CH3_IncertRisco

CAPTULO III

TOMADA DE DECISO COM

INCERTEZA E RISCO

TOMADA DE DECISO 36

Dalila Fontes ANLISE DE DECISO Faculdade de Economia.

Tomada de Decises

Primeiro Passo

i. Identificar decises alternativas.

ii. Identificar consequncias possveis.

iii. Identificar acontecimentos incertos.

iv. Identificar estados possveis.

Segundo Passo:

a) Valorar consequncias ou estados associados com

Decises

Acontecimentos incertos

Terceiro Passo:

Associar probabilidades aos estados possveis associados a

acontecimentos incertos.

TOMADA DE DECISO 37


Decises com Incerteza

Neste caso s os primeiro e segundo passos interessam.

Alguns critrios de escolha (segundo passo):

1. Optimista maximizar o lucro mximo (Maximax)

2. Pessimista maximizar o lucro mnimo (Maximin)

3. Savage combinao dos dois critrios anteriores:

Escolhe-se um factor de optimismo.

Calcula-se o lucro ponderado.

(lucro mximo)+(1- )(lucro mnimo). Escolher a alternativa que maximiza o lucro ponderado.

4. Menor custo de oportunidade

Calcular o custo de oportunidade para cada deciso.

(lucro da melhor deciso) (lucro da deciso em causa) Escolher a deciso associada ao menor custo de

oportunidade

TOMADA DE DECISO 38


Decises com Risco

Alguns critrios de escolha (segundo passo):

1. Valor esperado Decises que se repetem Decises nicas, mas que representam uma pequena

parte do todo Neutro em relao ao risco

2. Utilidade Esperada Utiliza valores adimensionais

Permite considerar diversos factores

Permite incorporar a atitude em relao ao risco

Determinao das Probabilidades (terceiro passo):

1. Perguntar directamente

2. Confrontar o agente de deciso com apostas at

encontra uma que envolve montantes (a ganhar ou perder) que o torne indiferente ao resultado da aposta.

Arranjar uma aposta onde um dos lados nitidamente favorecido.

Arranjar uma outra onde o outro lado favorvel. Repetir este processo at os valores convergirem.

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3. Comparar duas lotarias com os mesmos benefcios

associados (A e B). Uma dependente do resultado do acontecimento incerto em causa. A outra tem

probabilidades p e 1-p (lotaria de referncia). Usar um valor p1 qualquer.

Se a de referncia melhor p1 demasiado elevado escolhe-se p2 < p1.

Caso contrrio p1 demasiado baixo escolhe-se p2> p1.

Prosseguir at encontrar p para o qual indiferente.

4. Modelos de Probabilidades

Identificar as caractersticas do acontecimento incerto.

Identificar a distribuio que se reveja nelas. Encontrar parmetros de ajuste aos valores por via directa.

5. Informao Histrica

6. Simulao

7. Probabilidades Revistas (Informao Adicional) Recolha de informao adicional

Clculo das probabilidades condicionadas

Clculo das probabilidades conjuntas Clculo das probabilidades totais

Clculo das probabilidades posteriori

TOMADA DE DECISO 40


Exemplo

No incio de 1984, duas empresas petrolferas (Pennzoil e Getty Oil) decidiram fundir-se. Mas antes de qualquer documento ter sido assinado

uma terceira empresa surge em cena. A Texaco ofereceu um preo

substancialmente melhor e Gordon Getty, que controlava a maior parte da

empresa, desfez o negcio com a Pennzoil e vendeu Texaco.

A Pennzoil sentiu-se lesada e como tal decidiu por um processo, em

tribunal, Texaco alegando que esta tinha ilegalmente interferido no

negcio Pennzoil-Getty. No fim do ano de 1985 a Pennzoil ganhou o

processo e foi-lhe concedida uma indemnizao no valor de 11.1 bilies de

dlares (a maior indemnizao alguma vez atribuda nos estados unidos at referida data). A Texaco recorreu da sentena e consegui que esta fosse reduzida para 2 bilies de dlares, mas juros e penalizaes fizeram com que o total fosse 10.3 bilies de dlares.

O CEO da Texaco disse que se tivesse de pagar alegaria falncia. Alm

disso, estava disposto a levar a situao ao tribunal supremo alegando que

a Pennzoil no tinha seguido as normas regulamentadas pela Security and

Exchange Commission durante as negociaes com a Getty Oil.

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Em abril de 1987 a Texaco propos Pennzoil um pagamento de 2 bilies

de dlares. O CEO da Pennzoil acha que um pagamento entre 3 e 5 bilies

de dlares justo.

O que deve o CEO da Pennzoil fazer? Quais so as suas opes?

Deve aceita os 2 bilies de dlares? Ou deve fazer uma contraproposta?

Se recusar ento tem de enfrentar uma situao com risco.

A Texaco pode concordar em pagar 5 bilies (um valor aceitvel na opinio do CEO da Pennzoil).

Logo parece-lhe razovel recusar e contrapropor um valor de 5 bilies. Se

a Texaco no aceitar ento talvez contraproponha o valor de 3 bilies ou

ento continua com o processo em tribunal.

Representao do problema da Pennzoil atravs de uma rvore de deciso.

TOMADA DE DECISO 42


Questes

Ser a maximizao do dinheiro a receber o nico objectivo?

Que valores, alm de 5 bilies de dlares, se podem contrapropor?

Que valores, alm de 3 bilies de dlares, pode a Texaco contrapropor?

Ser que no faz sentido voltar a negociar o valor da indemnizao

depois da Texaco fazer uma contraproposta?

Que valores para a indemnizao que o tribunal pode atribuir?

No necessrio incluir a hiptese de falncia?

Para podermos resolver o problema falta-nos atribuir probabilidades aos

estados possveis para os acontecimentos incertos.

TOMADA DE DECISO 43


Vamos supor que h 50% de hipteses de a Texaco se recusar a negociar

(j que ambos os CEOs so considerados duros). Alm disso vamos admitir que h 17% de hipteses da Texaco pagar os 5 bilies e 33% de

contrapropor um valor de 3 bilies.

Ficam ento a faltar as probabilidades associadas s decises do tribunal.

Suponhamos que h 20% de hipteses da Pennzoil ganhar (j ganhou uma vez) e um valor um pouco maior, 30% de perder (justificado por um comentrio feito pelo CEO da Pennzoil Fortune). Ento h 50% de probabilidade de a pena ser reduzida para 5 bilies de dlares.

Resoluo da rvore e determinao da soluo.

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Eplogo

Em Abril de 1987 Pennzoil recusou os 2 bilies de dlares oferecidos pela

Texaco.

Poucos dias depois a Texaco ento declarou falncia.

No Vero 1987 a Pennzoil, sendo o maior credor, entregou um plano de

reorganizao financeira para a Texaco. Segundo este plano a Pennzoil

receberia aproximadamente 4.1 bilies de dlares.

Em Dezembro de 1987 as duas companhias finalmente chegaram a acordo,

a Texaco pagou 3 bilies de dlares Pennzoil.

Dominncia

Se se verificar permite eliminar algumas alternativas.

Para a analisar usam-se os perfis de risco acumulado de cada uma das

alternativas.

H dois tipos de dominncia:

1. Determinista

2. Estocstica

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Objectivos Mltiplos

1. Anlise do valor esperado dos diversos objectivos (um de cada vez).

2. Mesmo que alguma alternativa seja pior em todos os objectivos no evidente que possa ser eliminada, pois h ainda a questo do

risco.

3. Valorao dos diversos objectivos/atributos numa escala adimensional.

4. Obteno do benefcio global por agregao do benefcio

associado a cada objectivo.

5. Anlise do valor esperado e risco do benefcio global.

Exemplo

Um estudante tem as seguintes duas hipteses para um emprego de vero:

Trabalhar numa loja na cidade onde vive, recebendo um salrio de 2730, 2320 ou 2047 euros dependendo das vendas conseguidas, no sendo

necessrio trabalhar aos fins-de-semana.

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Trabalhar numa equipa de manuteno florestal, recebendo 2600 euros. A

equipa constituda por outros estudantes que podem vir de qualquer parte

do pas. Os fins-de-semana no so livres e no h a possibilidade de

conviver com outras pessoas que no as que integram a equipa.

O estudante tem dois objectivos: maximizar a remunerao e o divertimento durante os meses de vero. Sabe-se ainda que este identificou cinco nveis

de diverso possveis para o emprego florestal e que ficar na cidade onde

vive proporcionar divertimento com nvel 3.

Suponhamos que o estudante determinou as seguintes probabilidades para

os acontecimentos incertos do seu problema.

Objectivo Nvel Probabilidade Diverso 5 10%

4 25%

3 40%

2 20%

1 5%

Salrio 2730 35%

2320 50%

2047 15%

a) Desenhe a rvore de deciso deste problema. b) Analise as solues alternativas considerando factores de ponderao

70 e 30 para o salrio e diverso respectivamente. Haveria alguma diferena se estes fossem 60 e 40.

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Funo Utilidade

utilizada, pois necessrio modelizar o risco devido:

Aos compromissos envolvidos na tomada de deciso

s diferentes atitudes perante risco

Permite:

Comparar objectivos diferentes j que: adimensional Pode ser normalizada, pois o seu valor absoluto no tem

nenhum significado, V(x)=aU(x)+b

Comparar decises alternativas recorrendo utilidade

esperada

Formalmente:

A funo utilidade U satisfaz as seguintes condies:

U: IR IR

U continua e crescente

A natureza de atitude em relao ao risco define o tipo da

funo utilidade.

TOMADA DE DECISO 49


Tipo de Funo Utilidade:

Cncava

U[x+(1-)y] U(x)+(1-)U(y) onde 0

A semi-recta que une dois pontos da funo tem de estar sobre a funo ou abaixo da mesma

Estritamente cncava representa uma atitude de averso ao risco

Linear

No tem em considerao o risco, logo representa uma atitude neutra em relao ao risco

Convexa

Reflecte uma atitude de propenso ao risco

Neutro em relao

ao risco

Propenso ao risco

Avesso ao risco

TOMADA DE DECISO 50


Derivadas

Funo utilidade crescente U(x) >0

Funo utilidade estritamente cncava U(x) 0, PR < 0, PR=0

Ganho (euros)

Utilidade

TOMADA DE DECISO 51


Determinao da Funo Utilidade

Directamente (Equivalente Garantido/Probabilidades) O agente de deciso atribuiu um valor ao equivalente garantido

(probabilidade) associado(a) a cada uma das alternativas com risco.

Seleccionar dois valores de riqueza fixos, A e B. Propor ao agente de

deciso um jogo onde este pode ganhar o valor A com probabilidade p e o valor B com probabilidade 1-p. O agente de deciso questionado

quanto ao valor C de riqueza garantida (ou p de probabilidade) que aceitaria em troca do jogo descrito, para diversos valores de p (diversos valores de C ).

Se o agente de deciso for avesso ao risco C < p A + (1-p) B.

Famlia de Parmetros A funo utilidade representada por uma famlia de funes, sendo

necessrio determinar o valor do parmetro ou parmetros.

Geralmente usa-se a exponencial U(x)=-e-ax. O parmetro a, coeficiente de averso ao risco, pode ser obtido avaliando um jogo recorrendo ao equivalente garantido.

As funes logartmica e potncia tambm so muito utilizadas, pois tm

a vantagem de que o coeficiente de averso ao risco varia com a riqueza.

Questionrio

Uma forma de deduzir o factor de risco e a funo utilidade recorrendo

a questionrios. Este proporcionam-nos uma boa avaliao qualitativa do

agente de deciso.

TOMADA DE DECISO 52


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Axiomas

Ordenao Ordem de preferncia

Transitividade Se A1 prefervel a A2

Se A2 prefervel A3

Ento A1 prefervel a A3

Reduo Alternativa composta pode ser reduzida a alternativa simples

Continuidade Jogo com consequncias A1 e A2 equivalente consequncia A

garantida (A1 > A > A2)

Substituio Oposto a reduo

Montono Entre dois jogos com mesmos ganhos, escolhe-se o que tiver maior probabilidade associada ao maior ganho

Invarincia A preferncia depende das consequncia e probabilidades

Limites No h consequncias infinitamente grandes

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Paradoxos

Embora geralmente as pessoas concordem com os axiomas expostos nem

sempre as preferncias ou a deciso tomada est de acordo com os

mesmos.

Descrio A atitude em relao ao risco varia com a descrio do problema.

Suponhamos o aparecimento de uma doena para a qual se estima que

resultem 600 mortos. H dois programas que se podem aplicar no combate

referida doena. Por questes oramentais s um ser implementado.

Programa A (j testado): permite salvar 400 pessoas Programa B (experimental): Permite salvar toda a gente com 80% de

hipteses mas h 20% de hiptese de que ningum se

salve.

Qual prefervel?

Suponhamos agora que os dois programas eram descritos da seguinte

forma:

Programa C: 200 pessoas morrem

Programa D: Com 20% de probabilidade as 600 pessoas morrem e

com 80% de probabilidade ningum morre.

Qual prefervel?

TOMADA DE DECISO 55


A maior parte das pessoas escolhe o programa A, mas a maior parte das

pessoa tambm escolhe o programa D.

Programas A e B so descritos em termos de ganhos (nmero de pessoas salvas), enquanto os programas C e D traduzem perdas (nmero de mortes).

Desistir de um projecto que no est a correr bem implica a perda de todos os recursos j usados nesse projecto.

Perdas passadas no podem influenciar decises presentes ou futuras pois

afectam todas as alternativas da mesma maneira.

Princpio por de trs deste paradoxo que a maior parte das pessoas so:

Avessas ao quando lidam com ganhos

Propensas ao risco quando lidam com perdas.

Utilidade

Ganhos Perdas

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Certeza

Paradoxo de Allais:

Deciso 1

A Ganhar 1 milho de euros com p = 1

B Ganhar 5 milhes de euros com p1 = 0.10

Ganhar 1 milho de euros com p2 = 0.89

Ganhar 0 euros com 1 - p1 - p2 = 0.01

Qual a prefervel?

Deciso 2

C Ganhar 1 milho de euros com p = 0.11

Ganhar 0 euros com 1 - p = 0.89

D Ganhar 5 milhes de euros com p = 0.10

Ganhar 0 euros com 1 - p = 0.90

Qual a prefervel?

Foram feitas vrias experincias:

82% das pessoas preferiu A e 83% preferiu D.

Viola o axioma da invarincia:

U(5)=1 e U(0)=0 U(A) > U(B) U(1) > 0.1U(5)+ 0.89U(1) U(1) > 0.1/0.11=0.91 U(C) < U(D) 0.11U(1) < 0.1U(5) U(1) < 0.1/0.11=0.91

TOMADA DE DECISO 57


Determinao dos Factores de Ponderao

Taxa de substituio. Determina-se o valor de um objectivo em termos de outro objectivo (normalmente todos so determinados em funo do monetrio).

Esse valor (taxa) obtido encontrando o valor mximo que estamos dispostos a pagar para aumentar uma unidade de benefcio do atributo em

causa (ou o mnimo a receber se esse aumento for indesejvel)

Usando a variao mxima. Cria-se uma alternativa hipottica com o pior valor para cada atributo

Determina-se a valorizao do incremento mximo associado a cada

atributo, considerando a variao de um s atributo de cada vez.

Lotarias. Tambm se podem usar lotarias para determinar os factores de

ponderao.

Neste caso usa-se o jogo de referncia para determinar o equivalente probabilstico.

Independncia

Independncia em termos de preferncia,

Independncia em termos de utilidade e Modelo

Independncia aditiva.

TOMADA DE DECISO 58


Conta Poupana

Desce

Sobe

Mantm

Desce

Valorao da Informao

Informao adicional importante e vantajosa dado lidarmos com problemas com incerteza.

Se tivssemos acesso ao futuro tomaramos a deciso correcta sem

quaisquer problemas.

Como se pode valorar informao?

Suponhamos que estamos perante um problema de deciso de

investimentos. Neste existem dois tipos de investimento: fundo de

aces (com rico baixo ou com risco elevado) e conta poupana.

Fundo Risco Elevado

Sobe

100

-1000

500

1000

200

-100

1500

Fundo Risco Baixo

Mantm

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Admitindo que a probabilidade do mercado subir, manter-se ou

descer 50%, 30% e 20%, respectivamente.

O valor esperado associado a cada um dos trs investimentos:

Fundo Aces Fundo Aces Conta Risco Elevado Risco Baixo Poupana 580 540 500

Se a tomada e deciso for feita usando o critrio do valor esperado,

deve-se investir no fundo de aces de risco elevado.

Contratar um especialista para obter informao adicional sobe a

performance dos mercados.

Se nos disser que o mercado vai subir ento a deciso mantm-se

Esta informao no tem valor (a deciso mantm-se).

Se nos disser que o mercado vai descer ou manter-se ento a

melhor deciso a tomar investir na conta poupana

Esta informao recebida tem valor, pois conduz a uma alterao

na deciso a tomar permitindo aumentar o valor esperado.

Informao adicional pode

no ter valor se a deciso a tomar no depender da mesma

no limite valer tanto com a informao perfeita.

TOMADA DE DECISO 60


Desce

Conta Poupana

Poupana

Poupana

Mercado Desce

Mantm

Mercado Mantm

Mercado Sobe

Poupana

Desce

Informao Perfeita.

Suponhamos que se podia contratar um especialista em anlise de

mercados e que este nos fornecia informao perfeita. Quanto estaramos dispostos a pagar ao referido especialista?

Fundo Risco Elevado

Sobe

Fundo Risco Baixo

Mantm

Sobe

Risco Elevado

Risco elevado

Risco Baixo

Risco Baixo

Risco Elevado

Risco Baixo

TOMADA DE DECISO 61


Se no tivermos informao perfeita a deciso fundo de aces com

risco elevado e o valor esperado 480 euros.

Na presena de informao perfeita o valor esperado 1000 euros.

No mximo estamos dispostos a pagar para obtermos informao

perfeita 1000 580 = 420 euros.

E[ IP ] = E[ Lucro com IP ] - E[ Lucro sem IP ]

Informao Adicional.

Raramente se tem acesso a informao perfeita, mas no entanto

possvel obter informao adicional.

Retomando o exemplo da deciso de investimento, possvel

contratar um especialista na rea. No entanto este est sujeito a erros. Suponhamos que nos estudos de mercado que ele tem realizado se

verificou o seguinte

Previso Estado real do mercado Especialista Sobe Mantm Desce

Sobe 0.80 0.15 0.20

Mantm 0.10 0.70 0.20

Desce 0.10 0.15 0.60

TOMADA DE DECISO 62


Conta Poupana

Risco Baixo

Risco Baixo

Risco Baixo

Risco Elevado

Risco Elevado

Fundo Risco Elevado

Desce

Mantm

Desce

Sobe

Fundo Risco Baixo

Mantm

Sobe

Risco Elevado

Poupana P. Subida

P. Manuteno

P. Descida

Sobe

Mantm

Desce Sobe

Mantm

Desce

Poupana

Mantm

Desce Sobe

Mantm

Desce

Poupana

Mantm

Desce Sobe

Mantm

Desce

Sobe

Sobe

Mantm

TOMADA DE DECISO 63


Agora necessrio calcular as probabilidades revistas, ou seja as probabilidades condicionadas associadas aos estados finais dadas as

previses:

P(Ei | Pj) = P(Pj | Ei) P(Ei) / P(Pj)

P(Pj | Ei) avaliao feita s previses fornecidas pelo especialista

P(Ei) avaliao inicialmente feita ao mercado

P(Pi) probabilidade de o especialista fazer a previso Pi

P(Pi) = P(E1 e Pi) + P(E2 e Pi) + ... + P(En e Pi)

ou seja

P(Pi | E1) P(E1) + P(Pi | E2) P(E2) + ... + P(Pi | En) P(En)

Valorao da informao adicional

E[ IA ] = E[ Lucro com IA ] - E[ Lucro sem IA ]

Eficincia da informao adicional

Eficincia = Acrscimo lucro IA / Acrscimo lucro IP 100%

TOMADA DE DECISO 64


Probabilidades condicionais (associadas qualidade da informao)

P1 P2 P3 E1 0.80 0.10 0.10

P(Pi|Ej) = E2 0.15 0.70 0.15 E3 0.20 0.20 0.60

Probabilidades priori (conhecidas): P(E1), P(E2) e P(E3).

Probabilidades conjuntas, obtidas multiplicando cada linha pela probabilidade de estado correspondente.

P1 P2 P3 E1 0.5*0.80=0.400 0.5*0.10=0.050 0.5*0.10=0.050

P(Ej,Pi) = E2 0.3*0.15=0.045 0.3*0.70=0.210 0.3*0.15=0.045 E3 0.2*0.20=0.040 0.2*0.20=0.040 0.2*0.60=0.120

0.485 0.300 0.215

As probabilidades de previso =i

jij PEPPP ),()( .

Probabilidades posteriori )(),()|(

jji

ji PPPEPPEP =

P1 P2 P3 E1 0.8247 0.1667 0.2326

P(Ej,Pi) = E2 0.0928 0.7000 0.2093 E3 0.0825 0.1333 0.5581

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