Résistance Des Matériaux Mécanique Des Structures

Rsistance des matriaux

Philippe Bouillard

Mcanique des structures

concevoir raliser

exploiter

Introduction (1)

Rsistance des matriaux ou


Objet de la mcanique des structures concept de dimensionnement

le dimensionnement vu par le papa de Calvin ...

approche purement exprimentale ...

essai de chargementavant mise en service

(80 camions = 1300 tonnes !)

Pont de Normandie

Introduction (1)

Rsistance des matriaux ou


Objet de la mcanique des structures concept de dimensionnement

Les outils de la mcanique des structures lois de la mcanique (cf. cours MMC)

caractrisation exprimentale des matriaux

Introduction (2)

MAIS hypothses simplificatrices art de lingnieur

champ dapplication trs vaste constructions (gnie civil ou btiments) mcanique (machines, moteurs, avions) chimie (rservoirs, chaudires) lectricit (cbles, pylnes, centrales) physique (physique du solide) matriaux (physique des matriaux) .

btiments ...

J. von Spreckelsen, La Grande Arche de la Dfense, Paris, 1982-89http://www.bouygues.fr

ouvrages dart ...

Pont sur le Tage, Lisboa

constructions mcaniques ...

Flux de contrainte dans arbre mcanique A. H. Burr, Mechanical analysis and Design

rservoirs ...

silos ...

centrale lectrique ...

panneaux solaires ...

biomcanique ...

Y.C. Fung, Biomechanics, Springer-Verlag, New York, 1990

Introduction (3)

tude de la rsistance, de la rigidit, des instabilits.

la rsistance

la rigidit ...

E. Beaudoin & M. Lods, Ecole en pleine air Suresnes, 1932-35P. Gssel & G. Leuthaser, Larchitecture au XXme sicle, Taschen, 1991

les instabilits ...

Casa Grande Ruins, Hohokam village, Arizona, USA, 12me sicle

Introduction (3)

tude de la rsistance, de la rigidit, des instabilits.

Deux aspects la vrification, le dimensionnement.

Vrification des structures

tant donn un pice dont les dimensions sont

fixes, quel est le degr de scurit structurale ?

quelles sont les actions ?

quelles sont les caractristiques matrielles ?

Dimensionnement des structures

tant donn un degr de scurit exig, quelles

sont les dimensions optimales donner une

pice ?

avant-projet

vrification

itration

cest une dmarche de conception

Plan du cours (1)

Introduction

rappels de mcanique des milieux continus

notion de scurit structurale

actions sur les structures

appuis et liaisons

lments structuraux

la poutre

Plan du cours (2)

1re partie : analyse lastique traction et compression flexion simple flexion cisaillante flexion gauche flexion compose introduction la torsion calcul des dplacements introduction aux systmes hyperstatiques

Plan du cours (3)

2me partie : analyse limite proprits mcaniques des matriaux traction plastique flexion plane plastique charge limite de structures hyperstatiques

3me partie : instabilits flambement de pices longues instabilits nergtiques

Rfrences bibliographiques

Ouvrage de rfrence principal F. Frey, Analyse des structures et milieux continus. Vol.2:

mcanique des structures, Presses polytechniques etuniversitaires romandes, Lausanne, 1994

Systme daxes et convention de signe C. Massonnet & S. Cescotto, Mcanique des matriaux,

De Boeck Universit, Bruxelles, 1992

Autres ouvrages (exemples) A. H. Burr, Mechanical analysis and design, Elsevier,

Amsterdam, 1984

G. M. Seed, Strength of materials, Saxe-Coburgpublications, Edinburgh, 2000

Renseignements pratiques

Localisation : Service des Milieux Continus,Bt C, 87 Av. Buyl, 4me tage

Serveur Web : http://www.ulb.ac.be/smc

e-mail : [email protected]

Notes de cours

Modalits dexamen

Lexamen nest pas

un jeu de hasard

ni un test de connaissances

Lexamen est loccasion de dmontrer voscomptences.

2 - Scurit structurale

Rappels de mcanique des milieux continus

Notion de contraintes

Lois fondamentales et quations dquilibre

Notion de dformations

Lois de comportement

Problme gnral de llasticit

Thormes des travaux virtuels

Notion de contraintes

( )( )

dAFd

limTn

0dA

nr

r

=


Allongement ex


Dformation angulaire gxy

+

=i

j

j

iij x

u

xu

21

a

Loi de Hooke

Loi de Hooke + effet de Poisson

Notion de scurit structurale

Dfinition toute structure doit tre conue de manire

rsister, avec une marge approprie, lensembledes sollicitations prvues durant les priodes demontage et d exploitation dure de vie

Conception conception, calculs, excution et entretien doivent

garantir une scurit convenable des structurescontre lors mise hors service.

Scurit structurale : incertitudes (1)

sollicitations en service

Conception dterministe de la scurit

Coefficient de scurit global S(gQmax en service) ruine dfinition non satisfaisante

Mthode des contraintes admissibles hypothse de linarisation (gomtrique et matrielle)

gsmax en service = sruine le critre de dimensionnement devient

smax en service sruine/g exemple : acier courant

Conception semi-probabiliste

Notion probabiliste de la scurit

historique : CEB 1953, CECM 1978,aujourdhui Eurocodes tous matriaux

vise une scurit mieux dfinie

la vrification des contraintes admissibles ne suffit pas

tenir compte des incertitudes de manire probabiliste

attention la transposition des rgles

exemple du treillis articul

tats limites

Dfinition

tat dans lequel une structure nest plus apte remplirla fonction laquelle elle est destine

tats limites ultimes (ou de ruine) - ELU

ruine, effondrement, structure hors dusage

tats limites de service (dutilisation) - ELS

structure inutilisable, dangereuse mais rcuprable

tats limites ultimes (ELU)

rupture : contrainte excessive,matriau dficient, boulons

perte dquilibre global

instabilits

rupture par fatigue

rupture fragile

dplacements excessifs

tats limites de service (ELS)

structure trop dformable

dplacements localement excessifs

vibrations exagres

fissuration excessive

dgradations

Calculs aux tats limites

but : maintenir la probabilit d atteindreun tat limite infrieur une certainevaleur

approche semi-probabiliste

Etat limite En service En cours demontage

ELU 10-5 4 10-4

ELS 5 10-2 -

ELx : valeurs caractristiques

Notations : indice k

les rsistances caractristiques(proprits mcaniques au sens large)

les actions caractristiques

la valeur caractristique a une probabilit fixepour que les valeurs effectives soient suprieures pour les rsistances infrieures pour les actions

ELx : valeurs de calcul

Notations : indice dim ou d

autres facteurs dincertitude : coefficients depondration

facteurs de rsistance (1)

facteurs de charge(1 si dfavorable, 1 si favorable)

condition de scurit :

Sd Rdim

Actions sur les structures

statique - dynamique

charges permanentes (poids propre)

charges dexploitation (foule, neige, vent, ...)

actions indirectes (T, tassements, fluage ...)

actions dynamiques (vent, machines, ...)

actions exceptionnelles (chocs, sismes, ...)

quilibre global ...

action du vent : effets statiques ...

dpend de la gomtrie, de la direction, ...

actions statiques (pressions, dpressions)

actions du vent :effets dynamiques ...

actions indirectes :effets de temprature ...

actions exceptionnelles : sismes ...

3 - Appuis et liaisons

Appuis et modlisation

appuis usuels : appui dilatation (rouleaux) articulation encastrement

isostaticit des appuis

ractions de liaison

modlisation : schma statique

appui dilatation

appui dilatation ...

articulation

articulation ...

articulation ...

encastrement

encastrement ...

ractions de liaison 2D

schma statique ...

schma statique ...

Structures composes (liaisons)

dfinitions

organes de liaison

force de liaison

analyse des structures composes

liaisons

organes de liaison ...

organes de liaison ...

lments structuraux

Les structures peuvent tre (grossirement) classes en : solides 3D : aucune simplification

coques (minces ou paisses) : Nab + Tab + Mab

plaques (minces ou paisses) : Tab + Mab

membranes (tats plans, tat axisymtrique) : Nab

poutres ou arcs (minces ou paisses) : Nx + Ty + Mz + ...

barres : Nx uniquement

cbles : Nx > 0 uniquement

flexion + cisaillement

effet membranaire +flexion + cisaillement

les coques peuvent tre planes !

N 0

structures en barres ...

Pont de chemin de fer sur le Forth, Edimbourg, Ecosse, 18902,5 km, porte 521 m

structures en poutres ...

Max Berg, Jahrunderthal Breslau, 1911-13P. Gssel & G. Leuthaser, Larchitecture au XXme sicle, Taschen, 1991

structures en plaques ...

P. Schneider-Esleben, Garage Dsseldorf, 1949-50P. Gssel & G. Leuthaser, Larchitecture au XXme sicle, Taschen, 1991

structures en coques ...

arch. E. Saarinen & eng. F. Severud, Universit de Yale, 1953-59P. Gssel & G. Leuthaser, Larchitecture au XXme sicle, Taschen, 1991

4 - La poutre

La poutre : gomtrie

engendr par une figure plane A de sorte que le centre C parcoure une ligne donne (axe ou fibre

moyenne) A reste constamment normal cette ligne les dimensions de A restent petites devant la longueur

la section A varie de manire lente et progressive

si laxe est droit, la poutre est dite prismatique

principe de la coupe : section droite

La poutre : gomtrie

La poutre : nature des forces internes

Coupe S dans une poutre AB liaisons

Rsultantes internes : 3 (2D) ou 6 (3D)

Orientation des axes et des rsultantes

Efforts internes N, T, M

Conventions de signe

forces internes -sollicitations

schma statique

conventions de signe

N > 0 si traction

M > 0 si fibres tendues vers le bas

T > 0 lorsque la partie droite descend

dfinition des sollicitations (2D)

Effort normal

Efforts tranchants

Moments flchissants

Moment de torsion

= A xyy dAT t

= A xdAN s

= A xzz dAT t

= A xz ydAM s = A xy zdAM s

( ) -== A xyxzTx dAzyMM tt

Poutres prismatiques planes

Isostaticit - hyperstaticit

Relation Moment flchissant-Effort tranchant

Exemple : poutre uniformment charge

Exemple : poutre charge concentre

Principe de superposition

Isostaticit - hyperstaticit

Relation M-T

quilibre de translation vertical

quilibre de rotation vertical

( )

)x(qdxdT

0dTTdxxqT

-=

=+++-

( )

TdxdM

0dMM2

dxdxxqTdxM

=

=---+

Dforme des poutres planes

dforme ou ligne lastique

quelques rgles simples

point dinflexion M = 0

les angles sont conservs aux nuds rigides

respecter les conditions cinmatiques

la porte dune poutre ne varie pas

exemple : portique

Les cas de sollicitations

torsion

obliqueflexion

composeflexion

simpleflexion

pureflexion

simpletraction

000000

000000

000000

000000

000000

000000

ationmindnoMMMTTN zyxzy

5 - Traction et compression (simples)

Traction et compression (simples)

dfinition

Traction et compression

mthode inverse on postule le tenseur des contraintes

on vrifie les quations dquilibre

et les quations de compatibilit (!)

postulons

=

00

0ij

st avec s constant

Traction et compression

quations dquilibre en volume satisfaites avec fi=0

quations dquilibre en surface est en quilibre avec N

calcul des dformations vanouissantes

0fiijj =+ t

xx 1NA1rr

=s

-

-=

E00

0E0

00Ea ij

us

us

s

Traction et compression (simples)

quations de compatibilit est satisfait puisque aij est constant

calcul du champ de dplacement

0akrjqpqrijk =dd

EANL

u

.)L.C(AxE

u

xu

MAX

x

=

+=

=

s

e

Scurit des pices tendues (comprimes)

mthode des contraintes admissibles (dterministe)

mthode des tats limites ELU

ELS

ATTENTION : compression flambement !!!

admss

dimd ss

dimd uu

Scurit : exemple

barre en acier soumise N uniquement

mthode des contraintes admissibles

mthode des tats limites ELU :

valeurs usuelles (acier) :

ccl : scurit identique dans les 2 cas

gs

ss eadmAN

==

dimF

dFd AN

NN sg

sg ==

5.1et Fedim === ggss

Dimensionnement

A est le module de rsistance en traction/compression

EA est le module de rigidit en traction/compression

AN

=s

EANL

u =

Prise en compte du poids propre

poids linique p=rgA

effort normal N=P+px

scurit dterministe

ApxP

x+=s

gLP

Aadm

admx

rs

ss

-

Poutre dgale rsistance

s

s

A+dA

A

rgAdx

( )

=

=

=+=+

sr

srrs

rss

gxexpAA

dxg

AdA

gAdxdA

gAdxAdAA

0

Poutre compose de 2 matriaux

1 quation dquilibre

N=N1+N2=A1s1+A2s2 1 condition cinmatique ncessaire

Poutre compose de 2 matriaux

condition cinmatique e1=e2

2211

2

22

1

11

2211

222

2211

111

22

2

11

1

2

2

1

1

AEAENL

u

AN

etAN

AEAEAE

NNetAEAE

AENN

AEN

AEN

EE

+=

==

+=

+=

=

=

ss

ss

Poutre compose de n matriaux

=

=

=

jjj

i

ii

jjj

iii

AENL

u

AN

AEAE

NN

s

Pices composes acier-bton

application de pices compose de 2 matriaux

adhrence bton-acier suffisante - calcul lastique

Pices composes acier-bton

aab

aa

baaabbaa

abbb

b

aa

b

a

A~

nA

AN

nA

AAAN

nn

EE

EE

n

ss

ssss

sssss

=

+=

+=+=

===

=

aa

ab

aa A

~ENL

unA

~N

===s

ss

coefficient d quivalencerapport lacier

Principe de la prcontrainte

un matriau atteint sa limite de rsistance,

lautre pas $ rserve de rsistance

exemples

prcontrainte de compression : bton, boulons HR

prcontrainte de traction : cbles, ressorts

Pices fils adhrents (prtension)

Prtension : modlisation

Observations de Saint-Venant

Observations de Saint-Venant

on montre par exprience et par calculs une distance de lextrmit gale la plus

grande dimension transversale de la pice, larpartition des contraintes normales sur unesection droite est pratiquement uniforme

vrai pour toute perturbation locale par lintroduction de force (force concentre,

appui, cordon de soudure, ancrage, ) dans la transmission des efforts intrieurs

(variation de section, trou, jonctions, )

Principe de Saint-Venant

Dans la section droite dune poutre, ladistribution de contraintes due un systme deforces, appliques une certaine distance de cettesection, ne change pas si lon substitue ces forcesun autre systme, provoquant les mmes effortsintrieurs ; seules changent, sur une longueur gale une deux fois la plus grande dimensiontransversale de la poutre, les contraintes localesprovoques par lintroduction de forces.

Saint-Venant : remarques

contraintes et dformations ne dpendent doncque des efforts intrieurs (sollicitations)

ne permet pas danalyser les zones localementperturbes

validit du principe de Saint-Venant poutres massives

pas poutres parois minces ni poutres en treillis


tape 2 =(2)

tape 4

=(4)

0AP

'

0'NP'N

ba

a

ba

==

==

ss

n"

A"N

"A~P

A"N

"

AEAEAPE

"NAEAE

APE"N

a

b

bb

aa

aa

bbaa

bbb

bbaa

aaa

sss ==-==

+-=

+-=


superposition

tat de sollicitation initial

tat dautocontrainte

b0baa

0a

b0baa

0a

""'

"NN"N'NN

sssss =+==+=

0NN 0b0a =+


application dune force extrieure Q

choix de P pour que les 2 matriaux atteignentleur rsistance

aab

aaaa

A~

nQ

A~

nP

A~Q

A~P

AP

+-=

+-=

s

s

Pices fils sous gaine (post-tension)

b

0b

a

0a

0b

0a

AP

AP

PNPN

-==

-==

ss

Post-tension : modlisation

effort de traction ltape 2

application dune force extrieure Q

abb

aaa A

~nQ

AP

A~Q

AP

+-=+= ss

Proprits de la prcontrainte

la force extrieure modifie peu la prcontrainte

pertes : stabilit dans le temps

bton 15 % acier trs haute rsistance

aaaaaa A

~Q

AP

etA~

PQAP

AA~ >>

->>>>

Effets thermiques

barre homogne, temprature initiale T1

a = coefficient de dilation thermique (1/C)

aacier = abton = 1.2 10-5 /C

lvation uniforme de temprature DT=T2-T1

dilatation thermiqueTth Dae =

Effets thermiques

si structure libre de se dilater, pas de contraintes

si dilatation empche (structure hyperstatique)

TLu th Da=

TEAN Da=

1X hyperstatique

TE0E

T0 thth

th Dass

Daee s -==+=+

Tubes ou anneaux

dfinition : poutre daxe circonfrentiel

chargement radial symtrie de rvolution

Anneaux : modlisation

quation dquilibre

dimensions section droite

Rcipient sous pression

action sur le fond F=pr2p

contrainte longitudinale dans lanneau

qsps

21

t2pr

rt2F

z ===

Rcipient sous pression

z et q sont les directions principales

tat de plan de contraintes

permet le calcul de aij et ui

Saint-Venant

vrai " matriaux

qsss

Tubes longitudinalement indformables

contrainte circonfrentielle cf. rcipient sous pression

contrainte longitudinale

tat plan de dformation (ez=0)

matriau lastique isotrope

quss =z

Treillis articuls

dfinition

ensemble de barres assembles les unes aux autrespar leurs extrmits articules

nud = points de rencontre des barres

schma statique articulations parfaites

axes concourants

actions aux noeuds

Treillis plans

Treillis spatiaux

Gomtrie

triangle = cellule de base du treillis

treillis carr est instable

Condition ncessaire disostaticit

2D : b + r = 2n (3D : b + r = 3n)

b = # barres, r = # ractions, # nuds

attention aux mcanismes internes !!!

quilibre aux nuds

isoler un nud en coupant les barres qui y aboutissent

extrioriser les efforts normaux et les efforts extrieurs

crire les quations dquilibre

Coupe de Ritter

principe de la coupe quilibre des fragments coupe de Ritter

calculer les ractions

coupe idale : coupe 3 barres, 1 seule inconnue

Coupe de Ritter : exemple

effort dans la barre 1

hN1 - cQ - 4cQ = 0 N1 = 5cQ/h

Coupe de Ritter : exemple

effort dans la barre 2

-N2 - 2Q = 0 N2 = -2Q

Quelques nuds particuliers

Barres effort nul

Illustration des pices tendues

pompe huile


treillis articuls

fermes

engins de levage ponts mtalliques


ponts suspendus


ponts haubans


buttons et tirants


effet thermiquedans les chausses

Illustration de la formule des chaudires contraintes circonfrentielles dans les veines

6 - Flexion pure

Flexion pure

dfinition : flexion pure ou circulaire poutre soumise M constant

T=dM/dx T = 0 (!)

Hypothse de Bernoulli

hypothse cinmatique les sections planes restent planes

Bernoulli : mise en quations

yRs

yds

=-

sds

x =e

yx R

y-=e

axe neutre

Ry est le rayon de courbure

Mthode inverse

supposons le matriau lastique linaire(sx=Eex)

postulons

quations dquilibre de translation en volume satisfaites avec fi=0

quations de compatibilit satisfaites car tij linaire

-=

00

0REy

yijt

0fiijj =+ t

quilibre de translation en surface

quations dquilibre de translation en surface

0ydARE

dANA

yA x

=-== s

=A GAyydAor,N=0 y=0 en G !

0dATA xyy

== t 0dAT A xzz == t

quilibre de rotation en surface

quations dquilibre de rotation en surface

Iz = moment dinertie (gomtrique) autour de laxe z (m4)

( ) 0dAzyMA xyxzx

=-= tt

yzy

Ay

A xyI

RE

yzdARE

zdAM ==-= s

zy

A

2

yA xz

IRE

dAyRE

ydAM -=-== s

Iyz = produit dinertie

Flexion plane

My = 0

flexion dans le plan Oxz uniquement

Iyz = 0

axes principaux dinertie

Calcul des contraintes

calcul du rayon de courbure

calcul de la contrainte normale

s = 0 en y = 0 : dfinition de laxe neutre

zx I

My=s

yxx R

EyE -== es

zy EIM

R1

-=

(quation de Navier)

Scurit des pices flchies

contraintes extrmales aux fibres extrmales

(quation dquarrissage)

mthode des contraintes admissibles (dterministe)

mthode des tats limites

ELU & ELS

ATTENTION : fibres comprimes dversement !!!

z

infsup/x I

My=s

-+= /admz

infsup/infsup/ I

Myss

-+ /adminfsup/d ss

Dimensionnement

Iz/ysup/inf est le module de rsistance en flexion

EIz est le module de rigidit en flexion

infsup/

zx

yI

M=s

zy EIM

R1

-=

Forme rationnelle

minimiser sx maximiser Iz

or, maximiser Iz maximiser y

profil idal

zx I

My=s

= A2

z dAyI

2

th 2h

2A

2I

=

2h

Ay

I

thinfsup/

th =

Rendement gomtrique

( )thinfsup/

infsup/e y/I

y/I=h

he=2/3 he1/2 he=1/3 he=1/4 he=1/6

Remarques (1/3)

limitations du profil en I progrs du laminage

encombrement transversal des sections

largeur efficace

rsistance au cisaillement

corrosion

facilit de mise en uvre du profil rectangulaire matriaux peu onreux (bois, bton)

Remarques (2/3)

position de laxe neutre sections dissymtriques

sadm gaux en traction/compression section symtrique sadm diffrents calcul de la section optimale

axe fort - axe faible dune poutre flchie

aucun axe de symtrie : attention la flexion gauche

Bernoulli : valable mme si non homogne transversal(BA, bois, fibres)

Remarques (3/3)

dformation transversale :

effet de Poisson

Moments dinertie gomtriques

la thorie de la flexion fait apparatre des moments

dinertie gomtriques(analogie des moments dinertie du mouvement du solide plan mais ne pas confondre)

Iij est un tenseur dordre 2 (et en a les proprits !)

== A2

zyy dAyII == A2

yzz dAzII = Ayz yzdAI

Moments dinertie des figures planes

moment dinertie par rapport aux axes x et y

(toujours > 0)

produit dinertie

(nul si axe de symtrie)

moment dinertie polaire

= A2

x dAyI = A2

y dAxI

= Axy xydAI

= A2

p dArI yxp III +=

Moment dinertie dun rectangle

3bh

bdyydAyI3h

0

2

A

2basex ===

12bh

bdyydAyI32

h

2h

2

A

2centralx ===

-

Formule de Huygens/Steiner

Ix et Iy sont donc minimaux au centre

abAII

AaII

AbII

CC

C

C

yxxy

2yy

2xx

+=

+=

+=

Calcul par dcomposition

dcomposition en somme algbrique

( ) += i2ixx AbII Ci

Axes principaux dinertie

moments dinertie Ix et Iyextrmaux

produit dinertie Ixy nul si un axe (au moins) de symtrie

dtermination des axesprincipaux par loi dechangement daxes(cercle de Mohr)

Poutres composes de 2 matriaux

nb

b~ b

a =aay I

~EM

R1

-=a

a I~My

=sn

ab

ss =

Effets thermiques

un gradient de temprature fait apparatre unedformation de flexion

Illustrations des poutres flchies

flexion des poutres de construction


revtements routiers sous poids des essieux


flexion dun arbre mcanique


augmenter Iz

raisonnement intuitif


transmission des efforts de flexion


nageur

7 - Flexion simple (cisaillement)

Flexion simple

M 0 et T 0

la relation reste valable car

leffort tranchant perturbe peu les contraintes normales

la courbure est galement peu sensible leffort tranchant

leffort tranchant est la rsultante des contraintes de

cisaillement = A xyy dAT t

zx I

My=s

Calcul des contraintes de cisaillement

thorie de Jourawski

calcul de leffort rasant car rciprocit descontraintes tangentielles txy = tyx

Effort rasant

comparons les assemblages de sections carres a x a

sections et

6a

2yI

12a

2I

3

max

z

4

z

=

=

section

( )

( )6a2a

yI

12a2a

I

2

max

z

3

z

=

= est 4x plus rigide

est 2x plus rsistant

Calcul de leffort rasant

0dSTdSTdSTdSTlatS

)n(xcoupe

)n(x'

)x(x

)x(x =+++

-

0dSTS

)n(x =quation dquilibre de translation horizontal(en labsence de forces de volume fx=0)


( )[ ]

0ddSx

0dxddxdSx

0dxddSxdxx

0dSTdSTdSTdST

AB nxx

coupe nxx

coupe nxxx

S

)n(xcoupe

)n(x'

)x(x

)x(x

lat

=+

=+

=+-+

=+++

-

l

l

l

ts

ts

tsspoutre prismatique=0, pas de forcetangentielle en surface

effort rasant


( )

( )l

l

l

-=

-=

-=

SI

T

SI

Td

ydSI

Td

z

ynx

z

y

AB nx

z

y

AB nx

t

t

t

moment statique de S

valeurmoyenne

Supposons que (hypothse de Bernoulli)Or,

Do,y

I

T

xT

dxdM

z

yxy =

=

s

yI

M

z

zx =s

Thorie de Jourawski

rcapitulation des hypothses simplificatrices

fx = 0

pas de force de surface tangentielle

poutre prismatique

Bernoulli

calcul de la contrainte moyenne

Cas particulier

dans le cas o AB est parallle Oz

( )b

SI

T

z

yxy

xyyx

yxnx

=

=

-=

t

tt

tt

formule deJourawski

Centre gomtrique et moment statique

coordonnes du centre gomtrique

o apparaissent les

moments statiques

=

A

Ac

dA

xdAx

=

A

Ac

dA

ydAy

= Ax ydAS = Ay xdAS

Moment statique

coordonnes du centre gomtrique deviennent

consquences le moment statique de A par rapport un axe passant par

le centre gomtrique est nul

le moment statique dune surface daire S est gal auproduit de laire S par la distance de son centregomtrique laxe

A

Sx yc = A

Sy xc =

Autres contraintes dues Ty

contrainte normale sy

contrainte tangentielle txz

montre que ne dpend pas de z quetxz est linaire en z

( ) ( )y

yy bT

qTy

-=s toujours ngligeable

0fzyx xxzxyx =+

+

+

tts

zxz

t

Sections massives

moment statique

calcul des contraintes

( )

( ) G

22

2h

y

yy2h

21

y2h

bS

y4h

2b

bydyS

=

+

-=

-==

A

T

23

y4h

I2

T

ymaxxy

22

z

yxy

=

-=

t

t

Structures parois minces

La formule de Jourawski

donne une bonne prcision

pour les parois minces

flux de cisaillement

( )t

SI

T

z

yxnxn

-= tt

( )-=

-==

s

0z

y

z

yxn dstyI

T

tS

I

Ttf t

effort rasant (N/m)

S

n

Section parois minces ouverte

Poutre prismatique t variable

( )t

SI

T

z

yxn

-=t

constant

variable

txn max. lorsque S/t max.

Section en U

s

A

b

t

tty

tw

h

t

b

y tw

t

h/2F

F

t

ttb

tb

Fwd e

ab

tmax

Section en U

contraintes dans les ailes

( )

z

2yxz

z

z

yxz

s

0

I4

htbT

2bt

F

sI2

hT

2h

stdstyS

==

=

==

t

t

rsultante aile infrieure

Section en U

contraintes dans lme

( )

+=

+=

+

-=

+

+

-+=

2bth

12ht

I

TF

tI2

bthT

I8

hT

t2bth

y4

h21

I

T

2

y2h

y2h

t2

tbhS

23w

z

yw

wz

y

z

2ymax

xy

w

22

z

yxy

engligeabl

correctionw

t

t

Section en U

inertie en flexion

conclusion :

solution approche

12bt

22

bth12

htI

323w

z ++=ngligeable

yw TF =

w

yxy A

T=t

Section en I

contraintes tangentielles dans lme

tmax

twm

w

ywm A

Tt

Facteurs de concentration de contraintes


2nom

nom

maxt

dP4

K

ps

ss

=

=

sous effort normal


3nom

nom

maxt

dM32

K

ps

ss

=

=

sous moment flchissant

Section parois minces ferme

poutres tubulaires ou caissons

la thorie de Jourawski ne sapplique pas

aisment car on ne dispose plus dun endroit

o le flux de cisaillement a une valeur connue

a priori

Dformation due leffort tranchant

lhypothse de Bernoulli pas rigoureusement satisfaite

( )utg +== 12E

GavecG1

xyxy

txy pas uniforme

les sections gauchissent

hypothse de Bernoullignralis

7 - Flexion simple (cisaillement)

Flexion simple

M 0 et T 0

la relation reste valable car

leffort tranchant perturbe peu les contraintes normales

la courbure est galement peu sensible leffort tranchant

leffort tranchant est la rsultante des contraintes de

cisaillement = A xyy dAT t

zx I

My=s

Calcul des contraintes de cisaillement

thorie de Jourawski

calcul de leffort rasant car rciprocit descontraintes tangentielles txy = tyx

Effort rasant

comparons les assemblages de sections carres a x a

sections et

6a

2yI

12a

2I

3

max

z

4

z

=

=

section

( )

( )6a2a

yI

12a2a

I

2

max

z

3

z

=

= est 4x plus rigide

est 2x plus rsistant


0dSTdSTdSTdSTlatS

)n(xcoupe

)n(x'

)x(x

)x(x =+++

-

0dSTS

)n(x =quation dquilibre de translation horizontal(en labsence de forces de volume fx=0)


( )[ ]

0ddSx

0dxddxdSx

0dxddSxdxx

0dSTdSTdSTdST

AB nxx

coupe nxx

coupe nxxx

S

)n(xcoupe

)n(x'

)x(x

)x(x

lat

=+

=+

=+-+

=+++

-

l

l

l

ts

ts

tsspoutre prismatique=0, pas de forcetangentielle en surface

effort rasant


( )

( )l

l

l

-=

-=

-=

SI

T

SI

Td

ydSI

Td

z

ynx

z

y

AB nx

z

y

AB nx

t

t

t

moment statique de S

valeurmoyenne

Supposons que (hypothse de Bernoulli)Or,

Do,y

I

T

xT

dxdM

z

yxy =

=

s

yI

M

z

zx =s

Thorie de Jourawski

rcapitulation des hypothses simplificatrices

fx = 0

pas de force de surface tangentielle

poutre prismatique

Bernoulli

calcul de la contrainte moyenne

Cas particulier

dans le cas o AB est parallle Oz

( )b

SI

T

z

yxy

xyyx

yxnx

=

=

-=

t

tt

tt

formule deJourawski

Centre gomtrique et moment statique

coordonnes du centre gomtrique

o apparaissent les

moments statiques

=

A

Ac

dA

xdAx

=

A

Ac

dA

ydAy

= Ax ydAS = Ay xdAS

Moment statique

coordonnes du centre gomtrique deviennent

consquences le moment statique de A par rapport un axe passant par

le centre gomtrique est nul

le moment statique dune surface daire S est gal auproduit de laire S par la distance de son centregomtrique laxe

A

Sx yc = A

Sy xc =

Autres contraintes dues Ty

contrainte normale sy

contrainte tangentielle txz

montre que ne dpend pas de z quetxz est linaire en z

( ) ( )y

yy bT

qTy

-=s toujours ngligeable

0fzyx

xxzxyx =+

+

+

tts

z

xz

t

Sections massives

moment statique

calcul des contraintes

( )

( ) G

22

2h

y

yy2h

21

y2h

bS

y4h

2b

bydyS

=

+

-=

-==

A

T

23

y4h

I2

T

ymaxxy

22

z

yxy

=

-=

t

t

Structures parois minces

La formule de Jourawski

donne une bonne prcision

pour les parois minces

flux de cisaillement

( )t

SI

T

z

yxnxn

-= tt

( )-=

-==

s

0z

y

z

yxn dstyI

T

tS

I

Ttf t

effort rasant (N/m)

S

n

Section parois minces ouverte

Poutre prismatique t variable

( )t

SI

T

z

yxn

-=t

constant

variable

txn max. lorsque S/t max.

Section en U

s

A

b

t

tty

tw

h

t

b

y tw

t

h/2F

F

t

ttb

tb

Fwd e

ab

tmax

Section en U

contraintes dans les ailes

( )

z

2yxz

z

z

yxz

s

0

I4

htbT

2bt

F

sI2

hT

2h

stdstyS

==

=

==

t

t

rsultante aile infrieure

Section en U

contraintes dans lme

( )

+=

+=

+

-=

+

+

-+=

2bth

12ht

I

TF

tI2

bthT

I8

hT

t2bth

y4

h21

I

T

2

y2h

y2h

t2

tbhS

23w

z

yw

wz

y

z

2ymax

xy

w

22

z

yxy

engligeabl

correctionw

t

t

Section en U

inertie en flexion

conclusion :

solution approche

12bt

22

bth12

htI

323w

z ++=ngligeable

yw TF =

w

yxy A

T=t

Section en I

contraintes tangentielles dans lme

tmax

twm

w

ywm A

Tt



2nom

nom

maxt

dP4

K

ps

ss

=

=

sous effort normal


3nom

nom

maxt

dM32

K

ps

ss

=

=

sous moment flchissant

Section parois minces ferme

poutres tubulaires ou caissons

la thorie de Jourawski ne sapplique pas

aisment car on ne dispose plus dun endroit

o le flux de cisaillement a une valeur connue

a priori

Dformation due leffort tranchant

lhypothse de Bernoulli pas rigoureusement satisfaite

( )utg +== 12E

GavecG1

xyxy

txy pas uniforme

les sections gauchissent

hypothse de Bernoullignralis

Assemblages

dfinition : jonction de 2 (ou +) pices

moyens dassemblage : boulons anneaux

clous goujons

cordons de soudure clavettes

colles rivets

chevilles axes

...

Assemblages

assemblages longitudinaux section droite monolithique

assemblages transversaux (joints) prolongement dune poutre suivant son axe

nuds solidarisent 2 (ou +) pices dont les axes nont pas la

mme direction

Joints

Articulations

Assemblages

objectifs raliser la transmission

des forces (actions, ractions dappui) des efforts intrieurs (N, T, M) des contraintes

tre techniquement simple peu encombrant facile raliser et entretenir durable dans le temps

Calcul des assemblages

analyse thoriquement trs complexe

essais en laboratoires E.L.U.

assemblages standardiss

cisaillement direct et rupture des assemblages

calcul des assemblages longitudinaux

Cisaillement direct

ne peut tre modlis par une poutre

la notion d effort intrieur n a pas de sens (Saint-Venant)

pas tat de cisaillement pur

N = F

FdAA m

= t

Cisaillement direct : calculs pratiques

tadm est dtermin par des essais

N = F

admm AF tt =

exemples

Assemblages longitudinaux

calcul du flux de cisaillement f = T S / Iz

2R

F

yAS

ITS

R

11

111

z

11

=

=

=

2R

F

yAyAS

ITS

R

22

22112

z

22

=

+=

=


2R

sF

nt

t~

yt~bS~

I~S~

TR

ba

aa

a

a

=

=

=

=

2 ranges, espacement s


kR

F

yAS

I~TS

R

111

z

1

1

=

=

=

k clous

8 - Flexion gauche (oblique)

Flexion gauche (oblique)

dfinition

My + Mz (Tz + Ty)

MyMa

Convention de signe

Mz positif si fibres tendues du ct y > 0

My positif si fibres tendues du ct z > 0

Ty positif si partie de droite descend (y > 0)

Tz positif si partie de droite descend (z > 0)

Flexion oblique (axes principaux)

superposition My = - M cos a et Mz = M sin a

zI

My

IM

y

y

z

zx +=s

Mz > 0

My < 0

Axe neutre

a

aa

s

tgI

Iyz

0zIsinM

yIcosM

0

z

y

yz

x

=

=+-

=

Flexion gauche (axes quelconques)

superposition dans nimporte quels axes

mais Iyz 0

contraintes tangentielles :

thorie de Jourawski gnralise

( ) ( )ll

y,SITz,S

I

T

y

z

z

ynx

-

-=t

9 - Flexion compose

Flexion compose

dfinition

superposition N + M

Exemple : mur de soutnement

Flexion compose

yI

MAN

z

zMNx +=+= sss

AI

MN

y z0 -=position de laxe neutre

Noyau central

sollicitation quivalente par effort normal excentr

Mz = N e

position de laxe neutre

noyau central : position limite du changement de

signe de s dans la section

AeIy z0 -=

Section rectangulaire

6h

e

bhA

12bh

I

2h

y

3

z

0

=

=

=

=

Exemple : chemine

Exemple :bton prcontraint

Matriaux sans rsistance traction

pas de rsistanceen traction N

Me

ReM

RNR

R

===diagramme

quivalent

bc3N2

2c3b

2bdR max

maxmax === sss

Exemple : contreforts

max

0c

AcomprimbordN

s

Flexion compose oblique

zI

My

IM

AN

y

y

z

zx ++=s

Mz < 0

My > 0

zI

Ney

I

Ne

AN

y

z

z

yx ++=s

Noyau central

laxe neutre a pour quation

la distance de E

laxe neutre vaut

remarque

si E G, ey et ez 0 d sx = N/A

0zI

Ney

I

Ne

AN

y

z

z

y =++

2

y

z

2

z

y

Ie

I

eA1

d

+

=

Noyau central : sections simples

2

42

Ir

A1

detrd;4r

I;rA

====p

p

Torsion uniforme

dfinition

torsion uniforme (pure, de Saint-Venant)

Mx = constante

gauchissement libre (non entrav)

seules contraintes txy, txz arbre cylindrique : symtrie de rvolution

les sections planes restent planes

les angles au centre sont conservs

Torsion libre vs. entrave

Mx

Mx

Torsion dun arbre cylindrique

0

0

dxcos

dx'dx

1cos

...2

1cos

x

x

2

=

+-=

s

ea

a

aa

les gnratricesdeviennent hlicodales

centre de torsion

Torsion dun arbre cylindrique

cinmatique

dxd

rdx'dd'cc

rd'dd'ccx

rr

x qgg

qq

q=

====

abcd devient a b c d = abc d

Loi constitutive

tat de cisaillement pur

trq = G grq (loi de Hooke)

loi constitutive en torsion

gnralisationdx

dGr xr

qt q =

dxd

GJM xxq

= J = constante de torsion (m4)

Poutres section circulaire

px

A

2x

A rx

xr

Idx

dG

dArdx

dG

rdAM

dxd

Gr

q

q

t

qt

q

q

=

=

=

=

inertie polairepR4/2

rpartition linaire

p

xmax I

RM=t

Poutres section circulaire

applicable aux sections circulaires

pleines

ou creuses

Essai de torsion

angle de torsion total

essai de torsion

coefficient de Poisson

4xxx

xGR

LM2GJ

LML

dxd

pq

q ===

4x

x

R

LM2G

pq=

( ) uu += 12E

G

Scurit des pices tordues

matriaux ductiles

critre dterministe

E.L.U.

3e

es

t =

3adm

adms

tt =

(cf. Von Mises)

dimd3 tt

Scurit des pices tordues

matriaux fragiles

critre dterministe

E.L.U.gt

tt uadm =

dimud tt

Autres sections

pas de solution analytique solution approche

sections elliptiques

solution de Saint-Venant

analogie hydrodynamique

p

4

I40A

J avec ( )4A

baI 22p += abA p=et

Sections massives

section rectangulaire2

xAmax bc

M

att ==

2x

B bc

M

bt =

3bcJ g= ( )cbfct,, =gba

Section ouverte parois minces

analogie de la membrane

2x

max

3x

x

bt

M3

3bt

dxd

GM

=

=

t

q

Section ouverte parois minces

remarques

id. solution section massive avec b/c

bonne approximation lorsque b/t 10

concentration de contraintes dans les angles rentrants

congs de raccordement

J augmente

Section ferme parois minces

analogie de lhydrodynamique

MxMx

ouvertx

fermx MM >>

JtMx

max =t t2MxW

t =

Forme rationnelle des sections droites

sections fermes

augmenter laire sectorielle

risque dinstabilits prvoir des diaphragmes ou des raidisseurs

Synthse calcul lastique des poutres

pour chaque cas de sollicitation, identifiez les

critres de

rsistance : contraintes, module de rsistance

dformabilit : dplacements, module de rigidit

et les risques dinstabilit

11 - Calcul des dplacements

Calcul des dplacements

motivation

tats Limites de Service (ELS)

limiter la dformabilit (les dplacements) des structures

souvent, critre plus exigeant que celui de rsistance

structures hyperstatiques

dtermination des inconnues hyperstatiques

Dforme due la flexion

flexion simple plane

axe initialement rectiligne, actions perpendiculaires

petits dplacements (linarisation gomtrique)

effets de M et de T dissocis

on cherche lquation de la dforme de laxe

= ligne lastique

zy EIM

R1

-=

( )

EIM

"y

"y'y1

"yR1

23

2y

-=

+

=

Ligne lastique

On a :

Or,

linarisationgomtrique

Flche et rotation

qRdds -=

1cos,tg,12tg

quations diffrentielles des poutres flchies

( )

( )dxdT

qcarq""EIy

dxdM

TcarT'"EIy

M"EIy

-==

=-=

-=

( )EIq

y 4 =

Cas particulier : EI constant

quation diffrentielle du4me ordre

Conditions aux limites

conditions sur y flche impose (appuis)

conditions sur y rotation impose (encastrement)

conditions sur y moment flchissant impos (extrmit libre)

conditions sur y effort tranchant impos (extrmit libre)

Conditions aux limites

0y0T

0y0M

==

==

0y0M

0y

==

=

0y0

0y

==

=

qdg

dg

yy

yy

=

=

Intgration directe

Intgration directe

Intgration directe

avantage

on trouve y(x) en tout point

inconvnient

en gnral, on cherche y et q en quelques points

trouver une mthode de calcul plus adapte

Remarques (1)

cas de la flexion pure

M = cste y= 0 y est une parabole

1/R=-M/EI y est un cercle

lapproximation vient de

valable uniquement si les dplacements sont petits( )

"y'y1

"yR1

23

2y

+

=

Remarques (2)

grands dplacements

le principe de superposition nest plus valable

les sollicitations dpendent de la configuration

dforme

Thorme des travaux virtuels

T.V. : forces relles - dplacements virtuels

T.V. : forces virtuelles - dplacements rels

( )iV ijijS i

niV ii

'udV'adS'uTdV'uf "=+ t

( )

( ) quilibreen','T,'f

dVa'dSu'TdVu'f

ijn

ii

V ijijS in

iV ii

t

t

"

=+

Intgrales de Mohr

choisir les forces et les contraintes virtuelles en

quilibre en plaant une force unitaire dans le

sens du dplacement cherch

d = dplacement cherch

( ) d1dSu'TdVu'fS i

niV ii =+

Contribution de M

( )

dxEI

'MM

dxdAyEI

'MM

dVEIMy

Iy'M

dVa'

A

22

VV ijij

=

=

=

l

l

t

Contribution de N

( )

dxEA

'NN

dxdAEA

'NN

dVEAN

A'N

dVa'

A2

VV ijij

=

=

=

l

l

t

Contribution de T

dxGA

'TT

dxdAb

S

I

AGA

'TT

dVGIbTS

IbS'T

dVa'

A 2

2

2

VV ijij

=

=

=

l

l

c

tc = facteur de correction

Intgrale de Mohr

dxGA

'TTEA

'NNEI

'MM

++=

l

cd

moment flchissant daux actions relles

moment flchissant d une forceunitaire place au point o loncherche le dplacement dans ladirection et le sens de celui-ci

En gnral,dx

EI'MM

=

l

d

Calculs pratiques

dxMM1 l

l

Tableau de

Exemple

M

2qL

2

M L

A

A

flche en A

EI8qL

L2

qL41

EIL 42

==d

rotation en A

EI6qL

12

qL31

EIL 32

-=-=d

y

y

Exemple

EIqL

3845

4L

8qL

34

12

11

EIL

y42

max =-+

=

Effets thermiques lvation uniforme de temprature

DT = Taprs - Tavant gradient thermique (constant)

DT/h

Tx Dae =

yhT

x

=D

ae

DT-DT/2

DT/2

h/2

h/2

Effets thermiques contribution du gradient thermique

contribution de llvation uniformedx'M

hT

dVyhT

Iy'M

dVa'V

V ijij

=

=

l

Da

Dat

dx'TN

dVTA

'NdVa'

VV ijij

=

=

l

Da

Dat

Intgrale de Mohr

dx'NTdx'MhT

dxGA

'TTdx

EA'NN

dxEI

'MM

+

+

++=

ll

lll

DaD

a

cd

Effet de leffort tranchant

GBT

GAT

=

= cg

cA

B =

aire rduite

dxdT

GAy

GAT

yc

c ==

Effet de T : quation diffrentielle

La contribution additionnelle due T est donne par

La ligne lastique est solution de

GAq

EIM

y c--=

+=+=

==

2

24

TM

2

T

4

M

L

h5,21

EIqL

3845

yyy

qGA8L

y;EI

qL384

5y c

Effet de T : exemple

poutre isostatique sur 2 appuis, charge q uniforme

section rectangulaire en acier

12h

AI;5

6 2==c 6,2GE;3,0 ==u

=y

yLh

%5,2y

y101

:Lh TT

Effet de T : aires rduites

Gauchissement entrav

rsultats valables si la poutre est libre de gauchir

OK si T varie continment

Intro aux systmes hyperstatiques

illustration sur un systme 1x hyperstatique

(a) (b)

(b) = superposition charge rpartie + raction

2qL

EI4L

2

A =dflche due q

2AA LX

EI3L

-=dflche due XA

8qL

3XA =

12 -Proprits mcaniques des matriaux

et modles non linaires

Proprits mcaniques des matriaux

motivation

modlisation macroscopique

donnes ncessaires au dimensionnement

conditions relles vs. conditions de laboratoire

Proprits mcaniques des matriaux

essais

essai de traction/compression

essai de torsion (cf. chapitre sur la torsion)

essai de fatigue

essai de duret (pour mmoire)

essai de rsilience (effet de la temprature)

essai de fluage

Conditions des essais

grandeurs mesures tij, aij, t, T

matriaux isotropes et homognes

temprature ambiante (sauf si effet de T)

phnomnes indpendants du temps

(sauf fatigue, fluage, relaxation, recouvrance)

essais statiques (sauf fatigue)

Essai de traction (compression)

essai purement unidimensionnel

rsultat considr valable pour la flexion des poutres

conditions de lessai

sections planes restent planes

distribution uniforme des contraintes et dformations

Essai de traction

Essai de traction

Essai de traction

Essai de traction

Matriaux ductiles : acier doux

limite dlasticit

limite de ruptureen traction

allongement la rupture

eR

Matriaux ductiles : aluminium

limite de proportionnalit

limite dlasticit conventionnelle

( 0.2%)

Striction

contrainte nominale

A = section initialeAN

=s

contrainte vraie

A = section relleAN

=s

Bandes de Lders

Matriaux fragiles

exemples : verre, bton, fonte

limite de rupture en traction

limite de rupture en compression

Essai de compression

Essai de compression

Essai brsilien

Essai de fatigue

dfinition

dcroissance de la rsistance du matriau aux

actions variables (cycliques) avec le temps

courbes dendurance (de Whler)

grande dispersion dans les rsultats

limite de fatigue conventionnelle

Essai de fatigue : courbe de Whler

pour les mtaux : )MPa(7737,0 tfat + ss

Rupture par fatigue

amorage

prsence de dfauts concentration de contraintes

propagation

vitesse de propagation

rupture

facis de rupture typique

Effets de la temprature

rupture fragile

essai de rsilience

temprature de transition ductile-fragile (TTDF)

variation des proprits mcaniques

les proprits mcaniques diminuent avec T

protection contre les incendies

Essai de rsilience

rupture dune prouvette sous laction dun mouton

nergie ncessaire la rupture ( )hhmgW 0 -=

Essai de rsilience

temprature de transition ductile-fragile (TTDF)

rupture fragile dun matriauductile possible si simultanment :

prsence dun dfaut sollicitation par traction basse temprature

Variation des proprits

protection contre les incendies : la norme dfinit RF = la dure de

rsistance au feu (1h, 2h, )

protection des structures mtalliques par flocage, enrobage, ...

Effets diffrs

fluage accroissement de dformation dune pice

soumise des forces constantes

relaxation diminution des contraintes dans une pice

soumise une dformation constante

recouvrance rcupration aprs fluage des proprits initiales

Fluage

essai de fluage sur mtal haute temprature

prouvette de traction soumise contrainte

dilatation instantane(lastique)

==

dtd

Vxx ee cste=

e )striction(

e

Fluage

contrainte applique reste modre ( service) allongement total se stabilise e

Rupture par fluage

essai de courte dure

Relaxation

essai allongement constant

dtds

s =

Recouvrance

Modles mathmatiques des matriaux

lois constitutives

modles unidimensionnels indpendants du temps

modles lastiques

modle lastique linaire

modle lastique non linaire

modle lastique parfaitement plastique

modle lastoplastique crouissage

Modles lastiques

es E= ( )ess =

loi de Hooke 1D caoutchouctravaux virtuels

Modles lastoplastiques

( ) )ementargdch(siE)ementargch(si

)Hooke(EsiE

e

ee

ee

eeeesseess

seees

=

==

matriaux palier plastique important (acier) et calculs plastiques

Modle avec crouissage

( ) )ementargdch(siE)ementargch(si

)Hooke(siE

epe

p

sseesssssssses

==

dtd

E t s=

A

As

EE s=

module tangent

module scant

Modles non linaires

hypothse de linarit matrielle abandonne

les relations du type

ne sont plus valables !

mais les modles plus ralistes ...

IMy

;EIM

R1

;EANL

uy

=-== s

Critres rhologiques

motivation

jusqu prsent, tout 1D. quarrive-t-il en 2D ? 3D ?

critre de Tresca

critre de von Mises

critre de la courbe intrinsque

pour mmoire

Loi de Hooke

on se base sur le modle lastique linaire isotrope

( )[ ]

( )[ ]( )[ ]

GE1

GE1

GE1

xzxzyxzz

yzyzxzyy

xyxyzyxx

tgssuse

tgssuse

tgssuse

=+-=

=+-=

=+-=

( )[ ]kkijijij 1E1

a tudtu -+=

Critre de Tresca

bandes de Lders : plastification par glissement

contrainte tangentielle maximale

exemple : poutre en flexion plane

22eIIII sss =

-

eIIII* ssss =-=

contrainte decomparaison

e22* 4 stss =+=

Critre de von Mises

( ) ( ) ( ) 2e2IIII2IIIII2III 2sssssss =-+-+-

( ) ( ) ( ) e2IIII2IIIII2III* 21

ssssssss =-+-+-=

quation ducylindre

critre

Critre de von Mises : exemples

cisaillement pur

poutre en flexion plane

comparaison et expriences

e22* 3 stss =+=

ee

e 577,03s

stt ===

13 - Traction plastique

rappel : dimensionnement lastique

milieu continu

linarit gomtrique

linarit matrielle : loi de Hooke

objection : loi de Hooke

nglige ladaptation lastoplastique

quel est le degr rel de scurit ?

Traction plastique

e*max ss =$

Thorie de la plasticit

milieu continu

modle lastoplastique parfaitement plastique

dchargement lastique

on cherche la charge limite (de ruine)

Traction plastique

pice homogne

Npl Ne = A se

pice compose de 2 matriaux

condition cinmatique (Bernoulli) reste valable

e1 = e2

1e1e A~

N s=

2e21e1pl AAN ss +=

Traction plastique 2 matriaux

Courbe force-dplacement

non linaire

Bnfice d la plasticit

dpend des matriaux et des sections

$ aussi un gain d lhyperstaticit

exemple : Acier A1 et Aluminium A2, A1=A2, n=3 et se1=se2 dimensionnement lastique

dimensionnement plastique

1e1e12

11 A34

NA34

nA

AA s==+=

1e12e21e1pl A2AAN sss =+=

Gain

5,1N

N

e

pl =

Proprits importantes

isostaticit de la charge limite

la charge limite est statiquement dtermine

conception de la ruine - ELU

contraintes rsiduelles et dilatations permanentes

Contraintes rsiduelles

Npl

dchargement lastiquematriau 1

dchargement lastiquematriau 2

0AA

A~N

A~

n

N

2,rsd21,rsd1

1

pl1e1,rsd

1

pl2e2,rsd

=+

-=

-=

ss

ss

ss

autocontrainte le matriau 2 ne peut pasreprendre sa formeinitiale car $ eper


une structure ne se comporte plastiquement qu

sa premire mise en charge, aprs quoi elle se

comporte lastiquement grce aux contraintes

rsiduelles produites par la dformation

plastique initiale

14 - Flexion plastique plane

matriau lastique parfaitement plastique

critres de dimensionnement

moment plastique

rotule plastique

hypothses

pas influence de N et T, M constant

Bernoulli

Flexion plastique plane

Sections doublement symtriques

Dimensionnement lastique

M Me (rappel) moment lastique maximal

courbure lastique maximalee

max

ze y

IM s=

z

ee

y EIM

R1

-==y

Dimensionnement lastoplastique

Me M Mpl les fibres suprieures et infrieures plastifient

simultanment

quation dquilibre de translation (N = 0)

laxe neutre est donc toujours au centre de gravit la distance ye (voir figure) est donn par

0dAA

=s

yee

ey =

Charge ultime

le moment ultime est donn par

( ) e2/Ae

Ae

Apl

2AS2

dAy2

dAy

ydAM

s

s

s

s

=

=

=

=

Z module plastique (m3)moment statique de la demi-section


section de largeur b et de hauteur h module de rsistance lastique

module de rsistance plastique

gain (facteur de forme)

e

2

e

2

max

z

6bh

M6

bhyI

s==

( ) e2

pl

2

4bh

M8

bh4h

2h

b2AS s===

5.1M

M

e

pl ==j

on dispose de 3 critres

rendement lastique (rappel)

rendement plastique

facteur de forme

mesure la rserve de rsistance en flexion

Flexion plastique plane : profil idal

( )thinfsup/

infsup/e y/I

y/I=h

ththpl

plpl Z

ZM

M==h

e

pl

M

M=j

Flexion plastique plane : profil idal

he=2/3hpl0.76j=1.15

he1/2hpl0.64j=1.27

he=1/3hpl=0.5j=1.5

he=1/4hpl0.42

j=1.7

he=1/6hpl=0.33

j=2

j nest pas le seul critre !

partons de Me M Mpl lors d un dchargement, il subsiste une courbure

permanente et des contraintes rsiduelles

Dchargement

-=

max

ersd

yI

Mss

Sections un seul axe de symtrie

lastique lasto-plastique

plastique

la position de laxe neutre est donn par ( ) -=A 12e AA0dA ss

Axe neutre plastique

laxe neutre plastique divise la section en 2 aires gales

le moment plastique est donn directement par

( )21 yy2A

Z +=

Pices composes

laxe neutre se dtermine par lquation

souvent rsolue par ttonnements

=A 0dAs

Loi moment-courbure

relation chaque instant entre moment et courbure

on prfre un diagramme non dimensionnel

M/Me en fonction de y/ye

emax

ze y

IM s=

z

ee EI

M-=y


Etat lastique

M Me courbure lastique

zEIM

-=y

ee

ez

z

e

MM

EIEI

MM

yy

yy

=

--

=

Etat lastoplastique

Me M Mpl le moment lastoplastique peut tre calcul aisment par

calcul des rsultantes et bras de levier (voir figure)

-=

-=

-=

+

+

-=

2e

pl

2e

2

e

2e

2

e

eeeeee

hy

34

1MM

hy

34

14

bhM

3y

4h

bM

y34

by21

y2h

y2h

bM s

s

ss

Etat lastoplastique

Or, ltat lastique (Bernoulli)

2h

y

MMlorsque2h

avecy

ee

eeee

e

yy

yeye

=

===

-=

2e

e

pl

e 31

1M

M

MM

yy

Etat plastique

5.1M

M

MM

e

pl

e

e

=

yy

Lois moment-courbure pour sections droites

lastique

lastoplastique

plastique

Flexion plastique plane

notion de rotule plastique

courbe moment-courbure

la poutre a un comportement lastique parfaitement

plastique : elle reste lastique jusqu linstant o le

moment plastique Mpl est atteint, puis elle flchit

plastiquement moment constant.

pas de plastification due T ou N

localisation des dformations (de la courbure)

Rotule plastique

rellocalisation de courbure dans CD

AC et DB restent lastiques

modle simplifilocalisation de courbure en Epoutre quasi-articule en E

Rotule plastique

rotule est un terme abusif car la rotation nest pas libre

Charge limite des structures hyperstatiques

poutre bi-encastre 2x hyperstatique(en fait 3)

charge totale : Q = qL

moment lastique maximal

charge limite lastique

12Lq

MMM2

eBAmax ===

LM

12Q ee =


les moments dencastrement provoquent lapparition

de deux rotules plastiques :la poutre est isostatique.

Les moments dencastrementvalent donc au maximum

12Lq

MMM2

r2BAmax ===


si on continue augmenter q,il apparat une troisime

rotule plastique.La poutre est isostatique et on a

pl

2r3 M28Lq

=

L

M16Q plpl =

charge limite plastique

mcanisme de ruine

Gain d lhyperstaticit

rserve de rsistance des structures hyperstatiques

j34

M

M

1216

Q

Q

e

pl

e

pl ==

gain d la redistribution entreles sections

Courbe charge-flche

lastique

plastique

lasto-plastique

doit rester faiblepar hypothse

15 - Instabilits

la conception de structures exige aujourdhui

conomie

lgret

matriaux haute rsistance

rduction progressive des sections rsistantes

contraintes en service importantes

Instabilits

danger dinstabilit dans toute structure comprime

flambement (compression pure)

dversement (flexion)

voilement (torsion)

phnomnes dinstabilit

locaux (barres de treillis, voilement, )

globaux (flambement densemble, ...)

Types dinstabilits

flambement plan

flambementpar torsion

flambementspatial

seul flambementtudi ici

Instabilits locales : exemple

voilement de lme mincedune poutre en acier.effet de leffort tranchant

Instabilits globales : exemple

flambement densemblede la membruresuprieure des poutres entreillis dun pont dechemin de fer(Russie, vers 1890)

Flambement des poutres

flambement par divergencela poutre se drobe leffort normal de

compression en flchissant transversalement

le phnomne est non linaire

il doit exister une flexion initiale

exemples : courbure initiale, excentrement de

leffort normal ...

Hypothses de modlisation

une tude rigoureuse ncessite la prise en compte

des non linarits gomtriques (grands dplacements)

des non linarits matrielles

ici, on postule

grands dplacements mais rotations modres

linarit matrielle (loi de Hooke)

yT

Courbure initiale

La poutre est lgrement courbe

1cos;sin;tg1,dxdy

tg 0000000

0 ===

Autres causes de flexion initiale

y y

Excentrement de la charge Charges axiales et transversale

Exemples dapplication : ressorts, tuis lunettes ... phnomne non linaire :

il faut se placer dans la configuration dforme

Thories non linaires du flambement

actions des forces sur la configuration dforme le principe de superposition nest plus valable

souvent, le flambement se produit alors que lastructure est peu dforme hypothse des rotations modres (2me ordre)

le flambement est accentu par la plasticit phnomne non pris en compte ici

Modlisation du flambement

( )

( )EI

,...F,yMy

,...F,yMM

EIM

R1

yR1

-=

=

-=

=quation

non linaire !

quation rsoudre

rotations modres

flexion plane

Poutre droite comprime excentriquementL

F F

e xx

WW

WW

y

y(x)

( )

( ) 0yeEIF

y

yeFM

=++

+=

Poutre droite comprime excentriquement

( )

ekxcosCkxsinCy

ekyky

0yeEIF

y

21

22

-+=

-=+

=++ quation de la dformeposons k2=F/EI

SGEH+SPENH

Equation de Helmholtz non homogneEDP 2me ordre coeff. constants

( )( ) ( )2kLcos

eC

0C

02Ly

02Ly

2

1

=

=

=

=-conditions aux limites


( )

-===

-=

12

kLseceyya

12

kLcos

kxcosey

0max (formule de la scante)

quation de la dforme(pas linaire en F !)

0a12

kLsec0k0F ==== la tangente a pour quation

EI8L

Fea2

=

321321 aaaFFF DDDDDD


EI8L

Fea2

= flche linaire de M = Fe

( )2kLcosFe

Mmax =

2

2

crL

EIF

n22

kLssi0

2kL

cos

p

pp

=

+==

charge critique indpendante de e !

Poutre comprime avec courbure initiale

( )

( ) 0yyky

yyFM

02

0

=++

+=

L

F F x

x

WW

WW

y0y(x)

EI=cste

y


( )

Lx

sinakyky

Lx

sinaxy

022

00

p

p

-=+

= courbure initiale

Equation de Helmholtz non homogneEDP 2me ordre coeff. constants

( )( ) 0Ly

00y

=

=conditions aux limites

( )cr

cr0

22

20

FF1

FFa

2Lya

Lx

sin1

Lk

ay

-==

-=

pp

mme Fcr


cr0 F

Faa = flche linaire

-+=

cr

cr0max

FF1

FFa

aFM

2

2

crL

EIF p=

charge critique indpendante de a0 !

autres cas : 2cr

L

EICF =

toujours indpendant de la flexion initiale

Limitations des rsultats obtenus

hypothse des rotations modres

linaire

rotations modres

grands dplacements

F > Fcr est thoriquement possible pratiquement les dplacements sont dj trop grands

( )( )

EI,...F,yM

y1

y

23

2-=

+

Flambement par bifurcation

Fcr est indpendant de l origine de la flexion

initiale et de son importance

il existe une charge critique mme si la poutre est

parfaitement rectiligne, libre de toute force

transversale et soumise une force de compression

parfaitement centre

flambement eulrien par bifurcation

Flambement par bifurcation

compressionpure

point de bifurcation= coexistence de

2 situations dquilibrecompression et flexion initiale

0elim

le flambement par bifurcation est un cas limite (poutre parfaite)il n existe pas mais donne une bonne approximation de Fcr

L

F F x

x

WW

WW y

y(x)

0yky

FyM

2 =+

=

Thorie dEuler

EI=cste

y(x) est l esquisse de la dforme= mode de flambement

(dpend des conditions dappui)quation de Helmholtz

kxcosCkxsinCy

0yky

21

2

+=

=+

solution gnrale

( )( ) pnkL

0ytrivialcas

0kLsinC

0C

0Ly

00y

1

2

==

==

==

conditions aux limites

Thorie dEuler

2

22

L

EInF

p= modes de flambement

2K

2

cr L

EIF

p=

Thorie dEuler : gnralisation

charge critique dEuler

proportionnel EI (module de rigidit en flexion)

quel I ? le plus faible !

LK = longueur de flambement (dpend des CL)

permet de trouver une approximation de la chargecritique quelles que soient les conditions dappui

Longueur de flambement

esquisser le premier mode (respect des appuis !)

IAL

E

AL

EIAF

2K

2

2K

2cr

crpp

s ===

lancement

nombre sans dimensions

quantifie la sensibilit au flambement

lancementIAL2K2 =l

0 l < 20 : risque faible20 l < 50 : risque moyen

50 l < 80 : risque fort80 l : risque extrme

Validit de la thorie dEuler

hypothse de linarit matrielle (loi de Hooke)

valable si-= p2

2

crE s

lps

-=p

eE

sl

(limite de proportionnalit)

Autres formes dinstabilit

flambement dversement

voilementcloquage

Flambement des pices industrielles

imperfections = dfauts invitables imperfections gomtriques

poutres pas rectilignes

forces toujours lgrement excentres

dimensions relles diffrent des dimensions nominales

imperfections matrielles contraintes rsiduelles

matriau htrogne

Imperfections gomtriques


Dispersion des caractristiques

Importance des imperfections

rle dcisif des imperfections

() gomtriques flambement par divergence

() matrielles affaiblissement de la rsistance

le flambement a toujours lieu par divergence

la charge critique dEuler est nanmoins utilise dans les

mthodes de dimensionnement

Résistance Des Matériaux Mécanique Des Structures

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