbă PO care separă punctul material P de

– 13 –

originea O* aleasă arbitrar pe curba )( , pe care se alege şi un sens de parcurs (Fig. 1.1). Pentru un punct în mişcare, coordonata intrinsecă este funcţie de timp, considerată şi aici, continuă şi de cel puţin două ori derivabilă în raport cu timpul

),t(ss (1.8)

relaţie care reprezintă ecuaţia de mişcare sau legea de mişcare a punctului sub formă intrinsecă.

Acestui parametru de poziţie îi corespunde sistemul de axe de coordonate intrinseci (triedrul lui Frenet) ,Ptnb (Fig. 1.1), cu

orientările axelor determinate prin versori ti (versorul axei

tangenţiale), ni (versorul normalei principale) şi bi

(versorul binormalei). În cazul problemei plane a cinematicii punctului material

(Fig.1.2), relaţiile (1.2), (1.3), (1.5), (1.7) se reduc la formele particu-lare de mai jos

Fig. 1.2

i

)R(

r

i

O

y

x

)(

P

n

t

i

i

j

ix

y

– 14 –

),t(yy),t(xx (1.9)

),t(rj)t(yi)t(xr (1.10)

),t();t( (1.11)

),t(riOPr (1.12)

respectiv,

.x

yarctg;siny

;yx;cosx 22

(1.13)

1.2. Traiectoria, viteza şi acceleraţia

Problema fundamentală a cinematicii mişcării absolute a punctului are următoarea formulare: ”Cunoscându-se ecuaţiile mişcării unui punct material sub una din formele (1.1), (1.2), (1.5), (1.8), sau sub una din formele simplificate corespunzătoare problemei plane, respectiv, (1.9), (1.11), se cere să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului respectiv”.

1.2.1. Traiectoria

Traiectoria punctului este curba descrisă de acel punct în mişcare, sau locul geometric al poziţiilor succesive ale punctului în mişcare în raport cu sistemul de referinţă faţă de care se studiază deplasarea sa. Traiectoria se poate determina în două moduri:

- prin obţinerea ecuaţiilor analitice ale ei, eliminând variabila t (timpul) din ecuaţiile de mişcare;

- prin trasarea aproximativă a ei prin puncte. În ambele situaţii, se pleacă de la ecuaţiile de mişcare ale

punctului ce conţin drept parametru timpul t, motiv pentru care aceste ecuaţii se mai numesc ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului respectiv; după cum s-a văzut în paragraful 1.1, ecuaţiile

– 15 –

pot fi exprimate în diferite sisteme de coordonate (carteziene, cilindrice, sau, în particular, coordonatele polare), reprezentând legea de mişcare a punctului în coordonatele respective.

În unele cazuri, forma traiectoriei denumeşte mişcarea punctului respectiv; astfel, mişcarea punctului pe un cerc se numeşte mişcare circulară, mişcarea punctului pe un segment de dreaptă se numeşte mişcare rectilinie, iar dacă traiectoria punctului este o curbă plană, atunci se spune că el efectuează o mişcare plană.

1.2.2. Viteza

Vectorul viteză instantanee v este un parametru cinematic de ordinul I. Se consideră un punct P care se mişcă pe traiectoria

)( după legea (1.1)

],t,t[t),t(rr f0

în care, 0t este momentul iniţial al mişcării, ft este momentul final al

mişcării, iar )t(P şi )tt(P sunt poziţiile pe traiectorie ale punctului P la momentele t , respectiv t +Δt (Fig. 1.3).

Fig. 1.3

– 16 –

În intervalul de timp Δt , se presupune că mişcarea este

rectilinie şi se poate aproxima lungimea curbei prin coarda corespun-zătoare, adică rPPPPcurbeilungimea .

Din poziţia )t(P în )tt(P , punctul execută o mişcare rectilinie uniformă cu viteza medie

.t

)t(r)tt(r

t

rvmed

(1.14)

Vectorul viteză medie medv are acelaşi suport ca vectorul 'PP

şi sensul său este cel al mişcării punctului. Prin viteză instantanee a punctului P se înţelege vectorul v

către care tinde viteza medie medv când intervalul de timp t tinde

spre zero

.rdt

rd

t

rlimvlimv

0tmed

0t

(1.15)

Rezultă că vectorul viteză instantanee v la momentul t a punctului este egal cu derivata întâia a razei vectoare a punctului în raport cu timpul

.rv (1.16)

Deoarece, la limită, secanta PP se confundă cu tangenta în P, vectorul viteză instantanee este tangent la traiectoria punctului şi orientat în sensul mişcării. Vectorul viteză instantanee caracterizează variaţia vectorului de poziţie în raport cu timpul. 1.2.3. Acceleraţia

Vectorul acceleraţie instantanee a, este un parame-tru cinematic de ordinul II.

– 17 –

Se consideră un punct P care la momentul t are viteza )t(v , o funcţie vectorială continuă şi derivabilă, iar la momentul tt are viteza )tt(v (Fig.1.4).

Fig. 1.4

În intervalul de timp t , viteza punctului P variază cu mărimea vectorială v

.)t(v)tt(vv (1.17)

Se menţionează că vectorul Δv este totdeauna dirijat spre interiorul concavităţii traiectoriei. Raportul dintre v , variaţia vectorului viteză şi t , intervalul de timp corespunzător, determină vectorul acceleraţie medie a punctului în acel interval de timp

.t

)t(v)tt(v

t

vaa mmed

(1.18)

Vectorul acceleraţie medie are aceeaşi direcţie cu vectorul v adică este orientat spre interiorul concavităţii traiectoriei. Vectorul acceleraţie instantanee a punctului P este vectorul a către care tinde acceleraţia medie meda când intervalul de timp t tinde

spre zero

– 18 –

,vdt

vd

t

)t(v)tt(vlim

t

vlima

0t0t

(1.19)

sau, ţinând cont de relaţia (1.15)

.rvdt

rd

dt

vda

2

2

În consecinţă, vectorul acceleraţie instantanee a punctului este egal cu derivata întâia a vectorului viteză instantanee sau cu derivata a doua a razei vectoare a punctului în raport cu timpul

.rva (1.20)

Poziţia vectorului a se examinează în raport cu traiectoria punctului. Dacă traiectoria este o curbă spaţială, vectorul acceleraţie instantanee a se află în planul osculator la punctul P (planul determinat de tangenta la traiectorie în punctul P şi de un punct P de pe traiectorie care tinde spre P) şi este dirijat spre interiorul concavităţii curbei. Dacă traiectoria este o curbă plană, planul osculator coincide cu planul curbei, fiind comun tuturor punctelor; rezultă că vectorul acceleraţie instantanee a se află în planul curbei şi este orientat spre interiorul concavităţii.

1.3. Studiul mişcării punctului în diferite sisteme de coordonate

1.3.1. Cinematica punctului în coordonate intrinseci (naturale)

În cazul în care traiectoria e o curbă cunoscută, poziţia unui punct P pe traiectorie se determină prin coordonata naturală, notată s, numită şi abscisa curbilinie. În general, când se cunoaşte traiectoria se utilizează triedrul lui Frenet, (Fig.1.5).

– 19 –

Triedrul lui Frenet, Ptnb, este un triedru mobil cu originea în

punctul P, având ca axe: - tangenta, Pt, Ia curbă în punctul P, de versor , cu sensul

pozitiv luat în sensul creşterii arcului s; - normala principală, Pn, care este normala din planul oscu-

lator al curbei )PtPn( , orientată pozitiv spre centrul de curbură; sensul pozitiv pe normala principală este stabilit de versorul ;

- binormala, Pb, care este normala Ia planul osculator (format de versorii şi ), versorul fiind ales astfel încât împreună cu şi să formeze un triedru drept.

Se precizează câteva noţiuni necesare în tratarea problemei. Se consideră o curbă spaţială, un punct P aparţinând curbei şi două puncte pe curbă P şi P , vecine cu P. Aceste trei puncte determină un cerc, numit cerc osculator care este poziţia limită a cercului determinat de cele 3 puncte când P şi P tind spre P. Raza de curbură cR este raza cercului osculator, centrul de curbură este

centrul cercului osculator, iar planul osculator este planul cercului osculator. Pentru determinarea componentelor vitezei şi acceleraţiei se utilizează două relaţii din geometria diferenţială

.R

1

ds

d,

ds

rd

c

(1.21)

În Fig. 1.5, traiectoria punctului P este reprezentată prin curba (Γ). Abscisa curbilinie a punctului P este arcul de curbă măsurat de

Ia un anumit punct fix O al curbei. Mişcarea pe curba dată (Γ) este definită de funcţia (1.8)

]t,t[t),t(ss f0 ,

numită ecuaţia orară a mişcării (sau legea de mişcare a punctului).

Viteza

Expresia vitezei se obţine prin derivarea vectorului de poziţie r în raport cu timpul, ţinând cont că acest vector depinde de timp prin intermediul funcţiei s = s(t) , adică ))t(s(rr

– 20 –

.sdt

ds

ds

rd

dt

rdrv (1.22)

Proiecţiile vitezei pe axele triedrului lui Frenet şi mărimea (modulul) vitezei au expresiile

.svcu,

0vv

0vv

vsvv

:v

(1.23)

Fig. 1.5

Vectorul viteză este dirijat după tangenta Ia curba )( (conform definiţiei vitezei), iar scalarul vitezei este de forma

.sv (1.24) Acceleraţia

Pentru a determina expresia acceleraţiei, se derivează în raport cu timpul expresia vitezei dată de relaţia (1.22)

t

s(t) O

n

))t(s(rr

b

xa

v

z

)(

y

P

O

– 21 –

sssdt

d

dt

vdva .

Ţinând seama de relaţia (1.21)2 în derivarea versorului

cR

1s

dt

ds

ds

d

dt

d , (1.25)

se obţine în final următoarea expresie analitică a acceleraţiei instantanee

aaR

vv

R

ssa

c

2

c

2

. (1.26)

Proiecţiile acceleraţiei pe axele triedrului Iui Frenet au forma

.

0aa

R

v

R

saa

vsaa

:ac

2

c

2

(1.27)

Vectorul acceleraţie este conţinut în planul determinat de axa tangenţiaIă şi axa normală principală, adică în planul osculator. Mărimea acceleraţiei are expresia

.R

vv

R

ssaaa

2c

42

2

c

2222

(1.28)

Componentele acceleraţiei

- acceleraţia tangenţială

vsa , (1.29)

este coliniară cu viteza ν, de acelaşi sens sau de sens contrar vitezei, sau poate fi nulă; ea se datorează variaţiei mărimii vitezei.

– 22 –

Dacă 0dt

dva , rezultă .constv (scalarul vitezei nu se

modifică), deci punctul P are o mişcare uniformă (parcurge arce egale în intervale egale de timp).

- acceleraţia normală

,R

v

R

sa

c

2

c

2

(1.30)

se datorează variaţiei direcţiei vitezei, care are loc chiar şi atunci când mişcarea este uniformă, deoarece traiectoria fiind o curbă, tangenta într-un punct mobil al ei îşi schimbă continuu direcţia; ea este întotdeauna pozitivă şi orientată spre partea concavă a traiectoriei. Mişcarea rectilinie şi uniformă este singura mişcare în care acceleraţia este nulă

.Rpentru0R

1deoarece,0

R

va,0va c

cc

2

(1.31)

Caracterul mişcării în funcţie de unghiul format de vectorii viteză şi acceleraţie

Pentru a stabili caracterul mişcării, se efectuează produsul scalar al vectorilor ν şi a

vv)v()v(avavav)aa(vav

şi se obţine următoarea relaţie finală

.2

v

dt

dvvav

2

(1.32)

Cu ajutorul relaţiei de definiţie a produsului scalar, se calculează unghiul dintre vectorii ν şi a

– 23 –

av

av)avcos(

(1.33)

şi folosind relaţia (1.32) se poate face o clasificare a mişcărilor. Există 3 cazuri (Fig. 1.6):

a. b. c.

Fig. 1.6.

Cazul I, corespunde situaţiei când vectorii viteză şi acceleraţie

formează un unghi ascuţit, ∢2

)a,v(

, adică

,0vvav (1.34)

situaţie în care ν şi a au acelaşi sens.

Relaţia (1.32) arată că această condiţie exprimă creşterea modulului vitezei, rezultă astfel că mişcarea efectuată va fi accelerată (Fig. 1.6.a).

Cazul II, corespunde situaţiei când vectorii ν şi a formează

un unghi obtuz, ∢2

)a,v(

, adică

,0vvav (1.35)

caz în care ν şi a au sensuri contrare.

Relaţia (1.32) arată că această condiţie exprimă matematic

a

v B

)( )( )(

vv

a

a a

0a

a a aa

B B

– 24 –

descreşterea vitezei în modul, rezultând astfel o mişcare încetinită (Fig. 1.6.b). Cazul III, corespunde situaţiei când vectorii ν şi a sunt perpendiculari

∢

2)a,v(

, adică .0vvav (1.36)

În această situaţie: 0v , rezuItă 0v şi .constv Rezultă că viteza are mărime constantă, acceleraţia tangenţială este nulă, acceleraţia punctului reducându-se numai Ia componenta normală

,R

v

R

vaa

c

20

c

2

(1.37)

punctul executând o mişcare uniformă (Fig. 1.6.c). Concluzie: mişcarea unui punct pe traiectoria lui este accelerată, încetinită sau uniformă, după cum unghiul format de vectorii viteză şi acceleraţie este ascuţit, obtuz sau drept. Determinarea razei de curbură cR a traiectoriei

a). Raza de curbă cR intră în formula de calcul a acceleraţiei

normale dată de relaţia (1.30). Pentru a stabili expresia razei de curbură se procedează astfel: - se efectuează produsul vectorial dintre vectorii viteză şi acceleraţie, exprimaţi analitic în raport cu axele triedrului lui Frenet, Ptnb:

;R

v

R

s

0R/ss

00savc

3

c

3

c2

- se calculează modulul produsului vectorial

– 25 –

,R

v

R

sav

c

3

c

3

relaţie din care rezultă următoarea formulă de calcul a razei de curbură

.av

v

av

sR

33

c

(1.38)

În relaţia (1.38), vectorii ν şi a pot fi exprimaţi în orice sistem de coordonate. Dacă în relaţia de calcul a componentei normale a

,R

va

c

2

se înlocuieşte cR cu expresia ei din relaţia (1.38), se va obţine

următoarea formulă de calcul a acceleraţiei normale

.v

ava

(1.39)

b). O altă formulă de calcul a razei de curbură se poate obţine din relaţia (1.28), adică din relaţia

,R

vv

R

ssaaa

2c

42

2

c

2222

rezultând

2

c 2 2

vR = .

a - v (1.40)

Formula (1.40) conţine modulii vitezei şi acceleraţiei, precum şi derivata mărimii vitezei în raport cu timpul.

– 26 –

1.3.2. Cinematica punctului în coordonate carteziene Se presupune că se cunosc ecuaţiile de mişcare ale punctului în coordonate carteziene, date de relaţiile (1.2) :

].t,t[tcu),t(zPPz);t(yPPy);t(xOPx f01212

Traiectoria În cazul mişcării spaţiale, prin eliminarea timpului din ecuaţiile de mişcare anterioare, se obţin ecuaţiile a două suprafeţe a căror intersecţie este curba (Γ) (Fig. 1.7) ce reprezintă traiectoria punctului

.0)z,y,x(F

0)z,y,x(F:)(

2

1

(1.41)

Fig. 1.7

În cazul mişcării plane, considerându-se planul Oxy, )0z( , prin eliminarea parametrului t din ecuaţiile de mişcare (1.9)

x = x(t); y = y(t),

– 27 –

se obţine ecuaţia analitică a traiectoriei, fie sub formă implicită

f(x,y) = 0, (1.42)

fie sub formă explicită

y = y(x). (1.43)

În cazul în care obţinerea ecuaţiilor analitice ale traiectoriei este dificilă, se apelează la trasarea traiectoriei cu ajutorul calculatorului electronic. Viteza

Expresia analitică a vectorului viteză instantanee, în reperul cartezian Oxyz, are forma

.kzjyix)kzjyix(dt

d

dt

rdrv (1.44)

Proiecţiile vitezei pe axele de cordonate au expresiile

.

zkvv

yjvv

xivv

:v

z

y

x

(1.45)

Mărimea (modulul) vitezei se calculează cu formula

.zyxvvvv 2222z

2y

2x

(1.46)

Cosinusurile directoare (cosinusurile unghiurilor pe care le formează vectorul viteză cu axele de coordonate Ox, Oy şi Oz) care precizează orientarea vitezei sunt

.v

v)k,vcos(;

v

v)j,vcos(;

v

v)i,vcos( zyx (1.47)

În cazul mişcării punctului în planul Oxy )0z( , relaţiile (1.44) ÷ (1.46) devin de forma

– 28 –

.yxv

;yv

xv

;jyixv

22

y

x

(1.48)

Acceleraţia

Expresia analitică a acceleraţiei instantanee, în reperul Oxyz, are forma

.kzjyix)kzjyix(dt

drva (1.49)

Proiecţiile acceleraţiei pe axele de coordonate au expresiile

.

zkaa

yjaa

xiaa

:a

z

y

x

(1.50)

Mărimea (modulul) acceleraţiei se calculează cu ajutorul relaţiei

.zyxaaaa 2222z

2y

2x

(1.51)

Cosinusurile directoare care precizează orientarea vectorului acceleraţie sunt de forma

.a

a)k,acos(;

a

a)j,acos(;

a

a)i,acos( zyx (1.52)

În cazul mişcării punctului în planul Oxy, )0z( , relaţiile (1.49)÷(1.51) devin

– 29 –

.yxa

;ya

xa

;jyixa

22

y

x

(1.53)

Se pot determina acum, cele două componente ale acceleraţiei, a şi a , în funcţie de proiecţiile vitezei şi acceleraţiei în

coordonate carteziene. Acceleraţia tangenţială, a , se determină folosind relaţiile

(1.29) şi (1.46), adică

;vsa ,zyxv 222

din care rezultă:

.zyx

zzyyxxa

222

(1.54)

Acceleraţia normală, a , se poate determina folosind relaţia

(1.28), de unde rezultă

.aaa 22 (1.55)

Dacă se aplică formula (1.39)

,v

ava

cu a,v şi v date de relaţiile (1.44), (1.49), respectiv (1.46), după

efectuarea calculelor

i j k

v×a = x y z = yz - zy i + zx - xz j + xy - yx k

x y z

– 30 –

şi

2 2 2v×a = yz - zy + zx - xz + xy - yx ,

se va obţine pentru acceleraţia normală următoarea expresie

222

222

zyx

)xyyx()zxxz()yzzy(a

. (1.56)

Tot în funcţie de proiecţiile în coordonate carteziene ale vectorilor v x,y,z şi a x,y,z se poate calcula şi raza de curbură

cR a traiectoriei, cu formula dată de relaţia (1.38), adică

,av

v

av

sR

33

c

obţinându-se următoarea expresie

.)xyyx()zxxz()yzzy(

)zyx(R

222

2/3222

c

(1.57)

În cazul particular când punctul se deplasează în planul Oxy, deci sunt îndeplinite condiţiile

z = 0; z = 0; z = 0,

raza de curbură are expresia simplificată de mai jos

.xyyx

)yx(R

2/322

c

(1.58)

– 31 –

1.3.3. Cinematica punctului în coordonate polare şi cilindrice

Cinematica punctului în coordonate polare

Sistemul de coordonate polare este un sistem plan, (Fig. 1.8), care se poate utiliza pentru studiul unui punct care are o mişcare plană. Mişcarea punctului este definită dacă se cunosc coordonatele şi în funcţie de timp. Legea de mişcare a punctului în coordo-nate polare este exprimată prin relaţiile

].t,t[t)};t();t({:P f0

Fig. 1.8

Sistemul de axe P , corespunzător coordonatelor polare, conţine următoarele axe (Fig. 1.8): - axa radială, coliniară cu raza polară , de versor i consi-

derat în sensul creşterii razei polare; - axa transversală, perpendiculară pe axa radială, cu versorul

i orientat în sensul creşterii unghiului .

În timpul mişcării punctului P, versorii i şi i îşi schimbă

orientarea, deci nu sunt vectori constanţi; aceasta înseamnă că derivatele lor în raport cu timpul vor fi diferite de zero.

r

yO

v

y

i

i

j

i

a

)( P

– 32 –

Pentru a putea calcula aceste derivate, se procedează astfel:

- se exprimă i şi i în funcţie de proiecţiile lor pe axele fixe

Ox şi Oy, de versori i şi j

;

jcosisini

jsinicosi (1.59)

- se derivează aceste expresii în raport cu timpul obţinându-se

)jsini(cosjsinicosi

)jcosisin(jcosisini

şi rezultă forma finală

.ii;ii (1.60)

Traiectoria

a). Pentru determinarea traiectoriei se elimină timpul t din ecuaţiile de mişcare (1.11)

)t();t(

şi se obţine ecuaţia traiectoriei, fie sub forma implicită

0),(f , (1.61)

fie, sub forma explicită

)( ; (1.62)

b). În cazul curbelor mai complicate, traiectoria se poate trasa aproximativ prin puncte, completând tabelul de mai jos:

– 33 –

Coordonatele punctului Timpul

t )t( )t(

Poziţia punctului

0t )t( 0 )t( 0 0P

1t )t( 1 )t( 1 1P

....

....

....

....

ft )t( f )t( f fP

(1.63)

Se reprezintă pe desen punctele 0P , 1P , ....., fP , după care se unesc

printr-o linie continuă şi se obţine o curbă care reprezintă traiectoria punctului P în intervalul de mişcare ]t,t[ f0 .

Viteza

Pentru calcularea vitezei instantanee se aplică formula (1.16),

adică ,rv cu ),t(riOPr rezultând relaţia

.ii)i(dt

d

dt

rdrv (1.64)

Expresia analitică a vitezei instantanee, în baza relaţiei

1)60.1( , adică ii , capătă forma finală

ρ φv =ρ i +ρφ i . (1.65)

Proiecţiile vitezei instantanee pe axele polare au expresiile

)lătransversaviteza(ivv

)radialăviteza(ivv:v

(1.66)

– 34 –

Mărimea (modulul) vitezei instantanee este de forma

.vvv 22222 (1.67)

Cosinusurile directoare care precizează orientarea vectorului viteză sunt

.v

v)i,vcos(;

v

v)i,vcos(

(1.68)

Acceleraţia

Pentru determinarea expresiei analitice a acceleraţiei instantanee se aplică formula (1.20), ,rva rezultând

.iiiii)ii(dt

dva

Ţinându-se seama de derivatele în raport cu timpul ale versorilor axelor polare, adică de relaţiile

,ii,ii

relaţia anterioară devine

.iiiiia 2

Forma finală a expresiei analitice a acceleraţiei este

.i)2(i)(a 2 (1.69)

Proiecţiile acceleraţiei pe axele polare au forma

.2iaa

iaa:a

2

(1.70)

Mărimea (modulul) acceleraţiei instantanee este dată de relaţia

– 35 –

.)2()(aaa 22222 (1.71)

Expresiile cosinusurilor directoare ale acceleraţiei

.a

a)i,acos(;

a

a)i,acos(

(1.72)

Raza de curbură a traiectoriei se poate calcula de această

dată în funcţie de proiecţiile vectorilor viteză şi acceleraţie în coordonate polare, plecând de la formula

,av

vR

3

c

în care

32223

v

şi

,i)()2(

02

0

iii

av 2

2

cu

.)()2(av 2

Rezultă expresia

.)()2(

R2

3222

c

(1.73)

– 36 –

Cinematica punctului în coordonate cilindrice

Sistemul de coordonate cilindrice este un sistem spaţial (Fig.1.9). Poziţia punctului în coordonate cilindrice este dată de raza polară ρ , unghiul polar φ, şi cota z . Originea sistemulul de axe este în punctul P .

Fig. 1.9

Deoarece versorul i este paralel cu versorul k, rezultă

.0kiki (1.74)

Vectorul de poziţie al punctului P are expresia (1.5)

.]t,t[t),t(rkziPPOPOPr f011

Ecuaţiile de mişcare ale punctului P în coordonate cilindrice sunt date de relaţiile

v

z

y

z

ki

i

i

3P

2P

x

k j

i

a

1P

)( P

O

)t(r

– 37 –

].t,t[t);t(zz);t();t( f0

Traiectoria

Pentru a obţine ecuaţia analitică a traiectoriei punctului P, se elimină timpul t din cele trei ecuaţii de mişcare şi se obţin două suprafeţe

0)z,,(F1 şi ,0)z,,(F2 (1.75)

a căror intersecţie este curba )( , adică traiectoria punctului (Fig.1.9). Viteza

Expresia analitică a vitezei instantanee în sistemul de coordonate cilindrice P se obţine prin derivarea în raport cu

timpul a vectorului de poziţie r dat de relaţia )t(rkzir , ţinând

cont de derivatele versorilor 0ki,ii,ii

.kzii)kzi(dt

d

dt

rdrv (1.76)

Proiecţiile vectorului v pe axele sistemului de coordonate cilindrice:

.

)elorcotaxapeviteza(zkvv

)lătransversaviteza(ivv

)radialăviteza(ivv

:v

z

(1.77)

Modulul (mărimea) vectorului viteză este dat de relaţia

.zvvvv 22222z

22 (1.78)

– 38 –

Acceleraţia

Expresia analitică a acceleraţiei instantanee în sistemul de coordonate P se obţine prin derivarea în raport cu timpul a vitezei dată de relaţia (1.76)

.kziiiii

)kzii(dt

d

dt

vdva

Ţinând cont şi de această dată de derivatele versorilor, forma finală a expresiei analitice a vectorului a este

kzi)2(i)(va 2 (1.79)

Proiecţiile vectorului a pe axele sistemului de coordonate cilindrice sunt de forma

.

zkaa

2iaa

iaa

:a

z

2

(1.80)

Modulul (mărimea) vectorului acceleraţie este dat de relaţia

.z)2()(aaaa 22222z

22 (1.81)

– 39 –

1.4. Mişcări particulare ale punctului 1.4.1. Mişcarea circulară

Se consideră punctul P care se mişcă, plecând din O , pe un cerc de rază R (Fig.1.10).

Fig.1.10

Ecuaţiile de mişcare ale punctului P

a). în coordonate polare

].t,t[t);t(;R f0 (1.82)

b). în coordonate naturale, legea de mişcare este

]t,t[t),t(ss f0 cu .POarculuilungimeas (1.83)

Deoarece .constR şi Rs , mişcarea poate fi descrisă de funcţia )t( , numită ecuaţia finită a mişcării circulare a punctului. Derivata de ordinul întâi în raport cu timpul a funcţiei )t(

– 40 –

,dt

d

(1.84)

se numeşte viteză unghiulară, iar derivata de ordinul doi

,dt

d

dt

d2

2

(1.85)

se numeşte acceleraţie unghiulară.

Fig. 1.11

Viteza unghiulară )s( 1 caracterizează variaţia unghiului

pe cerc, iar accceleraţia unghiulară )s( 2 caracterizează modul de variaţie a vitezei unghiulare. Sensul acceleraţiei unghiulare raportat la sensul vitezei unghiulare va determina caracterul mişcării circulare: accelerată, încetinită sau uniformă (Fig. 1.11).

Se disting următoarele trei cazuri:

Cazul I se caracterizează prin condiţia 0 , prin urmare există o creştere a vitezei unghiulare în modul, de aici rezultând caracterul de mişcare circulară accelerată (Fig. 1.11a).

– 41 –

Cazul II se caracterizează prin condiţia 0 , aceasta

înseamnă o micşorare a modulului vitezei unghiulare, de aici rezultând caracterul de mişcare circulară încetinită (Fig. 1.11b).

Cazul III este caracterizat de condiţia 0 , deci acceleraţia unghiulară este nulă )0( , rezultând astfel o mişcare circulară uniformă (Fig. 1.11c).

Din figura (1.10) se observă că axele polare coincid cu cele intrinseci, existând următoarele relaţii între cele două seturi de versori

.i,i (1.86)

Vectorul de poziţie al punctului P a) în coordonate polare

;iRir

b) în coordonate naturale

.))t(s(rr

Viteza punctului P

a) în coordonate polare

;iRiRiR)iR(dt

d

dt

rdrv

b) în coordonate naturale

.Rvsdt

ds

ds

rd

dt

rdrv

Proiecţiile vitezei pe axele polare se calculează cu relaţiile

– 42 –

,Rivv

0ivv:v

(1.87)

iar pe axele triedrului lui Frenet, cu relaţiile

.0vv

RRsvv:v

(1.88)

Se poate scrie expresia analitică a vectorului viteză sub una din formele de mai jos

.Rvcu,RRiRiRv (1.89)

Acceleraţia

a) în coordonate polare )0,0.,constR(

;iRiR

iRiRi)2(i)(a

2

22

(1.90)

b) în coordonate naturale, ţinând seama de relaţiile

,R

1s

dt

ds

ds

d

dt

d

,RR,Rs,Rs,Rs

c

c

rezultă pentru accelaraţia punctului P următoarea expresie

.RR

RRss)s(dt

d

dt

vda

2

2

(1.91)

Proiecţile acceleraţiei pe axele polare, respectiv, componenta radială a şi componenta transversală a , au expresiile

– 43 –

.RRiaa

RRiaa:a

22

(1.92)

Proiecţiile acceleraţiei pe axele triedrului lui Frenet, respectiv,

componenta tangenţială a şi componenta normală a , au formele

.aRRaa

aRRRaa:a

22

(1.93)

Modulul (mărimea) acceleraţiei se poate calcula cu ajutorul uneia din relaţiile de mai jos

.Raaaaa 422222 (1.94)

În Fig. 1.11 sunt reprezentaţi vectorii viteză v , acceleraţie a , precum şi cele două componente ale acceleraţiei, respectiv componenta radială a şi componenta transversală a .

Mişcarea punctului pe cerc poate fi:

- accelerată, atunci când unghiul dintre vectorii v şi a este ascuţit; - încetinită, atunci când unghiul dintre vectorii v şi a este obtuz; - uniformă, atunci când vectorii v şi a sunt perpendiculari.

În funcţie de legea de mişcare )t( , se întâlnesc următoarele

mişcări circulare particulare: - mişcarea circulară uniformă

.,const,,t 00oo (1.95)

– 44 –

cu

;0,0

- mişcarea circulară uniformă variată

.,const,,,t2

1t 000

2ooo (1.96)

cu ;,t 0oo

- mişcarea circulară oscilatorie armonică

.,const,k,),ktsin( (1.97)

cu

.k)ktsin(k

),ktcos(k22

1.4.2. Mişcarea punctului material pe elicea cilindrică de pas constant

Traiectoria punctului material este o curbă înfăşurată pe o suprafaţă cilindrică circulară dreaptă, ca în Fig. 1.12.

Suprafaţa cilindrică se taie după o generatoare AD (Fig. 1.13) şi se desfăşoară suprafaţa, care va lua astfel forma dreptunghiului

ADAD . În acest dreptunghi se duc paralelele BB , CC , etc. echidistante la baza lui AA , egală cu lungimea cercului de bază al cilindrului şi în dreptunghiurile astfel formate, de lungime R2 şi de înălţime h, se duc diagonalele BA , CB etc. La reînfăşurarea suprafeţei pe cilindru, diagonalele BA , CB etc formează o curbă continuă )( care este elicea cilindrică de pas constant, de rază R, de pas h şi un unghi de înfăşurare satisfăcând condiţia

.R2

htg

(1.98)

– 45 –

Fig. 1.12

Din Fig. 1.13 se observă că, pentru o poziţie dată a punctului material P pe elice, cota z a punctului se exprimă în funcţie de unghiul polar, în baza relaţiei evidente

,2

h)tgR(tgRtgPAPPz

(1.99)

ultima expresie rezultând prin considerarea şi a relaţiei (1.98). În baza precizărilor de mai sus, rezultă următoarele ecuaţii parametrice în coordonate cilindrice ale mişcării punctului material pe elicea de pas constant

.2

h)tgR(z),t(.,constR

(1.100)

În condiţiile acestei probleme, traiectoria nu mai trebuie

determinată, ea fiind prestabilită.

– 46 –

Fig. 1.13 Viteza punctului P are expresia dată de relaţia

.k2

hiRk)Rtg(iRkziiv

Proiecţiile vitezei acestui punct material pe axele de coordonate cilindrice, în condiţiile (1.100) de mişcare, au următoarele expresii

,

)2/h()tgR(kvv

Rivv

0ivv

:v

z

(1.101)

– 47 –

cu orientările celor două componente ale ei precizate în Fig. 1.14. Viteza punctului material are următoarea mărime

.cos

Rtg1Rvvvv 22

z22

(1.102)

Fig. 1.14.

Acceleraţia punctului P are expresia

.k2

hiRiR

k)tgR(iRiRkzi)2(i)(a

2

22

z

z

– 48 –

Proiecţiile pe axele de coordonate cilindrice ale acceleraţiei punctului material în mişcarea definită prin ecuaţiile (1.100), au formele

.

)2/h()tgR(zkaa

R2iaa

Riaa

:a

z

22

(1.103)

Mărimea (modulul) acceleraţiei are expresia

.cos

R)tg1(Raaaa 42

24222

z22

(1.104)

Ecuaţiile parametrice în coordonate carteziene ale mişcării punctului material P pe elicea cilindrică de pas constant au următoarele expresii:

.2

h)tgR(z,sinRy,cosRx

(1.105)

Viteza punctului P are expresia

.k2

hjcosRisinR

k)tgR(jcosRisinRkzjyixv

Proiecţiile vitezei punctului material pe axele reperului Oxyz sunt de forma

)2/h()tgR(zkvv

cosRyjvv

sinRxivv

:v

z

y

x

(1.106)

şi cu ajutorul lor se poate calcula mărimea vitezei

– 49 –

,cos

Rtg1R

tgcossinRzyxv

2

222222

(1.107)

obţinându-se aceeaşi expresie ca şi aceea din relaţia (1.102). Acceleraţia punctului P are expresia

.k2

hj)sincos(Ri)cossin(R

k)tgR(j)sincos(Ri)cossin(R

kzjyixva

22

22

Proiecţiile pe axele de coordonate carteziene ale acceleraţiei punctului material P au următoarele expresii:

.

)2/h()tgR(zkaa

)sincos(Ryjaa

)cossin(Rxiaa

a

z

2y

2x

(1.108)

Mărimea acceleraţiei punctului material P, calculată în baza relaţiilor (1.108)

,cos

R)tg1(R

)tg()cos(sin)cos(sinR

zyxa

42

2422

22224222

22

(1.109)

– 50 –

are aceeaşi expresie cu cea obţinută în relaţia (1.104). Determinarea razei de curbură cR Pentru determinarea razei de curbură, se pleacă de la relaţia (1.40)

,va

vR

22

2

c

unde v şi a au expresiile (1.107) şi (1.109).

Înlocuind în relaţia anterioară v , v şi a cu expresiile lor

,cos

Ra

,cos

Rv,

cos

Rv

42

2

(1.110)

rezultă următoarea formulă de calcul a razei de curbură pentru elicea de pas constant

.cos

RR

2c

(1.111)

Din relaţia (1.111) se observă că elicea cilindrică de pas constant are raza de curbură de mărime constantă în orice punct al ei.

Forma de elice cilindrică este frecvent întâlnită pe parcursul proceselor tehnologice din industria textilă, fapt ilustrat prin câteva exemple:

- înfăşurarea sub formă de elice cilindrică a semitortului pe bobinele de la flaier;

– 51 –

- înfăşurarea firelor sub formă de elice cilindrică pe bobinele cilindrice de la maşinile de filat cu rotor şi de la maşinile de bobinat;

- dispunerea sub formă de elice cilindrică atât a fibrelor în firul textil, cât şi a firelor simple în firul răsucit.

Pentru elucidarea tuturor problemelor legate de parametrii geometrici ai curbei care caracterizează forma elicoidală pe care o iau fibrele în firul simplu, firele simple în firul răsucit, sau semitortul şi firele înfăşurate pe bobine cilindrice (raza R, pasul h, unghiul de înfăşurare , lungimea, curbura, torsiunea, etc.), se recomandă consultarea materialului bibliografic [10], în prezenta lucrare nefiind abordată întreaga tematică.