Chương 2. QUY HO—CH TUYŸN TÍNHdocgate.com/phuongle/teaching/MHTKT/handout/C2.pdf · đ“u...

Chương 2. QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Lê Phương

Bộ môn Toán kinh tếĐại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh

Homepage: http://docgate.com/phuongle

Nội dung

1 Lập mô hình bài toán qui hoạch tuyến tínhKhái niệm bài toán qui hoạch tuyến tínhCác bước lập mô hình bài toán

2 Thuật toán đơn hìnhBiến đổi bài toán về dạng chuẩn

Dạng tổng quátDạng chính tắcDạng chuẩn

Thuật toán đơn hình cơ bảnThuật toán đơn hình mở rộng

3 Bài toán đối ngẫuXây dựng bài toán đối ngẫuMối quan hệ giữa hai bài toán đối ngẫu

Cặp ràng buộc đối ngẫuTìm tập phương án tối ưuChứng minh một phương án là phương án tối ưu

Khái niệm bài toán QHTT

Ví dụTại sân bay X có nhu cầu vận chuyển 2000 khách và 220 tấn hànghoá đến sân bay Y. Thời điểm đó có ba loại máy bay có thể sử dụngvới khả năng vận chuyển và chi phí (triệu đồng) như sau:

Loại máy bay Chi phí Khả năng vận chuyển Có thểHành khách Hàng hóa sử dụng

A 140 150 người 18 tấn 3 chiếcB 200 180 người 16 tấn 6 chiếcC 300 320 người 25 tấn 5 chiếc

Xác định phương án sử dụng máy bay để vận chuyển hết số hàng vàkhách nêu trên với chi phí thấp nhất.


Khái niệmBài toán quy hoạch tuyến tính là bài toán tối ưu có điều kiện ràngbuộc và được phát biểu ở dạng tổng quát như sau:Tìm vector x = (x1, x2, . . . , xn) sao cho

f (x) = c1x1 + c2x2 + · · ·+ cnxn → min (max)a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn [≤,≥,=] b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn [≤,≥,=] b2

· · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn [≤,≥,=] bm

xj ≤ 0, hoặc xj ≥ 0, hoặc xj tùy ý

trong đó• aij , bi và cj là các hằng số cho trước• xj là các biến số

(i = 1,m, j = 1,n)


Ví dụ 1f (x) = x1 − 2x2 + 3x3 → min

2x1 − x2 + x3 = 4

3x1 −32

x2 + x3 ≤ −2

x1 + x2 + 2x3 = −5x1 ≥ 0, x2 ≤ 0

Ví dụ 2f (x) = 2x1 − x3 + x4 → max

2x1 − x2 + x3 + x4 ≥ 14x1 + 2x2 − x3 ≤ −73x1 + x2 + 2x3 − x4 ≤ 4

xj ≥ 0, xj ∈ N, j = 1,4

Các bước lập mô hình bài toán QHTTXác định các biến cần thiết xj (j = 1,n) để có thể• Xây dựng được hàm mục tiêu

f (x) = c1x1 + c2x2 + · · ·+ cnxn → min (max)

• Thiết lập được các ràng buộc chính đối với các biếna11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn [≤,≥,=] b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn [≤,≥,=] b2

· · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn [≤,≥,=] bm

• Xác định các ràng buộc dấu đối với mỗi biến

xj ≤ 0, hoặc xj ≥ 0, hoặc xj tùy ý.

Hệ ràng buộc chính và ràng buộc dấu được gọi chung là hệ ràngbuộc.

Các bước lập mô hình bài toán QHTT

Khi lập mô hình bài toán qui hoạch tuyến tính cần chú ý

• Để xác định các biến dễ dàng hơn, ta thường xác định hàm mụctiêu của bài toán trước.

• Thông thường các biến được gọi là các biến đơn giản nhất củabài toán.

• Nhiều bài toán đòi hỏi các biến là các số tự nhiên.• Các sai lầm hay gặp phải khi gọi biến

1 Việc gọi biến chỉ lập được hàm mục tiêu mà không lập được cácràng buộc chính.

2 Gọi biến nhưng sau đó xác định được ngay giá trị của biến.


Ví dụ (Bài toán vận tải)Cần vận chuyển gạo từ 2 kho A1, A2 với khối lượng lần lượt là 100 và150 tấn đến 3 đại lí gạo B1, B2, B3 lần lượt có nhu cầu là 70, 100 và80 tấn. Hãy lập mô hình để tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất, biếtrằng chi phí vận chuyển 1 tấn gạo từ mỗi kho đến mỗi đại lí được chotrong bảng sau

PPPPPPPPTừĐến B1 B2 B3

A1 10 7 3A2 5 9 6

Các bước lập mô hình bài toán QHTTGiải:Gọi x1 là khối lượng gạo (tấn) vận chuyển từ kho A1 đến đại lí B1.

x2 là khối lượng gạo (tấn) vận chuyển từ kho A1 đến đại lí B2.x3 là khối lượng gạo (tấn) vận chuyển từ kho A1 đến đại lí B3.x4 là khối lượng gạo (tấn) vận chuyển từ kho A2 đến đại lí B1.x5 là khối lượng gạo (tấn) vận chuyển từ kho A2 đến đại lí B2.x6 là khối lượng gạo (tấn) vận chuyển từ kho A2 đến đại lí B3.

Hàm mục tiêu là hàm tổng chi phí vận chuyển:f (x) = 10x1 + 7x2 + 3x3 + 5x4 + 9x5 + 6x6 → min.

Các ràng buộc chính:Tổng cung của kho A1: x1 + x2 + x3 = 100.Tổng cung của kho A2: x4 + x5 + x6 = 150.Tổng cầu của đại lí B1: x1 + x4 = 70.Tổng cầu của đại lí B2: x2 + x5 = 100.Tổng cầu của đại lí B3: x3 + x6 = 80.

Các ràng buộc dấu: xj ≥ 0, j = 1,6.


Vậy mô hình bài toán là:

f (x) = 10x1 + 7x2 + 3x3 + 5x4 + 9x5 + 6x6 → min

x1 + x2 + x3 = 100x4 + x5 + x6 = 150x1 + x4 = 70x2 + x5 = 100x3 + x6 = 80

xj ≥ 0, j = 1,6.

Các bước lập mô hình bài toán QHTTBài tập 1Một người có số tiền 70 triệu đồng dự định đầu tư vào các khoản sau:Gửi tiết kiệm không kỳ hạn với lãi suất 6,5%/năm; Gửi tiết kiệm có kỳhạn với lãi suất 8,5%/năm; Mua tín phiếu với lãi suất 10%/năm; Chodoanh nghiệp tư nhân vay với lãi suất 13%/năm.

Mỗi khoản đầu tư đều có các rủi ro của nó, nên người đó quyết địnhđầu tư theo các chỉ dẫn sau đây của nhà tư vấn: Không cho doanhnghiệp tư nhân vay quá 20% số tiền, số tiền mua tín phiếu khôngđược vượt quá tổng số tiền đầu tư vào 3 khoản còn lại, đầu tư ít nhất30% tổng số tiền vào gửi tiết kiệm có kỳ hạn và mua tín phiếu, tỉ lệtiền gửi tiết kiệm không kỳ hạn trên tiền gửi tiết kiệm có kỳ hạn khôngđược quá 1/3.

Hãy lập mô hình cho bài toán xác định số tiền đầu tư vào mỗikhoản để tổng số tiền lời đạt được cao nhất và tuân theo các chỉdẫn của nhà tư vấn, biết rằng người đó quyết định đầu tư hết số tiềnđang có.


Bài tập 2Một xí nghiệp cần sản xuất 3 loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thậpcẩm và bánh dẻo. Lượng nguyên liệu đường, đậu cho một bánh mỗiloại, lượng dự trữ nguyên liệu, tiền lãi cho một bánh mỗi loại được chotrong bảng sau

PPPPPPPPNLBánh đậu xanh thập cẩm dẻo Lượng dự trữ

Đường 0,04kg 0,06kg 0,05kg 500kgĐậu 0,07kg 0kg 0,02kg 300kgLãi 3000 2000 2500

Hãy lập mô hình bài toán tìm số lượng mỗi loại bánh cần sản xuấtsao cho không bị động về nguyên liệu mà lãi đạt được cao nhất.


Bài tập 3Một cơ sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm là bàn,ghế và tủ. Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất và giá bánmỗi sản phẩm mỗi loại ước tính trong bảng sau

XXXXXXXXXXXYếu tốSản phẩm Bàn Ghế Tủ

Lao động (ngày công) 2 1 3Chi phí sản xuất (ngàn đồng) 100 40 250Giá bán (ngàn đồng) 260 120 600

Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định số sản phẩm mỗi loạicần phải sản xuất sao cho không bị động trong sản xuất và tổngdoanh thu đạt được cao nhất, biết rằng cơ sở có số lao động tươngđương với 500 ngày công, số tiền dành cho chi phí sản xuất là 40triệu đồng và số bàn, ghế phải theo tỉ lệ 1/6.


Bài tập 4Giả sử yêu cầu tối thiểu mỗi ngày về các chất dinh dưỡng đạm,đường, khoáng cho một loại gia súc tương ứng là 90g, 130g, 10g.Cho biết hàm lượng các chất dinh dưỡng (g) trên có trong 1g thức ănA, B, C và giá mua 1kg thức ăn mỗi loại (đ) được cho trong bảng sau

````````````Dinh dưỡngThức ăn A B C

Đạm 0,1 0,2 0,3Đường 0,3 0,4 0,2Khoáng 0,02 0,01 0,03Giá mua 3000 4000 5000

Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định khối lượng thức ănmỗi loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn ít nhất nhưngđáp ứng được nhu cầu dinh dưỡng mỗi ngày.


Bài tập 5Có 3 xí nghiệp A,B,C có khả năng sản xuất 3 loại sản phẩmS1,S2,S3. Biết cứ mỗi đơn vị tiền tệ đầu tư vào A sẽ sản xuất được1200, 800, 1050 sản phẩm S1,S2,S3. Đầu tư vào B được 1000, 740,900. Đầu tư vào C được 1100, 600, 1000. Mức tiêu hao nguyên liệu(kg / sản phẩm) và lao động (giờ / sản phẩm) cho bởi bảng sau:

Xí nghiệp S1 S2 S3NL LĐ NL LĐ NL LĐ

A 4 2 10 4 8 4,5B 4,2 3 9 4,5 7,8 5C 4,5 2,5 10,5 5 8,4 4

Tổng số lao động và nguyên liệu có thể cung cấp lần lượt là 2.000 giờcông và 39.000 kg. Theo kế hoạch sản xuất không được ít hơn 2.300sp S1; 1.800 sp S2; 2.100 sp S3. Hãy lập mô hình bài toán tìm kếhoạch sản xuất tối ưu.

Biến đổi bài toán về dạng chuẩn

Dạng tổng quátDạng tổng quát của bài toán qui hoạch tuyến tính là

f (x) = c1x1 + c2x2 + · · ·+ cnxn → min (max)a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn [≤,≥,=] b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn [≤,≥,=] b2

· · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn [≤,≥,=] bm

xj ≤ 0, hoặc xj ≥ 0, hoặc xj tùy ý.

Nhận xétVới bài toán f (x)→ max, ta đặt g(x) = −f (x) thì bài toán trở thànhg(x)→ min. Do đó ta chỉ cần xét bài toán qui hoạch tuyến tính cóhàm mục tiêu f (x)→ min.


Kí hiệu thường dùng

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

: ma trận hệ số ẩn,

b =

b1b2...

bm

: ma trận hệ số tự do,

c =(

c1 c2 . . . cn): ma trận hệ số hàm mục tiêu,

[x] =

x1x2...

xn

: ma trận ẩn số.


Dạng chính tắcBài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc là bài toán qui hoạchtuyến tính mà ràng buộc chính là phương trình và ràng buộc dấu làkhông âm

f (x) = c1x1 + c2x2 + · · ·+ cnxn → min (max)a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

· · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

xj ≥ 0 với mọi j = 1,n.Bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc có thể viết dưới dạng

f (x) = c[x]→ min (max)A[x] = b[x] ≥ 0.

Biến đổi bài toán về dạng chuẩnCác bước đưa bài toán dạng tổng quát về dạng chính tắc

1 Nếu xj ≤ 0 thì ta thay xj bằng x ′j bằng cách đặt xj = −x ′j vớix ′j ≥ 0.

2 Nếu xj chưa xác định dấu thì ta đặt xj = x ′j − x ′′j với x ′j ≥ 0,x ′′j ≥ 0.

3 Nếu có ràng buộc chính có dạng∑n

j=1 aijxj ≤ bi thì ta cộng thêmvào ẩn phụ xk ≥ 0 để có

n∑j=1

aijxj + xk = bi

4 Nếu có ràng buộc chính có dạng∑n

j=1 aijxj ≥ bi thì ta trừ đi ẩnphụ xk ≥ 0 để có

n∑j=1

aijxj − xk = bi


Ví dụHãy đưa bài toán sau về dạng chính tắcf (x) = x1 − 2x2 + x3 → min−x1 − 4x2 − x3 ≤ −6x1 − x2 + 2x3 ≥ 82x1 + x2 − 3x3 = 4

x1 ≥ 0; x2 ≤ 0Giải. Bài toán tương đương ở dạng chính tắc làf (x) = x1 + 2x ′2 + x ′3 − x ′′3 → min−x1 + 4x ′2 − x ′3 + x ′′3 + x4 = −6x1 + x ′2 + 2x ′3 − 2x ′′3 − x5 = 82x1 − x ′2 − 3x ′3 + 3x ′′3 = 4

x1, x ′2, x ′3, x ′′3 , x4, x5 ≥ 0trong đóx2 = −x ′2x3 = x ′3 − x ′′3


Bài tậpHãy đưa bài toán sau về dạng chính tắcf (x) = 2x1 − 4x2 − x3 + 6x4 → max

4x1 − 6x2 + 5x3 ≤ 502x1 + 3x2 − 5x3 = −257x1 + x3 ≥ 30

x1 ≤ 0; x2 ≤ 0


Ẩn cơ bảnẨn xj được gọi là ẩn cơ bản (ACB) của ràng buộc chính thứ i nếu hệsố của xj ở ràng buộc chính thứ i bằng 1 còn trong các ràng buộcchính còn lại hệ số của xj bằng 0

aij = 1, a1j = a2j = · · · = a(i−1)j = a(i+1)j = · · · = amj = 0.

Dạng chuẩnBài toán qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn là bài toán qui hoạch tuyếntính dạng chính tắc có bi ≥ 0 với mọi i và mỗi ràng buộc chính có ítnhất một ẩn cơ bản.


Các bước đưa bài toán dạng chính tắc về dạng chuẩn

1 Nếu tồn tại bi < 0 thì ta thay phương trình

ai1x1 + ai2x2 + · · ·+ ainxn = bi

bằng phương trình

−ai1x1 − ai2x2 − · · · − ainxn = −bi

2 Nếu một phương trình không có ẩn cơ bản, ta thêm một ẩn giảxk ≥ 0 vào phương trình, đồng thời cộng Mxk vào hàm mục tiêutương ứng với bài toán min, với M là kí hiệu cho một số dươnglớn tùy ý.


Ví dụBiến đổi bài toán sau về dạng chuẩnf (x) = x1 + 2x ′2 + x ′3 − x ′′3 → min−x1 + 4x ′2 − x ′3 + x ′′3 + x4 = −6x1 + x ′2 + 2x ′3 − 2x ′′3 − x5 = 82x1 − x ′2 − 3x ′3 + 3x ′′3 = 4

x1, x ′2, x ′3, x ′′3 , x4, x5 ≥ 0Giải.f (x) = x1 + 2x ′2 + x ′3 − x ′′3 + Mx6 + Mx7 + Mx8 → min

x1 − 4x ′2 + x ′3 − x ′′3 − x4 + x6 = 6x1 + x ′2 + 2x ′3 − 2x ′′3 − x5 + x7 = 82x1 − x ′2 − 3x ′3 + 3x ′′3 + x8 = 4

x1, x ′2, x ′3, x ′′3 , x4, x5, x6, x7, x8 ≥ 0


Bài tập 1Biến đổi bài toán sau về dạng chuẩnf (x) = 3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 → min

4x1 − 6x2 + 5x3 = 507x1 + x3 + x4 = 02x1 + 3x2 − 5x3 = −25

xj ≥ 0, j = 1,4

Bài tập 2Biến đổi bài toán sau về dạng chuẩnf (x) = 3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 → min−9x1 + 15x3 ≤ 50−6x3 + 2x4 = −120x1 + 3x2 − 5x3 ≥ −45

xj ≥ 0, j = 1,4

Thuật toán đơn hình cơ bản

Một số khái niệm cơ bản• Một phương án (PA) của bài toán là một vector x = (x1, ..., xn)

thỏa mãn tất cả các ràng buộc (chính và dấu). Tập hợp tất cả cácphương án của bài toán được gọi là tập phương án.

• Phương án tối ưu (PATƯ) là một phương án làm cho hàm mụctiêu của bài toán min đạt giá trị nhỏ nhất hoặc làm cho hàm mụctiêu của bài toán max đạt giá trị lớn nhất.

• Hai bài toán qui hoạch tuyến tính được gọi là tương đương nếuchúng có cùng tập phương án tối ưu.


Một số khái niệm cơ bản• Một ràng buộc được gọi là chặt đối với phương án x nếu ta thay

x vào ràng buộc này thì xảy ra dấu bằng. Ngược lại ràng buộcđược gọi là lỏng (không chặt).

• Phương án cực biên hay còn được gọi là phương án cơ bản(PACB) của bài toán qui hoạch tuyến tính là một phương án cósố ràng buộc chặt độc lập tuyến tính bằng n (số biến) hay hệràng buộc chặt của phương án x này chỉ có nghiệm duy nhất làx . Ngược lại nếu số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính nhỏ hơn nthì phương án đó được gọi là phương án không cực biên.

• Một phương án cơ bản có số ràng buộc chặt bằng n được gọi làphương án cơ bản không suy biến. Ngược lại nếu số ràng buộcchặt lớn hơn n thì được gọi là phương án cơ bản suy biến.


Bài tậpCho bài toán quy hoạch tuyến tính (P)f (x) = −8x1 + 6x2 + 4x3 + 5x4 → min

x1 − 2x3 + x4 ≤ 7−2x1 + x2 − x3 + 3x4 = −43x1 − x2 + 2x3 − 6x4 ≥ 5

x1, x2, x4 ≥ 0.Cho biết vector x0 = (3,0,−2,0) có là phương án, phương án cơ bản(suy biến hay không suy biến) đối với bài toán (P) đã cho.


Định líXét bài toán qui hoạch tuyến tính ở dạng tổng quát.

1 Nếu bài toán có phương án và rank(A) = n thì bài toán cóphương án cơ bản.

2 Nếu bài toán có phương án và hàm mục tiêu min bị chặn dưới(hoặc hàm mục tiêu max bị chặn trên) trên tập phương án thì bàitoán có phương án tối ưu.

3 Số phương án cơ bản của mọi bài toán qui hoạch tuyến tính đềuhữu hạn.

Định líXét bài toán qui hoạch tuyến tính ở dạng chuẩn. Gọi xki là ẩn cơ bảncủa ràng buộc chính thứ i (với i = 1,m) thì bài toán có một phươngán cơ bản là x = (x1, x2, . . . , xn) trong đó xki = bi với i = 1,m, còn cácxj khác bằng 0.

Thuật toán đơn hình cơ bảnThuật toán đơn hình cơ bản được sử dụng để tìm một phương án tốiưu của bài toán qui hoạch tuyến tính ở dạng chuẩn, có hàm mục tiêuở dạng min và không có ẩn giả. Thuật toán được tiến hành như sau:Bước 1: Lập bảng đơn hình xuất phát

Hệ số ACB PA x1 · · · xj · · · xn λACB (b) c1 · · · cj · · · cnck1 xk1 b1 a11 · · · a1j · · · a1n...

......

......

......

......

cki xki bi ai1 · · · aij · · · ain λi...

......

......

......

......

ckm xkm bm am1 · · · amj · · · amn∆ ∆1 · · · ∆j · · · ∆n

trong đó xki là ẩn cơ bản của ràng buộc chính thứ i (với i = 1,m) và

∆j = (cột hệ số của xj )× (cột hệ số ACB)− cj =m∑

i=1

aijcki − cj .


Bước 2: Kiểm tra dấu hiệu dừng1 Nếu ∆j ≤ 0 với mọi j = 1,n thì phương án cơ bản x với

xki = bi ,∀i = 1,m và xj = 0,∀j /∈ {k1, · · · , km} là phương án tốiưu và

fmin = f (x) =m∑

i=1

cki bi

(trạng thái dừng - tối ưu).2 Nếu tồn tại ∆j > 0 sao cho aij ≤ 0 với mọi i = 1,n thì bài toán

không có phương án tối ưu (trạng thái dừng - không tối ưu).3 Trong các trường hợp còn lại, chuyển sang bước 3.

Thuật toán đơn hình cơ bảnBước 3: Xác định ẩn vào, ẩn ra

1 Chọn cột j có ∆j lớn nhất.

2 Tính λi =bi

aijvới mỗi aij > 0 và ghi vào cột λ của bảng.

3 Chọn dòng i có λi nhỏ nhất. Đánh dấu phần tử trụ aij , ta nói xj làẩn vào và xi là ẩn ra.

Bước 4: Lập bảng đơn hình mới1 Lập bảng đơn hình mới trong đó ẩn xi trong cột “ACB” được thay

bằng ẩn xj . Chép vào cột “Hệ số ACB” các giá trị tương ứng.

2 Sau đó ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biếnđổi aij 7→ 1, akj 7→ 0 với mọi k 6= i sao cho bài toán vẫn ở dạngchuẩn. Cụ thể tiến hành lần lượt theo các bước

1 (Dòng i) :=(Dòng i)

aij.

2 (Dòng k) := (Dòng k) - akj ·(Dòng i) với mọi k 6= i .(Một dòng được hiểu là gồm các giá trị từ cột b đến cột xn)

3 Quay lại bước 2.


Ví dụTìm một phương án tối ưu của bài toán (P):f (x) = 4x1 + x2 − 2x3 → max{

x2 + x3 = 8x1 − x2 = 5

xj ≥ 0, j = 1,3Giải.Bài toán ở dạng chuẩn và dạng min (M):g(x) = −f (x) = −4x1 − x2 + 2x3 → min{

x2 + x3 = 8x1 − x2 = 5

xj ≥ 0, j = 1,3Giải bài toán bằng phương pháp đơn hình:


Hệ số ACB b x1 x2 x3 λACB −4 −1 2

2 x3 8 0 (1) 1 8−4 x1 5 1 −1 0 −

∆ 0 7 0 x2 vào, x3 ra−1 x2 8 0 1 1 −−4 x1 13 1 0 1 −

∆ 0 0 −7

Phương án tối ưu của bài toán (M) là x = (13,8,0).Giá trị hàm mục tiêu đạt được là: gmin = −4.13− 8 = −60.Phương án tối ưu của bài toán (P) là x = (13,8,0).Giá trị hàm mục tiêu đạt được là: fmax = −gmin = 60.


Bài tập 1Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng phương pháp đơn hìnhf (x) = 2x1 − 5x2 + 4x3 − x4 − 6x5 → max

x1 + 6x2 − 2x4 − 9x5 = 322x2 + x3 + x4 + 3x5 = 303x2 + x5 + x6 = 36

xj ≥ 0, j = 1,6

Bài tập 2Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng phương pháp đơn hìnhf (x) = 12x1 + 6x2 + 24x3 → max

2x1 + x2 + 6x3 ≤ 12x1 + x2 + 3x3 ≤ 92x1 + x2 + 2x3 ≤ 6

xj ≥ 0, j = 1,3

Thuật toán đơn hình mở rộngThuật toán đơn hình mở rộng dựa trên nền tảng thuật toán đơn hìnhcơ bản áp dụng cho trường hợp có ẩn giả với một số lưu ý sau

1 Trong bảng đơn hình không cần ghi các cột ứng với ẩn giả.2 So sánh giá trị của các ∆j với 0 và với nhau

Giả sử ∆j = aM + b và ∆k = cM + d với a 6= 0. Khi đó• ∆j > 0⇔ a > 0,• ∆j < 0⇔ a < 0,

• ∆j > ∆k ⇔

a > c{a = cb > d

Khi ẩn giả nằm trong hệ ẩn cơ bản, để dễ so sánh, giá trị của ∆jcó thể viết thành 2 dòng: dòng không có M và dòng có M .

3 Quan hệ giữa bài toán gốc (P) và bài toán có ẩn giả (M)• Nếu (M) không có phương án tối ưu thì (P) không có phương án tối

ưu.• Nếu (M) có phương án tối ưu mà mọi ẩn giả đều bằng 0 thì (P) có

phương án tối ưu.• Nếu (M) có phương án tối ưu mà tồn tại một ẩn giả lớn hơn 0 thì (P)

không có phương án, do đó (P) không có phương án tối ưu.

Thuật toán đơn hình mở rộng

Ví dụGiải bài toán quy hoạch tuyến tính (P):f (x) = −7x1 − 2x2 − 3x3 → max

2x1 + 3x2 + x3 ≤ 6x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 82x1 + x2 + 2x3 ≥ 4

xj ≥ 0, j = 1,3Giải.Bài toán ở dạng chuẩn và dạng min (Q):g(x) = −f (x) = 7x1 + 2x2 + 3x3 + Mx7 → min

2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 6x1 + 2x2 + 2x3 + x5 = 82x1 + x2 + 2x3 − x6 + x7 = 4

xj ≥ 0, j = 1,7Giải bài toán (Q) bằng phương pháp đơn hình:


Hệ số ACB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 λACB 7 2 3 0 0 0

0 x4 6 2 3 1 1 0 0 60 x5 8 1 2 2 0 1 0 4M x7 4 2 1 (2) 0 0 −1 2

∆ −7 −2 −3 0 0 0 x3 vào2M M 2M 0 0 −M x7 ra

0 x4 4 1 5/2 0 1 0 1/2 −0 x5 4 −1 1 0 0 1 1 −3 x3 2 1 1/2 1 0 0 −1/2 −

∆ −4 −1/2 0 0 0 −3/2

Do ∆j ≤ 0,∀j = 1,7 nên một phương án tối ưu của bài toán (Q) làx = (0,0,2,4,4,0,0). Giá trị hàm mục tiêu đạt được là gmin = 3.2 = 6.

Do ản giả duy nhất x7 = 0 nên bài toán gốc (P) có phương án tối ưulà x = (0,0,2). Giá trị hàm mục tiêu đạt được là fmax = −gmin = −6.


Bài tập 1Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hìnhf (x) = 3x1 + 12x2 + x3 + 10x4 → min

2x1 + 3x2 + x3 + x4 ≤ 402x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 20x1 + 2x2 + x3 + 2x4 ≥ 24

xj ≥ 0, j = 1,4

Bài tập 2Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hìnhf (x) = 6x1 + 3x2 + 2x3 − 3x4 → min

x1 + x2 + x3 − 2x4 = 4−x1 + x4 ≤ 102x2 + x3 − 2x4 = 12

xj ≥ 0, j = 1,4


Bài tập 3Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hìnhf (x) = 8x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 → min

x1 − x2 +12

x3 = 1

4x2 + 2x3 + x5 = 8x2 − 2x3 + x4 = 4

xj ≥ 0, j = 1,5

Bài tập 4Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hìnhf (x) = −x1 + 2x2 + x3 → max

x1 + 3x2 − x4 ≤ 5x1 + x2 ≤ 3−3x1 + x3 + x4 ≤ 2

xj ≥ 0, j = 1,4


Bài tập 5Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hìnhf (x) = x1 + 2x2 − x3 → max−x1 + 4x2 − 2x3 ≤ 6x1 + x2 + 2x3 ≥ 62x1 − x2 + 2x3 = 4

xj ≥ 0, j = 1,3

Bài tập 6Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hìnhf (x) = 2x1 + x2 − x3 − x4 → min

x1 − x2 + 2x3 − x4 = 22x1 + x2 − 3x3 + x4 = 6x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 7

xj ≥ 0, j = 1,4

Xây dựng bài toán đối ngẫu

Bài toán gốc (P) ở dạng min

f (x) = c1x1 + · · ·+ cnxn → min

Ràng buộc chính:a11x1 + · · ·+ a1nxn...am1x1 + · · ·+ amnxn

≥≤=

b1...

bm

Ràng buộc dấu:x1...

xn

≥ 0≤ 0tùy ý

Bài toán đối ngẫu (D)

g(y) = b1y1 + · · ·+ bmym → max

Ràng buộc dấu:y1...

ym

≥ 0≤ 0tùy ý

Ràng buộc chính:a11y1 + · · ·+ am1ym

...a1ny1 + · · ·+ amnym

≤≥=

c1...

cn

Các ràng buộc dấu của bài toán max có cùng chiều bất đẳngthức với các ràng buộc chính của bài toán min, các ràng buộcchính của bài toán max ngược chiều với các ràng buộc dấu của bàitoán min.


Bài toán gốc (P) ở dạng max

f (x) = c1x1 + · · ·+ cnxn → max

Ràng buộc chính:a11x1 + · · ·+ a1nxn...am1x1 + · · ·+ amnxn

≥≤=

b1...

bm

Ràng buộc dấu:x1...

xn

≥ 0≤ 0tùy ý

Bài toán đối ngẫu (D)

g(y) = b1y1 + · · ·+ bmym → min

Ràng buộc dấu:y1...

ym

≤ 0≥ 0tùy ý

Ràng buộc chính:a11y1 + · · ·+ am1ym

...a1ny1 + · · ·+ amnym

≥≤=

c1...

cn


Ví dụTìm bài toán đối ngẫu của bài toán sauf (x) = x1 + 5x2 + x3 + x4 + 4x5 → min

2x1 + x2 + x4 + 4x5 ≥ 12−4x1 + 5x2 − 2x3 + 2x5 = 752x1 + x2 + x3 + x5 ≤ 14

xj ≥ 0, j = 1,5

Giải. Bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho làg(y) = 12y1 + 75y2 + 14y3 → max

2y1 − 4y2 + 2y3 ≤ 1y1 + 5y2 + y3 ≤ 5−2y1 + y3 ≤ 1y1 ≤ 14y1 + 2y2 + y3 ≤ 4

y1 ≥ 0, y3 ≤ 0


Bài tập 1Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán sauf (x) = 3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 → max

4x1 − 6x2 + 5x3 ≥ 507x1 + x3 + x4 ≤ 1002x1 + 3x2 − 5x3 = −25

x1, x2, x4 ≥ 0, x3 ≤ 0

Bài tập 2Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán sauf (x) = 2x1 + 5x2 + 3x3 + 6x4 → min

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 ≤ 202x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 ≥ 302x1 + x2 + 3x3 + 5x4 ≥ 40

x1, x3 ≤ 0, x4 ≥ 0

Mối quan hệ giữa hai bài toán đối ngẫu

Cặp ràng buộc đối ngẫuTrong cặp bài toán đối ngẫu thì ràng buộc bất phương trình thứ i củabài toán gốc (P) sẽ cùng với ràng buộc dấu thứ i của bài toán đốingẫu (D) lập thành một cặp ràng buộc đối ngẫu.

Định líĐối với cặp bài toán đối ngẫu bao giờ cũng chỉ xảy ra 1 trong 3 trườnghợp

1 Cả hai bài toán đều không có phương án.2 Cả hai bài toán đều có phương án, khi đó cả hai bài toán đều có

phương án tối ưu và giá trị hàm mục tiêu của chúng bằng nhau.3 Một trong hai bài toán không có phương án, bài toán còn lại có

phương án, khi đó bài toán có phương án sẽ không có phươngán tối ưu.


Định lý độ lệch bù yếuHai phương án của cặp bài toán đối ngẫu là phương án tối ưu khi vàchỉ khi với mỗi cặp ràng buộc đối ngẫu nếu một ràng buộc thỏa lỏng(không thỏa chặt) thì ràng buộc còn lại thỏa chặt.

Hai cách tìm tập phương án tối ưu

1 Dựa vào định lí độ lệch bù yếu.2 Dựa vào bảng đơn hình cuối cùng:

Từ bảng đơn hình dạng min (dừng – tối ưu), nếu tồn tại xj khôngphải là ẩn cơ bản mà ∆j = 0 thì phương án tối ưu tìm đượckhông duy nhất.

Để tìm tập phương án tối ưu của bài toán, ta giải hệ ràng buộctheo các xj nêu trên với chú ý xk = 0 nếu xk không phải là ẩn cơbản và ∆k < 0.


Ví dụ (Tìm tập PATƯ dựa vào định lí độ lệch bù yếu)Cho bài toán (P) như sau:

f (x) = 12x1 + 6x2 + 24x3 → max2x1 + x2 + 6x3 ≤ 12x1 + x2 + 3x3 ≤ 92x1 + x2 + 2x3 ≤ 6

x1, x2, x3 ≥ 0.

Thiết lập bài toán đối ngẫu (D). Tìm tập phương án tối ưu của bàitoán đối ngẫu, cho biết x = (3/2,0,3/2) là một PATƯ của (P).

Mối quan hệ giữa hai bài toán đối ngẫuGiải. Bài toán đối ngẫu (D) của (P) là:g(y) = 12y1 + 9y2 + 6y3 → min

2y1 + y2 + 2y3 ≥ 12y1 + y2 + y3 ≥ 66y1 + 3y2 + 2y3 ≥ 24

y1, y2, y3 ≥ 0.

Ta có x = (3/2,0,3/2) là một PATƯ của (P). Gọi y = (y1, y2, y3) làmột PATƯ của (D). Theo định lí độ lệch bù yếu ta có:

2x1 + x2 + 6x3 = 2.3/2 + 0 + 6.3/2 = 12 (chặt) ⇒ y1 ≥ 0 (1)x1 + x2 + 3x3 = 3/2 + 0 + 3.3/2 = 6 < 9 (lỏng) ⇒ y2 = 0 (2)2x1 + x2 + 2x3 = 2.3/2 + 0 + 2.3/2 = 6 (chặt)⇒ y3 ≥ 0 (3)x1 = 3/2 > 0 (lỏng) ⇒ 2y1 + y2 + 2y3 = 12 (4)x2 = 0 (chặt) ⇒ y1 + y2 + y3 ≥ 6 (5)x3 = 3/2 > 0 (lỏng) ⇒ 6y1 + 3y2 + 2y3 = 24 (6)

Giải hệ (2), (4), (6) ta được y = (3,0,3) thỏa mãn (1), (3) và (5).Vậy bài toán đối ngẫu (D) có một PATƯ duy nhất là y = (3,0,3).


Ví dụ (Tìm tập PATƯ dựa vào bảng đơn hình cuối cùng)Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (P):f (x) = 5x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + x5 + 3x6 → min

2x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 1524x1 + 2x2 + 3x3 + x5 = 603x1 + x3 + x6 = 36

xj ≥ 0,∀j = 1,6.Cho biết bảng đơn hình cuối cùng của bài toán trên là

Hệ số ACB b x1 x2 x3 x4 x5 x6ACB 5 4 5 2 1 3

2 x4 104 0 0 −1 1 −2 24 x2 6 0 1 5/6 0 1/2 −2/35 x1 12 1 0 1/3 0 0 1/3

∆ 0 0 −2 0 −3 0

Tìm tập phương án tối ưu của (P).


Giải. Nhận thấy x6 không phải là ẩn cơ bản mà ∆6 = 0. Đặt x6 = t , tacó

x6 = t104 = x4 + 2x6

6 = x2 −23

x6

12 = x1 +13

x6

x3 = x5 = 0x1, x2, x4, x6 ≥ 0

⇔

x4 = 104− 2t ≥ 0

x2 = 6 +23

t ≥ 0

x1 = 12− 13

t ≥ 0x3 = x5 = 0x6 = t ≥ 0

⇔

x1 = 12− 13

t

x2 = 6 +23

tx3 = 0x4 = 104− 2tx5 = 0x6 = t0 ≤ t ≤ 36

Vậy tập PATƯ của bài toán (P) là{(12− 1

3t ,6 +

23

t ,0,104− 2t ,0, t)

; 0 ≤ t ≤ 36}

xác định như trên.


Chứng minh một phương án là phương án tối ưuĐể chứng minh một phương án x là một phương án tối ưu của (P), tathực hiện các bước sau đây

1 Giả sử x là một phương án tối ưu của (P).2 Gọi y là một phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu (D) của (P).3 Áp dụng định lí độ lệch bù yếu cho (P) và (D), ứng với cặp vector

x và y .4 Giải hệ phương trình và bất phương trình đối với y .5 Nếu tồn tại nghiệm thì chứng tỏ x là một phương án tối ưu của

(P) và tập phương án tối ưu của (D) là tập nghiệm của y vừa tìmđược.

6 Nếu không tồn tại nghiệm thì chứng tỏ x không phải là mộtphương án tối ưu của (P).


Ví dụCho bài toán quy hoạch tuyến tính (P)f (x) = 2x1 + 5x2 + 3x3 + 6x4 → max

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 ≤ 202x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 ≥ 302x1 + x2 + 3x3 = 5x4 ≥ 40

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

1 Viết bài toán đối ngẫu của (P).2 Vector x = (0,0,0,10) có là phương án tối ưu của (P) hay

không? Xác định tập phương án tối ưu của bài toán (P).


Giải.1) Bài toán đối ngẫu (D) của bài toán (P) làg(y) = 20y1 + 30y2 + 40y3 → min

4y1 + 2y2 + 2y3 ≥ 22y1 + 3y2 + y3 ≥ 5y1 + 2y2 + 3y3 ≥ 32y1 + 4y2 + 5y3 ≥ 6

y1 ≥ 0, y2 ≤ 0, y3 ≤ 0.

Mối quan hệ giữa hai bài toán đối ngẫu2) Nhận thấy x = (0,0,0,10) là một phương án của (P) vì thỏa mãntất cả ràng buộc chính và ràng buộc dấu.

Giả sử x là một phương án tối ưu của bài toán (P). Gọi y = (y1, y2, y3)là một phương án tối ưu của (D). Theo định lí độ lệch bù yếu ta có

4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 20 (chặt)⇒ y1 ≥ 0 (1)2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 > 30 (lỏng)⇒ y2 = 0 (2)2x1 + x2 + 3x3 = 5x4 > 40 (lỏng)⇒ y3 = 0 (3)x1 = 0 (chặt)⇒ 4y1 + 2y2 + 2y3 ≥ 2 (4)x2 = 0 (chặt)⇒ 2y1 + 3y2 + y3 ≥ 5 (5)x3 = 0 (chặt)⇒ y1 + 2y2 + 3y3 ≥ 3 (6)x4 > 0 (lỏng)⇒ 2y1 + 4y2 + 5y3 = 6 (7)

Giải hệ phương trình (2), (3), (7) ta được y = (3,0,0), nghiệm nàycũng thỏa (1), (4), (5), (6).Vậy x là phương án tối ưu của (P), fmax = 60 và (D) có phương án tốiưu duy nhất là (3,0,0).


Tìm tập phương án tối ưu của bài toán (P):Vì y = (3,0,0) là phương án tối ưu của (D) nên nếu x = (x1, x2, x3) làmột phương án tối ưu của (P) thì theo định lí độ lệch bù yếu ta có:

4y1 + 2y2 + 2y3 = 12 > 2 (lỏng)⇒ x1 = 0 (1)2y1 + 3y2 + y3 = 6 > 5 (lỏng)⇒ x2 = 0 (2)y1 + 2y2 + 3y3 = 3 (chặt)⇒ x3 ≥ 0 (3)2y1 + 4y2 + 5y3 = 6 (chặt)⇒ x4 ≥ 0 (4)y1 = 3 > 0 (lỏng)⇒ 4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 20 (5)y2 = 0 (chặt)⇒ 2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 ≥ 30 (6)y3 = 0 (chặt)⇒ 2x1 + x2 + 3x3 = 5x4 ≥ 40 (7)

Giải hệ phương trình (1), (2), (5) ta được x = (0,0,20− 2a,a). Thayvào (3), (4), (6), (7) ta được 0 ≤ a ≤ 10.

Vậy tập phương án tối ưu của (P) là{x = (0,0,20− 2a,a); 0 ≤ a ≤ 10}.


Bài tậpCho bài toán quy hoạch tuyến tính (P) như sau:f (x) = x1 + 12x2 + 10x3 → min

x1 + 3x2 + x3 ≥ 22x1 − x2 ≥ −1−x1 + 4x2 + 2x3 ≥ 4

x1 ≤ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.1 Viết bài toán đối ngẫu (D) của bài toán (P).2 Cho biết (0,8,5) là một phương án tối ưu của (D). Hãy xác định

tập hợp tất cả các phương án tối ưu của (P).

Chương 2. QUY HO—CH TUYŸN TÍNHdocgate.com/phuongle/teaching/MHTKT/handout/C2.pdf · đ“u...

Documents

Transcript of Chương 2. QUY HO—CH TUYŸN TÍNHdocgate.com/phuongle/teaching/MHTKT/handout/C2.pdf · đ“u...