Chương 3. MÔ TẢ DỮ LIỆU BẰNGCÁC CHỈ TIÊU VÀ ĐẶC TRƯNG

Lê Phương

Bộ môn Toán kinh tếĐại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh

Homepage: http://docgate.com/phuongle

Nội dung

1 Số tuyệt đối

2 Số tương đối

3 Các đặc trưng đo lường khuynh hướng tập trungTrung bình cộngTrung bình điều hòaTrung bình nhânSố yếu vị (Mode)Số trung vị

4 Các đặc trưng đo lường độ phân tánKhoảng biến thiênĐộ lệch tuyệt đối trung bìnhPhương sai và độ lệch chuẩnHệ số biến thiên

Số tuyệt đốiKhái niệmSố tuyệt đối là chỉ tiêu khối lượng thống kê biểu hiện quy mô, khốilượng của tổng thể hiện tượng nghiên cứu.

Đặc điểm• Thu thập được từ điều tra thống kê.• Gắn liền với một hiện tượng kinh tế xã hội.

Phân loại

1 Số tuyệt đối thời kỳ: phản ánh mặt lượng của hiện tượng nghiêncứu trong một khoảng thời gian nhất định. Số tuyệt đối thời kỳ cóthể cộng lại để cho ra trị số của thời kỳ dài hơn.Ví dụ: quí 1 năm 2015 xí nghiệp A bán được 120.000 sản phẩm.

2 Số tuyệt đối thời điểm: phản ánh mặt lượng của hiện tượngnghiên cứu tại một thời điểm nhất định.Ví dụ: lượng tiền mặt vào lúc 0 giờ ngày 1/1/2015 của công ty Xlà 17.352.780.000 đồng.

Số tuyệt đối

Đơn vị tínhCó 3 loại đơn vị tính chủ yếu dùng cho các số tuyệt đối như sau

1 Hiện vật: là đơn vị tính toán phù hợp với đặc điểm vật lý của hiệntượng (dài, cao, diện tích, khối lượng, số đơn vị. . . ).

• đơn vị hiện vật tự nhiên: người, cái, chiếc, con, sản phẩm. . .• đơn vị hiện vật quy ước: kg, tạ, tấn, lít, mét. . .• đơn vị hiện vật quy đổi: sức ngựa, tấn quy thóc. . .

2 Thời gian: như giờ công, ngày công. . . dùng để tính lượng laođộng hao phí.

3 Tiền tệ: đồng (VND), đôla Mỹ (USD), euro (EUR), bảng Anh(GPD). . .

Ví dụ: 30 lao động, 100 doanh nghiệp, 10 hecta đất canh tác, 8 giờ,500.000 USD. . .

Số tương đốiKhái niệmSố tương đối là chỉ tiêu chất lượng thống kê biểu hiện quan hệ sosánh giữa hai chỉ tiêu khác nhau của hiện tượng nghiên cứu. Nó phảnánh trình độ phát triển, quan hệ so sánh, kết cấu, trình độ phổbiến. . . của hiện tượng nghiên cứu.

Đặc điểm• Không phải là con số thu thập được từ điều tra thống kê,• Mỗi số tương đối đều có giá trị gốc để so sánh.

Phân loại• động thái / kế hoạch: chỉ tiêu cùng loại nhưng khác nhau về thời

gian,• cường độ: chỉ tiêu khác loại nhưng có quan hệ với nhau,• kết cấu: bộ phận với tổng thể,• không gian: các bộ phận của cùng một tổng thể.

Các loại số tương đối

Số tương đối động thái (chỉ số / tốc độ phát triển)Biểu hiện quan hệ so sánh giữa hai mức độ cùng loại của hiện tượngnghiên cứu ở hai thời kì (thời điểm) khác nhau. Đơn vị tính: lần, phầntrăm (%).

T1/0 =y1

y0

trong đó+ y1: mức độ kỳ báo cáo+ y0: mức độ kỳ gốc

y1, y0 phải bảo đảm so sánh được với các điều kiện sau:• cùng phương pháp tính• cùng đơn vị tính• cùng nội dung tính• cùng phạm vi tính• cùng độ dài khoảng thời gian tính

Các loại số tương đối

Số tương đối kế hoạchBiểu hiện quan hệ so sánh giữa hai mức độ cùng loại của hiện tượngnghiên cứu ở kỳ kế hoạch so với kỳ gốc hoặc kỳ báo cáo. Đơn vị tính:lần, phần trăm (%).• Số tương đối nhiệm vụ kế hoạch:

Tk/0 =yk

y0.

• Số tương đối hoàn thành kế hoạch:

T1/k =y1

yk,

trong đó yk là mức độ kỳ kế hoạch.Mối liên hệ:

T1/0 = Tk/0 × T1/k .

Các loại số tương đối

Ví dụLợi nhuận năm 2014 của doanh nghiệp X đạt 23 tỉ đồng, tăng 7,5%so với năm 2013 và vượt 2% so kế hoạch do đại hội cổ đông thôngqua. Xác định lợi nhuận của doanh nghiệp năm 2013 và số tương đốinhiệm vụ kế hoạch năm 2014 của doanh nghiệp này về lợi nhuận.

Ví dụMột doanh nghiệp kinh doanh 3 loại sản phẩm là mì ăn liền, nướctương và nước mắm với doanh thu bán hàng trong năm 2014:

Sản phẩm Doanh thu (triệu đồng) % hoàn thành kế hoạchMì ăn liền 2.640 120Nước tương 1.285 97Nước mắm 1.769 101

Hãy xác định tỉ lệ % hoàn thành kế hoạch về doanh thu của cả tất cảsản phẩm của công ty và tỉ trọng về doanh thu của từng loại sảnphẩm.

Các loại số tương đốiSố tương đối kết cấuBiểu hiện mức độ của bộ phận so với mức độ của tổng thể. Đơn vịtính: lần, phần trăm (%).

di =yi

y1 + y2 + · · ·+ yn

Ví dụ: 49% dân số Việt Nam là nữ.

Số tương đối không gianBiểu hiện quan hệ so sánh giữa các hiện tượng cùng loại nhưng khácnhau về không gian, hoặc so sánh giữa các bộ phận trong cùng mộttổng thể. Đơn vị tính: lần, phần trăm (%).Ví dụ: giá gạo ở Cần Thơ bằng 80% giá gạo tại TP. Hồ Chí Minh.

Số tương đối cường độBiểu hiện quan hệ so sánh giữa mức độ của hai hiện tượng khácnhau nhưng có mối liên hệ với nhau. Đơn vị tính: phức hợp.Ví dụ: mật độ dân số Việt Nam là 268 người / km2.

Số trung bình (bình quân) cộng

Định nghĩa• Số trung bình cộng giản đơn (áp dụng với dữ liệu chưa phân tổ):

x =

n∑i=1

xi

n =x1 + x2 + · · ·+ xn

n .

• Số trung bình cộng gia quyền (áp dụng với dữ liệu đã phân tổ):

x =

k∑i=1

xi fi

n =x1f1 + x2f2 + · · ·+ xk fk

n ,

trong đó xi là lượng biến đại diện cho tổ.

Số trung bình (bình quân) cộng

Cách chọn lượng biến đại diện• Với tổ có khoảng cách tổ: lấy trị số giữa mỗi tổ làm lượng biến đại

diện cho tổ đó

xi =xi(min) + xi(max)

2,

xi(min) và xi(max): giới hạn dưới và trên của tổ thứ i .• Với dãy số lượng biến có khoảng cách tổ mở (tổ thứ nhất là

(−∞, x1(max)), tổ cuối cùng là (xk(min),+∞)): các lượng biến đạidiện được nội suy từ tổ liền kề

x1 = x1(max) −h2

2

xk = xk(min) +hk−1

2

hi : trị số khoảng cách tổ thứ i .

Số trung bình (bình quân) cộngVí dụMột doanh nghiệp có 10 nhân viên với các mức lương (triệu đồng)trong tháng 12 năm 2015 như sau: 3; 3,5; 4; 4,1; 4,5; 5; 5,5; 5,7; 6; 7.Xác định tiền lương trung bình của 1 nhân viên trong tháng đó.

Ví dụXác định số nhân khẩu bình quân của 100 gia đình trong một xã chobiết có 21 gia đình có 2 nhân khẩu, 45 gia đình có 3 nhân khẩu, 25gia đình có 4 nhân khẩu, còn lại là các gia đình có 5 nhân khẩu.

Ví dụXác định chiều cao trung bình của các sinh viên một lớp học với dữliệu được cho trong bảng sau

Chiều cao (cm) Số sinh viênDưới 150 6150–160 35160–170 41170–180 23Trên 180 11

Số trung bình điều hòaĐịnh nghĩa• Số trung bình điều hòa giản đơn:

x =n

n∑i=1

1xi

=n

1x1

+1x2

+ · · ·+ 1xn

• Số trung bình điều hòa gia quyền:

x =

k∑i=1

Mi

k∑i=1

Mi

xi

=M1 + M2 + · · ·+ MkM1

x1+

M2

x2+ · · ·+ Mk

xk

trong đó Mi = xi fi là tổng lượng biến.

Ý nghĩa: Số trung bình điều hòa thường được sử dụng để tính thờigian hao phí trung bình.

Số trung bình điều hòa

Ví dụTrong một xí nghiệp A có 3 tổ công nhân với số công nhân lần lượt 15người, 20 người và 25 người. Cho biết thời gian để hoàn thành mộtsản phẩm của một công nhân trong mỗi tổ lần lượt là 20 phút, 25 phútvà 30 phút. Tính thời gian hao phí bình quân để sản xuất ra một sảnphẩm của công nhân thuộc 3 tổ đó.

Ví dụĐiều tra vận tốc tối ưu của 5 loại ôtô được sản xuất ra bởi doanhnghiệp X bằng cách cho chạy thử trên quãng đường AB thì nhận thấythời gian đi hết quãng đường của mỗi loại xe lần lượt là 1 giờ, 1 giờ 10phút, 55 phút, 1 giờ 5 phút và 57 phút. Tính thời gian trung bình đi hếtquãng đường trên của 5 loại ôtô.

Số trung bình nhân

Định nghĩa• Số trung bình nhân giản đơn:

x = n

√√√√ n∏i=1

xi =n√

x1x2 . . . xn

• Số trung bình nhân gia quyền:

x = n

√√√√ k∏i=1

x fii =

n√

x f11 x f2

2 . . . xfkk

trong đó n = f1 + f2 + · · ·+ fk .

Ý nghĩa: Số trung bình nhân thường được sử dụng để tính tốc độphát triển trung bình trong một khoảng thời gian nhất định.

Số trung bình nhân

Ví dụLãi suất tiền gửi tiết kiệm ngân hàng trong 5 năm liên tiếp là 5%, 7%,10%, 8% và 6%. Hãy tính lãi suất tiền gửi trung bình trong khoảngthời gian trên.

Ví dụDoanh thu của một doanh nghiệp trong 7 năm như sau:• 3 năm đầu mỗi năm có tốc độ phát triển là 120%,• 2 năm kế tiếp mỗi năm có tốc độ phát triển là 115%,• 2 năm cuối mỗi năm có tốc độ phát triển là 125%.

Tính tốc độ phát triển bình quân của doanh thu trong khoảng thờigian trên.

Số yếu vị (Mode)Định nghĩaSố yếu vị (Mode) là giá trị, kí hiệu Mode, Mod hoặc Mo, sao cho sốđơn vị của tổng thể có lượng biến (xấp xỉ) bằng Mode là lớn nhất.• Phân tổ không có khoảng cách tổ: Mode là xi ứng với fi lớn nhất.• Phân tổ có khoảng cách tổ đều nhau:

Mode = xM(min) + hMfM − fM−1

(fM − fM−1) + (fM − fM+1)

trong đó M là số thứ tự của tổ có tần số lớn nhất. Nếu không cótổ kề trước / sau thì tần số của tổ tương ứng bằng 0.

• Phân tổ có khoảng cách tổ không đều nhau: thay fi bởi fi/hi

Mode = xM(min)+hMfM/hM − fM−1/hM−1

(fM/hM − fM−1/hM−1) + (fM/hM − fM+1/hM+1)

trong đó M là số thứ tự của tổ có mật độ phân phối fMhM

cao nhất.

Số yếu vị (Mode)Ví dụXác định mode về doanh thu tháng của một chuỗi cửa hàng thờitrang.

Doanh thu (triệu đồng) Số cửa hàng140–150 6150–160 35160–170 40170–180 23180–190 16

Ví dụXác định mode về doanh thu tháng của một chuỗi quán cà phê.

Doanh thu (triệu đồng) Số quán40–50 4050–60 3560–80 70

80–100 65100–150 36

Số trung vị (Median)Định nghĩaTrung vị là giá trị, kí hiệu Med hoặc Me, sao cho số đơn vị của tổngthể có lượng biến lớn hơn Med và nhỏ hơn Med là (xấp xỉ) bằng nhau.• Dữ liệu chưa phân tổ: sắp thứ tự tăng hoặc giảm

Nếu n lẻ: Med = x(n+1)/2

Nếu n chẵn: Med =xn/2 + x(n+2)/2

2• Phân tổ có khoảng cách tổ:

Med = xM(min) + hM

n2− (f1 + f2 + · · ·+ fM−1)

fM

= xM(min) + hM(fM + fM+1 + · · ·+ fk)− (f1 + f2 + · · ·+ fM−1)

2fMtrong đó M là số thứ tự của tổ chia đôi tần số

f1 + f2 + · · ·+ fM ≥n2> f1 + f2 + · · ·+ fM−1.

Số trung vị (Med)Ví dụ

1 Xác định trung vị về doanh thu tháng 7/2015 của 7 cửa hàngthuộc một doanh nghiệp biết doanh thu của 7 cửa hàng nàytrong tháng 7/2015 lần lượt là: 540, 296, 378, 984, 153, 372, 400(triệu đồng).

2 Khảo sát thêm một cửa hàng thứ 8 thì được kết quả cửa hàngnày đạt doanh thu vào cùng thời kì là 672 triệu đồng. Xác địnhmed về doanh thu tháng 7/2015 của 8 cửa hàng được khảo sát.

Ví dụXác định trung vị về doanh thu tháng 7/2015 của một chuỗi cửa hàngthời trang

Doanh thu (triệu đồng) Số cửa hàng140–150 6150–160 35160–170 40170–180 23180–190 16

Đo lường độ phân tán

Khoảng biến thiên

R = xmax − xmin

trong đóxmax : lượng biến lớn nhấtxmin: lượng biến nhỏ nhất

Ví dụXác định khoảng biến thiên về doanh thu tháng 7/2015 của 7 cửahàng thuộc một doanh nghiệp biết doanh thu của 7 doanh nghiệp nàytrong tháng 7/2015 lần lượt là: 540, 296, 378, 984, 153, 372, 400(triệu đồng).

Đo lường độ phân tán

Độ lệch tuyệt đối trung bình• Với dữ liệu chưa phân tổ

d =

n∑i=1|xi − x |

n =|x1 − x |+ |x2 − x |+ · · ·+ |xn − x |

n

• Với dữ liệu đã phân tổ

d =

k∑i=1|xi − x |fi

n =|x1 − x |f1 + |x2 − x |f2 + · · ·+ |xk − x |fk

n

Ví dụXác định độ lệch tuyệt đối của dữ liệu trong ví dụ ở mục trước.

Đo lường độ phân tánPhương sai• Với dữ liệu chưa phân tổ

σ2 =

n∑i=1

(xi − x)2

n =(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + · · ·+ (xn − x)2

n

• Với dữ liệu đã phân tổ

σ2 =

k∑i=1

(xi − x)2fi

n =(x1 − x)2f1 + (x2 − x)2f2 + · · ·+ (xk − x)2fk

n

Độ lệch (tiêu) chuẩnLà căn bậc 2 của phương sai: σ =

√σ2.

Ý nghĩa: đánh giá độ biến thiên của tiêu thức. Khi giá trị trung bình cốđịnh, độ lệch tiêu chuẩn càng nhỏ thì tổng thể càng đồng đều.

Đo lường độ phân tán

Hệ số biến thiên

Vd = d/x

hoặcVσ = σ/x

Ý nghĩa: đánh giá tỉ lệ giữa độ lệch và trung bình tổng thể.

Ví dụXác định độ lệch tuyệt đối, độ lệch tiêu chuẩn và hệ số biến thiên vềdoanh thu tháng 7/2015 của một chuỗi cửa hàng thời trang

Doanh thu (triệu đồng) Số cửa hàng140–150 6150–160 35160–170 40170–180 23180–190 16