CAPITULO 7

FLEXION DE VIGAS

7.1 INTRODUCCION

Presentamos en este capıtulo la aplicacion del metodo de los elementos finitosal clasico problema de flexion de vigas. Muchos se preguntaran que sentido tieneestudiar la utilizacion de un metodo relativamente sofisticado como el de elementosfinitos para calculo de vigas, siendo este un problema generalmente sencillo yque puede resolverse de forma inmediata haciendo uso de las clasicas teorıas deResistencia de Materiales o de analisis matricial de estructuras. La respuesta esque tal y como sucedıa en el caso de la barra a traccion estudiado en el Capıtulo 2,la aplicacion del MEF a problemas de vigas es de gran interes didactico y permiteexplicar facilmente conceptos de gran importancia que se aplicaran en capıtulosposteriores en el estudio de placas y laminas.

La organizacion general del capıtulo es la siguiente: En primer lugarestudiaremos la formulacion de elementos finitos correspondiente a la teorıa clasicade flexion de vigas esbeltas de Euler-Bernoulli. Dicha teorıa, que prescinde delefecto del esfuerzo cortante en la deformacion de la viga, permite introducir ideasde gran interes, como las funciones de forma Hermıticas con continuidad de claseC1 y los puntos optimos para calculo de tensiones.

En la segunda parte del capıtulo presentaremos la formulacion de elementosde viga de clase Co obtenidos con la teorıa de Timoshenko que incluye el efectode la deformacion por esfuerzo cortante. Se introducira el concepto de bloqueopor efecto del esfuerzo cortante y la forma de evitarlo. Reiteramos que el estudiodetallado de este capıtulo es esencial para la mejor compresion de los conceptos quese explican en los capıtulos posteriores, dedicados al estudio de placas y lamina.

7.1

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

7.2 FLEXION DE VIGAS ESBELTAS (TEORIA DE EULER-BERNOULLI)

7.2.1 Teorıa basica

Consideremos una viga de longitud l, seccion transversal de area A y modulode inercia I sobre la que actuan una serie de cargas verticales y momentoscontenidos en el plano xz, que es plano principal de inercia de la seccion transversal(Figura 7.1).

La teorıa de vigas clasica, o de Euler-Bernoulli, se basa en las 3 hipotesissiguientes [T4,7]:

1. Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una secciontransversal son pequenos e iguales a los del eje de la viga x.

2. El desplazamiento lateral (segun el eje y de la Figura 7.1) es nulo.3. Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformacion,

permanecen planas y ortogonales a dicho eje despues de la deformacion.

Figura 7.1 Viga convencional de Euler-Bernoulli.

De acuerdo con las hipotesis anteriores el campo de desplazamientos de unpunto cualquiera se puede escribir como

u(x, y, z) = − zθ(x)v(x, y, z) = 0w(x, y, z) = w(x)

(7.1)

7.2

FLEXION DE VIGAS

Por la hipotesis 3 el giro θ es igual a la pendiente de la deformada del eje(Figura 7.1), es decir

θ =dw

dxy u = − z

dw

dx(7.2)

Las deformaciones en un punto se obtienen por

εx =du

dx= − z

d2w

dx2

εy = εz = γxy = γxz = γyz = 0(7.3)

La unica tension no nula σx se relaciona con su correspondiente deformacionεx por

σx = E εx = − z Ed2w

dx2 (7.4)

Se define el momento flector positivo M de una seccion (Figura 7.2) como

M = −∫ ∫

AzσxdA =

∫ ∫A

z2 Ed2w

dx2 dA = EId2w

dx2 = EIχ (7.5)

donde I es el momento de inercia de la seccion transversal con respecto al eje y yχ la curvatura del eje de la viga (χ = d2w

dx2 ).

Figura 7.2 Convenio de signos para la tension σx y el momento flector M .

Supondremos que las fuerzas verticales repartidas q tienen sentidos opuestosal establecido como positivo para la flecha y, por otra parte, que los momentosexteriores son positivos si su sentido coincide con el positivo del giro (Figura 7.1).En dichas circunstancias, el PTV para la viga se escribe como

∫ ∫ ∫V

δεxσxdV = −∫ l

0δwqdx −

p∑i=1

δwi Pi +q∑

j=1δθjMj (7.6)

7.3

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

La integral de volumen del primer miembro representa el trabajo virtual internoy se simplifica como sigue (suponiendo material homogeneo en cada seccion)

∫ ∫ ∫V

δεxσxdV =∫ l

0

[∫ ∫Az2 dA

]Ed2w

dx2 δ(d2w

dx2

)dx =

=∫ l

0δ(d2w

dx2

)EI

d2w

dx2 dx =∫ l

0δχM dx

(7.7)

Por consiguiente, el trabajo virtual interno se puede expresar por la integralsobre la longitud de la viga del producto del momento flector por la correspondientecurvatura virtual.

7.2.2 Discretizacion en elementos finitos de dos nodos

La incognita fundamental del problema es la flecha w. No obstante, en el PTVaparecen segundas derivadas de la flecha w y la aproximacion en este caso debegarantizar la continuidad de w y de su primera derivada dw

dx (continuidad de claseC1, Apartado 3.2) [O3]. Esta condicion se puede interpretar fısicamente de manerasencilla teniendo en cuenta que dw/dx coincide con la pendiente de la deformadade la viga. Por tanto, dicha derivada debe ser continua para garantizar que ladeformada del eje describa una curva suave.

El elemento mas sencillo de viga de clase C1 es el unidimensional de dos nodos(Figura 7.3). La continuidad de las primeras derivadas obliga a tomar el giro dw

dxcomo variable. Por consiguiente, el numero total de variables nodales del elementoes 4 (wi y (dwdx )i por nodo). Dichas variables definen perfectamente una variacioncubica de la flecha

w = αo + α1x + α2x2 + α3x

3 (7.8)

Las constantes αi se calculan sustituyendo adecuadamente los valores de laflecha y sus derivadas en los nodos en (7.8), lo que proporciona el sistema decuatro ecuaciones con cuatro incognitas siguiente:

w1 = αo + α1x1 + α2x21 + α3x

31(dw

dx

)1

= α1 + 2α2x1 + 3α3 x21

w2 = αo + α1x2 + α2x22 + α3x

32(dw

dx

)2

= α1 + 2α2x2 + 3α3x22

(7.9)

Una vez resuelto el sistema anterior se puede reescribir (7.8), tras sustituirconvenientemente las expresiones de las αi, como

w = N1w1 + N1l(e)

2(dw

dx)1 + N2 w2 + N2

l(e)

2(dw

dx)2 (7.10)

7.4

FLEXION DE VIGAS

Figura 7.3 Elemento de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos. Variables nodalesy funciones de forma Hermıticas.

donde las funciones de forma del elemento vienen dadas por

N1 =14

(2 − 3ξ + ξ3) ; N2 =14

(2 + 3ξ − ξ3)

N1 =14

(1 − ξ − ξ2 + ξ3) ; N2 =14

(−1 − ξ + ξ2 + ξ3)(7.11)

con ξ = 2l(e)

(x− xm) y xm = x1+x22 (7.12)

La ecuacion (7.10) puede reescribirse como

w = N a(e) (7.13)

donde

N =[N1, N1, N2, N2

]y a(e) =

[w1,

(dwdx

)1, w2,

(dwdx

)2

]T(7.14)

son la matriz de funciones de forma y el vector de movimientos (desplazamientosy giros) nodales del elemento, respectivamente.

7.5

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

La aproximacion definida por la ec.(7.10) se denomina Hermıtica, por coincidirlas funciones de forma con polinomios de Hermite. La representacion grafica delas cuatro funciones de forma del elemento Hermıtico de dos nodos se muestra enla Figura 7.3. Observese que las funciones N1 y N2 valen la unidad en un nodoy cero en el otro, mientras que sus primeras derivadas son cero en ambos nodos,sucediendo lo contrario con las funciones N1 y N2. En el Capıtulo 8 veremoscomo la utilizacion de estos elementos en problemas de flexion de placas conduce,en general, a situaciones en las que la primera derivada no es continua entreelementos. Sin embargo, esto no ocurre en vigas, ya que al estar conectados entresı los elementos unicamente por puntos nodales, dichas derivadas toman un valorunico entre elementos, lo que garantiza su continuidad.

De (7.12) se deduce que dxdξ = l(e)

2 , con lo que

dx =l(e)

2dξ ;

dw

dx=

2l(e)

dw

dξy

d2w

dx2 =4

(l(e))2

d2w

dξ2 (7.15)

Por consiguiente, la curvatura en un punto del elemento de coordenada ξ seobtiene haciendo uso de (7.10) y (7.15) por

χ =d2w

dx2 =4

(l(e))2

(d2N1dξ2 w1 +

l(e)

2d2N1dξ2

(dwdx

)1

+d2N2dξ2 w2 +

l(e)

2d2N2dξ2

(dwdx

)2

)=

=[

6ξ(l(e))2

,(−1 + 3ξ)

l(e),−6ξ

(l(e))2,(1 + 3ξ)

l(e)

]

w1(dwdx

)1

w2(dwdx

)2

= Bfa

(e) (7.16)

siendo Bf la matriz de deformacion de flexion o de curvatura del elemento.Finalmente, la expresion de los trabajos virtuales de un elemento queda,

utilizando (7.6), (7.7), (7.10) y (7.16), como

∫l(e)

δχ EIχdx =(∫ +1

−1

[δa(e)

]TBT

f (EI) Bfl(e)

2dξ

)a(e) =

= −∫ +1

−1

[δa(e)

]TNT ql(e)

2dξ +

2∑i=1

δwiZi +2∑

j=1δ(dwdx

)jMj

(7.17)

que tras operar en la forma usual conduce a la conocida expresion

K(e) a(e) − f (e) = q(e) (7.18)

7.6

FLEXION DE VIGAS

donde la matriz de rigidez del elemento de viga puede calcularse de forma explicitapor

K(e) =∫ +1

−1BTB

EIl(e)

2dξ =

(EI

l3

)(e)

12 6l(e) −12 6l(e). . . 4(l(e))

2 −6l(e) 2(l(e))2

. . . 12 −6l(e)

sim.. . . 4(l(e))

2

(7.19)

El lector familiarizado con el calculo matricial de estructuras advertira lacoincidencia de la matriz de rigidez anterior con la que se obtiene directamentehaciendo uso de las clasicas ecuaciones de Resistencia de Materiales [L2]. Elmotivo es que la expresion polinomica de la flecha en el elemento Hermıtico dedos nodos, ec.(7.10), coincide exactamente con la que se obtiene integrando laecuacion diferencial de equilibrio de la viga sometida a esfuerzos en sus extremos,por lo que la matriz de rigidez en ambos casos debe coincidir [O3].

Por otra parte, el vector de fuerzas nodales equivalentes debido a una cargauniformemente distribuıda de intensidad −q sobre el elemento es

f (e) = −∫ +1

−1NT ql(e)

2dξ = −q l(e)

[12,l(e)

12,12,− l(e)

12

]T(7.20)

y el vector de fuerzas nodales de equilibrio q(e), necesario para el ensamblaje

q(e) =[Z1,M1, Z2,M2

]T(7.21)

El lector reconocera en las componentes del vector f (e) de (7.20) los valores,con los signos de la Figura 7.4, de las reacciones verticales y los momentos en losextremos de una viga biempotrada bajo carga uniforme. Esta coincidencia es, noobstante, un caso muy particular, debido a las caracterısticas especiales de la cargauniforme, no siendo por tanto extrapolable a otro tipo de cargas ni de elementos[O3].

Una vez obtenidos los desplazamientos y los giros nodales se puede obtener elmomento flector en cualquier punto del elemento por la expresion

M = EI χ = EI B a(e) (7.22)

Es esencial calcular el momento flector en los puntos de Gauss de cadaelemento para aprovechar la mejor aproximacion de los gradientes en dichos puntos(Apartado 3.5) [O3].

7.7

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

Figura 7.4 Elemento de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos. a) Conveniode signos para las fuerzas nodales equivalentes. b) Fuerzas nodalesequivalentes para una carga uniformemente repartida.

7.3 FLEXION DE VIGAS DE TIMOSHENKO

7.3.1 Teorıa basica

La teorıa de vigas de Timoshenko comparte las hipotesis 1 y 2 de la teorıade vigas clasica del Apartado 7.2.1. Por contrapartida, la nueva hipotesis3 establece que “las secciones planas normales al eje de la viga antes de ladeformacion, permanecen planas pero no necesariamente normales al eje despuesde la deformacion” (Figura 7.5).

Esta hipotesis representa una mayor aproximacion a la deformacion real de laseccion transversal en vigas de gran canto. A medida que la relacion longitud/cantodisminuye, las secciones transversales dejan de conservarse planas despues de ladeformacion. Vemos en la Figura 7.5 que la hipotesis de Timoshenko suponetomar un giro medio para la seccion, de manera que a efectos practicos puedaseguir considerandose plana.

De la Figura 7.5 se deduce que el giro de la seccion transversal se puede expresarcomo

θ =dw

dx+ φ (7.23)

donde dwdx es la pendiente de la deformada del eje de la viga y φ un giro adicional

debido a la deformacion por cortante como seguidamente veremos.El campo de desplazamientos de la viga se expresa de nuevo por la ec.(7.1). Por

otra parte, de (7.1) y (7.23) se deduce que las deformaciones no nulas son ahoralas siguientes:

εx =du

dx= − z

dθ

dx(7.24)

7.8

FLEXION DE VIGAS

Figura 7.5 Teorıa de flexion de vigas de Timoshenko. Giro de la seccion normala la fibra media.

γxz =dw

dx+

du

dz=

dw

dx− θ = − φ (7.25)

Por consiguiente, la teorıa de Timoshenko equivale a considerar el efectode la deformacion por cortante transversal , coincidiendo la magnitud de dichadeformacion con el giro adicional de la normal φ.

Las dos tensiones no nulas σx y τxz se relacionan con las correspondientesdeformaciones por

σx = Eεx = − zEdθ

dx= −zEχ

τxz = Gγxz = G(dwdx

− θ) (7.26)

donde G es el modulo de rigidez y χ = dθdx .

El momento flector y el esfuerzo cortante se definen, de acuerdo con los signosde la Figura 7.6, como

M = −∫ ∫

AzσxdA = EI

dθ

dx= EIχ

Q =∫ ∫

AτxzdA = GA

(dwdx

− θ)

= GAγxz

(7.27)

Observese que la variacion de σx con el canto es lineal, lo cual puedeconsiderarse como “exacto” dentro de la hipotesis de la teorıa de vigas. Por el

7.9

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

Figura 7.6 Teorıa de vigas de Timoshenko. Distribucion de tensiones normales ytangenciales. Convenio de signos para el momento flector y el esfuerzocortante.

contrario, la variacion de la tension tangencial τxz con el canto se supone constante,lo cual esta en clara contradiccion con la distribucion polinomica de la teorıa devigas (Figura 7.6). Para sortear este problema, y puesto que se va a hacer uso deun planteamiento energetico a partir del PTV, se acepta la hipotesis de tensiontangencial constante, pero modificada por un coeficiente de manera que el trabajode deformacion de la tension tangencial constante coincida con el “exacto” de lateorıa de vigas [T4]. Ası, se toma

τxz = α G γxz (7.28)

yQ = α A G γxz = A∗ G γxz (7.29)

donde α es el coeficiente de forma o de distorsion de la seccion, y A∗ = αA sedenomina area reducida.

El nombre de coeficiente de distorsion se debe a que tiene en cuenta el efectode que en realidad las secciones no se mantienen exactamente planas y tienen unadistorsion longitudinal, tal y como se muestra en la Figura 7.5 [O3].

En la Figura 7.7 se muestra el valor de dicho coeficiente para algunas secciones.La expresion del PTV se escribe ahora como (ver ec.(7.6))

∫ ∫ ∫V

(δεxσx + δγxzτxz)dV =−∫ l

0δwqdx−

p∑i=1

δwiZi +q∑

j=1δθjMj (7.30)

7.10

FLEXION DE VIGAS

Figura 7.7 Valores del coeficiente de distorsion α para diferentes tipos desecciones de vigas.

Es facil ver que haciendo uso de las ecs.(7.24) - (7.29) el primer miembro de(7.30) puede modificarse como

∫ ∫ ∫V

[−zσxδ

(dθdx

)+ τxzδ

(dwdx

− θ)]

dV =

=∫ l

0

[δχ

(∫ ∫A−zσxdA

)+ δγxz

(∫ ∫AτxzdA

)]dx =

=∫ l

0

(δχM + δγxzQ

)dx =

=∫ l

0

[δ(dθdx

)EI

dθ

dx+ δ

(dwdx

− θ)GA∗(dw

dx− θ

)]dx

(7.31)

Se aprecia en (7.31) que en el integrando aparecen unicamente derivadasprimeras de la flecha y el giro. Esto exige unicamente su continuidad paragarantizar la integrabilidad, lo que permite la utilizacion de elementos finitos declase Co.

7.3.2 Elemento de viga de Timoshenko de dos nodos

Consideremos el elemento de viga de Timoshenko mas sencillo de dos nodos. Adiferencia de la teorıa de Euler-Bernoulli, la flecha w y el giro θ son ahora variablesindependientes y con continuidad Co. Ası, se puede interpolar por separado cadauna de ellas por

w(ξ) = N1(ξ)w1 + N2(ξ) w2θ(ξ) = N1(ξ)θ1 + N2(ξ) θ2

(7.32)

donde w1, θ1 y w2, θ2 son las flechas y giros de los nodos 1 y 2 del elemento,respectivamente, y N1(ξ) y N2(ξ) son las tıpicas funciones lineales (Figura 7.8).

Haciendo uso de (7.32) se obtiene

χ =dθ

dx=

dξ

dx

dθ

dξ=

dξ

dx

[dN1dξ

θ1 +dN2dξ

θ2

](7.33)

7.11

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

Figura 7.8 Elemento de viga de Timoshenko de dos nodos. Interpolacion de losmovimientos y funciones de forma.

y la deformacion de cortante (o cizalladura)

γxz =dw

dx− θ =

dξ

dx

[dN1dξ

w1 +dN2dξ

w2

]−

(N1θ1 + N2θ2

)(7.34)

Utilizando una formulacion isoparametrica identica a la empleada para elelemento de barra de dos nodos del Capıtulo 3 se obtiene dξ

dx = 2l(e)

y las ecs.(7.33)y (7.34) pueden escribirse en forma matricial como

χ = Bf a(e)

γxz = Bc a(e)(7.35)

donde

Bf =[0,

2l(e)

dN1dξ

, 0,2l(e)

dN2dξ

]=

[0,− 1

l(e), 0

1l(e)

]

Bc =[

2l(e)

dN1dξ

,−N1,2l(e)

dN2dξ

,−N2

]=

[− 1l(e)

,−(1 − ξ)

2,

1l(e)

,−(1 + ξ)

2

](7.36)

son las matrices de deformacion de flexion y cortante del elemento, y

a(e) = [w1, θ1, w2, θ2]T (7.37)

es el vector de movimientos nodales del elemento.La expresion de los trabajos virtuales (7.30) puede escribirse, haciendo uso de

las ecs.(7.31) - (7.37), como

[δa(e)

]T(∫l(e)

[BT

f (EI)Bf + BTc (GA∗)Bc

]dx

)a(e) =

=[δa(e)

]T ∫l(e)

NT (−q)dx +[δa(e)

]Tq(e)

(7.38)

7.12

FLEXION DE VIGAS

y tras simplificar los movimientos virtuales queda[K(e)

f + K(e)c

]︸ ︷︷ ︸

K(e)

a(e) − f (e) = q(e) (7.39)

dondeK(e) = K(e)

f + K(e)c (7.40)

yK(e)

f =∫l(e)

BTf (EI)Bf dx ; K(e)

c =∫l(e)

BTc (GA∗)Bc dx (7.41)

son las matrices de rigidez correspondientes a los efectos de flexion y cortante cuyasuma es la matriz de rigidez total del elemento;

f (e) = −∫l(e)

NTq dx, con N = [N1, 0, N2, 0] (7.42)

el vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a la carga repartida q; y

q(e) = [P1,M1, P2,M2]T (7.43)

el vector de fuerzas nodales de equilibrio que permite ensamblar las contribucionesde los distintos elementos en la matriz de rigidez y en el vector de fuerzas globales.

Todas las integrales anteriores pueden transformarse sobre el dominionormalizado del elemento.

Ası, teniendo en cuenta que dx = l(e)2 dξ, las ecs.(7.41) y (7.42) se escriben como

K(e)f =

∫ +1

−1BT

f (EI) Bfl(e)

2dξ ; K(e)

c =∫ +1

−1BT

c (GA∗) Bcl(e)

2dξ (7.44)

y

f (e) = −∫ +1

−1NT

ql(e)

2dξ (7.45)

Las integrales anteriores pueden evaluarse numericamente por una cuadraturaunidimensional de Gauss-Legendre (Apartado 3.4).

Adviertase que la matriz de rigidez del elemento puede tambien obtenerse porla expresion general

K(e) =∫l(e)

BT D B dx (7.46)

dondeB =

{BfBc

}y D =

[EI 00 GA∗

](7.47)

No obstante, las expresiones (7.44) permiten identificar las contribuciones deflexion y cortante en la matriz de rigidez, lo que resulta de gran utilidad paraintegrar Kf y Kc con cuadraturas diferentes como veremos en el apartadosiguiente.

7.13

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

7.3.3 Efecto de bloqueo de la solucion

De las ecs.(7.36) y (7.44) se deduce que el calculo del valor exacto de la matriz derigidez de flexion Kf exige un solo punto de integracion, ya que todos los terminosdel integrando de (7.45) son constantes. Ası, pues, tras realizar la integracion seobtiene

K(e)f =

(EI

l

)(e)

0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1

(7.48)

Por otra parte, la integracion exacta de la matriz de rigidez de cortante precisados puntos de integracion por aparecer en el integrando de Kf terminos de segundogrado en ξ (debidos a los productos NiNj), obteniendose

K(e)c =

(GA∗l

)(e)

1 l(e)2 −1 l(e)

2. . . (l(e))

3

2− l(e)

2(l(e))

6

2

. . . 1 − l(e)2

Simetr. . . . (l(e))3

2

(7.49)

Para apreciar el efecto de la integracion numerica estudiaremos la flexion de laviga en voladizo de la Figura 7.9 bajo carga puntual en el extremo, con un soloelemento.

Figura 7.9 Viga en voladizo. Analisis con un elemento de viga de Timoshenko de2 nodos.

La ecuacion matricial de equilibrio global es la siguiente:

[K(1)

f + K(1)c

]a(1) = f (7.50)

GA∗l

GA∗2 −GA∗

lGA∗

2(GA∗

3 l + EIl

)−GA∗

2

(GA∗

6 l − EIl

). . . GA∗

l−GA∗

2

Simetr.. . .

(GA∗

3l + EI

l

)

w1

θ1

w2

θ2

=

V1

M1

P0

w1 = 0θ1 = 0 (7.51)

7.14

FLEXION DE VIGAS

Una vez eliminados los grados de libertad nulos correspondientes alempotramiento se obtiene el sistema de ecuaciones simplificado siguiente:

GA∗

l −GA∗2

−GA∗2

(GA∗

3 l + EIl

){

w2θ2

}=

{P0

}(7.52)

La solucion se encuentra por

{w2θ2

}= F f =

γ

γ + 1

(

lGA∗ + l3

3EI

)2l2EI

2l2EI

lEI

{

P0

}(7.53)

donde F = K−1 es la matriz de flexibilidad y γ = 12 EIGA∗l2 . De (7.53) se deduce que

la flecha en el extremo libre vale

w2 =γ

γ + 1

( l

GA∗ +l3

3EI

)P (7.54)

En el caso de una seccion rectangular I = bh3

12 , A∗ = 56bh y con ν = 0.25

γ = 3(hl

)2=

3λ2 (7.55)

donde λ = lh se denomina coeficiente de esbeltez de la viga.

La expresion “exacta” de la matriz de flexibilidad de una viga sin y con lainclusion del efecto del esfuerzo cortante de acuerdo con la teorıa de vigas clasica[T4] es:

a) Sin esfuerzo cortantea) Sin esfuerzo cortante b) Con esfuerzo cortanteb) Con esfuerzo cortante(Euler-Bernoulli)(Euler-Bernoulli) (Timoshenko)(Timoshenko)

F =

l3

3EIl2

2EIl2

2EIl

EI

F =

(

lGA∗ + l3

3EI

)l2

2EIl2

2EIl

EI

(7.56)

Por lo tanto, la flecha “exacta” en el extremo de la viga es:

a) Sin esfuerzo cortantea) Sin esfuerzo cortante b) Con esfuerzo cortanteb) Con esfuerzo cortante

(w2)fexacta = l3

3EIP (w2)cexacta =

(l

GA∗ + l3

3EI

)P

(7.57)

Es conocido que en una viga esbelta (valores de λ elevados) el efecto del esfuerzocortante es despreciable, y la solucion numerica obtenida debe coincidir con laexpresion a) de (7.57).

7.15

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

De (7.54) y (7.57) se deduce que el cociente entre la solucion de elementosfinitos y la teorica para vigas esbeltas es

ϕ =w2

(w2)fexacta

=γ

γ + 1

(l

GA∗ + l33EI

)P(

l3

3EI

)P

=3(4λ2 + 3)4λ2(λ2 + 3)

(7.58)

Logicamente el valor de ϕ deberıa tender a la unidad a medida que la esbeltezde la viga aumenta (mayor λ).

En la Figura 7.10 se ha dibujado la variacion de ϕ con λ. Se comprueba de(7.58) que para vigas muy esbeltas λ → ∞ y, por consiguiente, ϕ → 0. Estoimplica que el elemento de viga de Timoshenko de dos nodos con integracion“exacta” es incapaz de reproducir en el lımite la solucion de la teorıa clasicade vigas . Ası, a medida que la longitud aumenta se produce un fenomeno desobrerigidez numerica que, curiosamente, va cada vez tomando mayor importanciahasta llegar a “bloquear” la solucion, haciendola, en el lımite, infinitamente rıgida.El elemento solo “funciona” para vigas de relacion canto/longitud elevadas y aunası su precision no es demasiado buena, como puede apreciarse en la Figura 7.10,lo que lo hace inutilizable para la mayorıa de los casos.

Uno de los procedimientos para sortear este problema consiste en disminuir lainfluencia del cortante subintegrando los terminos de K(e)

c utilizando un numerode puntos de integracion inferior al necesario para su calculo exacto. Se puedeintuir que al subintegrar los terminos de rigidez de cortante, la flexibilidad de laestructura debe aumentar, contrarrestando ası la excesiva rigidez introducida porel cortante.

Integrando ahora K(e)c con un solo punto se obtiene

K(e)c =

(GA∗l

)(e)

1 l(e)2 −1 l(e)

2

. . .

(l(e)

)2

4 − l(e)2

(l(e)

)2

4. . . 1 − l(e)

2

Simetr. . . .

(l(e)

)2

4

(7.59)

Por consiguiente, las matrices de rigidez y flexibilidad de la viga del ejemplo de laFigura 7.9, despues de eliminar los grados de libertad del empotramiento, son

K =

GA∗

l −GA∗2

−GA∗2

(GA∗

4 l + EIl

) y F =

(

lGA∗ + l3

4EI

)l2

2EIl2

2EIl

EI

(7.60)

7.16

FLEXION DE VIGAS

Figura 7.10 Viga en voladizo analizada con un elemento de Timoshenko de dosnodos. Variacion del cociente entre la solucion obtenida para la flechaen el extremo y la exacta de la teorıa de Euler-Bernoulli, con elcoeficiente de esbeltez. Influencia del orden de integracion para K(e)

c

7.17

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

Observese que F coincide ahora con la expresion (7.56) a excepcion delcoeficiente F11. Resolviendo para el valor de la flecha en el extremo de la viga, seobtiene

w2 = F11 P =( l

GA∗ +l3

4EI

)P (7.61)

La relacion entre este valor y el exacto para vigas esbeltas da

ϕ =w2

(w2)fexacta

=3λ2 + 3

4λ2 (7.62)

La variacion de la nueva funcion ϕ con λ se ha representado tambien en laFigura 7.10. Vemos que ahora para λ → ∞, ϕ → 0, 75 con lo que se ha eliminadoel efecto de bloqueo. Evidentemente la solucion no es exacta, debido a la sencillezde la malla utilizada. Puede comprobarse (ver Tabla 7.1) que el valor de ϕ convergerapidamente a la unidad al aumentar el numero de elementos. De hecho, con solodos elementos se obtiene para ϕ el valor 0,938 y como se aprecia en la Figura 7.10la solucion en este caso coincide practicamente con la exacta para todos los valoresdel coeficiente de esbeltez λ.

Tabla 7.1 Convergencia con el numero de elementos de la relacion ϕ entre lasflechas en el extremo de una viga empotrada obtenidas con y sininclusion del efecto del esfuezo cortante

Por consiguiente, la integracion reducida de los terminos de K(e)c proporciona

un elemento valido para vigas de pequeno y gran canto. Una vez calculados losmovimientos nodales, los esfuerzos se obtienen en el punto de Gauss central, queademas es en este caso el punto optimo (Figura 3.3).

Existen otras tecnicas para evitar el efecto de bloqueo. Entre ellas destacael metodo de deformaciones de cortante impuestas. Este metodo consiste, enesencia, en imponer a priori un campo de deformaciones de cortante determinadoen funcion de los movimientos nodales. Dicho campo se escoge de manera quepueda satisfacerse en el lımite de esbeltez infinita la condicion de la teorıa clasicade vigas de deformacion de cortante nula. Es facil intuir que escogiendo un campode deformaciones de cortante constante e igual al valor del campo original en elcentro del elemento, se obtiene el mismo efecto positivo que calculando la matriz derigidez de cortante utilizando un solo punto de integracion (integracion reducida).En la referencia [O3] se dan detalles de este procedimiento del que se volvera ahablar al estudiar los elementos de placa de Reissner-Mindlin.

7.18

FLEXION DE VIGAS

7.3.4 Mas sobre la integracion reducida

Una forma de explicar las bases del exito de la integracion reducida de la matrizKc es estudiar el comportamiento del sistema de ecuaciones global K a = f amedida que la esbeltez de la viga aumenta. Haciendo uso de las ecs.(7.39) y (7.45)se puede escribir dicha ecuacion matricial de rigidez (suponiendo las propiedadesgeometricas y del material constantes para todos los elementos) como

(EI

lKf +

GA∗l

Kc

)a = f (7.63)

Puesto que la solucion “exacta” para vigas esbeltas es proporcional a l3

3EI (verec.(7.57)) multiplicamos por ese coeficiente (7.63) para obtener

( l23

Kf +l2GA∗3EI

Kc

)a =

l3

3EIf = f (7.64)

Para una seccion rectangular, A∗ = α h b y I = 1/12 b h3, con lo que (7.64)queda ( l2

3Kf +

( l

h

)24Gα

EKc

)a = f (7.65)

donde f es un vector del orden de magnitud de la solucion exacta para vigasesbeltas.

De la ecuacion anterior se deduce que cuando el canto de la viga disminuyecon respecto a la longitud, el termino

(lh

)2aumenta rapidamente, de manera que

para vigas muy esbeltas el coeficiente de Kc se hace progresivamente mucho masgrande que el de Kf y (7.65) tiende a

β Kc a = f (7.66)

donde β = 4GαE

(lh

)2. En el lımite, para vigas infinitamente esbeltas h → 0 y

β → ∞ y

Kc a =1β

f → 0 (7.67)

Se desprende de (7.67) que a medida que la esbeltez de la viga aumenta lasolucion de elementos finitos se rigidiza mas y mas con relacion a la exacta (efectode bloqueo), hasta que en el lımite se tiende a una solucion infinitamente rıgida(a = 0). Asimismo, se deduce de (7.67) que para evitar la solucion trivial a = 0,el determinante de la matriz Kc (o Kc) debe ser nulo. La singularidad de lamatriz de rigidez de cortante se convierte ası en un requisito necesario (aunque nosiempre suficiente) para la existencia de la solucion correcta en el lımite de vigasuniformemente esbeltas.

Existe una sencilla regla para saber si la matriz de rigidez obtenida porintegracion numerica es o no singular. Dicha regla se basa en advertir que la

7.19

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos

integracion numerica equivale a introducir k relaciones independientes en cadapunto de integracion, donde k es el numero de componentes del vector deformacionque interviene en el calculo de la matriz. Ası, si p es el numero total de puntosde integracion de la malla y j es el numero de grados de libertad libres (una vezdescontados los movimientos prescritos), la matriz de rigidez sera singular si elnumero de relaciones introducidas no es suficiente para equilibrar el numero totalde incognitas, es decir, si

j − p · k > 0 (7.68)

La demostracion de este teorema se da en [O3].La ec.(7.68) puede utilizarse para estudiar la singularidad de la matriz de

cortante Kc o de la matriz de rigidez global K para un elemento aislado o parauna malla. En todos los casos se encuentra que para obtener la singularidad deKc hay que reducir el numero de puntos de integracion. Esto debe hacerse, noobstante, cuidando que la matriz de rigidez K mantenga el rango correcto paraevitar la singularidad del sistema total. Como ejemplo consideremos la viga dela Figura 7.9. El numero de grados de libertad disponibles es 2(w2 y θ2) y el decomponentes de deformacion que intervienen en Kc es 1 (γxz). Ası, con integracionexacta para Kc , p = 2, se tiene

2 − 1 × 2 = 0

con lo que no se satisface la condicion de singularidad (7.68).Es facil comprobar que la matriz obtenida con dicha integracion no es singular.

En efecto, de (7.50) se deduce que una vez eliminados los movimientos prescritos

∣∣∣Kc

∣∣∣ =∣∣∣ GA∗

l −GA∗2

−GA∗2

GA∗3 l

∣∣∣ =l

12GA∗ (7.69)

Sin embargo, al utilizar integracion reducida p = 1, la ec.(7.68) da

2 − 1 × 1 = 1 > 0

con lo cual se consigue la singularidad de Kc. Esto puede comprobarse calculandoel determinante de Kc obtenida con un solo punto de integracion. Ası, de (7.59)

∣∣∣Kc

∣∣∣ =∣∣∣ GA∗

l −GA∗2

−GA∗2

GA∗4 l

∣∣∣ = 0 (7.70)

Finalmente, es importante comprobar la bondad de la matriz de rigidez totalK. El numero de componentes de deformacion es ahora 2 (χ y γxz), y utilizandoun solo punto de integracion se obtiene para la ec.(7.68)

2 − 1 × 2 = 0

7.20

FLEXION DE VIGAS

lo que garantiza que K no es singular, como puede evidenciarse calculando sudeterminante a partir de las ecs.(7.48) y (7.59).

En resumen, el elemento de viga de Timoshenko de dos nodos con integracionreducida uniforme de un punto, tiene un excelente comportamiento para el analisisde vigas de todo rango de esbelteces [O3]. Las ideas aquı introducidas se ampliaranen el estudio de placas y laminas.

7.4 CONCLUSIONES

Hemos estudiado en este tema el analisis por elementos finitos de problemasde vigas partiendo de dos formulaciones diferentes. La primera, (teorıa de Euler-Bernoulli), basada en la ortogonalidad de las secciones transversales rectas conla fibra media, prescinde del efecto de la deformacion por cortante y precisautilizar elementos clase C1. La segunda, (teorıa de Timoshenko) permite la noortogonalidad de las secciones transversales con la fibra media tras la deformacion.La matriz de rigidez del elemento de viga de Euler-Bernouilli de dos nodos esidentica a la del elemento de viga de la clasica teorıa de calculo matricial deestructuras. Esto introduce de forma natural el efecto de la deformacion porcortante y permite la utilizacion de elementos mas sencillos de clase Co. Comocontrapartida los elementos de viga de Timoshenko son sensibles al efecto debloqueo de la solucion al analizar vigas de gran esbeltez. Dicho efecto puede (ydebe) suprimirse utilizando tecnicas especiales como la integracion reducida de lamatriz de rigidez de cortante, o mediante la imposicion “a priori”de un campo dedeformaciones de cortante adecuado. El sencillo elemento de viga de Timoshenkode dos nodos con integracion reducida de un punto tiene un comportamientoexcelente en la practica.

Todos estos conceptos apareceran de nuevo al tratar problemas de placas ylaminas.

7.21