6. CINEMATICA PUNCTULUI Cinematica Punctului Studiază Mişcările

Click here to load reader

  • date post

    16-Jun-2015
  • Category

    Documents

  • view

    482
  • download

    5

Embed Size (px)

Transcript of 6. CINEMATICA PUNCTULUI Cinematica Punctului Studiază Mişcările

CINEMATICA

6. CINEMATICA PUNCTULUI Cinematica punctului studiaz micrile mecanice ale corpurilor, fr a lua n considerare masa acestora i forele care acioneaz asupra lor. Cinematica face un studiu geometric al micrilor din care cauz aceast parte a mecanicii se mai numete i geometria micrilor. Cinematica folosete noiunile fundamentale de spaiu i timp. Spaiul se consider absolut, euclidian i tridimensional, iar timpul un parametru scalar independent de spaiu i continuu cresctor. Noiunea de micare este relativ. Micarea se raporteaz n general la un reper sau sistem de referin. Dac reperul este fix, micarea se numete absolut, iar dac reperul este mobil, micarea se numete relativ. 6.1. NOIUNI FUNDAMENTALE 6.1.1. LEGEA DE MICARE Micarea unui punct M este cunoscut dac, n orice moment t, se poate preciza poziia acestuia n raport cu un reper presupus fix, definit de vectorul de poziie r ca funcie de timp (fig.6.1).

r = r( t )

(6.1) Fig.6.1

Pentru a defini micarea real, funcia vectorial descris de ecuaia (6.1), trebuie s fie continu, uniform, finit n modul i de dou ori derivabil. Ea constituie legea de micare. 6.1.2. TRAIECTORIA

Traiectoria este locul geometric al poziiilor succesive ocupate de punct n micare. Referitor la traiectorie, se ntlnesc dou cazuri: Cazul 1. Se cunoate poziia punctului, dat prin funciile scalare, care definesc vectorul variabil r ( t ) (fig.6.2) i se cere s se determine traiectoria. Dac funcia vectorial r ( t ) este definit cartezian se poate scrie:

r ( t ) = x( t )i + y( t ) j + z( t )k

(6.2) 67

unde i , j , k sunt versorii axelor Ox, Oy i Oz, ale sistemului cartezian. Proieciile pe axe ale vectorului r ( t ) reprezint coordonatele punctului M n sistemul cartezian Oxyz, sunt funcii scalare de timp i se numesc ecuaii parametrice ale traiectoriei, parametrul fiind timpul t.

x = x( t ); y = y( t ); z = z( t )

(6.3)

Prin eliminarea parametrului t n ecuaiile parametrice (6.3) se obine traiectoria, ca intersecie a dou plane:

f 1 ( x , y , z ) = 0; f 2 ( x , y , z ) = 0

(6.4)

Fig. 6.2

Cazul 2. Se cunoate traiectoria punctului, curba (C), i se cere s se determine poziia acestuia. Dac traiectoria este o curb continu, rectificabil i are n orice punct o tangent unic, poziia punctului se poate determina utiliznd un singur parametru scalar, care este coordonata curbilinie s (fig.6.3). Punctul M se deplaseaz pe curba (C) n sensul indicat de sgeat. Pentru a indica poziia la un moment dat a punctului se alege ca reper punctul M0, care constituie originea arcelor, Fig. 6.3 sensul de parcurs fiind indicat de sgeat. Poziia punctului M pe curb, n timp este determinat de ecuaia orar a micrii sau legea orar a micrii: s = s( t ) (6.5)6.1.3. VITEZA

Viteza este o mrime vectorial ataat punctului care precizeaz direcia i sensul n care se efectueaz micarea. Se consider dou poziii succesive M1 i M2 ale punctului M n micarea pe curba (C), la momentele t i respectiv t+t, caracterizate prin vectorii de poziie r ( t ) , respectiv r (t + t ) (fig.6.4). Intervalul de timp t fiind foarte mic, se poate asimila elementul de arc M1M2, cu elementul de coard M1M2, care reprezin modulul vectorului M 1 M 2 = r ( t + t ) r ( t ) = r r se numete vitez medie a punctului M. Cum de regul Raportul t intereseaz direcia i sensul micrii n orice moment pe curba (C), se calculeaz viteza instantanee. Aceasta se realizeaz cnd intervalul de timp t 0 sau M 2 M 1 .68

Trecnd la limit, rezult viteza instantanee ntr-un punct:v=M 2 M 1

lim

M 1M 2 r d r & = lim = =r t 0 t dt t

(6.6)

Relaia (6.6), arat c viteza unui punct este egal cu derivata vectorului de poziie al punctului, n raport cu timpul (derivata n raport cu timpul a funciilor scalare sau vectoriale se va nota, n general, cu un punct, deasupra). Viteza este tangent la traiectorie n punctul respectiv:

v=unde:

dr dr dr ds = = v dt dr ds dt

(6.7)

Fig. 6.4

dr dr ds & = ; = 1; =s dr ds dt

(6.8)

este versorul tangentei.6.1.4. ACCELERAIA

Acceleraia este o mrime vectorial ataat punctului n micare i arat modul de variaie al vitezei acestui punct n decursul micrii, ca modul, direcie i sens. Se consider dou poziii succesive M1 i M2 ale punctului M n micare pe curba (C), la momentele t i respectiv t+t, avnd vitezele v ( t ) = v i v ( t + t ) = v + v (fig.6.5). Variaia vitezei n intervalul de timp t este: v ( t + t ) v ( t ) = ( v + v ) v = v v msoar variaia Raportul t vitezei n timp i se numete acceleraie medie. Prin trecerea la limit, aceasta realizndu-se cnd intervalul de timp t 0 sau M 2 M 1 , rezult acceleraia instantanee:

v dv d 2 r & && = = =v =r a = lim t 0 t dt dt 2

(6.9)

Fig. 6.5

Dac se continu derivarea n raport cu timpul, a vectorului de poziie r , se obin vectori care se numesc acceleraii de ordin superior. Astfel, derivata a 69

treia n raport cu timpul a vectorului de poziie, se numete acceleraie de ordinul al doilea sau supraacceleraie. 6.1.5. VITEZA I ACCELERAIA UNGHIULAR Sunt cazuri cnd poziia unui punct pe traiectorie se poate preciza cu ajutorul unui unghi la centru , ca n cazul micrii circulare. Considernd ca reper, diametrul orizontal, legea de micare a punctului M pe cerc este definit de funcia: =( t ) (6.10) Se consider dou poziii succesive M1 i M2 ale punctului M n micarea pe cerc, la momentele t i respectiv t+t, avnd (t ) = i unghiurile la centru ( t + t ) = + (fig.6.6). Variaia unghiular n intervalul de timp t este: ( t + t ) ( t ) = ( + ) = Raportul

t

se

numete

vitez

Fig. 6.6

unghiular medie a punctului M. Prin trecerea la limit, aceasta realizndu-se cnd intervalul de timp t 0 sau M 2 M 1 , rezult viteza unghiular instantanee: d & = lim = = (6.11) t 0 t dtConsidernd poziiile succesive M1 i M2 ale punctului M n micare pe cerc, la momentele t i respectiv t+t, avnd vitezele unghiulare ( t ) = i ( t + t ) = + , variaia vitezei unghiulare n intervalul de timp t este: ( t + t ) ( t ) = ( + ) = Raportul

msoar variaia vitezei unghiulare n timp i se numete t

acceleraie unghiular medie. Prin trecerea la limit cnd intervalul de timp t 0 sau M 2 M 1 , rezult acceleraia unghiular instantanee:

d d 2 & & = = 2 = = & = lim t 0 t dt dt

(6.12)

Prin convenie, viteza unghiular poate fi considerat un vector al crui suport este o dreapt perpendicular pe planul traiectoriei, care trece prin punctul O. Sensul pozitiv al vectorului vitez unghiular este dat de regula urubului, care se rotete n sensul de deplasare al punctului M. n mod similar se definete i vectorul acceleraie unghiular. 70

6.2. STUDIUL MICRII PUNCTULUI 6.2.1. STUDIUL MICRII N COORDONATE CARTEZIENE A cunoate micarea punctului, nseamn a cunoate n orice moment vectorul de poziie r , viteza v i acceleraia acestuia a (fig.6.7). Vectorul de poziie are expresia:

r = xi + yj + zksunt:

(6.13)

Ecuaiile parametrice ale traiectoriei

x = x( t ); y = y( t ); z = z( t )

(6.14)

Traiectoria sau curba (C) se obine prin eliminarea parametrului t, n ecuaiile parametrice ale micrii. Viteza se obine ca derivata vectorului de poziie n raport cu timpul:

Fig. 6.7

& dr = xi + yj + zk & & & v =r = dtComponentele vitezei sunt:

(6.15)

& & & v x = x; v y = y ; v z = zModulul vitezei este:2 2 & & & v = vx + v2 + vz = x2 + y 2 + z 2 y

(6.16)

(6.17)

Direciile pe care le formeaz suportul vectorului vitez cu axele sistemului cartezian Oxyz sunt date de cosinuii directori:& & y & x z (6.18) ; cos( v , j ) = ; cos( v , k ) = v v v Acceleraia se obine ca derivata n raport cu timpul a vitezei punctului sau derivata de dou ori n raport cu timpul, a vectorului de poziie: cos( v , i ) =2 & = dv = v x i + v y j + v z k ; a = && = d r = &&i + &&j + &&k & & & a =v r x y z dt dt 2

(6.19)

Componentele acceleraiei sunt:

& & & a x = v x = &&; a y = v y = &&; a z = v z = && x y z Modulul acceleraiei este:2 2 &2 &y &2 a = a x + a 2 + a z = v x + v 2 + v z = &&2 + && 2 + &&2 x y z y

(6.20) (6.21) 71

Direciile pe care le formeaz suportul vectorului acceleraie cu axele sistemului cartezian Oxyz sunt date de cosinuii directori:

cos( a , i ) =

& vy & & vx v && && y && z x = ; cos( a , j ) = = ; cos( a , k ) = z = a a a a a a

(6.22)

Caz particular. Dac z = 0 , traiectoria este o curb plan situat n planul Oxy (fig.6.8). Viteza n acest caz are expresia:& & v = xi + yj ; & & v x = x, v y = y

(6.23)

Modulul vitezei este:2 & & v = vx + v2 = x2 + y 2 y

(6.24)

Suportul vitezei este definit de unghiul , pe care-l formeaz vectorul vitez, cu axa Ox: vy y & (6.25) tg = = & vx x Acceleraia este:a = v x i + v y j = &&i + &&j ; x y

Fig. 6.8

& & a x = v x = &&, a y = v y = && x y

(6.26)

Modulul acceleraiei este:2 &2 &y a = a x + a 2 = v x + v 2 = &&2 + && 2 x y y

(6.27)

Suportul acceleraiei definit de unghiul , pe care-l formeaz vectorul acceleraie cu axa Ox se determin cu relaia:tg = ay ax = & vy & vx = && y && x

(6.28)

6.2.2. STUDIUL MICRII N COORDONATE NATURALE

Sistemul de coordonate natural numit i intrinsec sau triedrul Frenet este un sistem de referin mobil (fig.6.9), cu originea n punctul M, care efectueaz micarea i avnd ca axe: tangenta, cu versorul , pozitiv n sen