CHAPITRE 2. INTRODUCTION A LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX …IntroductionR… · CHAPITRE 2....

CHAPITRE 2. INTRODUCTION A LA RSISTANCE DES MATRIAUX . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.1 -2.1. But de la rsistance des matriaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.1 -2.2. Hypothses gnrales de la rsistance des matriaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.1 -2.3. Types de pices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.2 -2.4. Forces extrieures et forces intrieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.2 -

2.4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.2 -2.4.2. Forces extrieures (Actions et ractions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.4 -

A) Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.4 -B) Charges constituant les actions sur les structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.5 -C) Principe gnral dquilibre extrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.5 -

2.4.3. Forces intrieures (internes) : notion de coupure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.6 -2.4.4. Modes de sollicitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.7 -

2.5. Notion de contrainte en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.8 -2.6. Elasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.9 -2.7. Essais de matriaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.11 -

2.7.1. Essai de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.11 -2.7.2. Essai de compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.14 -

2.8. Matriaux ductiles et fragiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.15 -2.9. Loi de Hooke et distribution des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.16 -2.10. Coefficient de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.21 -2.11. Rsum des caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.24 -2.12. Notion de coefficient de scurit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.24 -

2.12.1. Principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.24 -2.12.2. Valeurs du coefficient de scurit S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.25 -2.12.3. Cas spciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.26 -

2.13. Notion de contrainte admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.26 -2.14. Autre critre de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.29 -2.15. Appuis et charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.30 -

2.15.1. Types dappuis et ractions correspondantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.30 -A) Appuis simple ou rouleau (glissant, mobile) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.30 -B) Articulation (appui fixe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.31 -C) Encastrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.31 -

2.15.2. Types de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.32 -A) Charges concentres (ponctuelles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.32 -B) Charges rparties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.32 -

2.15.3. Calcul des ractions dappui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.33 -A) Premier exemple : poutre sur 2 appuis avec charge ponctuelle . . . . . . . . . - 2.33 -B) Deuxime exemple : 3 forces concourantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.35 -C) Troisime exemple : poutre avec charge rpartie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.36 -D) Quatrime exemple : poutre console . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.37 -

2.16. Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2.38 -

Version du 2 octobre 2013 (9h17)

CHAPITRE 2. INTRODUCTION A LA RSISTANCE DES MATRIAUX

2.1. But de la rsistance des matriaux

La rsistance des matriaux est une science qui traite les mthodes dingnieur employes pourle calcul de rsistance, de rigidit et de stabilit des lments de machines et des ouvrages.

On appelle rsistance la capacit dune structure, de ses parties et de ses pices de supporter, sansse dtruire, une charge dtermine.

La rigidit est la capacit dune structure et de ses lments de sopposer laction dformatricedes charges extrieures (modifications de la forme et des dimensions).

La stabilit est la capacit dune structure et de ses lments de conserver une forme initialedonne, correspondant ltat dquilibre lastique.

Lobjectif de la rsistance des matriaux est de vrifier ou de dterminer (conomiquement) lesdimensions des pices de machines ou des ouvrages dart afin de leur permettre :

< de supporter sans dommage les efforts qui les sollicitent,< de se dformer dans des limites acceptables.

En pratique, on rencontre deux cas de calcul de rsistance (et/ou de rigidit) :

< Rle crateur [Calcul de projet]Calculer les dimensions donner une pice de nature connue pour quelle rsiste avecscurit laction de forces connues.Calculer les dimensions donner une pice de nature connue pour quelle prsente unedformation connue sous laction de forces connues.

< Rle vrificateur [Calcul de contrle]Calculer les efforts que Ion peut faire supporter avec scurit une pice de nature et dedimensions connues.Calculer les dformations que subira une pice de nature et de dimensions connues soumise des efforts connus.

2.2. Hypothses gnrales de la rsistance des matriaux

Nous supposerons que les corps sont :

[H1] continus : le matriau remplit entirement le volume quil occupe;

[H2] lastiques linaires : les dformations sont linairement proportionnelles aux charges,cest--dire que lorsque les charges disparaissent, les dformations sannulent;

[H3] homognes : en chaque point du solide, les proprits mcaniques du matriau sontidentiques;

[H4] isotropes : en un point du solide, les proprits du matriau sont identiques dans toutesles directions.

R. Itterbeek Rsistance des Matriaux - Introduction la rsistance des matriaux Page - 2.1 -

Tous les matriaux sont loin de rpondre ces hypothses : par exemple, le bois est anisotropeet le bton nest pas lastique linaire. Lacier, du point de vue microscopique, ne rpond pas non plus ces hypothses, mais lexprience prouve que les solutions obtenues par la rsistance des matriaux sonten accord avec la ralit (en quelque sorte, le matriau (acier) est, en moyenne, continu, lastique linaire,homogne et isotrope).

Dautre part, on admettra que :

[H5] les dformations de la pice sont faibles en regard des dimensions de celle-ci; on endduira que, lors de la dformation, les dimensions de la pice ainsi que la position descharges ne varient pas.

[H6] seules les dformations densemble de la pice seront considres. Les dformationslocales (dues lapplication des charges concentres) seront ngliges.

[H7] les charges appliques le sont de manire statique (les phnomnes de fatigue (chargesdynamiques) ne seront pas pris en compte).

[H8] toutes sections droites le reste aprs dformation. (Souvent vrifi par lexprience).

2.3. Types de pices

On peut classifier les diffrentes pices tudier suivent le nombre de dimensionsprpondrantes :

1) Les barres sont des pices une dimension prpondrante.Exemples : les poutres, les colonnes, les arcs, les ressorts hlicodaux, les cbles,

etc...

2) Les enveloppes ou plaques sont des pices deux dimensions prpondrantes. Cest--direque lpaisseur de tels objets est trs largement infrieure aux autres dimensions.Exemples : cuves, rservoirs,... Les plaques tant des cas particuliers des enveloppes.

3) Les massifs sont des objets sans dimensions prpondrantes et ne seront en gnral pastudis par la rsistance des matriaux.

2.4. Forces extrieures et forces intrieures

2.4.1. Introduction

Dans le cours de statique, quand on soumet un corps laction de forces, on le supposeindformable, savoir que lon considre invariable la distance entre 2 quelconques de ses points. Lastatique ne prend en compte que les forces extrieures sans se soucier ni des dformations ni destensions qui prennent naissance lors de lapplication des dites forces au sein de la matire. Il sagit ldune grossire approximation des phnomnes car si lon examine dassez prs les corps sollicits, onconstate quils se dforment et que les molcules sont soumises laction de forces de dissociation ditesforces intrieures.

A titre dexemple, considrons le levier ci-dessous (fig. 2.1.).

La statique nous apprend que si lon applique en A une force , il faudra pourf N= 100quilibrer le levier appliquer en B une force et en C une force . =f N50 R N= 150


Mais sur le mme levier, la statique crira , et sans se soucierf kN= 10 =f kN5 R kN= 15de la rsistance et de la dformation du corps levier qui, comme on le prsume, n y sont pasindiffrentes.

En regardant les phnomnes dun peu plus prs, nous constatons :

< que le levier se dforme dans son ensemble et que cette dformation est dautant plusimportante que les efforts qui le sollicitent sont eux-mmes levs, en particulier, onsaperoit que la distance entre 2 points M et N ou P et Q, suppose invariable par la statique,est essentiellement variable;

et > >M N M N MN <

Nous constatons que des relations doivent exister entre les forces extrieures, les forcesintrieures et les dformations.

La rsolution de problmes de Rsistance des matriaux ncessite donc la connaissance :

< des sollicitations : intensit et sens des efforts dcoulant de la Mcanique gnrale.< du comportement des matriaux sous laction des efforts afin de choisir ces matriaux bon

escient : ce comportement dcoule du cours de Connaissance des matriaux.

2.4.2. Forces extrieures (Actions et ractions)

A) Introduction

On appelle force extrieure les forces qui sont appliques sur la pice. On distingue deux typesde forces extrieures :

< les forces directement appliques sur le solide (Actions);< les forces de liaison, cest--dire les ractions aux appuis (Ractions).

Dans le levier vu prcdemment, f et f peuvent tre considres comme des actions et R est laraction qui est la force exerce par le pivot sur le levier en raction aux forces f et f .

Actions f et fRaction R = forces extrieures ou sollicitations

La figure (fig. 2.1.) est ce quon appelle le schma du corps (levier) rendu libre, obtenu en faisantle bilan des forces extrieures (ou sollicitations) qui sollicitent le corps en provenance du monde extrieurau corps.

Autre exemple : tude dune poutre. Le schma du corps (poutre) rendu libre est obtenu enremplaant :

< le wagonnet par les forces quil exerce sur la poutre (actions);< les appuis par les forces que le sol exerce travers eux sur la poutre (ractions).

Le schma du corps rendu libre rsume et schmatise toutes les forces extrieures ou sollicitationsque le monde extrieur la poutre impose celle-ci.

fig. 2.9. - Schma du solide rendu libre.


Ajoutons que la recherche des ractions est gnralement la premire opration effectuer avantdtudier le corps selon la rsistance des matriaux.

B) Charges constituant les actions sur les structures

Dans ce cours, on ne considrera que les charges dites statiques, cest--dire celles qui sontsupposes ne varier que lentement ou pas du tout avec le temps.

Enumration et classification des charges :

! poids mort ou poids propre = poids de lastructure et poids de toutes les chargespermanentes agissant sur elle;

forces dues lattraction terrestre, doncverticales

! charges mobiles = tout sauf poids mort :S charges dexploitation (humains, machines,

meubles, cloisons, lments nonstructuraux, ...)

S charges climatiques : neige vent -------------------------------------------> force horizontale

! sollicitations thermiques (par exemplediffrence de temprature); forces dues des dformations et non

des charges extrieures! sollicitation de tassement de lun des appuis.

Les charges extrieures peuvent tre schmatises par des forces ponctuelles ou rparties ou sousforme de couples ponctuels ou rpartis. La simplification consistant considrer des efforts ponctuels (ouconcentrs) nest valable que si les dimensions de la zone o sexercent les charges rparties sont petitesen regard de celles de la pice.

Remarque :La reprise des forces horizontales dues au vent est confiedans toute structure des dispositifs spciaux, lescontreventements horizontaux et/ou verticaux.

C) Principe gnral dquilibre extrieur

Les structures tudies en construction sont des corps aurepos. Daprs un principe de la Mcanique, un corps ne peut resterau repos que sil nest soumis aucune force, ou ce qui revient aumme, si lensemble des forces qui le sollicitent a une rsultantenulle.

Donc, sur nimporte quelle structure au repos, les forcesextrieures, cest--dire les actions et les ractions, se font quilibre.

En pratique, cela revient gnralement dans les calculs appliquer toutes les forces figurant auschma du corps rendu libre les trois quations dquilibre :

: somme algbrique des projections horizontales de toutes les forces est nulle,f i x = 0: somme algbrique des projections verticales de toutes les forces est nulle,f i y = 0

fig. 2.10. -


fig. 2.11. -

fig. 2.12. - Action = raction.

fig. 2.13. -

: somme algbrique des moments des forces par rapport un point P, de( )m fP i = 0toutes les forces est nulle.

Nous reviendrons sur cette importante question.

2.4.3. Forces intrieures (internes) : notion de coupure

Soit un corps en quilibre soumis un ensemble de forcesextrieures. Si on coupe ce corps par une surface planequelconque, les parties I et II ne seront plus en quilibre.

Pour rtablir lquilibre de la partie I, il faut placer uncertain nombre de forces fi I agissant sur la surface suivant laquellela coupure t ralise. Ces forces ( appeles forces intrieuresou internes ) reprsentent les forces quexerait la partie II sur lapartie I avant coupure.

Un mme raisonnement peut tre tenu pour la partie II(forces Fi II). Bien entendu, les forces intrieures fi I et fi II sontgales et opposes : cest le principe daction et de raction.

Du fait du rtablissement de lquilibre par les petitesforces fi nous pouvons crire, pour lune ou lautre des parties I ouII du corps,

effets des f effets des fe i=

o fe reprsente les forces extrieures appliques lune desparties du corps. Cest lquation fondamentale de stabilitlastique.

Lors dune coupure lensemble des forces intrieures peut toujours tre rduit en une forcersultante et un moment rsultant. Prenons ensuite un systme de coordonnes Ox, Oy,O z. Menonslaxe Oz selon la normale la section et les axes x et y dans le plan de la section. Projetant la rsultanteet le moment rsultant sur les axes Ox, Oy et Oz, on obtient six composantes : trois de la force et trois dumoment.

La composante des forces intrieures selon la normale la section est appele :Effort normal la section et est not : N.

Les composantes des forces intrieures se trouvantdans la section sont appeles :Efforts tranchants et sont nots : Vx et Vy.

Le moment qui tente de faire tourner la pice autourde son axe normal est appel :

Moment de torsion et est not : Mt.

Les moments qui tentent de faire tourner la piceautour des axes x et y sont appels :Moments flchissants et sont nots : Mf x et Mf y.


fig. 2.14. - Traction

fig. 2.15. - Compression

fig. 2.16. - Flambage

fig. 2.17. - Cisaillement

fig. 2.18. - Flexion

fig. 2.19. - Torsion

2.4.4. Modes de sollicitations

Afin de faciliter ltude des relations de Rsistance des matriaux. on a effectu une classificationdes sollicitations :

< sollicitations simples : traction - compression - cisaillement - flexion - torsion.< sollicitations composes : flexion + traction (ou compression) - flexion + torsion, .. -

Examinons-les dun peu plus prs :

1) Traction : la force F agit dans laxe de la pice et provoqueson allongement. (Force normale).

2) Compression : la force F agit dans laxe de la pice etprovoque son raccourcissement. La longueur dela pice nest pas fort grande par rapport sasection. (Force normale).

Remarque :

Flambage : la force F agit dans laxe de la pice dont la longueur est grandepar rapport son diamtre. (Force normale).

3) Cisaillement : les forces de sollicitation Ftendent faire glisser unesection par rapport lautre.(Efforts tranchants).

4) Flexion : laxe longitudinal de la pice tend sincurver sous laction deffort quiagissent perpendiculairement ladirection (apparition de momentsflchissants).

5) Torsion : la pice est sollicite par des couples situs dans lesplans perpendiculaires son axe, qui tendent letordre. (Moments de torsion).

6) Sollicitations composes : sil y a superposition de plusieursdes sollicitations prcdentes.


Dfinition :Le pascal Pa est la contrainte due une force de 1 N sexerant sur 1 m2. Le pascalest donc gal .1 2N m

2.5. Notion de contrainte en un point

Pour caractriser la loi de distribution des forcesintrieures sur la section, il faut introduire une grandeurdfinissant leur intensit. Cette grandeur est la contrainte.

On a vu prcdemment que sur toute coupure(effectue travers un corps en quilibre soumis un ensemblede forces) il y a apparition de forces intrieures.

Sur un petit lment dA (appel facette) appartenant la surface de la coupure et entourant le point M, agit une forcedF. Par dfinition, la contrainte sexerant sur la coupure aupoint M vaut :

BdFdA

= (q. 2.13.)

Gnralement sa valeur varie suivant sa position dans la surface A.Il en est de mme pour son orientation.

Cette contrainte totale est en gnral dcompose en troiscomposantes perpendiculaires entre elles. Une premire composante suivantla normale au plan de la section, les deux autres selon deux axes dans le plan de la section. La composantesuivant la normale au plan est appele contrainte normale et dsign par la lettre grecque sigma ( ).Les composantes dans le plan de la section sappellent contraintes tangentielles et sont dsignes parla lettre grecque tau ( ). Lensemble des contraintes en un point est appel ltat de contrainte en cepoint.

On remarque que :1) pour dfinir une contrainte, il faut prciser non seulement le point mais aussi la

surface sur laquelle elle agit.2) contrairement la pression, la contrainte nagit pas ncessairement perpen-

diculairement la surface sur laquelle elle sexerce; de plus, elle dpend, en un point,du plan sur lequel elle est applique.

Dans le systme international (SI), lunit de contrainte est le : pascal (1) ou Pa.

Dans lancien systme des mcaniciens (MkpS), lunit de contrainte tait le : kilo parmillimtre carr (kg/mm2) alors quil aurait fallu dire le kilogramme-force parmillimtre carr (kgf/mm2).

fig. 2.20. -

fig. 2.21. -

(1) Pascal Blaise (1623 - 1662) : mathmaticien, physicien et philosophe franais.


fig. 2.23. -

On se rend compte immdiatement que le pascal est une petite unit. Cest pourquoi, lescontraintes ayant pour dimension une force divise par une surface, on utilisera en pratique le newton (2) par millimtre carr (N/mm2) ou le mga pascal (MPa).

La relation entre les deux systmes est :

1 1 9 81 9810000 9 811 1

2 2 2

2

kg mm kgf mm N mm Pa MPaMPa N mm

= = = =

=

. .

2.6. Elasticit

On sait quun corps est un assemblage dune certaine quantit de molcules lies les unes auxautres par une force appele cohsion. Le mouvement des molcules nest donc possible que si onparvient vaincre la cohsion et dans ce cas le corps se dforme. Cest aussi cette cohsion qui est propre chaque corps qui constitue sa rsistance laction des forces extrieures sollicitantes.

On pourrait assimiler les forces decohsion des ressorts runissant les molculesdans toutes les directions : des corps de naturediffrente auraient des ressorts de qualitsdiffrentes (ressorts dautant plus rsistants queles corps sont rigides).

Si aucune force nagit sur le corps, lesressorts sont libres.

Pour caractriser lintensit de la variation de la forme et des dimensions, considrons les pointsA et B dun corps non dform distant de l. Exerons sur le corps une force F suppose de traction. Tousles ressorts parallles sallongent, chaque molcule se dplace par rapport sa voisine et le corpssallonge (noue avons dit que la Mcanique gnrale ngligeait ce phnomne). Soit l laccroissementde cette distance par suite de la dformation du corps.

Par dfinition, la dformation moyenne gmoyen suivant est le quotient de laccroissement deABla longueur du segment l par sa longueur initiale l0 :

moyenl

l=

0(q. 2.16.)

Cette dformation est aussi appele allongement relatif et est sans unit. On lexprimerasouvent en pour cent (%).

fig. 2.22. -

(2) Newton Isaac (1642 - 1727) : mathmaticien, physicien et astronome anglais.


moyenl

l= 100

0

% (q. 2.17.)

Trois cas peuvent se prsenter :

< leffort F est peu important et lorsquil cesse dagir, les ressorts reprennent leur formeprimitive : la dformation ne subsiste pas;

< leffort F est important et lorsquil cesse dagir, les ressorts ne reprennent plus leur forme oulongueur primitive; on a tir trop fort et une dformation subsiste; on dit quil y a dformationpermanente et quon a dpass un certain seuil appel charge limite lastique;

< leffort F est trs important et les ressorts cassent dans une certaine section; la pice se romptet lon a atteint un nouveau seuil deffort appel charge de rupture.

Remarque :Normalement, tous les ressorts devraient casser en mme temps; comme ils ne sontpas tous identiquement homognes, le ressort le plus faible se rompt et les ressortsvoisins, surchargs, se rompent leur tour; il y a rupture en chane.

Au point de vue molculaire, tant que la charge limite lastique nest pas atteinte, les molculesse dbotent sous leffort mais se rembotent aussitt que leffort cesse dagir.

Mais quand on dpasse la charge limite lastique, les molcules ne se rembotent plus quandleffort cesse dagir. Les deux schmas ci-dessous sont cet gard assez explicites.

charge limite lastique NONdpasse

charge limite lastique dpasse

De cette explication, il se dgage une conclusion importante : pour tre utiliss avec scurit, lesmatriaux doivent travailler non seulement en-dessous de la charge de rupture, mais aussi en-dessousde la charge limite lastique pour viter toute dformation permanente.

Il importe ds lors de connatre avec prcision les 2 seuils critiques que sont la charge limitelastique et la charge de rupture des matriaux de construction soumis des sollicitations extrieures. Dodes essais mcaniques sont ncessaires.


2.7. Essais de matriaux

2.7.1. Essai de traction

Afin de dimensionner les pices de machines ou les ouvrages dart,il importe de connatre les proprits des matriaux utiliss. Celles-ci serontdtermines bien souvent partir dessais de traction ou de compression.Les rsultats de ces essais simples et relativement peu coteux constituentla base de la thorie de la rsistance des matriaux.

Les essais sont raliss sur des prouvettes de dimensionsnormalises. Elles auront la forme dune barre pour lessai de traction; dansle cas de lessai de compression, la forme de lprouvette sera massive.

Lors de lessai, on mesure leffort normal N appliqu lprouvetteen fonction de lallongement de celle-ci. On veille en particulier ce que laforce soit applique suivant laxe de la pice afin dviter toute flexion. Sinous crivons :

= NA0

(q. 2.18.)

nous obtenons alors la contrainte qui existe dans lprouvette lors de lapplication dune charge N.

Notations : NA0

la contrainte de tractionla charge appliquela section initiale de lprouvette avant lessai

N/mm2Nmm2

et : moyenl

l=

0(q. 2.19.)

Notations : l0 la longueur mesure entre deux repres avant applicationde la charge (longueur initiale) mm

l lallongement de la longueur l lors de lapplication de lacharge (longueur finale - longueur initiale) mm

Le rsultat dun essai de traction sur un acier doux est donn par le diagramme reprsent lafigure ci-dessous.

fig. 2.26. - Eprouvette detraction.


On peut y distinguer quatre zones :[1] une zone lastique (O C)[2] une zone dcoulement (C F)[3] une zone dcrouissage (F E)[4] une zone de striction (E R).

Dans la zone lastique, lprouvette dcharge reprend sa longueur initiale. La zone (O A)dtermine le domaine de proportionnalit : les contraintes sont strictement proportionnelles ladformation. Quand N cesse dagir, et la pice retrouve sa longueur initiale l0l 0

Le point A est appel limite de proportionnalit et la contrainte qui y correspond est note Rp.Le point C reprsente la fin de la zone lastique et la contrainte correspondante vaut Re (limiteapparente dlasticit). Les dformations restent petites, de lordre de 0.1 ... 0.2 %.

Nous pouvons aussi dfinir, la limite dlasticit conventionnelle (note Rp 0.2 (Limite deproportionnalit 0.2 %)) sera dfinie comme tant la contrainte correspondant une dformationrsiduelle, aprs dchargement, de 0.2 %.

fig. 2.27. - Courbe contrainte - dformation dune barre cylindrique soumise unetraction, pour un mtal comportement ductile.


Dans la zone dcoulement (C F), lacier scoule plastiquement sous une contraintepratiquement constante. Les allongements relatifs peuvent atteindre ... 4 ... %.

(C E) cest le domaine des grands allongements; quand N cesse dagir, la pice garde unedformation permanente.

A partir du point F, le matriau se ressaisit (zone dcrouissage), lallongement augmente plusrapidement que la charge. La section de lprouvette diminue progressivement

Au-del du point E, la diminution de la section se localise et devient trs importante (phnomnede striction). Lallongement continue augmenter malgr une diminution de la charge jusqu la rupture( ).A% ... % ...= 25

Au point E, correspond la valeur de la contrainte de rupture note Rm bien que celle-ci seproduise en R. En fait, la contrainte vraie la rupture doit tenir compte de la section vraie (striction). Lediagramme dessai aurait ds lors lallure reprsente en traits pointills.

Il est remarquer quil faudrait aussi tenir compte des allongements vrais nettement plus levsdans le voisinage de la zone de rupture.

Si on supprime leffort correspondant au point P, il y aura apparition dune dformationpermanente (OB). Le chemin suivi par la contrainte sera donn par la droite PB parallle OA. Enrechargeant immdiatement lprouvette, la droite PB sera parcourue en sens inverse, lessai sepoursuivant ensuite de la mme manire que sil ny avait pas eu dchargement.

Aprs rupture, la pice possde une longueur et si lon pose :l lr > 0

( )l l lr r= 0

on peut dfinir le coefficient dallongement la rupture (allongement rmanent aprs rupture) :

(en %)( )

Al

lr

% = 1000

(q. 2.24.)

fig. 2.28. -


fig. 2.29. -

fig. 2.30. -

fig. 2.31. -

fig. 2.32. - fig. 2.33. -

fig. 2.34. -

fig. 2.35. -

Essai de traction sur une prouvette dalliage daluminium

Le rsultat de lessai est reprsent la figure ci-contre. On peut y reconnatre les zones dlasticit,dcrouissage et de striction. (Courbe (1) : aluminium, cuivrerecuit; courbe (2) : aciers fins allis)

Essai de traction sur une prouvette de fonte grise

La figure ci-contre donne lallure approximative du diagramme descontraintes en fonction de lallongement. On remarque que la rupture se produit sanssignes avant-coureurs pour des dformations trs faibles.

Essai de traction sur une prouvette de bton

On obtient le diagramme reprsent ci-contre. Onconstate que lallongement relatif la rupture est trs faibleet que les dformations sont presque entirement lastique,quoique non linaires. Dautre part, la rsistance la ruptureRm est fonction de lge du bton.

2.7.2. Essai de compression

Essai de compression sur une prouvette dacier doux

On relve, comme dans lessai de traction, une zonelastique suivie dun palier dcoulement et dune zonedcrouissage. Aprs quoi, la charge continue de crotre defaon importante, ce qui peut sexpliquer par le fait que lasection de lprouvette augmente car celle-ci prend la formedun tonneau.

Essai de compression sur une prouvette de fonte grise

Le diagramme (, g) a la mme forme que celui obtenu lors delessai de traction. On remarquera cependant qu la rupture, la contrainteest notablement plus importante quen traction.

Essai de compression sur une prouvette de bton

Les essais sont gnralement raliss sur des cubes mouls. A la figureci-contre est donn lallure de la courbe (, g) qui est semblable celle trouvelors de lessai de traction. Cependant, on notera de nouveau que la contrainte la rupture en compression est nettement plus leve quen traction (de lordrede 10 fois suprieure).


fig. 2.36. -

2.8. Matriaux ductiles et fragiles

Les essais dcrits aux points 2.7.1. et 2.7.2. montrent que lon peut classer les matriauxsuivant la valeur de leur allongement relatif la rupture.

Par dfinition, les matriaux ductiles prsentent une dformation importante la rupture (> 5 %).Gnralement, ces matriaux rsistent aussi bien la traction qu la compression. Lacier doux,laluminium, le cuivre recuit, le plomb, le bronze,... sont des exemples de matriaux ductiles.

Ces matriaux soumis lessai de traction, o les forces agissantes croissent progressivement,prsentent des signes avant-coureurs prcdant la rupture, tels quallongements et striction(rtrcissement de section). Sur le diagramme (, g), la contrainte limite lastique Re est aismentreprable, m~me pour des matriaux ne prsentant pas de palier dtirage. Elle constitue la contrainte partir de laquelle commencent les grands allongements, cest--dire un tat dangereux pour la structure.

Pour ces matriaux, qualifis de ductiles, Re constitue donc la limite naturelle ne pas dpasserquant aux contraintes.

La proprit dun matriau de prsenter de grandes dformations rsiduelles sans rupture estappele plasticit. La proprit de plasticit est primordiale pour les oprations technologiques tellesque lemboutissage, ltirage, le trfilage, le pliage, etc... La plasticit sexprime par lallongement(grupture) la rupture. Plus grupture est grand, plus le matriau est plastique.

Le contraire de la plasticit est la fragilit, qui est la proprit dun matriau de se dtruiresans passer par des dformations rsiduelles notables. Les matriaux dous de cette proprit sont ditsfragiles. Ils nadmettent donc que des allongements relativement faibles avant rupture. De plus, larsistance de ces matriaux en compression est de ... 3 ... 10 ... fois suprieure celle obtenue en traction.Parmi les matriaux fragiles, citons par exemple : la fonte, la roche, le bton, le verre,...

Ces matriaux soumis aux essais, se rompent brusquement sans aucun phnomne avant-coureur.Le domaine lastique du diagramme (, g) nest pas toujours aisment reprable, est plus ou moins tenduselon le cas, et est parfois inexistant. Ds lors, Re est le plus souvent difficile identifier, voire impossible,alors que la contrainte de rupture Rm est, bien entendu, nettement marque.

Pour ces matriaux, qualifis de raides, Rm constitue donc la limite naturelle que les contraintesne devront pas franchir.


En rsum : < Comportement fragile : la rupture se produit sans dformation apparente (fig. 2.36.a);< Comportement faible plasticit : la rupture se produit aprs une petite une petite dformation

plastique, le seuil dcoulement est inexistant (class dans les matriaux fragiles si) (fig. 2.36.b); rupture 5 %

< Comportement ductile : la dformation plastique avant rupture est trs grande (fig. 2.36.c).

Remarques :1) Certains matriaux supportent des charges plus importantes en traction quen

compression. Cest en particulier le cas du bois.

2) Les rsultats dessais dcrits ci-dessus ( 2.7.1. et 2.7.2.) ne sont valables que silssont raliss pression atmosphrique, temprature ambiante et vitesse dechargement suffisamment faible. Si ces conditions ne sont pas respectes, lesproprits de rsistance des matriaux peuvent tre profondment modifies.

3) On notera ds prsent que le comportement des barres longues en traction seradiffrent de celui des mmes barres soumises compression. Les pices lances(cest--dire dont la longueur dpasse de 8 10 fois le petit ct ou le diamtre dunesection transversale) soumise un effort de compression prissent par flambement(brusque drobement latral). Ce phnomne sera tudi de faon dtaille au chapitreflambement.

2.9. Loi de Hooke et distribution des contraintes

La relation entre lallongement l dune barre etleffort de traction N fut tabli en 1678 par R. Hooke (3) . Eneffet, dans le diagramme de traction, dans le domaine lastique,on peut remarquer la linarit entre leffort N et lallongementl , et donc entre la contrainte et lallongement relatif g.Mathmatiquement, cette relation peut sexprimer par larelation trigonomtrique suivante :

tan

= (q. 2.26.)

Cette valeur ( ) nous lui donnons un nom particulier E :tan

tan = E

E est donc une constante dpendante du matriau, appel : module dlasticit longitudinale ou module de Young (4) . Pour les valeurs de quelques matriaux voir Tableau 2.1. et Tableau 2.2, 3, 4..

La loi de Hooke scrit ds lors :

E E= =

(q. 2.29.)

fig. 2.37. - Loi de Hooke.

(3) Hooke Robert (1635 - 1702) : physicien et mathmaticien anglais. (4) Young Thomas (1773 - 1829) : physicien anglais.


Le module dlasticit longitudinale E est en fait limage de la rigidit du matriau. Plus E estlev, moins le matriau ne se dformera sous laction dune force.

Remarque : La loi de Hooke est approche. Pour certains matriaux, tel lacier, elle est observe avecun grand degr de prcision dans des limites de variations trs larges de contraintes.Dans dautres cas, on observe des carts notables la loi de Hooke. Ainsi, pour la fonteet certains matriaux de construction, mme lorsque les contraintes sont petites, la loi deHooke ne peut tre admise quavec une grossire approximation.

Module dlasticit E et coefficient de Poisson de divers matriaux

Matriaux E (GPa)

FerAciersAcier 45SCD6Aciers Inox 18-10Fonte griseFonte GSTitaneAlliage de titane TA6VAluminium + alliagesAlliages AU4G (2017A)Alliages AU2GN (2618A)Zicral AZ8GUCuivre et alliagesLaitonBronze ordinaireBronze au brylliumBrylliumMagnsiumZincNickelNickel - CuivreNickel - Chrome - ferNickel - fer - ChromePlexiglasVerreBton (suivant qualit)Bois (suivant espce)CaoutchoucZirconium

20021022020390

140105.510570757572

10092

10613030046

130205

2.9060

25 ... 458 ... 13 **

0.240.30

0.2850.290.25

0.2750.320.340.330.330.340.340.330.330.310.340.050.340.210.310.320.290.340.400.24

0.15 ... 0.200.45 *

0.45 ... 0.500.35

* : en compression ** : parallle aux fibres

( )GE=+2 1

Tableau 2.1. - Module dlasticit E et coefficient de Poisson de divers matriaux.


Module dlasticit E en GPa en fonction de la temprature

Matriau - Temprature (C) !200 !100 20 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750

Aciers non allis au C et C-Mn 207 201 196 193 189 187 184 178 170 160

Aciers allis au Ni (Ni < 3.5 %) 202 192 187 184 180 178 175 171 167 163 157

Aciers allis au Cr-Mo (Cr < 2 %) 209 205 200 196 193 190 187 183 179 174 166 155

Aciers allis au Cr-Mo (2 %

Application 2.1. Lors dun essai de compression sur une prouvette cylindrique de diamtre 16 cm etde hauteur 32 cm, on mesure avec prcision la force applique sur lprouvette ainsi que sonraccourcissement.a) Calculer la contrainte et le dplacement aux points A et B.b) Dduire la valeur du module dlasticit E.c) Dduire la valeur de la contrainte rupture Rm.

Solution : a) Calcul de la contrainte et de lallongement relatif aux points A et B

Recherche de la section de lprouvette :

A d mm02 2

2

41604

20106 2= =

=

.

Au point A (cest le point qui dterminera la limite lastique) nous avons :< La force : N kN= 105< Lallongement : l mm= 0142.

Nous obtenons donc :

< La contrainte : (en compression) = = = =NA

N mm Re0

210500020106 2

522.

.

< Lallongement : %.

. %= =

= ll0

1000142320

100 0 0444

Au point B (cest le point qui dterminera la limite de rupture) nous avons :< La force : N kN= 235

Compression

- 250

- 200

- 150

- 100

- 50

0 - 0.9 - 0.8 - 0.7 - 0.6 - 0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 0

A

B

Force (kN)

Dplacement (mm)

fig. 2.38. -

R. Itterbeek Mcanique et Rsistance des Matriaux Page - 2.19 -

Application 2.2. Une prouvette de 12 mm de diamtre et de 30 mm de longueur est essaye en tractiondans le domaine lastique. On remarque que cette prouvette, en subissant un effort de 15 kN, sallongede 0.089 mm. Quelle est le module dlasticit longitudinale de cette matire ?

< Lallongement : l mm= 056.Nous obtenons donc :

< La contrainte : (en compression) = = = =NA

N mm Rm0

223500020106 2

1169.

.

< Lallongement : %.

. %= =

= ll0

100056

320100 0175

b) Dtermination du module dlasticitLe calcul seffectuera avec les donnes du point A. Soit :

= = = =E E N mm522

4 44 10117604

2..

c) Dtermination de la contrainte de ruptureVoir point a).Cest la contrainte au point B :

B mR N mm= = 11692.

Remarque :Cest un matriau dont les caractristiques sont faibles par rapport aux valeurs moyennes, il sagitdun bton maigre.

Solution :Recherche de la section de la barre :

A d mm02 2

2

412

41131= =

=

.

La contrainte sera gale :

= = =NA

N mm0

2150001131

132 6.

.

Lallongement relatif de la barre :

= = =ll0

0 08930

0 00297. .

Le module dlasticit longitudinale est gal :

E N mm= = =

132 60 00297

44 650 2..

Cest un alliage de magnsium.


2.10. Coefficient de Poisson

Sous laction dun effort de traction(compression), la barre sallonge (se raccourcit)relativement de g, mais, dautre part, elle subit unecontraction (dilatation) latrale relative li g (voirfigure ci-contre).

Le rapport entre les deux est une constante pourun matriaux donn.

On dfinit ds lors le coefficient de Poisson (5) comme tant le rapport de sur g :

= (q. 2.46.)

avec : = dd0

et = ll0

Notations : d0l0

coefficient de Poissondiamtre initial du barreaulongueur initiale du bareau

-mmmm

Le coefficient de Poisson est un coefficient de proportionnalit sans dimension. Il caractrisele rapport entre la contraction latrale et lallongement relatif de la poutre g. La quantit caractriseune proprit intrinsque du matriau et se dtermine exprimentalement. En premire approximation onpeut dire que le coefficient de Poisson est indpendant de la temprature.

Pour tous les mtaux, la valeur numrique de est comprise entre 0.25 et 0.35. La valeur ducoefficient de Poisson ne peut tre, pour un matriau isotrope, suprieur 0.5 (pour le lige il est prochede 0, pour la gomme de 0.5).

Remarques : correspond une variation nulle du volume lors de lextension (q. 2.53.); = 05. correspond un matriau isotrope parfait. = 0 25.

On trouvera au Tableau 2.1. les valeurs du coefficient de Poisson pour diffrents matriaux.

A titre dindication, si une barre travaille en traction ou en compression, on peut se servir desformules suivantes pour dterminer la variation de section de la barre :A

A A NE

= 2 2 (q. 2.52.)

et la variation de volume V de la barre (pour de petite dformation) :

fig. 2.39. - Gonflement sous leffet dune compression.

(5) Poisson Denis (1781 - 1840) : mathmaticien et physicien franais.


Application 2.3. Une barre dacier de 5 mm de diamtre et de 2 m de longueur subit une force decompression de 5000 N. Quelle sera la dformation latrale relative ainsi que la variation de section,le diamtre final et la variation de volume de cette barre ?Utiliser : et .E N mm= 205000 2 = 0 3.

( )V

EN l=

1 20

(q. 2.53.)

ou :

( ) VV

ll0 0

1 2= (q. 2.54.)

Notations : NV0

effort de traction (compression) sexerant sur la barrevolume initial de la barre

Nmm3

Solution :Recherche de la variation de longueur de la barre

La section initiale vaut :

A d mm02 2

2

45

419 63= = = .

l N lE A

mm= =

= 00

5000 2 000205000 19 63

2 48.

.

Recherche de la la dformation latrale relativeLallongement relatif vaut :

= = = ll0

2 482 000

0 00124.

.

( )

= = = =0 3 0 00124 0 000372. . .

Recherche de la variation de section de la barre

A NE

mm

=

2 2 0 35000

205000

0 0146 2

.

.

Recherche du diamtre finalLa variation relative de diamtre vaut :

= = = = dd

d d mm0 000372 5 0 00186. .

d mm' . . .= + = 5 0 00186 500186 5002

Recherche de la variation de volume


( )

( ) ( )

VE

N l

mm

=

=

=

1 2

1 2 0 3205000

5000 2 000

19 5

0

3

.

.Ou :

( ) ( ) VV

ll

V ll

V0 0 0

01 2 1 2= =

( )

( )

V ll

V

mm

=

=

=

1 2

1 2 0 32 48

2 0005

42 000

19 5

00

2

3

.

.

.


2.11. Rsum des caractristiques

Les paramtres Rm, Re, A%, E et constituent les principales caractristiques mcaniques desmatriaux, quil est possible de dduire de lessai de traction. Examinons-en la signification physique :

< Rm et Re, expriment la solidit du matriau (sa rsistance); si les contraintes rellesprovoques par les forces extrieures dpassent ces valeurs, alors le matriau devientinutilisable car la structure ralise en ce matriau est sur la voie de la ruine, dabord par desallongements et des dformations excessifs et permanents, ensuite par la rupture;

< E exprime la capacit du matriau de rester indformable sous leffort dans le domainelastique (cest la rigidit du matriau); par exemple la flche prise par une poutre flchieest inversement proportionnelle E;

< A% exprime la ductilit du matriau, cest--dire sa capacit de prsenter des signes avant-coureurs de dformation juste avant rupture.

< permet de caractriser la contraction de la matire perpendiculairement la direction deleffort appliqu. Cest une image de l isotropie du matriau.

2.12. Notion de coefficient de scurit

2.12.1. Principes

Nous avons vu plus haut que les contraintes relles au sein dun matriau, soumis dessollicitations, ne peuvent dpasser une limite naturelle qui est la limite dlasticit Re pour les matriauxductiles et la rsistance la rupture Rm pour les matriaux raides, sous peine datteindre la ruine de lastructure, par dformation excessive et permanente ou par rupture. Au-del de cette limite, la structure neporte plus.

Notre souci tant dutiliser et mme dexploiter le matriau au maximum de ses possibilits, nousserions tents de le faire travailler sous de contraintes relles trs proches de Re et de Rm. Cette attitudemne une situation extrmement dangereuse en raison des invitables incertitudes qui psent sur lesdonnes du problme :

< prvision des forces maximales agissantes (les actions ou les charges et de leur modedaction (dpassement des valeurs prvues et sollicitations dynamiques plutt que statiques);

< dispersion statistique des proprits de rsistance des matriaux mis en oeuvre;

< malfaons au stade de la ralisation en atelier, ou in situ;

< diminution de la rsistance du matriau par suite de corrosion, dusure, de modificationsstructurales ou chimiques;

< incertitude sur les dimensions des pices (par exemples : tolrances de laminage sur lesprofils, positionnement des armatures dans les coffrages);

< thorie de calcul base sur des hypothses simplificatrices qui ne reprsententquimparfaitement la ralit.

Ces incertitudes constituent autant de raisons pour lesquelles il est absolument indispensable demaintenir une marge plus ou moins grande entre la rsistance ultime du matriau (Rm et Re) et les


contraintes maximales de service rellement provoques par les charges, dans le cas le plus dfavorablede chargement de la structure.

Cette marge dite de scurit sera dautant plus grande que sont plus incertaines les prvisionsrelatives aux charges maximales et quest plus grande la dispersion dans les proprits mcaniques desmatriaux, telle quelle rsulte des essais; ainsi par exemple, on choisira une marge de scurit plus grandepour le bois, le bton, la pierre et la fonte que pour lacier dont les proprits mcaniques sont mieuxconnues et, pour une mme nuance, plus constantes.

Cette marge de scurit est galement dautant plus petite que le cas de sollicitation qui ycorrespond est peu probable; ainsi par exemple, il serait luxueux en Belgique dadopter la mme margede scurit dans le cas du sisme que dans celui des charges quotidiennes dexploitation dun btiment.On le verra lus loin.

Ainsi est introduite la notion de coefficient de scurit, mesure de la marge de scurit. Cettenotion est indissociable de celle de contrainte admissible qui sera dveloppe dans le paragraphesuivant.

De faon gnrale, la valeur de SRe (coefficient de scurit par rapport la limite lastique)ou SRm (coefficient de scurit par rapport la limite de rupture) sera conditionne par deux critres :

1) le degr de connaissance que lon a du systme (par exemple, suite lexprienceacquise par la pratique sur des systmes analogues);

2) la gravit des consquences dune mise hors dusage (et cela suivant limportance relative dela pice dans la machine : pice vitale au fonctionnement de la machine ou pice tout faitaccessoire).

2.12.2. Valeurs du coefficient de scurit S

Voici quelques exemples de coefficients de scurit utilis en construction mtallique, coefficient utiliser en labsence de normes ou de codes de bonnes pratiques.

Coefficients de scurit en usage en construction mcanique

Intervalle habituel pour la construction mcanique etmtallique (matriaux ductiles)(vis- vis de la limite lastique);

S = 12 15 2 5. ... . ... .

Intervalle habituel pour les matriaux fragiles(vis- vis de la limite de rupture);

S = 15 2 2 5. ... ... .

Coefficient habituel pour le bois(vis- vis de la limite de rupture);

S = 10

Lors dun calcul au flambage ou au voilement(vis- vis de la limite lastique); S = 3 35 5... . ...

Lors de calculs la fatigue contrainte rpteS fat = 15. contrainte alterneS fat = 3

Coefficient de choc kc = ... . ... ...15 2

Tableau 2.3. -


Mais attention en aucun cas le coefficient de scurit ne doit devenir un coefficientdignorance !

Coefficient de choc kc

Machines rotation rgulire, moteurs lectriques, ventilateurs, pompes centrifuges 1 ... 1.2

Machines pistons, mtiers tisser, machines-outils rotatives, appareils de levage 1.2 ... 1.5

Tamis et transporteurs secousses, cisailles, presses, broyeurs 1.5 ... 2

Machines agissant avec chocs, laminoirs 2 ... 3Tableau 2.4. -

2.12.3. Cas spciaux

Dans certains cas lestimation des coefficients de scurit est rglemente par des normes ou descodes de bonne pratique, par exemple dans : la construction mtallique, le bton arm, les appareils souspression, ...

Ces normes ou codes tiennent compte, pour ltablissement du coefficient de scurit, de facteurspropres. Exemple, dans le cas des roulements ou des dents dengrenage, les codes et normes prennent enconsidration la vitesse de rotation et la dure de fonctionnement envisage.

2.13. Notion de contrainte admissible

Alors que Rm et Re sont des caractristiquesnaturelles du matriau, la contrainte admissible est uneinvention des calculateurs, par ailleurs fort commode,appele aussi pour cette raison, contrainte de calcul.

En fonction de ce qui a t dit auparavant sur lancessit absolue de maintenir une marge de scuritentre les contraintes maximales de service rellementprovoques par les charges et la rsistanceultime du matriau (Rm et Re) , on va faire en sorte queles contraintes maximales de service nexcdentpas une limite appele contrainte admissible,infrieure Rm ou Re et valant une fraction de Rm ou Re.

Dans toute structure stable, on aura donc toujours la double ingalit :

contrainte relle contrainte admissible R ou Re m (q. 2.72.)

Dans un problme de vrification, on vrifiera quil en est bien ainsi; dans un problme dedimensionnement, on donnera la pice des dimensions pour quil en soit ainsi; dans un problme derecherche de la capacit portante, on partira de lhypothse que les contraintes relles valent la contrainteadmissible.

Que vaut cette contrainte admissible ? En fonction de ce qui a t dit ci-dessus, on aura :

fig. 2.40. -


1) Dans le cas dun matriau ductile, la contrainte admissible adm en traction-compression estobtenue en tenant compte dun coefficient de scurit S par rapport la limite dlasticit Re :

adm e admpR

Sou

RS

= = 0 2. (q. 2.73.)

Remarques :1) En technique on ne fera aucune diffrence entre Re la limite lastique et Rp 0.2

la limite de proportionnalit 0.2 %. Dans la suite du cours Re reprsenteraaussi bien lun que lautre.

2) Quand il sagit de la contrainte admissible de compression, on notera adm compou . cadm

2) Si le matriau est fragile (bton,...), pour le bois et dautres, la contrainte admissible adm sedterminera partir de la rsistance la rupture Rm et non plus partir de Re difficile ouimpossible obtenir :

adm mRS

= (q. 2.75.)

Il convient de noter que la valeur de la contrainte admissible dun matriau se base sur unecaractristique mcanique significative du matriau. Ainsi par exemple, pour les matriaux possdant unersistance la compression trs trs nettement suprieure celle la traction, on parlera de contrainteadmissible la compression et non la traction. Pour une maonnerie de briques, qui, en raison de sa trsfaible rsistance la traction, nest pratiquement jamais sollicite quen compression, on prconise unecontrainte admissible la compression comprise entre 80 et 150 N/cm2.

Comme on va le voir ci-aprs pour lacier, le bois et le bton, les normes indiquent clairement lesdiffrentes valeurs des contraintes admissibles a adopter en fonction du cas de sollicitation si bien quengnral, pour ces matriaux, le calculateur naura pas de souci se faire pour la fixation de ces contraintesadmissibles. En revanche, pour dautres matriaux, la prudence simpose pour le choix ou le calcul de ceparamtre car cela constitue toujours une opration dlicate entre toutes .

3) Valeur de la contrainte admissible gnralise

Nous pouvons adopter, en labsence de toute rglementation spcifique, la contrainteadmissible suivante dans les cas davant-projet :

adm e mfat c

R ou RS S k

= (q. 2.76.)

Notations : ReRmSSfatkc

limite lastiquelimite de rupturecoefficient de scuritcoefficient de scurit vis--vis de la fatiguecoefficient de choc

N/mm2N/mm2---


Application 2.4. Un fil de cuivre une charge de rupture de 650 N/mm et de limite lastique de 580N/mm. Quelle sera la charge maximale que pourra supporter un fil de 0.2 mm avant de casser ? Quellesera la charge maximum admissible si on considre un coefficient de scurit gal 3 ?

Application 2.5. Quelle charge peut reprendre cettechape, si elle est excute en acier A 355 C et tenantcompte dun coefficient de scurit de 4 ?

fig. 2.41. -

Application 2.6. Une tige de vrin mesurant 150 mm de longueur, est sollicite en compression par uneffort de 100000 N. Quel sera le diamtre de celle-ci sachant quelle est en acier ?R N mme = 540

2

Coefficient de scurit .S = 35.

Solution :Recherche de la contrainte

La section du fil vaut :

A d mm= = = 2 2

2

40 24

0 0314.

.

= = = = =R NA

N R A Nm m 650 0 0314 20 4. .

Charge maximale admissiblePour un matriaux ductile, nous avons :

adm eRS

N mm= = =5803

1933 2.

N A Nadm adm= = = 1933 0 0314 61. . .

Solution :Contrainte admissible :

adm eRS

N mm= = =3554

88 75 2.

Section sollicite :( )A mm= =4 15 10 600 2

Effort admissible :N A Nadm adm= = = 88 75 600 53250.

Solution :Contrainte admissible :

adm eRS

N mm= = =54035

154 2.


Section de la barre :

= = = =NA

A N mm100000154

649 3 2.

Diamtre de la tige :

A d d A mm mmtige= = =

=

2

44 4 649 3 28 76 30. .

2.14. Autre critre de dimensionnement

Jusqu prsent, nous navons considr quun seul critre dans le calcul des dimensions quilconvient de donner une structure sollicite par des forces connues : la rsistance de cette structure,cest--dire sa capacit de reprendre les charges sans atteindre le stade de ruine par dpassement descontraintes permises. Ctait le critre de la contrainte admissible.

Mais lon sait que sous laction des sollicitations, toute structure, la plus lmentaire soit-elle(par exemple un cble), se dforme. Si elle est correctement calcule, elle se dforme lastiquementcest--dire reprend sa forme initiale ds que cessent dagir les sollicitations. Pensons la Tour Eiffel dontle sommet se dplace de quelques dizaines de cm sous laction du vent et/ou de lensoleillement; la simpleplanche de bois sur laquelle on marche pour franchir un foss accuse aussi une flche apprciable; pensonsenfin au tremplin de piscine ou de gymnastique. Et pourtant, ces structures rsistent car en aucunendroit, on na dpass les contraintes permises, sinon elles se seraient probablement effondres.

Peut-on dans tous les cas admettre les dformations lastiques maximales quune structure peutainsi prendre en service ?

La rponse est videmment ngative pour diverses raisons :

< il est psychologiquement dsagrable de sentir le sol se drober sous nos pieds (impressiondinscurit);

< une structure dforme est inesthtique;< lcoulement des eaux peut tre contrari par un creux non dsir;< les matriaux de parachvement appliqus sur la structure porteuse ne suivent pas les

dformations sils sont raides (verre, cramique, pltre, ... );< les cloisons, non-porteuses par dfinition, ont besoin dtre soutenues en chacun de leur point

sous peine de se fissurer;< une antenne parabolique situe au sommet dune tour doit conserver rigoureusement son

orientation dorigine;< etc ...

Conclusion importante :

Le seul critre de rsistance ne suffit pas dans le dimensionnement ou la vrification dunestructure; il convient galement et en outre de veiller ce que les dformations lastiques maximalesrellement prises en service ne dpassent pas une limite appele dformation admissible.

En gnral, les valeurs de ces dformations admissibles sont imposes par les cahiers des chargeset/ou et par les normes.

Le plus souvent, on limite la flche maximale f dune poutre flchie une fraction de sa porte;par exemple :


, ou , ou .f l200

l300

l500

Nous y reviendrons plus longuement au chapitre consacr la flexion.

On veillera donc vrifier que :

en traction - compression; l ladmen flexion;f f adm

et, dans le cas de la torsion, que langle de dformation soit :

. adm

2.15. Appuis et charges

2.15.1. Types dappuis et ractions correspondantes

Une structure, quelle quelle soit, repose sur le sol au moyen de ce que lon nomme gnralementappuis, au travers desquels vont transiter les flux des forces venant du sol et que lon a appelesractions. Celles-ci tant des forces comme les autres, il nous faudra dterminer, pour chacune delles,sa direction, son sens, son point dapplication ou sa ligne daction, et son intensit.

La manire avec laquelle sexercent les ractions est trs complexe. Aussi, dans le but decaractriser aisment les appuis essentiels que lon utilise dans la pratique pour attacher des constructionstelles que poutres, ponts et charpentes diverses leurs fondations, la Rsistance des Matriauxdistingue-t-elle trois types dappuis usuels (dans le plan) :

A) Appuis simple ou rouleau (glissant, mobile)

Degr de libert : deux (rotation, glissement).

Le seul et unique dplacement quun tel appui empche est undplacement suivant une direction perpendiculaire au plan desrouleaux, tant vers le haut que vers le bas.

La raction R est donc perpendiculaire au plan des rouleauxet sapplique la structure au point o celle-ci sappuie sur le sol. Sonsens et son intensit ne seront dtermins que par le calcul (voir ci-aprs). Cet appui permet la libre dilatation des ouvrages.

Lattache dunestructure au moyen dunebarre bi-articule (noncharge) ou dun cble estun appui galement du typeappui simple. La raction R sexerce sur la structure danslaxe des 2 articulations ou du cble.

fig. 2.42. - Appuis simple.

fig. 2.43. - Barre bi-articuke.


B) Articulation (appui fixe)

Degr de libert : un (rotation).

Le seul et unique mouvement quun tel appui autorise est unmouvement de rotation de la structure autour de larticulation. Laseule chose que lon sait a priori de la raction R est que sa lignedaction passe par larticulation. Sa direction, son sens et son intensitne seront dtermins que par le calcul (voir 2.14.2. ci-aprs). Cetappui permet dattacher la structure au sol mieux que ne le fait lappuisimple.

Afin de faciliter ltablissement des quations dquilibre, onremplace presque toujours R par ses composantes Rx et Ry suivant 2axes xy perpendiculaires entre eux. Leurs ligne daction passent parlarticulation et ont une direction connue. Il restera, par le calcul, dterminer leur sens et leur intensit.

C) Encastrement

Degr de libert : aucun.

Un tel appui nautorise aucun mouvement de la structure. Ilsuffirait lui seul attacher la structure la fondation (par exemplela poutre-console).

Les efforts que la fondation exerce en raction sur la structure,au travers de cet appui, sont de 2 types :

< une force R, comme dans le cas de larticulation, dont laligne daction passe par le centre de lencastrement et qui,ici aussi, sera presque toujours remplace par ses 2composantes Rx et Ry;

< un couple de force dont le moment M apppel momentdencastrement.

Le sens et lintensit de Rx et Ry seront dtermins par le calcul (voir 2.14.2.) ci-aprs).

Remarque importante :Les 3 types dappuis vus ci-avant sont en fait des fictions de la Rsistance des Matriaux,modliss dans le but de simplifier la rsolution des problmes concrets; en raison desimperfections, des frottements, des jeux ... , un appui rel nest jamais parfaitement rouleau, ni une articulation parfaite, ni un encastrement parfait. La ralit rsulte souventdun mlange entre les 3 configurations vues. Ainsi par exemple, dans un appui supposarticul, pourrait natre un petit moment dencastrement cause dun lger blocage delappui, moment pour lequel la structure nest pas calcule. Maintes occasions nouspermettront dans la suite dapprcier la pertinence de cette remarque. mais malgr cela,nous nous en tiendrons, sauf indication contraire, aux 3 types dappuis classiques commecela se fait couramment, dans un but de simplification. Lessentiel, ce stade, est derester attentif la prsente remarque.

fig. 2.44. - Articulation.

fig. 2.45. - Encastrement.


2.15.2. Types de charges

Il convient de dfinir les notions de charge uniformment rpartie ainsi que celle de chargeponctuelle.

A) Charges concentres (ponctuelles)

Les charges ponctuelles sont celles qui sont ramasses sur une trs petite surface :< tel une poutre sappuyant sur une autre poutre qui lui est perpendiculaire (contact entre une

solive et la poutre principale dun plancher);< une colonne reposant sur une poutre;< une charge pendue (cas dun palan) fixe ou roulante;< lattache dun cble une structure; ...

B) Charges rparties

Mais lorsque le contact entre la cause de la charge et la structure directement porteuse de cettecharge ne peut plus tre considr comme ponctuel, on a affaire une charge rpartie qui sexprime :

< soit en N/m2 quand la structure porteuse est un lment plan, par exemple la neige sur un toit,la foule sur un plancher, le vent sur un bardage;

< soit en N/m (newton par mtre (courant)) quand la structure porteuse est un lment longcomme cest le cas dune poutre.

Un mur lev sur la longueur dune poutre ou une matire rpartie sur la surface dun planchersont des charges rparties. Elles sont dites uniformment rparties quand elles ont une valeur constantesur toute la longueur de la poutre ou sur toute la surface du plancher.

Le cas le plus courant dune charge uniformment rpartie exprime en N/m est le poids propredune poutre : ainsi par exemple, pour le profil HE 100 A, dont la masse par mtre vaut 16.7 kg/m,chaque mtre de cette poutre est soumis une charge de 167 N (avec ) uniformment rpartieg m s 10 2

sur ce mtre.

fig. 2.46. - Charge ponctuelle.

fig. 2.47. - Charge rpartie.


Plus gnralement, une charge uniformment rpartie de p N/m se reprsente sur les schmascomme ci-contre; p est sens reprsenter toutes les charges uniformment rparties agissant sur la poutre,cest--dire le poids propre et les autres charges. Physiquement parlant, cela signifie que chaque mtre.de poutre, compt dans le sens de sa longueur, encaisse une charge de p newtons.

Suivant la position sur la poutre du point dapplication dune charge concentre, la dformationet les efforts internes que la poutre subit varient beaucoup. Il en est de mme, si galit de poids total,la charge est concentre au lieu dtre rpartie.

Conclusions :< Une poutre peut tre capable de supporter une charge rpartie de valeur donne et peut ne pas

pouvoir supporter la mme charge applique localement.< Une charge concentre locale peut agir trs diffremment sur une poutre suivant lemplacement

de son point dapplication. A ce point de vue il y a toujours intrt reporter la charge aussiprs que possible des appuis.

2.15.3. Calcul des ractions dappui

Nous avons vu que les ractions dappui sont a priori inconnues en intensit et en sens. Avanttoute tude de la structure, il nous faut lever cette indtermination.

Chaque type dappuis introduit un certain nombre dinconnues (avec leur signe) :

< lappui simple, une seule inconnue, R; < larticulation, 2 inconnues, Rx et Ry;< lencastrement, 3 inconnues, Rx, Ry et MP.

Le principe de rsolution est assez simple; nous lillustrerons sur la base de quatre exemples.

A) Premier exemple : poutre sur 2 appuis avec charge ponctuelle

Soit une structure lmentaire, la poutresur 2 appuis dextrmit, charge dune forceconcentre verticale.

Donnes : a, b et P.

On commence par dtacher la poutre deses fondations et on remplace les appuis par lesractions correspondantes, cest--dire les forcesque le sol exerce, en raction aux actions (ici P),sur la poutre, et cela selon les principes vus auparagraphe prcdent; on obtient le schma ducorps rendu libre qui rsume toutes lessollicitations qui sexercent sur la structure, enprovenance du monde extrieur elle. Cessollicitations sont les actions P et les ractionsen A et B. Le problme prsente 3 inconnues : RA,RB x et RB y. On suppose que ces 3 forces agissentsur la poutre comme indiqu sur le dessin (sens).

fig. 2.48. - Poutre sur 2 appuis et charge ponctuelle.


On applique ensuite au schma du corps rendu libre les 3 quations dquilibre :

RA et RB y agissent bien dans le sens suppos au dpart sur le schma du corps rendu libre.Si lon avait trouv, pour RA par exemple, une valeur ngative, cela aurait signifi que RAagissait de sens contraire au sens prsuppos au dpart.

Il est toujours licite -et souvent commode- de remplacer lune et/ou lautre des quationsdquilibre et/ou par une quation du type o le point choisi estf i x = 0 f i y = 0 ( )m fP i = 0un point diffrent de celui choisi pour la 3ime quation dquilibre. Ainsi dans notre exemple, f i y = 0aurait pu tre avantageusement remplace par o A est le point choisi. Cela donne :( )m fA i = 0

( ) + + =P a R a bB y 0

do lon tire directement linconnue RB y.

Dailleurs, en toute gnralit, le systme dquations , et f i x = 0 f i y = 0 ( )m fP i = 0peut tre remplac par un autre systme de 3 quations, galement dquilibre :

, et ( )m fA i = 0 ( )m fB i = 0 ( )m fC i = 0

o les points A, B et C, par rapport auxquels les moments sont calculs, sont 3 points du plan, non-situssur une mme-droite.

Une structure pour laquelle les 3 seules quations dquilibre suffisent la dtermination desractions dappui est appele structure (extrieurement) isostatique. Quand tel nest pas le cas,cest--dire si le nombre dinconnues est suprieur au nombre dquations, la structure est dite(extrieurement) hyperstatique.

Trois exemples de telles structures sont donns ci-contre. Ils feront lobjet dun chapitre spcialdans la suite de cours.

Mais ltudiant sappliquera dores et dj en dmontrer le caractre hyperstatique.

B) Deuxime exemple : 3 forces concourantes

Soit la grue dapplique,sollicite par la force P et appuyeen A, B et C au moyen de 3 appuis rouleau.

Donnes : a, b et P.

Le dessin ci-contre (partiedroite) est le schma du corps rendulibre.

Le monde extrieur la grueexerce sur celle-ci les 3 ractionsinconnues RA, RB et RC qui sontperpendiculaires aux surfacesdappui et qui sont supposes, assezlogiquement, agir dans le sens fig. 2.49. - 3 forces concourrantes.


indiqu.

Ecrivons les 3 quations dquilibre :

f R Ri x B A = =0 0f R Pi y C = =0 0

( )m f P b R aA i B = + =0 0

Soit :

etR R ba

PA B= = R PC =

Les 3 ractions inconnues sont prsent dtermines en intensit et leur sens est celui indiqu surle schma car les valeurs obtenue sont positives.

C) Troisime exemple : poutre avec charge rpartie

Dans le calcul des ractions dappui, et seulement dans ce cas-l, il est toujours licite -et conseill-de remplacer la charge uniformment rpartie par sa rsultante, dont la ligne daction se situe au milieude la zone o agit la charge uniformment rpartie. Ainsi, dans le schma ci-dessous, la charge puniformment rpartie sur une longueur a de la poutre peut-elle tre remplace par une charge concentredintensit ap agissant comme indiqu.

Ecrivons les 3 quations dquilibre :

f Ri x A x = =0 0( )f R a p Ri y A y B y = + =0 0

( ) ( ) ( ) ( )m f a p b a R a bA i B = + + + =0 2 0

Soit :

( ) ( )R a pa ba bA y

= +

+

1

2

fig. 2.50. - Poutre avec charge rpartie.


( ) ( )R a pa ba bB

=+

+

2

Les 3 ractions inconnues sont prsent dtermines en intensit et leur sens est celui indiqu surle schma car les valeurs obtenue sont positives.

D) Quatrime exemple : poutre console

Soit une poutre-console, encastre en A, soumise une charge concentre P de directionquelconque (angle ) et dune chargeuniformment rpartie p agissant sur une partie ade la porte 1 de la poutre.

Donnes : a, l, , P et p.

En fonction de tout ce qui prcde, onpeut dresser le schma du corps rendu libre.

Les 3 ractions inconnues RA x, Ra y et MAsupposes agir comme indiqu sur le schma ducorps rendu libre, seront dtermines par les 3quations dquilibre :

f R PR P

i x A x

A x

= + = =

0 0cos

cos

Donc RA x est ngatif, cest--dire quelle agit dans le sens inverse de celui indiqu (ce qui est tout fait logique).

f R a p PR a p P

i y A y

A y

= = = +

0 0sin

sin

( )m f M a p l a P l

M a p l a P l

A i A

A

=

=

=

+

02

0

2

sin

sin

Donc le moment dencastrement MA est de sens contraire au sens indiqu initialement (ce qui esttout fait logique). (Ne jamais perdre le sens physique des phnomnes).

fig. 2.51. - Poutre console ou cantilever.


2.16. Principe de superposition

Nous avons vu que les charges constituant les actions sur les structures taient les causes duncertain nombre deffets : les ractions dappui, les contraintes au sein de la matire et les dformations dela structure. La Rsistance des Matriaux a pour mission, entre autres, de calculer ces effets.

Dans la mesure o :< le matriau obit la loi de Hooke ( ), comme cest le cas notamment de lacier, = E< la limite dlasticit nest dpasse en aucun point de la structure, ce qui est toujours le cas si

lon impose que les contraintes soient infrieures la contrainte admissible,< la structure ne se dforme que faiblement sous laction des forces extrieures, ce qui est

toujours le cas dans la pratique courante envisage ici,

alors on constate que :

Cest le principe de superposition des effets des forces.

Ce principe est trs puissant et nous sera de la plus grande utilit travers tout le cours.

On en mesurera tout lintrt dans lexemple suivant :

On tudiera sparment les effets du vent et de la neige sur le portique ci-dessus et on additionneraces effets.

Un autre exemple nous est donn par la flexion compose :

flexion compose = flexion + traction (ou compression).

Nous aurons maintes fois loccasion dillustrer et surtout de nous servir de ce principe qui permetde dcortiquer un problme complexe en petits problmes simples, faciles traiter sparment.

Le principe dindpendance des effets des forces est un principe directeur dans la rsolution dela plupart des problmes en rsistance des matriaux.

Prcisons que ce principe nest pas applicable au cas du flambement des pices comprimes.

Leffet global produit par plusieurs forces agissant simultanment est gal lasomme des effets produits par chacune des forces suppose agissant sparment.

fig. 2.52. - Principe de la superposition de forces.


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